Lời cảm ơn
Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, PGS.
TS. ĐOÀN THẾ HIẾU. Tôi xin gửi đến Thầy sự kính trọng, lòng biết ơn sâu
sắc cũng như nguyện vọng được tiếp tục nghiên cứu Toán dưới sự hướng dẫn
của Thầy.
Chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy cô giáo đã giảng
dạy lớp Toán B khóa 2005-2009 của Trường ĐHSP Huế cũng như toàn thể
các thầy cô trong Khoa Toán Trường ĐHSP Huế vì sự giảng dạy tận tình và
sự quan tâm, động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực
hiện đề tài.
Cuối cùng, tôi gửi sự trân trọng và biết ơn đến tất cả người thân, bạn
bè vì sự quan tâm, động viên, giúp đỡ cho tôi trong suốt quá trình học tập
vừa qua.
Huế, tháng 5 năm 2009
TRƯƠNG THỊ THÙY TRANG

i


Mục Lục
Lời cảm ơn

i

Mục lục

1

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Mặt trong không gian R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Mặt cực tiểu trong không gian R3 . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Không gian mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2 Mặt cực tiểu trong không gian tích với một nhân tử có mật
độ Gauss

8

2.1


Mặt cực tiểu trong không gian Gauss G3 . . . . . . . . . . . .

8

2.2

Mặt cực tiểu trong không gian G2 × R . . . . . . . . . . . . .

22

2.3

Mặt cực tiểu trong không gian G × R2 . . . . . . . . . . . . .

31

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37

1


Mở đầu
Trong các đối tượng hình học, mặt cực tiểu có lẽ là mặt được nghiên cứu
nhiều nhất trong hình học vi phân. Trong hình học vi phân cổ điển ta đã biết

một số mặt cực tiểu trong không gian R3 như là: mặt catenoid, mặt helicoid,
mặt Enneper, mặt Heneberg, mặt Catalan, mặt Scherk. Bây giờ ta không xét
trong không gian R3 mà xét trong không gian với mật độ thì có những mặt
cực tiểu nào?
Đa tạp với mật độ là đa tạp Riemann cùng với một hàm mật độ trơn, xác
định dương được dùng làm trọng số cho cả thể tích và chu vi. Người ta đã
chỉ ra được rằng nhiều kết quả của hình học vi phân cổ điển không còn đúng
cho đa tạp với mật độ. Chẳng hạn, đường thẳng trên mặt phẳng với mật độ
tổng quát không có độ cong hằng; tồn tại các đường cong có ϕ-độ cong hằng
trên mặt phẳng Gauss không phải là đường tròn.
Với những lý do nêu trên, một vấn đề đặt ra là: Liệu có mặt cực tiểu nào
trong không gian R3 cũng là mặt cực tiểu trong không gian mật độ? Những
mặt nào là mặt có ϕ-độ cong hằng, những mặt nào là mặt cực tiểu trong
không gian mật độ? Xuất phát từ nhu cầu tìm hiểu và giải quyết một phần
các vấn đề trên, tôi chọn đề tài: "Mặt cực tiểu trong không gian tích
với một nhân tử có mật độ Gauss" làm khoá luận tốt nghiệp.
Khoá luận này tập trung nghiên cứu và tìm các mặt có độ cong hằng, các
mặt cực tiểu trong không gian Gauss, không gian tích với một nhân tử có
mật độ Gauss. Nghiên cứu các mặt tròn xoay, mặt translation, mặt đa thức,
tìm điều kiện để các mặt này trở thành mặt cực tiểu và tìm các mặt cực tiểu
đó.
Khóa luận gồm có hai chương. Trong chương I trình bày các kiến thức về
mặt trong R3 , các mặt cực tiểu cổ điển và các kiến thức về không gian mật
độ. Chương II là nội dung chính của khóa luận. Trong chương này chia thành

2


ba phần, trong ba phần này tập trung nghiên cứu tìm ra các mặt cực tiểu
và mặt có độ cong hằng trong ba không gian: không gian Gauss, không gian

G2 × R và không gian G × R2 .

3


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Mặt trong không gian R3

Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến
mặt trong không gian R3 , đó là khái niệm độ cong chính, phương chính, độ
cong Gauss G và độ cong trung bình H.
Cho ánh xạ Gauss N : S −→ S 2 của mặt định hướng S và v ∈ Tp S. Chọn
α : (−ε, ε) −→ R sao cho α(0) = p và α (0) = v.
Khi đó đạo hàm của ánh xạ N tại điểm p là ánh xạ tuyến tính
dNp : Tp S −→ TN (p) S 2
v

−→ (N ◦ α) (0).

Ánh xạ dNp là liên hợp nên tồn tại cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 } sao cho
dNp (e1 ) = −k1 e1 ,
dNp (e2 ) = −k2 e2 .
Tức là −k1 , −k2 là các giá trị riêng và e1 , e2 là các vectơ riêng đơn vị lần
lượt ứng với các giá trị riêng −k1 , −k2 của dNp . Ta luôn giả thiết (k1 ≤ k2 ).
Khi đó các giá trị k1 , k2 được gọi là độ cong chính còn e1 , e2 xác định các

phương gọi là phương chính.
4


Cho S là mặt chính quy định hướng, p ∈ S và dNp là đạo hàm ánh xạ
Gauss tại điểm p, ta gọi
1) Định thức của dNp là độ cong Gauss của S tại p, kí hiệu K (p).
1
2

2) Một nửa vết của −dNp , − tr(dNp ) là độ cong trung bình của S tại p,
kí hiệu H (p).
Từ đó ta có K = k1 k2 và H = 21 (k1 + k2 ).

1.2

Mặt cực tiểu trong không gian R3

Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm mặt kẻ, mặt tham số
đồ thị, mặt tịnh tiến và mặt cực tiểu trong không gian R3 . Ngoài ra chúng
tôi giới thiệu các mặt cực tiểu cổ điển trong không gian này.
Cho α, ω : I → R3 là hai hàm khả vi với I là một khoảng mở trong R và
ω (u) = 0, ∀u ∈ I. Chúng ta sẽ xem α(u), u ∈ I là các điểm còn ω (u), u ∈ I là
các vector trong R3 .
Mặt tham số X (u, v ) = α(u) + vω (u), u ∈ I, v ∈ R được gọi là mặt kẻ sinh
bởi α và ω.
Mặt tham số kiểu đồ thị là mặt tham số được cho bởi công thức X (u, v ) =
(u, v, f (u, v )).

Một mặt M được gọi là mặt translation nếu được cho bởi công thức

X : U ⊂ R2 −→ R3 ,
(x, y )

−→ (x, y, f (x) + g (y )).

Ta đã biết, mặt tham số chính quy X : U → R3 được gọi là mặt cực tiểu
nếu độ cong trung bình tại mọi điểm đều bằng không và chúng ta đã có một
số kết quả sau.
Định lý 1.2.1. [1, tr. 11] Mặt Catenoid xác định bởi tham số
X (u, v ) = (cosh v cos u, cosh v sin u, v )
là mặt cực tiểu tròn xoay duy nhất khác mặt phẳng.
5


Định lý 1.2.2. [1, tr. 11] Mặt Helicoid xác định bởi tham số
X (u, v ) = (sinh v cos u, sinh v sin u, cu), c = 0
là mặt kẻ cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng.
Định lý 1.2.3. [4, tr. 1] Mặt Scherk xác định bởi tham số
X (u, v ) = (u, v,

1

log |

a

cos ax
|), a = 0
cos ay


là mặt cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng trong lớp các mặt translation.

1.3

Không gian mật độ

Đa tạp với mật độ là một đa tạp Riemann trơn với hàm mật độ dương
thường được viết dưới dạng eϕ được sử dụng làm trọng số cho cả thể tích và
chu vi. Giả sử dV và dP là các phần tử thể tích và chu vi Riemann. Khi đó,
phần tử thể tích và chu vi theo mật độ eϕ được cho bởi công thức dVϕ = eϕ dV
và dPϕ = eϕ dP.
Đa tạp với mật độ xuất hiện nhiều nơi trong toán học như các không gian
Gauss. Không gian Gauss Gm là không gian Rm với mật độ Gauss (2π )

−m
2

e

−r 2
2

,

ở đó r là khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ. Mặt phẳng G2 được gọi là mặt
phẳng Gauss.
Không gian Rn với mật độ eϕ(r) , ở đó r là khoảng cách từ gốc tọa độ đến
điểm được gọi là đa tạp với mật độ cầu n-chiều.
Để tính độ cong trung bình và độ cong Gauss trong không gian với mật
độ chúng ta có các công thức tương ứng.

Trên đa tạp Riemann m-chiều với mật độ eϕ , độ cong trung bình theo mật
độ hay ϕ-độ cong trung bình, kí hiệu Hϕ , của một siêu mặt với pháp vector
đơn vị N được cho bởi công thức
Hϕ = H −

dϕ
,
m − 1 dN

6

1


trong đó H là độ cong trung bình Riemann. Ta cũng có thể viết
1
2

Hϕ = H − (∇ϕ , N ).

(1.3.1)

Nhận xét 1.3.1.
Hϕ =

1

m−1

k1 + k2 + · · · + km−1 − (∇ϕ , N )


(1.3.2)

với k1 , k2 , . . . , km−1 là các độ cong chính của siêu mặt trong Rm .
Cũng như khái niệm mặt cực tiểu trong không gian R3 , siêu mặt S trong
không gian Rn với mật độ eϕ được gọi là mặt siêu cực tiểu nếu độ cong trung
bình theo mật độ của S triệt tiêu tại mọi điểm.

7


CHƯƠNG 2

MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG
GIAN TÍCH VỚI MỘT NHÂN TỬ
CÓ MẬT ĐỘ GAUSS

2.1

Mặt cực tiểu trong không gian Gauss G3

Trong mục này, chúng tôi trình bày ý nghĩa hình học của đại lượng (∇ϕ , N ),
từ đó chỉ ra rằng các mặt phẳng qua gốc tọa độ là mặt cực tiểu. Chúng tôi
đã chứng minh các mặt trụ có trục quay qua O và các mặt cầu tâm O có độ
cong trung bình theo mật độ là hằng số. Từ đó đã chỉ ra rằng mặt cầu tâm O
√
với bán kính 2 và mặt trụ tròn xoay có trục quay qua O và bán kính đường
chuẩn bằng 1 là các mặt cực tiểu tròn xoay. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày
điều kiện để mặt tròn xoay, mặt tham số kiểu đồ thị, mặt translation và mặt
kẻ trở thành mặt cực tiểu.

Định lý 2.1.1. Trong không gian R3 với mật độ e−ar

2

+c

,

1
|(∇ϕ , N )| là
2a

khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng tiếp xúc tại một điểm của mặt S.
Chứng minh. Với mọi điểm M (x, y, z ) thuộc mặt S. Giả sử N (a1 , b1 , c1 ) là
pháp vector đơn vị của S tại M . Khi đó, phương trình mặt phẳng tiếp xúc
8


của S tại M là α : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0.
Ta có, khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng α là
d(O, α) =

|d1 |
a21 + b21 + c21

= |d1 |.

Mặt khác, từ phương trình mặt (α) ta có:
d1 = −(a1 x + b1 y + c1 z ) = (−x, −y, −z )(a1 , b1 , c1 ) =
Từ đó, ta có d(O, α) =


1
(∇ϕ , N ).
2a

1
|(∇ϕ , N )|.
2a

Nhận xét 2.1.2. Trong không gian R3 với mật độ e

−r 2
2

, các mặt phẳng qua

gốc tọa độ là mặt cực tiểu.
1
2

Chứng minh. Thật vậy, theo phương trình (1.3.1) ta có Hϕ = H − (∇ϕ , N ).
Vì mặt phẳng có độ cong trung bình H = 0 và mặt phẳng qua gốc tọa độ
có (∇ϕ , N ) = 0 nên Hϕ = 0. Vậy các mặt phẳng qua gốc tọa độ là mặt cực
tiểu.
Định lý 2.1.3. [3, tr. 13] Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−ar

2

+c


, mặt

trụ có trục qua gốc tọa độ O và có bán kính đường chuẩn bằng d có độ cong
trung bình theo mật độ là hằng số
Hϕ = ad −

1
.
2d

Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử trục quay của mặt
trụ đi qua gốc tạo độ O là trục Oz.
Ta đã biết trong không gian R3 mặt trụ có hai độ cong chính là: k1 = 0 và
1

k2 = − .
d
Với mọi điểm M (x, y, z ) thuộc mặt trụ ta có hình chiếu của M xuống mặt
phẳng Oxy là điểm M (x, y, 0). Khi đó pháp vector đơn vị của M và M trùng
x
y)
nhau và bằng N (
,
, 0).
x2 + y 2
x2 + y 2

9



Do đó
(x, y, 0)

(∇ϕ , N ) = ((−2ax, −2ay, −2az ),

x2

+

y2

x2 + y 2 = −2ad.

) = −2a

Theo phương trình (1.3.2) ta có
Hϕ =

1

m−1

k1 + k2 + · · · + km−1 − (∇ϕ , N )

nên
Hϕ =

0−

1

d

− (−2ad)
2

= ad −

1
.
2d

Vậy
Hϕ = ad −

1
.
2d

Mệnh đề 2.1.4. [3, tr. 13] Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−ar
1

một mặt trụ có trục quay qua O và có bán kính đường chuẩn √

2a

2

+c

,


là mặt cực

tiểu.
Chứng minh. Mặt S là mặt cực tiểu khi và chỉ khi Hϕ = 0. Theo Định lý
2.1.3 ta có mặt trụ S có trục quay qua O và có bán kính bằng d có độ cong
trung bình theo mật độ là Hϕ = ad −

1
.
2d

Do đó
1
1
= 0 ⇔ ad =
2d
2d
1
1
⇔ d2 =
⇔d= √ .
2a
2a
1

Hϕ = 0 ⇔ ad −

Vậy mặt trụ có trục quay qua O và có bán kính √


2a

là mặt cực tiểu.

Hệ quả 2.1.5. [2, tr. 44] Trong không gian R3 với mật độ e

−r 2
2

, mặt trụ trục

quay qua O có bán kính đường chuẩn bằng 1 là mặt cực tiểu.
Định lý 2.1.6. [3, tr. 14] Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−ar

2

+c

, một

mặt cầu tâm là gốc toạ độ O, bán kính d có độ cong theo mật độ là hằng số
1

Hϕ = ad − .
d
10


Chứng minh. Ta đã biết trong không gian R3 mặt cầu có hai độ cong chính
1


là k1 = k2 = − .
d
Với mọi điểm M (x, y, z ) thuộc mặt cầu, ta có pháp vectơ đơn vị của M là
y
z
x
N(
,
,
).
x2 + y 2 + z 2
x2 + y 2 + z 2
x2 + y 2 + z 2
Do đó
(x, y, z )
(∇ϕ , N ) = ((−2ax, −2ay, −2az ),
)
x2 + y 2 + z 2
= −2a

x2 + y 2 + z 2 = −2ad.

Theo phương trình (1.3.2) ta có
Hϕ =

1

k1 + k2 + · · · + km−1 − (∇ϕ , N )


m−1

nên
Hϕ =

− d1 −

1
d

− (−2ad)

1
= ad − .

d

2

Vậy
1

Hϕ = ad − .
d

Mệnh đề 2.1.7. [3, tr. 14] Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−ar
một mặt cầu tâm tại gốc toạ độ O và có bán kính

1


a

2

+c

,

là mặt cực tiểu duy

nhất trong lớp các mặt cầu.
Chứng minh. Mặt cầu tâm tại gốc toạ độ O là mặt cực tiểu khi và chỉ khi
Hϕ = 0. Theo Định lý 2.1.6 ta có mặt cầu tâm O và có bán kính bằng d có
1

độ cong trung bình theo mật độ là Hϕ = ad − .
d
Do đó
Hϕ = 0 ⇔ ad −
⇔ d2 =

1

d
1

= 0 ⇔ ad =

11


d

1

⇔d= √ .
a
a

Vậy mặt cầu tâm tại gốc toạ độ O và có bán kính
nhất trong lớp các mặt cầu.

1

1

a

là mặt cực tiểu duy


Hệ quả 2.1.8. [2, tr. 43] Trong không gian R3 với mật độ e
√
O có bán kính bằng 2 là mặt cực tiểu.

−r 2
2

mặt cầu tâm

2


Mệnh đề 2.1.9. [2, tr. 42] Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−a

r+c

,

nếu mặt tròn xoay S là mặt cực tiểu thì trục quay của S phải đi qua gốc tọa
độ.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử trục quay của mặt tròn
xoay S trùng với phương của trục Oz.
Gọi C là giao tuyến của S với mặt phẳng Oxy. Khi đó ∀M (x, y, z ) ∈ C ta
có H =const..
1
2

Mặt khác từ phương trình (1.3.1) ta có Hϕ = H − (∇ϕ , N ) nên nếu mặt
1
2

S là mặt cực tiểu thì Hϕ = 0 ⇔ H = (∇ϕ , N )
1
1
(∇ϕ , N )| = | H|.
2a
a
1
Hơn nữa theo Định lý 2.1.6 ta có
|(∇ϕ , N )| là khoảng cách từ gốc tọa độ
2a

O đến mặt phẳng tiếp xúc của mặt S tại M (x, y, z ) nên O là tâm của đường

⇔|

tròn C. Vậy Oz là trục quay của mặt tròn xoay S.
Nhận xét 2.1.10. Theo Mệnh đề 2.1.9, khi khảo sát mặt cực tiểu tròn xoay ta
chỉ cần khảo sát lớp mặt cực tiểu xoay quanh trục Oz. Hơn nữa hai mặt tròn
xoay được sinh ra bởi hai đường cong α1 (t) = (0, f (t), t) và α2 (t) = (0, −f (t), t)
khi xoay quanh trục Oz có vết trùng nhau. Do đó, chúng ta chỉ cần khảo sát
lớp các mặt có tham số X (u, v ) : (f (u) sin v, f (u) cos v, u), (u, v ) ∈ D ⊂ R2 với
f (u) > 0, ∀u.
Định lý 2.1.11. [2, tr. 42](Điều kiện để mặt tròn xoay trở thành mặt cực
tiểu)Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−ar

2

+c

, mặt tròn xoay S được sinh

bởi đường α(t) = (0, f (t), t) khi quay quanh trục Oz là mặt cực tiểu khi và chỉ
khi hàm f (t) thỏa mãn phương trình
f f ” + 2a(f 2 + 1)(f 2 − tf f − 1) = 0.
12

(2.1.1)


Chứng minh. Phương trình tham số của mặt tròn xoay S là
X (u, v ) = (f (u) sin v, f (u) cos v, u).

Các tính toán cụ thể cho ta:
Xu = (f sin v, f cos v, 1),
Xv = (f cos v, −f sin v, 0),
Xu ∧ Xv = (f sin v, f cos v, −f f ),
N=

Xu ∧ Xv
(f sin v, f cos v, −f f )
=
.
|Xu ∧ Xv |
2
2
f (1 + f )

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai:
2

E = I (Xu , Xu ) = 1 + f ,

ff

e = I (N, Xuu ) =

,
2

f 2 (1 + f )
F = I (Xu , Xv ) = 0,


f = I (N, Xuv ) = 0,

G = I (Xv , Xv ) = f 2 ,

g = I (N, Xuu ) =

−f 2
f 2 (1

+f )

Độ cong trung bình của mặt S là
2

1 eG + Eg − 2f F
1 f f 3 − f 2 (1 + f )
H=
=
2
EG − F 2
2 [f 2 (1 + f 2 )] 32

và
(∇ϕ , N ) =

−2a(f 2 − uf f )
f 2 (1

.


2

+f )

Độ cong trung bình theo mật độ là
2

2

1 f f 3 − f 2 (1 + f ) + 2a(f 2 − uf f )(f 2 (1 + f ))
.
Hϕ =
2 3
2
[f 2 (1 + f )] 2

Ta có
Hϕ = 0 ⇔ f f ” + 2a(f 2 + 1)(f 2 − uf f − 1) = 0.
13

.
2


Vậy mặt tròn xoay S là mặt cực tiểu khi và chỉ khi hàm f (t) thoả mãn phương
trình
f f ” + 2a(f 2 + 1)(f 2 − tf f − 1) = 0.

Tập trung vào tìm hiểu tính chất nghiệm của phương trình (2.1.1) chúng
tôi thu được kết quả ban đầu như sau.

Định lý 2.1.12. [2, tr. 45] Cho f (t) là hàm số thỏa mãn phương trình (2.1.1)
và t0 là số thực sao cho t0 = 0 hoặc f (t0 ) = 0 thì ta có các khẳng định sau.
1) f (t0 ) > 1 khi và chỉ khi điểm (0, f (t0 ), t0 ) là điểm lồi của đường cong
α(t) = (0, f (t), t);
2) f (t0 ) = 1 khi và chỉ khi điểm (0, f (t0 ), t0 ) là điểm uốn của đường cong
α(t) = (0, f (t), t);
3) 0 < f (t0 ) < 1 khi và chỉ khi điểm (0, f (t0 ), t0 ) là điểm lõm của đường
cong α(t) = (0, f (t), t).
Chứng minh. Do f (t) thỏa mãn phương trình (2.1.1) nên ta có
f” =

2a(1 − f 2 (t) − tf f )(f 2 t + 1)

f

.

Giả sử t0 = 0 khi đó
f ”(t0 ) =

2a(1 − f 2 (t0 ))(f 2 (t0 ) + 1)
.
f (t0 )

(2.1.2)

Giả sử f (t0 ) = 0 khi đó
2a(1 − f 2 (t0 ))
f ”(t0 ) =
.

f (t0 )

(2.1.3)

Từ phương trình (2.1.2) và phương trình (2.1.3) ta suy ra được điều phải
chứng minh.

14


Định lý 2.1.13. [2, tr.45](Điều kiện để mặt tham số đồ thị trở thành mặt cực
tiểu)Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−ar

2

+c

, cho S là mặt có phương

trình tham số X (u, v ) = (u, v, f (u, v )). Khi đó, S là mặt cực tiểu khi và chỉ
khi hàm f thỏa mãn phương trình
(1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv + 2a(f −ufu −vfv )(1 + fu2 + fv2 ) = 0. (2.1.4)

Chứng minh. Xét mặt S có phương trình tham số X (u, v ) = (u, v, f (u, v )).
Các tính toán cụ thể cho ta:
Xu = (1, 0, fu ),
Xv = (0, 1, fv ),
Xu ∧ Xv = (−fu , −fv , 1),
N=


(−fu , −fv , 1)
Xu ∧ Xv
=
.
|Xu ∧ Xv |
1 + fu2 + fv2

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai:
E = I (Xu , Xu ) = 1 + fu2 ,

e = I (N, Xuu ) =

fuu
,
1 + fu2 + fv2

F = I (Xu , Xv ) = fu fv ,

f = I (N, Xuv ) =

fuv
,
1 + fu2 + fv2

G = I (Xv , Xv ) = 1 + fu2 ,

g = I (N, Xuu ) =

fvv
.

1 + fu2 + fv2

Độ cong trung bình của mặt S là
H=

1 (1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv
1 eG + Eg − 2f F
=
3
2
EG − F 2
2
[1 + fu2 + fv2 ] 2

và
(∇ϕ , N ) =

−2a(f − ufu − vfv )
.
1 + fu2 + fv2

Độ cong trung bình theo mật độ là
Hϕ =
15


1 (1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv + 2a(f − ufu − vfv )(1 + fu2 + fv2 )
.
3
2

[1 + fu2 + fv2 ] 2

Ta có:
Hϕ = 0 ⇔
(1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv + 2a(f − ufu − vfv )(1 + fu2 + fv2 ) = 0.

Vậy mặt S là mặt cực tiểu khi và chỉ khi hàm f (u, v ) thoả mãn phương
trình:
(1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv + 2a(f − ufu − vfv )(1 + fu2 + fv2 ) = 0.

Hệ quả 2.1.14. Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−ar

2

+c

, cho S là mặt

translation có dạng tham số X (u, v ) = (u, v, g (u) + h(v )). Khi đó, S là mặt
cực tiểu khi và chỉ khi hàm f và hàm g thỏa mãn phương trình
(1 + g 2 )h” + (1 + h 2 )g ” + 2a(g + h − ug − vh )(1 + g 2 + h 2 ) = 0.

(2.1.5)

Chứng minh. (Điều kiện để mặt translation trở thành mặt cực tiểu) Từ
phương trình (2.1.4) thay f (u, v ) = g (u)+ h(v ) ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.1.15. Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e

−r 2
2


, cho S là mặt

cực tiểu tịnh tiến có dạng tham số X (u, v ) = (u, v, g (u) + h(v )) với g (u) và
h(v ) là các đa thức thì S là mặt phẳng qua gốc tọa độ.
Chứng minh.

Giả sử g (u) = an un + · · · + a0 và h(v ) = bm v m + · · · + b0 , với

m, n ∈ N, an = 0, bm = 0. Do S là mặt cực tiểu nên g (u) và h(v ) thỏa mãn
phương trình (2.1.5).
Nếu n = m = 1 thì tham số hoá của mặt S là X (u, v ) = (u, v, a1 u + a0 +
b1 v + b0 ). Do đó S là mặt phẳng. Theo Nhận xét 2.1.2, nếu mặt phẳng S là
mặt cực tiểu thì phải đi qua gốc toạ độ.
Nếu n ≥ 2 và m ≥ 2 thì ta được đồng nhất thức
n2 an 3 (n − 1)u3n−2 + p(u) + q (v ) = 0
16


với p(u), q (v ) là các đa thức có bậc của u khác 3n − 2. Điều này không thể
xảy ra.
Định lý 2.1.16. Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e
có dạng tham



α





 β
(I )


β




 β

−r 2
2

, cho mặt kẻ S

số X (s, t) = α(s) + tβSlà mặt cực tiểu khi và chỉ khi
∧ β, α” + α = 0

(1)

∧ β, α = 0

(2)

∧ β, α” + α ∧ β, β ” + 2 α , β

α ∧ β, α = 0


∧ β, β ” + |β |2 α ∧ β, α = 0

(3)
(4)

hoặc

 β =0
(II )
 α ∧ β, α” + α = 0.
Chứng minh. Xét mặt kẻ có tham số hoá
X (s, t) = α(s) + tβ (s)
với α(s) là đường cong trực giao với họ các đường thẳng của mặt S và β (s)
là trường vector đơn vị dọc α và là vector chỉ phương của các đường thẳng
qua α(s). Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử s là tham số hoá độ dài
cung của α.
Từ đó ta có |α | = 1, |β| = 1, α ⊥ β.
Các tính toán cụ thể cho ta
Xs = α + tβ ,
Xt = β,
Xu ∧ Xv = α ∧ β + tβ ∧ β.
Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất:
2

E = I (Xs , Xs ) = 1 + 2t α , β + t2 |β | ,
F = I (Xs , Xt ) = α , β + t β , β = 0,
G = I (Xt , Xt ) = |β|2 = 1.
17



Mặt khác
EG − F 2 .

|Xs ∧ Xt | =
Nên
N=

α ∧ β + tβ ∧ β

Xs ∧ Xt
=
|Xs ∧ Xt |

1 + 2t α , β +

.

2
t2 |β |

Các hệ số của dạng cơ bản thứ hai:
(α ∧ β + tβ ∧ β )(α” + tβ ”)
,
e = I (N, Xss ) =
2
2
1 + 2t α , β + t |β |
f = I (N, Xst ) =

(α ∧ β + tβ ∧ β )β

1 + 2t α , β +

,

2
t2 |β |

g = I (N, Xtt ) = 0.
Độ cong trung bình của mặt S là:
H=

(α ∧ β + tβ ∧ β )(α” + tβ ”)
1 eG + Eg − 2f F
=
3
2
2
EG − F
2 2
2
(1 + 2t α , β + t |β | )

và

−(∇ϕ , N ) =

α ∧ β, α + t β ∧ β , α
1 + 2t α , β +

.


2
t2 |β |

Độ cong trung bình theo mật độ là
Hϕ =
2
(α ∧ β + tβ ∧ β )(α” + tβ ”) + ( α ∧ β, α + t β ∧ β , α )(1 + 2t α , β + t2 |β | )
3

2(1 + 2t α , β +

2
t2 |β | ) 2

Ta có:
Hϕ = 0 ⇔
(α ∧ β + tβ ∧ β )(α” + tβ ”) +
2

( α ∧ β, α + t β ∧ β , α )(1 + 2t α , β + t2 |β | ) = 0

⇔ t3 |β |2 β ∧ β, α
t2
t

+

β ∧ β, β ” + |β |2 α ∧ β, α + 2 α , β
β ∧ β, α” + α ∧ β, β ” + 2 α , β

18

β ∧ β, α

+

α ∧ β, α + β ∧ β, α

+

.


α ∧ β, α” + α ∧ β, α

=0




|β |2 β ∧ β, α = 0




 β ∧ β, β ” + |β |2 α ∧ β, α + 2 α , β β ∧ β, α = 0
⇔


β ∧ β, α” + α ∧ β, β ” + 2 α , β α ∧ β, α + β ∧ β, α = 0





 α ∧ β, α + α” = 0



α ∧ β, α” + α = 0




 β ∧ β, α = 0
⇔ (I )


β ∧ β, α” + α ∧ β, β ” + 2 α , β




 β ∧ β, β ” + |β |2 α ∧ β, α = 0

 β =0
hoặc (II )
 α ∧ β, α” + α = 0

(1)
(2)


α ∧ β, α = 0

Hệ quả 2.1.17. Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e

(3)
(4)

−r 2
2

, điều kiện cần

để mặt kẻ có tham số hóa X (s, t) = α(s) + tβ (s) là mặt cực tiểu là
< α ∧ β, α” + α >= 0.
Vấn đề giải quyết hệ (I ) và hệ (II ) của Định lý 2.1.16 để tìm ra các mặt
kẻ cực tiểu gặp nhiều trở ngại nên chúng tôi chưa thể giải quyết triệt để. Tuy
nhiên, chúng tôi xin trình bày định hướng để tiếp tục nghiên cứu.
Mệnh đề 2.1.18. Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e

−r 2
2

, mặt kẻ S có

dạng tham số X (s,
t) = α(s) + tβ (s) là mặt cực tiểu khi α, β thỏa mãn hệ


λ = α ,α ∧ β





 β ∧ β, α = 0


α ∧ β, β ” − λ α , β = 0




 β ∧ β, β ” − λ|β |2 = 0
trong đó λ là hàm nào đó theo biến s
Chứng minh. Ta có α ⊥ β và α ⊥ α” suy ra ∃λ sao cho β ∧ α” = λα . Do đó
α , β ∧ α” = λ

(∗)

19


Giải quyết hệ (I) của Định lý 2.1.16. Từ (1) ta có
α ∧ β, α” + α ∧ β, α = 0
⇔ α , β ∧ α” + α ∧ β, α = 0
⇔ λ + α ∧ β, α = 0
⇔ λ = − α ∧ β, α
⇔ λ = α ,α ∧ β .
(∗∗)


 α , β ∧ α” = λ
Từ (∗) và (∗∗) ta có
 α , α ∧ β = λ.
Từ (3) ta có
β ∧ β, α” + α ∧ β, β ” + 2 α , β

α ∧ β, α = 0

⇔ β , β ∧ α” + α ∧ β, β ” + 2 α , β (−λ) = 0
⇔ λ α , β + α ∧ β, β ” − 2λ α , β = 0
⇔ α ∧ β, β ” − λ α , β = 0.
Từ (4) ta có
β ∧ β, β ” + |β |2 α ∧ β, α = 0
⇔ β ∧ β, β ” − λ|β |2 = 0.
Vậy ta có hệ (I) tương đương với:



λ = α ,α ∧ β




 β ∧ β, α = 0


α ∧ β, β ” − λ α , β = 0





 β ∧ β, β ” − λ|β |2 = 0.

20


Mệnh đề 2.1.19. Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e

−r 2
2

, mặt kẻ S có

dạng tham số X (s, t) = (x(s), y (s), z (s) + t) là mặt cực tiểu nếu
y ” + y x” + x
=
y
x
với mọi zS.
Chứng minh. Từ điều kiện (II) Định lý 2.1.16 ta có β = 0 suy ra β=const..
Vì không gian G3 bảo toàn qua phép quay nên ta giả sử β = (0, 0, 1).
Giả sử α(s) = (x(s), y (s), z (s)) thì α (s) = (x (s), y (s), z (s)) và α”(s) =
(x”(s), y ”(s), z ”(s)).

Ta có
α ∧ β, α” + α = 0
⇔ β, α ∧ (α” + α) = 0
⇔ x (y ” + y ) − y (x” + x) = 0
⇔ x (y ” + y ) = y (x” + x)
⇔


y ” + y x” + x
=
.
y
x

(2.1.6)

Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Ở mệnh đề trên ta thấy x = y hoặc x = sin s, y = cos s thỏa mãn phương
trình (2.1.6), do đó mặt phẳng hoặc mặt trụ bán kính bằng 1 là các mặt kẻ
cực tiểu.
Việc tìm các nghiệm còn lại của phương trình (2.1.6) hiện tại chúng tôi
vẫn chưa thể giải quyết được.

21


2.2

Mặt cực tiểu trong không gian G2 × R

Không gian G2 × R là không gian R3 với mật độ e

−r 2
2

với r =


x2 + y 2 .

Từ việc đánh giá đại lượng (∇ϕ , N ), chúng tôi tìm được các mặt phẳng
có độ cong hằng và các mặt phẳng cực tiểu. Chúng tôi đã chứng minh được
các mặt trụ có trục quay Oz có độ cong trung bình theo mật độ là hằng số.
Từ đó đã chỉ ra rằng mặt trụ tròn xoay có trục quay Oz và bán kính đường
chuẩn bằng 1 là các mặt cực tiểu tròn xoay. Hơn nữa, chúng tôi đã chứng
minh được rằng trong không gian này không có mặt cầu nào là mặt cực tiểu.
Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày điều kiện để mặt tròn xoay, mặt tham số
kiểu đồ thị, mặt translation và mặt kẻ trở thành mặt cực tiểu. Từ các điều
kiện đó, chúng tôi đã tìm thêm được một số mặt cực tiểu trong không gian
này.
Định lý 2.2.1. Trong không gian G2 × R, |(∇ϕ , N )| là khoảng cách từ hình
chiếu của điểm M ∈ S lên trục Oz đến mặt phẳng tiếp xúc của mặt S tại
điểm M.
Chứng minh. Với mọi điểm M (x, y, z ) thuộc mặt S. Giả sử N (a1 , b1 , c1 ) là
pháp vector đơn vị của S tại M . Khi đó, phương trình mặt phẳng tiếp xúc
của S tại M là α : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0.
Ta có, khoảng cách từ M (0, 0, z ) là hình chiếu của điểm M (x, y, z ) lên trục
Oz đến mặt phẳng α là

d(M , α) =

|c1 z + d1 |
a21 + b21 + c21

= |c1 z + d1 |.

Mặt khác, từ phương trình mặt α ta có:
c1 z + d1 = −(a1 x + b1 y ) = (−x, −y, 0)(a1 , b1 , c1 ) = (∇ϕ , N ).

Từ đó, ta có d(M , α) = |(∇ϕ , N )|.

22


Định lý 2.2.2. Trong không gian G2 × R, các mặt phẳng song song với trục
Oz có giá trị tuyệt đối của độ cong theo mật độ là hằng số.
1
2

Chứng minh. Theo phương trình (1.3.1) ta có Hϕ = H − (∇ϕ , N ). Vì mặt
1
2

phẳng có độ cong trung bình H = 0 nên Hϕ = (∇ϕ , N ).
Mặt khác S là mặt phẳng song song với trục Oz nên ∀M ∈ S ta luôn có
d(M , S ) =const.. với M là hình chiếu của M lên trục Oz .
Do đó theo Định lý 2.2.1 ta có |(∇ϕ , N )| =const..
Vậy |Hϕ | là hằng số.
Hệ quả 2.2.3. Trong không gian G2 × R, mặt phẳng chứa trục Oz là mặt
cực tiểu.
Định lý 2.2.4. Trong không gian G2 × R, mặt trụ có trục quay Oz và có bán
kính bằng d có độ cong trung bình theo mật độ là hằng số
Hϕ =

d
2

−


1
.
2d

Chứng minh. Xét mặt trụ có trục quay Oz và có bán kính bằng d.
Ta đã biết trong không gian R3 mặt trụ có hai độ cong chính là k1 = 0 và
1

k2 = − .
d
Với mọi điểm M (x, y, z ) thuộc mặt trụ ta có pháp vector đơn vị của M
x
y
bằng N (
,
, 0).
x2 + y 2
x2 + y 2
Do đó
(∇ϕ , N ) = ((−x, −y, 0),

(x, y, 0)

x2

+

y2

)=−


x2 + y 2 = −d.

Theo phương trình (1.3.2) ta có
Hϕ =

0−

1
d

− (−d)
2

Hϕ =

d
2

23

−

=

1
.
2d

d

2

−

1
.
2d


Hệ quả 2.2.5. Trong không gian G2 × R, mặt trụ có trục quay Oz và bán
kính 1 là mặt cực tiểu.
Định lý 2.2.6. Trong không gian G2 × R, mặt tròn xoay S được sinh bởi
đường α(t) = (0, f (t), t) khi quay quanh trục Oz là mặt cực tiểu khi và chỉ khi
hàm f thỏa mãn phương trình
f f ” + (f 2 + 1)(f 2 − 1) = 0.

(2.2.1)

Chứng minh. Phương trình tham số của mặt tròn xoay S là
X (u, v ) = (f (u) sin v, f (u) cos v, u).
Ta có
N=

(f sin v, f cos v, −f f )
2

f 2 (1 + f )
và độ cong trung bình của mặt S là
2


1 f f 3 − f 2 (1 + f )
H=
.
2 [f 2 (1 + f 2 )] 32

Hơn nữa ta có
−f 2

(∇ϕ , N ) =

f 2 (1

.
2

+f )

Từ đó ta có độ cong trung bình theo mật độ mặt S là
2

2

1 f f 3 − f 2 (1 + f ) + f 4 ((1 + f ))
Hϕ =
.
2 3
2
[f 2 (1 + f )] 2

Do đó

Hϕ = 0 ⇔ f f ” + (f 2 + 1)(f 2 − 1) = 0.
Vậy mặt tròn xoay S là mặt cực tiểu trong không gian G2 × R khi và chỉ khi
hàm f (t) thoả mãn phương trình
f f ” + (f 2 + 1)(f 2 − 1) = 0.

24