TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
——————————————–

BÙI THỊ LINH

ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG
TRONG TOÁN PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2012


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
——————– * ———————

BÙI THỊ LINH

ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG
TRONG TOÁN PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
THS. PHÙNG ĐỨC THẮNG

Hà Nội, 2012

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu đề tài với sự hướng dẫn nhệt tình của
thầy giáo: Thạc sỹ Phùng Đức Thắng. Cùng với sự giúp đỡ của Thạc
sỹ Phạm Xuân Thịnh, sự nỗ lực của bản thân em đã phần nào nghiên
cứu được đề tài trên. Do hạn chế về thời gian, kiến thức nên chắc chắn
khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong có được
những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn quan tâm
để đề tài được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn giúp đỡ chỉ bảo nhiệt tình
tận tâm của thầy giáo: Thạc sỹ Phùng Đức Thắng và toàn thể các
thầy cô giáo trong tổ giải tích, các thầy cô giáo trong khoa Toán, Thạc
sỹ Phạm Xuân Thịnh đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn
thiện khóa luận này, cũng như trong suốt thời gian thực tập nghiên cứu
tại trường ĐHSP Hà Nội 2.

Sinh viên
Bùi Thị Linh

1


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài:
"ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN
PHỔ THÔNG"
là công trình nghiên cứu của riêng tôi, kết quả không trùng với kết quả
nào. Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Bùi Thị Linh

2


Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

1.3

6

Giới hạn của dãy số thực và giới hạn của hàm số

. . . .

6


1.1.1

Định nghĩa giới hạn của dãy số thực . . . . . . .

6

1.1.2

Định nghĩa giới hạn của hàm số . . . . . . . . .

6

Hàm số liên tục

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm . . . . .

10

1.2.2

Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10


1.2.3

Định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn . . . .

11

Đạo hàm của hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1

Đạo hàm cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.3

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Định lí Lagrange và ứng dụng


17

2.1

Định lí Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2

Định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết giới hạn là cơ sở của giải tích toán học. Bởi vậy, nghiên
cứu về lĩnh vực này chúng ta thường xuyên phải giải quyết các bài toán
liên quan đến giới hạn, trong đó phần lớn liên quan đến giới hạn của
dãy số và giới hạn hàm số. Giải bài toán giới hạn của dãy số là việc làm
hết sức phức tạp và khó khăn đối với sinh viên và các em học sinh khá,
giỏi toán trung học phổ thông. Các bài toán giới hạn cũng nằm trong

chương trình quy định của hội toán học Việt Nam đối với kì thi Olympic
toán học sinh viên hằng năm giữa các trường Cao Đẳng và Đại học về
bộ môn giải tích.
Giải các bài toán về giới hạn dãy số có nhiều phương pháp khác nhau,
trong đó định lý Lagrange là một phương pháp mạnh để giải các bài toán
giới hạn dãy số khó và phức tạp. Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên
cứu của toán học hiện đại, được sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của Thạc
sỹ Phùng Đức Thắng , tôi đã chọn đề tài:
"ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN
PHỔ THÔNG".
2. Mục đích nghiên cứu
Cung cấp cho học sinh một phương pháp để có thể xử lý các bài toán
giới hạn dãy số khó và đa dạng. Qua đó củng cố kiến thức về giới hạn
cho học sinh và giúp học sinh vận dụng thành thạo định lý Lagrange.
4


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhắc lại kiến thức cơ bản về giới hạn. Giúp học sinh nắm chắc định
lý Lagrange và khả năng vận dụng sáng tạo định lý để giải bài toán về
giới hạn.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên và học sinh THPT.
+ Phạm vi nghiên cứu: Định lý Lagrange và ứng dụng trong toán phổ
thông.
5. Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các định nghĩa, định lý, tính chất của giới hạn dãy số, giới
hạn hàm số, hàm số liên tục và đạo hàm cấp một và cấp cao của hàm
một biến vào trong khóa luận.
6. Dự kiến đóng góp mới
Đưa ra được ứng dụng của định lý Lagrange vào việc giải các bài toán
về giới hạn của toán phổ thông.

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Giới hạn của dãy số thực và giới hạn của hàm
số

1.1.1

Định nghĩa giới hạn của dãy số thực

Cho dãy số thực {un }. Số a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy {un }
nếu với mọi ε > 0 cho trước bao giờ cũng tồn tại một số n0 (phụ thuộc
ε) sao cho với mọi n > n0 ta đều có |un − a| < ε.
Khi đó ta nói rằng dãy {un } hay hội tụ đến a hay tiến đến giới hạn
a và ta viết un → a(n → ∞) hay lim un = a.
n→∞

Một dãy không có giới hạn được gọi là dãy phân kì.
1.1.2


Định nghĩa giới hạn của hàm số

1.1.2.1 Lân cận của một điểm
Cho điểm x0 ∈ R và số ε > 0. Khoảng (x0 − ε, x0 + ε) được gọi là εlân cận của x0 , kí hiệu là
Như vậy,

ε (x0 )

ε (x0 ).

= {x ∈ R| |x − x0 | < ε}.

Tập V ⊂ R được gọi là lân cận của điểm x0 nếu tồn tại ε > 0 sao cho
6


Khóa luận tốt nghiệp đại học

ε (x0 )

Bùi Thị Linh

⊂ V.

Chú ý
a) Lân cận của một điểm bao giờ cũng chứa điểm đó và nếu V là lân
cận của x0 ,

⊃ V thì


cũng là lân cận của x0 .

b) Nếu V1 , V2 là hai lân cận của x0 thì V1 ∩ V2 cũng là lân cận của x0 .
1.1.2.2 Điểm tụ của một tập hợp
Điểm x0 ∈ R được gọi là điểm tụ ( hay điểm giới hạn ) của tập hợp
A ∈ R nếu mọi lân cận V của x0 đều chứa ít nhất một điểm của A khác
x0 , tức là V ∩ (A\{x0 }) = ∅, với mọi lân cận V của x0 .
Từ định nghĩa ta suy ra rằng x0 là điểm tụ của tập hợp A khi và chỉ
khi mọi lân cận của x0 đều chứa vô số điểm của A.
1.1.2.3 Điểm cô lập của tập hợp
Cho tập hợp A ⊂ R. Điểm x0 ∈ A được gọi là điểm cô lập của tập
hợp A nếu tồn tại một lân cận V của x0 sao cho V ∩ A = {x0 } (tập chỉ
gồm một điểm x0 ).
1.1.2.4 Định nghĩa giới hạn của hàm số
Cho x0 là điểm tụ của tập hợp A ⊂ R và hàm số f : A → R.
Hàm số f được gọi là hội tụ đến b ∈ R khi x → x0 hay b là giới hạn
của hàm số f khi x → x0 nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
|f (x) − b| < ε với mọi x ∈ A thỏa mãn điều kiện 0 < |x − x0 | < δ. Khi
đó, ta kí hiệu lim f (x) = b hay f (x) → b khi x → x0 .
x→x0

Chú ý
Trong định nghĩa này ta chỉ xét đến những giá trị f (x) ứng với những
giá trị x ở trong một lân cận nào đó của x0 . Điều kiện 0 < |x − x0 | nói
lên rằng x = x0 . Vì thế tại chính điểm x0 (x0 là điểm tụ của A) hàm số
7


Khóa luận tốt nghiệp đại học


Bùi Thị Linh

có thể không được xác định, ngay cả trong trường hợp hàm f xác định
tại x0 thì giá trị f (x0 ) không đóng vai trò nào cả trong định nghĩa này.
Sau đây ta nêu ra một điều kiện tương đương với điều kiện nêu trong
định nghĩa và vì vậy có thể dùng nó để định nghĩa giới hạn của hàm số.
Định lý 1.1. Để cho hàm f : A → R hội tụ đến b ∈ R khi x → x0 điều
kiện cần và đủ là với mọi dãy {xn }n ⊂ A\{x0 }, xn → x0 , ta có f (xn ) → b
khi n → ∞.
Chứng minh. a) Điều kiện cần: Giả sử lim f (x) = b. Cho dãy {xn }n ⊂
x→x0

A\{x0 }, xn → x0 (n → ∞). Ta chứng minh f (xn ) → b(n → ∞). Theo
định nghĩa
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ A : 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − b| < ε.
Vì dãy {xn }n ⊂ A\{x0 } và xn → x0 (n → ∞) nên với δ > 0 nói
trên tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 ta có 0 < |xn − x0 | < δ, khi đó
|f (xn ) − b| < ε. Theo định nghĩa lim f (xn ) = b.
n→∞

b) Điều kiện đủ: Ngược lại, giả sử rằng với mọi dãy {xn }n ⊂ A\{x0 }, xn →
x0 ta đều có f (xn ) → b. Ta chứng minh f (x) → b khi x → x0 .
Nếu f (x) không hội tụ đến b khi x → x0 thì:
∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃xδ ∈ A : 0 < |xδ − x0 | < δ nhưng |f (xδ ) − b| ≥ ε.
Lấy dãy δn > 0, δ → 0, kí hiệu xδn = xn , ta có {xn }\A, 0 < |xn −x0 | <
δn → 0, do đó xn → x0 (n → ∞) nhưng do |f (xn ) − b| ≥ ε, nên f (xn )
không hội tụ đến b khi n → ∞, trái với giả thiết.
Vậy lim f (x) = b.
x→x0


Một số tính chất của giới hạn hàm số
Từ mối quan hệ giữa giới hạn hàm số và giới hạn dãy số nêu trong
8


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

nhiều định lý, nhưng thấy rằng tính chất của giới hạn dãy số có thể phát
biểu lại cho giới hạn hàm số (với những thay đổi thích hợp).
Định lý 1.2. Cho tập hợp A ⊂ R, x0 là điểm tụ của A, f : A → R
và g : A → R là những hàm số xác định trên A. Giả sử lim f (x) =
x→x0

a; lim g(x) = b. Nếu tồn tại một số δ > 0 sao cho f (x) ≤ g(x) với mọi
x→x0

x ∈ A thỏa mãn 0 < |x − x0 | < δ thì a ≤ b.
Chứng minh. Lấy một dãy bất kì {xn }n ⊂ A\{x0 }, xn → x0 (n → ∞).
Theo định nghĩa của giới hạn dãy số với δ > 0 nêu trong giả thiết của
định lý, tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 ta có |xn − x0 | < δ. Khi đó,
f (xn ) ≤ g(xn ) với mọi n > n0 . Cho n → ∞ ta được a ≤ b.
Hệ quả 1.1. Giả sử lim f (x) = a và tồn tại δ > 0 sao cho f (x) ≤ b
x→x0

với mọi x ∈ A thỏa mãn 0 < |x − x0 | < δ. Khi đó a ≤ b.
Định lý sau đây có tính chất ngược lại.
Định lý 1.3. Cho hàm số f : A → R, x0 là điểm tụ của A. Nếu

lim f (x) = a và a < b (tương ứng a>c) thì tồn tại δ > 0 sao cho

x→x0

f (x) < b (tương ứng f (x) > c) với mọi x ∈ A thỏa mãn 0 < |x − x0 | < δ.
Chứng minh. Chọn ε > 0 sao cho ε < b − a (tương ứng ε < a − c). Khi
đó tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ A thỏa mãn 0 < |x − x0 | < δ, ta có
a−ε < f (x) < a+ε. Từ đó ta suy ra f (x) < b (tương ứng f (x) > c).
Định lý 1.4. Cho ba hàm f, g, h cùng xác định trên một tập hợp A có
điểm tụ là x0 . Giả sử lim f (x) = lim h(x) = b và tồn tại δ > 0 sao cho
x→x0

x→x0

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) với mọi x ∈ A thỏa mãn 0 < |x − x0 | < δ. Khi đó
lim g(x) = b.

x→x0

9


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

Chứng minh. Lấy một dãy {xn } ⊂ A\{x0 }, xn → x0 khi n → ∞. Với
δ > 0 nêu trong giả thiết của định lý tồn tại n0 sao cho |x − x0 | < δ với
mọi n > n0 . Khi đó ta có f (xn ) ≤ g(xn ) ≤ h(xn ). Cho n → ∞ ta được
lim f (x) = lim h(x) = b, từ đó suy ra lim g(x) = b.


x→x0

x→x0

n→∞

Vậy lim g(x) = b.
x→x0

1.2

Hàm số liên tục

1.2.1

Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Cho tập hợp A ⊂ R, hàm số f : A → R và điểm x0 ∈ A. Nếu với mọi
ε > 0 cho trước bao giờ cũng tồn tại δ > 0(phụ thuộc vào ε) sao cho với
mọi x ∈ {x ∈ A : |x − x0 | < δ} ta đều có |f (x) − f (x0 )| < ε thì ta nói
hàm f liên tục tại điểm x0 .
Nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ A thì ta nói f liên tục trên A.
Nếu f không liên tục tại điểm x0 thì ta nói f gián đoạn tại x0 hay x0
là điểm gián đoạn của f.
1.2.2

Các tính chất

1.2.2.1 Tính chất 1: Nếu x0 là điểm cô lập của A thì f liên tục tại x0 .

Thật vậy, do x0 là điểm cô lập nên tồn tại δ− lân cận Vδ (x0 ) = {x ∈
R : |x−x0 | < δ} sao cho Vδ (x0 )∩A = {x0 }. Vì thế nếu x ∈ Vδ (x0 )∩A
thì x = x0 do đó |f (x) − f (x0 )| = |f (x0 ) − f (x0 )| = 0 < ε, với ε là
số dương cho trước bất kỳ.
1.2.2.2 Tính chất 2: Nếu x0 là điểm tụ của A thì f liên tục tại x0 khi và
chỉ khi lim f (x) = f (x0 ). Ở đây điều kiện 0 < |x − x0 | không đặt
x→x0

10


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

ra vì tại x = x0 ta có |f (x) − f (x0 )| = 0 < ε, với ε là số dương cho
trước bất kì.
1.2.2.3 Tính chất 3: Hàm f liên tục tại x0 khi và chỉ khi với mọi dãy
{xn }n ⊂ A, xn → x0 (n → ∞) ta đều có lim f (xn ) = f (x0 ).
n→∞

Ta có thể lấy tính chất này làm định nghĩa tính liên tục của hàm f tại
điểm x0
Chú ý :
a) Khác với định nghĩa hàm số tại điểm x0 , trong định nghĩa hàm liên
tục tại x0 ta không giả thiết x = x0 .
b) Định nghĩa hàm số liên tục tại điểm x0 có thể phát biểu lại qua các
khái niệm lân cận như sau:
Hàm f : A → R được gọi là liên tục tại x0 ∈ A nếu với mọi lân cận
V của f (x0 ) tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (U ∩ A) ⊂ V.

1.2.3

Định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn

Cho hàm số f : [a, b] → R. Nếu f liên tục trên (a, b), liên tục bên
phải tại điểm a và liên tục trái tại điểm b thì ta nói f liên tục trên đoạn
[a, b].
Định lý 1.5. Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a, b] thì nó bị chặn trên đó.
Chứng minh. Ta đi chứng minh phản chứng, giả sử f liên tục trên đoạn
[a, b] nhưng không bị chặn trên đó. Khi đó với mọi n ∈ N∗ tồn tại
xn ∈ [a, b] sao cho |f (xn )| > n. Dãy {xn }n là dãy bị chặn, theo nguyên
lý Bolzano - Weierstrass nó có chứa một dãy con {xnk }k hội tụ đến x0 .
11


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

Vì a ≤ xnk ≤ b với mọi k, nên cho k → ∞ ta suy ra a ≤ x0 ≤ b. Do f
liên tục tại x0 ta có f (xnk ) → f (x0 ), từ đó |f (xnk )| → |f (x0 )|, (k → ∞).
Mặt khác |f (xnk )| ≥ nk , vì thế |f (xnk )| → +∞, (k → ∞), ta đi đến mâu
thuẫn. Vậy hàm f phải bị chặn trên đoạn [a, b].
Định lý 1.6. Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a, b] thì nó đạt được cận
trên đúng và cận dưới đúng trên đó, tức là tồn tại hai số x0 , x0 ∈ [a; b]
sao cho f (x0 ) = sup f (x), f (x0 ) = inf f (x).
x∈[a;b]

x∈[a;b]


Chứng minh. Theo định lý (1.5) hàm f bị chặn trên [a; b], vì thế tồn tại
sup f (x) = M, M < +∞ và inf f (x) = m, m > −∞.
x∈[a;b]

x∈[a;b]

Theo định nghĩa của cận trên đúng, tồn tại dãy {xn }n ⊂ [a; b] sao
cho lim f (xn ) = M. Dãy {xn }n là dãy bị chặn nên có chứa một dãy con
n→∞

{xnk }k , xnk → x0 ∈ [a; b]. Khi đó, do f liên tục, ta có
M = lim f (xn ) = lim f (xnk ) = f (x0 ).
n→∞

k→∞

Tương tự, ta chứng minh tồn tại x0 ∈ [a; b] sao cho f (x0 ) = m.
Định lý 1.7 (Định lý Bolzano - Cauchy thứ nhất). Giả sử hàm f :
[a; b] → R liên tục trên đoạn [a; b] và f (a).f (b) < 0. Khi đó tồn tại
c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết f (a) < 0
và f (b) > 0. Đặt A = {x ∈ [a; b] : f (x) ≤ 0}. Vì a ∈ A nên A = .
Gọi c = sup A. Ta đi chứng minh f (c) = 0. Theo định nghĩa của cận
trên đúng, tồn tại dãy {tn }n ⊂ A sao cho lim tn = c. Vì f liên tục tại
n→∞

c nên f (c) = lim f (tn ) ≤ 0. Do f (b) > 0 nên c = b và do đó c < b.
n→∞

Nếu f (c) < 0 thì do f liên tục tại c, lim+ f (x) = f (c) < 0, do đó tồn

x→c

12


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

tại δ > 0 sao cho c + δ < b và f (x) < 0 với mọi x ∈ [c; c + δ]. Đặc biệt
f (c + δ) < 0. Vì thế c + δ ∈ A, điều này mâu thuẫn với c là cận trên của
A. Vậy f (c) = 0.
Định lý này có ý nghĩa hình học rất rõ ràng: Nếu một đường cong
liên tục đi từ một phía của trục x sang phía kia thì nó cắt trục này.
Định lý 1.8 (Định lý Bolzano - Cauchy thứ hai). Giả sử hàm f liên
tục trên đoạn [a; b]. Khi đó f nhận mọi giá trị trung gian giữa f (a) và
f (b), tức là với mọi số thực λ nằm giữa f (a) và f (b), tồn tại c ∈ [a; b]
sao cho f (c) = λ.
Chứng minh. Nếu f (a) = f (b) định lý hiển nhiên đúng. Giả sử f (a) =
f (b). Không mất tổng quát ta có thể xem rằng f (a) < f (b). Giả sử
λ là số sao cho f (a) < λ < f (b). Xét hàm g(x) = f (x) − λ. Ta có
g(a) < 0, g(b) > 0. Theo định lý 1.2.3.3, tồn tại c ∈ (a; b) sao cho
g(c) = 0 hay f (c) − λ = 0. Do đó f (c) = λ.

1.3

Đạo hàm của hàm một biến

1.3.1


Đạo hàm cấp một

1.3.1.1 Khái niệm hàm khả vi
Xét hàm số y = f (x) xác định trong lân cận U của điểm x0 ∈ R.
Cho x0 một số gia ∆x khá bé sao cho x0 + ∆x ∈ U. Khi đó, số ∆y =
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) được gọi là số gia của hàm số tương ứng với số gia
đối số ∆x tại điểm x0 .
Định nghĩa: Nếu tỉ số

f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆y
=
có giới hạn hữu
∆x
∆x

hạn khi
13


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

∆x → 0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm f đối với x tại x0
và được kí hiệu là f (x0 ) :
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆x→0
∆x


f (x0 ) = lim

Khi đó ta nói rằng hàm f khả vi tại x0 .
Định nghĩa: Cho U là tập mở trong R, f : U → R là một hàm xác
định trên U. Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi điểm
của U. Khi đó hàm số
f : U → R, x → f (x)
được gọi là đạo hàm của hàm số f trên U.
Nếu f liên tục trên U thì ta nói rằng f khả vi liên tục trên U hay f
thuộc lớp C 1 (U ).
Định lý 1.9. Cho tập mở U ⊂ R và hàm số f : U → R.
Nếu f khả vi tại x0 ∈ U thì
f (x0 + h) − f (x0 ) = f (x0 )h + r(h).h
trong đó r(h) → 0 khi h → 0.
Chứng minh. Đặt
f (x0 + h) − f (x0 )
− f (x0 ) = r(h)
h
Do hàm f khả vi tại x0 ta có r(h) → 0 khi h → 0. Do đó
f (x0 + h) − f (x0 ) = f (x0 )h + r(h).h

14


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

Định lý 1.10 (Fermat). Cho tập hợp mở U ⊂ R và hàm f : U → R.
Nếu điểm c ∈ U là điểm cực trị của hàm f và nếu tồn tại f (c) thì

f (c) = 0.
Chứng minh. Giả sử f đạt cực đại địa phương tại c ∈ U. Theo định nghĩa
tồn tại δ > 0 sao cho (c − δ, c + δ) ⊂ U và f (c + ∆x) − f (c) ≤ 0 với mọi
c + ∆x − f (c)
∆x có |∆x| < δ. Nếu ∆x > 0 thì
≤ 0, cho ∆x → 0, ∆ > 0
∆x
ta có f (c) ≤ 0.
c + ∆x − f (c)
Nếu ∆x < 0 thì
≥ 0, cho ∆x → 0, ∆ < 0 ta có
∆x
f (c) ≥ 0. Vậy f (c) = 0.
Trong trường hợp f đạt cực tiểu địa phương tại c chứng minh được
tiến hành một cách tương tự.
1.3.2
1.3.3

Đạo hàm cấp cao
Định nghĩa

Giả sử U ⊂ R là tập hợp mở, f : U → R là hàm khả vi trên U. Khi
đó có xác định hàm f : U → R, x → f (x).
Định nghĩa 1.1. Nếu tại x0 ∈ U hàm f : U → R khả vi thì ta gọi đạo
hàm của f tại x0 là đạo hàm cấp hai của hàm f tại x0 và kí hiệu là
f (x0 ) : f (x0 ) = (f ) (x0 ).
Hàm f có đạo hàm cấp hai tại x0 còn gọi là khả vi cấp hai tại đó.
Một cách tổng quát, giả sử tồn tại đạo hàm cấp n − 1 của f trên U,
khi đó có xác định hàm f (n−1) : U → R, x → f (n−1) (x). Nếu hàm f (n−1)
khả vi tại x0 ∈ U thì ta gọi đạo hàm của f (n−1) tại x0 là đạo hàm cấp

n của f tại x0 và kí hiệu là f (n) (x0 ) : f (n) (x0 ) = (f (n−1) ) (x0 ). Hàm f có
15


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

đạo hàm cấp n tại x0 còn gọi là khả vi cấp n tại đó. Đạo hàm của hàm
số f được gọi là đạo hàm cấp một của f.
Ta quy ước đạo hàm cấp không của hàm số f chính là f.

16


Chương 2
Định lí Lagrange và ứng dụng
2.1

Định lí Rolle

Giả sử hàm số f (x) liên tục trên (a; b), có đạo hàm trên [a; b]. Khi
đó, nếu f (a) = f (b), thì tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.
Chứng minh. Vì f (x) liên tục trên [a; b] nên nó đạt giá trị lớn nhất M
và giá trị nhỏ nhất m. Theo định nghĩa tồn tại x1 , x2 ∈ [a; b] sao cho
M = f (x1 )

và

m = f (x2 ).


Rõ ràng, nếu M = m, thì f (x) là hàm hằng. Khi đó f (c) = 0, với
mọi x ∈ (a; b). Trong trường hợp M = m thì f (x) không phải là hàm
hằng, do đó phải có một trong hai điểm x1 , x2 không trùng vào các điểm
đầu mút a hoặc b, chẳng hạn x1 . Điều này dẫn tới a < x1 < b và thế thì
x1 là một điểm cực trị. Theo bổ đề Fecmat, ta có f (x1 ) = 0.

2.2

Định lý Lagrange

Giả sử hàm số f (x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b). Khi

17


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

đó, tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho
f (b) − f (a) = f (c)(b − a).
Chứng minh. Xét hàm số g(x) = x[f (b) − f (a)] − f (x)(b − a). Rõ ràng,
g(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b). Hơn nữa
g(a) = a[f (b) − f (a)] − f (a)(b − a) = af (b) − bf (a),
và
g(b) = b[f (b) − f (a)] − f (b)(b − a) = af (b) − bf (a),
tức là g(b) = g(a). Theo định lý Rolle, tồn tại c ∈ (a; b) sao cho g (c) = 0.
Điều này dẫn tới tồn tại c ∈ (a; b) sao cho
f (b) − f (a) = f (c)(b − a).


Hệ quả 2.1. Giả sử hàm số f (x) liên tục trên [a; b], và có đạo hàm trên
(a; b).
a) Nếu f (x) = 0, với mọi x ∈ (a; b), thì f (x) = c, ở đó c là hằng số
nào đó.
b) Nếu g(x) cũng là một hàm số liên tục trên [a; b], và có đạo hàm trên
(a; b) sao cho
g (x) = f (x), ∀x ∈ [a; b],
thì tồn tại hằng số c sao cho
g(x) = f (x) + c, ∀x ∈ [a; b].

18


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chứng minh.

Bùi Thị Linh

a) Ta cố định phần tử x0 ∈ [a; b]. Với mọi x ∈ [a; b], x =

x0 , tồn tại ξ nằm giữa x và x0 sao cho
f (x) − f (x0 ) = f (ξ)(x − x0 ) = 0,
tức là f (x) = f (x0 ) = c.
b) Áp dụng phần a) cho hàm số h(x) = g(x) − f (x), ta có ngay điều
phải chứng minh.

Theo hệ quả này ta thấy: Hễ F (x) là một hàm số mà đạo hàm của nó
bằng f (x) trên (a; b) hoặc [a; b], thì tất cả các hàm số mà đạo hàm của

nó bằng f (x) trên khoảng hoặc trên đoạn đó đều có dạng là F (x) + C,
ở đó C là hằng số nào đấy. Như vậy, nếu biết một hàm số F (x) mà
F (x) = f (x), thì từ G (x) = f (x), ta suy ra G(x) = F (x) + C.
Ta đi xét các ví dụ sau đây
Ví dụ 2.1.

a) Tìm tất cả các hàm số F (x) sao cho F (x) = tan x.

b) Tìm tất cả các hàm số G(x) sao cho G (x) = cot x.
Lời giải
a) Ta viết
tan x =

(cos x)
sin x
=−
= −(ln | cos x|) .
cos x
cos x

Do đó, tất cả các hàm số cần tìm là F (x) = −(ln | cos x|) + C.
b) Ta có
cot x =

cos x (sin x)
=
= (ln | sin x|) .
sin x
sin x


Do đó, tất cả các hàm số thỏa mãn đề bài là G(x) = ln | sin x| + C
19


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

Ví dụ 2.2. Tìm hàm số F (x) sao cho F (x) = ln x.
Lời giải
Với ý tưởng là làm thế nào để viết được ln x = (?). Để làm được điều
đó ta thường dựa vào công thức tính đạo hàm của một tích, tức là nếu
u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại x, thì
(u.v) = u .v + u.v ,
hay một cách tương đương khác, ta có
u .v = (u.v) − u.v .
Như thế, muốn viết f (x) = (?) , ta viết f (x) thành u .v hoặc u.v , rồi
sử dụng công thức trên để chuyển về công việc tương tự đối với u.v hay
u .v tương ứng. Với ý tưởng đó, ta giải bài toán trên như sau:
Ta có
ln x = (x) ln x = (x) ln x + x.(ln x) − 1 = (x ln x) − (x) = (x ln x − x) .
Vậy tất cả các hàm số cần tìm là
F (x) = x(ln x − 1) + C.
Ví dụ 2.3. Tìm hàm số F (x) sao cho F (x) = x.ex .
Lời giải
Với sự phân tích như ví dụ 2.2, ta viết
x.ex = x(ex ) = x.(ex ) + (x) ex − ex = (xex ) − (ex ) = (xex − ex ) .
Do đó,
F (x) = ex (x − 1) + C.
20



Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

Ví dụ 2.4. Tìm hàm số F (x) sao cho F (x) = (x5 +x4 +x3 +x2 +x+1).ex .
Lời giải
Với ý tưởng như các ví dụ 2.2 và ví dụ 2.3, ta hoàn toàn có thể áp
dụng cho ví dụ này. Tuy nhiên, nếu ta thực hiện theo cách phân tích
trên thì sẽ dài dòng và phức tạp. Bởi vậy, ta muốn tìm cách ngắn gọn
và hiệu quả hơn. Trước hết ta xét hàm số
f (x) = P (x).ex ,
ở đó (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 là một đa thức bậc n. Ta có
[P (x).ex ] = P (x).ex + P (x).(ex ) = [an xn + (an−1 + n.an )xn−1 + ... +
(a1 + 2a2 )x + a0 + a1 ].ex = Q(x).ex .
Rõ ràng, Q(x) là một đa thức bậc n và như vậy, ta thấy đạo hàm của
hàm số P (x).ex vẫn có dạng như thế. Điều này dẫn tới hệ quả là ta có
thể tìm một hàm số có dạng P (x).ex mà đạo hàm của nó bằng Q(x).ex ,
ở đó degP = degQ. Dựa trên ý tưởng đó, ta giải bài toán như sau:
Ta tìm hàm số F (x) có dạng
F (x) = (a5 x5 + a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 ).ex .
Vì F (x) = (x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1).ex nên ta có
a5 x5 + (a4 + 5a5 )x4 + ... + (a1 + 2a2 )x + a0 + a1 = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi

21


Khóa luận tốt nghiệp đại học





a5
=1








a4 + 5a5 = 1






a3 + 4a4 = 1

Bùi Thị Linh

⇔





a5
=1








a4 = −4






a3 = 17



a2 = −50







a1 = 101







a = −100
0




a2 + 3a3 = 1







a1 + 2a2 = 1






a + a = 1
0
1

Vậy tất cả các hàm số cần tìm là

F (x) = (x5 − 4x4 + 17x3 − 50x2 + 101x − 100).ex + C.
Ví dụ 2.5. Tìm hàm số F (x) sao cho F (x) = (2 sin x + 3 cos x).ex .
Lời giải
Trước hết, ta thấy [(2 sin x + 3 cos x).ex ] = (ex ) (a sin x + b cos x) +
ex (a sin x + b cos x) = ex [(a − b) sin x + (a + b) cos x]. Điều này chứng tỏ
đạo hàm của hàm (a sin x + b cos x)ex vẫn có dạng như thế. Do đó, ta có
thể giải bài toán này như sau
Xét hàm số F (x) = ex (a sin x + b cos x). Từ giả thiết F (x) = (2 sin x +
3 cos x).ex , ta suy ra
(a − b) sin x + (a + b) cos x = 2 sin x + 3 cos x.
Đến đây, ta chỉ việc chọn a, b sao cho




a − b = 2
a = 5
2
⇔
1


a + b = 3
b =
2
Khi đó, tất cả các hàm số cần tìm là
ex
F (x) = (5 sin x + cos x) + C.

2
22


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bùi Thị Linh

Ví dụ 2.6. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
[f (x) − f (y)]2 ≤ |x − y|3 ,

∀x, y ∈ R

Lời giải
Từ giả thiết ta có
f (x) − f (y)
≤
y−x

|y − x|, ∀y = x,

do đó,
− |y − x| ≤

f (y) − f (x)
≤
y−x

|y − x|, ∀y = x.


Vì ta có
lim (− |y − x|) = lim ( |y − x|) = 0.

y→x

y→x

Nên ta có
f (y) − f (x)
=0
y→x
y−x
lim

như vậy, hàm số f (x) có đạo hàm tại mọi x ∈ R và f (x) = 0. Điều này
dẫn tới f (x) = c, với c là hằng số.
Ví dụ 2.7. Tìm tất cả các hàm số f : R → R∗+ sao cho
2f 2 (x)
, ∀x ∈ R
f (0) = 1 và f (x) =
1 + f 2 (x)
Lời giải
Theo giả thiết, ta có
f (x) +

f (x)
= 2, ∀x ∈ R.
f 2 (x)

Do đó,

f (x) −

1
f (x) − 2x

23

= 0,