LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn, giúp đỡ của các thầy cô giáo
trong khoa Giáo dục Tiểu học, các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi trong quá trình làm khóa luận này. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng
cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Năng Tâm – người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ
bảo tận tình để tôi hoàn thiện khóa luận.
Trong khi thực hiện đề tài này, do thời gian và năng lực có hạn nên tôi vẫn
chưa đi sâu khai thác hết được và còn nhiều hạn chế cũng như thiếu sót. Vì vậy,
tôi mong nhận được sự tham gia đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Sim

1


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài “Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số
học ở Tiểu học” là kết quả mà tôi đã trực tiếp nghiên cứu, tìm hiểu được, thông
qua các đợt kiến tập hằng năm và thực tập năm cuối. Trong quá trình nghiên cứu
tôi có sử dụng tài liệu của một số nhà nghiên cứu, một số tác giả khác. Tuy
nhiên, đó chỉ là cơ sở để tôi rút ra được những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của
mình. Đây là kết quả của riêng cá nhân tôi, hoàn toàn không trùng với kết quả
của các tác giả khác.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên

Nguyễn Thị Sim

2


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 4
Chương 1: Cơ sở lí luận ...................................................................................... 9
1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học .................................................... 9
1.2. Cấu trúc nội dung mạch số học ở Tiểu học ................................................. 10
1.3. Suy luận ........................................................................................................ 11
1.3.1. Suy luận diễn dịch ..................................................................................... 12
1.3.2. Suy luận nghe có lí .................................................................................... 15
1.4. Chứng minh .................................................................................................. 17
1.5. Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp .................................. 19
1.5.1. Phương pháp chứng minh trực tiếp ........................................................... 19
1.5.2. Phương pháp chứng minh phản chứng ..................................................... 19
1.5.3. Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn........................................... 21
1.5.4. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học............................................. 22
Chương 2: Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học ở Tiểu học
............................................................................................................................. 25
2.1. Suy luận quy nạp .......................................................................................... 25
2.2. Suy diễn ........................................................................................................ 29
2.3. Phép tương tự ............................................................................................... 31
2.4. Một số bài toán vận dụng ............................................................................. 32
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 39

3



MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Việc đổi mới phương pháp dạy và học ở tất cả các cấp học, bậc học….áp
dụng những phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực,
tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề đã được đề cập tới nhiều. Thế nhưng,
muốn có năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo thì cần phải có
năng lực tư duy lôgic. Điều này đã được nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài
nước khẳng định bởi những lợi ích mà nó mang lại. Song trong thực tế, việc bồi
dưỡng tư duy lôgic ở trường phổ thông nói chung, trường tiểu học nói riêng chưa
đáp ứng được yêu cầu của Đảng đặt ra đối với sự nghiệp giáo dục, cũng như
những đòi hỏi của xã hội.
Bậc học nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và phát triển nhân
cách cho con người, đặt nền tảng vững chắc cho giáo dục phổ thông và cho toàn
bộ hệ thống giáo dục quốc dân chính là bậc học Tiểu học. Vì vậy, ở Tiểu học,
các em học sinh được tạo điều kiện phát triển toàn diện, tối đa với các môn học
thuộc tất cả các lĩnh vực: Tự nhiên, Xã hội và Con người.
Môn Toán ở Tiểu học có một ý nghĩa và vị trí đặc biệt quan trọng. Với tư
cách là một môn khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới hiện thực, nó có
một hệ thống khái niệm, quy luật và có phương pháp riêng. Hệ thống này luôn
phát triển trong trong quá trình nhận thức thế giới và đưa ra kết quả là những tri
thức Toán học để áp dụng vào cuộc sống. Với đặc thù riêng của môn học, Toán
học thực sự đóng vai trò chủ đạo trong việc trang bị cho học sinh hệ thống công
cụ và phương pháp riêng, là công cụ cần thiết để học sinh học các môn học khác,
và phục vụ cho các bậc học trên.

4



Các tuyến kiến thức được đưa vào dạy ở trường Tiểu học chia làm 5 tuyến
chính: số học, các yếu tố về đại số, các yếu tố về đại lượng, các yếu tố về hình
học, và giải toán. Các tuyến kiến thức này có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ
và bổ sung cho nhau, góp phần phát triển toàn diện năng lực toán học cho học
sinh Tiểu học. Cũng như việc dạy các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép tính
không chỉ đơn thuần rèn kỹ năng tính toán, giải toán, mà quan trọng hơn là nhằm
phát triển tư duy, rèn luyện phương pháp suy luận cho học sinh. Hình thành
phương pháp suy luận không những nâng cao năng lực suy nghĩ cho các em, mà
còn là phương tiện để giáo viên truyền thụ kiến thức mới nhằm hình thành, rèn
dũa các kỹ năng khác cho học sinh. Chương trình và sách giáo khoa phải đảm
bảo phải dạy học sinh những nguyên lí cơ bản, toàn diện về mặt đức dục, trí dục,
mỹ dục đồng thời tạo điều kiện cho các em phát triển óc thông minh, khả năng
độc lập suy nghĩ sáng tạo. Cái quan trọng của trí dục là rèn luyện óc thông minh
và sức suy nghĩ.
Nhưng thực tế trong dạy học các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép tính,
chúng ta chỉ mới chú trọng đến việc giúp học sinh nắm vững các quy tắc, tính
chất mà chưa coi trọng đúng mức đến cách thức hoạt động của thầy, trò trong
quá trình chiếm lĩnh tri thức ấy. Chính điều này đã dẫn đến: một mặt không phát
huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học, mặt khác
không phát triển được tư duy lôgic cho học sinh.
Mặc dù phép suy luận quy nạp (đặc biệt là quy nạp không hoàn toàn) không
đáng tin cậy song trong việc dạy toán ở tiểu học, nhưng phép quy nạp không
hoàn toàn đóng vai trò rất quan trọng. Với học sinh tiểu học còn nhỏ, vốn sống
còn hạn chế, tư duy trừu tượng chưa phát triển, các vấn đề giảng dạy đều phải
thông qua thực nghiệm, nên đây là phương pháp chủ yếu, đơn giản nhất, dễ hiểu

5


nhất đối với học sinh. Mặc dù nó chưa cho phép chúng ta chứng minh được chân

lí mới nhưng cũng giúp chúng ta đưa các em đến thật gần chân lí ấy; giúp giải
thích ở mức độ nào đó các kiến thức mới, tránh được tình trạng bắt buộc phải
thừa nhận kiến thức mới một cách hình thức, hời hợt.
Đứng trước thực tiễn đó, là một giáo viên Tiểu học trong tương lai, tôi
quyết định chọn đề tài “ Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học
ở Tiểu học” để nghiên cứu nhằm rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh. Tôi mong
muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình vào việc giúp các em học sinh có
được năng lực suy luận và chứng minh khi học mạch số học, đồng thời góp phần
phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh của mình sau này.
Trong khóa luận này tôi đã tham khảo thêm một số tài liệu của những tác
giả khác như: Trần Diên Hiển (2012), 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Toán 4 – 5, tập 1, tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam. Đỗ Đình Hoan (2002), Một
số vấn đề cơ bản của chương trình Tiểu học mới, NXB Giáo dục. Đỗ Đình
Hoan (chủ biên) (2006), SGK Toán 1, Toán 2, Toán 3, Toán 4, Toán 5, NXB
Giáo dục. Nguyễn Phụ Hy (2000), Dạy học môn Toán ở bậc Tiểu học, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội…
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số
học ở Tiểu học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học
- Tìm hiểu về suy luận và chứng minh
- Trình bày về suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học
4. Đối tượng – phạm vi nghiên cứu

6


Đối tượng nghiên cứu: suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học
ở Tiểu học

Nhiệm vụ nghiên cứu: học sinh Tiểu học
5. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết nhiệm vụ của đề tài, tôi đã thực hiện các phương pháp sau:
5.1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu
5.2. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
5.3. Phương pháp thử nghệm
6. Cấu trúc đề tài
Khóa luận này gồm có 3 phần: Mở đầu; Nội dung; Kết luận
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
6. Cấu trúc đề tài
NỘI DUNG
Chương 1: Cơ sở lí luận
1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học
1.2. Cấu trúc nội dung mạch số học ở Tiểu học
1.3. Suy luận
1.3.1. Suy luận diễn dịch
1.3.2. Suy luận nghe có lí
1.4. Chứng minh
1.5. Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp

7


1.5.1. Phương pháp chứng minh trực tiếp
1.5.2. Phương pháp chứng minh phản chứng
1.5.3. Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn

1.5.4. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Chương 2: Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học
2.1. Suy luận quy nạp
2.2. Suy diễn
2.3. Phép tương tự
2.4. Một số bài toán vận dụng
KẾT LUẬN

8


Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN
Chương này sẽ trình bày về những cơ sở lí luận cơ bản nhất về đặc điểm
nhận thức của học sinh Tiểu học, cấu trúc nội dung mạch số học ở Tiểu học.
Đồng thời cũng trình bày một cách khái quát nhất về suy luận và chứng minh.

1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học
Nhận thức là một trong ba mặt cơ bản của đời sống tâm lí con người (nhận
thức, tình cảm và hành động). Nó là tiền đề của hai mặt kia và đồng thời có quan
hệ chặt chẽ với chúng cũng như với các hiện tượng tâm lí khác. Hoạt động nhận
thức là hoạt động mà trong kết quả của nó, con người có được các tri thức (hiểu
biết) về thế giới xung quanh, về chính bản thân mình để tỏ thái độ và tiến hành
các hoạt động khác một cách có hiệu quả. Hoạt động nhận thức bao gồm nhiều
quá trình phản ánh hiện thực khách quan ở những mức độ khác nhau (cảm giác,
tri giác, tư duy, tưởng tượng,…) và mang lại những sản phẩm khác nhau về hiện
thực khách quan (hình ảnh, biểu tượng, khái niệm). Có thể chia toàn bộ hoạt
động nhận thức thành hai giai đoạn lớn: nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính.
Phát triển khả năng nhận thức là chỉ số của sự phát triển tâm lí trẻ em. Vì

vậy, mỗi một giai đoạn lứa tuổi có những đặc điểm phát triển riêng. Trong điều
kiện sống vài hoạt động mới của cuộc sống nhà trường, dựa trên nền tảng của
những thành tựu phát triển về mọi mặt của các giai đoạn lứa tuổi trước, đời sống
tâm lí của học sinh Tiểu học có những biến đổi và phát triển để làm nên “chất
tiểu học” trong mỗi đứa trẻ. Sự biến đổi, phát triển này diễn ra trên tất cả các mặt

9


của cấu trúc nhân cách cũng như trong mọi chức năng tâm lí của cá nhân trẻ,
trong đó có nhận thức. (xem [12], tr. 118)
1.2. Cấu trúc nội dung mạch số học ở Tiểu học
Mạch số học trong chương trình học môn Toán ở Tiểu học gồm các nội
dung sau:
Khái niệm ban đầu về số tự nhiên: số tự nhiên liền trước, liền sau, ở giữa
hai số tự nhiên; các chữ số từ 0 đến 9.
Cách đọc và ghi số tự nhiên: hệ ghi số thập phân.
Các quan hệ bé hơn, lớn hơn, bằng (=) giữa các số tự nhiên; so sánh các số
tự nhiên; xếp thứ tự các số tự nhiên thành dãy số tự nhiên. Một số đặc điểm của
dãy số tự nhiên (rời rạc, xếp thứ tự tuyến tính, có phần tử đầu, không có phần tử
cuối)…
Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên: ý nghĩa, bảng tính,
một số tính chất cơ bản của các phép tính, tính nhẩm và tính viết (theo thuật
toán), thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức có nhiều phép tính, mối
quan hệ giữa các phép tính (đặc biệt giữa cộng và trừ, cộng và nhân, nhân và
chia).
Giới thiệu bước đầu về phân số: khái niệm ban đầu, cách đọc, cách viết, so
sánh, thực hành cộng, trừ, nhân, chia trong trường hợp đơn giản.
Khái niệm ban đầu về số thập phân: cách đọc, cách viết (trên cơ sở mở
rộng hệ ghi số thập phân); so sánh và xếp thứ tự: cộng, trừ, nhân, chia các số

thập phân (ý nghĩa, một số tính chất cơ bản của phép tính, tính nhẩm và tính viết
theo thuật toán…). Một số đặc điểm của tập hợp các số thập phân (xếp thứ tự
tuyến tính, giữa hai số thập phân bất kì có rất nhiều số thập phân). (xem [5], tr.
22, tr. 23)

10


1.3. Suy luận
Định nghĩa: Hiện nay vẫn còn khá nhiều ý kiến về định nghĩa phép suy
luận. Qua tìm hiểu tôi có dẫn ra 2 cách phát biểu định nghĩa về suy luận như sau:
a. Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề rút ra một
mệnh đề mới, mệnh đề mới gọi là kết luận hay hệ quả logic. (xem [14], tr. 38)
Ta kí hiệu:
X1X2…Xn  Y
là một suy luận rút ra mệnh đề mới Y, từ các mệnh đề Xi, i = 1, n.
X i (i  1; n) là các tiền đề;

X1X2...Xn là tiền đề lớn;
Y là kết luận.
Nếu X1X2…Xn  Y là hằng đúng thì ta bảo suy luận đó là hợp logic, Y
được gọi là kết luận logic hay hệ quả logic.
Nếu tồn tại bộ giá trị của (X1, X2,…, Xn, Y) mà :
X1X2…Xn  Y
nhận giá trị 0 thì ta bảo suy luận là không hợp logic hay suy luận sai.
Ví dụ:
Nếu f ( a ) là hàm số liên tục trên [a, b]; f  a  . f  b   0 thì c  (a, b) sao
cho f  c   0. (xem [14], tr. 38)
Hàm số:
f ( x )  ( x  p )( x  q )  a 2 ( x  q )  b 2 ( x  p 2 )


liên tục trên đoạn  p , q  và f ( p ). f ( q )  0 .
Vậy tồn tại điểm c  ( p , q ) sao cho f (c)  0

11


 ( x  p)( x  q)  a2 ( x  q)  b2 (x  p)
1 

a2 ( x  q)
b2 ( x  p)

( x  p)( x  q) ( x  p)(x  q)

a2
b2

 1 có nghiệm. Suy luận có dạng:
Nói cách khác phương trình
x p xq
(X  Y )X  Y

Đây là suy luận hợp logic; hơn nữa mệnh đề đầu tiên là một định lí, vì vậy
kết luận của suy luận phải đúng, nghĩa là ta giải được bài toán chứng minh
a2
b2

 1 có nghiệm.
phương trình

x p xq

b. Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã biết.
Những mệnh đề đã có gọi là tiền đề, một mệnh đề nói được rút ra gọi là kết luận
của suy luận. (xem [2], tr. 184)
Hai kiểu suy luận thường gặp là là: suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn)
và suy luận nghe có lí (hay suy luận có lí).
1.3.1. Suy luận diễn dịch
Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) là suy luận theo những quy
tắc suy luận tổng quát (của logic mệnh đề). Trong suy luận diễn dịch, nếu các
tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng.
Mỗi chứng minh bao gồm một số hữu hạn bước suy luận đơn giản. Trong
mỗi bước suy luận đơn giản đó ta cần sử dụng một quy tắc suy luận để từ những
mệnh đề đã được thừa nhận là đúng suy ra được một mệnh đề mới. Các mệnh đề
xuất phát đã được thừa nhận đúng gọi là các tiền đề, mệnh đề mới được suy ra là
hệ quả logic của các tiền đề. Từ đó người ta có định nghĩa quy tắc suy luận như

12


sau: Giả sử A1, A2,…, An, B là những công thức. Ta nói B là hệ quả logic của A1,
A2,…, An nếu mọi hệ chân trị có thể nhận của các biến mệnh đề có mặt trong các
công thức đó mà A1, A2,…, An đồng thời nhận giá trị 1 đều có B nhận giá trị 1.
Khi B là hệ quả logic của A1, A2,…, An thì ta cũng nói có một quy tắc suy luận
từ các tiền đề A1, A2,…, An tới hệ quả logic B của chúng. (xem [1], tr. 86)
Trong logic vị từ, ngoài những quy tắc suy luận của logic mệnh đề ta
thường gặp và vận dụng hai quy tắc suy luận dưới đây:
1)

(x  X ) P ( x ), a  X

P(a)

Có nghĩa là:
Nếu P ( x ) đúng với mọi x  X và a  X thì P ( a ) là mệnh đề đúng.
2)

(  x  X ) P ( x )  Q ( x ), P ( a )
Q (a)

Có nghĩa là:
Nếu P ( x)  Q ( x) đúng với mọi x  X và P(a) đúng thì Q (a ) cũng là
mệnh đề đúng.
Ví dụ 1:
- Mọi số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9.
- Số 432135 có tổng các chữ số chia hết cho 9.
Vậy 432135 chia hết cho 9.
Ví dụ 2:
- Nếu tứ giác là hình thoi thì hai đường chéo của nó vuông góc với nhau.
- Tứ giác ABCD là hình thoi
Vậy AC  BD .

13


Ví dụ 3:
- Với mọi x  R
-

sin 2 x  cos 2 x  1



14

2
Vậy sin

R


14

 cos 2


14

1

Trong ba ví dụ trên, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng các quy tắc suy luận 1,
2 vừa nêu trên. Vì vậy các kết luận của chúng phải đúng.
Ví dụ 4:
- 672 chia hết cho 3.
- 672 chia hết cho 4.
Vậy 672 chia hết cho 3 và 4.
Trong ví dụ này, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng quy tắc suy luận:

p, q
pq
Ví dụ 5:
Từ các tiền đề

- Nếu a chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
- Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
Ta rút ra kết luận: “Nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho
3”. Ở đây các tiền đề đều là những định lí đã được chứng minh trong toán học.
Ta vận dụng quy tắc suy luận bắc cầu:

p  q, q  r
pr

14


1.3.2. Suy luận nghe có lí
Suy luận nghe có lí (hay còn gọi là suy luận có lí) là suy luận không theo
một quy tắc suy luận tổng quát nào. Nó chỉ xuất phát từ những tiền đề đúng để
rút ra một kết luận. Kết luận này có thể đúng mà cũng có thể sai.
Mặc dù suy luận nghe có lí có hạn chế nêu trên nhưng nó có ý nghĩa rất
quan trọng trong khoa học và đời sống: giúp chúng ta từ những quan sát cụ thể
có thể rút ra những giả thuyết, phán đoán để rồi sau đó tìm cách chứng minh chặt
chẽ giả thuyết đó. Nó đặt cơ sở cho nhiều phát minh trong khoa học.
Trong toán học, hai kiểu suy luận nghe có lí thường sử dụng là:
- Phép quy nạp không hoàn toàn.
Ví dụ:
a) 116 4; 228 4; 2004 4;.... và đi đến kết luận “Nếu số tạo bởi hai chữ số tận
cùng bên phải chia hết cho 4 thì chia hết cho 4”. Kết luận này đúng nhưng còn
cần phải chứng minh. (xem [1], tr. 91)
b) Thiên nga ở Mĩ có lông màu trắng, thiên nga ở Nga có lông màu trắng,
thiên nga ở Ca – na – đa có lông màu trắng, … và đi đến kết luận “Tất cả thiên
nga đều có lông màu trắng”. Kết luận này được coi là đúng khi chưa phát hiện ra
ở đâu đó có thiên nga lông không màu trắng. (xem [1], tr. 91]

- Phép tương tự.
Ví dụ:
a) Trong hình học phẳng ta có định lí “Hai đường thẳng cùng vuông góc
với một đường thẳng thì song song với nhau”. Một cách tương tự chuyển sang
hình học không gian ta có “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng
thì song song với nhau”. Ta đã biết kết luận này sai. (xem [1], tr. 91, tr. 92)

15


2
b) Với mọi số nguyên a ta có “ a  a  2 ”. Một cách tương tự ta có

4
“ a k  a  k với mọi k  N * ”. Vì 2  2 không chia hết cho 4 nên kết luận trên

không đúng với k = 4. Vì 2 là số nguyên tố nên một cách týõng tự ta lại có
p
“ a  a  p với một số nguyên tố p”. Kết luận này đúng, đó chính là định lí Phéc

– ma. (xem [1], tr. 91, tr. 92)
Phép quy nạp không hoàn toàn và phép tương tự là hai phép suy luận có
vai trò đặc biệt quan trọng trong phát minh sáng tạo, nó giúp chúng ta đưa ra
những phán đoán về các kết quả mới. (xem [1], tr. 92)
Một số ví dụ về 2 phép suy luận trên:
Ví dụ 6:
Từ các tiền đề:
- 4+3=3+4
- 15 + 48 = 48 + 15
- 243 + 358 = 358 + 243

Ta rút ra kết luận: Tổng của hai số tự nhiên không thay đổi khi ta thay đổi thứ tự
của các số hạng trong tổng đó.
Đây là phép quy nạp không hoàn toàn. Trong phép suy luận này, các tiền
đề đúng và kết luận rút ra cũng đúng.
Ví dụ 7:
Từ các tiền đề:
- 42 chia hết cho 3
- 72 chia hết cho 3
- 132 chia hết cho 3
Ta rút ra kết luận: Những số có chữ số hàng đơn vị bằng 2 thì nó chia hết cho 3.

16


Đây là phép quy nạp không hoàn toàn. Trong phép suy luận này, xuất phát
từ những tiền đề đúng mà kết luận rút ra lại sai.
Ví dụ 8:
Từ định lí trong hình học phẳng “Nếu hai đường thẳng cùng song song với
đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.
Ta đưa ra một giả thuyết “Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ
ba thì chúng song song với nhau”.
Đây là phép suy luận tương tự. Giả thuyết nêu ra ở đây là đúng.
Ví dụ 9:
Cũng từ định lí nêu trên ta đưa ra giả thuyết “Hai mặt phẳng cùng song song với
đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”.
Giả thuyết nêu ở đây là sai.
1.4. Chứng minh
Trong suy luận diễn dịch, tư các tiền đề A, B ta rút ra kết luận C bằng cách
vận dụng các quy tắc suy luận tổng quát. Ta gọi phép suy luận dạng này là suy
luận hợp logic. Ở đây chúng ta chỉ quan tâm đến hình thức hay cấu trúc của suy

luận mà không quan tâm đến nội dung, ý nghĩa của các mệnh đề trong suy luận
đó.
Trong toán học, nếu các tiền đề A, B của suy luận đều đúng (là những
định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó) ta rút ra kết luận
C thì ta nói C là một kết luận chứng minh, còn suy luận đó là một chứng minh.
Vậy chứng minh một mệnh đề X là vạch rõ rằng X là kết luận logic của
các tiền đề đúng. (xem [2], tr. 186, tr. 187)

17


Mỗi chứng minh toán học bao gồm một số hữu hạn bước, trong đó mỗi
bước là một suy luận diễn dịch, trong đó ta đã vận dụng một quy tắc suy luận
tổng quát.
Trong trường hợp chứng minh chỉ gồm một bước thì đó chính là một phép
suy luận diễn dịch với các tiền đề đúng.
Một phép chứng minh gồm ba phần:
1. Luận đề: Là mệnh đề ta phải chứng minh.
2. Luận cứ: Là những mệnh đề mà tính đúng đắn của nó đã được
khẳng định (thường là các định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh
trước đó,…) dùng làm tiền đề trong mỗi bước suy luận.
3. Luận chứng: Là những quy tắc suy luận tổng quát được sử dụng
trong mỗi bước suy luận của chứng minh đó. (xem [2], tr. 187)
Như vậy chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B ( A  B ) là:
- Thiết lập một dãy các bước suy luận diễn dịch.
- Trong mỗi bước ta chỉ rõ tiền đề, kết luận và quy tắc suy luận tổng quát
được áp dụng.
Chẳng hạn:
- Mỗi suy luận trong các ví dụ 1 – 5 là một chứng minh (vì các tiền đề trong
mỗi suy luận đều đúng và ta đều áp dụng những quy tắc suy luận tổng quát

của logic mệnh đề).
- Xét các suy luận sau:
 Từ hai tiền đề:
+) Với mọi a, b  R , nếu a 2  b 2 thì a  b
+) 52  (5) 2
Rút ra kết luận 5  5'!
18


 Từ hai tiền đề:
+) Nếu tổng các chữ số của một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3.
+) 125 có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Rút ra kết luận 125 chia hết cho 3.
Trong cả hai suy luận này, rõ ràng kết luận rút ra đều sai (vì tiền 1 đề của
suy luận thứ nhất và tiền đề 2 của suy luận thứ hai đều sai). Vậy chúng là suy
luận hợp logic nhưng không phải là một chứng minh.
1.5. Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp
Có nhiều phương pháp chứng minh, dưới đây là một số phương pháp chứng
minh thông dụng nhất.
1.5.1. Phương pháp chứng minh trực tiếp
Cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp là quy tắc suy luận bắc cầu.

p  q, q  r
pr
Khi chứng minh từ tiền đề A đến kết luận B bằng phương pháp chứng minh trực
tiếp, ta tiến hành theo sơ đồ sau:

A  A1
A1  A2
..............

An1  An
An  B
Áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta nhận được điều phải chứng minh.
(xem [2], tr. 188)
1.5.2. Phương pháp chứng minh phản chứng

19


Trong trường hợp tổng quát, muốn chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết
luận B bằng phương pháp phản chứng ta tiến hành theo sơ đồ sau:
- Giả sử A đúng mà B sai (G ( A  B )  1)
- A B C C
- Áp dụng quy tắc suy luận:
A B C C
A B

Ta rút ra kết luận A  B là đúng.
Đôi khi sơ đồ trên được thu gọn như sau:
- Giả sử A đúng mà B sai (tức B đúng)
-

BA

- Áp dụng quy tắc suy luận:

BA
AB

Ta rút ra kết luận A  B là đúng.

Ví dụ 10:
Chứng minh rằng phương trình bậc nhất:
ax + b = 0 (1)
có không quá một nghiệm. (xem [2], tr. 191)
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Theo định nghĩa ta có:
ax1 + b = 0
và:

ax2 + b = 0

Áp dụng tính chất bắc cầu ta có:
ax1 + b = ax2 + b.
Áp dụng luật giảm ước đối với phép cộng ta có:

20


ax1 = ax2, a  0.
Áp dụng định luật giảm ước đối với phép nhân ta có:
x1 = x2.
Như vậy x1 vừa khác lại vừa bằng x2. Điều này trái với luật mâu thuẫn. Vậy ta có
điều phải chứng minh.
1.5.3. Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn
Giả sử tập hữu hạn X = {a1, a2,…, an} và T(x) là hàm mệnh đề xác định trong tập
X. (xem [2], tr. 191)
Ta phải chứng minh mệnh đề:

x  X , T ( x )
là đúng bằng phương pháp quy nạp hoàn toàn. Ta cần chứng tỏ rằng T(a1), T(a2),
…, T(an) đều là những mệnh đề đúng. Từ đó kết luận mệnh đề trên là đúng.

Ở đây ta áp dụng quy tắc suy luận tổng quát:
T ( a1 ), T (a2 ),..., T (an ), X  {a1 , a2 ,..., an }
x  X , T ( x )

Ví dụ 11:
Chứng minh rằng tích của năm số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 5.
Giả sử n là số tự nhiên và T = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4). Gọi D là tập các số
dư của phép chia n cho 5. Vậy D = {0, 1, 2, 3, 4}.
- Nếu số dư bằng 0 thì n 5 . Suy ra T 5
- Nếu số dư bằng 1 thì (n  4) 5 . Suy ra T 5
- Nếu số dư bằng 2 thì (n  3) 5 . Suy ra T 5
- Nếu số dư bằng 3 thì (n  2) 5 . Suy ra T 5
- Nếu số dư bằng 4 thì (n  1) 5 . Suy ra T 5

21


Vậy T chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên.
1.5.4. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Để chứng minh tính chất T(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi số tự
nhiên n  nn ) tức là phải chứng minh mệnh đề tổng quát.

n  N , T (n) (hoặc n  nn , T (n) ) đúng.
Ta tiến hành theo các bước dưới đây:
Bước 1: Chưng minh G(T(0)) = 1 (hoặc G(T(nn) = 1) hay tính chất T(n) đúng với
n = 0 (hoặc n = nn).
Bước 2: Giả sử G(T(0)) = 1 hay tính chất T(n) đúng với n = k. Ta chứng minh
G(T(k + 1) = 1) hay tính chất T(n) cũng đúng với n = k + 1.
Từ đó ta rút ra kết luận: tính chất T(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi
số tự nhiên n  n0 ) hay


n  N , T (n) (hoặc n  n0 , T (n) ) là mệnh đề đúng
Cơ sở logic của phương pháp chứng minh này là quy tắc suy luận tổng quát sau:

T (0), k  N , (T ( k )  T (k  1))
n  N , T ( n)
Ví dụ 12:
Chứng minh rằng:
1
1
1
n



, với mọi
1.2 2.3 n(n  1) n  1

Với n = 2 ta có:

1
1
2


1.2 2.3 3
Vậy công thức trên đúng với n = 2

22


n2


Giả sử công thức trên đúng với n  k  2 , tức là:
1
1
1
k



, với k  2
1.2 2.3 k (k  1) k  1

Ta có:

1
1
1
1



1.2 2.3 k (k  1) (k  1)(k  2)
k
1


k  1 (k  1)(k  2)
k.(k  2)  1 k  1



(k  1)(k  2) k  2
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1.
Từ đó suy ra công thức trên đúng với mọi n  2 . (xem [2], tr. 193)
Ví dụ 13:
Cho n điểm trong mặt phẳng ( n  2 ). Hỏi khi nối n điểm đó với nhau ta sẽ
được bao nhiêu đoạn thẳng? (xem [2], tr. 193)
Ta chứng minh số đoạn thẳng đếm được khi nối n điểm đó với nhau là:
S

(n  1)  n
2

Với n = 2 nối hai điểm cho trước ta được một đoạn thẳng. Ta có:

1

(2  1)  2
2

Vậy công thức trên đúng với n = 2.
Giả sử công thức trên đúng với n = k. Tức là khi nối k điểm cho trước
trong mặt phẳng ta được

( k  1)  k
đoạn thẳng.
2

23



Giả sử trong mặt phẳng cho trước k + 1 điểm, khi nối k điểm đầu với nhau
(theo giả thiết ở phần trên) ta được

( k  1)  k
đoạn thẳng. Bây giờ ta nối điểm
2

thứ k + 1 với k điểm còn lại ta được thêm k + 1 đoạn thẳng nữa. Vậy số đoạn
thẳng đếm được khi nối k + 1 điểm đó với nhau là:

(k 1)  k
k  (k 1)
 (k 1) 
(đoạn)
2
2
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1.
Từ đó suy ra: Nếu cho trước n điểm phân biệt trong mặt phẳng thì nối
chúng với nhau ta sẽ được:

( n  1)  n
đoạn thẳng.
2

Kết luận: Trong chương này tôi đã trình bày về cơ sở lí thuyết của phép suy luận
và chứng minh cùng một số ví dụ. Đây cũng là tiền đề cho việc vận dụng suy
luận và chứng minh trong dạy và học mạch số học ở Tiểu học.


24


Chương 2

SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH TRONG
DẠY HỌC MẠCH SỐ HỌC
Trong dạy học mạch số học ở Tiểu học ta vận dụng các phép suy luận quy
nạp (hoàn toàn và không hoàn toàn), suy diễn và phép tương tự. Dưới đây có
trình bày các phép suy luận này.
2.1. Suy luận quy nạp
Suy luận quy nạp được sử dụng thường xuyên và rộng rãi trong quá trình
dạy hình thành các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép tính, các dấu hiệu chia
hết và trong giải toán số học.
Ví dụ 1:
Khi dạy tính chất giao hoán của phép cộng, thông qua ví dụ so sánh gia trị
của biểu thức a + b và b + a trong bảng sau:
a

20

250

1208

b

30

350


2764

a+b

20 + 30 = 50

250 + 350 = 600

1208 + 2764 = 3972

b+a

30 + 20 = 50

350 + 250 = 600

2764 + 1208 = 3972

Từ bảng trên học sinh rút ra nhận xét “giá trị của a + b và b + a luôn bằng nhau”
Rồi rút ra tính chất giao hoán của phép cộng: khi đổi chỗ các số hạng trong một
tổng thì tổng đó không thay đổi
a+b=b+a

25