wWw.VipLam.Info
LUYỆN TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các bước giải phương trình lượng giác:
1) Đặt điều kiện ( nếu có)
Khi gặp phương trình
•
có ẩn ở mẫu thì cho mẫu khác 0
•
có chứa tanx thì cho cos x ≠ 0
•
có chứa cotx thì cho sin x ≠ 0
2) Sử dụng công thức biến đổi để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn đã biết cách giải
3) Kiểm tra lại với điều kiện ban đầu để chọn nghiệm
Bài 1: Giải các phương trình sau:
2
π
π
a) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x ( Đs: x = ± π + k 2π ; x = + k (k ∈ ¢ )
3
8
2
π
π
k
π
(k ∈ ¢ )
b) sin2x + sin22x = sin23x + sin24x
( Đs: x = k ; x = + kπ ; x =
2
2
5

π
π kπ
π kπ
;x = +
(k ∈ ¢ )
c) sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2 ( Đs: x = + kπ ; x = +
2
10 5
4 2
3
π
π
π
2
2
2
d) cos x + cos 2 x + cos 3x =
( Đs: x = ± + kπ ; x = + k (k ∈ ¢ )
2
3
8
4
π
π
e) sin5x.cos6x+ sinx = sin7x.cos4x
( Đs: x = kπ ; x = + k (k ∈ ¢ )
4
2
π
π

1
π

 

f) sin  − x ÷sin  + x ÷ =
( Đs: x = ± + kπ ;(k ∈ ¢ )
6
3
 3
 2
π
π
π

π
 1
g) sin  + x ÷cos  + x ÷ =
( Đs: x = − + kπ ; x = + kπ (k ∈ ¢ )
12
4
4

 12
 2
π
h) cosx. cos4x - cos5x=0
( Đs: x = k ( k ∈ ¢ )
4
π

i) sin6x.sin2x = sin5x.sin3x
( Đs: x = kπ ; x = k (k ∈ ¢ )
3
x
=
k
π
;(
k
∈
¢
)
j) 2 + sinx.sin3x = 2 cox 2x
( Đs:
Bài 2: Giải các phương trình sau:
kπ
π
; x = k (k ∈ ¢ )
a) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x
( Đs: x =
8
16
kπ
π
; x = k (k ∈ ¢ )
b) cosx.cos2x = cos3x.cos4x
( Đs: x =
2
5
kπ

π kπ
;x = +
(k ∈ ¢ )
c) sin4x.cos3x = sinx
( Đs: x =
3
8 4
π kπ
π
; x = ± + k 2π (k ∈ ¢ )
d) cosx – cos2x + cos3x = 0
( Đs: x = +
4 2
3
kπ
π kπ
;x = +
(k ∈ ¢ )
e) 4 sinx.sin2x.sin3x = sin4x
( Đs: x =
2
8 4
Bài 3: Giải các phương trình sau:
kπ
;k ∈¢ )
a) sin2x + sin2x.sin4x + sin3x.sin9x = 1
( Đs: x =
6
π kπ
2π

;x = ±
+ k 2π (k ∈ ¢ )
b) cos2x + 2sinx.sin2x = 2 cosx
( Đs: x = +
4 2
3


wWw.VipLam.Info
c) cos 5x . cosx = cos 4x.cos2x + 3 cos2x + 1
d) cos4x + sin3x.cosx = sinx.cos3x

π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
2
π
π kπ
(k ∈ ¢ )
( Đs: x = + kπ ; x = − +
4
12 3
( Đs: x =

Bài 4: Giải các phương trình:

π
π
π
+ kπ ; x = + k ( k ∈ ¢ )
2

6
3
π kπ
5π kπ
+
;x =
+
(k ∈ ¢ )
b) cos 3x – cos 5x = sinx
( Đs: x =
24 2
24 2
1
c) 3sin2x + 4 cosx - 4 = 0
( Đs: x = k 2π ; x = ± arccos + k 2π (k ∈ ¢ )
3
k
π
π
; x = ± + kπ ( k ∈ ¢ )
d) sin2x + sin22x = sin23x
( Đs: x =
2
6
π
3
e) 2tanx + 3cotx = 5
( Đs: x = + kπ ; x = arctan + kπ (k ∈ ¢ )
4
2

π
1
f) 2cos2x – 3 sin2x + sin2x = 1
( Đs: x = + kπ ; x = arctan + kπ (k ∈ ¢ )
2
6
π
g) 4sin3x + sịn5x – 2sinx.cos2x = 0
( Đs: x = k ( k ∈ ¢ )
3
h) 2tan2x – 3tanx + 2cot2x + 3cotx – 3 = 0
1 ± 17
1± 5
( Đs: x = arctan
+ kπ ; x = arctan
+ kπ ( k ∈ ¢ )
2
2
Bài 5: Giải phương trình:
kπ
π kπ
;x = +
(k ∈ ¢ )
a) 8cos4x – 4cos2x + sin4x – 4 = 0
( Đs: x =
2
8 2
3π α kπ
3
− +

(k ∈ ¢ ) với sin α =
b) 2sin6x + 2cos6x +sin4x = 0
( Đs: x =
8 4 2
5
π
3
π
+ k 2π (k ∈ ¢ )
c) -1 + 4 sin2x = 4 cos4x
( Đs: x = ± + k 2π ; x = ±
4
4
Bài 6: Giải các phương trình:
π
kπ
π
; x = + kπ ( k ∈ ¢ )
1) sin23x – cos24x = sin2 5x – cos2 6x (B- 02)
( đs: x = k ; x =
2
9
2
π
2) cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 ( D – 02)
( đs: x = + kπ (k ∈ ¢ )
2
π
π
3) (2cosx – 1)(2sinx +cosx)= sin2x – sinx (D-04)

( Đs: x = ± + k 2π ; x = − + kπ (k ∈ ¢ )
3
4
kπ
;(k ∈ ¢ )
4) cos23x cos2x – cos2x = 0 (A- 05)
( Đs: x =
2
2π
π
+ k 2π ; x = − + kπ (k ∈ ¢ )
5) 1 + sinx+ cosx + sin2x +cos2x = 0 (B- 05)
(Đs: x = ±
3
4
π 
π 3
π

4
4
6) cos x + sin x + cos  x − ÷sin  3x − ÷− = 0 (D- 05) ( Đs: x = + kπ (k ∈ ¢ )
4 
4 2
4

a) sin2 x – cos2x = cos 4x

( Đs: x =


2

x
x

7)  sin + cos ÷ + 3 cos x = 2 ( D- 07)
2
2


( Đs: x = −

π
π
+ k 2π ; x = + k 2π (k ∈ ¢ )
6
2


wWw.VipLam.Info

π kπ
π k 2π
7π k 2π
+
;x = − +
;x =
+
(k ∈ ¢ )
8 4

18
3
18
3
9) ( 1 + sin2x)cosx + ( 1 + cos2x) sinx = 1 + sin2x ( A- 07)
π
π
( Đs: x = − + kπ ; x = + k 2π ; x = k 2π (k ∈ ¢ )
4
2
π
4π
2π
+k
(k ∈ ¢ )
10) sin 3 x − 3 cos 3x = 2sin 2 x ( Cao đẳng 08) ( Đs: x = + k 2π ; x =
3
15
5
π
π
π
11) sin 3 x − 3 cos3 x = sin x.cos 2 x − 3 sin 2 x.cos x ( B- 08) ( Đs: x = − + kπ ; x = + k (k ∈ ¢ )
3
4
2
8) 2sin22x + sin 7x – 1 = sinx (B- 07)

( Đs: x =


12) 2sinx (1+ cos2x) + sin2x = 1 + 2 cosx ( D- 08)

(Đs: x =

π
2π
+ kπ ; x = ±
+ k 2π
4
3

13) (1 + 2sin x) 2 cos x = 1 + sin x + cos x ( Cao đẳng 09)
π
5π
π
+ k 2π ; x = − + k 2π (k ∈ ¢ )
( Đs: x = + kπ ; x =
12
12
2

(k ∈ ¢ )

π kπ
π kπ
+
;x = +
(k ∈ ¢ )
18 3
6 2

π
π k 2π
3
+
(k ∈ ¢ )
15) sin x + cos x.s in2x+ 3 cos 3 x = 2 ( cos 4 x + sin x ) ( B- 09) (Đs: x = − − k 2π ; x =
6
42
7
( 1 − 2sin x ) cos x = 3
π k 2π
(k ∈ ¢ )
16)
(A- 09) ( Đs: x = − +
( 1 + 2sin x ) ( 1 − sin x )
18
3
π
cos 2x
1
+ sin 2 x − sin 2x ( A – 03) (Đs: x = + kπ ; (k ∈ ¢ )
17) cot x − 1 =
1 + tan x
2
4
x
π
x
π



2
2
2
18) sin  − ÷tan x − cos = 0 (D-03) (Đs: x = − + kπ ; x = π + k 2π ( k ∈ ¢ )
2
4
2
4


π
2
19) cot x − tan x + 4sin 2x =
(B- 03) (Đs: x = ± + kπ (k ∈ ¢ )
sin 2x
3
6
6
2 ( cos x + sin x ) − sin x.cos x
5π
+ k 2π (k ∈ ¢ )
20)
= 0 ( A- 06) (Đs: x =
4
2 − 2sin x
π
5π
+ k 2π (k ∈ ¢ )
21) 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x (B-04) (Đs: x = + k 2π ; x =

6
6
1
1
 7π

+
= 4sin 
− x÷
3π 
22) sin x

 4
 ( A- 08)
sin  x −
÷
2 

π
π
5π
+ kπ (k ∈ ¢ )
( Đs: x = − + kπ ; x = − + kπ ; x =
4
8
8
x
π
5π
+ kπ ( k ∈ ¢ )

23) cot x + sin x(1 + tan x.tan ) = 4 (B-06)
( Đs: x = + kπ ; x =
2
12
12
2π
π
+ k 2π ; x = ± + k 2π (k ∈ ¢ )
24) 3 – tanx ( tanx + 2 sinx) + 6cosx = 0
(Đs: x = ±
3
3
π
25) cos2x + cosx ( 2tan2x – 1) = 2
( Đs: x = π + k 2π ; x = ± + k 2π (k ∈ ¢ )
3
π
5π
+ k 2π (k ∈ ¢ )
26) sinx. cos2x + cos2 x( tan2x – 1) + 2sin3x = 0(Đs: x = + k 2π ; x =
6
6
π
π
27) cos3x + sin3x + 2sin2x = 1
( Đs: x = − + kπ ; x = − + k 2π ; x = k 2π (k ∈ ¢ )
4
2
14) 3cos5x − 2sin 3xcos2x − sin x = 0 ( D – 09)


( Đs: x =


wWw.VipLam.Info

2π
π
+ k 2π ; x = − + k 2π (k ∈ ¢ )
3
2
π
k
π
(k ∈ ¢ )
29) (2sin2x – 1) .tan22x + 3(2cos2x – 1) = 0
(Đs: x = ± +
6 2
π
π
30) cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0
( Đs: x = − + kπ ; x = + k 2π ;(k ∈ ¢ )
4
2
3π 
π
π k 2π
2 x
2
;(k ∈ ¢ )
31) 4sin − 3 cos 2 x = 1 + 2 cos  x −

÷( Đs: x = − + k 2π ; x = − +
2
4 
6
18
3

cos 2 x − 1
π
π

2
32) tan  + x ÷− 3 tan x =
( Đs: x = − + kπ ;(k ∈ ¢ )
2
cos x
4
2

π
7π

+ k 2π ;(k ∈ ¢ )
33) 2sin  2 x − ÷+ 4sin x + 1 = 0
( Đs: x = kπ ; x =
6
6

x


2
34) tan x + cos x − cos x = sin x 1 + tan x.tan ÷ ( Đs: x = k 2π ;(k ∈ ¢ )
2

kπ
π
π k 2π
; x = − − k 2π ; x = +
(k ∈ ¢ )
35) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x ( Đs: x =
5
2
10
5
π
36) sin3x + cos3x = 2(sinx + cosx) – 1 ( Đs: x = + k 2π ; x = k 2π (k ∈ ¢ )
2
cos x − sin 2 x
π
π k 2π
= 3
;(k ∈ ¢ )
37)
( Đs: x = − + k 2π ; x = +
2
2 cos x − sin x − 1
6
6
3
π

π
38) cos3x – sin3x = cos2x – sin2x
( Đs: x = + k 2π ; x = k 2π ; x = + kπ (k ∈ ¢ )
2
4
π
kπ
(k ∈ ¢ )
39) sin x.sin 2 x = 3 sin 2 x.cos x
( Đs: x = + kπ ; x =
3
2
π
40) sin2x + 2tanx = 3
( Đs: x = + kπ ;(k ∈ ¢ )
4
1
+
cos
x
π
2
41) tan x =
( Đs: x = π + k 2π ; x = ± + k 2π (k ∈ ¢ )
cos x
3
π
π
π
5π





+ k 2π
42) cos  2 x + ÷+ cos  2 x − ÷+ 4sin x = 2 + 2 ( 1 − sin x ) (Đs: x = + k 2π ; x =
4
4
6
6


28) 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 (Đs: x = ±

(k ∈ ¢ )