TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***************

NGUYỄN THỊ HẠNH

ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN
TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC

HÀ NỘI, 2012


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***************

NGUYỄN THỊ HẠNH

ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN
TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PHAN HỒNG TRƯỜNG

HÀ NỘI, 2012

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô khoa Toán – Trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2. Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới
thầy Phan Hồng Trường, vì sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành
khóa luận.
Xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Nguyễn Thị Hạnh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này do tôi thực hiện.
Kết quả do tôi công bố không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về tính trung thực của nội dung khoa học của
công trình.


MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU ………………………………………………………...1
PHẦN 2: NỘI DUNG………………………………………………….……2
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................2
1.1.Không gian tôpô…………………………………………………...........2
1.2.Tập con của không gian tôpô……………………………………….......3
1.3.Ánh xạ liên tục………………………………………………………......4
CHƯƠNG 2: ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP

KHẢ VI……………………………………………………………………..6
2.1. Định nghĩa Đa tạp khả vi và ví dụ…………………………………......6
2.2. Ánh xạ khả vi……………………………………………………..........12
2.3.Trường Tenxơ trên đa tạp khả vi…………………………………........15
2.4. Dạng vi phân trên đa tạp khả vi……………………………………....30
KẾT LUẬN………………………………………………………………..40
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………..41


PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài.
Hình học là một môn học tương đối khó trong chương trình toán phổ
thông và để hiểu được nó người học cần phải tư duy cao. Với mong muốn
được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu sắc hơn nữa về đa tạp
khả vi và dạng vi phân trên đa tạp khả vi, em đã chọn đề tài “ đa tạp khả vi và
dạng vi phân trên đa tạp khả vi ” làm khoá luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân
trên đa tạp khả vi.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu : Kiến thức về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi,
trường tenxơ, dạng vi phân trên đa tạp khả vi.
Phạm vi nghiên cứu : Một số bài toán về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi,
trường tenxơ, dạng vi phân trên đa tạp khả vi.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng
vi phân trên đa tạp khả vi.
Một số bài toán có liên quan đến đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường
tenxơ, dạng vi phân trên đa tạp khả vi.

5. Các phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu sách tham khảo và các tài liệu có liên quan.

1


PHẦN 2:NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.Không gian tôpô
1.1.1.Định nghĩa không gian tôpô
Không gian tôpô là tập hợp M (mỗi phần tử gọi là điểm) cùng một họ

 những tập con của M , gọi là những tập mở (trong M ), sao cho :


Tập rỗng, tập M là tập mở,



Hợp tùy ý những tập mở là tập mở,



Giao của một số hữu hạn tập mở là tập mở.

Thường ký hiệu đơn giản không gian tôpô ( M , ) bởi M (khi không
cần chỉ rõ họ  ).
Không gian tôpô M gọi là không gian tôpô Hausdorff nếu với mọi cặp
điểm p, q  M , p  q , có các tập mở U ,V ( p U , q V ) sao cho U  V =  .

1.1.2.Ví dụ.
1) Không gian mêtric : đó là tập hợp M cùng với một mêtric (khoảng
cách), tức ánh xạ d : M  M  R thỏa mãn :


d  p, q   0 , d  p, q   0  p  q



d  p, q   d  q, p 



d  p, q   d  q, r   d  p, r  (với p, q, r tùy ý thuộc M ).

Trên không gian mêtric M xét tôpô sau : tập con U  M gọi là tập mở
nếu với mọi p U , có số  >0 sao cho hình cầu mở q  M d ( p, q)    nằm
hoàn toàn trong U (tôpô gây bởi mêtric d ).
Đó là một không gian tôpô Hausdorff.
Không gian tôpô gây bởi một mêtric trên nó gọi là không gian tôpô
mêtric hóa được.

2


n

cùng với khoảng cách thông thường là một không gian mêtric.

2) M là một không gian tôpô, N là một tập con của M thì N với tôpô

sau đây (tôpô cảm sinh) gọi là không gian tôpô con của M : tập U  N gọi là
tập mở trong N nếu nó là giao của N với một tập mở trong M .
3) M và N là hai không gian tôpô thì tích trực tiếp M  N với tôpô sau
đây (tôpô tích) gọi là tích trực tiếp các không gian tôpô M với N : tập con của
M  N gọi là tập mở (trong M  N ) nếu nó là hợp tùy ý những tập dạng
U  V , U mở trong M , V mở trong N

4) M là một không gian tôpô,
tập các lớp tương đương M /

là một quan hệ tương đương trên M ,

cùng với tôpô sau đây (tôpô thương ) gọi là

không gian tôpô thương : tập con của M /

gọi là tập mở (trong M / ) nếu

nghịch ảnh của nó bởi phép chiếu chính tắc p : M  M /

là tập mở

(trong M ).
1.2.Tập con của không gian tôpô.
M là một không gian tôpô.

p  M thì mọi tập con của M chứa một tập mở chứa p gọi là một lân

cận của p (trong M ).
Tập con F  M gọi là tập đóng (trong M ) nếu M \ F là tập mở

(trong M ). Khi đó, tập rỗng, tập M là những tập đóng. Giao tùy ý những tập
đóng là tập đóng,hợp tùy ý những tập đóng là tập đóng.


A là tập con của M thì bao đóng A của A là giao mọi tập đóng chứa


A ; đó là tập đóng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa A . Phần trong A của
A là tập mở lớn nhất nằm trong A ; mỗi điểm của nó gọi là một điểm trong
_



của A . Tập A \ A gọi là biên của A , mỗi điểm của nó gọi là một điểm biên
của A .
M gọi là liên thông nếu mọi tập vừa mở vừa đóng (trong M ) phải là

3


tập rỗng hay toàn bộ M . Tập con A  M , gọi là tập con liên thông nếu
không gian tôpô con A là liên thông. Một thành phần liên thông của không
gian tôpô M là một tập con liên thông của M mà mọi tập liên thông của
M chứa nó phải trùng với nó. Ví dụ : mọi tập liên thông trong

là một

khoảng (mở, đóng, nửa đóng, bị chặn, không bị chặn…).
M gọi là compact nếu M là không gian tôpô Hausdorff và khi


M   U i ,U i mở (trong M ) , thì có tập con hữu hạn J  I mà M   U j .
jJ

iI

Tập con A của không gian tôpô M gọi là tập compact khi không gian tôpô
con A là compact. Ví dụ : tập con của

n

là compact khi và chỉ khi nó là tập

đóng, bị chặn.
1.3. Ánh xạ liên tục.
Ánh xạ f : M  N giữa các không gian tôpô gọi là ánh xạ liên tục nếu
nghịch ảnh bởi f của mọi tập mở (trong N ) là tập mở (trong M ) (và vì vậy ,
nghịch ảnh mọi tập đóng là tập đóng).
Song ánh f : M  N gọi là một đồng phôi nếu f và f 1 là những ánh
xạ liên tục.
Dễ thấy :


Tích các ánh xạ liên tục là liên tục ;



Ảnh của tập liên thông qua ánh xạ liên tục là tập liên thông ;




Ảnh của tập compact qua ánh xạ liên tục vào không gian

Hausdorff là một tập compact.
Từ đó một đơn ánh liên tục từ một không gian compact vào một không
gian Hausdorff là một đồng phôi lên ảnh.
Ánh xạ liên tục  : I  M từ đoạn I  t 

\ 0  t  1 vào không

gian tôpô M gọi là một cung (liên tục) trong M nối  (0) với  (1). Không
gian tôpô M gọi là liên thông cung nếu với mọi p, q  M , có cung (liên tục)

4


trong M nối p với q . Tập con A của không gian tôpô M gọi là liên thông
cung nếu không gian tôpô con liên thông cung. Dễ thấy mọi không gian liên
thông cung thì liên thông ; mọi tập mở liên thông trong

n

đều liên thông

cung ; ảnh của một không gian liên thông cung qua một ánh xạ liên tục là một
tập liên thông cung.
Không gian tôpô M gọi là đơn liên nếu nó liên thông cung và với mọi
ánh xạ liên tục f : S 1  M ( S 1 là đường tròn
xạ liên tục H : I  S 1  M ( I là đoạn

 x, y  


0,1

n

trong



x 2  y 2  1 ,có ánh

) sao cho đặt

H t : S 1  M là ánh xạ p  H (t , p ) ( p  S 1 ) thì H 0  f và H t là ánh xạ

hằng (ảnh của H1 là tập chỉ gồm một điểm ). Chẳng hạn : hình
tròn  x, y  

 x, y  

2

2

x2 y2 

r 2  x2  y 2 

2




( > 0) là đơn liên, nhưng hình vành khăn
2

 (0  r 

) không đơn liên.

5


CHƯƠNG 2
ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI
2.1.Định nghĩa đa tạp khả vi và ví dụ.
2.1.1.Khái niệm đa tạp khả vi.
Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, với cơ sở đếm được M được
gọi là đa tạp tôpô m-chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian mm

chiều

, nghĩa là với mỗi điểm x  M , có lân cận mở U của x và  :U  V

là đồng phôi từ U lên một tập mở V 

m

.

Giả sử M là đa tạp tôpô m -chiều , khi đó cặp (U , ) xác định ở trên

gọi là một bản đồ địa phương trên M , hay gọi tắt là bản đồ. Họ
C= U i ,i  : i  I  nào đó các bản đồ gọi là một tập bản đồ hay atlas khả vi
lớp C k ( k  1) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn :
1. Họ U i  là một phủ mở của M .
2.Với hai bản đồ U i ,i  và U j , j  mà U i  U j   , thì ánh  j  i1
xác định trên i U i  U j  là ánh xạ khả vi lớp C k từ lên  j U i  U j  (xem
hình 1).

Hình 1

6


Hai tập bản đồ C1 =

U ,  , i  I 
i

i

V ,  , j  J  khả vi

và C2 =

j

j

lớp C k được gọi là tương thích với nhau, nếu hợp của chúng là một tập bản đồ
khả vi lớp C k . Dễ thấy quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương

trên họ các tập bản đồ khả vi lớp C k . Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương
đương trên gọi là một cấu trúc khả vi lớp C k trên M .
Đa tạp tôpô m -chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp C k cho trên nó
được gọi là một đa tạp khả vi m -chiều lớp C k . Nếu M là đa tạp khả vi, thì bản
đồ của cấu trúc khả vi trên M thì được gọi là bản đồ khả vi (hay bản đồ) trên
M . Khi k   , nghĩa là khi đòi hỏi các ánh xạ chuyển  j  i1 trong điều

kiện 2 ở trên thuộc lớp C  , thì cấu trúc khả vi tương thích được gọi là cấu
trúc nhẵn trên M . Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn.
2.1.2.NHẬN XÉT.
a. Khi M là không gian tôpô liên thông, thì số tự nhiên m trong định
nghĩa trên không phụ thuộc vào bản đồ địa phương và nó được gọi là số chiều
của đa tạp M , viết dim M  m .
b. Trên cùng không gian tôpô M có thể có nhiều cấu trúc khả vi khác
nhau. Thật vậy, mỗi một atlas khả vi lớp C k xác định hoàn toàn một cấu trúc
khả vi lớp C k trên M . Vì vậy, hai atlas khả vi lớp C k không tương thích xác
định hai cấu trúc khả vi khác nhau. Ví dụ, trên đường thẳng thực
atlas khả vi lớp C  xác định bởi U1  ( , id ) và U 2  ( , ) , ở đó  :

cho hai


xác định bởi  ( x)  x 3 . Vì hai atlas lớp C  này không tương thích, nên chúng
xác định hai cấu trúc khả vi lớp C  khác nhau trên
c. Giả sử M là đa tạp khả vi m -chiều,

.

U ,  , i  I  là một atlas khả
i


i

vi lớp C k , U là tập con mở khác rỗng của M . Khi đó dễ thấy U cũng là một
đa tạp khả vi m -chiều C k sinh bởi cấu trúc khả vi trên M với atlas khả vi C=

7


V ,  , ở đó V  U  U   và
i

i

j

i

 i  i V . Đặc biệt, nếu (U , ) là bản đồ
i

địa phương trên M , thì M cũng là đa tạp khả vi.
2.1.3.VÍ DỤ.
Trong phần này ta nêu lên một số đối tượng hình học là những đa tạp
khả vi thường gặp.
a,Ví dụ 1
n

Cho M 


n

và bản đồ (

, id ) tạo thành một atlas, xác định cấu trúc

khả vi lớp C  trên M . Cấu trúc khả vi này được gọi là cấu trúc khả vi chính
tắc trên

n

.

b,Ví dụ 2
Giả sử   0 và



M  S n  p  p1 ,..., p n 1  

n 1

2

n 1
i 1

S n với tôpô cảm sinh từ

n1


2

, p    pi    2



được gọi là mặt cầu n chiều tâm bán kính  . Ta

xác định một atlas trên S n bởi hai bản đồ địa phương trên S n như sau: Gọi
N   0,0,...,0,   là cực bắc của mặt cầu S n và S   0,0,...,0,    ) là cực

nam của mặt cầu. Đặt U  S n \  N  , V  S n \ S  và x, y là hai phép chiếu nổi
từ cực N và S tương ứng.
x :U 

n

p  x  p    x1  p  ,..., x n  p  

ở đó
y :V 

x  p 
i

 pi
  p n 1

, i  1,2,..., n. .


n

p  y  p    y1  p  ,..., y n  p   . .

8


y  p 

 pi

i

ở đó
Các

ánh

x. y 1  y.x 1 : r 

xạ

x, y là

 2r
r

2


  p n 1

, i  1,2,..., n.

những
n

là vi phôi của ,

x (U  V )  y (U  V ) 

n

đồng

phôi,

và

“hàm

chuyển”

\ 0 vì

\ 0 . Do đó, (U , x ),(V , y ) lập thành một atlas

lớp C  ,xác định một cấu trúc nhẵn trên S n .
c,Ví dụ 3
Đa tạp xạ ảnh thực P n 


.
n1

Xét quan hệ tương đương trên
để y   x . Ta gọi P n 
:

n 1

\ 0 

n



n 1

n

y    0

với tôpô thương. Xét phép chiếu

\ 0 , đặt   x    x  .

Đặt Vi   x   x 0 ,..., x n  

i : Vi 


\ 0 /

\ 0 xác định bởi x

n 1

\ 0; x i  0

với i = 0,1,…,n và


 x0
i
x
xn 
cho bởi i  x    i ,..., i ,..., i  . Ở đó, ký hiệu  có nghĩa là số
x
x 
x



hạng dưới mũ đó được bỏ đi. Dễ thấy i hằng trên mỗi lớp tương đương và
xác định đồng phôi i : U i 

n

,với U i   Vi  . Ánh xạ được cho bởi

i1  y 0 , y1 ,..., y n 1    y 0 ,..., y i 1 ,1, y i ,..., y n1   . Giả sử U i ,i  và U j , j  là

hai

bản

đồ

địa

phương

trên

Pn 



và

i j

thì

 ji1 : i U i  U j    j U i  U j  cho bởi công thức

 y0
i 1
j
y
1
y

y n 1` 
0
n 1

 y ,..., y    y j ,..., y j , y j ,...., xi ,..., y j 



Do đó  ji1  C  .Vì vậy họ

U , 
i

9

i

là tập bản đồ địa phương, xác


định cấu trúc khả vi lớp C  trên P n 

.

d, Ví dụ 4 .
Đa tạp Grassmann thực
và G  k ,V 

Giả sử V là không gian vectơ n chiều trên trường số thực


là tập hợp các không gian con k chiều của V . Xét không gian đối ngẫu V 



*

*

của V , v1 ,..., v n

 là cơ sở của V



. Nếu v* V  và E  G  k ,V  , ta ký hiệu vE*

là hạn chế của vE* trên E .
Với mỗi bộ  i1 ,..., ik  ,1  i1  ...  ik  n, ta đặt
*
k

*
1

U i ,...,i  E  G  k ,V  : vEi ,..., vEi là cơ sở của E * .
1

k

Giả sử


 j ,..., j 

là tập hợp các chỉ số bù của

nk

1

 i ,..., i 
k

1

với

j1  ...  jn  k . Khi đó :
j *p

k

*
l

vE   hlp vEi nếu E U i ,...,i ; p  1,..., n  k ;
k

1

l 1


Xét ánh xạ  i ,...,i : U i ,...,i 
1

k

k

1

k  nk 

E   hlp 

, p  1,..., n  k ; l  1,..., k ;

Ta chứng minh được  i ,...,i là song ánh và
1

G  k ,V  

U

k

i1 ,...,ik

i1 ... ik

Do đó có thể cho một tôpô trên G  k ,V  sao cho các  i ,...,i là những

1

đồng phôi và họ

U

i1 ,...,ik

, i ,...,i
1

k

k

 tạo thành một atlas khả vi trên G  k ,V  . Như

vậy G  k ,V  là đa tạp khả vi số chiều k  n  k  .
e, Ví dụ 5 :
Ta nêu một ví dụ chứng tỏ những đối tượng hình học không thể trang bị
cấu trúc khả vi trên nó. Trong không gian afin hai chiều

10

2

lấy hai đường


thẳng cắt nhau có phương trình y   x trong một hệ tọa độ afin cho trước.

Khi đó, dễ thấy tập M gồm hai đường thẳng này coi là không gian tôpô con
2

không là đa tạp tôpô, vì vậy không thể trang bị được cấu trúc khả vi trên

M , nghĩa là M không thể là một đa tạp khả vi (xem hình 2).

O

`
Hình 2

11


2.2.ÁNH XẠ KHẢ VI
2.2.1.Định nghĩa.
Giả sử M , N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng. Ánh xạ
liên tục f : M  N được gọi là khả vi tại điểm p  M nếu với mọi bản đồ
địa phương U ,  quanh p và V ,  quanh f  p   q sao cho f U   V ,
thì ánh xạ   f   1 là khả vi tại điểm   p  

m

( xem hình 3 ).

N
M

V

f

U

q

p





  f   1
.

  p
 U  

m

 V  

m

Hình 3

Ánh xạ f được gọi là khả vi, nếu nó khả vi tại mọi điểm p  M .

12



2.2.2. Nhận xét
a. Nếu f : M  N và g : N  P là những ánh xạ khả vi, thì hợp
thành g  f : M  P là ánh xạ khả vi.
b. Ánh xạ f : M  N được gọi là vi phôi từ M lên N nếu f là song
ánh và cả hai ánh xạ f , f 1 đều khả vi. Khi đó hợp thành của hai vi phôi là
một vi phôi. Các vi phôi từ M lên chính nó tạo thành một nhóm, được gọi là
nhóm vi phôi của M . Nếu U ,  là một bản đồ địa phương của M thì  là
vi phôi từ U lên mở  U   V 

m

, ở đó m  dim M .

c. Giả sử f : M  N là ánh xạ khả vi, p  M và V ,  là bản đồ địa
phương quanh f  p  , các tọa độ của nó được cho bởi n hàm y j trên V ; Giả
sử

U , 

là

bản

đồ

quanh p  M ,

các


tọa

độ

cho

bởi

      x1 ,..., x m  , f U   V . Khi đó ánh xạ   f   1 được cho bởi biểu
thức
y j  h j  x1 , x 2 ,..., x m  , j  1,..., n (1)

ở đó h j là những hàm khả vi. Ngược lại, giả sử cho ánh xạ liên tục
f : M  N mà biểu diễn địa phương có dạng (1), trong đó các hàm h j khả

vi, thì f khả vi. Biểu thức dạng (1) của ánh xạ f phụ thuộc vào việc chọn
các bản đồ địa phương U ,  và V ,  . Ta thấy rằng hạng của ma trận
 h j 
1
m
 xi  kiểu  n  m  tại điểm   x  p  ,..., x  p   không phụ thuộc vào việc



chọn bản đồ địa phương, nó được gọi là hạng của ánh xạ f tại điểm p .
2.2.3. ÁNH XẠ DÌM NGẬP
a. Định nghĩa
Cho ánh xạ khả vi f : M  N .

13



Ánh xạ f được gọi là một dìm nếu hạng của f tại mọi điểm p đều
bằng m  dim M .
b. Định nghĩa
Ánh xạ f được gọi là một nhúng nếu f là một dìm và f là đồng phôi
từ M lên f  M  .
c. Định nghĩa
Ánh xạ f : M  N được gọi là một ngập nếu hạng của f tại mọi điểm
p  M đều bằng n  dim N .

d. Chú ý
Ta nói f : M  N là dìm tại điểm p (tương ứng : ngập tại p ) nếu
hạng của f tại p bằng số chiều của M (tương ứng số chiều của N ). Như
vậy f là dìm (hay ngập) tại mọi điểm p  M .

14


2.3. TRƯỜNG TENXƠ TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI
2.3.1. TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ
2.3.1.1. Định nghĩa
Ta ký hiệu K là trường số thực

hay trường số phức

.

Giả sử U và V là không gian véctơ trên trường K. Ký hiệu M U ,V  là
không gian véctơ trên trường K có cơ sở là tập U  V , nghĩa là gồm những

tổng hình thức, hữu hạn dạng

 k  u , v  , k  K,  u , v  U  V .
i

i

i

i

i

i

Giả sử N là không gian con của M U ,V  , sinh bởi các phần tử dạng

u  u , v   (u, v)  (u , v);(u, v  v )  (u, v)  (u, v );(ku, v)  k (u, v) ;
'

'

'

'

(u, kv)  k (u , v) với (u , v) U  V , k  K.

Đặt U  V  M U ,V  / N , xét ánh xạ chiếu
 : M (U ,V )  U  V . Với (u, v) U  V , ký hiệu  (u, v)  u  v . Khi


đó U  V là một không gian véctơ, được gọi là tích tenxơ của hai không gian
vectơ U và V ; u  v được gọi là tích tenxơ của hai véctơ u và v .
2.3.1.2. Định nghĩa
Giả sử W là không gian véctơ trên trường K.

 : U  V  W là ánh xạ song tuyến tính.
Ta nói mọi cặp  W,  có tính chất phổ dụng đối với U  V nếu với
mọi không gian véctơ S và mỗi song ánh tuyến tính f : U  V  S , tồn tại
duy nhất một ánh xạ tuyến tính g:W  S sao cho f  g   , tức là có biểu đồ
giao hoán sau

15


U V



f

W

g
S

2.3.1.3. Định lí
Giả sử  : U  V  U  V , (u, v)  u  v là ánh xạ song tuyến tính
chính tắc. Khi đó cặp U  V ,  có tính chất phổ dụng với U  V . Hơn nữa,
nếu  W,  là cặp có tính chất phổ dụng đối với U  V , thì U  V ,  và


 W, 

đẳng cấu theo nghĩa tồn tại đẳng cấu tuyến tính  : U  V  W sao

cho     .
Chứng minh :
Giả sử S là không gian véctơ bất kỳ và f : U  V  S là ánh xạ song
tuyến tính. Do U  V là cơ sở của M U ,V  , nên có thể thác triển f đến ánh
xạ tuyến tính duy nhất T : M U ,V   S . Vì f song tuyến tính nên
T  N   0 , do đó T cảm sinh ánh xạ tuyến tính g : U  V  S . Hiển nhiên
f  g  , và do  U  V  là tập hợp sinh của U  V , nên g là duy nhất.

Giả sử cặp  W,  có tính chất phổ dụng với U  V . Khi đó tồn tại duy
nhất ánh xạ tuyến tính  : W  U  V để     và tồn tại duy nhất

 : U  V  W tuyến tính để     . Từ đó         , do tính duy
nhất ta có    idu  v , tương tự    id w và như vậy  và  là những
đẳng cấu tuyến tính.

16


2.3.1.4. Định lí
Ta có đẳng cấu tuyến tính duy nhất từ U  V lên V  U , nó chuyển

u  v thành v  u với mọi u U , v V .
Chứng minh :
Xét


f : U V  V U

u, v   v  u
Là ánh xạ song tuyến, theo định lý 2.2.1.3,tồn tại ánh xạ tuyến tính
g : U  V  V  U là ánh xạ tuyến tính sao cho g  u  v   v  u .

Tương tự, tồn tại ánh xạ tuyến tính g , : V  U  U  V sao cho
g ,  v  u   u  v . Từ đó g g ,  IdV U , g , g  IdU V , và do đó g là đẳng cấu.

2.3.1.5. Định lí
Tồn tại đẳng cấu duy nhất từ K U  U chuyển k  u vào ku.
Chứng minh :
Xét f : K U  U

 k , u   ku
f là song tuyến tính. Do đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính g : K
U  U sao cho g  k  u   ku . Ta có g là toàn cấu vì g 1  u   u , g là đơn

cấu vì nếu k  u  k ,  u ,  1  ku  1  k ,u ,  ku  k ,u , . Như vậy g là đẳng
cấu tuyến tính.
2.3.1.6. Định lí
Có đẳng cấu duy nhất từ U  V   W lên U  V  W  , chuyển

u  v   w

vào u   v  w  đối với mọi u U , v V , w  W .

Chứng minh :
Xét  : U  V   W  U  V  W  ,  u  v, w   u   v  w  là ánh
xạ song tuyến tính . Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính


17


g : U  V   W  U  V  W  để g 1   ;

ở đó 1 : U  V   W  U  V   W là phép chiếu .
Tương tự, xét

 : U  V  W   U  V   W,  u, v  w   u   v  w  là ánh xạ
song tuyến tính, do đó tồn tại duy nhất f : U  V  W   U  V   W để
f  2   , ở đó  2 : U  V  W   U  V  W  là phép chiếu. Do tính

duy nhất ta có :
f  g  id U V W , g  f  idU V W  , do đó f và g là những đẳng cấu .

2.3.1.7. Định lí
Nếu f i : U i  Vi (i = 1. 2) là các ánh xạ tuyến tính, thì tồn tại ánh xạ
tuyến tính f : U1  U 2  V1  V2 sao cho với mọi  u1 , u2  U1  U 2 , ta có :
f  u1  u2   f  u1   f  u2  .

Chứng minh :
Xét ánh xạ tuyến tính

 :U1  U 2  V1  V2

u , u   f u   f u  .
1

2


1

1

2

2

Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính :
f : U1  U 2  V1  V2 sao cho f  u1  u2   f1  u1   f 2  u2  . f được

gọi là tích tenxơ của hai ánh xạ f1 , f 2 và ký hiệu là f  f1  f 2 .
2.3.1.8. Định lí
Nếu U1  U 2 là tổng trực tiếp, thì U1  U 2   V  U1  V   U 2  V 
2.3.1.9. Định lí
Giả sử dimU  m,dimV  n và u1 ,..., um  là cơ sở của U ; v1 ,..., vn  là
cơ sở của V , thì ui  v j : i  1,..., m; j  1,..., n là cơ sở của U  V , từ đó

18


dimU  V  dimU .dimV .

Chứng minh :
Ta biết rằng : u  v, u U , v V  là hệ sinh của U  V , như vậy

u  v 
i


là hệ sinh của U  V . Ta chứng tỏ hệ ui  v j  là độc lập tuyến

j

tính.
Xét

 m .u
ij

i

 v j  0 .Gọi  i  , i = 1,…,m là cơ sở đối ngẫu của ui 

i, j

trong U * và  j  , j  1,2,..., n là cơ sở trong V * đối ngẫu với cơ sở v j  , khi
đó  l . ui    li ,  k  v j    kj . Với mỗi cặp  l , k  xét

 l   k :U  V  K

 u  v     u .  v  ,
l

k

 l   k là ánh xạ song tuyến tính. Do đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến
tính lk : U  V  K sao cho lk  u  v    l  u    l  u  . k  v  . Như vậy

lk   mijui  u j    mij l  ui  . k  u j 

i, j

  mij li ki  mlk  0, l , k .
i, j

Vì vậy ui  v j  là độc lập tuyến tính.
2.3.1.10. Định lí
Giả sử U và V là hai không gian véctơ hữu hạn chiều. Ký hiệu U * là
không gian đối ngẫu của U và L (U * ,V ) là không gian các ánh xạ tuyến tính
từ U * vào V . Khi đó tồn tại đẳng cấu duy nhất g : U  V  L (U * ,V ) sao cho
g  u  v  u *  u *  u  .v với mọi u U , v V , u* U * .

Chứng minh :
Xét

ánh

xạ

song

tuyến

tính

19

f :U  V 

L (U * ,V )


với


 u , v  U  V , u* U * , ta có f  u, v  u *  u *  u .v . Khi đó tồn tại duy nhất
ánh xạ tuyến tính g : U  V  L  v* ,V  sao cho g  u  v  u *  u *  u  v .
Ta chứng minh g là đẳng cấu. Giả sử dimU  m và u1 ,..., um  là cơ sở
của U ; u *1 ,..., u *m  là cơ sở đối ngẫu của ui  trong U * ; v1 ,..., vn  là cơ sở
của V ,dimV  n.
Xét

 m g u
ij

i

i, j

thì

 vj   0

 m g u
ij

i, j



i


 v j   u *k   0, k  1,..., m

 m u *  u .v
k

ij

i

i, j



m

kj

j

  mij ki .v j  0
i, j

.v j  0  mkj  0, k  1,.., m; j  1,..., n .

j






Do đó hệ g  ui  v j  độc lập tuyến tính.
Vì dim L( (U * ,V )  dimU  V nên g là đẳng cấu.
2.3.1.11. Định lí
Giả sử U và V là hai không gian véctơ trên trường K. Khi đó ánh xạ
tuyến tính g : U * V *  U  V  * xác định bởi
g  u * v * u  v   u *  u  .v *  v  , u* U *, v* V *, u U , v V là đẳng cấu.

2.3.2. ĐẠI SỐ TENXƠ TRÊN KHÔNG GIAN VÉCTƠ
2.3.2.1. Các tenxơ phản biến và hiệp biến
Giả sử V là không gian véctơ trên trường K.
Đặt T r V   V
V
 ... 
V , T r V  được gọi là không gian tenxơ r lần


r

phản biến, phần tử của T r V  được gọi là tenxơ phản biến bậc r . Ký hiệu T 0
= K. Tương tự,

20