Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
---------------

Lê ngọc hải

định lí Ta-let, định lí pi-ta-go
và áp dụng

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: hình học

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS nguyễn năng tâm

Hà nội, 2012


Bảng kí hiệu

//

Song song



Tơng đơng



Suy ra

Thuộc



Tam giác
Tứ giác

<

Nhỏ hơn

>

Lớn hơn



Lớn hơn hoặc bằng



Giao

A

Góc A
Đồng dạng




Trùng nhau



Vuông góc

Max

Lớn nhất

S ABC

Diện tích tam giác ABC

(gt)

Giả thiết

(đpcm)

Điều phải chứng minh



Điều kiện cần




Điều kiện đủ

(c.g.c)

Cạnh-góc-cạnh

(c.c.c)

Cạnh-cạnh-cạnh

CMR

Chứng minh rằng.


Lời cảm ơn

Do chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc tiến hành nghiên cứu khoa
học nên em không tránh khỏi những bỡ ngỡ và còn nhiều lúng túng. Được sự
chỉ bảo và giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm, cùng các thầy cô
trong khoa toán, các thầy cô trong trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, em đã
nỗ lực hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình. Qua đề tài nghiên cứu em
đã lĩnh hội thêm nhiều kiến thức giúp em tự tin hơn khi đứng trên mục giảng.
Do điều kiện thời gian và tính chất của đề tài chắc chắn sẽ không tránh
khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp của thầy cô và các
bạn sinh viên để khoá luận được hoàn thiện hơn. Qua đây em xin gửi lời cảm
ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ hình, các thầy cô trong khoa, trong
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy Nguyễn Năng Tâm đã tận
tình hướng dẫn em hoàn thiện khoá luận này.

Em xin chân thành cảm ơn!


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan khoá luận này được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực
tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự tận tình giúp đỡ của thầy
Nguyễn Năng Tâm.
Bản khoá luận này không trùng với kết quả của tác giả khác, nếu trùng
tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Rất mong nhận được đóng góp ý kiến của bạn đọc để khoá luận được
hoàn thiện hơn.
Sinh viên
Lê Ngọc Hải


Mục lục

Mở đầu ............................................................................................................ 1
Chương 1. Định lí Talet và Định lí Pitago....................................................... 3
1.1. Định lí Talet ............................................................................................ 3
1.1.1. Đoạn thẳng tỉ lệ ..................................................................................... 3
1.1.2. Các dạng của định lí Talet..................................................................... 3
1.1.2.1. Kiến thức cơ bản ................................................................................ 3
1.1.2.2. Mở rộng của định lí Talet.................................................................... 6
1.2. Định lí Pitago ........................................................................................ 12
1.2.1. Kiến thức cơ bản .................................................................................. 12
1.2.2. Mở rộng ............................................................................................... 15
Chương 2. áp dụng của định lí Pitago và định li Talet ................................... 17
2.1.áp dụng của định lí Talet trong giải toán ................................................. 17

2.1.1. Định lí Talet với bài toán tính toán ....................................................... 17
2.1.2. Định lí Talet với bài toán chứng minh................................................... 22
2.1.3. áp dụng bổ đề hình thang và đường thẳng đồng qui vào việc giải toán ........27
2.1.4. Định lí Talet với bài toán họ các đường thẳng đi qua điểm cố định ..... 32
2.1.5. Định lí Talet với bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất................. 36
2.1.6. Định lí Talet với bài toán vê diện tích ................................................... 42
2.2. áp dụng của định lí Pitago trong giải toán .............................................. 47
2.2.1. Định lí Pitago với bài toán tính toán ..................................................... 47
2.2.2. Định lí Pitago với bài toán chứng minh ................................................ 51
2.2.3. Định lí Pitago với bài toán nhận dạng tam giác .................................... 55
Kết luận ........................................................................................................... 58
Tài liệu tham khảo........................................................................................... 59


Mở đầu

1. Lí do chọn đề tài

Hình học là một bộ phận cấu thành nên toán học, đây là một môn học
thú vị nhưng tương đối khó với học sinh.
Trong chương trình môn học ở trung học cơ sở chúng em đã được học
về định lí Talet và định lí Pitago. Nó được dùng để chứng minh các đường
thẳng song song, suy ra các tỉ lệ thức bằng nhau, nhận dạng tam giác

lên bậc

trung học phổ thông thì hai định lí này được tiếp tục mở rộng trong không
gian. Hai định lí này sẽ theo suốt học sinh trong quá trình học phổ thông.
Định lí Talet và định lí Pitago ứng dụng rất nhiều để giải quyết các bài
toán. Nhờ có hai định lí này mà các bài toán như chứng minh tính song song,

các tỉ lệ thức bằng nhau, nhận dạng tam giác, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất hay
các bài toán về diện tích

nói chung được giải quyết một cách dễ dàng.

Với mong muốn trên, được sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm em
đã mạnh dạn chọn đề tài Định lí Talet, định lí Pitago và áp dụng .
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Qua các dạng toán, các ví dụ tham khảo mẫu sẽ cho học sinh thấy được
tầm quan trọng của việc áp dụng định lí Talet và định lí Pitago trong lời giải
các bài tập hình học. Giúp học sinh coi đây là kết quả tốt, dùng một cách rất
hữu hiệu trong việc giải toán.

1


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là định lí Talet, định lí Pitago và cách áp dụng
chúng vào việc giải bài tập hình học.
Do khuân khổ thời gian có hạn, đề tài chỉ đề cập tới vấn đề áp dụng hai
định lí trên để giải quyết các bài toán hình học phẳng với đối tượng là học sinh
phổ thông.

2


Ch­¬ng 1
ĐỊNH L TALET V ĐỊNH L PITAGO

1.1. Định lÝ Talet

1.1.1. Đoạn thẳng tỉ lệ
Hai đoạn thẳng AB v

C ' D ' nếu cã tỉ lệ thức:

tỉ lệ với hai đoạn thẳng A ' B ' v

CD gọi l

AB A ' B '
AB
CD
hay



CD C ' D '
A' B ' C ' D '

1.1.2. C¸c dạng của định lÝ Talet
1.1.2.1. Kiến thức cơ bản
Định lÝ Talet
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam gi¸c v

cắt hai

cạnh cßn lại th× nã định ra trªn hai cạnh đã những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
(h×nh 1).
A


a

N

M

C

B

(H×nh 1)
Chøng minh:

3


Cho ABC có MN // BC ( M AB, N AC )
S ACM
S ABC

S ABN
S ABC



AM
AB

(1)




AN
AC

(2)

Mà S ACM S AMN S CMN

(3)

và S ABN S AMN S BMN

(4)

Mặt khác do MNCB là hình thang nên dễ dàng chứng minh
(5)
S CMN S BMN
Từ

(3),

(4)

và

(5)

S ACM S ABN


cho:
(6)

Từ (1), (2) và (6) cho:

AM AN

AB AC

(đpcm)

nh lí o Talet
Nu mt ng thng ct hai cnh ca mt tam giác v

nh ra trên

hai cnh ó nhng on thng tng ứng t l thì ng thng ó song song
vi cnh còn li ca tam giác (hình 1).
Chứng minh:
Giả sử ta có tam giác ABC.
Các điểm M, N định ra trên 2 cạnh AB và AC những đoạn thẳng tương ứng tỉ
lệ
AM AN

AB AC

(1)

Trên AC lấy điểm N ' sao cho MN '/ /BC
Theo định lí Talet, ta có:

Từ (1) và (2) suy ra

AM AN '

AB AC

(2)

AN ' AN

AC AC

4


(®pcm).

 AN '  AN  N '  N  MN / /BC

Trªn h×nh 1: Cho tam gi¸c ABC
 AM AN
 MB  NC

AM AN
a//BC  

 AB AC
 BM CN



 AB AC

Hệ quả
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam gi¸c v

song song với

cạnh cßn lại th× nã tạo th nh mét tam gi¸c cã ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba
cạnh của tam gi¸c ®· cho (h×nh 2).
Chøng minh:
A

B'

B

C'

C

D

(h×nh 2)
V× B 'C '/ /BC, nªn theo ®Þnh lÝ Talet ta cã:

AB ' AC'

AB AC

(1)


Tõ C ' kÎ C ' D / /AB ( D  BC ), theo ®Þnh lÝ Talet ta cã:
AC ' BD

AC BC

5

(2)


Tứ giác B 'C ' DB là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối song song) nên ta
có:
B 'C ' BD

Từ (1) và (2) thay BD bằng B 'C ', ta có:
AB ' AC ' B 'C '


AB AC
BC

(đpcm)

Chú ý:
H qu trên vn úng nu ng thng a song song vi mt cnh v
ct hai ng thng cha hai cnh kia (hình 3a, 3b).

A


C

B
B'

C'

(hình 3a)

(hình 3b)

T hình 3b ta có:
ABC ; a//BC

AM AN MN


AB AC BC

1.1.2.2. M rng ca nh lí Talet
nh lí Talet tng quát (Bùi văn Tuyên, 2010, Bài tập nâng cao và một số
chuyên đề toán 8).
Nhiu ng thng song song nh ra trên hai cát tuyn bt kì các cp
oạn thng t l.

6


(hình 4)
Trên hình 4:

a//b//c

AB A ' B '


BC B ' C '

nh lí v chùm ng thng ng qui (Bùi văn Tuyên, 2010, Bài tập nâng
cao và một số chuyên đề toán 8).
Nu các ng thng ng qui ct hai ng thng song song thì
chúng nh ra trên hai ng thng song song y các cp on thẳng tng
ng t l.

(hình 5a)

(hình 5b)

Trong hình 5a, hình 5b:
Có AA ' , BB ' , CC ' ng qui ti O, và m // m ' .

7


BC
AC
 AB
 A ' B '  B 'C '  A 'C '
 
 AB  A ' B '
 BC B ' C '


Định lÝ trªn cã hai định lÝ đảo
Một định lÝ đảo cho ta một c¸ch chứng minh hai đường thẳng song
song.
Một định lÝ đảo cho ta một c¸ch chứng ba đường thẳng đồng qui, chẳng
hạn: Nếu ba đường thẳng, trong đã cã hai đường thẳng cắt nhau, định ra trªn
hai đường thẳng song song c¸c cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ th× ba đường
thẳng đã đồng qui.

Bổ đề h×nh thang
Trong h×nh thang cã hai đ¸y kh«ng bằng nhau, giao điểm của hai đường
thẳng chứa hai cạnh bªn, giao điểm của hai đường chÐo v

trung điểm của

hai đ¸y nằm trªn một đường thẳng.

(h×nh 6)
Chøng minh:
Cho h×nh thang ABCD ( AB//CD, AB
AC  BD  O ; AD  BC  K ; MA=MB ( M  AB ); NC=ND ( N  CD )
khi đã: K, M, O, N thẳng h ng.

8


AM MB
(do MA=MB; NC=ND),

DN NC

Tht vy, vì AB//CD, AD BC K v

nên theo nh lí phn chùm ng thng ng qui ta c AD, BC, MN ng
qui ti K.
M, N, K thng h ng.

(1)

Tng t ta có AC, BD, MN ng qui ti O
M, N, O thng h ng.

(2)

T (1) v (2) M, N, O, K thng h ng.

nh lí Mê-nê-la-uýt
Cho tam giác ABC v

3 im A ' , B ' , C ' ln lt nm trên các ng

thng BC, CA, AB ( A ' , B ' , C ' không trùng vi các nh ca tam giác sao cho
trong 3 im ó có úng 1 im hoặc c 3 im nm ngo i tam giác)(hình 7).
Khi ó ta có:
A ' , B ' , C ' thng h ng

A ' B B 'C C ' A

1
A 'C B ' A C ' B

(*)

Chứng minh:
A

B1
C'
A1

B'
C1

B

Giả sử

C

A'

A ', B ', C ' tương ứng thuộc BC, CA, AB thẳng hàng thì ta

có hệ thức (*)

9

Thật vậy, lần lượt kẻ các đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 cùng vuông góc với
các đường thẳng chứa A ', B ', C '.
Dễ thấy:

A' B BB1 B 'C CC1 C ' A AA1
;
;



A'C CC1 B ' A AA1 C ' B BB1

Nhân vế với vế các đẳng thức trên với nhau rồi ước lược các đại lượng cần
thiết, ta có:
A ' B B 'C C ' A


1.
A 'C B ' A C ' B

Nếu có

(đpcm)

A ' B B 'C C ' A


1 thì A', B ', C ' thẳng hàng.
A 'C B ' A C ' B
A

B'
C'
A'
C

B

(hình 7)
Trường hợp có hai điểm trong, một điểm ngoài thì đường thẳng nối
điểm trong và điểm ngoài luôn cắt cạnh thứ 3 bởi điểm trong cạnh đó.
Trường hợp không có điểm nào trong các cạnh của tam giác; có thể
chứng minh rằng: đường thẳng nối hai điểm, chẳng hạn A ' B ', phải cắt AB (vì
nếu không đẳng thức (*) không xảy ra).
Vậy không làm mất tính tổng quát ta giả sử A' B ' AB C '1
Theo phần thuận ta có:
A ' B B ' C C '1 A


1
A ' C B ' A C '1 B

Mà theo giả thiết có:

10


A ' B B 'C C ' A


1

A 'C B ' A C ' B

Suy ra:
C '1 A C ' A

C '1 B C ' B
C '1 C '

Vậy A ', B ', C ' thẳng hàng (đpcm).

nh lí Xê-Va
Cho tam giác ABC v 3 im A ' , B ' , C ' ln lt nm trên 3 cnh BC, CA, AB
( A ' , B ' , C ' không trùng vi các nh ca tam giác). Khi ó ta có:
AA ' , BB ' , CC ' ng qui

A' B B 'C C ' A


1
A'C B ' A C ' B

(hình 8).

(hình 8)
Chứng minh:

Giả sử AA' BB ' CC ' I
Theo định lí Mênêlauyt xét trong tam giác ABA' có: C ', I, C thẳng hàng, nên

CB IA' C ' A

1
CA' IA C ' B

(1)

Trong tam giác A ' AC có B, I, B ' thẳng hàng, nên
BA' IA B 'C


1
BC IA' B ' A

11

(2)


Nhân vế với vế của (1) và (2) rồi ước lược các đại lượng cần thiết ta có:

BA' B 'C C ' A


1
CA' B ' A C ' B


Giả sử:

A ' B B 'C C ' A


1
A 'C B ' A C ' B

(đpcm)

A' B B 'C C ' A


1,
A'C B ' A C ' B

Và AA ', BB ', CC ' không song song.
Chẳng hạn có AA' BB ' I, ta dễ dàng chứng minh CI luôn cắt AB.
Giả sử CI AB C '1
A' B B 'C C '1 A


1
A'C B ' A C '1 B

Theo phần thuận ta có:



C '1 A C ' A

C '1 B C ' B

C '1 C ' (đpcm).

1.2. Định lí Pitago
1.2.1 Kiến thức cơ bản
Định lí Pitago
Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương
hai cạnh góc vuông (hình 9).
A

B

C

H

(hình 9)

12


Chứng minh:
Giả sử tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AC=b, AB=c, bc=a,
b ' HC và c' BH.

Xét hai tam giác vuông AHC và BAC.
Hai tam giác vuông này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau.
Do đó:

HC AC

AC BC

Suy ra b 2 a.b'.
Tương tự, ta có c2 a.c' .
Vậy,
b 2 c2 ab ' ac'
a(b ' c') a.a a 2

(đpcm).

Định lí Pitago đảo
Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai
cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông (hình 9).
Chứng minh:
Cho tam giác ABC, giả sử a 2 b 2 c2
h 2 b '2 b 2
Ta có: 2
theo chứng minh thuận
h c'2 c2

b 2 c2 2h 2 b '2 c'2

2h 2 2b ' c' (b' c')2
2h 2 2b' c' a 2

2h 2 2b' c' h 2 b ' c'
AH 2 HC.BH
vuông AHB

AH HC

BH AH

vuông CHA

13


C A1 .

Mặt khác: B A1 90 0 B C 900

ABC vuông tại A.
Hệ quả
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần
lượt bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai
tam giác đó bằng nhau (gọi tắt là trường hợp cạnh huyền-cạnh góc vuông).
Chứng minh:
E

B

A

C

D

F

Đặt BC EF a, AC DF b
Xét ABC vuông tại A, theo định lí Pitago ta có AB 2 AC 2 BC 2 nên:
AB 2 BC 2 AC 2 a 2 b 2

(1)

Xét DEF vuông tại D, theo định lí Pitago ta có DE 2 DF 2 EF 2 nên:
DE 2 EF 2 DF 2 a 2 b 2

Từ (1) và (2) suy ra AB 2 DE 2 nên AB DE .
Tư đó suy ra ABC DEF (c.c.c)

14

(2)


1.2.2. Mở rộng của định lí Pitago
Tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a thì cạnh góc vuông bằng
a 2.

Khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng toạ độ (hình 10).
A x1 ,y1 ; B x 2 ,y 2
2

AB 2 x 2 x1 y 2 y1
AB

2

2

x 2 x1 y 2 y 1

2

(hình 10)
Thí dụ
Cho ABC có AB=24, AC=32, BC=40. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho
AM=7.
CMR: a, ABC vuông.
b, ABM 2C .
Lời giải
A
M

1

C

B

15


a, ABC có AB 2 AC 2 24 2 32 2 1600
Mà BC 2 1600 , nên AB 2 AC 2 BC 2 .
Suy ra ABC vuông tại A (Định lí Pitago đảo).
b, áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AMB, ta có:

BM 2 AB 2 AM 2 24 2 72 625

BM 625 25

Mặt khác, MC=AC-AM=32-7=25. Vậy MB=MC
MBC cân tại M, do đó B1 C .

Mà AMB B1 C (tính chất góc ngoài của MBC )
Hay AMB 2C .
Nhận xét
Nhờ có định lí Pitago mà ta có thể tính được một cạnh của tam giác
vuông khi biết một cạnh còn lại.
Định lí Pitago đảo cho ta một cách chứng minh hai đường thẳng vuông
góc.
Bộ 3 số nguyên tố Pitago
(3; 4; 5)

(5; 12; 13)

(7; 24; 25)

(8; 15; 17)

(9; 40; 41)

(11; 60; 61)

(12; 35; 37)

(13; 84; 85)

(16; 63; 65)

(20; 21; 29)

(28; 45; 53)

(33; 56; 65)

(36; 77; 85)

(39; 80; 89)

(48; 55; 73)

(65; 72; 97)

16


Chương 2

áp dụng của định lí talet và định lí pitago

2.1. áp dụng của định lí Talet vào giải toán
2.1.1. Định lí Talet với bài toán tính toán
Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai đường chéo AC và BD cắt
nhau tại O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Cho biết:
MD=3MO, đáy CD=5,6.
Tính độ dài của đoạn thẳng MN và AB?

Lời giải

Gọi E là trung điểm của BC
+ Xét BDC có

BM BE

1
MD EC

Theo định lí đảo Talet ta suy ra: ME//CD
+ Xét ABC có

(1)

CN CE

1
NA EB

Theo định lí đảo Talet ta suy ra: NE//AB

(2)

Mà AB//CD NE//CD

(3)

17

Từ (1) và (3) E, N, M thẳng hàng
MN//CD.

+ Xét OCD có MN//CD, theo hệ quả của định lí Talet ta có:

MN OM
5,6
MN 1

MN

1, 4
CD OD
4
5,6 4
Do MN//AB, theo hệ quả của định lí Talet ta có:

MN OM
OM
OM
1




AB OB BM MO 3OM MO 2
AM 2MN 2.1,4 2,8

Vậy MN 1, 4 ; AB 2,8 .

Bài2: Qua trọng tâm G của tam giác ABC, kẻ đường song song với AC cắt AB
và BC lần lượt tại D và E. Tính độ dài đoạn DE, biết AD EC 16 (cm), chu
vi của tam giác ABC bằng 7(cm).
Lời giải

Gọi K là trung điểm của AC
Do G là trọng tâm của ABC

KG 1

KB 3

+ Xét ABC có DE//AC, theo định lí Talet ta có:

18


AD CE

AB BC

(1)

+ Xét ABK có DG//AK, theo định lí Talet ta có:
AD GK

AB BK

Từ (1) và (2)

(2)

AD CE GK 1



AB BC BK 3

AD CE 1

AB BC 3

Do AD CE 16 (cm) AB BC 3.16 48

(AB BC AC) AC 48
75 AC 48 AC 27 (cm)

+ Xét ABC có DE//AC, theo hệ quả của định lí Talet ta có:
DE BD

AC AB

(3)

+ Xét ABK có DG//AK, theo định lí Talet ta có:

BD BG 2

AB BK 3
Từ (3) và (4)

(4)

DE 2

AC 3

2
2
DE AC 27 18 (cm)
3
3

Vậy DE 18 (cm).
Bài 3: Cho ABC có AB 4(cm) ; AC 4,5(cm) . Trên AB và CD lấy các
điểm M, N sao cho AM AN 3(cm) . Gọi O là giao điểm của BN và CM .
Tính

OB OC

?
ON OM

Lời giải

19

Kẻ ND//AB ( D CM )
+ Xét AMC có ND//AM, theo hệ quả của định lí Talet ta có:
ND CN
ND 1,5
hay

ND 1(cm)

AM AC
3
4,5

+ Ta có ND//AM, theo định lí Talet ta có:
MO BO BM


1
OD ON DN

(1)

+ Ta có ND//AM, theo hệ quả của định lí Talet ta có:
MD AN
3


MD 2CD
CM NC 1,5

Mà theo (1) ta có: MO OD

(3)

Từ (2) và (3) ta có OM OD CD
Từ (1) và (4)
Vậy

(2)

OC
2
OM

(4)

OB OC

1 2 3
ON OM

OB OC

3.
ON OM

Bài 4: Cho ABC , M là điểm bất kì trong tam giác, các đường MA, MB, MC
theo thứ tự cắt các cạnh BC, CA, AB tại A1 , B1 , C1 .
Tính:

MA1 MB1 MC1
?


AA1 BB1 CC1

20