ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN TRÍ ĐẠT

VỀ NHÓM SYMPLECTIC Sp(4, q)
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ THIÊN TÙNG

Tp. Hồ Chí Minh - 2012


Mục lục
Lời nói đầu

6

Bảng kí hiệu

8

1 Kiến thức chuẩn bò

9

1.1

Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Trường và không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3

Tác động hoán vò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4

Các nhóm tuyến tính cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5

Nhóm symplectic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.6


Torus và phần tử semisimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.7

Khảo sát F∗qn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.7.1

Ánh xạ Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.7.2

Khảo sát F∗qn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Systems of Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.8

2 Cấu trúc của SL(2, q) và SL(3, q)
2.1


31

Cấu trúc của nhóm SL(2, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

32


Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số

2.2

Trang 5

2.1.1

Các lớp liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.1.2

Các nhóm con đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Cấu trúc của nhóm SL(3, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43


2.2.1

Các lớp liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2.2

Phần tử unipotent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.2.3

Phần tử semisimple và các phần tử khác . . . . . . . . . . .

49

2.2.4

Các nhóm con đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.2.5

Systems of Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54


3 Cấu trúc của nhóm symplectic Sp(4, q)

56

3.1

Các bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.2

Các lớp liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.2.1

Phần tử regular semisimple . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.2.2

Phần tử non-regular semisimple . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.2.3


Phần tử unipotent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.2.4

Các phần tử khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Nhóm Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.3
Kết luận

71

Phụ lục

72

Chỉ mục

84

Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 5



Bảng kí hiệu
Kí hiệu
Fq
Fq n
V
GLK (V )
GL(n, q)
SL(n, q)
Sp(4, q)
T, Ti
W
F
diag(a, b)
diag(A, B)
S3
D8

Ý nghóa
Trường có q phần tử
Trường có q n phần tử
Không gian vectơ trên K
Tập tất cả các K- tự đẳng cấu của kgvt V
Nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên trường Fq
Nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n trên trường Fq
Nhóm sympletic
Các maximal torus
Nhóm Weyl
Ánh xạ Frobenius
Ma trận chéo

Ma trận chéo khối
Nhóm đối xứng cấp 6
Nhóm Dihedral cấp 8

8


Chương 1

Kiến thức chuẩn bò
Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản, và một số kết
quả cần thiết để có thể khảo sát các chương tiếp theo một cách thuận lợi, trước
hết là các khái niệm, tính chất về nhóm, nhóm hữu hạn. Đònh nghóa về trường và
không gian vectơ sẽ được trình bày sơ lược tiếp sau đó.

1.1

Nhóm

Trong luận văn này, ta quy ước nhóm là một cấu trúc đại số thỏa mãn đònh nghóa
sau đây.
Đònh nghóa 1.1.1. Nhóm G là một tập hợp không rỗng với phép nhân (.) (là một
phép toán hai ngôi từ G × G → G thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Phép toán . kết hợp, (x.y).z = x.(y.z), ∀x, y, z ∈ G.
ii) Có phần tử đơn vò e, e.x = x.e = x
iii) Mọi phần tử x ∈ G đều có phần tử khả nghòch, tức là tồn tại y ∈ G sao cho
x.y = y.x = e.
9



Trang 10

Luận văn cao học

Với phép nhân đã xác đònh, để tiện lợi ta quy ước viết xy = xy.
Đònh nghóa 1.1.2. Giả sử G là một nhóm. Tập con khác rỗng H của G gọi là
nhóm con của G nếu H ổn đònh đối với phép toán của G trong H và H cùng với
phép toán cảm sinh là một nhóm. Nếu H là nhóm con của G, ta viết H ≤ G.
Nếu phép toán của G giao hoán, nghóa là xy = yx, ∀x, y ∈ G, ta gọi G là nhóm
giao hoán hoặc nhóm Abel. Nếu tập G là hữu hạn thì ta gọi nhóm G là nhóm hữu
hạn, và số phần tử của G gọi là cấp của nhóm G, kí hiệu là |G|. Nếu G là tập vô
hạn thì ta nói nhóm G có cấp vô hạn.
Giả sử G là nhóm, lấy g, h ∈ G, h gọi là giao hoán với g nếu hg = gh. Tập
tất cả các phần tử của G giao hoán với h gọi là tâm hoán tử của h trong G được kí
hiệu CG (h) = {g ∈ G | hg = gh}. Giả sử H ≤ G, tập tất cả các phần tử g ∈ G,
sao cho gh = hg với mọi h ∈ H, gọi là tâm hoán tử của H trong G, được kí hiệu
là CG (H).
Kí hiệu [gh] = g −1 h−1 gh gọi là giao hoán tử của g và h. Kí hiệu G(1) =
[G, G] = {g −1 h−1 gh | g, h ∈ G} là một nhóm con của G, được gọi là đạo nhóm
cấp 1 của G. Hơn nữa G(m) = [G(m−1) , G(m−1) ] là đạo nhóm cấp m của G.
Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu có m ∈ N sao cho G(m) = 1.
Phần tử h được gọi là liên hợp với g trong G nếu tồn tại t ∈ G sao cho:
tht = g, kí hiệu ht = tht−1 . Tập tất cả các phần tử liên hợp với h trong G được
gọi là lớp liên hợp của h trong G, kí hiệu hG = {g ∈ G | ∃t ∈ G, ht = g}. Và h
được gọi là một phần tử đại diện của lớp liên hợp hG .
−1

Hai nhóm con A, B của G được gọi là liên hợp nhau trong G nếu tồn tại t ∈ G
sao cho : tAt−1 = B. Tập tất cả các phần tử t của G sao cho tAt−1 = A là một
tập con của G, gọi là chuẩn hóa tử của A trong G, được kí hiệu NG (A). Nếu

NG (A) = G thì A được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G, được kí hiệu là A G.
Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu nó không có nhóm con chuẩn tắc N sao cho
1 N G.
Bây giờ ta xét G là nhóm hữu hạn. Các bổ đề sau được phát biểu, chứng minh
tham khảo [3].
Bổ đề 1.1.3. Cho G là nhóm, H là nhóm con của G, lấy g ∈ G, khi đó
CG (g), CG (H), NG (H) là các nhóm con của G.
Bổ đề 1.1.4. Cho T ≤ H ≤ G, và g, s ∈ G, h ∈ H, các điều sau luôn đúng.
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 10


Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số

Trang 11

i) CG (hs ) = (CG (h))s .
ii) CH (h) = H ∩ CG (h).
iii) NH (T ) = H ∩ NG (T ).
Bổ đề 1.1.5. Các điều sau đúng.
i) Với g ∈ G, |g G | = |G : CG (g)|.
ii) Với Υ là tập tất cả các phần tử đại diện của các lớp liên hợp trong G.
|g G | =

|G| =
g∈Υ

g∈Υ

|G|
.

|CG (g)|

Vì G là nhóm hữu hạn cấp n nên với mọi g ∈ G thì g n = e . Số nguyên dương
d nhỏ nhất sao cho g d = e, gọi là cấp của g, kí hiệu là ord(g). Nhóm G được gọi
là nhóm cyclic nếu G được sinh bởi một phần tử a ∈ G, kí hiệu G = a . Và
a được gọi là phần tử sinh của G. Nếu G là nhóm cyclic cấp hữu hạn cấp n thì
G = {e, a, a2 , ..., an−1 }.
Đònh lý 1.1.6. Cho G là một nhóm hữu hạn, lấy g ∈ G có cấp pk q, với (p, q) = 1.
Khi đó tồn tại hai phần tử a, b sao cho ord(a) = pk , ord(b) = q, và ab = ba.
Chứng minh. Vì (pk , q) = 1, nên tồn tại r, s sao cho rpk + sq = 1. Suy ra
k
k
k
g = g rp +sq = g rp .g sq . Đặt b = g rp , a = g sq , vì (rpk , s) = 1, (sq, r) = 1 nên
ord(a) = pk , ord(b) = q, và ab = ba.
Đònh lý 1.1.7. Cho G là nhóm cyclic cấp n. Với mỗi ước số d của n, tồn tại duy
nhất một nhóm con cấp d của G.
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh mọi nhóm con của G đều là nhóm
cyclic. Chọn a là phần tử sinh của G, gọi H ≤ G, các phần tử của H đều có dạng
al , l ∈ I. Chọn b ∈ H sao cho b = ak với k là số nguyên dương nhỏ nhất trong
tập I. Lấy c = at ∈ H, viết t = kq + r, r < k . Nếu r = 0, thì ar ∈ H (mâu
thuẫn). Vậy r = 0. Do đó c = bq . Vậy H = b .
Vì d ước của n nên viết n = sd, một nhóm con cấp d của G là D = as . Gọi
B là nhóm con cấp d của G, với B = b . Ta có b = al , hơn nữa bd = ald = e.
Vậy ld = nt , hay l = st. Do đó b ∈ D. Vậy B ≤ D. Do B và D có cùng cấp d
nên B = D. Vậy nhóm D tồn tại duy nhất.
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 11



Trang 12

Luận văn cao học

Đònh lý 1.1.8. (Đònh lý Sylow) Cho G là nhóm hữu hạn, p là số nguyên tố. Khi
đó
i) Tồn tại: Đối với mỗi lũy thừa pn chia hết cấp của nhóm G, tồn tại nhóm
con cấp pn trong G.
ii) Nhúng: Nếu pn+1 chia hết cấp của G thì mỗi nhóm con cấp pn của G chứa
trong một nhóm con cấp pn+1 nào đó của G. Nói riêng, p-nhóm con tối đại
của G (còn gọi là p-nhóm con Sylow) chính là các nhóm con cấp pr của G,
trong đó pr là lũy thừa lớn nhất của p chia hết cấp của nhóm G.
iii) Liên hợp: Tất cả các p-nhóm con tối đại đều liên hợp trong G.
iv) Số lượng: Số các nhóm con tối đại của G đồng dư với 1 (mod p) và chia
hết cấp của G.
Đònh nghóa 1.1.9. Một ánh xạ f : G → G gọi là đồng cấu nhóm nếu f bảo toàn
phép toán, tức là
f (x.y) = f (x).f (y) với mọi x, y ∈ G.
Một đồng cấu f : G → G gọi là một tự đồng cấu của G. Một đồng cấu đơn
ánh gọi là đơn cấu. Một đồng cấu toàn ánh gọi là toàn cấu.
Một đồng cấu song ánh gọi là đẳng cấu. Một tự đồng cấu song ánh gọi là tự
đẳng cấu.

1.2 Trường và không gian vectơ
Ta quy ước trường là một cấu trúc đại số thỏa mãn đònh nghóa dưới đây.
Đònh nghóa 1.2.1. Trường K là một tập hợp trên đó xác đònh các phép cộng (+)
và nhân (.) thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là x.(y + z) = x.y + x.z,
(x + y).z = x.z + y.z, ∀x, y, z ∈ K .
ii) (K, +) là một nhóm Abel.

Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 12


Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số

Trang 13

iii) K\{0} là một nhóm đối với phép nhân.
Trong K phần tử đơn vò của phép cộng kí hiệu là 0, phần tử đơn vò của phép
nhân kí hiệu là 1.
Đònh nghóa 1.2.2. Với K là trường, K∗ = K\{0} , n là một số nguyên dương .
Kí hiệu µn là nhóm căn bậc n trong K∗ được đònh nghóa như sau:
µn := {ξ ∈ K∗ | ξ n = 1}.
Đònh nghóa 1.2.3. Mọi tập hợp V được trang bò một phép toán kí hiệu là +, và
một phép toán ngoài K × V → V, (a, x) → ax, được gọi là K-không gian vectơ
nếu thỏa các tính chất sau:
i) (V, +) là một nhóm Abel
ii) ∀a, b ∈ K, ∀x ∈ V, (a + b)x = ax + bx
iii) ∀a ∈ K, ∀x, y ∈ V, a(x + y) = ax + ay
iv) ∀a, b ∈ K, ∀x ∈ V, a(bx) = (ab)x
v) ∀x ∈ V, 1x = x.
Thuật ngữ "không gian vectơ" được viết tắt là kgvt.
Đònh nghóa 1.2.4. Cho V và V là hai K-kgvt , một ánh xạ f : V → V được gọi
là tuyến tính nếu
i) ∀x, y ∈ V, f (x + y) = f (x) + f (y)
ii) ∀a ∈ K, ∀x ∈ V, f (ax) = af (x).
Đònh nghóa 1.2.5. Cho V là K-kgvt, f : V → V là một ánh xạ. Khi đó:
i) f là một tự đồng cấu của V khi f tuyến tính.
ii) f là tự đẳng cấu của V khi f tuyến tính và song ánh.
Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát một phần rất quan trọng về sự tác động của

nhóm lên một tập, mà các kết quả của nó đặc biệt là Đònh lí Iwasawa, một đònh lí
mạnh được áp dụng để chứng minh các kết quả về nhóm đơn.
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 13


Trang 14

Luận văn cao học

1.3 Tác động hoán vò
Nếu S là một tập hợp, ta viết P erm(S) là nhóm các hoán vò của S, tức là tập hợp
chứa tất cả các song ánh từ S đến S. Nếu G là một nhóm ta nói G tác động lên
S nếu có một đồng cấu φ : G → P erm(S). Nếu φ tương ứng 1 − 1 thì tác động
được gọi là faithful (trung thành) . Đặc biệt nếu G là một nhóm của các phép biến
đổi tuyến tính và S là tập hợp các vectơ, thì x ∈ G và a ∈ S có thể diễn đạt tác
động như là
a → φ(x)a
thường được viết là
a → xa
với tác động hoán vò được hiểu ngầm.
Để thuận tiện, đònh nghóa tác động hoán vò của G lên S được viết thành hai
điều kiện:
1a = a và (xy)a = x(ya)
với mọi a ∈ S, và x, y ∈ G.
Kí hiệu một quan hệ trên S, ở đây a, b ∈ S tồn tại x ∈ G sao cho xa = b là
một quan hệ tương đương. Các lớp tương đương được gọi là các quỹ đạo, ta viết
OrbG (a) = Ga = {xa | x ∈ G}.
Vậy S là hợp rời các G-quỹ đạo.
Với mỗi a ∈ S, đònh nghóa stabilizer (nhóm con ổn đònh) của a
StabG (a) = {x ∈ G | xa = a},

là một nhóm con của G. Ta có mệnh đề cơ bản sau.
Mệnh đề 1.3.1. Nếu nhóm G tác động hoán vò lên tập S, và a ∈ S thì
|OrbG (a)| = [G : StabG (a)].
Chứng minh. Nếu H = StabG (a) thì ánh xạ xa → xH là song ánh tương ứng
giữa tập quỹ đạo các phần tử và lớp ghép của H.
Ta nói rằng G tác động truyền (transitively) trên S nếu tồn tại a ∈ S sao cho
OrbG (a) = S (do đó với mọi a ∈ S). Nếu |S| ≥ 2, nói rằng G tác động truyền
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 14


Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số

Trang 15

đôi (doubly transitively) trên S nếu với mọi cặp (a, b), (c, d) ∈ S × S với a = b và
c = d, tồn tại x ∈ G sao cho xa = c và xb = d.
Giả sử rằng G tác động truyền (transitively) trên S, một khối (block) của G
trong S là một tập con B của S, với |B| ≥ 2, B = S, sao cho với mỗi x ∈ G hoặc
xB = B hoặc xB ∩ B = ∅. Nếu G không có khối (block) nào trong S ta nói rằng
G tác động nguyên thủy (primitive) trên S, ngược lại nó tác động không nguyên
thủy (imprimitive). Ta có một bổ đề quan trọng.
Bổ đề 1.3.2. Giả sử G tác động truyền ( transitively) trên S. Khi đó tác động
trên là nguyên thủy khi và chỉ khi mọi StabG (a), a ∈ S, là nhóm con tối đại của
G.
Chứng minh. Đặt H := StabG (a), nếu G tác động nguyên thủy trên S và H
không là nhóm con tối đại của G, khi đó tồn tại K ≤ G, sao cho H
K
G.
Vậy |Ka| ≥ 2. Đặt B := Ka. Vì OrbG (a) = S, nên theo Mệnh đề 1.3.1,
|G| : |H| = |S|. Vì K G nên |K| : |H| < |S| nên B = S.

Lấy x ∈ G, nếu x ∈ K thì xB = xKa = Ka = B. Nếu x ∈
/ K, thì xB ∩ B =,
−1
thật vậy nếu tồn tại y, z ∈ K sao cho x(ya) = za, suy ra z xy ∈ H ≤ K, suy ra
x ∈ K (mâu thuẫn). Từ đó B là một khối ( block) của G trong S, mâu thuẫn với
giả thiết. Nên ta suy ra được H là nhóm con tối đại của G.
Ngược lại, giả sử Ha = StabG (a) là nhóm con tối đại với mọi a ∈ S. Nếu tồn
tại B là một khối ( block ) của G trong S, thì tập hợp
T := {x ∈ G | xB = B}
là một nhóm con của G.
Lấy a ∈ B, với mọi x ∈ Ha thì xa = a, do đó a ∈ xB ∩ B =. Vậy xB = B,
do đó Ha T . Vì |B| ≥ 2, nên chọn được b = a trong B, vì G tác động truyền
(transitive) trên S nên tồn tại y ∈ G sao cho ya = b. Vậy b ∈ yB ∩ B =, do
đó yB = B. Nên y ∈ T \Ha . Vì Ha là nhóm con tối đại nên T = G. Lấy
a ∈ B, c ∈ S\B, vì GB = B nên không tồn tại x ∈ G sao cho xa = c (mâu thuẫn
với tính chất truyền (transitive)). Vậy không tồn tại khối B của G trong S. Nên
G tác động nguyên thủy.
Các mệnh đề sau được phát biểu nhằm phục vụ cho việc chứng minh Đònh lí
Iwasawa, chứng minh chi tiết các mệnh đề xin tham khảo [7], chương 0, trang 3.
Mệnh đề 1.3.3. Nếu G tác động truyền đôi (double transitive) trên S thì G có
tác động nguyên thủy trên S.
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 15


Trang 16

Luận văn cao học

Mệnh đề 1.3.4. Giả sử rằng G tác động nguyên thủy trên S. N
G, và N

không chứa trong hạt nhân của tác động hoán vò của G trên S. Thế thì N tác
động truyền ( transitively) trên S.
Mệnh đề 1.3.5. Giả sử rằng G tác động trên S, N
trên S. Nếu a ∈ S thì G = N.StabG (a).

G, và N truyền (transitive)

Đònh lý 1.3.6. (Iwasawa 1941). Giả sử G tác động trung thành (faithfully) và
nguyên thủy trên S, và G = G. Cố đònh s ∈ S và đặt H = StabG (s). Giả sử có
một nhóm con giải được K
H sao cho G = ∪{K x | x ∈ G} . Thế thì G là
nhóm đơn.
Chứng minh.
Giả sử tồn tại 1 = N
G. Theo Mệnh đề 1.3.4 N truyền (
transitive) trên S, và theo Mệnh đề 1.3.5 G = HN . Vì N
G nên KN = N K
và HN = N H là các nhóm con của G. Hơn nữa KN
HN = G. Nếu x ∈ G
x
x
x
thì K
(KN ) = KN , vì thế ∪ {K | x ∈ G} ⊆ KN , do đó KN = G.
Vì K giải được nên tồn tại m ∈ N sao cho đạo nhóm của K là K (m) = 1.
Xét (KN )(1) = [KN, KN ] là các giao hoán tử [ab, cd] = ab.cd.(ab)−1 (cd)−1 ,
với a, c ∈ K, b, d ∈ N . Ta có ab.cd.(ab)−1 (cd)−1 = abcdb−1 a−1 d−1 c−1 . Vì
N
G nên có thể đưa các số hạng của N ra sau, tồn tại n ∈ N sao cho
−1 −1 −1 −1

abcdb a d c = aca−1 c−1 n ∈ K (1) N . Vậy (KN )(1) ≤ K (1) N . Tương tự
(KN )(2) = [(KN )(1) , (KN )(1) ] ≤ [K (1) N, K (1) N ] ≤ K (2) N.
Theo quy nạp ta chứng minh được rằng (KN )(m) ≤ K (m) N với mọi m. Vậy
G = G(m) = (KN )m ≤ K (m) N = N,
như thế N = G.

1.4 Các nhóm tuyến tính cơ bản
Cho V là K-kgvt n chiều, tập tất cả các tự đồng cấu của V được kí hiệu là EndK (V ),
nhóm tuyến tính tổng quát GLK (V ) được đònh nghóa là tập chứa tất cả các tự
đẳng cấu của V . Nếu trường K đã xác đònh ta viết End(V ) thay cho EndK (V ),
và GL(V ) thay cho GLK (V ), rõ ràng GL(V ) là tập con của End(V ).
Chọn [β] = {v1 , ..., vn } là cơ sở của V trên K. Lấy f ∈ GL(V ), f (vi ) =
aij vj , i ∈ [1, n]. Như vậy với mỗi f ∈ GL(V ) với cơ sở đã chọn sẽ tương

n
j=1

Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 16


Trang 17

Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số

ứng với ma trận (aij ) trong nhóm GL(n, K), là nhóm các ma trận vuông cấp n
khả nghòch trên trường K. Đẳng cấu nhóm tương ứng
dn : GL(V ) −→ GL(n, K)
f → f[β] = (aij ) = dn (f ).
Nhắc lại ánh xạ đònh thức det, được xây dựng trên đồng cấu
det : GL(V ) → K∗ , f → det(f ).

và trên ma trận
det : GL(n, K) → K∗ , A → det(A).
Nếu f[β] = A thì det(f ) = det(A). Kiểm tra được ánh xạ này là một đồng cấu
nhóm, và là một toàn cấu. Hạt nhân của ánh xạ det sẽ cho ra nhóm
SL(V ) := {f ∈ GL(V ) | det(f ) = 1}
với nhóm ma trận tương ứng SL(n, K) := {A ∈ GL(n, K) | det(A) = 1}. Hai
nhóm này có tên gọi chung là nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n trên V.
Nếu 0 = v ∈ V viết [v] cho đường thẳng Kv = v sinh bởi v, và gọi nó là
điểm xạ ảnh. Tập hợp tất cả các điểm xạ ảnh [v] tạo thành không gian xạ ảnh
có số chiều n − 1, được kí hiệu là P(V ). Ở đây có một tác động hoán vò tự nhiên
của GL(V ) trên P(V ) được cho bởi τ [v] = [τ v] với mọi τ ∈ GL(V ), [v] ∈ P(V ).
Kiểm tra được hạt nhân của tác động là Z(GL(V )), và hạt nhân của SL(V ) tác
động lên P(V ) là Z(SL(V )). Hơn nữa ta cũng có
Z(GL(V )) = {a1 | a ∈ K∗ } và Z(SL(V )) = {aIn | a ∈ K∗ , an = 1}.
Bổ đề 1.4.1. Nếu dim(V ) = n và K = Fq thì |P(V )| =

q n −1
q−1 .

Chứng minh. Có q n − 1 cách chọn 0 = v ∈ V , nên có q n − 1 điểm xạ ảnh [v].
Vì hai vectơ phụ thuộc tuyến tính thì hai điểm xạ ảnh do chúng sinh ra sẽ trùng
nhau, hơn nữa mỗi vectơ có q − 1 vectơ
khác 0 phụ thuộc tuyến tính với nó, nên
q n −1
số điểm xạ ảnh khác nhau phải là q−1 .
Đònh nghóa nhóm tuyến tính xạ ảnh của V là
P GL(V ) := GL(V )/Z(GL(V ))
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 17



Trang 18

Luận văn cao học

và nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt là
P SL(V ) := SL(V )/Z(SL(V )),
mỗi nhóm đều tác động trung thành ( faithfully) trên P(V ).
Một siêu phẳng trong V là một K-kgvt con của V có số chiều là n − 1.
τ ∈ GL(V ) được gọi là phép co (transvection) nếu tồn tại một siêu phẳng W
sao cho τ (w) = w, ∀w ∈ W và τ (v) − v ∈ W, ∀v ∈ V . W được gọi là siêu
phẳng cố đònh của τ . Nếu τ là một phép co với siêu phẳng cố đònh W . Chọn
cơ sở của [β] của V với v1 ∈ V \W , còn v2 , ..., vn ∈ W . Đặt A := τ[β] , khi đó
det(A) = det(τ ) = 1, vậy τ ∈ SL(V ). Các mệnh đề sau được phát biểu, chứng
minh chi tiết tham khảo [7], chương 1, trang 6 − 11.
Mệnh đề 1.4.2. Với K = Fq . Các điều sau đúng.
i) |GL(n, q)| = q

n(n−1)
2

n
i
i=1 (q

− 1).

ii) |SL(n, q)| = |P GL(n, q)| = |GL(n, q)|/(q − 1) = q

n(n−1)
2


n
i
i=2 (q

− 1).

iii) |P SL(n, q)| = |SL(n, q)|/(n, q − 1).
Mệnh đề 1.4.3. Nếu τ1 và τ2 là các phép co ( transvection) trên V thì chúng liên
hợp trong GL(V ). Nếu n > 2 thì chúng liên hợp trong SL(V ).
Mệnh đề 1.4.4. Nếu n ≥ 2 thì P SL(V ) tác động trung thành ( faithfully) và
truyền đôi ( double transitively) trên không gian xạ ảnh P(V ). Khi đó nó cũng
tác động nguyên thủy.
Đònh lý 1.4.5. Nếu dim(V ) = n ≥ 2, thì mọi nhóm P SL(V ) đều là nhóm đơn,
trừ các trường hợp P SL(2, 2) và P SL(2, 3).
Nhận xét 1.4.6. Bằng tác động trung thành ( faithfully) của P SL(V ) trên P(V ),
trường hợp P SL(2, 2) thì P(V ) có 3 phần tử, do đó P SL(2, 2) ∼
= Sym(3), còn
trường hợp P SL(2, 3) thì P(V ) có 4 phần tử . Vì |P SL(2, 3)| = |Alt(4)| = 12, và
trong Sym(4) chỉ có một nhóm con có chỉ số 2 nên P SL(2, 3) ∼
= Alt(4).

1.5

Nhóm symplectic

Đònh nghóa 1.5.1. Một dạng song tuyến tính trên V là một ánh xạ
B :V ×V →K
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 18



Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số

Trang 19

thỏa mãn
B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w) và B(au, w) = aB(u, w),
B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w) và B(u, aw) = aB(u, w)
với mọi u, v, w ∈ V , và a ∈ K.
Nếu B là một dạng song tuyến tính trên V , và {v1 , v2 , ..., vn } là cơ sở của V ,
ˆ = [bij ] gọi là ma trận biểu diễn của B
đặt bij = B(vi , vj ), với mọi i, j. Khi đó B
tương ứng với cơ sở {vi }.
Đònh nghóa 1.5.2. B là dạng song tuyến tính trên V . Ta nói rằng
i) B không suy biến nếu det(B) = 0,
ii) B symmetric nếu B(v, w) = B(w, v) với mọi v, w ∈ V ,
iii) B alternate nếu B(v, v) = 0 với mọi v ∈ V .
ˆ của B tương ứng với bất kì cơ sở
Nếu B symmetric thì ma trận biểu diễn B
t
ˆ
ˆ
nào cũng là symmetric, tức là B = B. Nếu B alternate thì ma trận biểu diễn
ˆ = [bij ] có tính chất bii = 0 với mọi i, và B
ˆ t = −B.
ˆ
B
Với 0 = u ∈ V , nếu v ∈ V sao cho B(u, v) = 0, thì v gọi là trực giao với u. Kí
hiệu u⊥ = {v ∈ V | B(u, v) = 0} là thành phần trực giao của u trong V . Tương
tự nếu W là không gian con của V , thì W ⊥ = {v ∈ V | B(u, v) = 0, ∀u ∈ W } là

thành phần trực giao của W trong V . Nếu B là dạng tuyến tính không suy biến,
theo [8] ta có công thức
dim(V ) = dim(W ) + dim(W ⊥ ).
Giả sử B là dạng song tuyến tính alternate trên V . Nếu u, v ∈ V , và B(u, v) = 0
thì {u, v} độc lập tuyến tính. Nếu B(u, v) = b = 0, đặt u1 = b−1 u và v1 = v,
thì B(u1 , v1 ) = 1. Không gian con W sinh bởi {u1 , v1 } gọi là hyperbolic plane,
với hyperbolic pair{u1 , v1 } là cơ sở. Hạn chế của B lên W có ma trận biểu diễn
0 1
.
−1 0
Giả sử V là K-kgvt có số chiều n = 2m > 0, và B là dạng song tuyến tính
alternate không suy biến trên V . Một cơ sở {u1 , v1 , ...um , vm } xây dựng trên các
hyperbolic pair gọi là một cơ sở symplectic của V , V gọi là symplectic space. Một
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 19


Trang 20

Luận văn cao học

tự đẳng cấu (phép biến đổi tuyến tính khả nghòch) τ của V được gọi là phép biến
đổi symplectic nếu
B(τ v, τ w) = B(v, w)
với mọi v, w ∈ V .
Tập tất cả các phép biến đổi symplectic của V là một nhóm con của GL(V ),
được gọi là nhóm symplectic trên V , kí hiệu là Sp(V ).
Giả sử đã chọn một cơ sở symplectic cho V , nếu τ ∈ GL(V ), τ có biểu diễn
ˆ = B.
ˆ
ma trận tương ứng là T , τ ∈ Sp(V ) khi và chỉ khi T t BT

Khi đó T thuộc nhóm các ma trận với dạng song tuyến tính B được kí hiệu là
Sp(n, K), hay viết gọn là Sp(n, q) nếu |K| = q, hữu hạn.
Với mỗi 0 = u ∈ V và mọi a ∈ K∗ ta đònh nghóa
τ = τu,a (v) = v + aB(u, v)u
với mọi v ∈ V . Rõ ràng τu,a là một phép co với siêu phẳng cố đònh W = u⊥ , hơn
nữa B(τ v, τ w) = B(v, w), với mọi v, w ∈ V , vậy τu,a ∈ Sp(V ). Khi đó τu,a được
gọi là symplectic transvection theo hướng u. Đặt Γ := {τu,a | u ∈ V, a ∈ K∗ } .
Các kết quả sau được phát biểu, chứng minh chi tiết tham khảo [7], chương [2],
trang 23 − 25.
Đònh lý 1.5.3. Nếu V là không gian hai chiều thì Sp(V ) = SL(V ).
Mệnh đề 1.5.4. Nếu V là symplectic thì nhóm Γ ≤ Sp(V ) tác động truyền (
transitive) trên tập S gồm toàn các hyperbolic pair trong V .
Đònh lý 1.5.5. Nhóm symplectic Sp(V ) sinh bởi các symplectic transvection.
Hệ quả 1.5.6. Sp(V ) ≤ SL(V ).
Mệnh đề 1.5.7. Tâm Z(Sp(V )) của Sp(V ) là {−1, 1}.
Mệnh đề 1.5.8. Sp(V ) tác động nguyên thủy trên P(V ).
Kí hiệu P Sp(V ) := Sp(V )/Z(Sp(V )) là nhóm projective-symplectic.
Đònh lý 1.5.9. Ngoại trừ P Sp(2, 2), P Sp(2, 3), P Sp(4, 2), tất cả các nhóm projectivesymplectic đều là nhóm đơn.
2

Đònh lý 1.5.10. Cho |K| = q, cấp của Sp(n, q) là q m

m
2i
i=1 (q − 1),

với n = 2m.

Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 20



Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số

1.6

Trang 21

Torus và phần tử semisimple

Gọi K là bao đóng đại số của K. Phần tử f ∈ End(V ) lần lượt được gọi là
semisimple nếu f chéo hóa được trên K, nilpotent ( lũy linh) nếu tồn tại n ∈ N
sao cho f n = 0, và là unipotent nếu tồn tại n ∈ N sao cho (f − id)n = 0, với id
là tự đồng cấu đồng nhất của V .
Một công cụ rất thường dùng trong việc nghiên cứu các phép biến đổi tuyến
tính đó là phân tích Jordan. Trước khi phát biểu và chứng minh mệnh đề về phân
tích Jordan, ta chuẩn bò các kiến thức sau.
Bổ đề 1.6.1. Cho x, y ∈ End(V ), thỏa mãn xy = yx.
i) Nếu x, y là hai phần tử semisimple thì xy và x−y là hai phần tử semisimple.
ii) Nếu x, y là hai phần tử nilpotent thì xy và x − y là hai phần tử nilpotent.
Chứng minh dành cho bạn đọc.
Ta cũng nhắc lại Đònh lí phần dư Trung Hoa, mà chứng minh sẽ tham khảo
[3], trang 103.
Đònh lý 1.6.2. (Đònh lí phần dư Trung Hoa). Giả sử X là vành, A1 , A2 , ..., An là
các ideal đôi một nguyên tố cùng nhau của X, x1 , x2 , ..., xn là các phần tử tùy ý
của X. Khi đó tồn tại phần tử x ∈ X, sao cho x ≡ xi (mod Ai ), với mọi i.
Mệnh đề 1.6.3. (Phân tích Jordan- Chevalley)
Giả sử V là không gian hữu hạn chiều trên trường đóng đại số K, x ∈ End(V ).
i) Tồn tại duy nhất xs , xn ∈ End(V ) thỏa mãn điều kiện: x = xs + xn , với
xs là semisimple, xn là nilpotent, và xs xn = xn xs .
ii) Tồn tại đa thức p(T ), q(T ) không chứa hệ số tự do sao cho xs = p(x), xn =

q(x). Như thế, xs và xn giao hoán với mọi đồng cấu giao hoán với x.
Chứng minh. Giả sử a1 , a2 , ..., ak (với số mũ tương ứng lần lượt là m1 , m2 , ..., mk )
k
là các giá trò riêng khác nhau của x, khi đó đa thức đặc trưng là i=1 (λ − ai )mi .
Nếu Vi = Ker(x − ai 1)mi , thì V là tổng trực tiếp của các không gian vectơ con
V1 , V2 , ..., Vk , mỗi không gian đều cố đònh dưới tác động của đồng cấu x. Thu hẹp
trên mỗi Vi , rõ ràng x có đa thức đặc trưng (λ − ai )mi . Nếu 0 = ai thì các đa
thức (T − ai )mi đôi một nguyên tố với nhau, và nguyên tố với T (còn nếu 0 là giá
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 21


Trang 22

Luận văn cao học

trò riêng của x thì không cần lấy thêm đa thức T ). Bây giờ áp dụng Đònh lí 1.6.2
(cho vành K(T )), tồn tại p(T ) sao cho
p(T ) ≡ ai (mod(T − ai )mi ), p(T ) ≡ 0(mod T ).
Đặt q(T ) = T − p(T ), vì p(T ) ≡ 0(mod T ) nên mỗi p(T ) và q(T ) đều có hệ số
hằng là 0.
Đặt xs = p(x), xn = q(x), vì xn và xs là các đa thức của x nên chúng giao
hoán với tất cả các đồng cấu giao hoán với x. Hơn nữa chúng cũng ổn đònh
với các không gian ổn đònh với đồng cấu x, trong trường hợp này là các Vi . Vì
p(T ) ≡ ai (mod(T − ai )mi ), nên thu hẹp của đồng cấu (x − ai 1) trên các Vi là
đồng cấu 0, với mọi i. Do đó xs tác động chéo trên Vi với giá trò riêng duy nhất
ai . Theo cách đặt trên xn = x − xs , và là phần tử nilpotent.
Bây giờ ta sẽ chứng minh xn và xs là duy nhất. Giả sử tồn tại s và n lần lượt
là các phần tử semisimple và nilpotent sao cho ns = sn và x = n + s, khi đó n, s
sẽ giao hoán với x, suy ra n giao hoán xn và s giao hoán xs . Từ x = xn + xs ta
có xn − n = xs − s = t. Theo Bổ đề 1.6.1, t vừa là semisimple vừa là nilpotent,

vậy t = 0. Từ đó xn = n và xs = s.
Hệ quả 1.6.4. Cho V là không gian hữu hạn chiều trên trường K, x ∈ GL(V ).
Tồn tại duy nhất xu , xs ∈ GL(V ) thỏa mãn phân tích x = xs xu , với xs là
semisimple, xu là unipotent, và xs xu = xu xs .
Chứng minh. Trước hết, vì x và xs có tập giá trò riêng trùng nhau nên nếu
x ∈ GL(V ) thì xs ∈ GL(V ).
Theo Mệnh đề 1.6.3, x ∈ GL(V ) có phân tích x = xs +xn = xs (1+x−1
s xn ) =
−1
xs xu , với xu = (1 + xs xn ) là phần tử unipotent, xs là phần tử semisimple và
xu xs = xs xu .
Giả sử tồn tại phân tích x = su, với s, u ∈ GL(V ), s là semisimple, u là
unipotent và su = us. Viết lại u = 1 + n, trong đó n là phần tử nilpotent. Khi đó
x = su = s(1 + n) = s + sn, với s là semisimple, sn là nilpotent.
Theo Mệnh đề 1.6.3, ta được xs = s, và xu = u. Vậy sự phân tích trên tồn tại
duy nhất.
Như vậy ta có sự tương ứng của các đònh nghóa, tính chất trong nhóm các ma
trận.
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 22


Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số

Trang 23

Đònh nghóa 1.6.5. Phần tử g ∈ GL(n, K) gọi là chéo hóa được trên trường K nếu
tồn tại ma trận P ∈ GL(n, K) sao cho P gP −1 có dạng ma trận chéo trong nhóm
GL(n, K).
Phần tử g ∈ GL(n, K) được gọi là semisimple nếu nó chéo hóa được trên bao
đóng đại số của K.

Phần tử g ∈ GL(n, K) được gọi là unipotent nếu g − In là phần tử lũy linh,
tức là (g − In )n = 0.
Mọi phần tử g ∈ GL(n, K) đều có phân tích dạng
g = xn xs
trong đó xn là phần tử unipotent, xs là phần tử semisimple và xn xs = xs xn (duy
nhất theo Hệ quả 1.6.4). Phân tích này được gọi là phân tích Jordan của g trong
GL(n, K).
Đònh nghóa 1.6.6. Cho G là nhóm con của GL(n, K). Nhóm T ≤ G được gọi là
torus trong G nếu có hai tính chất sau:
i) T chứa toàn các phần tử semisimple.
ii) T là nhóm Abel.
Đặt S(G) := {T ≤ G}, tập tất cả các torus của G.
Vì {In } ∈ S(G), nên S(G) = ∅. Xét quan hệ ≤ trong S(G) xác đònh như
sau, với T1 , T2 ∈ S(G) , viết T1 ≤ T2 nghóa là T1 ⊆ T2 . Kiểm tra được ≤ là quan
hệ thứ tự trong S(G). Khi đó (S(G), ≤) là tập được sắp thứ tự, theo Bổ đề Zorn
(tham khảo [3], trang 28), S(G) có phần tử tối đại theo quan hệ thứ tự ≤.
Đònh nghóa 1.6.7. Cho G là nhóm con của GL(n, K). Nhóm T ≤ G được gọi là
maximal torus trong G nếu T là torus, và là phần tử tối đại trong S(G).
Nếu T là torus, và các phần tử của T chéo hóa được trên trường K thì ta gọi
T là split torus. Ngược lại, ta gọi T là nonsplit torus.
Phần tử semisimple s ∈ G được gọi là regular semisimple nếu CG (s) là một
torus, non regular semisimple nếu CG (s) không là một torus.
Bổ đề 1.6.8. Nếu s là regular semisimple thì CG (s) là một maximal torus.
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 23


Trang 24

Luận văn cao học


Chứng minh. Vì s là regular semisimple nên CG (s) là một torus, vậy CG (s) ∈
S(G). Tồn tại maximal torus T ∈ S(G) sao cho s ∈ T . Khi đó T ≤ CG (s).
Hơn nữa, vì T là phần tử tối đại trong S(G) nên CG (s) ≤ T . Vậy CG (s) = T là
maximal torus.
Nhận xét 1.6.9. Nếu s là non regular semisimple thì CG (s) có chứa phần tử
unipotent.
Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát một nhóm con quan trọng mà các phần tử của
nó đóng nhiều vai trò, vừa là vectơ, vừa là đồng cấu theo từng cách xét cụ thể.

1.7
1.7.1

Khảo sát F∗qn
Ánh xạ Frobenius

Xem Fqn là không gian vectơ n chiều trên Fq , vì Fqn là mở rộng trường trên Fq
nên có thể xem các phép toán trên Fq đều được cảm sinh từ Fqn .
Xét ánh xạ Frobenius
F : Fqn −→ Fqn
a → F (a) = aq
Bổ đề 1.7.1. Ánh xạ F là Fq -tự đẳng cấu của không gian vectơ Fqn , và F cũng
là tự đẳng cấu của trường Fqn . Hơn nữa, ord(F ) = n.
Chứng minh. Trước hết ∀λ ∈ Fq , ∀a, b ∈ Fqn .
i) F (a + b) = (a + b)q = aq + bq = F (a) + F (b).
ii) F (λa) = (λa)q = λq aq = λaq .
iii) F (ab) = (ab)q = aq bq = F (a)F (b).
Vì F thỏa các tính chất i) và ii) nên F là đồng cấu của không gian vectơ Fqn
trên trường Fq . Nếu aq = 0 thì a = 0. Vậy F là đơn cấu. Do Fqn là tập hữu hạn
nên F là Fq -tự đẳng cấu. Vậy F ∈ GL(Fqn ).
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 24



Trang 25

Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số
Chọn ψ là phần tử sinh của nhóm cyclic F∗qn ,
n

F n (ψ) = ψ q = ψ
nên F n là đồng cấu đồng nhất. Vậy đồng cấu F có cấp n, và F −1 = F n−1 .
Vì F thỏa các tính chất i) và iii) nên F là tự đẳng cấu của trường Fqn .
Nhận xét 1.7.2. Mỗi phần tử ψ ∈ F∗qn có thể được xem như một Fq - tự đẳng cấu
của Fqn với tác động ψ(η) = ψη, η ∈ Fqn . Vậy mỗi phần tử ψ ∈ F∗qn là một Fq -tự
đẳng cấu của Fqn , và F∗qn là nhóm con cyclic của GL(Fqn ).
Xét ánh xạ
F : GL(n, q m ) −→ GL(n, q m )
A = (aij ) → F (A) = (aqij )
Bổ đề 1.7.3. Ánh xạ F là tự đẳng cấu của nhóm GL(n, q m ).
Chứng minh. Vì Fq là trường đặc trưng p nên (a+b)q = aq +bq , vậy det(F (A)) =
(det(A))q = 0. Do đó F là ánh xạ.
Lấy A = (aij ), B = (bjk ) ∈ GL(n, Fqm ), đặt C := AB = (cik ), với cik =
aij bjk .

n
j=1

n

n


Xét F (AB) = F (C) = (cqik ) = (( j=1 aij bjk )q ) = ( j=1 aqij bqjk ) =
F (A)F (B). Vậy F là đồng cấu nhóm. Nếu F (A) = In , suy ra (aqij ) = In ,
n

q −1
suy ra aqii = 1. Vì aii ∈ F∗qn nên aii
= 1, suy ra aii = 1. Vậy (aij ) = In , hay là
A = In , tức F là đơn cấu. Do GL(n, q m ) là nhóm hữu hạn nên F là đẳng cấu
nhóm.

1.7.2

Khảo sát F∗qn

Chọn cơ sở của Fqn trên trường Fq , mọi Fq -tự đẳng cấu của không gian vectơ Fqn
đều có biểu diễn là một ma trận cụ thể với hệ số trên Fq . Đẳng cấu nhóm tương
ứng
dn : GL(Fqn ) −→ GL(n, q)
f → f[β] = dn (f ).
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 25


Trang 26

Luận văn cao học

Như vậy khi ta nhắc đến ma trận tức là đang xét trong nhóm GL(n, q), còn nhắc
đến đồng cấu tức là đang xét trong GL(Fqn ).
Khi xét ψ với nghóa là một Fq -tự đẳng cấu, kí hiệu GF (q n ) := {ψ, ψ ∈ F∗qn }
là một nhóm con cyclic của GL(Fqn ).

Trong bổ đề dưới đây, ánh xạ Frobenius F được đònh nghóa
F : Fqn −→ Fqn
a → F (a) = aq
Từ đẳng cấu dn , cảm sinh phép nhúng (đã cố đònh cơ sở)
i : F∗qn −→ GL(n, q), ψ → i(ψ) = dn (ψ).
Bổ đề 1.7.4. Đặt G := GL(n, q), G1 := SL(n, q) . Các phát biểu sau luôn đúng
a) Nếu ψ ∈ F∗q thì i(ψ) nằm trong tâm của GL(n, q).
b) Với
i
det
GF (q n ) ∼
= F∗qn −−−−→ GL(n, Fq ) −−−−→ F∗q

ánh xạ hợp nối det◦ i là toàn ánh.
c) Nếu f ∈ GL(Fqn ), f h = hf, ∀h ∈ GF (q n ) , thì f ∈ GF (q n ).
d) Chọn γ là phần tử sinh của GF (q n ), i(γ) là phần tử regular semisimple
của GL(n, q). Đặt H := i(GF (q n )) = i(γ) . H là maximal torus của
GL(n, q).
w

w

e) Lấy w ∈ GL(n, q), nếu i(γ) ∈ H thì i(γ) = i(γ t ), với t là một lũy thừa
của q.
g) Với F đã đònh nghóa, i(γ)dn (F ) = i(γ q ). Đặt N := H, dn (F ) . N là chuẩn
hóa tử của H trong G, nghóa là N = NG (H).
h) Nếu ξ là phần tử sinh của nhóm cyclic có cấp
1.

q n −1

q−1

trong F∗qn thì det(i(ξ)) =

k) Đặt T := i(ξ) . T là maximal torus trong nhóm G1 .
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 26


Trang 27

Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số

l) Tồn tại η ∈ GF (q n ), sao cho det(dn (F η)) = 1. Đặt N1 := T, dn (F η) .
N1 là chuẩn hóa tử của T trong G1 , nghóa là N1 = NG1 (T ).
Chứng minh.
a) Lấy ψ ∈ F∗q , do tác động được xác đònh ψ(ξ) = ψξ. Nên
i(ψ) = diag(ψ, ψ, ..., ψ) là ma trận nằm trong tâm của GL(n, q).
n−1

khác nhau từng
b) Lấy γ là phần tử sinh của F∗qn , các phần tử γ, γ q , ..., γ q
đôi một. Theo tác động đã xác đònh, ma trận i(γ) có một giá trò riêng là γ.
Đa thức đặc trưng Pi(γ) (λ) = λn +a1 λn−1 +...+an−1 λ+an , ai ∈ Fq , i = 1...n,
nhận γ là một nghiệm.
Vậy Pi(γ) (γ) = γ n + a1 γ n−1 + ... + an−1 γ + an = 0. Hơn nữa do trường Fq có
q
đặc số p nên Pi(γ) (γ) = γ q n + a1 γ q (n−1) + ... + an−1 γ q + an = Pi(γ) (γ q ) = 0.
2
n−1
Vậy γ q cũng là một nghiệm của Pi(γ) (λ). Lập luận tương tự γ q , ..., γ q

cũng là
nghiệm của Pi(γ) (λ). Đa thức Pi(γ) (λ) bậc n trên trường Fq có đúng n nghiệm
n−1
phân biệt. Ta có phân tích Pi(γ) (λ) = (λ − γ)(λ − γ q )...(λ − γ q ).
2

n−1

Vậy det(i(γ)) = γ 1+q+q +...+q . Vì q n −1 = (1+q+q 2 +...+q n−1 )(q−1) nên
2
n−1
2
n−1
∈ F∗q , và là phần tử sinh của
có cấp q−1. Vì thế γ 1+q+q +...+q
γ 1+q+q +...+q
2
n−1
F∗q . Do đó với mọi a ∈ F∗q , tồn tại k ∈ [1, q − 1] sao cho a = (γ 1+q+q +...+q )k .
Do đó lấy γ k ∈ F∗qn , thì det(i(γ k )) = a. Vậy ánh xạ det◦ i là toàn ánh.
c) Chọn [β] = {v1 , v2 , ..., vn } là cơ sở của Fqn trên Fq . Chú ý rằng các
vi được xét với hai vai trò, vừa là phần tử của Fqn , vừa là Fq -tự đồng cấu
n
(thuộc vào GF (q n )). Phần tử x ∈ Fqn có biểu diễn x =
i=1 ai vi , ai ∈
∗
n
Fq . Đặt ξ0 = f (1) ∈ Fqn , xem ξ0 ∈ GF (q ). Theo giả thuyết f (vi ) =
f (vi .1) = f (vi (1)) = f vi (1) = vi f (1), i ∈ [1, n]. Vì f là Fq -tự đồng cấu nên
n

n
n
n
f (x) = f ( i=1 ai vi ) =
i=1 f (ai vi ) =
i=1 ai f (vi ) =
i=1 ai vi f (1) =
n
n
n
( i=1 ai vi )f (1) = ξ0 .( i=1 ai vi ) = ξ0 ( i=1 ai vi ) = ξ0 (x). Vậy f (x) = ξ0 (x), ∀x ∈
Fqn , nên f ≡ ξ0 . Hay f ∈ GF (q n ).
d) Theo câu b), đa thức đặc trưng Pi(γ) (λ) bậc n trên trường Fq có đúng n
nghiệm phân biệt. Do đó i(γ) là phần tử semisimple. Vậy i(GF (q n )) là cyclic
torus sinh bởi i(γ). Nếu dn (f )dn (γ) = dn (γ)dn (f ) thì dn (f γ) = dn (γf ). Suy
ra f γ = γf . Theo câu c), f ∈ GF (q n ), hay dn (f ) ∈ H. Do đó CG (i(γ)) =
i(GF (q n )) = H. Suy ra i(γ) là phần tử regular semisimple. Vậy H là một
maximal torus của G. (Ở đây G = GL(n, q)).
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 27


Trang 28

Luận văn cao học
w

w

e) Giả sử w ∈ GL(n, q) sao cho i(γ) ∈ H. Vậy i(γ) = i(γ t ), t ∈ [1, q n − 1].
Ma trận i(γ t ) có một giá trò riêng là γ t . Vì hai ma trận i(γ) và i(γ t ) liên hợp nhau,

n−1
có cùng tập giá trò riêng nên γ t ∈ {γ, γ q , ..., γ q }. Vậy t = q k , k ∈ [0, n − 1].
g) Theo Bổ đề 1.7.1, F ∈ GL(Fqn ), và ord(F ) = n. Lấy γ ∈ GF (q n ),
F γF −1 (t) = F γ(tq

(n−1)

) = F (γtq

(n−1)

) = γ q t = γ q (t), ∀t ∈ Fqn .

Với tác động trên, F chuẩn hóa GF (q n ), hay dn (F ) chuẩn hóa i(GF (q n )). Rõ
t
t
ràng N ≤ NG (H). Ngược lại, vì dn (γ F ) = dn (γ q ), nên dn (γ F ) = dn (γ q ).
w
Lấy w ∈ NG (H) thì dn (γ) ∈ H. Theo câu e), tồn tại k ∈ [0, n − 1] sao cho
w

k

d (F k )

w

w−1 d (F k )

n

. Vậy dn (γ)
= dn (γ).
dn (γ) = dn (γ q ). Hay là dn (γ) = dn (γ) n
−1
k
Do dn (γ) là phần tử regular, nên w dn (F ) ∈ H. Do đó w ∈ H, dn (F ) = N .
Vậy NG (H) ≤ N . Cuối cùng N = NG (H).

h) Chọn ξ = γ q−1 là phần tử sinh của nhóm cyclic có cấp

q n −1
q−1

trong F∗qn ,

n−1

là các giá trò riêng đôi một khác nhau của ma trận i(ξ).
theo câu b) ξ, ξ q , ..., ξ q
Vậy i(ξ) chéo hóa được trong GL(n, q m ), hay i(ξ) là phần tử semisimple trong
n−1
= 1.
GL(n, q). Và det(i(ξ)) = ξ 1+q+...+q
k) Vì ξ là nghiệm của đa thức đặc trưng Pi(ξ) (λ) bất khả quy cấp n trên trường
Fq , nên {1, ξ, ξ 2 , ..., ξ n−1 } là cơ sở của kgvt Fqn trên Fq .
Theo Bổ đề 1.1.4, CG1 (i(ξ)) = CG (i(ξ)) ∩ G1 . Theo c), CG (i(ξ)) = H. Hơn
nữa, theo b) và c), H ∩ G1 = T . Do đó CG1 (i(ξ)) = T .
Vậy i(ξ) là phần tử regular semisimple. Và T là maximal torus trong G1 .
l) Nếu det(dn (F )) = a = 1, theo câu b) chọn được η ∈ GF (q n ) sao cho
det(i(η) = a−1 . Khi đó det(dn (F η)) = 1.

Ta có F η(ξ)η −1 F −1 (t) = F ξF −1 (t) = ξ q (t), ∀t ∈ Fqn . Suy ra ξ F η = ξ q . Do
đó dn (F η) chuẩn hóa T .
Đặt N1 := T, dn (F η) .
w

Rõ ràng N1 ≤ NG1 (T ). Ngược lại, lấy w ∈ NG1 (T ) thì i(ξ) ∈ T . Theo câu
k
w
e), tồn tại k ∈ [0, n − 1] sao cho i(ξ) = i(ξ q ). Hơn nữa vì i(ξ F η ) = i(ξ q ) nên
t

t

w

dn ((F η)k )

i(ξ (F η) ) = i(ξ q ). Hay là i(ξ) = i(ξ)

.

w−1 d ((F η)k )

n
Vậy i(ξ)
= i(ξ). Do i(ξ) là phần tử regular semisimple , nên
−1
k
w dn (F ) ∈ T . Do đó w ∈ T, dn (F η) = N . Vậy NG1 (T ) ≤ N1 .


Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 28


Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số

Trang 29

Cuối cùng N1 = NG1 (T ).
Nhận xét 1.7.5. Với maximal torus T sinh ra từ Bổ đề 1.7.4, ta nhận thấy tác động
của chuẩn hóa tử NG (T ) lên T theo dạng aT a−1 được xem như tác động của một
tự đẳng cấu của T (đây là outer automophism). Và tác động này giống như tác
động của ánh xạ Frobenius lên trường Fq , còn ánh xạ F tác động trên ma trận chỉ
thể hiện ra khi ma trận này ở dạng chéo hóa.
Cuối cùng trong phần chuẩn bò này, chúng ta có một khái niệm về root system,
trong luận văn này chỉ cố gắng thể hiện các ý cơ bản, bạn đọc nào muốn tìm hiểu
kó hãy tham khảo [5].

1.8 Systems of Roots
Cho E là một không gian Euclide số chiều hữu hạn l. Với mỗi vectơ khác không
r của E, kí hiệu wr là phép đối xứng qua siêu phẳng trực giao với r. Đây là một
ánh xạ tuyến tính được đònh nghóa bởi wr (r) = −r và wr (x) = x, với mọi x thỏa
(r, x) = 0. Nếu x là một vectơ trong E thì wr (x) = x − 2(r,x)
(r,r) r.
Đònh nghóa 1.8.1. Một tập con Φ của E được gọi là một systems of roots trong E
nếu các tiên đề sau được thỏa mãn:
i) Φ là tập hợp hữu hạn không chứa vectơ không.
ii) Φ sinh ra không gian E.
iii) Nếu r, s ∈ Φ, thì wr (s) ∈ Φ.
iv) Nếu r, s ∈ Φ, thì


2(r,s)
(r,r)

là số hữu tỷ.

v) Nếu r ∈ Φ, λ.r ∈ Φ, ở đây λ ∈ R, thì λ ∈ {1, −1}.
Cho Φ là một root system. Kí hiệu W (Φ) là nhóm sinh bởi các phép đối xứng
wr , với mọi r ∈ Φ. W (Φ) được gọi là nhóm Weyl của Φ.
Với T
N ≤ G, B ≤ G, lấy g, g ∈ G, kí hiệu BgB = {bgb | b, b ∈ B} và
gBg = {gbg | b ∈ B}. Xét đồng cấu tựï nhiên f : N −→ N/T , n → nT = f (n).
Khi đó chúng ta có đònh nghóa sau.
Nguyễn Trí Đạt - Cao học ngành đại số K19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 29