TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

BÁO CÁO ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
TÊN ĐỀ TÀI:

SỐ PHỨC VÀ
CÁC ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ
Giáo viên hướng dẫn: Th.S Phan Quang Như Anh
Sinh viên thực hiện: Trương Thị Uyên

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2012


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thạc sĩ Phan Quang
Như Anh đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành đề
tài này.
Xin cảm ơn các thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm- Đại học Đà
Nẵng và tập thể lớp 09ST đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến và tạo điều kiện cho việc
hoàn chỉnh đề tài.
Đà Nẵng, ngày tháng năm 2012.
Trương Thị Uyên

2


MỤC LỤC

3

MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Số phức được biết đến như một số ảo nhưng trường số phức lại đóng vai trò
quan trọng trong đời sống thực tế của chúng ta. Với vai trò như một công cụ đắc
lực giúp giải quyết các bài toán đại số, hình học hay trong các bài toán về điện
xoay chiều, số phức tỏ ra rất hiệu quả khi đưa ra những lời giải ngắn gọn và đầy
đủ mà chỉ qua những phép biến đổi cơ bản. Chính vì vậy số phức đã được đưa vào
giảng dạy trong chương trình giải tích lớp 12. Hầu hết các đề thi tốt nghiệp, tuyển
sinh đại học, cao đẳng những năm gần đây thường chú ý khai thác triệt để các ứng
dụng của số phức bằng các dạng toán phong phú, đòi hỏi học sinh phải nắm được
các đặc trưng và tính chất để đưa ra lời giải và ứng dụng phù hợp. Tuy nhiên do
tính mới mẻ và sự hạn chế của tài liệu mà đa số học sinh thường gặp khó khăn
trong việc nhận dạng bài tập và sử dụng linh hoạt các ứng dụng này.
Đề tài “ Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số” là một trong
những đề tài được nghiên cứu nhằm giúp cho các em học sinh có kiến thức một
cách chi tiết hơn về số phức cũng như tiếp cận một số phương pháp giải điển hình
cho một số bài toán cụ thể, đồng thời cũng là tài liệu bổ ích cho học sinh phổ
thông, sinh viên khoa Toán cũng như giáo viên trong quá trình giảng dạy.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đề tài “ Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số” được nghiên
cứu với mục đích trình bày đầy đủ các kiến thức tổng quan, các kỹ thuật cơ bản về
phương pháp sử dụng số phức để tiếp cận các bài toán giải phương trình, hệ
phương trình, các bài toán về đa thức và các dạng toán khác trong đại số.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Biên soạn hệ thống lý thuyết phù hợp với nội dung sách giáo khoa và theo
chương trình của Bộ giáo dục và đào tạo.


4


Phân dạng các ứng dụng một cách khoa học, chặt chẽ kết hợp với các bài tập
ví dụ dễ hiểu giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cách vững chắc, phát triển năng
lực tư duy.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Đề tài đã được vận dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học sau:
+ Phân tích lý thuyết, phân dạng các loại bài tập.
+ Đưa ra ví dụ phù hợp với từng nội dung ứng dụng.
+ Trao đổi kinh nghiệm với thầy cô, bạn bè cùng chuyên môn.
+ Tham khảo tài liệu từ sách giáo khoa, sách tham khảo, các sách nói về kiến
thức cơ bản và mở rộng có liên quan đến đề tài.
V. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Ngoài phần mở đầu và kết luận, đề tài bao gồm 4 chương:
Chương I: Số phức.
1 Sự hình thành khái niệm số phức.
2 Định nghĩa số phức.
3 Dạng đại số của số phức.
4 Dạng lượng giác của số phức.
5 Căn bậc n của đơn vị và biểu diễn hình học của số phức.

Chương II: Ứng dụng số phức để giải phương trình và hệ phương trình.
2.1 Phương trình bậc hai.
2.2 Phương trình bậc ba.
2.3 Phương trình bậc bốn.
2.4 Phương trình bậc cao.
2.5 Các bài toán về phương trình, hệ phương trình đại số.
Chương III: Ứng dụng số phức giải các bài toán đa thức.
3.1 Phương trình hàm trong đa thức.

3.2 Các bài toán về đa thức bất khả quy.
3.3 Bài toán về sự chia hết của đa thức.
Chương IV: Một số ứng dụng khác.
4.1 Ứng dụng của công thức Moivre.
4.2 Ứng dụng của công thức Ơ-le.
5


4.3 Ứng dụng số phức giải các bài toán phân thức, tổ hợp, rời rạc.
4.4 Ứng dụng số phức để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

6


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

CHƯƠNG I: SỐ PHỨC
1.1 Sự hình thành khái niệm số phức

Việc mở rộng các tập hợp số để được một tâp hợp trong đó mọi phương
trình đại số đều có nghiệm đã dẫn đến sự hình thành của các trường số theo thứ tự
¥ → ¢ → ¤ → ¡ với các bao hàm thức ¥ ⊂ ¢ ⊂ ¤ ⊂ ¡ . Ta nhận thấy rằng trong
¡ một lớp khá rộng các phương trình bậc cao đều có nghiệm. Tuy nhiên một
2
phương trình bậc hai đơn giản như x + 1 = 0 lại không tồn tại nghiệm, hay có thể
3
chứng minh được phương trình x − 3x + 1 = 0 có đến 3 nghiệm nhưng không thể


tìm nghiệm bằng phương pháp Cardano do ∆ < 0 . Chính vì thế số phức ra đời để
giải quyết các mâu thuẫn này.
Lịch sử số phức gắn liền với những cái tên như R.Bomberlli, Rene
Descarter, Euler, De Moivre, Wallis, Hamilton, Gauss, Cauchy…
Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích khi đưa số phức vào toán học là nhà toán
học Italy R.Bombelli. Trong cuốn “đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép
tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lý thuyết các số
“ảo”.
Năm 1746, nhà toán học Pháp D’Alembert đã xác định dạng tổng quát
“a+bi” của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại nghiệm của phương
trình bậc n. Năm 1777, L.Euler đã đưa kí hiệu “i” để chỉ căn bậc hai của -1 và kí
hiệu này đã được Gauss sử dụng lại vào năm 1801.
1.2 Định nghĩa số phức

Xét tập

¡ 2 = ¡ × ¡ = { ( a, b ) | a , b ∈ ¡ } .

Hai phần tử

( a1 , b1 ) , ( a2 , b2 ) ∈ ¡ 2

được gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu

a1 = a2 và b1 = b2 .
Xây dựng các phép toán trong như sau:
SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 7



Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

∀z1 = ( a1 , b1 ) ; z2 = ( a2 , b2 ) ∈ ¡ 2 .
- Phép cộng:
- Phép nhân:

Định nghĩa 1.1 Tập ¡

2

z1 + z2 = ( a1 + a2 , b1 + b2 ) .
z1 z2 = ( a1a2 − b1b2 , a1b2 + a2b1 ) .
cùng với hai phép toán cộng và nhân được định nghĩa

a, b ) ∈ £
như trên gọi là tập số phức £ , phần tử (
là một số phức.
Định lý 1.1

( £ , +,.)

là một trường. ( nghĩa là trên £ với các phép toán đã định

nghĩa có các tính chất tương tự như trên ¡ với các phép toán cộng nhân thông
thường).
Chứng minh: Để chứng minh


( £ , +,.)

là một trường ta chứng minh các vấn đề

sau:
(i)- Phép cộng có tính giao hoán:
Ta có:

∀z1 = ( a1 , b1 ) ; z2 = ( a2 , b2 ) ∈ £ .

z1 + z2 = ( a1 + a2 , b1 + b2 ) = ( a2 + a1 , b2 + b1 ) = z2 + z1.

(ii)- Phép cộng có tính kết hợp:

∀z1 = ( a1 , b1 ) ; z2 = ( a2 , b2 ) ∈ £ .

( z1 + z2 ) + z3 = ( a1 + a2 , b1 + b2 ) + ( a3 , b3 )
= ( a1 + a2 + a3 , b1 + b2 + b3 )
= ( a1 , b1 ) + ( a2 + a3 , b2 + b3 )
= z1 + ( z2 + z3 ) .
(iii)- Tồn tại phần tử 0:

∀z = ( a, b ) ∈ £

, xét

0 = ( 0,0 ) ∈ £ .

z + 0 = ( a + 0, b + 0 ) = ( a, b) = z.
(iv)- Tồn tại phần tử đối:


∀z = ( a, b ) ∈ £ , ∃ − z = ( − a, −b )
Thật vậy:

là phần tử đối.

z + (− z ) = ( a, b ) + ( −a, −b ) = ( a + (−a ), b + (−b) ) = ( 0,0 ) .

SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 8


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

(v)- Phép nhân có tính giao hoán:

∀z1 = ( a1 , b1 ) ; z2 = ( a2 , b2 ) ∈ £ .
Ta có:

z1 z2 = ( a1 , b1 ) ( a2 , b2 ) = ( a1a2 − b1b2 , a1b2 + a2b1 )
= ( a2 a1 − b2b1 , a2b1 + a1b2 ) = z2 z1.

(vi)- Phép nhân có tính kết hợp:

∀z1 = ( a1 , b1 ) ; z2 = ( a2 , b2 ) , z3 = ( a3 , b3 ) ∈ £ .
( z1 z2 ) z3 = ( a1a2 − b1b2 , a1b2 + a2b1 ) ( a3 , b3 )
= ( ( a1a2 − b1b2 ) a3 − ( a1b2 + a2b1 ) b3 , ( a1a2 − b1b2 ) b3 + ( a1b2 + a2b1 ) a3 )

= ( a1a2 a3 − b1b2 a3 − a1b2b3 − a2b1b3 , a1a2b3 − b1b2b3 + a1b2 a3 + a2b1a3 ) .

Tương tự ta cũng có:

z1 ( z 2 z3 ) = ( a1 , b1 ) ( a2 a3 − b2b3 , a2b3 + a3b2 )
=

(a (a a
1

=(

2 3

− b2b3 ) − b1 ( a2b3 + a3b2 ) , a1 ( a2b3 + a3b2 ) + ( a2 a3 − b2b3 ) b1 )

a1a2 a3 − a1b2b3 − a2b1b3 − b1b2 a3 , a1a2b3 + a1b2a3 + a2b1a3 − b1b2b3 ) .

Điều này chứng tỏ:

( z1 z2 ) z3 = z1 ( z2 z3 ) .

(vii)- Phép nhân phần tử đơn vị: Tồn tại phần tử đơn vị
Thật vậy:

1 = ( 1,0 ) ∈C

∀z1 = ( a, b ) ∈ £ 1.z = ( 1,0 ) ( a, b ) = ( 1a − 0b,1b + 0a ) = ( a, b )
;
= ( a, b ) ( 1,0 ) = z.1 = z.


(viii)- Tồn tại phần tử nghịch đảo:

∀z1 = ( a, b ) ∈ £ , z ≠ 0

, phần tử nghịch đảo

b 
 a
z −1 =  2
,− 2
.
2
2 ÷
a
+
b
a
+
b


của z là
Thật

vậy:

b  
a
(−b)

(−b )
a 
 a
z.z −1 = ( a, b )  2
,− 2
= a 2
−b 2
,a 2
+b 2
÷
2
2 ÷ 
2
2
2
a +b   a +b
a +b
a +b
a + b2 
 a +b
SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 9


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

 a 2 + b 2 − ab + ba 

= 2
, 2
= 1,0 ) .
2
2 ÷ (
a
+
b
a
+
b



(xi)- Phép nhân phân phối với phép cộng:

∀z1 = ( a1 , b1 ) ; z2 = ( a2 , b2 ) ; z3 = ( a3 , b3 ) ∈ £

. Ta có:

z1 ( z2 + z3 ) = ( a1 , b1 ) ( a2 + a3 , b2 + b3 )

= ( a1 ( a2 + a3 ) − b1 ( b2 + b3 ) , a1 ( b2 + b3 ) + b1 ( a2 + a3 ) )
= ( a1a2 + a1a3 − b1b2 − b1b3 , a1b2 + a1b3 + b1a2 + b1a3 )
= ( a1a2 − b1b2 + a1a3 − b1b3 , a1b2 + b1a2 + a1b3 + b1a3 )

= ( a1a2 − b1b2 , a1b2 + b1a2 ) + ( a1a3 − b1b3 , a1b3 + b1a3 )
= z1 z2 + z1 z3 .
Vậy ta đã chứng minh được
đó


( £ , +,.)

( £ , +,.) .Thỏa mãn các tiên đề của trường. Do

là một trường số.
Dạng đại số của số phức
Quan hệ giữa ¡ và £
Xét ánh xạ f : R → C
1.3
1.3.1

a a f ( a ) = ( a,0 ) .

Dễ dàng chứng minh được f là một đơn ánh và bảo toàn các phép toán:

f ( a + b) = f ( a) + f ( b)
f ( a.b ) = f ( a ) . f ( b ) .

Điều đó cho phép ta có thể đồng nhất mỗi số phức

( a,0 ) = a
1.3.2

( a,0 )

với số thực a .

v à ¡ trở thành một bộ phận của £ .


Đơn vị ảo
i 2 = ( 0,1) ( 0,1) = ( 0.0 − 1.1,0.1 + 1.0 ) = ( −1,0 ) .
i = ( 0,1)
ặt
tacó:
Đ
2
Theo trên ta đã đồng nhất số phức (-1,0) với số thực -1. Vậy i = −1.
2
Hay số phức i là nghiệm của phương trình x + 1 = 0 . Ta gọi i là đơn vị ảo.

SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 10


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

Mệnh đề 1.1 Mỗi số phức tùy ý

∀z = ( a, b )

GVHD: Phan Quang Như Anh

có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

z = a + bi . Với a,b là những số thực tùy ý và trong đó i 2 = −1 . Biểu thức a + bi là

dạng đại số của số phức
Do đó:

1.3.3

∀z = ( a, b )

.

£ = { a + bi / a, b ∈ ¡ , i 2 = −1} .

Các khái niệm liên quan
a = Re z gọi là phần thực của số phức z.

b = Im z gọi là phần ảo của số phức z.

i gọi là đơn vị ảo.
Nếu số phức có phần thực a=0 gọi là thuần ảo.
Số phức có phần ảo b=0 gọi là số thực.

 Re ( z1 ) = Re ( z2 )

Im ( z1 ) = Im ( z2 ) .
Hai số phức và gọi là bằng nhau nếu 

Số phức

z ∈ ¡ ⇔ Im ( z ) = 0.

Im ( z ) ≠ 0.
Số phức z ∈ £ \ ¡ nếu
1.3.4 Các phép toán trên dạng đại số
Tương tự, ta cũng định nghĩa phép toán cộng và nhân như sau:


£ = { a + bi | a, b ∈ ¡ , i 2 = −1} .
(i)

Phép cộng: Tổng của hai số phức z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 + ib2 , là một số
phức z được xác định:
z = a1 + a2 + i(b1 + b2 ).
Ký hiệu z = z1 + z2 .

(ii)

Phép nhân: tích của 2 số z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 + ib2 là một số phức z được
xác định bởi:
z = ( a1a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + b1a2 ).
Ký hiệu z = z1 z2 . Định nghĩa này trùng với định nghĩa các phép toán trên £

ở phần trước.
Ví dụ:
SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 11


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

Cho z1 = −5 + 6i, z2 = 1 − 2i . Tính z1 z2 , z1 + z2 .
Giải:
Ta có:


z1 z2 = ( −5 + 6i ) ( 1 − 2i ) .
= ( −5 + 12 ) + ( 10 + 6 ) i = 7 + 16i.
z1 + z2 = ( −5 + 6i ) + ( 1 − 2i ) = −4 + 4i.

1.3.5 Số phức liên hợp và môđun của số phức
Định nghĩa 1.2 Cho số phức z = a + ib , số phức có dạng a − ib được gọi là số
phức liên hợp của số phức z, kí hiệu là z , nghĩa là z = a + ib và

z = a + ib = a − ib.
Mệnh đề 1.2
1. z = z ⇔ z ∈ ¡ .
2. z = z.
3. z.z là số thực không âm.
4.

z1 + z2 = z1 + z2 .

5.

z1.z2 = z1 z2 .

−1
−1
*
6. z = ( z ) , z ∈ £ .

 z1  z1
*
 ÷ = , z2 ∈ £ .

z
z2
7.  2 
Chứng minh:
1. Ta có: z = z nên suy ra a + bi = a − bi ⇒ 2bi = 0 ⇒ b = 0 ⇒ z = a ∈ ¡ .
2. Ta có: z = a − bi , ⇒ z = a + bi = z.
2
2
3. Ta có: z.z = ( a + bi )( a − bi ) = a + b ≥ 0.
4. Ta có:

z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i = (a1 + a2 ) − (b1 + b2 )i
= ( a1 − b1i) + ( a2 − b2 )i = z1 + z2 .

5. Ta có:

z1 z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i (a1b2 + a2b1 )
= (a1a2 − b1b2 ) − i (a1b2 + a2b1 )

= (a1 − b1i )(a2 − b2i ) = z1 z2 .
SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 12


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

z
6. Ta có:


( )

1
 1
1
= 1 ⇒  z ÷ = 1 ⇒ z  ÷ = 1 ⇒ z −1 = z
z
 z
z

GVHD: Phan Quang Như Anh
−1

.

 z1   1 
1
1 z1
 ÷ =  z1. ÷ = z1  ÷ = z1 = .
z
z2 
z 2 z2
 z2 
7. Ta có:  2  

Định nghĩa 1.3 Cho số phức z = a + bi khi đó

a 2 + b 2 gọi là modulus (trị tuyệt

2

2
đối) của số phức z ký hiệu | z |= a + b .

Mệnh đề 1.3
1. − | z |≤ Re( z ) ≤| z |, − | z |≤ Im( z ) ≤| z | .
2. | z |≥ 0,| z |= 0 ⇔ z = 0.
3. | z |=| − z |=| z | .
2
4. z.z = z .

5.
6.

| z1 z2 |=| z1 || z2 | .
| z1 | − | z2 |≤| z1 + z2 |≤| z1 | + | z2 | .

−1
−1
*
7. | z |=| z | , z ∈ £ .

|
8.
9.

z1 | z1 |
|=
, z2 ∈£ *.
z 2 | z2 |


| z1 | − | z2 |≤| z1 − z2 |≤| z1 + z2 | .

2
2
2
2
10. | z1 + z2 | + | z1 − z2 | = 2(| z1 | + | z2 | ).

Chứng minh: Các mệnh đề (1-4) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
2
2
2
(5) Ta có | z1 z2 | = ( z1 z2 )( z1 z2 ) = ( z1 z1 )( z2 z2 ) =| z1 | | z2 | .
| z + z2 |2 = ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) = ( z1 + z2 )( z1 + z2 )
• (6) Ta có 1
=| z1 |2 + z1 z2 + z1 z2 + | z2 |2 .

•

Ngoài ra, z1 z2 = z1 z2 = z1 z2 .
Nên suy ra z1 z2 + z1 z2 = 2Re( z1 z 2 ) ≤| z1 z2 |= 2 | z1 || z2 | .
2
2
Do đó | z1 + z2 | ≤ (| z1 | + | z2 |) .

SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 13



Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

Hay | z1 + z2 |≤| z1 | + | z2 | .
Mặt khác, | z1 |=| z1 + z2 − z2 |≤| z1 + z2 | + | z2 | .
Suy ra | z1 | − | z2 |≤| z1 + z2 | .
1
1
1
1
= 1 ⇒| z || |= 1 ⇒| |=
z
z | z | nên | z −1 |=| z |−1 , z ∈ £ *.
• (7) ta có: z
z
1
|z |
| 1 |=| z1 |=| z1 z 2 −1 |=| z1 || z 2 |−1 = 1 .
z2
| z2 |
• (8) Ta có: z2
• (9) Tương tự trong phần (6) ta cũng có:
| z1 |=| z1 − z2 + z2 |≤| z1 − z2 | + | z2 | .
Nên suy ra | z1 | − | z2 |≤| z1 − z2 | .
z

Ngoài ra: | z1 − z2 |=| z1 + (− z2 ) |≤| z1 | + | − z2 |=| z1 | + | z2 | .
• (10) Ta có:


| z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) + ( z1 − z2 )( z1 − z2 )
=| z1 |2 + z1 z2 + z1 z2 + | z2 |2 − | z1 |2 − z1 z2 − z1 z2 + | z2 |2
= 2(| z1 |2 + | z2 |2 ).
1.4 Dạng lượng giác của số phức
1.4.1

Tọa độ cực của số phức
Trong mặt phẳng Oxy cho

( a, b ) khác gốc tọa độ.

2
2
ϕ ∈ [ 0, 2π )
Số thực r = a + b gọi là bán kính cực của điểm M, số đo
của

góc lượng giác

(

uuu
r uuuu
r
Ox,OM

)

độ cực của điểm M, viết M


gọi là argument của M, cặp có thứ tự

( r ,ϕ )

gọi là tọa

( r ,ϕ ) .

Trong đó: r được gọi là bán kính cực, ϕ được gọi là góc cực của số phức z.
Điểm gốc O là điểm duy nhất có r = 0 và ϕ không xác định.
Mỗi điểm M trong mặt phẳng có duy nhất điểm

( 1,ϕ )

OM với đường tròn đơn vị tâm O.
Theo định nghĩa sin và cosin: a = r cos ϕ ; b = r sin ϕ .
SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 14

là giao điểm của tia


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

uuuur
Độ dài r của OM được gọi là môđun của z, kí hiệu là:
r =| z |= a 2 + b 2 ≥ 0.


Do đó argument của số phức z được xác định với sai khác một bội của 2π .
∀z ≠ 0, cosϕ =

Re z
Im z
;sin ϕ =
.
Z
Z

Xét argument cực của M với các trường hợp sau:

M(x,y)
P(1,t°)

t°
0

a) Nếu a ≠ 0 từ

0

k = 1
2


tan ϕ =

b

b
ϕ = arctan + kπ
a
a , được
, ở đây:

khi a > 0 ∧ b > 0;
khi a < 0, b ∈ ¡
khi a > 0, b < 0

π

ϕ =2
 3π
 2
b) Nếu a = 0 và b ≠ 0 ta có:

khi b > 0
khi b < 0.

Ví dụ:
Tìm các tọa độ cực của

M 1 ( 2, −2 ) , M 2

(

)

3,1 , M 3 ( −2, 2 ) .


Giải:

r1 = 22 + ( −2 ) = 2 2;α1 = arctan ( −1) + 2π = −
2

i)

SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 15

π
7π
+ 2π =
4
4 .


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

7π 

M 1  2 2, ÷.
4 

Vậy tọa độ cực của M 1 là:
2

 1  π
r2 =
3 + 12 = 2;α1 = arctan 
÷= 6 .
3



( )

ii)

 π
M 2  2, ÷.
 6
Tọa độ cực của M 2 là
r2 =

iii)

( −2 )

2

+ 22 = 2 2;α1 = arctan ( −1) + π = −

π
3π
+π = .
4

4

3π 

M 3  2 2, ÷.
4 

Tọa độ cực của M 3 là
1.4.2

Biểu diễn lượng giác của số phức
Cho

số

phức

z = a + bi . Ta có thể viết z dưới dạng cực:

z = r ( cosϕ + isin ϕ ) .
2
2
Trong đó r = a + b .
a = r cos ϕ .

b = r sin ϕ .
Đặt θ = ϕ + k 2π , k ∈ ¢ khi đó
z = r cos ( θ − 2kπ ) + isin ( θ − 2kπ ) 

= r ( cosθ + isin θ ) .

Tức là, với số phức z bất kì có thể viết

z = r ( cos α + isin α ) , r ≥ 0, α ∈ ¡

Khi đó ta nói z được biểu diễn dạng lượng giác.
Tập

arg z = { α , α + 2kπ , k ∈ ¢}

gọi là argument mở rộng của z.

Do đó hai số phức z1 , z2 ≠ 0 biểu diễn dạng lượng giác

z1 = r1 ( cos α1 + i sin α1 ) z2 = r2 ( cos α 2 + i sin α 2 )
,
bằn
 r =r
⇔ 1 2
; k ∈¡ .
α
−
α
=
2
k
π
2
g nhau  1
SVTH: Trương Thị Uyên


Trang 16

.


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

Ví dụ:
Biểu diễn các số phức z sau dưới dạng lượng giác và xác định tập Argz
a)

z1 = −1 − i.

b)

z2 = −1 + i 3.

Giải:

P1 ( −1, −1)

a)

( −1)

r2 =

nằm ở góc phần tư thứ ba.

2

+ ( −1) = 2;α1 = arctan1 + π =
2

π
5π
+π =
.
4
4

5π
5π 

z1 = 2  cos
+ isin ÷.
4
4 

Vậy
 5π

Argz1 =  + 2kπ , k ∈ ¢ .
 4


(

P2 −1, 3


b)

( −1)

r2 =

) nằm ở góc phần tư thứ hai.
2

+

( )
3

2

(

)

= 2;α1 = arctan − 3 + π = −

2π
2π

z2 = 2  cos
+ isin
3
3


Vậy

π
3π
+π = .
4
4


÷.


 2π

Argz2 =  + 2kπ , k ∈ ¢ .
 3

1.4.3 Phép toán trong dạng lượng giác của số phức
1.4.3.1 Phép nhân hai số phức
Cho hai số phức
Khi đó:

z1 = r1 ( cos α1 + i sin α1 ) z2 = r2 ( cos α 2 + isin α 2 ) .
,

z1 z2 = r1r2 cos ( α1 + α 2 ) + isin ( α1 + α 2 )  .

Chứng minh:


z1 z2 = r1r2 ( cos α1 + isin α1 ) ( cos α 2 + isin α 2 )

Ta có:

= r1r2 ( cos α1 cos α 2 − sin α1 sin α 2 ) + i ( cos α1 sin α 2 + cos α 2 sin α1 ) 
= r1r2 cos ( α1 + α 2 ) + isin ( α1 + α 2 )  .

Chú ý:
a)

| z1 z2 |=| z1 || z2 | .

SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 17


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

arg ( z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 − 2kπ

b)

0,arg z1 + arg z2 < 2π
k =
1,arg z1 + arg z2 ≥ 2π .
Trong đó:
arg ( z1 z2 ) = { arg z1 + arg z2 + 2kπ , k ∈ ¢} .

c) Có thể viết

z = rk ( cos α k + i sin α k ) , k = 1, 2,..., n
d) Mở rộng với n ≥ 2 số phức. Nếu k
z1 z 2 ...zn = r1r2 ...rn cos ( α1 + α 2 + ... + α n ) + isin ( α1 + α 2 + ... + α n )  .

n
n
n


z
=
r
c
os
α
+
isin
α k ÷.
∑
∑
∏
∏
k
k
k
k =1
k =1
k =1



Công thức trên có thể viết: k =1
n

Ví dụ: Cho z1 = 1 − i; z2 = 3 + i . Tính z1 z2 .
Giải:

7π
7π

z1 = 2  cos
+ isin
4
4


π
π


÷; z2 = 2  cos + isin ÷.
6
6



Ta có:
  7π π 
 7π π  

z1 z2 = 2 2  cos 
+ ÷+ i sin 
+ ÷
4
6
4
6 





23π
23π

= 2 2  cos
+ isin
12
12



÷.


1.4.3.2 Công thức De Moivre

Cho

z = r ( cos α + i sin α )


và n ∈ ¡ , ta có:

z n = r n ( cos nα + isin nα ) .
Chứng minh:
Dùng công thức nhân với z = z1 = z2 = .... = zn .


z n = r123
.r....r  cos α
+
α
+
...
+
α
+
isin
α
+
α
+
...
+
α
1 44 2 4 43
1 44 2 4 43 
n
n
n




= r n ( cos nα + isin nα ) .
Chú ý:
n
n
a) | z |=| z | .

SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 18


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

cos α + isin α ) = ( cos nα + isin nα ) .
b) Nếu r = 1 , thì (
arg z n = { n arg z + 2kπ , k ∈ ¢} .
c)
n

1+ i)
Ví dụ: Tính (

1000

.


Giải:

π
π

1 + i = 2  cos + isin ÷.
4
4

Ta có:

(1+ i)

1000

=

( 2)

1000

1000

π
π

 cos + isin ÷
4
4



π
π

= 2500  cos1000 + i sin1000 ÷
4
4

= 2500.

1.4.3.3 Phép chia hai số phức
Giả sử

z1 = r1 ( cosα1 + isin α1 ) ; z2 = r2 ( cosα 2 + isin α 2 ) , z2 ≠ 0.

z1 r1
= cos ( α1 − α 2 ) + isin ( α1 − α 2 )  .
z
Khi đó: 2 r2
Chứng minh:

Ta có:

r ( cosα1 + i sin α1 )
z1
= 1
z2 r2 ( cosα 2 + i sin α 2 )

=


r1 ( cosα1 + isin α1 ) ( cosα 2 - isin α 2 )
r2 ( cos 2α 2 + sin 2 α 2 )

=

r1
( cosα1cosα 2 + sin α1 sin α 2 ) + i ( cosα1 sin α 2 − cosα 2 sin α1 ) 
r2 

=

r1
 cos ( α1 − α 2 ) + isin ( α1 − α 2 )  .
r2 

Chú ý:

|
a)

z1 | z1 |
|=
.
z 2 | z2 |

SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 19



Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

z 
arg  1 ÷ = { arg z1 − arg z2 + 2kπ , k ∈ ¢} .
 z2 
b)
1 1
z1 = 1, z2 = z , = cos ( −α ) + isin ( −α )  .
z r
c) Với
Ví dụ: Tính:
z=

( 1− i)

10

(

3 +i

( −1 − i 3 )

)

5


10

.

Giải:

z=

( 2)

10

Ta có:

10

5

7π
7π  5 
π
π

+ isin
 cos
÷ 2  cos + isin ÷
4
4 
6
6



10
4π
4π 

210  cos
+ i sin
÷
3
3 


35π
35π 
5π

210  cos
+ i sin
÷ cos
2
2 
6

=
40π
40π

210  cos
+ isin

3
3


+ isin

÷


5π 
÷
6 

55π
55π
+ isin
3
3 = cos5π + i sin 5π = −1.
=
40π
40π
cos
+ isin
3
3
cos

1.4.3.4 Công thức Euler:

eiα = cosα + isin α ; e − iα = cosα − i sin α , ∀α ∈ ¡ .

Hệ quả 1.1:

1 iα
e + e −iα )
(
2
1
sin α = ( eiα − e −iα )
2i
cosα =

∀α ∈ ¡ .

Mệnh đề: ∀α , α1 , α 2 ∈ ¡ ta có:
iα

1
1) e e

iα 2

=e(

i α1 +α 2 )

.

SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 20



Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

i ( α + 2π )

= eiα .
2) e
iα
− iα
3) e = e .
iα
4) | e |= 1.

Chứng minh:
Đối với mệnh đề (1),(2),(4) suy trực tiếp từ định nghĩa và tính chất của lũy
thừa.
Xét (3) ta có:
eiα = cosα + i sin α

= cosα − isin α
= cos ( −α ) + isin ( −α )
= e− iα .
1.5 Căn bậc n của đơn vị và biểu diễn hình học của số phức
1

Căn bậc n của số phức


Định nghĩa 1.4
Cho số phức ω ≠ 0 và số nguyên n ≥ 2 khi đó nghiệm z của phương trình
z n − ω = 0 là căn bậc n của số phức z.

Mệnh đề 1.4

r > 0, α ∈ [ 0, 2π )
ω = r ( cos α + i sin α )
Cho số phức
với
khi đó căn bậc n của
số phức ω gồm n số phân biệt xác định bởi phương trình:

2 kπ

Z k = n r  cos  α +
n



2k π  


÷+ isin  α +
÷
n ÷


 với k=0, 1, 2,..., n-1.


Chứng minh:
Xét dạng lượng giác của số phức
Khi đó

z n = p n ( cos nϕ + i sin nϕ )

z = p ( cosϕ + isin ϕ )

.

.

n
p n ( cos nϕ + isinnϕ ) = r ( cosα + isin α )
Ta có: z = ω suy ra
.

SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 21


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

 p=nr
 pn = r

⇒

⇒
α + k 2π
.
ϕ = α + k 2π
ϕ =
n

n
Vậy nghiệm của phương trình z − ω = 0 có dạng:

zk = n r ( cosϕ k + i sin ϕ k ) k ∈ z.
;

Do cos và sin là hai tuần hoàn với chu kì 2π nên tập hợp trên chỉ có n giá
trị.
Chẳng hạn cho k lần lượt nhận các giá trị k=0, 1,....,n-1 ta sẽ được n giá trị
căn bậc n của Z.
n

Ta viết


Z = n



2 kπ

r  cos  ϕ +
n




2 kπ


÷+ isin  ϕ +
n





÷/ k = 0, n − 1÷

 .

n ≥ 3)
Biểu diễn hình học của các căn bậc n của ω ≠ 0 , (
là đỉnh của một n
giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính

n

r , r =| ω | .

Chứng minh:
Gọi

M 0 ( z0 ) , M 1 ( z1 ) ,..., M n −1 ( zn −1 )


là các điểm biểu diễn của các số phức

z1 , z2 ,..., zn−1 trên mặt phẳng phức.
Ta có:

(

)

OM k =| zk |= n r , k ∈ { 0,1,..., n − 1} ⇒ M k ∈ C 0, n r .

¼
Mặt khác, số đo cung M k M k +1 bằng

argz k +1 − arg zk =

α + 2 ( k + 1) π − ( α + 2kπ ) 2π
=
, k ∈ { 0,1,..., n − 2} .
n
n

2π 2π
2π − ( n − 1)
=
.
¼
⇒ M n−1M 0 bằng
n

n
¼
¼
¼
Bởi vì các cung M 0 M 1 , M 1M 2 ,..., M n−1M 0 có số đo bằng nhau nên đa giác

M 0 M 1...M n−1 đều.
SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 22


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

Ví dụ: Tìm các căn bậc ba của z = 1 + i và biểu diễn chúng lên mặt phẳng phức.
Giải:

z=

( 2 )  cos π4 + isin π4 ÷.

 π
2π
zk = 3 2 cos  + k
3
  12

2π


π
÷+ i sin  + k
3

 12

Dạng lượng giác của z là:
Các căn bậc ba của z:


÷ , k = 0,1, 2


π
π 

⇒ z0 = 3 2  cos + i sin ÷
12
12 


3π
3π 

z1 = 3 2  cos
+ i sin
÷
4
4 


17π
17π

z2 = 3 2  cos
+ isin
12
12

Dùng tọa độ cực, các điểm biểu diễn

π 
3π


M 0  3 2, ÷, M 1  3 2,
12 
4




÷.

z0 , z1 , z 2 lần lượt là:


 3 17π
,
M

÷ 2  2,
12




÷
.

Biểu diễn hình học của các điểm này trên mặt phẳng phức là một tam giác
đều:
y
M1
M0
O

x

M2

SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 23


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

Căn bậc n của đơn vị


2

n
Một nghiệm phương trình z − 1 = 0 gọi là một căn bậc n của đơn vị.

Biểu diễn 1 dưới dạng lượng giác, 1 = cos0 + isin 0 từ công thức tìm căn bậc
n của số phức, ta có căn bậc n của đơn vị là:

zk = cos

2 kπ
2 kπ
+ isin
, k ∈ { 0,1, 2,.., n − 1}
n
n

⇒ z0 = ( cos0 + isin 0 ) = 1.

2π
2π 

2π
2π
z1 =  cos
+ isin
z = cos
+ isin .
÷

n
n  đặt

n
n
z2 = cos

4π
4π
+ isin
= z 2.
n
n

…
zn −1 = cos

2 ( n − 1) π
2 ( n − 1) π
+ isin
= z n −1.
n
n

{ 1, z, z ,..., z } .
Vậy các căn bậc n của đơn vị là:
n −1

2


Kí hiệu:

U n = { 1, z , z 2 ,..., z n−1}

.Trong đó

z = cos

2π
2π
+ isin .
n
n

Số z ∈ U n gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, nếu mọi số nguyên
m
dương m < n ta có zk ≠ 1 .

Biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị

( n ≥ 3)

là các điểm tạo thành

một n giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính 1.
Ví dụ:
i)

2
Với n=2, hai căn bậc hai của 1(nghiệm phương trình z − 1 = 0 ) là -1,


ii)

1.
3
Với n=3, các căn bậc ba của 1 (nghiệm của phương trình z − 1 = 0 ) có
dạng:

SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 24


Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số

GVHD: Phan Quang Như Anh

2 kπ
2kπ
+ isin
, k ∈ { 0,1, 2}
n
n
Vậy các căn bậc ba của 1 là:
zk = cos

z0 = cos0 + isin 0 = 1.
2π
2π
1

3
+ isin
= − +i .
3
3
2
2
4π
4π
1
3
z2 = cos
+ isin
= − −i .
3
3
2
2
z1 = cos

Biểu diễn lên mặt phẳng phức được tam giác đều nội tiếp đường tròn

iii)

C ( 0,1)

Với n=4, các căn bậc bốn của 1 có dạng:
2 kπ
2kπ
zk = cos

+ isin
, k ∈ { 0,1,2,3} .
n
n

Vậy các căn bậc 4 của 1 là:

z0 = cos0 + isin 0 = 1.
z1 = cos

π
π
+ isin = i.
2
2

z2 = cosπ + isin π = −1.
z3 = cos
Hay

3π
3π
+ isin
= −i.
2
2

U 4 = { 1, i, −1, −i} .

Biểu diễn hình học của chúng là hình vuông nội tiếp đường tròn

SVTH: Trương Thị Uyên

Trang 25

C ( 0,1) .