Khóa luận tốt nghiệp

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên
cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm và tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong
khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của cô giáo Thạc sĩ Đào Thị Hoa.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài
liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan rằng khóa luận này la do em viết và các kiến thức được
trích dẫn trong khóa luận là trung thực, tên đề tài không trùng với bất cứ tên đề tài
nào khác.

Hà Nội, ngày 10 tháng 4 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Phan Thị Quyên

Phan Thị Quyên

1

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên
cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm và tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong
khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của cô giáo Thạc sĩ Đào Thị Hoa.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài
liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan rằng khóa luận này là do em viết và các kiến thức được
trích dẫn trong khóa luận là trung thực, tên đề tài không trùng với bất cứ tên đề tài
nào khác.

Hà Nội, ngày 10 tháng 4 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Phan Thị Quyên

Phan Thị Quyên

2

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Phần 1. Mở ĐầU
1. Lí do chọn đề tài
Hiện nay việc nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ thông là
một nhu cầu tất yếu. Các trường phổ thông luôn luôn đòi hỏi mỗi giáo viên
đổi mới phương pháp dạy học và tích cực sử dụng phương pháp đổi mới trong

dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng. Phương pháp dạy học mới
lấy học sinh làm trung tâm, phát huy tối đa các hoạt động tích cực của học
sinh. Trong đó người giáo viên giữ vai trò chủ đạo trong tổ chức các hoạt
động học tập để học sinh chủ động tham gia các hoạt động.
Do đó để đảm bảo việc giảng dạy có hiệu quả những nội dung môn
Toán ở nhà trường phổ thông, mỗi sinh viên trước khi ra trường cần chuẩn bị
cho mình những hành trang tri thức, kĩ năng, kĩ xảo cần thiết về phương pháp
dạy học. Một trong những tri thức đó là phương trình và bất phương trình.
Khái niệm phương trình, bất phương trình là một trong những khái
niệm quan trọng của toán học. Theo Ăngghen thì toán học nghiên cứu những
mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Quan
hệ bằng nhau, lớn hơn hoặc nhỏ hơn giữa hai đại lượng, giữa hai số lượng là
một quan hệ rất cơ bản. Điều đó nói lên phương trình và bất phương trình
chiếm một vai trò quan trọng trong toán học nói chung và môn toán ở nhà
trường phổ thông nói riêng.
Do đó, từ những lí do trên, để có thể dạy tốt phần kiến thức này khi ra
trường tôi đã chọn đề tài Dạy học phương trình và bất phương trình ở
trường phổ thông.

Phan Thị Quyên

3

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp


2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc dạy học một số yếu tố của phương trình và bất phương trình
trong chương trình toán phổ thông, nhằm nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học
môn Toán trong trường phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu ý nghĩa, vai trò của việc dạy học phương trình và bất phương trình.
- Phân tích nội dung, chương trình sách giáo khoa về dạy học phương trình và
bất phương trình.
- Đề xuất những lưu ý về phương pháp dạy học khi dạy nội dung phương
trình và bất phương trình.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận; quan sát, điều tra; tổng kết kinh nghiệm.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo khóa luận gồm 2 chương
Chương 1. Nội dung dạy học phương trình và bất phương trình
1.1. ý nghĩa.
1.2. Nghiên cứu về phương trình và bất phương trình.
1.3. Mục đích, yêu cầu của dạy học phương trình và bất phương trình ở trường phổ
thông.
1.4. Nội dung triển khai phương trình và bất phương trình ở trường phổ thông.
Chương 2. Dạy học phương trình và bất phương trình ở trường phổ thông.
2.1. Dạy học khái niệm phương trình, bất phương trình và những khái niệm có liên
quan
2.1.1. Dạy học phương trình, bất phương trình dựa vào hàm mệnh đề.
2.1.2. Sử dụng hợp lí ngôn ngữ của lí thuyết tập hợp và logic toán trong việc dạy học
khái niệm phương trình, bất phương trình và những khái niệm có liên quan.
2.2. Dạy học giải phương trình, bất phương trình.
2.2.1. Làm cho học sinh ý thức được diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến đổi
phương trình, bất phương trình.


Phan Thị Quyên

4

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

2.2.1.1. ý thức được những khả năng diễn biến của tập hợp nghiệm khi biên đổi
phương trình, bất phương trình.
2.2.1.2. ý thức được những căn cứ để biến đổi phương trình, bất phương trình và để
nhận biết những mối quan hệ giữa các tập hợp nghiệm.
2.2.1.3. Biết cách xác định tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình xuất
phát dựa vào tập nghiệm của phương trình, bất phương trình cuối và mối quan hệ
giữa hai tập hợp đó.
2.2.2. Giải quyết hợp lí mối liên hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp trong
dạy học giải phương trình, bất phương trình.
2.3. Dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình, bất phương trình.
2.3.1. Rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện những hệ thức liên hệ giữa những
đại lượng.
2.3.2. Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu
thị những tình huống thực tế.

Phan Thị Quyên

5


K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Phần 2. nội dung
Chương 1. NộI DUNG DạY HọC PHƯƠNG TRìNH

Và BấT PHƯƠNG TRìNH
1.1. ý nghĩa.
Phương trình, bất phương trình là một trong bốn nội dung cơ bản trong
chương trình toán phổ thông. Dạy học nội dung này giúp nghiên cứu những mối
quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Đó là những
mối quan hệ số lượng như : quan hệ bằng nhau, lớn hơn hoặc nhỏ hơn giữa hai đại
lượng, hai số lượng.
Lí thuyết phương trình, bất phương trình không chỉ là cơ sở để xây dựng đại
số học mà còn giữ vai trò quan trọng trong các phân môn khác của toán học :
phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình toán lí, phương trình
hàm
Bên cạnh đó việc dạy học ni dung này còn giúp tìm hiểu thêm các bài toán
lập phương trình, bất phương trình; các bài toán về hàm số như : xét tính đồng biến,
nghịch biến xác định cực đại, cực tiểu, tìm điểm uốn, xác định sự tương giao giữa
các đồ thị các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
1.2. Nghiên cứu về phương trình, bất phương trình
1.2.1. Sự bằng nhau
- Trong logic học, a bằng b nghĩa là a và b chỉ cùng một đối tượng. Kí
hiệu:
- Chỉ sự đồng nhất của hai biểu thức : Nếu hai biểu thức đại số có cùng giá

trị với mọi giá trị của biến số lấy trên những tập hợp số xác định nào đó, thì chúng
được gọi là bằng nhau trên những tập hợp số đó (Hoàng Xuân Sính Nguyễn Tiến
Tài 1987 Tr 109).
2

Ví dụ: a b a 2 2ab b 2

a b

3

a 3 3a 2b 3ab 2 b3

- Chỉ sự định nghĩa một kí hiệu nào đó bằng qui ước.

Phan Thị Quyên

6

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ : a 0 1

(0 # a R) , 0! 1


- Chỉ sự thay thế : chẳng hạn thay x 3 vào biểu thức 2 x 5 ta được: 2.3 5
- Chỉ sự toàn đẳng giữa hai hình.
Ví dụ :

ABC A ' B ' C '

1.2.2. Những cách hiểu khác nhau về đẳng thức
- Cách hiểu thứ nhất : Hai số hoặc hai biểu thức đại số bằng nhau nối với nhau
bởi dấu thì gọi là đẳng thức. (Đại số phổ thông, 1968)
Ví dụ : 3 4 7 là đẳng thức

2a 4 2(a 2) là đẳng thức
x 3 7 không là đẳng thức.

- Cách hiểu thứ hai : Hai biểu thức biểu thị hai đại lượng bằng nhau nối với nhau
bởi dấu thì ta có một đẳng thức.
Ví dụ : a 2 5
a2 a3

là một đẳng thức
không là đẳng thức vì không biểu thị hai đại lượng bằng

nhau.
- Cách hiểu thứ ba : Hai số hoặc hai biểu thức nối với nhau bởi dấu ta sẽ có
một đẳng thức (Quan niệm đẳng thức theo hình thức dấu =).
Ví dụ : 2 4 6 là đẳng thức đúng
7 2 3 4 là đẳng thức sai
x 3 2 x 1 có thể đúng hoăc sai tùy theo giá trị của x.

1.2.3. Phân tích một số định nghĩa phương trình bất phương trình.

Trong sách, báo, tài liệu toán học ứng với bậc học phổ thông người ta đưa ra
nhiều định nghĩa khác nhau về phương trình, bất phương trình.
- Phương trình một ẩn số là một đẳng thức trong đó có một số chưa biết biểu thị
bằng một chữ( Đại số, lớp 7 phổ thông 1968)
Định nghĩa này dựa vào cách hiểu thứ nhất về đẳng thức. Theo định nghĩa này khái
niệm phương trình rất hẹp, chỉ nói về những đẳng thức như : 2( x 1) 2 x 2
( x 1)( x 1) x 2 1 , ( x 1)3 x 3 3 x 2 3 x 1 ....

Phan Thị Quyên

7

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Còn x 2 5 chẳng hạn thì không phải là phương trình vì đó không phải là đẳng
thức ( x 2 v 5 không phải là biểu thức đồng nhất).
- Số học và đại số, lớp 6 phổ thông, 1974 có đưa ra định nghĩa về phương
trình như sau: Một đẳng thức có chứa chữ mà ta phải tìm giá trị thì gọi là một
phương trình, chữ đó gọi là ẩn số . Từ đây ta suy ra : x 2 x 3 không thể là
phương trình (vì nó không phải là đẳng thức) chứ không thể gọi là phương trình vô
nghiệm. Nhưng trang 63 của sách người ta ra chú ý về phương trình vô nghiệm như
vậy đã mâu thuẫn với định nghĩa trên. ( theo 6 )
- Trong sách toán Quân đội nhân dân Việt Nam, 1960, có định nghĩa về
phương trình như sau : Phương trình là đẳng thức có chứa chữ và chỉ đúng với mọi
số giá trị của các chữ. Định nghĩa này dựa vào cách hiểu thứ ba về khái niệm đẳng

thức, tức là có xét tới cả những đẳng thức đúng lẫn đẳng thức sai . Cách hiểu
đẳng thức như vậy làm cho khái niệm phương trình bao gồm được cả những đối
tượng như : x 3 8 ( không đòi hỏi hai vế phải là những biểu thức đồng nhất).
Tuy nhiên cụm từ chỉ đúng với một số giá trị của các chữ lại thu hẹp khái
niệm phương trình và gây ra nhiều sự rắc rối. Theo định nghĩa đó thì x 2 x 3
không phải là phương trình (vì đẳng thức này không đúng với giá trị nào của x ) và

5( x 1) 5 x 5 cũng không là phương trình ( vì đẳng thức này đúng với mọi giá trị
của x ).
Nhiều điều rắc rối và phức tạp sẽ xảy ra, chẳng hạn :
Gặp một đẳng thức chữ, ta không biết nó có phải là một phương trình hay
không nếu chưa biết gì về nghiệm (ở đây ta tạm dùng khái niệm nghiệm vì trong
sách chỉ định nghĩa nghiệm của phương trình chứ không định nghĩa nghiệm của
những đẳng thức nói chung).
Khi cho một phương trình chứa tham biến ta phải kèm theo điều kiện để nó là
phương trình
Ví dụ : Cho phương trình ax b 0 , ax 2 bx c 0 thì phải kèm theo điều kiện
a 0.

Như vậy thì định nghĩa này không thể chấp nhận được.

Phan Thị Quyên

8

K34C

SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp

Ngoài các định nghĩa trên, phương trình còn có các định nghĩa sau :
+ Khi nói đến phương trình ta hiểu rằng đó là hai biểu thức chứa biến số nối với
nhau bởi dấu mà ta phải tìm giá trị của biến số để các giá trị tương ứng của hai
biểu thức bằng nhau( Nguyễn Duy Thuận,1998,tr 77)
+ Đẳng thức f ( x) g ( x) trong đó f ( x) và g ( x) là những biểu thức theo x , được
gọi là phương trình một ẩn số, x được gọi là ẩn số (Trần Văn Hạo).
+ Xem các đẳng thức (có thể đúng hoặc sai) sau đây :

x
x 0 , xy 2 z 2 3 . Các đẳng thức này chứa một hay nhiều biến x, y , z ...
x 1
Nếu phải tìm các giá trị của các biến để đẳng thức được nghiệm đúng, thì ta nói ta
có một phương trình, khi đó mỗi biến được gọi là một ẩn số (Phan Đức Chính- Ngô
Hữu Dũng- Hàn Liên Hải,1990)
Các định nghĩa trên cũng dựa vào cách hiểu thứ ba về khái niệm đẳng thức,
bao gồm cả đẳng thức đúng, đẳng thức sai và cách hiểu như vậy làm cho khái niệm
phương trình bao gồm được cả phương trình không đòi hỏi hai vế là những biểu thức
đồng nhất .
Theo Từ điển toán học thông dụng (Ngô Thúc Lanh, NXB GD 1999) thì
phương trình được định nghĩa là Một hệ thức dạng f x g x trong đó f và g
là hai hàm số được xét trên miền xác định chung D D f Dg . Giải phương trình
là tìm tập hợp các phần tử a D sao cho đẳng thức f a g a đúng. Như vậy
định nghĩa phương trình gắn với miền xác định (hay tập xác định D ) của nó. Định
nghĩa này được sử dụng trong SGK Toán 10 (năm 2000) vì sau này việc giải nhiều
phương trình đòi hỏi trước hết việc xem xét tập xác định D như : giải phương trình,
bất phương trình chứa căn thức, phương trình, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
thức...
ở bậc THCS, việc xem xét TXĐ là chưa cần thiết phải đặt ra, vì chỉ giới hạn

trong việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai (đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu
thức, chỉ cần đặt được điều kiện của ẩn để mẫu khác 0 ). Do đó có sách ở bậc THCS
trình bày khái niệm phương trình gần với định nghĩa sau :Phương trình là kí hiệu

Phan Thị Quyên

9

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

giải tích của bài toán tìm giá trị của các đối số để cho hai hàm số cho trước có các
giá trị bằng nhau.
Như vậy khái niệm phương trình gắn liền với việc giải phương trình và
phương trình có hai đặc tính:
+ Phương trình là một đẳng thức.
+Một hoặc cả hai vế của đẳng thức đó là biểu thức có chứa biến.
(Theo 1 )
Qua những định nghĩa trên về phương trình ta thấy chúng chưa tổng quát vì
còn có những phương trình biểu thị sự tương quan giữa nhiều đại lượng như s v.t
trong vật lí và những phương trình biểu thị đường : y 3 x 2 ... mà vấn đề không phải
là đi tìm số chưa biết. Tuy nhiên trong phạm vi trường phổ thông định nghĩa phương
trình dựa trên định nghĩa đẳng thức theo cách hiểu thứ ba là chấp nhận được vì nó
không phạm sai lầm về mặt logic và nó xuất phát từ việc giải bài toán bằng cách lập
phương trình.
1.2.4. Định nghĩa phương trình, bất phương trình dựa vào hàm mệnh đề

Mệnh đề là một câu có tính chất hoặc đúng, hoặc sai.
Ví dụ : 2 là một số nguyên tố là mệnh đề đúng.
10 chia hết cho 4 là mệnh đề sai.
Hàm mệnh đề xác định trên một tập hợp M là một câu có chứa biến tự do,
tức là biến không chịu sự tác động của lượng từ tồn tại hoặc lượng từ toàn thể và trở
thành mệnh đề khi ta thay biến tự do bởi những phần tử thuộc tập hợp M (Theo 1 )
Ví dụ : x là số nguyên tố
Số trị của 2a 3 bằng 9
là những hàm mệnh đề xác định chẳng hạn trên tập số tự nhiên.
a. Khái niệm phương trình dưới góc độ hàm mệnh đề :
Trong SGK Đại số 10 nâng cao hiện nay đưa ra định nghĩa phương trình như sau :
Cho hai hàm số y f ( x) và y g ( x) có tập xác định lần lượt là D f và Dg . Đặt
D D f Dg

Phan Thị Quyên

10

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Mệnh đề chứa biến f ( x) g ( x) được gọi là phương trình 1 ẩn; x gọi là ẩn số
(hay ẩn); và D gọi là tập xác định của phương trình.
Số x0 D gọi là một nghiệm của phương trình f ( x) g ( x) nếu f ( x0 ) g ( x0 ) là
một mệnh đề đúng.
Như vậy khái niệm nghiệm của phương trình cũng phụ thuộc vào tập xác

định D . Có thể xảy ra các khả năng sau:
Nếu thay các phần tử của D vào mỗi vị trí của x trong hàm mệnh đề Số
trị của f ( x) và g ( x) bằng nhau đều được một mệnh đề sai thì tập hợp nghiệm của
phương trình f ( x) g ( x) là tập rỗng. Khi đó ta nói phương trình f ( x) g ( x) vô
nghiệm trên D .
Nếu tồn tại ít nhất một phần tử thuộc D sao cho khi thay phân tử đó vào
mỗi vị trí của x trong hàm mệnh đề Số trị của f ( x) và g ( x) bằng nhau được một
mệnh đề đúng thì tập hợp nghiệm của phương trình f ( x) g ( x) là khác rỗng. Khi
ấy ta nói phương trình đó có nghiệm.
Nếu thay mỗi phần tử của D vào các vị trí của x trong hàm mệnh đề Số
trị của f ( x) và g ( x) bằng nhau đều được một mệnh đề đúng thì tập hợp nghiệm
của phương trình trùng với tập D . Khi đó ta nói phương trình đó trở thành hằng
đẳng thức .
Định nghĩa phương trình dựa vào hàm mệnh đề như trên áp dụng vào mọi
trường hợp cụ thể. Cả phương trình mà ta phải tìm nghiệm lẫn phương trình biểu thị
những đại lượng vật lí như: s v.t ... cũng như phương trình biểu diễn đường
: y 2 x 2 ... đều có thể hiểu theo nghĩa đó.
b. Định nghĩa bất phương trình dựa vào hàm mệnh đề.
Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao hiện nay cũng đưa ra khái niệm bất phương trình
như sau:
Cho hai hàm số y f ( x) và y g ( x) có tập xác định lần lượt là D f và Dg . Đặt

D D f Dg .Mệnh

đề

chứa

biến


có

một

trong

các

dạng

f ( x) g ( x) ( f ( x) g ( x), f ( x) g ( x), f ( x) g ( x)) được gọi là bất phương trình

Phan Thị Quyên

11

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của bất phương trình đó.
Số

x0 D gọi là một nghiệm của bất phương trình

f ( x) g ( x)


nếu

f ( x0 ) g ( x0 ) là mệnh đề đúng .Nghiệm của các bất phương trình còn lại cũng
được định nghĩa tương tự.
Cách định nghĩa phương trình, bất phương trình như trên đảm bảo sự chính
xác, tính logic trong sự phát triển của các khái niệm, giúp việc diễn đạt được gọn
gàng, trong sáng mà vẫn tránh được những phức tạp về mặt thực hành cho học sinh.
1.2.5. Quan niệm phương trình, bất phương trình như một dãy kí hiệu
Định nghĩa phương trình dựa vào hàm mệnh đề là đã nhìn nó về phương diện
ngữ nghĩa. Tuy nhiên khái niệm phương trình cũng như khái niệm biểu thức, đẳng
thức, bất phương trình còn có thể hiểu theo quan điểm cú pháp, được coi như một
dãy kí hiệu có một dạng nhất định.
Việc định nghĩa phương trình theo quan điểm này giúp nghiên cứu được cấu
trúc của những dãy kí hiệu trừu xuất khỏi những nội dung cụ thể. Nó thuộc một
trong các loại hình tư duy giữ gìn vị trí trung tâm của toán học : tư duy cú pháp.
Trong trường phổ thông người ta nhìn khái niệm phương trình, bất phương
trình cả về hai phương diện : khi thì coi phương trình, bất phương trình như một dãy
kí hiệu

(phương diện cú pháp), chẳng hạn khi giải phương trình, bất phương trình

nhờ một thuật toán. Khi thì coi phương trình, bất phương trình như một hàm mệnh
đề ( phương diện ngữ nghĩa), như khi thử xem một số hay một bộ số có phải là
nghiệm của một phương trình, bất phương trình cho trước hay không.
1.2.6. Phương trình chứa tham bién
Một phương trình nhiều biến số có thể được xem xét dưới nhiều góc độ khác
nhau, như :
- Tìm tất cả các bộ số là nghiệm phương trình đó.
- Dùng như một công thức để biểu thị sự tương quan giữa nhiều đại lượng
Ví dụ : s v.t biểu thị mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc, thời gian trong

chuyển động đều.
- Dùng để đặc trưng cho một dạng phương trình nhất định

Phan Thị Quyên

12

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1
2
4
Ví dụ : 2 x 3 , t 0,15 , a ,... đều cùng một dạng là ax b
2
3
6
ở đây không phải ta tìm những bộ ba thỏa mãn phương trình này. Nếu như ở
hai trường hợp trên vai trò của các biến là bình đẳng thì ở trường hợp này các biến

a, b có vai trò khác nhau về căn bản so với biến x . Biến x là biến cần được biểu thị
qua các biến còn lại, còn các biến a, b dùng để biểu thị dạng phương trình nên còn
gọi là biến chỉ dạng hay tham biến.
ở trường phổ thông người ta dùng thuật ngữ tham biến chứ không gọi là
biến chỉ dạng, phương trình ax b được gọi là phương trình một ẩn chứa hai
tham biến là a, b . Dưới góc độ người thầy giáo, ta cần hiểu đây là phương trình 3

biến, trong đó có sự phân biệt giữa hai loại biến : x là biến cần biểu thị qua hai biến
còn lại, a và b là các biến chỉ dạng phương trình. Khi giải một phương trình có
chứa tham biến, các biến được xem như đại diện cho những số đã biết và ta phải
biểu thị các nghiệm qua các tham biến số.
1.3. Mục đích, yêu cầu của dạy học phương trình, bất phương trình.
a. Về kiến thức:
Học sinh nắm vững khái niệm phương trình, bất phương trình một cách chính
xác theo quan điểm của mệnh đề chứa biến và những khái niệm có liên quan,
nghiệm của phương trình hoặc bất phương trình, giải phương trình hoặc bất phương
trình, quan hệ tương đương giữa 2 phương trình hoặc bất phương trình, điều kiện
của phương trình, bất phương trình; phương trình, bất phương trình tương đương và
hệ quả.
Thông qua chủ đề phương trình và bất phương trình, cần củng cố và đào sâu một
số kiến thức về tập hợp và logic toán, cụ thể là : những khái niệm tập hợp, phần tử,
quan hệ bao hàm; quan hệ giao nhau giữa hai tập hợp; các phép toán tập hợp; các
phép toán logic kéo theo và tương đương.
b. Kĩ năng:
Học sinh có kĩ năng giải và biện luận phương trình, bất phương trình, thành
thạo với việc giải phương trình, bất phương trình theo thuật giải, theo công thức
hoặc theo một hệ thống qui tắc biến đổi xác định, chẳng hạn như : phương trình, bất
Phan Thị Quyên

13

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp


phương trình bậc nhất một ẩn, hai ẩn; hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình
trùng phương... đồng thời biết linh hoạt vận dụng kiến thức về giải phương trình như
: phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình mũ, phương trình logarit...
biết nhìn khái niệm phương trình, bất phương trình cả về mặt ngữ nghĩa lẫn cú pháp
trong quá trình giải.
Học sinh biết cách giải phương trình, bất phương trình bằng đồ thị, thông qua đó
thấy được mối quan hệ giữa phương trình, bất phương trình và hàm số.
c. Về thái độ:
Học sinh được phát triển tư duy thuật giải trong việc giải phương trình, bất
phương trình theo thuật giải hoặc theo một hệ qui tắc xác định, được rèn luyện tính
linh hoạt và khả năng sáng tạo, đặc biệt là trong việc giải những phương trình, bất
phương trình theo nội dung, những phương trình, bất phương trình không mẫu mực.
Học sinh được rèn luyện về tính qui củ, tính kế hoạch, tính kỉ luật trong việc giải
phương trình, bất phương trình theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ
thống qui tắc biến đổi xác định, được giáo dục về tính cẩn thận, chính xác và thói
quen tự kiểm tra trong việc giải phương trình, bất phương trình nói chung, đó là
những phẩm chất không thể thiếu của con người lao động.
Học sinh thấy rõ ý nghĩa thực tế của phương trình, bất phương trình thông qua
việc giải những bài toán có nội dung vật lí, kĩ thuật và thực tế thấy được quan hệ
mật thiết giữa toán học và đời sống, toán học xuất hiện do nhu cầu từ đời sống.
1.4. Nội dung triển khai phương trình và bất phương trình ở trường phổ thông
Phương trình, bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản của chương
trình môn Toán ở nhà trường phổ thông.
Cùng với sự mở rộng của hệ thống số là việc giải phương trình, bất phương trình
trong từng tập hợp số tương ứng. Trước khi học tường minh về phương trình, bất
phương trình học sinh đã được làm quen một cách ẩn tàng với những phương trình,
bất phương trình, kể cả việc giải chúng ngay từ bậc tiểu học.
- ở lớp 1 có các bài toán điền vào ô trống:


1

5

3 8

Phan Thị Quyên

14

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

- ở lớp 2 có các bài toán tìm x trong các biểu thức dạng :
a x b , ax b ,

x
b (trong
a

)

hay dạng bài tìm số tự nhiên x sao cho x 4 10
- Chương trình lớp 7 có : Khái niệm biểu thức đại số, giá trị của một biểu thức đại
số. Khái niệm đơn thức, đơn thức đồng dạng, các phép toán cộng, trừ, nhân các đơn
thức. Khái niệm đa thức nhiều biến. Nghiệm của đa thức một biến. Học những nội

dung này học sinh biết khái niệm nghiệm của đa thức một biến, biết tìm nghiệm của
đa thức một biến bậc nhất. Đó là những kiến thức ẩn tàng về phương trình.
. - ở lớp 8 : Khái niệm phương trình, bất phương trình được chính thức định nghĩa,
ẩn số, nghiệm phương trình và giải phương trình; học sinh còn được học về hai
phương trình, bất phương trình tương đương, một số định lí về phếp biến đổi tương
đương, nhưng chưa được học về phương trình hệ quả.
Dạng phương trình tương ứng : phương trình bậc nhất, phương trình có ẩn ở
mẫu thức, phương trình có hệ số bằng chữ, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Đồng thời trong chương trình này học sinh cũng được học về giải bài toán bằng cách
lập phương trình. Cũng ở lớp này học sinh được học sơ lược về bất phương trình và
những định lí về biến đổi tương đương đối với bất phương trình, bất phương trình
bậc nhất một ẩn số.
- ở lớp 9 : học sinh được học về phương trình bậc nhất 2 ẩn; hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn; giải toán bằng cách lập hệ phương trình; phương trình bậc hai một ẩn;
phương trình qui về phương trình bậc hai như: phương trình trùng phương, phương
trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu thức; giải toán bằng cách lập phương trình.
- Lớp 10 : Tổng kết và nâng cao những kiến thức về phương trình mà học sinh đã
học ở trường THCS. Cụ thể :
Trình bày lại đại cương về phương trình và bất phương trình ( gồm khái niệm
nghiệm, nghiệm gần đúng, điều kiện, phương trình nhiều ẩn, phương trình chứa
tham số...) phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương phương trình,
phương trình hệ quả và các phép biến đổi hệ quả; phương trình qui về phương trình

Phan Thị Quyên

15

K34C

SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp

bậc nhất, bậc hai (phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, phương trình chứa căn thức,
phương trình và hệ phương trình nhiều ẩn...)
Trong khi ở trường THCS học sinh làm việc chủ yếu với những phương trình, bất
phương trình có hệ số bằng số thì ở lớp 10 học sinh còn được học về những phương
trình có tham biến đòi hỏi học sinh phải biện luận khi giải.
Các phép biến đổi tương đương học sinh được học trong lớp 10 : chuyển vế và đổi
dấu một biểu thức; nhân hai vế phương trình, bất phương trình với cùng một biểu
thức khác 0 (xác định trong điều kiện phương trình, bất phương trình)...
- Chương trình lớp 11: học sinh được học về phương trình lượng giác .
- Lớp 12 : Học sinh học về phương trình, bất phương trình mũ, logarit, phương
trình nghiệm phức.

Phan Thị Quyên

16

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chương 2 . Dạy học giải phương trình

và bất phương trình ở trường phổ thông

2.1. Dạy học phương trình, bất phương trình và những khái niệm có liên quan.
2.1.1. Dạy học phương trình, bất phương trình dựa vào hàm mệnh đề.
Dựa vào quan điểm hàm mệnh đề trong việc xây dựng khái niệm phương trình,
bất phương trình, mỗi thầy cô cần chú ý :
Thứ nhất: Cần hình thành cho học sinh quan niệm về đẳng thức (bất đẳng thức) căn
cứ vào dấu (dấu , , , ) một cách hình thức, tức là làm cho học sinh hiểu
đẳng thức (bất đẳng thức) là hai biểu thức nối với nhai bởi dấu ( , , , ). Do
đó ta nên dưa ngoài những ví dụ về đẳng thức (bất đẳng thức) chữ nên đưa cả những
ví dụ về đẳng thức (bất đẳng thức) chữ mà cả hai vế là hai biểu thức không đồng
nhất.
Ví dụ : 7 5 12

(a b) 2 a 2 2ab b 2

73 25
x 1 3x 2

Ví dụ : 11 7 8
2x 1 2
3x 1 x 4

a 2 0 , a

a b a b , a, b

Thứ hai : Cần làm cho học sinh hiểu đúng thực chất dấu trong phương trình và
khái niệm phương trình chỉ là một trường hợp riêng của khái niệm đẳng thức. Nên
sớm đưa ra những phương trình vô nghiệm như : 2 x 7 2 x 1 để học sinh thấy rõ
tính chất của dấu .
Cần phân biệt cho học sinh dấu trong phương trình và dấu trong

biến đổi đồng nhất. Nếu như dấu trong phương trình chỉ có tính hình thức thì
dấu trong những phép biến đổi đồng nhất lại nối liền hai biểu thức, biểu thị hai
hàm số có cùng giá trị với mọi giá trị của đối số lấy trong phần chung của miền xác
định của hai hàm số.

Phan Thị Quyên

17

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Để tránh lẫn lộn hai loại dấu trong khi giải phương trình :

3( x 1) 24 : 6 5 giáo viên nên lưu ý cho học sinh tránh cách viết sau :
3( x 1) 3 x 3 24 : 6 5 4 5 9
Cách viết này khó phân biệt, nhìn ra đâu là dấu của phương trình, đâu là dấu
của phép biến đổi đồng nhất. Mà nên viết tách thành những phương trình riêng
biệt theo từng dòng :

3( x 1) 24 : 6 5
3x 3 4 5
3x 3 9
3x 6
x2
Trong dạy học bất phương trình trước hết cần làm cho học sinh hiểu quan hệ

thứ thự trong tập hợp số thực : tập hợp số thực

được sắp thứ tự , nghĩa là cho hai

số thực a và b thì chắc chắn xảy ra một trong các trường hợp sau :
+ Số a bằng số b . Kí hiệu : a b
+ Số a nhỏ hơn số b . Kí hiệu : a b
+ Số a lớn hơn số b . Kí hiệu : a b
Nếu muốn nói rằng a không nhỏ hơn b thì chỉ có thể a lớn hơn b hoặc a bằng b .
Kí hiệu : a b
Nếu muốn nói rằng a không lớn hơn b thì chỉ có thể a nhỏ hơn b hoặc a bằng b .
Kí hiệu : a b
Đồng thời giáo viên cũng cần đưa ra khái niệm bất đẳng thức : Các mệnh đề dạng
a b , a b , a b , a b gọi là các bất đẳng thức. Trong những bất đẳng thức trên

a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của đẳng thức.
Giúp học sinh hiểu được thế nào là các bất đẳng thức cùng chiều : Các bất đẳng thức
a b và c d , a b và c d , a b và c d , a b và c d gọi là các bất đẳng

thức cùng chiều .

Phan Thị Quyên

18

K34C

SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp

Bên cạnh đó giáo viên nên nhấn mạnh giúp học sinh hiểu chính xác về hai
phương trình, bất phương trình tương đương : Hai phương trình được gọi là tương
đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình
tương đương và dùng kí hiệu để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình
đó.
* Chú ý : hai phương trình, bất phương trình có tập nghiệm rỗng cũng tương đương
Thứ ba : Vì khái niệm hàm mệnh đề liên hệ với miền xác định mà biến của nó nhận
giá trị nên cần cho cho học sinh thấy được khái niệm nghiệm phương trình (bất
phương trình) có tính chất tương đối.
Tập hợp nghiệm của một phương trình (bất phương trình) không chỉ phụ
thuộc vào biểu thức biểu thị hai vế của phương trình (bất phương trình) đó mà còn
phụ thuộc ta xét nó trên hệ thống số nào.
Ví dụ : Phương trình 2 x 5 0 vô nghiệm trên hệ thống số tự nhiên
có nghiệm

5
trên hệ thống số hữu tỉ
2

nhưng lại

.

Bất phương trình 3x 1 0 chỉ có nghiệm x 0 trên tập số tự nhiên

1
lại có tập nghiệm (, ) trên hệ thống số thực

3

nhưng

.

Ví dụ : Phương trình ( x 2 3)( x 1) 0 có nghiệm duy nhất x 1 trên hệ thống số
hữu tỉ

, nhưng lại có nghiệm 1, 3, 3 trên hệ thống cố thực

.

2.1.2. Sử dụng hợp lí ngôn ngữ của lí thuyết tập hợp và logic toán trong việc dạy
học khái niệm phương trình, bất phương trình và những khái niệm có liên quan.
Các yếu tố tập hợp và logic toán đã được trang bị cho học sinh ngay từ đầu
chương trình và được thể hiện ở tất cả cả nội dung của phương trình, bất phương
trình 10, 11, 12.
Cụ thể : Học sinh phải thường xuyên làm việc với các yếu tố về tập hợp như : Tìm
tập xác định, viết tập nghiệm của phương trình, bất phương trình dưới dạng tập hợp,
kết hợp các tập nghiệm các yếu tố về logic như : biến đổi tương đương, kéo theo,
nếuthì, và, hoặc,

Phan Thị Quyên

19

K34C

SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp

Do đó trong quá trình dạy học môn toán giáo viên cần chú ý quán triệt cho học
sinh sử dụng hợp lí ngôn ngữ của lí thuyết tập hợp và logic toán. Học chủ đề phương
trình, bất phương trình tạo điều kiện cho học sinh:
-

Làm quen với cách viết nghiệm của một phương trình, bất phương trình dưới
dạng tập hợp
Ví dụ : Tập nghiệm của phương trình x 2 4 x 3 0 là 1,3
Tập nghiệm của bất phương trình x 2 3 x 2 0 là S x

:1 x 2

- Gặp cách viết nghiệm của một hệ phương trình dưới dạng bộ số để họ làm quen
với khái niệm tích Đềcác của nhiều tập hợp.
- Sau khi học xong về quan hệ bao hàm giữa hai tập hợp đưa ra khái niệm phương
trình hệ quả : phương trình f 2 ( x) g 2 ( x) là phương trình hệ quả của phương trình

f1 ( x) g1 ( x) nếu tập nghiệm của phương trình f 2 ( x) g 2 ( x) chứa tập nghiệm của
phương trình f1 ( x) g1 ( x)
Và khái niệm bất phương trình hệ quả : bất phương trình f 2 ( x) g 2 ( x)
( , , )
là hệ quả của bất phương trình f1 ( x) g1 ( x) ( , , ) nếu tập hợp nghiệm của bất
phương trình f 2 ( x) g 2 ( x) chứa tập nghiệm của bất phương trình f1 ( x) g1 ( x) .
Ví dụ : Phương trình

x 2 2 x 3 x 1 (1) sau khi bình phương hai vế ta được


phương trình x 2 2 x 3 ( x 1)2 (2) là phương trình hệ quả của (1) . Do phương

1
trình (2) sau khi biến đổi tương đương có tập nghiệm . Còn phương trình (1)
2
có tập nghiệm là .
Ví dụ : Giải bất phương trình :

5x 2 3 x
x 43 3 x
1
(1)
4
4
6

Giải:
Ta có (1)

5x
3 x
x 2
3 x

1
4
2
4 3
2


Phan Thị Quyên

20

(2)

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp



5x
3 x
x 2
3 x

1
0
4
2
4 3
2

x


1
0
3

x

1
3

ở đây bất phương trình (2) chỉ là hệ quả của bất phương trình (1) và (2) có nghiệm
là x

1
1
với điều kiện x 3 thì nghiệm của bất phương trình 1 là x 3
3
3
Trên cơ sở học sinh đã biết khái niệm giao của hai tập hợp và phép toán

hội của hai mệnh đề, giáo viên cần cho học sinh hiểu khái niệm nghiệm của hệ
phương trình và hệ bất phương trình cả về hai phương diện tập hợp và logic.
+ Về phương diện tập hợp cần làm cho học sinh hiểu tập nghiệm của hệ phương
trình:

f1 ( x) g1 ( x)
I bằng giao của hai tập hợp nghiệm của hai phương trình trong hệ.

f 2 ( x) g 2 x
f1 ( x) g1 ( x)
Tập nghiệm của hệ bất phương trình:

II bằng giao của hai tập hợp
f 2 ( x) g 2 x
nghiệm của hai bất phương trình trong hệ.
+ Về phương diện logic cần cho học sinh thấy một số là nghiệm của I , II khi và
chỉ

khi

nó

là

nghiệm

của

phương

trình

f1 x g1 x (bất

phương

trình f1 x g1 x )
và là nghiệm của phương trình f 2 x g 2 x ( bất phương trình f 2 x g 2 x .

x 2 3 x 2 x 1 1
Ví dụ : Giải hệ phương trình
(I )

2
( x 1)( x 4) 0 2
Giải : Tập nghiệm của 1 là 1,3 .
Tập nghiệm của 2 là 1, 2, 2 .

Phan Thị Quyên

21

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Do đó tập nghiệm của hệ I là 1 .
Đối với hệ bất phương trình II với f1 x , f 2 x , g1 x , g 2 x là các bất phương
trình một ẩn giáo viên có thể hướng dẫn học sinh biểu diễn tập nghiệm của từng bất
phương trình trên trục số, sau đó lấy giao của chúng là tập nghiệm của hệ bất
phương trình đã cho.
Đối với bất phương trình bậc nhất hai ẩn, như bất phương trình : 3 x y 5
ta có thể giải như sau 3 x y 5 y 3 x 5
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho ( x, y ) | x , y 3x 5
Cách giải này có ít ý nghĩa và khó áp dụng để giải hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn. Do đó giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh cách biểu diễn tập nghiệm
hay cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt
phẳng tọa độ. Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
được trình bày cụ thể trong SGK.
áp dụng cho xác định miền nghiệm bất phương trình : 3 x y 5

Giải ; Trên mặt phẳng tọa độ đường, thẳng d : 3x y 5 0 chia mặt phẳng tọa
độ thành hai nửa.
15

y
(d)

10

5

x
-4

-2

5/3 2

M

4

6

-5

-10

-15


Chọn M 0,0 không thuộc d .
Ta thấy 0,0 không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm
cần tìm là nửa mặt phẳng bờ d không chứa M 0,0 (trong hình vẽ là nửa mặt
phẳng không bị gạch).

Phan Thị Quyên

22

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Đối với hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta lấy giao các miền nghiệm của
các bất phương trình trong hệ bằng cách lần lượt gạch bỏ các nửa mặt phẳng không
phải là nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ. Nhưng cách làm này không thể
hiện được trên hình vẽ rằng trong số các điểm trên biên, điểm nào thuộc, điểm nào
không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó giáo viên có thể dùng
màu vẽ hình để khắc phục nhược điểm trên : đối với các bất phương trình

ax by c 0 (hay 0 ) thì đường thẳng ax by c được vẽ bằng màu đỏ, còn bất
phương trình ax by c 0 (hay 0 ) thì đường thẳng ax by c được vẽ bằng
màu xanh. Khi đó học sinh thấy được rằng các điểm biên màu đỏ thuộc miền
nghiệm, còn các điểm biên màu xanh thì không thuộc miền nghiệm.
- Sau khi học xong khái niệm hợp của hai tập hợp, giáo viên nên cho học sinh làm
quen với việc sử dụng khái niệm này để xét nghiệm một số phương trình, bất
phương trình về phương diện tập hợp và logic.

Ví dụ : Giải bất phương trình : ( x 2 4)( x 3) 0

(*)

Ta có thể phát biểu : + Tập hợp nghiệm của phương trình * là hợp của tập
nghiệm của phương trình x 2 4 0 với tập nghiệm của phương trình x 3 0 .
+ Một số là nghiệm của phương trình * khi va chi khi nó là
1 nghiệm của phương trình x 2 4 0 hoặc 1 nghiệm của phương trình x 3 0 .
+ ( x 2 4)( x 3) 0 ( x 2 4 0 ) ( x 3 0 ).
Ví dụ: Bất phương trình : 2 x 1 3 1
-

Tập nghiệm của bất phương trình này là hợp của tập nghiệm của bất phương
trình 2 x 1 3 và tập nghiệm của bất phương trình

-

2 x 1 3 .

Một giá trị x là nghiệm của bất phương trình (1) khi nó là nghiệm của bất
phương trình 2 x 1 3 hoặc là nghiệm của bất phương trình 2 x 1 3 .

-

Hoặc có thể biểu diễn dưới dạng

2 x 1 3
2x 1 3
2 x 1 3


Phan Thị Quyên

23

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

*Chú ý:
Sau dấu phải là một phương trình, hệ, tuyển phương trình chứ không phải
đẳng thức.
Tránh sự nhầm lẫn giữa hai kí hiệu và ( ), hoặc ().

x 1
Ví dụ : Phương trình x 2 3 x 2 0
x 2
Cách trình bày như vậy là sai về mặt logic. Cách trình bày đúng là :

x 1
x 2 3x 2 0
x 2
2.2. Dạy học giải phương trình, bất phương trình.
2.2.1. Làm cho học sinh ý thức được diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến đổi
phương trình, bất phương trình.
Trong quá trình dạy giáo viên cần làm cho học sinh thấy đa số các trường hợp
khi giải phương trình, bất phương trình là biến đổi nó đưa về phương trình, bất
phương trình đơn giản hơn. Dựa vào tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương

trình tìm được và dựa vào mối quan hệ trùng nhau, bao hàm, của hai tập hợp ta
xác định được tập nghiệm của phương trình, bất phương trình xuất phát. Chẳng hạn
khi gặp một phương trình, bất phương trình lượng giác thông thường biến đổi về
phương trình, bất phương trình cơ bản: sin x m, cos x m, cot x m, tan x m
hay sin x m, sin x m, cos x m, cos x m,... phương trình bậc hai đối với một
hàm số lượng giác, phương trình dạng a sin x b cos x c,...
Việc sử dụng các phép biến đổi phương trình, bất phương trình: Đặt ẩn phụ,
logarit hoá, mũ hoá, bình phương hai vế, khai căn hai vế, thêm bớt một biểu thức, thì
điều quan trọng là phải làm cho học sinh ý thức được mối quan hệ giữa các tập hợp
nghiệm của các phương trình, bất phương trình. Trong quá trình biến đổi phương
trình, bất phương trình xác định được tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương
trình xuất phát dựa vào tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình cuối
cùng. Cụ thể là cần hình thành cho học sinh những nhận thức và rèn luyện những kĩ
năng sau:

Phan Thị Quyên

24

K34C

SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

2.2.1.1. ý thức được khả năng, diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến đổi phương
trình, bất phương trình.
Khi biến đổi phương trình, bất phương trình có một số khả năng sau dẫn đến
thay đổi tập hợp nghiệm:

a. Khả năng 1: Sau khi biến đổi ta được một phương trình, bất phương trình tương
đương với phương trình, bất phương trình trước. Trong trường hợp này hai tập hợp
nghiệm trùng nhau:
Ví dụ : Giải các phương trình:

1. x3 x x 2 4 0
2 x 2 x 1 3x 2 1

x 1
2
3
2x 1 x 1 7
3.

x2
3
2
6
1
1 1 5x 1

4. x
x
2
3 3 2

2.

Giải:
1. Ta biết x3 x x x 1 x 1


x 2 4 x 2 x 2
Vậy : x3 x x 2 4 x x 1 x 1 x 2 x 2 0

x 0
x 1

x 1

x 2
x 2
Tập nghiệm của phương trình là: 2; 1;0;1;2

Phan Thị Quyên

25

K34C

SP Toán