LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng – Người
thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khóa
luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong
tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm
Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành
bài khóa luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời
gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học
cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy,
em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Dương Thị Huế


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập
và nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo
trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS.Trần Văn
Bằng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham
khảo một số tài liệu ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Định lí Hille - Yosida”
không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Dương Thị Huế


Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Định nghĩa không gian định chuẩn và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Toán tử tuyến tính trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3. Không gian liên hợp, toán tử liên hợp trong không gian Banach . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4. Cơ sở trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


10

1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn và không bị chặn. . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.1. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2. Toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 2. ĐỊNH LÍ HILLE - YOSIDA. . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1. Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2. Định lý Hille - Yosida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

du
+ Au = 0 trên [0, +∞], u(0) = u0 . Sự tồn tại
dt

và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1. Nghiệm của bài toán tiến hoá

2.2.2. Tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.3. Trường hợp tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

1


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Ai cũng biết rằng Toán học là ngành khoa học vua, bởi lẽ ứng dụng
của nó trong đời sống phục vụ con người là vô hạn. Toán học có nội
dung vô cùng phong phú và đa dạng. Vì thế mỗi một người chỉ có thể
đi sâu nghiên cứu vào một số lĩnh vực Toán học mà thôi.
Trong Toán học chúng ta gặp rất nhiều vấn đề liên quan đến việc giải

các phương trình: phương trình đại số, phương trình vi phân thường,
phương trình đạo hàm riêng với điều kiện biên, phương trình tích phân,
. . . , trong đó các phương trình tuyến tính chiếm một vị trí đặc biệt quan
trọng.
Mỗi bài toán về phương trình có những đặc điểm và cách giải riêng.
Tuy nhiên, chúng ta nhận thấy rằng trong cách xử lí tất cả các bài toán
đó có những phương pháp cơ bản giống hệt nhau và có những vấn đề
tuy hình thức khác nhau nhưng thực chất chỉ là một. Mặt khác, trong
tư duy toán học chúng ta thường không chỉ quan tâm đến một phương
trình đơn độc mà phải chú ý cả một lớp phương trình và nghiệm của
chúng (chẳng hạn, khi nghiên cứu sự phụ thuộc của nghiệm một bài toán
biên đối với vế phải của phương trình hay đối với các điều kiện biên).
Do đó, cần phải khái quát các tình huống cụ thể thành một lí thuyết
trừu tượng, để có cách nhìn mới bao quát được, theo một quan điểm

2


nhất quán nhiều sự kiện riêng lẻ, đồng thời xây dựng những công cụ
chung, có khả năng xử lí cùng một lúc hàng loạt bài toán liên quan đến
các lớp phương trình trong những lĩnh vực khác nhau.
Là một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán với mong muốn được
tìm hiểu sâu hơn bộ môn này và được sự hướng dẫn tận tình của thầy
Trần Văn Bằng em đã chọn đề tài “Định lí Hille - Yosida”. Nghiên
cứu đề tài này, chúng ta có thêm những hiểu biết về Định lí Hille - Yosida,
các dạng của bài toán tiến hóa và nghiệm của chúng . . . .

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Bước đầu tìm hiểu và nghiên cứu sâu về Định lí Hille – Yosida.


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về định nghĩa và tính chất của toán tử đơn điệu cực đại,
nghiệm của bài toán tiến hóa và sự tồn tại, duy nhất nghiệm của bài
toán.

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu tham khảo. Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các
khái niệm, tính chất.

3


5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp
gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Định lí Hille – Yosida.

4


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian Banach
1.1.1. Định nghĩa không gian định chuẩn và ví dụ
Định nghĩa 1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường F cùng với
một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa
mãn các tiên đề sau đây:
(a) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ),

(b) (∀x ∈ X) (∀α ∈ F ) αx = |α| x ,
(c) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y .
Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn
là X.
Định nghĩa 1.2. Giả sử X là không gian định chuẩn.
(a) Dãy điểm {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ
tới điểm x ∈ X, nếu lim

n→∞

x − xn = 0. Nghĩa là:

∀ε > 0, ∃N > 0, ∀n ≥ N, x − xn < ε.
Khi đó ta viết xn → x hay lim xn = x.
n→∞

(b) Dãy điểm {xn } trong không gian tuyến tính định chuẩn X gọi là
5


dãy Cauchy nếu lim

m,n→∞

xm − xn = 0. Nghĩa là:

∀ε > 0, ∃N > 0, ∀m, n ≥ N, xm − xn < ε.
Dễ dàng chỉ ra rằng mọi dãy hội tụ trong không gian tuyến tính định
chuẩn là dãy Cauchy. Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng.
Ta nói rằng X là không gian đầy nếu nó thỏa mãn mọi dãy Cauchy đều

hội tụ. Không gian tuyến tính định chuẩn đầy được gọi là không gian
Banach.
Định nghĩa 1.3. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.4. Cho không gian định chuẩn X và . 1 , .
chuẩn trên X. Hai chuẩn .

1

và .

2

là hai

được gọi là tương đương nếu tồn

2

tại hai số dương α, β sao cho:
α x

1

≤ x

Định lý 1.1. Nếu . 1 , .

2


2

≤ β x 1 , ∀x ∈ X.

là tương đương thì cùng xác định một sự

hội tụ với một dãy bất kì, nghĩa là:
lim x − xn

n→∞

1

= 0. ⇔ lim x − xn
n→∞

2

= 0.

Định nghĩa 1.5. Dãy điểm {xn } trong không gian Banach X gọi là
dãy:
(a) bị chặn dưới nếu inf xn > 0,
(b) bị chặn trên nếu sup xn < ∞,
(c) chuẩn hóa nếu xn = 1, ∀n.
6


Định nghĩa 1.6. (a) Tập E ⊂ X được gọi là trù mật trong X nếu
E = X.

(b) Không gian định chuẩn X gọi là không gian tách được nếu tồn
tại một tập đếm được, trù mật trong X.
Ví dụ 1.1. Một số không gian Banach thường dùng
(a). Giả sử E ⊂ R.
(a1 ). Với 1 ≤ p < ∞, kí hiệu


p
L (E) = f : E → C |


E



p
|f (x)| dx < ∞


thì Lp (E) là không gian Banach với chuẩn

f

Lp

p

1

p


|f (x)| dx .

=
E

(a2 ). Với p = ∞, kí hiệu
L∞ (E) = f : E → C |f bị chặn hầu khắp nơi trên E
thì L∞ (E) là không gian Banach với chuẩn
f

L∞

= esssup |f (x)| = inf M ≥ 0 : |f (x)| ≤ M hầu khắp nơi .
x∈E

(Hàm f được gọi là bị chặn hầu khắp nơi trên E nếu tồn tại M > 0 sao
cho tập Z = {x ∈ X : |f (x)| > M } có độ đo lebegue bằng không.)
(b). Kí hiệu c = (c1 ) = (cn )p n=1 là chuỗi các vô hướng.
|cn |p < ∞} thì lp là

(b1 ). Với 1 ≤ p < ∞, kí hiệu lp = {c = (cn ) :
không gian Banach với chuẩn
c

lp

= (cn )

lp


=

7

p

|cn |

1
p

.


(b2 ). Với p = ∞, kí hiệu l∞ = c = (cn ) là hàm bị chặn thì l∞ là
không gian Banach với chuẩn
c

l∞

= (cn )

l∞

= (sup |cn |) .

1.1.2. Toán tử tuyến tính trong không gian Banach
Định nghĩa 1.7. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y
trên trường F . Một ánh xạ T : X → F được gọi là một toán tử.

Nếu Y = F thì toán tử T : X → F được gọi là một phiếm hàm trên
X.
Ta viết T x hay T (x) để kí hiệu ảnh hưởng của phần tử x qua toán
tử T .
Định nghĩa 1.8. Cho hai không gian định chuẩn X và Y trên trường
F , T : X → Y là một toán tử.
(a) T tuyến tính nếu T (ax + by) = aT x + bT y, ∀a, b ∈ F, ∀x, y ∈ X.
(b) T là đơn ánh hay 1-1, nếu T x = T y khi và chỉ khi x = y.
(c) Ảnh hay miền giá trị của T kí hiệu là
Range (T ) = T (X) = {T x : x ∈ X} .
(d) T là toàn ánh hay lên nếu Range (T ) = Y .
(e) T là song ánh nếu T là đơn ánh và toàn ánh.
(f) T liên tục nếu xn → x trong X kéo theo T (xn ) → T (x) trong F .
(g) Chuẩn của toán tử tuyến tính, hay đơn giản chuẩn của toán tử T
là
T = sup
x

x =1

8

|T x y .


T bị chặn nếu T < ∞.
(h) T bảo toàn chuẩn hay đẳng cự nếu T (x)

Y


= x

X , ∀x

∈ X.

Định lý 1.2. Giả sử T : X → Y là toán tử tuyến tính ánh xạ không
gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó:
T liên tục ⇔ T bị chặn.
Kí hiệu 1.1
• x∗ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.
• Tác động của x∗ lên x bởi kí hiệu
x, x∗ = x∗ (x) .
• x∗ tuyến tính nếu ∀a, b ∈ F , ∀x, y ∈ X
ax + by, x∗ = a x, x∗ + b y, x∗ .
• x∗ liên tục nếu lim xn = x thì lim xn , x∗ = x, x∗ .
n→∞

n→∞

• x∗ = sup | x, x∗ | .
x

x =1

1.1.3. Không gian liên hợp, toán tử liên hợp trong không gian
Banach
Định nghĩa 1.9. Cho X là không gian định chuẩn trên trường F . Ta
gọi không gian X ∗ các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian
X là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của không gian X.

Định lý 1.3. Nếu X là không gian định chuẩn thì không gian đồi ngẫu
X ∗ là không gian Banach với chuẩn
x∗

X∗

= sup | x, x∗ | .
x

X =1

9


Định lý 1.4. Giả sử X là không gian Banach và x ∈ X. Khi đó, ∀x ∈ X
x

X

=

sup
x∗

| x, x∗ | .

X ∗ =1

Định nghĩa 1.10. Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn,
S là toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y . Toán tử S ∗ : Y ∗ → X ∗ xác

định bởi S ∗ y ∗ = y ∗ ◦ S, y ∗ ∈ Y ∗ , nghĩa là
x, S ∗ y ∗ = Sx, y ∗ , ∀x ∈ X

(1.1)

gọi là toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính bị chặn S.
Dễ thấy S ∗ tuyến tính và với mọi y ∗ ∈ Y ∗ ta có
|(S ∗ y ∗ ) x| = | Sx, y ∗ | ≤ y ∗ . S . x , ∀x ∈ X.
Do đó, S ∗ y ∗ ≤ S

y ∗ . Vậy S ∗ là một toán tử tuyến tính bị chặn.

1.1.4. Cơ sở trong không gian Banach
Định nghĩa 1.11. Giả sử {xn } là dãy điểm trong không gian Banach
X.
(a) Chuỗi

xn hội tụ và có tổng bằng x ∈ X nếu dãy tổng riêng
N

{Sn } với Sn =

xn hội tụ tới x theo chuẩn trong X. Nghĩa là:
n=1
N

∀ε > 0, ∃N0 > 0, ∀N ≥ N0 , x − Sn = x −

xn < ε.
n=1


(b) Chuỗi

xn là chuỗi Cauchy nếu dãy tổng riêng {Sn } là dãy

Cauchy trong X. Nghĩa là:
N

∀ε > 0, ∃N0 > 0, ∀N, M ≥ N0 , xm − Sn = xm −

xn < ε.
n=1

10


Định nghĩa 1.12. Giả sử X là không gian Banach. Dãy {xn } trong
không gian Banach X được gọi là cơ sở của không gian Banach X nếu
với mọi x ∈ X, tồn tại duy nhất các vô hướng an (x) sao cho
an (x) xn .

x=

(1.2)

n

Kí hiệu 1.2. Các hệ số an (x) được định nghĩa ở (1.2) là các phiếm
hàm tuyến tính của x. Hơn nữa chúng được xác định duy nhất bởi cơ
sở, nghĩa là với mỗi cơ sở {xn } xác định duy nhất tập các phiếm hàm

tuyến tính an : X → F .
Do đó ta gọi {an } là dãy các phiếm hàm hệ số liên kết. Khi cần chỉ rõ
cơ sở và phiếm hàm hệ số liên kết ta sẽ viết ({xn } , {an }) là cơ sở.
Định nghĩa 1.13. Giả sử X là không gian Banach, có cơ sở là ({xn } , {an }).
N

Ta gọi Sn : X → X xác định bởi Sn x =

an (x) xn là phép chiếu tự
n=1

nhiên (hay toán tử tổng riêng), tương ứng với cơ sở ({xn } , {an }).
Định lý 1.5. Giả sử ({xn } , {an }) là cơ sở của không gian Banach X.
Khi đó ta có:
(a) sup SN x < ∞, ∀x ∈ X.
(b) C = sup SN < ∞.
(c) | x | = sup SN x tạo thành chuẩn trên X tương đương với chuẩn
ban đầu . trên X thỏa mãn:
. ≤| . |≤C . .
Số C = sup SN , ∀N ≥ 1, trong định lí trên được gọi là hằng số cơ sở.
Hằng số C phụ thuộc vào chuẩn xác định trên X.
11


Định nghĩa 1.14. Ta gọi một phép đồng phôi tuyến tính giữa không
gian Banach X và không gian Banach Y là một song ánh tuyến tính
T : X → Y liên tục.
Định lý 1.6. Các cơ sở được bảo toàn qua phép đồng phôi tuyến tính.
Nghĩa là: Nếu {xn } là cơ sở của không gian Banach X và S : X → Y là
một phép đồng phôi tuyến tính thì {Sxn } là cơ sở của Y .

Định nghĩa 1.15. Giả sử {xn } là dãy điểm trong không gian tuyến tính
định chuẩn X.
(a) Bao tuyến tính hữu hạn của dãy {xn } là tập hợp tất cả các tổ
hợp tuyến tính các phần tử của dãy {xn }. Kí hiệu
N

span {xn } =

cn xn : ∀N > 0, ∀cn > 0 .
n=1

(b) Bao đóng tuyến tính hữu hạn của dãy {xn } là tập đóng nhỏ nhất
trong X của bao tuyến tính hữu hạn và được kí hiệu là span {xn }.
(c) Dãy {xn } là đầy trong X nếu span {xn } = X hay span {xn } trù
mật trong X.
Định lý 1.7. Giả sử {xn } là dãy trong không gian Banach X. Khi đó
các mệnh đề sau tương đương:
(a) Dãy {xn } là cơ sở của X.
(b) Dãy {xn } là đầy, xn = 0 ∀n và ∃C ≥ 1 sao cho
M

∀N ≥ M, ∀c1 , ..., cN ,

N

cn x n ≤ C
n=1

12


cn xn .
n=1


1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn và không bị chặn
1.2.1. Toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.16. (toán tử tuyến tính) Cho hai không gian tuyến tính
bất kì X và Y trên trường P (P = R (C)). Một ánh xạ A:X → Y gọi là
ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu:
(a) A (x1 + x2 ) = A (x1 ) + A (x2 )

∀x1 , x2 ∈ X.

(b) A (αx) = αAx ∀α, x ∈ X.
Điều kiện tương đương:
A (α1 x1 + · · · + αk xk ) = α1 Ax1 + · · · + αk Axk
với ∀x1 , ..., xk ∈ X và với mọi số α1 , ..., αk .
Nếu X = Y thì ta nói A là một toán tử trong X.
Định nghĩa 1.17. (toán tử liên tục) Giả sử X và Y là hai không gian
định chuẩn. Toán tử A : X → Y gọi là liên tục nếu xn → x0 thì
Axn → Ax0 .
Định nghĩa 1.18. (toán tử tuyến tính bị chặn) Toán tử A : X → Y gọi
là bị chặn nếu có một hằng số C > 0 để với ∀x ∈ X
Ax ≤ C x .

(1.3)

Định nghĩa 1.19. (chuẩn của toán tử tuyến tính) Cho A là toán tử bị
chặn từ X vào Y (X, Y là hai không gian định chuẩn). Hằng số C > 0
nhỏ nhất thỏa mãn (1.3) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là A .

Từ định nghĩa ta thấy chuẩn của toán tử có các tính chất sau:
13


1) ∀x ∈ X : Ax ≤ A . x .
2) ∀ε > 0, ∃xε ∈ X : ( A − ε) xε < Aε .
Định lý 1.8. (định lí 3 mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính liên
tục) Cho A là toán tử tuyến tính từ X vào Y (X, Y là hai không gian
định chuẩn). Khi đó 3 mệnh đề sau tương đương:
1) A liên tục.
2) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X.
3) A bị chặn.
Định lý 1.9. (định lí chuẩn của toán tử) Cho toán tử tuyến tính A từ
không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Nếu toán tử A
bị chặn thì:
A = sup

Ax

(1.4)

Ax .

(1.5)

x ≤1

hay
A = sup
x =1


Định nghĩa 1.20. (toán tử liên hợp) Cho toán tử tuyến tính bị chặn A
ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Toán tử B ánh
xạ không gian Hilbert Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với
toán tử A nếu:
(Ax, y) = (x, By) , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A∗ .
Định nghĩa 1.21. (toán tử tự liên hợp) Toán tử tuyến tính bị chặn A
ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu:
(Ax, y) = (x, Ay) , ∀x, y ∈ H.
14


*Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn:
Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu L (X, Y ) là tập hợp
tất cả các toán tử tuyến tính. Tổng của hai toán tử A, B ∈ L (X, Y ) là
toán tử, kí hiệu A + B xác định bằng hệ thức:
(A + B) (x) = Ax + Bx,

∀x ∈ X.

Tích vô hướng α ∈ P với toán tử A ∈ L (X, Y ) là toán tử, kí hiệu αA,
xác định bằng hệ thức:
(αA) (x) = α (Ax) .
Ta thấy A, B ∈ L (X, Y ), αA ∈ L (X, Y ) và hai phép toán trên đây thỏa
mãn hệ tiên đề tuyến tính. Tập L (X, Y ) trở thành một không gian tuyến
tính trên trường P .
Với toán tử bất kì A ∈ L (X, Y ) ta đặt:
A = sup


Ax .

(1.6)

x ≤1

Ta thấy công thức (1.6) thỏa mãn hệ tiên đề chuẩn và không gian tuyến
tính L (X, Y ) trên trường P trở thành không gian định chuẩn.
Sự hội tụ trong không gian định chuẩn L (X, Y ) gọi là sự hội tụ đều của
dãy toán tử bị chặn. Dãy toán tử (An ) ⊂ L (X, Y ) gọi là hội tụ từng
điểm tới toán tử A ∈ L (X, Y ), nếu với mỗi x ∈ X, lim

n→∞

An x − Ax = 0

trong không gian Y . Một dãy toán tử (An ) ⊂ L (X, Y ) hội tụ đều tới
A ∈ L (X, Y ) thì dãy (An ) hội tụ từng điểm tới toán tử A trong không
gian Y .

15


1.2.2. Toán tử tuyến tính không bị chặn
Định nghĩa 1.22. Cho E và F là hai không gian Banach. Một toán
tử tuyến tính không bị chặn từ E vào F là một ánh xạ tuyến tính
A : D (A) ⊂ E → F xác định trên một không gian tuyến tính con
D (A) ⊂ E với giá trị trong F .
Tập D (A) được gọi là miền xác định của A.
Ta nói A là bị chặn (hoặc liên tục) nếu D (A) = E và nếu tồn tại hằng

số C ≥ 0 sao cho:
Au ≤ C u , ∀u ∈ E.
Chuẩn của toán tử bị chặn được xác định bởi:
A

2(E,F )

= sup
u=0

Au
.
u

Chú ý 1.1. Có thể xảy ra rằng một toán tử tuyến tính không bị chặn là
bị chặn. Thuật ngữ này là không thích hợp nhưng nó vẫn được sử dụng
và không dẫn tới sự nhầm lẫn nào.
Chú ý 1.2. Trong thực hành, hầu hết các toán tử không bị chặn là đóng
và xác định trù mật, tức là D (A) trù mật trong E.
Mệnh đề 1.1. Cho A : D (A) ⊂ E → F là một toán tử tuyến tính
không bị chặn xác định trù mật. Khi đó A∗ là đóng, tức là G (A∗ ) là
đóng trong F ∗ × E ∗ .
Hệ quả 1.1. Cho A : D (A) ⊂ E → F là một toán tử tuyến tính không
bị chặn, xác định trù mật và đóng. Khi đó:
i) N (A) = R(A∗ )⊥ ,
16


ii) N (A∗ ) = R(A)⊥ .
iii) N (A)⊥ ⊃ R (A∗ ),

iv) N (A∗ ) = R (A).

17


Chương 2
ĐỊNH LÍ HILLE - YOSIDA
2.1. Toán tử đơn điệu cực đại
Trong suốt chương này H là không gian Hilbert.
Định nghĩa 2.1. Cho một toán tử tuyến tính không bị chặn
A : D(A) ⊂ H → H
được gọi là đơn điệu nếu nó thỏa mãn:
(Av, v) ≥ 0 ∀v ∈ D(A).
Nó được gọi là đơn điệu cực đại nếu có thêm giả thiết R(I + A) = H,
nghĩa là : ∀f ∈ H, ∃u ∈ D(A) sao cho u + Au = f .
Mệnh đề 2.1. Cho A là một toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó
(a) D(A) là trù mật trong H,
(b) A là một toán tử đóng,
(c) Với mỗi λ > 0, (I + λA) là song ánh từ D(A) lên H, (I + λA)−1 toán
tử bị chặn và (I + λA)−1

≤ 1.
L(H)

Chứng minh. (a) Giả sử f ∈ H sao cho (f, v) = 0∀v ∈ D(A). Chúng
ta chỉ ra rằng f = 0. Thật vậy, theo giả thiết ∃v0 ∈ D(A) sao cho
v0 + Av0 = f nên
0 = (f, v0 ) = |v0 |2 + (Av0 , v0 ) ≥ |v0 |2 .
18



Vậy v0 = 0 và do đó f = 0.
(b) Nhận thấy rằng với bất kì f ∈ H, tồn tại duy nhất một u ∈ D(A)
sao cho u + Au = f vì nếu u¯ là một nghiệm khác thì ta có:
uu − u¯ + A(u − u¯) = 0.
Lấy tích vô hướng với (u−¯
u) và sử dụng tính đơn điệu ta suy ra u−¯
u = 0.
Tiếp theo, lưu ý rằng |u| ≤ |f |, vì |u|2 + (Au, u) = (f, u) ≥ |u|2 .
Do đó ánh xạ f → u, được kí hiệu bởi (I + A)−1 là một toán tử tuyến
tính bị chặn từ H vào chính nó và (I + A)−1

≤ 1. Bây giờ chúng
L(H)

ta chứng minh rằng A là một toán tử đóng. Giả sử (un ) là một dãy
trong D(A) sao cho un → u và Aun → f chúng ta phải chứng tỏ rằng
u ∈ D(A) và Au = f , nhưng
un + Aun → u + f
và do đó
un = (I + A)−1 (un + Aun ) → (I + A)−1 (u + f ).
Như vậy: (I + A)−1 (u + f ), nghĩa là u ∈ D(A) và u + Au = u + f .
(c) Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu R(I + λ0 A) = H đối với một số
thực λ0 > 0 thì R(I + λA) = H với mỗi λ > λ0 /2.
Lưu ý đầu tiên như trong phần (b) rằng với mỗi f ∈ H có duy nhất một
u ∈ D(A) sao cho u + λ0 Au = f . Hơn nữa, ánh xạ f → u kí hiệu bởi
(I + λ0 A)−1 là toán tử tuyến tính bị chặn với (A + λ0 A)−1

≤ 1.
L(H)


Chúng ta sẽ đi giải phương trình
u + λAu = f với λ > 0
19

(2.1)


Phương trình (2.1) có thể được viết là:
u + λ0 Au =

λ0
λ0
f + 1−
λ
λ

u,

hay
u = (I + λ0 A)−1

λ0
λ0
f + 1−
λ
λ

u


(2.2)

λ0
< 1, nghĩa là λ > λ0 /2 vì theo nguyên lý ánh xạ co phương
λ
trình (2.2) có một nghiệm.
nếu 1 −

Kết luận (c) được chứng minh dễ dàng bằng phương pháp quy nạp. Vì
I + A là toàn ánh nên I + λA là toàn ánh với mọi λ > 1/2 và do đó với
∀λ > 1/4, ....
Nhận xét 2.1. Nếu A là đơn điệu cực đại thì λA cũng là đơn điệu cực
đại với mỗi λ > 0. Tuy nhiên, nếu A và B là những toán tử đơn điệu
cực đại thì A + B được xác định trên D(A)

D(B) có thể không đơn

điệu cực đại.
Định nghĩa 2.2. Cho A là một toán tử đơn điệu cực đại, với mỗi λ > 0
1
đặt Jλ = (I + λA)−1 và Aλ = (I − Jλ ).
λ
Jλ được gọi là giả thuộc của A, và Aλ được gọi là xấp xỉ Yosida (hoặc
chính quy hoá Yosida) của A. Ghi nhớ rằng Jλ

L(H)

≤ 1.

Mệnh đề 2.2. Cho A là một toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó

(a1) Aλ v = A(Jλ v) ∀v ∈ H và ∀λ > 0,
(a2) Aλ v = Jλ (Av) ∀v ∈ D(A) và ∀λ > 0,
(b) |Aλ v| ≤ |Av| ∀v ∈ D(A) và ∀λ > 0,
(c) lim Jλ v = v ∀v ∈ H,
λ→0

20


(d) lim Aλ v = Av ∀v ∈ D(A),
λ→0

(e) (Aλ v, v) ≥ 0 ∀v ∈ H và ∀λ > 0,
(f) |Aλ v| ≤ (1/λ) |v| ∀v ∈ H và ∀λ > 0.
Chứng minh. (a1) có thể được viết là v = (Iλ v) + λA(Jλ v), đây chỉ là
định nghĩa của Jλ v.
(a2) theo (a1) chúng ta có: Aλ v + λA(v − Jλ v) = Av, nghĩa là
Aλ v + λA(Aλ v) = Av,
Aλ v = (I + λA)−1 Av.
(b) Có được dễ dàng từ (a2).
(c) Giả sử đầu tiên v ∈ D(A). Khi đó

|v − Jλ v| = λ |Aλ v| ≤ λ |Av|

(do (b))

và do đó lim Jλ v = v.
λ→0

Bây giờ giả sử v ∈ H bất kì. Với ε > 0, tồn tại một số v1 ∈ D(A) sao

cho |v − v1 | ≤ ε ( vì D(A) trù mật trong H, theo Mệnh đề 2.1). Chúng
ta có:
|Jλ v − v| ≤ |Jλ v − Jλ v1 | + |Jλ v1 − v1 | + |v1 − v|
≤ 2 |v − v1 | + |Jλ v1 − v1 | ≤ 2ε + |Jλ v1 − v1 | .
Do vậy
lim sup |Jλ v − v| ≤ 2ε ∀ε > 0,

λ→0

nên lim |Jλ v − v| = 0.
λ→0

(d) Đây là một hệ quả của (a2) và (c).
21


(e) Chúng ta có :
(Aλ v, v) = (Aλ v, v − Jλ v) + (Aλ v, Jλ v) = λ|Aλ v|2 + (A(Jλ v), Jλ v),
nên :
(Aλ v, v) ≥ λ|Aλ v|2 .

(2.3)

(f) Là một Hệ quả của (2.3) và BĐT Cauchy-Schwarz.
Nhận xét 2.2. Mệnh đề 2.2 chứng tỏ rằng (Aλ )λ>0 là một họ các toán
tử bị chặn “xấp xỉ” với toán tử không bị chặn A khi λ → 0. Xấp xỉ này sẽ
được sử dụng rất nhiều mặc dù nói chung thì Aλ

L(H)


→ ∞ khi λ → 0.

2.2. Định lý Hille - Yosida
du
+ Au = 0 trên [0, +∞],
dt
u(0) = u0 . Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

2.2.1. Nghiệm của bài toán tiến hoá

Chúng ta bắt đầu với một kết quả rất cổ điển
Định lý 2.1. (Cauchy, Lípchitz, Picard) Cho E là một không gian Banach và cho F : E → E là một ánh xạ Lípchitz, nghĩa là có một hằng
số L sao cho
Fu − Fv ≤ L u − v

∀u, v ∈ E.

Khi đó với bất kì u0 ∈ E, tồn tại duy nhất một nghiệm u ∈ C 1 ([0, +∞); E)
của bài toán

 du (t) = F u(t)
dt

u(0)
= u0
u0 được gọi là dữ kiện ban đầu.
22

trên [0, +∞).


(2.4)


Chứng minh. Sự tồn tại: Giải bài toán (2.4) dẫn tới việc tìm hàm
u ∈ C ([0, +∞); E) thoả mãn phương trình tích phân.
t

u(t) = u0 +

F (u(s))ds.

(2.5)

0

Với k > 0 ta sẽ chọn cụ thể sau đặt
u ∈ C ([0, +∞); E) ; sup e−kt u(t) < ∞ .

X=

t≥0

Dễ thấy X là một không gian Banach với chuẩn
u

X

= sup e−kt u(t) .
t≥0


Với mỗi u ∈ X hàm φu xác định bởi
t

(Φu)(t) = u0 +

F (u(s))ds
0

cũng có giá trị thuộc X. Hơn nữa ta có:
Φu − Φv

X

≤

L
u−v
k

X

∀u, v ∈ X.

Cố định bất kì k > L, chúng ta thấy rằng hàm Φ có một điểm bất động
duy nhất u trong X, đó là một nghiệm của (2.5).
Tính duy nhất nghiệm: Giả sử u và u¯ là hai nghiệm của (2.4) và đặt
ϕ(t) = u(t) − u¯(t) .
Từ (2.5) ta suy ra
t


ϕ(t) ≤ L

ϕ(s)ds

∀t ≥ 0

0

và kết quả ϕ ≡ 0.
Định lý vừa rồi rất hữu ích trong việc nghiên cứu các phương trình vi
phân thường. Tuy nhiên, nó rất ít được sử dụng trong nghiên cứu các
23