ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VIỆN CƠ HỌC VÀ TIN HỌC ỨNG DỤNG

LÊ PHAN PHƯƠNG NGỌC

DAO ĐỘNG HỖN ĐỘN
CỦA MỘT SỐ HỆ CƠ HỌC

Chuyên ngành : Cơ học lý thuyết

Mã số : 10401

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS. TS. NGUYỄN DŨNG

TP HỒ CHÍ MINH - 2010


Hơn 3 năm miệt mài học tập, nghiên cứu, luận văn cuối cùng đã hoàn
thành như một phần thưởng khích lệ, động viên vô cùng quý giá. Đây không
chỉ là thành quả của riêng bản thân tôi mà trước hết là kết quả của sự dạy dỗ,
dìu dắt, động viên của thầy cô, gia đình, bạn bè tôi.
Trước hết tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã hướng dẫn, giảng
dạy tôi trong suốt khóa học và tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tiếp đến, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Dũng, người

thầy đã hết lòng hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tôi ngay từ buổi đầu nhận đề
tài cho đến khi luận văn hoàn tất những phần cuối cùng. Đặc biệt tôi vô cùng
tri ân tấm lòng tận tụy của thầy, dù công việc rất bận rộn nhưng thầy vẫn dành
thời gian quan tâm, chỉ bảo, giảng giải cho tôi những kiến thức mới đồng thời
giúp tôi những lời khuyên vô cùng sâu sắc và bổ ích.
Ngoài ra, quá trình thực hiện luận văn của tôi đã không ngừng được sự
cổ vũ động viên của gia đình, bạn bè, người thân , và các anh chị ở phòng Cơ
học tính toán và công trình - Viện Cơ Học và Tin Học Ứng Dụng. Chính
những điều này càng giúp tôi nổ lực nghiên cứu và trau dồi thêm kiến thức
cho bản thân. Tôi xin trân trọng cảm ơn những tấm lòng ấy.
Một lần nữa, tôi xin cảm ơn thầy Nguyễn Dũng, các thầy cô trường Đại
Học KHTN TPHCM, quý thầy cô đã hướng dẫn giảng dạy tôi, gia đình và các
bạn đã sát cánh bên tôi trong suốt thời gian hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô với những ý kiến đóng
góp, phê bình quý báu trong quá trình phản biện. Những nhận xét này sẽ góp
phần bổ sung và hoàn thiện hơn luận văn của tôi.


MỤC LỤC

Trang
MỞ ĐẦU …………………………………………………………………….1
CHƯƠNG I :
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC HỖN ĐỘN
1.1 Chuyển động hỗn độn..................................................................... 8
1.2 Lát cắt Poincaré..............................................................................12
1.3 Định lý Poincaré - Bendixon..........................................................15
1.4 Một số phương pháp nhận dạng hỗn độn.......................................18
1.4.1 Bản đồ Poincaré …………………………………………18
1.4.2 Số mũ Lyapunov ………………………………………...21

1.4.3 Phân tích phổ (phân tích Fourier) ……………………….24
1.4.4 Phân nhánh ………………………………………………25
CHƯƠNG II :
DAO ĐỘNG HỖN ĐỘN
TRONG MỘT SỐ HỆ CƠ HỌC CÓ THAM SỐ THAY ĐỔI
2.1 Mở đầu …………………………………………………………...28
2.2 Phương trình phi tuyến Mathieu …………………………………29
2.2.1 Biên độ của lực kích động γ là tham số điều khiển ....... 30
2.2.2 Tần số lực kích động ν là tham số điều khiển.................33
2.3 Phương trình phi tuyến Duffing ………………………………….36

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


MỤC LỤC

2.3.1 Biên độ lực kích động p là tham số điều khiển..............37
2.3.2 Tần số lực kích động ω là tham số điều khiển............... 38
2.4 Phương trình phi tuyến Duffing – Van Der Pol ………………….42
2.4.1 Biên độ lực kích động e là tham số điều khiển ..............44
2.4.2 Tần số lực kích động ν là tham số điều khiển ............... 48
CHƯƠNG III :
DAO ĐỘNG HỖN ĐỘN CỦA KẾT CẤU VỎ
3.1 Dao động hỗn độn của một dạng vỏ cầu ………………………...56
3.1.1 Mở đầu..............................................................................56
3.1.2 Các phương trình cơ bản...................................................58
3.1.3 Phương trình vi phân phi tuyến cho dao động vỏ.............60
3.1.4 Phương pháp hàm Melnikov.............................................67

3.2 Dao động hỗn độn của vỏ đàn dẻo đối xứng trục …………….…68
3.2.1 Phương trình cơ bản .........................................................69
3.2.2 Trạng thái chuyển tiếp từ dao động điều hòa sang dao động
hỗn độn ............................................................................73
3.2.3 Dao động hỗn độn của vỏ chịu kích động điều hòa..........74
3.2.4 Các dao động phức tạp của vỏ với giả thuyết chịu mômen
điều hòa ………………………………………………....74
KẾT LUẬN ………………………………………………………………...76
Tài liệu tham khảo

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


MỞ ĐẦU

1

MỞ ĐẦU
Trong một khoảng thời gian dài, người ta đã nghĩ rằng, với định luật II,
Newton đã khai sinh và kết thúc (giải quyết trọn vẹn) Động lực học. Nói cách
khác, với một trạng thái đầu xác định, ứng xử của một hệ bất kỳ là có thể tính
toán và dự báo trước cho một thời điểm bất kỳ trong tương lai – miễn là ta có
một máy tính đủ mạnh. Nhưng thực tế phát triển của khoa học, toán học, kỹ
thuật máy tính và kỹ thuật tính toán, đã chỉ ra những giới hạn mà khoa học
không thể vượt qua, những hệ hoàn toàn xác định trong hiện tại nhưng lại
không thể nào dự đoán được hành trạng của chúng trong tương lai, bất kể ta
có thể có một máy tính mạnh đến đâu. Trường hợp này ta muốn nói đến hiện
tượng hỗn độn, hay hỗn độn xác định (để phân biệt với các hệ ngẫu nhiên)

Sự tiến triển không bình thường và không thể dự đoán trước được của
nhiều hệ phi tuyến được gọi là “hỗn độn” (chaos).
Đặc điểm chủ yếu của hỗn độn là không lặp lại trạng thái quá khứ (kể cả
sự gần đúng). Tuy có sự tiến triển không bình thường (ứng xử như một hệ
ngẫu nhiên), nhưng các hệ động lực hỗn độn lại tuân theo các phương trình tất
định (các phương trình nhận được từ định luật II Newton chẳng hạn). Với
điều kiện đầu khác nhau rất ít, nếu hệ không là hỗn độn, sự sai khác nhỏ này
dẫn đến một lỗi nhỏ, tăng lên một cách tuyến tính theo thời gian. Ngược lại,
đối với hệ hỗn độn, lỗi này sẽ tăng theo hàm mũ theo thời gian, đến mức trạng
thái của hệ động lực về cơ bản là không thể dự đoán trước được với thời gian
tiếp theo. Hiện tượng này được xem như là sự cực kỳ nhạy cảm đối với điều
kiện đầu. Poincaré là người đầu tiên nhận ra hiện tượng này. Ông mô tả chúng
như sau : “… Từ những sự sai khác nhau rất nhỏ của điều kiện ban đầu, có
thể tạo nên sự khác biệt rất lớn về sau. Một lỗi nhỏ ban đầu sẽ gây ra một lỗi

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


MỞ ĐẦU

2

khổng lồ sau đó. Việc dự đoán trước là không thể được và chúng ta có những
hiện tượng bất ngờ ”. Với tất cả máy tính hiện nay, một sai số không thể vượt
qua trong mỗi phép tính (ta muốn nói đến sai số làm tròn : roundoff error)
xấp xỉ cở 10 −16 đến 10 −12 , sai số này là hoàn toàn đủ để một hệ hỗn độn phát
triển đến mức không thể dự đoán được trong khoảng thời gian không quá lâu.
Hằng số Plank 10 −46 là giới hạn sai số không thể vượt qua của mọi máy tính

(và cả kích thước của cấu trúc vật chất ! ), vì vậy có thể nói , cả trong tương
lai, chúng ta vẫn phải đối mặt với các hệ không thể dự báo được.
Tuy nhiên, ẩn sau hành trạng hỗn độn, là một trật tự ghê gớm của cấu
trúc : sự sao chép, tái lập cấu trúc tổng thể, hiện diện lại trong từng chi tiết
nhỏ nhất, và sự sao chép này là mãi mãi trong mức độ nhận biết của chúng ta,
cho thấy – như nhiều nhà khoa học nhận định – hỗn độn là nền tảng của trật
tự.
Các nhà toán học đều nghĩ rằng các quỹ đạo bị chận của một phương
trình vi phân chỉ có thể là một trong các dạng sau :
1. Các điểm cân bằng hoặc các quỹ đạo hội tụ đến các điểm cân bằng.
2. Các quỹ đạo tuần hoàn hay á tuần hoàn hoặc các quỹ đạo hội tụ đến
các quỹ đạo tuần hoàn hay á tuần hoàn.
Newton đã biết về các dạng chuyển động hút này và đã phân loại chúng
thành hai trạng thái : Quả táo nằm trên mặt đất là trạng thái cân bằng và các
hành tinh trong hệ Mặt trời là chuyển động tuần hoàn, nói chính xác hơn là
chuyển động á tuần hoàn. Phải 300 năm sau Newton, đến cuối thế kỷ 20,
người ta mới biết trạng thái thứ ba của chuyển động : chuyển động hỗn độn.
Một hệ động lực có chuyển động hỗn độn cần có những điều kiện :
a/ Hệ có ít nhất ba biến động lực độc lập (định lý Poincaré-Bendison )

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


MỞ ĐẦU

3

b/ Phương trình chuyển động phải có những số hạng phi tuyến.

Theo định lý Poincaré-Bendison, không gian pha phải có số chiều không
ít hơn ba để bảo đảm sự tồn tại của những quỹ đạo phân kỳ, bị giam trong một
miền hữu hạn của không gian các biến động lực và bảo đảm tính chất duy
nhất của quỹ đạo.
Nghiệm hỗn độn của hệ phương trình vi phân phi tuyến (gồm ít nhất là
ba phương trình cấp một autonome) cũng bị giới nội, giam hãm như các
nghiệm tuần hoàn, á tuần hoàn, nhưng nó không lặp lại trạng thái cũ như
nghiệm tuần hoàn, ở đó có sự đều đặn. Mặc dù hỗn độn là một lớp nghiệm
đặc biệt của hệ phương trình vi phân phi tuyến nhưng không có định nghĩa
chính xác cho nó, bởi vì ta không thể biểu diễn nó qua các hàm số toán học
thông thường. Tuy nhiên, hỗn độn có một số đặc điểm nhận dạng điển hình.
Hỗn độn được xác định như một trạng thái yên định giới nội, nhưng không
phải là nghiệm cân bằng, tuần hoàn hay á tuần hoàn. Miền hút (attractor) của
nghiệm hỗn độn trong không gian trạng thái không phải là một vật thể hình
học đơn giản như một số hữu hạn các điểm, một đường cong khép kín hoặc
một xuyến, mà nó có cấu trúc hình học phức tạp gọi là tập hút hỗn độn hay
tập hút lạ (strange attractor), có thứ nguyên phân hình (fractal dimension).

Tình hình nghiên cứu ngoài nước :
- Guckenheimer J. và Homes P.J đã công bố nhiều nền tảng toán học
cho các hệ động lực phi tuyến, hỗn độn và các vấn đề phân nhánh
(Bifurcations).
- A.H. Nayfeh và D.T. Mook (Virginia, USA) nghiên cứu các vấn đề cơ
bản của các hệ động lực phi tuyến, hỗn độn nói chung và dao động phi

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng



MỞ ĐẦU

4

tuyến nói riêng, có rất nhiều ứng dụng trong lĩnh vực điều khiển kết cấu
(control structures) và tối ưu các tham số của hệ cơ học.
- F.C. Moon (Cornell Uni., USA) nghiên cứu và công bố rất nhiều công
trình liên quan đến dao động hỗn độn (chaotic vibration) và ứng dụng.
Andrzej Lasota trong nhiều công trình của mình và quyển sách chuyên
khảo “ Chaos, Fractals and Noise : Aspects of Dynamics ” đã sử dụng
các phương pháp ngẫu nhiên nghiên cứu hệ động lực phi tuyến và hỗn
độn.
- Stephen Wiggins (Bristol Uni., UK) về các cấu trúc ổn định(các đa tạp
và các đa tạp xấp xỉ) cho các hệ phi tuyến và hỗn độn.
- Nhóm của G. Iooss công bố khá nhiều kết quả về hỗn độn và ứng dụng
trong hầu hết các lĩnh vực của cơ học, nhất là trong cơ học chất lỏng (rối,
dòng tốc độ cao…).
Một số trung tâm nghiên cứu về hỗn độn trên thế giới :
•

Control

and

Dynamical

Systems,

Caltech,


USA

:

/>•

Transport

and

Mixing

in

Geophysical

Flows,

Caltech,

USA

/>•

Barcelona UB-UPC Dynamical Systems Group, Catalunya, Spain :
/>
•

Numerical Mathematics and Dynamical Systems, Univ of Paderborn,
Germany


:

-

paderborn.de/~agdellnitz/groupinfo/index.html
•

Lab for Advanced Computation in the Math. Sciences, Univ of Bristol, UK :
/>
Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


MỞ ĐẦU

•

5

Maryland Chaos Group, Univ of Maryland, USA : />
•

Center for Nonlinear Dynamics, Univ of Texas, Austin, USA :
/>
•

Center for Dynamical Systems and Nonlinear Studies, Georgia Tech, USA :
/>

•

Dept of Applied Mathematics, Univ of Colorado at Boulder, USA :
/>
•

Program in Applied and Computational Mathematics, Princeton Univ, USA
:

•

Other

researchers

in

dynamical

systems

and/or

astrodynamics

:

/> /> />
Tình hình nghiên cứu trong nước :
- Viện Toán học (Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam) : nghiên cứu

các cấu trúc toàn cục của hệ động lực phẳng, các nghiên cứu về kỳ dị
của phương trình vi phân phi tuyến, các cấu trúc ổn định của đa tạp, lý
thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, lý thuyết phân nhánh và lý
thuyết về các hệ động lực tổng quát….
- Trong lĩnh vực cơ học, các yếu tố phi tuyến đã bắt đầu được xét đến
trong tính toán cho các hệ cơ học. Đã chú ý đến các phương pháp số hiện
đại giải quyết các bài toán có yếu tố phi tuyến, các bài toán vật rắn có
biến dạng phức tạp, … như các phương pháp phần tử hữu hạn phi tuyến,

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


MỞ ĐẦU

6

hỗn hợp, ngẫu nhiên, các tính toán hình thức, …. Tuy nhiên, các công
trình nghiên cứu về hỗn độn của các hệ động lực trong cơ học tập trung
chủ yếu ở nhóm tác giả Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng,
Nguyễn Văn Đình. Các kết quả tập trung trong việc khảo sát miền tham
số sinh ra hỗn độn và không hỗn độn, nghiên cứu các trạng thái chuyển
tiếp hỗn độn và một số sơ đồ phân nhánh của các hệ động lực (xem tài
liệu tham khảo).

Luận văn này tập trung nghiên cứu hiện tượng hỗn độn (dao động hỗn độn)
của một số hệ thường gặp trong cơ học, vật lý và kỹ thuật. Luận văn nghiên
cứu sự xuất hiện chuyển động hỗn độn ứng với các tham số và điều kiện đầu
cụ thể, phân tích ứng xử động lực của một hệ trước và giai đoạn chuyển tiếp

đến chuyển độn hỗn độn khi các tham số của hệ thay đổi. Đây là cơ sở của
điều khiển phân nhánh và hỗn độn, nghĩa là chủ động tái lập dao động điều
hòa cho các hệ hỗn độn, hoặc ngược lại, hướng một chuyển động điều hòa
sang hỗn độn nhằm một mục đích nào đó (phân biệt tín hiệu, truyền thông tin
dãy tần siêu rộng, …). Luận văn cũng trình bày dao động hỗn độn của kết cấu
công trình thường gặp trong thực tế : kết cấu tấm vỏ.

Luận văn gồm 3 chương :
Chương 1 : chương này trình bày một số khái niệm căn bản về hỗn độn trong
các hệ liên tục, là các hệ mô tả bởi các phương trình vi phân, đặc trưng cho
các hệ cơ học thực tế.
Chương 2 : Chương này trình bày dao động hỗn độn của một số hệ cơ học có
tham số thay đổi. Đây là các hệ quan trọng thường gặp trong thực tế kỹ thuật

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


MỞ ĐẦU

7

(công trình, dao động điện, dao động máy,…). Trong chương này, bản đồ
Poincaré được sử dụng để xây dựng các biểu đồ phân nhánh đối với các hệ cơ
học liên tục mô tả bởi các phương trình vi phân : phương trình phi tuyến
Mathieu


x + hx + µ x + β x 3 = γ x cos(ν t ) , phương trình phi tuyến Duffing



x + 2ξ x + α x + β x3 = f (t ) và phương trình phi tuyến Duffing - Van Der Pol


x + ω 2 x = k (1 − γ x 2 ) x + β x3 + e sin(ν t ) , với sự biến thiên của các biên độ và tần

số lực ngoài. Các biểu đồ phân nhánh, số mũ Lyapunov và độ đo bất biến đã
được sử dụng để nghiên cứu và phát hiện các chuyển động hỗn độn xảy ra
trong những hệ được nghiên cứu.
Chương 3 : Trong phần đầu, nghiên cứu dao động hỗn độn của một vỏ cầu
kim loại cấu tạo bởi 2 loại vật liệu (lưỡng kim) chịu tác động của sự biến đổi
nhiệt độ theo thời gian. Hàm Melnikov được thiết lập bằng cách ước lượng
vùng tham số hỗn độn, và lát cắt Poincaré, biểu đồ pha, số mũ Lyapunov và
số chiều Lyapunov được sử dụng nhằm xác định trạng thái dao động hỗn độn.
Để khảo sát cơ chế trước và sau hỗn độn, các tính toán số cũng đã được sử
dụng để xây dựng sơ đồ phân nhánh và các số mũ Lyapunov lớn nhất tương
ứng. Ảnh hưởng của các tham số nhiệt độ theo thời gian, ảnh hưởng do chiều
cao của vỏ, và hệ số cản cũng được xem xét. Sơ đồ phân nhánh cho ta thấy rất
rõ các giai đoạn chuyển tiếp của hỗn độn, nhân đôi, phân nhánh, hỗn độn
trong quỹ đạo pha. Phần thứ hai, khảo sát dao động của cơ hệ xác định là vỏ
cầu đàn dẻo đối xứng trục hoặc các vỏ cầu thoải (vỏ cầu có độ cong nhỏ), tấm
rất mỏng xếp nếp…Biểu đồ của các tham biến điểu khiển của một vỏ được
giả thiết chịu tác dụng của tải phân bố ngang đều và điều hòa. Trạng thái
chuyển tiếp từ dao động điều hòa của hệ sang trạng thái hỗn độn được nghiên
cứu bằng cách sử dụng lý thuyết phương trình vi phân và lý thuyết động lực
học phi tuyến.

Lê Phan Phương Ngọc


GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn

8

CHƯƠNG I
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA
HỆ ĐỘNG LỰC HỖN ĐỘN
Các khái niệm cơ bản của các hệ động lực có thể xem trong ([1], [3],
[11]), trong chương này chỉ trình bày một số khái niệm căn bản về hỗn độn
trong các hệ liên tục, là các hệ mô tả bởi các phương trình vi phân, đặc trưng
cho các hệ cơ học thực tế.
1.1 CHUYỂN ĐỘNG HỖN ĐỘN
Sự tiến triển không bình thường và không thể dự đoán trước được của
nhiều hệ phi tuyến được gọi là “hỗn độn” (chaos). Nó xảy ra trong những
chấn tử cơ học chẳng hạn như con lắc, trong những dòng xoáy hoặc dòng đối
lưu của chất lỏng bị đun nóng, trong những lỗ hổng laser, trong một số phản
ứng hóa học, … và cả trong một số hệ sinh thái.
Đặc điểm chủ yếu của hỗn độn là không lặp lại trạng thái quá khứ (kể cả
sự gần đúng). Mặc cho sự tiến triển không bình thường, các hệ động lực hỗn
độn lại tuân theo các phương trình tất định (các phương trình nhận được từ
định luật II Newton).
Hệ động lực hỗn độn có thể quan sát được bằng cách khởi động hệ đó
hai lần, với điều kiện đầu khác nhau rất ít. Đối với hệ không là hỗn độn, sự sai
khác nhỏ này dẫn đến một lỗi nhỏ, tăng lên một cách tuyến tính theo thời
gian. Ngược lại, đối với hệ hỗn độn, lỗi này sẽ tăng theo hàm mũ theo thời
gian, đến mức trạng thái của hệ động lực về cơ bản là không thể dự đoán
trước được với thời gian tiếp theo. Hiện tượng này được xem như là sự nhạy


Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn

9

cảm đối với điều kiện đầu. Poincaré là người đầu tiên nhận ra hiện tượng này.
Ông mô tả chúng như sau : “ Từ những sự sai khác nhau rất nhỏ của điều
kiện ban đầu, có thể tạo nên sự khác biệt rất lớn về sau. Một lỗi nhỏ ban đầu
sẽ gây ra một lỗi khổng lồ sau đó. Việc dự đoán trước là không thể được và
chúng ta có những hiện tượng bất ngờ”.
Một nhận xét thú vị là trước khi khám phá ra các tập hút lạ, các nhà toán
học đều nghĩ rằng các quỹ đạo bị chận của một phương trình vi phân chỉ có
thể là một trong các dạng sau :
1. Các điểm cân bằng hoặc các quỹ đạo hội tụ đến các điểm cân bằng.
2. Các quỹ đạo tuần hoàn hay á tuần hoàn hoặc các quỹ đạo hội tụ đến
các quỹ đạo tuần hoàn hay á tuần hoàn.
Newton đã biết về các dạng chuyển động hút này và đã phân loại chúng
thành hai trạng thái : Quả táo nằm trên mặt đất là trạng thái cân bằng và các
hành tinh trong hệ Mặt trời là chuyển động tuần hoàn, nói chính xác hơn là
chuyển động á tuần hoàn. Phải 300 năm sau Newton, đến cuối thế kỷ 20,
người ta mới biết trạng thái thứ ba của chuyển động : chuyển động hỗn độn.
Một hệ động lực có chuyển động hỗn độn cần có những điều kiện :
a/

Hệ có ít nhất ba biến động lực độc lập (định lý Poincaré-Bendison


([15])
b/ Phương trình chuyển động phải có những số hạng phi tuyến.
Theo định lý Poincaré-Bendison, không gian pha phải có số chiều không
ít hơn ba để bảo đảm sự tồn tại của những quỹ đạo phân kỳ, bị giam trong một
miền hữu hạn của không gian các biến động lực và bảo đảm tính chất duy
nhất của quỹ đạo.

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn

10

(b) Chuyển động hỗn độn

(a) Chuyển động tuần hoàn
Hình 1.1

Nghiệm hỗn độn của hệ phương trình vi phân phi tuyến (gồm ít nhất là
ba phương trình cấp một autonome) (hình 1.1 b) cũng bị giới nội, giam hãm
như các nghiệm tuần hoàn, á tuần hoàn, nhưng nó không lặp lại trạng thái cũ
như nghiệm tuần hoàn, ở đó có sự đều đặn (hình 1.1 a). Mặc dù hỗn độn là
một lớp nghiệm đặc biệt của hệ phương trình vi phân phi tuyến nhưng không
có định nghĩa chính xác cho nó, bởi vì ta không thể biểu diễn nó qua các hàm
số toán học thông thường. Tuy nhiên, hỗn độn có một số đặc điểm nhận dạng
điển hình.

Hỗn độn được xác định như một trạng thái yên định giới nội, nhưng
không phải là nghiệm cân bằng, tuần hoàn hay á tuần hoàn. Miền hút
(attractor) của nghiệm hỗn độn trong không gian trạng thái không phải là một
vật thể hình học đơn giản mà nó có cấu trúc hình học phức tạp gọi là tập hút
lạ (strange attractor), có thứ nguyên phân hình (fractal dimension). Phổ của
các tín hiệu hỗn độn có đặc tính của một dải rộng liên tục, chứ không gồm
một số gai nhọn như phổ của các tập hút tuần hoàn hay á tuần hoàn.
Tính chất điển hình quan trọng của chuyển động hỗn độn là nó đặc biệt
nhạy cảm với sự thay đổi điều kiện đầu, có nghĩa là : những khác nhau rất nhỏ

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn

11

ở đầu vào bị khuyếch đại và tạo nên sự khác nhau rất lớn ở đầu ra (hình 1.2).
Sự cực kỳ nhạy cảm này được gọi một cách ví von là : “Hiệu ứng cánh
bướm” : Cái vẫy cánh của một con bướm ở Braxin hôm nay có thể gây ra bão
tố cho bang Texaz (Mỹ) vào tháng sau.

Hình 1.2. Hai quỹ đạo ở gần nhau khi xuất phát, sau đó tách xa nhau dần

Hệ hỗn độn điển hình là hệ dao động phi tuyến cưỡng bức một bậc tự do
chịu lực cản. Ví dụ chuyển động hỗn độn : luồng không khí xuất hiện ở phía
sau của cánh máy bay hoặc chuyển động của viên bi trên một mặt có hai chổ
lõm và một chổ lồi của một giá dao động tuần hoàn (hình 1.3). Chuyển động

của viên bi rất nhạy cảm với điều kiện đầu và không thể biết trước vị trí tương
lai của nó.

Hình 1.3 Chuyển động hỗn độn của viên bi

Đối với phương trình Duffing :


x + 0.05 x + x3 = 7.5 cos t

Ta có thể thấy hai quỹ đạo của nó (hình 1.4) đã phân ly như thế nào, khi
xuất phát từ những điều kiện đầu rất gần nhau. Quỹ đạo của phương trình trên

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn

12

rất giống với quỹ đạo ngẫu nhiên và tựa như đường bay của bụi hoa trong
phòng.

Hình 1.4
Sự phân ly sau một thời
gian của các quỹ đạo xuất
phát từ các điểm rất gần
nhau A và B của phương

trình Duffing

1. 2 LÁT CẮT POINCARÉ
1.2 LÁT CẮT POINCARÉ

Ý tưởng của lát cắt Poincaré tương tự như xem xét các bức ảnh chụp
nhanh của chuyển động trong không gian pha, thực hiện ở những khoảng thời
gian đều nhau. Xét không gian trạng thái (pha) ba thứ nguyên ( x1 , x 2 , x3 ) như
hình vẽ
Hình 1.5
Lát cắt Poincaré cho luồng
pha trong không gian ba thứ
nguyên, S là mặt cắt

lấy một mặt cắt S song song với mặt phẳng ( x1 , x 2 ) . Sau đó tiến hành đánh
dấu những điểm trên mặt cắt mà quỹ đạo xuyên xuống theo chiều âm so với
trục x3 . Bằng cách như thế ta có được tập các điểm P0 , P1 , P2 ,.... trên mặt cắt
S, tập này làm thành lát cắt Poincaré. Vì các chuyển động là tất định nên
nhằm xác định các điểm liên tiếp, ta có biểu thức:

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn

13

Pn +1 = f ( Pn ), n = 0,1,2,...

Khi đó điểm Pn +1 được xác định thông qua hàm f theo tọa độ điểm Pn .
Đây được gọi là ánh xạ Poincaré.
Nếu hệ động lực là hỗn độn thì lát cắt Poincaré sẽ là một đám mây dày đặc
các điểm bao phủ một diện tích, như hình vẽ sau
Hình 1.6
Bản đồ Poincaré cho
nghiệm hỗn độn của
phương trình Duffing
với:
p = 1 ; Ω = 0.44964 ;

ξ = 0.02248

Trong trường hợp tổng quát, ta trình bày lát cắt Poincaré, như sau :
Xét một hệ autonome

dx
= f (x) với x ∈ R n và một quỹ đạo tuần hoàn của
dt

nó, chu kỳ T. Ta tiến hành cắt ngang quỹ đạo này bằng một mặt cắt Σ , gọi P
là điểm giao giữa quỹ đạo tuần hoàn và mặt phẳng Σ . Tiến hành xét các giao
điểm liên tiếp với Σ xuất phát từ điểm P1 gần P, bằng một phép ánh xạ:
Pn +1 = Φ ( Pn ) n=0,1,2,…, P0 = P

Ở đây thời gian giữa các điểm liên tiếp không nhất thiết bằng chu kỳ T.
Hình vẽ dưới đây dựng trong không gian ba chiều ( x1 , x 2 , x3 )

Hình 1.7
Lát cắt Poincaré


Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn

14

Khi đó quỹ đạo tuần hoàn trong không gian pha ứng với một điểm cố định
P của ánh xạ : P = Φ (P )
Một quỹ đạo tuần hoàn chu kỳ

T
ứng với một ánh xạ, sao cho
2

P2 = Φ( P1 ), P1 = Φ( P2 ) hoặc P1 = Φ 2 ( P1 )

như trong hình vẽ sau

Hình 1.8
Quỹ đạo tuần hoàn chu kỳ

T
2

Nếu quỹ đạo của chuyển động mang đặc trưng hỗn độn thì trên mặt
phẳng Σ có vô số điểm Pi không trùng nhau.

Bản đồ Poincaré

Ở đây trình bày lát cắt Poincaré theo một dạng khác. Đầu tiên ta dựng
các mặt phẳng Q0 , Q1 ,... đặt song song với nhau, vuông góc với trục thời gian
2π
và cách nhau một chu kỳ ⎛⎜ ⎞⎟ , như hình vẽ

⎝Ω⎠

Hình 1.9 Bản đồ Poincaré

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn

t n = t0 +

15

2π
.n, n = 1, 2, 3,....
Ω

Gọi Mi là giao điểm của quỹ đạo của chuyển động và mặt phẳng Qi
trong không gian ( x, x, t ) . Ta có được bản đồ Poincaré là mặt phẳng gồm các
điểm chiếu của Mi xuống mặt phẳng pha gốc Q0.
- Nếu chuyển động là tuần hoàn với chu kỳ bằng chu kỳ của ngoại lực,

2π ⎞
⎟ chuyển động sẽ lặp lại. Khi đó trên bản đồ Poincaré sẽ
⎝Ω⎠

thì sau chu kỳ ⎛⎜

chỉ có một điểm.
- Nếu chuyển động là thứ điều hòa, chẳng hạn 1/3, thì sau ba chu kỳ T
chuyển động mới lặp lại. Khi đó trên bản đồ Poincaré sẽ gồm ba điểm.
- Nếu chuyển động của hệ là hỗn độn thì quỹ đạo của nó xuyên qua tất
cả các mặt phẳng Pi tại ( xi , xi ) điểm khác nhau, không trùng lại. Khi đó bản
đồ Poincaré là một đám dày đặt các điểm (hình 1.6).
1.3 ĐỊNH LÝ POINCARÉ – BENDIXON

Định lý dưới đây sẽ cho phép ta xác định sự tồn tại của các quỹ đạo
khép kín trong các hệ động lực hai thứ nguyên. Như sẽ thấy về sau, từ định lý
này mà ta có thể khẳng định rằng hiện tượng hỗn độn không thể xuất hiện
trong mặt phẳng pha.
Định lý Poincaré – Bendison

Cho hệ hai phương trình vi phân cấp một
T
T
z = f (z ) , z = ( z1 , z 2 ) , f = ( f1 , f 2 )

(1.1)

trong đó, f(z) là liên tục, khả vi trên một tập mở chứa D – một tập con giới
nội, đóng của mặt phẳng pha (z1 , z2), bao gồm các điểm không kỳ dị của hệ
(1.1). Giả thiết rằng, tồn tại một quỹ đạo dương C: z(z0 , t ) của (1.1) bị


Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn

16

“giam hãm” trong D theo nghĩa là C xuất phát trong D và ở lại mãi mãi
trong D, (xem hình 1.10). Khi đó,
(i) Hoặc C là một quỹ đạo khép kín, nghĩa là z(z0 , t ) là một nghiệm tuần
hoàn của (1.1) , (xem hình 1.10 a)
(ii) Hoặc C vấn vào một quỹ đạo kín t → ∞ , nghĩa là nghiệm z(z0 , t ) tiệm
tiến đến một nghiệm tuần hoàn của (1.1) (hình 1.10 b).
(iii) Nếu biểu thức

∂f1 ∂f 2
+
không đổi dấu trong miền D thì trong D
∂z1 ∂z 2

không thể tồn tại một quỹ đạo kín nào.
Miền D trong (i) và (ii) là miền dạng hình khuyên – miền lân cận điểm
P, không bao gồm P – vì rằng quỹ đạo khép kín nào cũng phải bao quanh một
điểm cố định (điểm P trên hình 1.10) và theo giả thuyết, trong D không có
điểm kỳ dị nào (điểm cố định).
Chứng minh định lý này được trình bày trong các tài liệu [15]


(a)

(b)

(c)

Hình 1.10
Các khả năng có thể xảy ra với quỹ đạo bị giới hạn trong miền giới nội

Định lý Poincaré – Bendixon có thể được sử dụng theo cách sau đây. Giả
sử có hai đường cong kín C1 và C2 trên mặt phẳng pha với C2 nằm trong C1 sao
cho mọi quỹ đạo của hệ (1.1) khi xuyên qua C1 thì hướng vào bên trong và khi

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn

17

xuyên qua C2 thì hướng ra bên ngoài (hình 1.11). Khi đó, không một quỹ đạo
nào đã đi vào miền hình khuyên giữa C1 và C2 lại có thể thoát ra khỏi miền
này. Do vậy, miền hình khuyên chính là miền D nói trong định lý Poincaré –
Bendixon. Thêm vào đó, nếu trong D không có điểm cân bằng nào, thì định lý
Poincaré – Bendixon cho phép ta khẳng định rằng có ít ra một quỹ đạo kín L
của (1.1) nằm đâu đó trong D. Rõ ràng L phải bao lấy đường cong C2 như
hình sau
C1


L
C2

Hình 1.11 Có một quỹ đạo
kín nằm trong D

Ta cũng có kết quả tương tự nếu các quỹ đạo của (1.1) đổi hướng :
chúng cắt C1 từ trong ra và cắt C2 từ ngoài vào (bằng cách đảo ngược chiều
thời gian t). Ở đây khó khăn thực tế là với một hệ phương trình (1.1) đã cho,
phải tìm các đường cong thích hợp C1 và C2 nhằm chứng minh cho sự tồn tại
của một vòng tới hạn.
Nhận xét : vì D không chứa điểm cố định nào của hệ (1.1) nên trong D tồn

tại một quỹ đạo kín, ứng với một nghiệm tuần hoàn của hệ (1.1)
Không có hiện tượng hỗn độn trong mặt phẳng pha (hai thứ
nguyên)

Định lý Poincaré – Bendixon khẳng định rằng nếu một quỹ đạo pha bị
“giam hãm” trong một miền giới nội, đóng, không chứa các điểm cố định, thì
quỹ đạo đó cuối cùng sẽ phải vấn vào một quỹ đạo kín. Kết quả này phụ thuộc

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn

18


rất quan trọng vào tính hai thứ nguyên của mặt phẳng pha. Với những hệ có
thứ nguyên cao hơn ( n ≥ 3 ), định lý Poincaré – Bendixon không áp dụng được
và có thể xảy ra những hiện tượng hoàn toàn khác lạ : Các quỹ đạo đi lang
thang mãi trong một miền giới nội, mà không đi tới một điểm cố định nào hoặc
một quỹ đạo kín nào, chúng bị hút vào một vật thể hình học phức tạp được gọi
là tập hút lạ. Đó là hiện tượng hỗn độn. Vậy từ định lý Poincaré – Bendixon
mà ta biết rằng hiện tượng hỗn độn không thể xuất hiện trong mặt phẳng pha.

1.4 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NHẬN DẠNG HỖN ĐỘN

Hiện tượng hỗn độn chỉ xảy ra trong các hệ động lực phi tuyến, nhưng
không phải trong hệ phi tuyến nào cũng có chuyển động hỗn độn. Việc tìm
tiêu chuẩn nào để nhận biết một hệ phi tuyến có tính cách hỗn độn và những
giá trị thông số nào của nó làm nẩy sinh chuyển động hỗn độn là rất khó khăn.
Bởi vì tính cách hỗn độn dễ bị nhầm lẫn với cái mà ta tưởng là hỗn độn,
chẳng hạn tính tuần hoàn với chu kỳ rất lớn, hoặc dao động tổ hợp của hai
thành phần điều hòa với các tần số không thông ước với nhau (á tuần hoàn).
Có nhiều phương pháp nhận dạng hỗn độn như phương pháp bản đồ
hay lát cắt Poincaré (Poincaré map, Poincaré section), phương pháp dùng số
mũ Lyapunov lớn nhất, phương pháp phân tích phổ (phân tích Fourier),
phương pháp xét cấu trúc phân hình và thứ nguyên phân hình (fractal
dimension), phương pháp khảo sát sơ đồ phân nhánh (bifurcation).
1.4.1 Bản đồ Poincaré

Nói chung, lát cắt Poincaré chỉ áp dụng cho không gian có số chiều

n ≤ 3 . Nếu n>3 , thì lát cắt Poincaré dùng hình chiếu hai và ba chiều để xác
định. Điều này áp dụng vừa cho chuyển động hỗn độn vừa cho chuyển động á
tuần hoàn hai chu kỳ. Tuy nhiên, ta rất khó phân biệt giữa chuyển động á tuần


Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn

19

hoàn ba chu kỳ và chuyển động á tuần hoàn chu kỳ cao hơn nếu dùng lát cắt
Poincaré. Nhưng nó có thể xác định được tính chất của các chuyển động
không tuần hoàn
Xét quỹ đạo của hệ liên tục, giả sử ta có lát cắt Poincaré với chu kỳ T
đã biết trước, thì lát cắt Poincaré có dạng giống như một ánh chớp, … Nếu ta
có một tập k các điểm rời rạc trên lát cắt Poincaré thì chuyển động tương ứng
là tuần hoàn với chu kỳ kT.
Ví dụ, xét chuyển động có tần số f1 và f e = Ω / 2π , đặt f1 / f e = j / k
với j và k là các số nguyên dương không có ước chung, jmẫu của mặt cắt. Lát cắt này sẽ chứa k điểm, và trật tự của các điểm này sẽ
được xác định bởi tỷ lệ j/k. Với j=k-1, có thể kiểm tra bằng tính toán số là
các vị trí này sẽ được lấp đầy một cách liên tiếp. Nếu tỷ lệ tần số f 1 / f e
không phải là một số hữu tỷ thì chuyển động là á tuần hoàn hai chu kỳ, và
các điểm trên lát cắt Poincaré tương ứng lấp đầy một đường cong trơn đóng
một cách dầy đặc. Ví dụ như hình 1.12

Hình 1.12 Tập hút á tuần hoàn hai chu kỳ

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn

20

Dạng hình học của lát cắt Poincaré đối với chuyển động hỗn độn hay
chuyển động á tuần hoàn ba chu kỳ hoặc chu kỳ lớn hơn không giống như bất
kỳ dạng hình học đơn giản nào. Do đó, nếu lát cắt Poincaré không chứa một
số hữu hạn các điểm rời rạc hoặc những đường cong đóng thì chuyển động có
thể là hỗn độn. Cho hệ không cản hoặc cản yếu, lát cắt Poincaré của chuyển
động hỗn độn xuất hiện như đám mây những điểm không được sắp thứ tự.
Chuyển động như vậy thường giống như “ngẫu nhiên”. Trong hệ có cản
mạnh, các giao điểm của quỹ đạo hỗn độn và lát cắt Poincaré là hoàn toàn
được sắp theo một trật tự nhất định nào đó. Cấu trúc thấy được trong mặt cắt
thường có một tỷ lệ bất biến, nghĩa là cùng một cấu trúc sẽ có các dạng chỉ
khác nhau về tỷ lệ phóng đại khác nhau. Hình 1.13, là một ví dụ quỹ đạo hỗn
độn của lát cắt Poincaré

(a) Hình chiếu hai chiều của

(b) Lát cắt Poincaré hai hướng

phương trình Rossler
Hình 1.13 Tập hút của phương trình Rossler

Do bản đồ Poincaré thể hiện các tính chất khác nhau của hệ liên tục
tương ứng, nên trong nhiều trường hợp ta có thể dùng lát cắt Poincaré để xác
định các trạng thái tuần hoàn, á tuần hoàn hoặc hỗn độn sau khi loại bỏ quá

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng


Chương 1 : Một số khái niệm cơ bản của hệ động lực hỗn độn

21

trình chuyển tiếp ban đầu (do nhiễu, sai số do mô hình…), hoặc hệ chuyển
tiếp sẽ bị mất đi trong các hệ hao tán.
1.4.2 Số mũ Lyapunov

Một cách tiếp cận khác là dựa vào tính chất cực kỳ nhạy cảm với điều
kiện đầu của các hệ động lực hỗn độn : hai quỹ đạo bắt đầu rất gần nhau
trong không gian pha, theo trung bình đối với các khoảng thời gian nhỏ, sẽ
rời xa nhau theo tốc độ hàm mũ. Vì thế , nếu gọi d 0 là khoảng cách ban đầu
giữa hai điểm khởi đầu, sau thời gian t khoảng cách này sẽ là :

d (t ) = d 0 2 λ t

(1.2)

Sự phân kỳ của các quỹ đạo hỗn độn chỉ thay đổi theo luật hàm mũ một
cách cục bộ, vì nếu hệ bị chận thì d (t ) không thể tiến đến vô hạn. Vì vậy, để
xác định phạm vi phân kỳ của các quỹ đạo, ta phải tính trung bình sự gia tăng
theo hàm mũ tại nhiều điểm dọc theo quỹ đạo.
Xét một quỹ đạo và một điểm nằm trên quỹ đạo lân cận với quỹ đạo
đang xét, tính d (t ) / d 0 . Nếu d (t ) trở nên quá lớn, thì ta tìm một quỹ đạo “lân

cận” mới và tính lại d 0 (t ) . Do đó, số mũ Lyapunov thứ nhất được xác định
như sau :
1
λ =
t N − t0

N

∑ log
k =1

2

d (t k )
d 0 (t k −1 )

(1.3)

Trong đó : λ là số mũ Lyapunov lớn nhất. Nếu λ > 0 thì quỹ đạo đang xét
là hỗn độn.
Một hệ gồm n biến thì có n số Lyapunov, theo chiều của vector d 0 . Để
nhận biết có xảy ra hỗn độn hay không, ta chỉ cần tính số mũ lớn nhất, bất kể
quỹ đạo lân cận phân kỳ ( λ > 0 ) hay hội tụ ( λ < 0 ) .

Lê Phan Phương Ngọc

GVHD: PGS.TS. Nguyễn Dũng