TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*********

PHÙNG THỊ HUYỀN

CÁC DẠNG CƠ BẢN
n
CỦA MẶT TRONG E VÀ ỨNG DỤNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI, 2012

5


LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian học tập và nghiên cứu khoa học tại Trờng Đại học S phạm Hà Nội
2, em đã nhận đợc sự quan tâm giúp đỡ của tất cả các thầy giáo, cô giáo trong trờng, đặc
biệt là sự hớng dẫn, chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm.
Để hoàn thành bài tập nghiên cứu này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy
Nguyễn Năng Tâm đã tận tình chỉ bảo em trong suốt thời gian thực hiện đề tài. Em cũng
xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học Khoa Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ
cũng nh đóng góp ý kiến để đề tài của em đợc hoàn thành.
Đề tài này chỉ nghiên cứu trong phạm vi nhỏ nên không tránh khỏi những thiếu sót,
hạn chế. Em mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô.
Em xin chân thành cảm ơn!

Xuân Hòa, ngày

tháng năm 2012

Sinh viên thực hiện

Phùng Thị Huyền

6


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi.
Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu của mình không trùng với kết quả của tác
giả khác.

Hà Nội, tháng

năm 2012

Sinh viên

Phùng Thị Huyền

7


MỤC LỤC
Trang
Mở đầu


5

1. Lý do chọn đề tài

5

2. Mục đích nghiên cứu

5

3. Khách thể và đối tợng nghiên cứu

5

4. Giả thuyết khoa học

6

5. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu

6

6. Phơng pháp nghiên cứu

6

Nội dung
Chơng 1. Mảnh tham số

7


1.1. Đạo hàm của hàm vectơ

7

1.2. Trờng vecto

9

1.3. Cung

10

1.4. Mảnh tham số

12

Chơng 2. Các dạng cơ bản của mặt trong E và ứng dụng

18

n

18

n

2.1. Đa tạp hai chiều trong E
2.2. Ánh xạ Wiengarten


20

2.3. Các dạng cơ bản của mặt trong E và ứng dụng

24

Kết luận và kiến nghị

47

Tài liệu tham khảo

48

n

8


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong Toán học, môn hình học là một môn khó và rất trừu tượng. Hình
học trong không gian rất đa dạng và phong phú nhưng lại rất thực tiễn. Từ
những hình đơn giản, những vật xung quanh chúng ta, nhờ hình học mà ta
hiểu được phần nào về cấu tạo của chúng, có hình dạng như thế nào trong
không gian n chiều.
Trong đó Hình học vi phân là môn quan trọng, chủ yếu nghiên cứu về
hình học của đường và mặt trong không gian E3 thông qua các loại độ cong,
gắn liền với các đối tượng hình học trong cuộc sống, các thực thể trong không
gian 2 chiều và 3 chiều, đặc biệt đối với phần mặt trong E3 có nhiều ứng dụng

trong thực tế và các ngành khoa học khác. Giúp chúng ta tư duy, tưởng tượng
cụ thể và chính xác. Vì thế mà em đã chọn đề tài khóa luận: "Các dạng cơ
bản của mặt trong En và ứng dụng".
2. Mục đích nghiên cứu
Đối với các dạng cơ bản của mảnh tham số trong không gian thì việc
giải chúng sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Vì vậy để giải được những bài toán đó
chúng ta cần có cách giải, cách nhận dạng và ứng dụng của chúng. Vì thế
trong khóa luận trình bày các dạng cơ bản của mặt và ứng dụng như sau:
+ Các định nghĩa các dạng cơ bản của mặt trong En.
+ Tìm được các dạng cơ bản của mặt và ứng dụng.
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
a) Khách thể nghiên cứu
Sách hình học vi phân (giáo trình, bài tập, sách tham khảo)
b) Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu và tìm hiểu về các dạng cơ bản của mặt và ứng dụng của
nó trong không gian của hình học vi phân.
4. Giả thuyết khoa học
9


Vấn đề về các dạng cơ bản của mặt trong E n và ứng dụng có vai trò rất
quan trọng. Nếu vấn đề này được đổi mới với một hệ thống phương pháp,
hình thức phù hợp thì nó sẽ trở thành công cụ hữu hiệu cho các nhà quản lí
nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo của nhà trường, nâng cao tinh thần
chủ động sáng tạo tích cực học tập rèn luyện của sinh viên nói chung.
5. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận của vấn đề tìm hiểu các dạng cơ bản của mặt
trong E n và ứng dụng của sinh viên.
- Tìm hiểu phương pháp giải bài tập qua các dạng của mặt.
6. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các sách giáo trình và tra cứu tài liệu

10


Chương 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Đạo hàm của hàm vectơ
1.1.1. Hàm vectơ
Cho tập mở U  Rm (m ≥1). Mỗi ánh xạ


X : U  En

p  X  p
được gọi là 1à hàm vectơ trên U. Ở đây Rm được xét với tôpô thông thường và

vectơ E n là không gian vectơ Ơclit n-chiều.

 

Nếu trong E n cho cơ sở (e1 ,...,e n ) thì với p  U , vectơ X(p) có các tọa


độ phụ thuộc p, kí hiệu là X(p)  (X1 (p),..., X n (p))
Ta gọi Xi : U  R

p  Xi (p) là hàm tọa độ thứ i của X. Vì p có m tọa độ trong
Rm nên Xi là một hàm số m biến Xi (t1 , t 2 ,..., t n );p  (t1,..., t n ) .
1.1.2. Đạo hàm




n



Cho U là một tập hợp tùy ý U  E thì ánh xạ


X : U  E n là một hàm vectơ xác định trên U.

  

Chọn 1 cơ sở e1 ,e 2 ,...,e n của E n thì cho X tương đương với cho n hàm số:





xi : U  R
n


u  X  u    x i  u   ei , u  U
i 1

Khi U = J (là 1 khoảng trong R), cho hàm vectơ



X : J  En

t  Xt

thì đạo hàm của X nếu có là:
11


Nếu 





X  t  t   X  t 
thì ta gọi nó là đạo hàm của X tại điểm to.
X  t   lim
t 0
t

Kí hiệu X

Khi đó ta gọi X khả vi tại to.

1.1.3. Đạo hàm cấp cao



Nếu X khả vi trên J thì  X  được gọi là đạo hàm cấp 2 của X trên J



và nói rằng X khả vi cấp 2 trên J. Kí hiệu: X

 
 k 1
Nếu X
có đạo hàm X  k 1 được gọi là đạo hàm cấp k trên J. Kí






hiệu: X k 

 


Nếu X k  liên tục thì ta kí hiệu X  C k .

 



Nếu X  C thì ta nói rằng X là hàm nhẵn (trơn).

Ví dụ: Cho ánh xạ X : R  E1
x 1

thì X liên tục thật vậy:



k
Ta có: X x   0  X(x)
 0, x  R

1.1.4. Đạo hàm riêng
Với hàm vectơ nhiều biến số, chẳng hạn cho hàm vectơ


X : U  En

 u, v   X  u, v  (với U là một tập mở trong E2)
 
X X
Có thể nói đến đạo hàm riêng
,
, và nếu có các đạo hàm riêng
u v
liên tục thì chúng bằng nhau.
1.2. Trường vectơ
1.2.1. Vectơ tiếp xúc
12


Nhắc lại rằng không gian Euclid En là một không gian afin liên kết với


n
không gian vectơ Euclid E . Hai điểm p, q của E n xác định một vectơ


 
 

  E n mà ta viết pq   hay q  p   . Thường nói, các phần tử của E n là
các “vectơ tự do” của En. Nhưng trong hình học, vật lí, còn cần đến các
“vectơ buộc” . Cụ thể là xét tập tích


TE n  E n x E n

Định nghĩa


Ta gọi  p   p,    TE n là một vectơ tiếp xúc của En tại p, hay vectơ 

đặt tại p.
Trong đó
TEn gọi là không gian các vectơ tiếp xúc của En
 là kí hiệu mỗi phần tử của En
Với p  E n , kí hiệu Tp E n là không gian các vectơ tiếp xúc của En tại p thì
có song ánh:


E n  Tp E n

  p


(“đặt gốc” tại p). Từ đó đưa được cấu trúc không gian vectơ Euclid từ E n


lên Tp E n là không gian vectơ tiếp xúc (trường) của En tại p.

U là một tập mở trong En thì đặt TU  U x E n và gọi là không gian các
vectơ tiếp xúc của U. Với p  U , kí hiệu Tp U  Tp E n và gọi nó là không gian
vectơ (trường) tiếp xúc của U tại p.
1.2.2. Trường vectơ
Cho tập U mở trong En, ta gọi ánh xạ X : U  TU
p  X p

là một trường vectơ trên U sao cho với mọi p  U, X  p   Tp  U 
Trường vectơ X : U  TU xác định ánh xạ
13




X : U  En

p  X  p   p, X  p 

Nói X khả vi lớp Ck nếu ánh xạ X khả vi lớp Ck

Khi X là ánh xạ hằng thì trường vectơ X gọi là một trường vectơ song





song.

1.3. Cung
1.3.1. Cung tham số
Cho J là một khoảng mở trong R ta gọi ánh xạ
 : J  En

t   t 
là một cung tham số (hay một quỹ đạo) trong En.
a. Vi phôi
Song ánh f được gọi là một vi phôi nếu f khả vi tới lớp C k và f 1 khả vi
tới lớp Ck .
b. Hai cung tham số tương đương
Hai cung tham số  : J  E n và r : I  E n

t   t 

u  r u

(I, J là những khoảng trong R;  và r khả vi) gọi là tương đương nếu có vi
phôi  : J  I .

t  u    t  sao cho r0   .
Dễ thấy đó là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương của
quan hệ trên gọi là một cung trong En.
 và r được gọi là các tham số hoá của cung.
Vi phôi gọi là một phép đổi tham số của cung.
Ví dụ
+ Cho cung tham số:
14



 : J  E n là ánh xạ hằng

tI
Từ đó ta có ảnh của cung tham số này là tập chỉ có một điểm I.
+ Cho R là một số dương cho trước, e1 ,e2  là một hệ trực chuẩn trong

E n khi đó ta xét:

 : J  En
t    t    R cos t, R sin t 

hay   t   0  R cos t.e1  R sin t.e 2
Từ đó ta có ảnh của  là một đường tròn tâm O có bán kính R.
1.3.2. Cung chính quy
Ta gọi   t  là điểm thuộc cung cho bởi tham số t (hay đơn giản gọi là
điểm t), ta không đồng nhất cung với ảnh của cung, ảnh của cung là tập hợp
các điểm trong En tạo thành một đường trong En.


Điểm   t  được gọi là điểm chính quy của cung  nếu   t   0 .
Cung chính quy là một cung mà mọi điểm thuộc nó đều là điểm chính quy.
Tham số hoá tự nhiên của cung chính quy
Cho cung chính quy  tham số hoá r : J  E n
s  r s

gọi là tham số hoá của cung  nêú r  s   1, s  J .
1.3.3. Cung định hướng
Định nghĩa
Vi phôi  được gọi là vi phôi bảo toàn hướng nếu   t   0, t  J .
Vi phôi  được gọi là vi phôi bảo toàn hướng nếu   t   0, t  J .

Hai cung tham số  và r gọi là tương đương định hướng nếu tồn tại
một vi phôi bảo toàn hướng  : J  I sao cho   r0 . Khi đó quan hệ trên là

15


một quan hệ tương đương và mỗi lớp tương đương theo quan hệ trên gọi là
một cung định hướng.
Đảo hướng của một cung định hướng
Cho cung định hướng r xác định bởi  : J  E n , thì cung định hướng r 
xác định bởi r   1 : I  E n ,  : J  I là một vi phôi đảo hướng, gọi là có
được từ r do đảo hướng.
1.4. Mảnh tham số
1.4.1. Định nghĩa
Cho một tập mở U trong R2, ta gọi ánh xạ
r : U  En

 u, v   r  u, v 
là một mảnh tham số trong E n .
1.4.2. Cung và đường trong E3
Với điểm  u 0 , v0 
Khi v  v 0 cung tham số u  r  u, v0  trong En (ở đây u thay đổi trong
một khoảng J  R nào đó, u 0  J ) gọi là đường toạ độ v  v 0 (hay đường toạ
độ u qua  u 0 , v0  .
Khi u  u 0 , cung tham số v  r  u 0 , v  trong En gọi là đường toạ độ
u  u 0 (hay đường toạ độ v qua  u 0 , v0  ).

Khi r_khả vi, điểm  u 0 , v0  được gọi là điểm chính quy của r nếu

ru  u 0 , v0  ,rv  u 0 , v0  - độc lập tuyến tính.

Trong đó ru  u 0 , v0  ,rv  u 0 , v0   Tr u 0 ,v0  E n .
Điểm không phải là điểm chính quy được gọi là điểm kì dị. Khi đó mảnh
tham số r gọi là mảnh chính quy nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm chính
quy.
1.4.3. Mặt phẳng tiếp xúc, pháp tuyến
16


Tại điểm chính quy  u 0 , v0  của mảnh tham số r, gọi 2_phẳng trong En
đi qua r  u 0 , v0  với không gian vectơ chỉ phương ru  u 0 , v0  ,rv  u 0 , v0  là
mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của r tại  u 0 , v0  ( cũng có khi nói tại

r  u 0 , v0  ). Khi n = 3, đường thẳng đi qua r  u 0 , v0  thẳng góc với tiếp diện
tại  u 0 , v0  gọi là pháp tuyến của r tại  u 0 , v0  .
Trong toạ độ afin  x, y,z  của E3 viết:
r  u, v    x  u, v  , y  u, v  ,z  u, v  

(trong đó r  u, v    x  u, v  , y  u, v  ,z  u, v   là những hàm số trên U) thì
phương trình tiếp diện của r tại  u 0 , v0  là :
X  x  u 0 , v0 

Y  y  u 0 , v0 

Z  z  u 0 , v0 

xu  u 0 , v0 

yu  u 0 , v0 

zu  u 0 , v0   0


xv  u 0 , v0 

yu  u 0 , v0 

zu  u 0 , v0 

và khi toạ độ đó là Descartes vuông góc thì phương trình pháp tuyến của r tại

 u 0 , v0  là
X  x  u 0 , v0 
Y  y  u 0 , v0 

yu  u 0 , v0  zu  u 0 , v0  zu  u 0 , v0  xu  u 0 , v0 
yv  u 0 , v0  zv  u 0 , v0 

zv  u 0 , v0  xv  u 0 , v0 

Z  z  u 0 , v0 
xu  u 0 , v0  yu  u 0 , v0 
xv  u 0 , v0  yv  u 0 , v0 

1.4.4. Mảnh định hướng
  E n được gọi
Hai mảnh tham số r, r trong E n với r : U  E n và r : U

 để r  r  và quan hệ này là một
là tương đương nếu có vi phôi  : U  U
0


17


quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương đó gọi là một mảnh trong E n và
r còn gọi là một tham số hoá của mảnh.
Ta có thể nói đến khái niệm điểm chính quy của mảnh, tiếp diện của
mảnh tại một điểm chính quy của nó.
Nếu trong định nghĩa quan hệ tương đương nói trên, đòi hỏi  là một vi
phôi bảo tồn hướng thì ta có thể nói đến mảnh định hướng, khi đó nếu n = 3
và mảnh chính quy thì vectơ đơn vị.
ru  rv
ru  rv

tại điểm ứng với  u, v  trong một tham số hoá r của nó là hoàn toàn xác định
và phương của nó chính là phương của pháp tuyến của mảnh tại điểm đó.
Ví dụ

  n
Cho 2 vectơ ,  E thì
r : R 2  En



u  r  u, v   I  u.  v.

là một mảnh tham số (khả vi lớp C ).
 
Nếu     0 thì r  u, v   I

 


Từ đó ta có ảnh r R 2  I



Nếu   0   thì r  u, v   I  v.


Từ đó ta có ảnh r R 2 là đường thẳng qua I có vectơ chỉ phương là  .

 


  

Nếu   k   0, k  0 thì r  u, v   I   u _ kv  . .






Từ đó ta có ảnh r R 2 là đường thẳng qua I có vectơ chỉ phương là  .

 

18




 
Nếu hệ ,  độc lập tuyến tính (các vectơ khác 0 ) khi đó: r R 2 là mặt

 

 
phẳng qua I có không gian vectơ chỉ phương là , 

 
 
, khi ,  phụ thuộc

tuyến tính thì mọi điểm của mảnh đều là điểm kì dị.
1.4.5. Mảnh hình học
a. Định nghĩa
Tập S  E 3 được gọi là mảnh hình học nếu tồn tại tập mở U  E 2 và
ánh xạ r khả vi trên U thoả mãn.
i. S  r  U 
ii. Hệ ru  u, v  ,rv  u, v  - độc lập tuyến tính   u, v   U
iii. r là một đồng phôi lên ảnh E với r : U  E n
b. Tham số hoá của mảnh hình học
Để nghiên cứu các mảnh hình học người ta thường dùng một kiểu
mảnh tham số gọi là mảnh tham số kiểu đồ thị được định nghĩa như sau: giả
sử trong E n cho một hệ toạ độ afin  x1 , x 2 ,, x n  và U là một tập mở trong
mặt phẳng R 2 

 x , x  , i  J  thì một mảnh tham số
i

j


r : U  E n có biểu

thức toạ độ dạng



r  x i , x j   f1  x i , x j  ,f 2  x i , x j  ,,f n  x i , x j 



trong đó f i  x i , x j   x i ,f j  x i , x j   x j , được gọi là mảnh tham số kiểu đồ thị
(hai toạ độ x i , x j được lấy làm hai tham số).
Ví dụ
i. Mảnh tham số r : R 2  E3

 x, y   r  x, y  với





r  x, y   x, y,ax 2  by 2  c là một mảnh tham số kiểu đồ thị.

 

Ảnh r R 2 là một mặt phẳng.
19



ii. Mảnh tham số r : R 2  E3

 x, y   r  x, y  với





r  x, y   x, y,ax 2  by 2  c là một mảnh tham số kiểu đồ thị. Ảnh

 

r R2

là một mặt parabôlôit elliptic hay parabôlôit hypebôlic (tuỳ theo

ab  0 hay ab  0 ).

20


Chương 2
CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA MẶT TRONG E n VÀ ỨNG DỤNG

2.1. Đa tạp hai chiều
2.1.1. Định nghĩa
Cho tập S   của E n . Nếu với mỗi điểm p  S có lân cận mở V trong
E n của p sao cho S  V là một mảnh hình học thì S gọi là một đa tạp hai

chiều (còn gọi tắt là mặt hình học hay mặt) trong E n . Mỗi tham số hoá của

mảnh hình học S  V gọi là một tham số hoá địa phương của S tại p.
Ví dụ
a. Mỗi mảnh hình học là một đa tạp hai chiều
b. Một hợp của những mảnh hình học rời nhau (tức là đôi một không
giao nhau) là một mặt hình học.
2.1.2. Tiêu chuẩn nhận biết
Tiêu chuẩn 1: tập S  E 3 là đa tạp hai chiều trong E 3 khi và chỉ khi
p  S đều tồn tại một lân cận mở chứa p trong S là một mảnh hình học có

tham số hoá kiểu đồ thị tương đương với mảnh tham số r1  r \ u1 (với u1 là
một tập mở trong U, S1  r  u1  .
Tiêu chuẩn 2: tập S  E3 là đa tạp hai chiều trong E 3 khi và chỉ khi với
mỗi điểm pS có tập mở p  W  E3 và hàm số khả vi  trên W thoả mãn:
i. W   S  1    p0  
ii.  x , y , z  \  x, y,z   W  0
1
2
3
Thật vậy, nếu S là đa tạp hai chiều trong E3 với tọa độ afin (x , x , x )
1
2
1
2
3
thì mỗi pS có lân cận mở là đồ thị của hàm số (x , x )  (x , x )  x (nếu

cần, đổi chỉ số các tọa độ) khi đó lấy  là hàm số
21



(x1, x 2 , x 3 )  (x1, x 2 , x 3 )  x 3  (x1, x 2 )
Ngược lại, giả sử với mỗi pS có tập mở W và hàm số  như trên thì coi

(p)  0 và  : (x1 , x 2 , x 3 )  (x1 , x 2 , x 3 ) ; khi đó do  có hạng 1 (tức  là

 0 , nên phương trình (x1 , x 2 , x 3 )  0
3
x

một ngập), có thể coi chẳng hạn

3
1
2
có thể giải ra (địa phương) đối với x3, x  (x , x ) , và ta được một lân cận

của p trong S là đồ thị của hàm số đó. Vậy theo tiêu chuẩn 1, S là một đa tạp
hai chiều trong E3.
Ví dụ
2


y2
3 x
Chứng minh rằng: S   x, y,z   E : 2  2  2z  là đa tạp hai chiều.
a
b




Thật vậy
p  S, W  E 3 và hàm số khả vi  : E3  E 3

 x, y, z     x, y,z 
x 2 y2
với   x, y,z   2  2  2z . Ta có
a
b


x 2 y2
W  S   x, y,z   E3 : 2  2  2z 
a
b





 x, y,z   E

3



:   x, y,z   0

 1  0 

 1    0  


 2x 2y

Lại có:  x , y , z  \  x, y,z   E 3   2 , 2 , 2  , x, y, z
a b


Vây theo tiêu chuẩn nhận biết ta có S là đa tạp hai chiều.

2.1.3. Trường vectơ tiếp xúc của mặt S
22


Ta gọi trường vectơ X :S  U pSTp E n

p  X  p   p, X  p 



(với X là hàm vectơ X : S  E n ) là một trường vectơ tiếp xúc trên S.





Không gian tất cả các vectơ tiếp xúc với S tại p. Kí hiệu: TpS tức là:
t 0  J :   t 0   p
  TpS thì tồn tại cung tham số t    t  trên S sao cho 
  t 0   


và ta có hai trường vectơ đặc biệt đó là:
R u : S   Tp E n
pS


p  R u  p   p,ru

 

và R v :S   Tp E n
pS


p  R v  p   p,rv

 

là hai trường vectơ tiếp xúc trên S và R u ,R v  lập thành một cơ sở của TpS .
2.2. Ánh xạ Weingacten
2.2.1. Định nghĩa
Bổ đề 1. Cho mặt S trong E3 , p  S ,vectơ v  TpS . Khi đó tồn tại một cung
 : J  S, t  (t) sao cho có t0J để (t 0 )  p, v  ' (t 0 ) .

Chứng minh. Lấy tham số hóa địa phương r : U  S

(u, v)  r(u, v) tại p của S và giả
'
'
sử p  r(u 0 , v0 ) . Giả sử v  ru (u 0 , v0 )   rv (u 0 , v0 ) . Lấy cung  : J  U


t   (t)  (, )
và đặt   r. : U  S . Khi đó  '(t)  (r. )(t)  ru' (t)' rv' ( t) '  ru'   rv' .
Suy ra  '(t 0 )  ru' (u 0 , v0 )  rv' (u 0 , v0 )  v

23



Bổ đề 2. Cho mặt S trong E3, một hàm vectơ  : S  E 3 khả vi trên S, một

điểm p  S và vectơ v  TpS . Giả sử ,  : J  S là hai cung thỏa mãn
(t 0 )   (t 0 )  ,  '(t 0 )   '(t 0 )  v . Khi đó (.)'(t 0 )  ( )'(t 0 ) .

Chứng minh. Lấy một tham số hóa địa phương r : U  S

(u, v)  r(u, v)
của S tại p. Cho  : J  S thì tồn tại cung  : J  U sao cho   r. .
Đặt  (t)  (u(t), v(t)),u(t 0 )  u 0 , v(t 0 )  v 0 ,   .r : (u, v)  (u, v) . Khi đó
(.)'(t 0 )  (.r. )(t 0 )  (. )(t 0 )0   'u (vu 0 , v 0 ).u '(t 0 )   'v (u 0 , v0 ).v '(t 0 )

Tương tự với  thì có cung  : J  U sao cho   r. .
Đặt  (t)  (u(t), v(t)) ta có (u '(t 0 ), v'(t 0 ))  (u(t), v(t)) (vì  '(t 0 )   '(t 0 )  v )
và (. ) '(t 0 )   'u (u 0 , v 0 ).u '(t 0 )   'v (u 0 , v 0 ).v '(t 0 ) .
Suy ra ()'(t 0 )  (. )'(t 0 )
Định nghĩa
Cho mặt S trong E3 định hướng bởi trường pháp vectơ đơn vị khả vi n dọc
theo S. Với điểm cố định p  S và vectơ   TpS ta lấy một tham số hóa địa
phương r : U  S tại p, một cung tham số  : J  S
t  (t)


sao cho p  (t 0 ),    '(t 0 ) . Từ đó ta có cung tham số  : J  U
t  (u(t), v(t))

sao cho   r. .
Kí hiệu D n  (n.r.)'(t 0 ) và gọi vectơ này là đạo hàm của n theo vectơ 
(theo bổ đề 2 thì D n không phụ thuộc vào cách chọn  và do đó không phụ
thuộc vào cách chọn  ).
Vì n.r.  1 nên (n.r.)'  (n.r. ) tức là D n  n . Do đó D  n  TpS .
Vậy có thể lập ánh xạ h p : TpS  TpS
24


  h p ()   D n

Ta gọi hp là ánh xạ Weingarten (hay ánh xạ dạng) của S tại p tương thích
với trường pháp vectơ đơn vị n.
2.2.2. Tính chất
a. Ánh xạ Weingarten là một đồng cấu tuyến tính tức là
h p  .a  .b   a.h p     b.h p   

Thật vậy
Cho   TpS ta viết được:
   r.p   t 0   ru .u  t 0   rv .v  t 0  trong đó r : U  S là tham số hoá

địa phương của S tại p còn  : J  U .

t   u  t  , v  t   mà r  u  t  , v  t    p .
Đẳng thức



  ru .u  t 0   rv .v  t 0  chứng tỏ rằng  có toạ độ u  t 0 , v  t 0   đối





với cơ sở  ru ,rv  của TpS . Theo định nghĩa.
h p     D n    n.r.   t 0     n.r  .   t 0 
   n.r u .u  t 0    n.r v .v  t 0 

Vì   n.r u và   n.r v là hai vectơ cố định của TpS nên từ
h p       n.r u .u  t 0    n.r v .v  t 0  . Từ đó h p    là tự đồng cấu tuyến

tính của TpS .
b. Ánh xạ Weingarten là một tự đồng cấu đối xứng tức là
h p    .  .h p   

Thật vậy
Ta có R u ,R v  là cơ sở của TpS . Để chứng minh h p là tự đồng cấu đối
xứng khi và chỉ khi:
25


h p  R u .R v  h p  R v  .R u
 
có h p  R u .R v  h p  R u .R v

   n.r u .rv

(1)




mà  n.r .rv  0 (do rv là vectơ tiếp xúc của R v vuông góc với pháp tuyến n.
 
  0 suy ra
Từ đó  n.r u .rv   n.r .rvu
 


n.r
.r


  u v  n.r .rvu

(2)

 

Từ (1) và (2) ta được h p  R u  .R v   n.r .rvu

(3)

Chứng minh tương tự ta được:
 
  h p  R u  .R v
h p  R v  .R u   n.r .rvu

(4)


  ruv

Vì r - khả vi nên ta có rvu

(5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ
Cho mặt cầu S trong E3 có phương trình tham số theo toạ độ trực chuẩn
r  u, v    a cos u.cos v,a cos u.sin v,a sin u  , a  0 .

Lấy tại  0,0, 1 hướng của E 3 xác định bởi mục tiêu trực chuẩn đã cho.
Kiểm tra thấy rằng:

 n.r  u, v  

ru  rv
ru  rv

là một trường vectơ pháp tuyến liên tục trên S. Do đó có thể định hướng S bởi
trường n.r . Hãy tính h p tại điểm p  S .
Giải
Xem r là tham số hoá địa phương tại p. Ta có

ru   a sin u.cos v, a sin u.sin v,a cos u 

rv   acosu.sin v,acosu.cosv,0 
26




Khi đó n    cos u.cos v,  cos u.sin v,  sin u 

Từ đó suy ra:


1 
h p  ru    n.r u    sin u.cos v,  sin u.sin v,cos u    ru
a


1 
h p  rv    n.r v   cosu.sin v,cosu.cosv,0    rv
a

Vậy với v    ru    rv thì h p  v  

1
1
   ru    rv    v
a
a

Suy ra h p này là phép vị tự tuyến tính tỉ số

1
. Ma trận của h p đối với
a


1

0
a

cơ sở  ru  rv  của TpS là A  
.
1
0


a 

2.2.3. Độ cong Gauss và độ cong trung bình
Theo chứng minh trên ta có h p là tự đồng cấu đối xứng, theo lý thuyết
đại số tuyến tính thì đều chéo hoá được tức là luôn tồn tại một cơ sở trực
chuẩn của TpS để sao cho trong cơ sở ấy h p có dạng chéo.
Ta gọi mỗi giá trị riêng của h p là độ cong chính tại điểm p của mặt S,
mỗi vectơ riêng của h p gọi là một phương chính của mặt S tại p.
Ta gọi định thức của h p là độ cong Gauss của mặt S tại p. Kí hiệu:

K p .
Ta gọi nửa vết của ánh xạ h p là độ cong trung bình của mặt S tại p. Kí
hiệu: H  p  .
Theo nhận xét trên thì có hai khả năng sau:
i. h p có hai giá trị riêng phân biệt kí hiệu: k 1 , k 2 . Khi đó, mat h p
trong cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng
27



k 0 
A 1

0 k 2 

Từ đó : Độ cong Gauss K  p   k 1  k 2
Độ cong trung bình H  p  

k 1  k 2
2

ii. h p có hai giá trị riêng bằng nhau là k. Khi đó, mat h p trong cơ sở
k 0
trực chuẩn các vectơ riêng là A  
 . Khi đó
0 k 

K  p   k 2

H  p   k

2
Tại p thì K  p    H  p    k 2 . Ta gọi các điểm này trên mặt S là điểm rốn.

Nếu k  0 thì ta gọi điểm rốn là điểm cầu
Nếu k  0 thì ta gọi điểm rốn đó là điểm dẹt
2.3. Các dạng cơ bản của mặt trong E n và ứng dụng
2.3.1. Dạng cơ bản của mặt S trong E n
Với mỗi p  S ta gọi các ánh xạ
I p : TpS  TpS  S


 ,    .
II p : TpS  TpS  R

 ,    h p      .h p  
lần lượt là các dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của mặt S tại p trong E n .
I p  ,    I p   
Người ta cũng ký hiệu 
và khi p thay đổi thì dùng ký
II

,


II





 p
p

hiệu I và II.
Trong tham số hóa địa phương  u, v   r  u, v  của S , xét hàm số trên
 
 
 
U sau: E  ru' .ru' ; F  ru' .rv' ; G  rv' .rv' .


28


 
 
'
"
L   n.r .ruu   n.r u .ru'
 
 
 
'
'
"
'
M   n.r .ruv   nr u .rv   n.r  v .ru'

 
'
"
N   n.r .rvv   n.r v

(n là trường vectơ pháp tuyến đơn vị xác định hướng của S) thì với
X  1R u  2 R v , Y  1R u   2 R v ta có :

I  X, Y    E.r 1  11   F.r 1  1 2  2 1    G.r 1  2  2
II  X, Y    L.r 1  11   M.r 1  1 2  2 1    N.r 1  2  2

Chúng được gọi theo thứ tự là biểu thức tọa độ của dạng cơ bản thứ
nhất và dạng cơ bản thứ hai trong tham số hóa địa phương đang xét.

Gọi E, F, G là các hệ số của biểu thức tọa độ của dạng I.
Gọi L, M, N là các hệ số của biểu thức tọa độ của dạng II.
Chú ý rằng khi tham số hóa r tương thích với hướng của S thì
 
 r '  r '
n.r  u v .
ru'  rv'
Tính chất: Xét ánh xạ Wiengarten hp của đa tạp 2 chiều có hướng S
trong E 3 tại điểm t S . Chứng minh rằng với , TpS,
h  .h   2H  p  .h p      k  p  .  0 ( trong đó, K  p  , H  p  theo thứ

tự là độ cong Gauss và độ cong trung bình của S tại p.
Đặt IIIp  ,    h p    .h p    thì ta được dạng song tuyến tính đối xứng
trên TpS ; nó gọi là dạng cơ bản thứ 3 của S tại p; công thức trên trở thành
III p  2H  p  .II p  K  p  .I p  0

Chứng minh
Ánh xạ h p của đa tạp hai chiều có hướng S trong E 3 tại p S , với
, TpS ta phải chứng minh
h p    .h p     2H  p  .h p    .  K  p  ..  0

Thật vậy
29