- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 9
Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (3)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (105.88 KB, 3 trang )
PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ
MÔN TOÁN HỌC
NĂM HỌC: 2015 - 2016
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 4đ )
Cho biểu thức
P=
x +1
:
1
x x +x+ x x − x
2
và Q = x 4 − 7 x 2 + 15
( với x > 0, x ≠ 1 )
a) Rút gọn biểu thức P
b) Với giá trị nào của x thì Q – 4P đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 2: ( 4đ )
Cho ba số dương a , b , c . Chứng minh rằng
1 1 1
1
1
1
+ + ≥ 3(
+
+
)
a b c
a + 2b b + 2c c + 2a
Bài 3: ( 4đ )
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x 2 − 3 y 2 + 2 xy − 2 x − 10 y + 4 = 0
Bài 4: ( 6đ)
Trên đường tròn tâm (o), bán kính R lấy hai điểm A và B tùy ý. Giả sử C là một điểm nằm
phía trong AB ( C ≠ A, C ≠ B ). Kẻ đường kính AD của đường tròn tâm (o). Cát tuyến đi qua
C vuông góc với đường kính AD tại H cắt đường tròn tâm (o) tại M và N. Đường thẳng đi qua
M và D cắt AB tại E. Kẻ EG vuông góc với AD tại G
a) Chứng minh rằng: BDHC và AMEG cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh rằng: AM 2 = AC . AB
c) Chứng minh rằng: AE . AB + DE . DM = 4R 2
Bài 5 ( 2đ)
Các góc nhọn của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện
CosA + CosB + CosC = CosA.CosB + CosB.CosC + CosC.CosA
Chứng minh rằng tam giác ABC đều
................... Hết ......................
PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ
MÔN TOÁN HỌC
NĂM HỌC: 2015 - 2016
Câu
1/a
1/b
Đáp án
P=
x +1
x ( x + x + 1)
. x ( x − 1)( x + x + 1)
= ( x + 1)( x − 1)
= x −1
Q – 4P = x 4 − 7 x 2 + 15 − 4 x + 4
= ( x 4 − 8 x 2 + 16) + ( x 2 − 4 x + 4) − 1
= ( x 2 − 4) 2 + ( x − 2) − 1 ≥ -1 Với mọi x
x2 − 4 = 0
Dấu đẳng thức xảy ra khi x − 2 = 0
x=2
Vậy Min Q - 4P = -1 khi x = 2
Với x, y, z > 0 ta có
1
1 1 1
x + y + z ≥ 3 xyz ,
+ + ≥ 3. 3
xyz
x y z
1 1 1
( x + y + z )( x + y + z ) ≥ 9
1 1 1
9
x + y + z ≥ x+ y+z *
{
2
Điểm
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Áp dụng * ta có:
1 1 1
9
1 1 1
9
1 1 1
9
+ + ≥
, + + ≥
, + + ≥
a b b
a + 2b b c c
b + 2c c a a
c + 2a
Cộng vế ta được:
1 1 1
1
1
1
+
+
)
a b c
a + 2b b + 2c c + 2a
1 1 1
1
1
1
+
+
)
+ + ≥ 3(
a b c
a + 2b b + 2c c + 2a
3( + + ) ≥ 9(
3
4/a
Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c
Biến đổi phương trình [ x 2 + 2 x( y − 1) + ( y − 1) 2 ] – ( 4 y 2 + 8 y + 4) + 7 = 0
( x + y − 1) 2 − (2 y + 2) 2 + 7 = 0
(3 y + x + 1)( y − x + 3) = 7
Do đó: 3 y + x + 1 và y − x + 3 là ước của 7
Vậy : ( x, y ) ( 7; -3 ), ( 1; -3 ) , ( 3; 1 ) , ( -3 ; 1 )
Vẽ hình
Tứ giác BDHC và tứ giác AMEG là tứ giác nội tiếp
Vì có tổng hai góc đối bằng 180 0
1
0,5
0,5
0,5
1
1
1
0,5
0,5
1
4/b
∆AHC đồng dạng ∆ABD ( g. g )
0,5
AH AC
=
=>
AB AD
0,5
0,5
Nên AH. AD = AB. AC
Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuôngMAD
Ta có: MA 2 = AH. AD
AM 2 = AB. AC
4/c
∆AGE đồng dạng ∆ABD ( g. g )
AE. AB = AG. AD
∆DGE đồng dạng ∆DMA ( g. g )
DE. DM = DG. DA
Vậy AE. AB + DE. DM = AD(AG + GD)
= AD 2 = 4R 2
0,5
0,5
N
D
G
H
•
O
.
A
E
C
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
B
M
5
Đặt CosA = x , CosB = y, Cos C = z ( ta có x ; y ; z > 0 )
x + y + z = xy + yz + zx
( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x ) = 0
0,25
0,25
0,25
( x − y )2 = 0
0,5
( y − z )2 = 0
( z − x)2 = 0
=> x = y = z
Hay CosA = CosB = Cosc
A=B=C
Vậy ∆ABC đều
Ban giám hiệu
PHT. Vũ Thị Hồng Thắm
0,25
0,25
0,25
Người duyệt đề
Người ra đề / đáp án
Trịnh Văn Đông
Đàm Trọng Tuấn
