TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM

CÂU I: ( 3 ĐIỂM)
Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số. Các bài toán liên quan…Ứng dụng của tích phân.

* Hàm bậc ba:
Bài 1: Cho hàm số: y = x 3 - 3x + 2 , có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M (0;2) .
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
HD Bài 1:
1/ Cực đại (-1;4) , cực tiểu (1;0)
2/ PTTT tại M (0;2) là: y = -3x + 2
1

3/ Diện tích hình phẳng: S gh =

3
∫ x - 3x + 2dx =

-2
2

1

∫ (x

3

Y











X



O

)

- 3x + 2 dx =

-2

27
(dvdt )
4

Bài 2: Cho hàm số: y = -x + 3x - 4 , có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
3


y = -9x + 2009

3/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: . x 3 - 3x 2 + m = 0
HD Bài 2:
Y




O 
2/ PTTT là: y = -9x - 9, y = -9x + 23
3/ Xét phương trình: . x 3 - 3x 2 + m = 0 (1)
PT (1) ⇔ -x3 + 3x2 - 4 = m - 4

• m - 4 > 0 ⇔ m > 4 : PT có 1 nghiệm duy nhất
• m - 4 = 0 ⇔ m = 4 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
• - 4 < m - 4 < 0 ⇔ 0 < m < 4 :Phương trình có 3 nghiệm phân biệt 
• m - 4 = -4 ⇔ m = 0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
• m - 4 < -4 ⇔ m < 0 : PT có 1 nghiệm duy nhất.
Bài 3: Cho hàm số: y = x 3 + 3x 2 - 2 , có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x 0 = -3
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng d: y = 2
HD Bài 3:
Y
1/ Cực đại (-2;2) , cực tiểu (0; -2)

2/ PTTT là: y = 9x + 25
3/ Tính diện tích hình phẳng: PTHĐGĐ của (C) và



O

d: x 3 + 3x 2 - 2 = 2 ⇔ x3 + 3x2 - 4 = 0 ⇔ x = 1, x = -2

S gh =

1

1

3
2
∫ x + 3x - 2 - (-2)dx =

∫

-2

-2

1

x 3 + 3x 2 - 4dx =

∫ - (x

-2


Bài 4 : Cho hàm số: y = x 3 + 3x 2 , có đồ thị là (C).
WWW.VNMATH.COM

3

)

+ 3x 2 - 4 dx =

X

X

27
(dvdt )
4


www.VNMATH.com

1


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Tìm điều kiện của m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
x 3 + 3x 2 - 2 - m = 0 .
3/ Tìm điểm thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại điểm này có hệ số góc nhỏ

nhất.
HD Bài 4:
2./ Tìm điều kiện của m : Xét PT: x 3 + 3x 2 - 2 - m = 0 ⇔ x3 + 3x2 = m + 2 , kết quả:
-2 < m < 2

3/ Tìm điểm thuộc đồ thị (C): Giả sử M 0(x 0 ;y 0 ) ∈ (C ) ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến tại
M 0 là:
f '(x 0 ) = 3x 02 + 6x 0 = 3(x 02 + 2x 0 + 1) - 3 ≥ -3 , f '(x 0 ) = -3 ⇔ x 0 = -1 ⇒ hệ số góc của tiếp
tuyến đạt GTNN bằng -3 ứng với TT với (C) tại điểm có hoành độ x 0 = -1 tương ứng
y 0 = 2 . Vậy điểm cần tìm là M 0(-1;2)
Bài 5: Cho hàm số: y = 4x 3 - 3x - 1 , có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Gọi d là đường thẳng đi qua điểm I (-1;0) và có hệ số góc k = 1.
a/ Viết phương trình đường thẳng d.
b/ Tìm toạ độ giao điểm của d và đồ thị (C).
c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d.
HD Bài 5:
Y


1

1/ Cực đại  - ; 0  , cực tiểu  1 ; -2 
 2 
2



∞























∞















∞

X





∞





 


 O


2/
a/ Phương trình đường thẳng d: y = x - 1 .
b/ Toạ độ giao điểm của d và (C): A(-1; -2), I (-1;0), B (1;0)
1


c/ S gh =

∫ 4x

1
3

- 3x - 1 - (x - 1)dx =

-1

∫ 4x

0
3

-1

- 4x dx =

∫ (4x

-1

1
3

(


)

- 4x )dx + ∫ 4x - 4x 3 dx =
0

...
(dvdt )
...

Bài 6: Cho hàm số y = 2x - 3(m + 1)x + 6mx - 2m
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 .
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng: x = 1, x = 2
3/ Xác định m để HS có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị, viết phương trình đường
thẳng qua điểm cực trị đó.
HD Bài 6:
1/ m = 1 , ta có hàm số: y = 2x 3 - 6x 2 + 6x - 2
3

WWW.VNMATH.COM

2

www.VNMATH.com

2


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM
y ' = 6x 2 - 12x + 6 = 6(x - 1)2 ≥ 0, ∀x ∈  do đó hàm số luôn luôn tăng và không có cực trị


∞













∞





Y

∞



O

∞

2

2

2/ S gh = ∫ 2x - 6x + 6x - 2dx =
3

2

1

∫(2x

3

- 6x 2 + 6x - 2)dx =

1

x = 1

3/ y ' = 6x 2 - 6(m + 1)x + 6m , y ' = 0 ⇔x
,
m

=

1
(dvdt)
2




X





.Hàm số có cực đại và cực tiểu khi m ≠ 1



phương trình đường thẳng đi qua hai điểm CĐ và CT: y = -(m - 1)2x + m(m - 1)
Bài 7: Cho hàm số y = x 3 - m x 2 + m - 1 , m là tham số.
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3 .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường
1
3

thẳng d: y = x -

1
3

3/ Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 .
HD Bài 7:
1/ m = 3 , ta có hàm số: y = x 3 - 3x 2 + 2
Điểm cực đại: (0;2) Điểm cực tiểu:(2; -2)



∞












∞

O











X


∞







∞





Y







2/ PTTT là: y = -3x + 3 .
y
 ' ( 2) = 0

3./ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 ⇔ 

.
3


2



12 - 4m = 0
m = 3
⇔
⇔
⇔m =3

()
y ''

2

> 0

12

- 2m

> 0

m

< 6

Bài 8: Cho hàm số : y = -x + 3x - 2 , đồ thị ( C )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2/ Viết phương trình tíếp tuyến ∆ với (C ) tại điểm A( 0 , - 2)
3/ d là đường thẳng qua K( 1,0) có hệ số góc m . Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt
(C ) tại 3 điểm phân biệt .
HD Bài 8:
3/ Phương trình đường thẳng d: y = m (x - 1) .
PTHĐGĐ của d và (C ): x 3 - 3x 2 + m (x - 1) + 2 = 0

(1)


⇔ x


x =1
2

- 2x

+ m

- 2 = 0

(2)


WWW.VNMATH.COM

www.VNMATH.com

3



TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM

d cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt ⇔ p. trình (1) có 3 nghiệm pb ⇔ (2) có hai nghiệm
∆′ > 0

m < 3
⇔
⇔m <3
1 - 2 + m - 2 ≠ 0
m ≠ 3
1/ Điểm cực đại: (0; -2) Điểm cực tiểu: (2; 4)


phân biệt khác 1 ⇔ 

Y




∞













∞







∞



O












X

∞



2/ PTTT với (C) tại điểm A(0; -2) .

Bài 9: Cho hàm số: y = 2x 3 - 3x 2 - 1 , đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2/ Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d: y = x - 1
3/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x 3 - 3x 2 - m = 0
4/ Biện luận theo a số giao điểm của ( C) và đường thẳng d1 có phương trình:
y = ax - 1 .
HD Bài 9:
1/. KSHS
• TXĐ: D =

• y ' = 6x 2 - 6x ,

• Giới hạn : xlim y = -∞ ,

y' = 0 ⇔

x = 0; y =
-1
x = 1; y = -2
y

lim y = +∞


→-∞

x →+∞



• BBT




∞




∞







∞





1



x




∞




O













• ĐĐB: ( –1; –6);


1

3
; -  (2; 3)
2 2



• Đồ thị:

2/ Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d: PTHĐGĐ: 2x 3 - 3x 2 - x = 0 .
éx = 0
Û x (2x 2 - 3x - 1) = 0 Û ê
ê2x 2 ê
ë
17

3x -

1 =

0

éx = 0
ê
Û
ê
êx = 3 ±
ê
4

ë

Thay vào PT đt (d) ta có toạ

độ giao điểm.
WWW.VNMATH.COM

www.VNMATH.com

4


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM

3/ Biện luận theo m số nghiệm PT: 2x 3 - 3x 2 - m = 0
> 2x 3 - 3x 2 - m = 0 Û 2x 3 - 3x 2 - 1 = m - 1
> Đặt: y = 2x 3 - 3x 2 - 1 , đồ thị (C) vừa vẽ và y = m - 1 : đồ thị là đường thẳng(d) cùng

phương Ox .
> Số nghiệm của PT = số giao điểm của (C) & (d)
> Biện luận 5 trường
hợp…….
4/ Biện luận theo a số giao điểm của ( C) và đường thẳng d1 có phương trình:
y = ax - 1 .
éx = 0
> PTHĐGĐ: 2x - 3x - ax = 0 Û x (2x - 3x - a )= 0(1) Û ê
êg( x ) = 2x 2 - 3x - a = 0
ê
ë

(2)
> Số giao điểm (d1) và (C) = số nghiệm của PT(1)
> Xét PT(2):
3
· TH1: g(0) = 0 Û a = 0 , PT(2) có hai nghiệm: x = 0; x = Þ PT(1) có hai
2
nghiệm Þ có hai giao điểm
· TH2: g(0) ¹ 0: D = 9 + 8a
9
+ D < 0: Û a < - PT(2) vô nghiệm Þ PT(1) có 1 nghiệm Þ có một giao điểm.
8
9
3
+ D = 0 Û a = - PT(2) có một nghiệm kép x =
Þ PT(1) có 2 nghiệm Þ có hai
8
4
3

2

2

giao điểm.
+ D > 0 và a ¹ -

9
9
Û a > - & a ¹ 0 PT(2) có hai nghiệm pb x 1 , x2 ¹ 0 Þ PT(1) có 3
8

8

nghiệm Þ có 3 giao điểm.
Bài 10: Cho hàm số: y =

1 3
x - x2
3

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C ) của hàm số .
2/ Chứng minh rằng đường thẳng y =

1
x - 1 cắt đồ thị (C ) tại 3 điểm phân biệt A, M,
3

B trong đó M là trung điểm của đoạn AB. Tính diện tích của tam giác OAB.
HD Bài 10:


 ∞
∞
1/ KSHS
















∞









∞





2/ Lập phương trình hoành độ giao điểm, giải được 3 nghiệm x = ±1 ; x = 3
4

 1; 2 
⇒ A  -1; -  ; M  -  ;
3

3


B (3;0) từ kết quả trên ⇒ M là trung điểm của đoạn AB.
1
4
Diện tích tam giác OAB: SOA B = .3. = 2 (đvdt)
2 3

Y






O


WWW.VNMATH.COM





X





www.VNMATH.com

5


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM

* Hàm nhất biến
2x +

Bài 11: Cho hàm số y = 1
có đồ thị (C)
x -vẽ
1 đồ thị hàm số
1/ Khảo sát sự biến thiên và
2/ Tìm m để (C) cắt đường thẳng (d): y = m (x + 1) + 3 tại 2 điểm phân biệt A,B nhận
I(-1;3) làm trung điểm AB.
HD Bài 11:
Khảo sát và vẽ đồ thịhàm số.
 Tập xác định: D = \ {1
y'= -

(x

3
- 1 )2

}


⇒ y ' < 0, ∀x ≠ 1 , hàm số giảm trên từng khoảng xác định.

 lim y = 2 ⇒ đồ thị có tiệm cận ngang là y = 2
x →±∞

 lim y = + ∞; lim y = - ∞ ⇒ đồ thị có tiệm cận đứng là x = 1
x →1+

x →1-

 ∞
 BBT






∞


∞
2


∞
∞

2


7
 Điểm đặc biệt: A(- 2; 1); B(0; - 1);C(2;5); D(3; )
2
 Đồ thị:

2/ Ta thấy I(-1;3) nằm trên (d). Hoành độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của
phương trình
2x +
1

= m (x + 1) + 3 ⇔ m x + x - m - 4 = 0 ( *) ( (*) không có nghiệm x = 1)

để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B nhận I làm trung điểm AB<=> (*) có 2

m ≠ 0
x1 + x 2
∆
nghiêm phân biệt x1, x2 thoả mãn :
= -1 ⇔  = 1 + 4m (m + 4) > 0 ⇔ m
2
 1
=
- = -2
 m
3(x +
Bài 12: Cho hàm số y = 1)
(C ).

1
2


1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) tại giao điểm của (C) và trục tung.
3/ Tìm tất cả các điểm trên (C ) có toạ độ nguyên.
HD Bài 12:
3/ Có 6 điểm thuộc (C) có toạ độ nguyên là: (1; -6); (3; 12); (-1; 0); (5; 6); (-7; 2) và
(11; 4)
Bài 13: Cho hàm số : y =
WWW.VNMATH.COM

2x - 1
x -2

www.VNMATH.com

6


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , đường thẳng y = x - m luôn cắt (C) tại hai
điểm phân biệt.
HD Bài 13:
2x -

2/ PT HĐGĐ của (C) và đường thẳng y = x - m : 1
=x -m
⇔ x2 - (m + 4)x + 2m + 1 = 0, x ≠ 2 (*)

x = 2 không là nghiệm của pt (*) và ∆ = (m + 4)2 - 4.(2m + 1) = m 2 + 12 > 0, ∀m . Do đó,
pt (*) luôn có hai nghiệm khác 2. Vậy đường thẳng y = x - m luôn cắt (C) tại hai điểm
phân biệt.
3
x- 1

Bài 14: hàm  y = 2 +

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox.
3/ Tìm m để đường thẳng d : y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt .
HD Bài 14:
2x + 1
x- 1

Hàm số được viết lại: y =

Khảo sát và vẽ đồ thịhàm số.
 Tập xác định: D = \ {1

y'= -

}

3

(x

- 1 )2


⇒ y ' < 0, ∀x ≠ 1 , hàm số giảm trên từng

khoảng xác định.
 lim y = 2 ⇒ đồ thị có tc ngang là y = 2 , lim y = + ∞; lim y = - ∞ ⇒ đồ thị có tc
x
→±∞

→1

đứng là x = 1
 BBT


∞






x

∞


∞
2

x →1+


-


∞

∞
2

7
 Điểm đặc biệt: A(- 2; 1); B(0; - 1);C(2;5); D(3; )
2
 Đồ thị:

2.Viết phương trình tiếp tuyến với với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox:
1
 Thay y = 0 vào hàm số ta có x = - ⇒ đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm
2
 1
M 0  - ;0 
 2 
 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y - y 0 = f '(x 0 )(x - x 0 ) trong đó:

WWW.VNMATH.COM

www.VNMATH.com

7


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011

WWW.VNMATH.COM
1
x 0 = - ;y 0 = 0 vì
2

y'= -

3

(x

⇒ f '(x 0 ) = -12 ⇒ PTTT: y = -

- 1 )2

4
2
x 3
3

3.Tìm m để d : y = -x + m cắt (C) tại hai điểm pb.
PTHĐGĐ:

2x +
1

= -x + m ⇔ g(x ) = x2 + (1 - m )x + 1 + m = 0 (1) ( x ≠ 1 )

YCBT ⇔ PT(1) có hai nghiệm phân biệt ≠ 1
m < 3 - 2 2

3 ≠ 0
g(1) ≠ 0
⇔
⇔ 2
⇔
- 6m - 3 > 0
∆ > 0
m
m
 >3+2 2
-x +

Bài 15: Cho hàm số y = 1
có đồ thị ( C ).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2/ Tìm điểm M trên Ox mà tiếp tuyến đi qua M song song với đường thẳng (D):y = 2x
HD Bài 15:
 TXĐ : D = \ {-1}
-2
 Chiều biến thiên y’=
(x +
1)2
khoảng: (-∞;-1) và (-1;+∞)
 Tiệm cận : lim
x→-1

+

- x+1
=+∞

1

lim y = - 1

x→ ±∞

, y’ < 0 với mọi x ≠ -1, hs nghịch biến trên các

lim

- x+

-

x→-1

= - ∞ Nên x = - 1 là T C Đ

Nên y = -1 là T C N

x

2

 Bảng biến thiên.

1

y
-1




∞









∞

O

1

-1


∞


∞



 Đồ thị: đồ thị cắt Ox tại (1;0), cắt Oy tại (0;1)


2/ Nếu gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm thì từ giả thiết ta có

=-2 suy ra x0=0 và x0 = (x02+1)2

2
với x0 = 0 thì y0 = 1 ta có pttt tại M0 là y = -2x + 1 nên cắt Ox tại M(1/2;0)
Với x0 = - 2 thì y0 = - 3 ta có pttt tại M0 là y = - 2x - 7 nên cắt Ox tại M(-7/2;0)
Vậy có hai điểm thoả ycbt M(1/2;0) và M(-7/2;0)
Bài 16: Cho hàm số: y =
WWW.VNMATH.COM

x +2
, đồ thị (C).
x -3

www.VNMATH.com

8


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số :


3






2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A  1; - 
2

3/ Tìm M ∈ (C ) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M
đến tiệm cận ngang
HD Bài 16:
Bài 17: Cho hàm số y =

-2x
(C)
x +1

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2/ Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2 cắt cả hai nhánh của đồ thị (H).
HD Bài 17:
2/ Phương trình hoành độ giao điểm: mx 2 + (m + 4)x + 2 = 0 (∗) , x ≠ -1 . d cắt hai nhánh
của (H) ⇔ (*) có 2 nghiệm thoả mãn: x 1 < -1 < x 2 ⇔ af (-1) < 0 ⇔ mf (-1) < 0 . Tìm
được m > 0
Bài 18: Cho hàm số: y =

2x + 1
có đồ thị là (C).
x +1

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tìm trên (C) những điểm có tổng kcách từ đó đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
3/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường phân

giác của góc phần tư thứ nhất.
Bài 19: Cho hàm số: y =

2x - 3
có đồ thị là (C).
1- x

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục toạ độ.
3/ Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng: y = -x + 3 và tiếp
xúc với đồ thị (C)
HD Bài 19:
3/ Có hai tiếp tuyến thoả ycbt: (d1) : y = -x - 3 , (d2 ) : y = -x + 1
Bài 20: Cho hàm số: y =

3
có đồ thị là (C).
x +1

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2 .
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục tung.

* Hàm trùng phương
Bài 21: Cho hàm số: y = x 4 - 2x 2
1/ Khảo sát sự biến thiên ,và vẽ đồ thị của hàm số.
2/ Định m để phương trình: x 4 - 2x 2 + log m - 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt
HD Bài 21:
2/ Phương trình có bốn nghiệm phân biệt ⇔ -1 < 1 - log m < 0 ⇔ 10 < m < 100
WWW.VNMATH.COM


www.VNMATH.com

9


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM
1
2

3
có đồ thị (C).
2

Bài 22: Cho hàm số: y = x 4 - 3x 2 +

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết PTTT với đồ thị (C) của hàm số tại điểm thuộc (C) có hoành độ x 0 = 2 .
3/ Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 4 nghiệm : x 4 - 6x 2 +1 + m = 0 .
HD Bài 22:
1
2

3
2

1/ KSHS: y = x 4 - 3x 2 +
• TXĐ: D =


x = 0;
• y ' = 2x 3- 6x , y ' = 0 ⇔ 2
x = ±
• Giới hạn : x →±
lim∞ y = +∞ ,

y =3/
3; y

=

y



-3

 






1

• BBT

 


x

O





 

∞









∞















∞




∞









• ĐĐB: A( –2; –5/2); B(2; –5/2)
2/ PTTT với (C) tại x 0 = 2
• x 0 = 2 ⇒ y 0 = -5 / 2













'
'
• f (x
) = 2x 3 - 6x ⇒ f (x
• PTTT: y = 4x - (21 / 2)
0) = 4

3/ Tìm m để pt sau có 4 nghiệm : x 4 - 6x2 +1 + m = 0 .
1
3
> x 4 - 6x2 +1 + m = 0 ⇔m x4 - 3x2 + = 1 2
2
2

> Đặt: y = - x 3 + 3x + 1 , đồ thị (C) vừa vẽ và y = 1 -

phương Ox .
> Số nghiệm của PT = số giao điểm của (C) & (d)

m
: đồ thị là đường thẳng(d) cùng
2

> YCBT


m
3
< ⇔ -1 < m < 8
2
2
Bài 23: Cho hàm số : y = x 2(m - x 2 )
⇔ -3 < 1 -

1/ Tìm điều kiện của m để hàm số có ba cực trị.
2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 4 .
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x 0 = - 1 .
HD Bài 23:
1/ Tìm điều kiện của m để hàm số có ba cực trị.
 TXĐ: D = ,  y = mx 2 - x 4 ; y ' = 2mx - 4x 3
x = 0
 y = 0 ⇔ 2mx - 4x = 0 ⇔ 2
x =
m

'

3

WWW.VNMATH.COM

(2)

www.VNMATH.com

10



TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM
 Hàm số có ba cực trị ⇔ y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu ba lần ⇔ PT(2)

có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 ≠ 0 ⇔ m > 0
2/  m = 4 ta có hàm số: y = -x4 + 4x 2 :
• TXĐ: D = , • y ' = -4x 3+ 8x ,

y

y' = 0 ⇔ 

x = 0;
x

= ±



y =0
2; y

= 4

• Giới hạn : xlim y = -∞
→±∞

• BBT


 ∞






 






 






∞









 

O

x



1






3/ PTTT là : y = -4x - 1 ∞
.
∞

Bài 24: Cho hàm số: y = x 4 - 2x 2 + 1
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm cực đại của (C) .
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
Bài 25: Cho hàm số : y = (1 - x 2 )2 - 6 , đồ thị (C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: m - x 4 + 2x 2 = 0
3/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết nó song song với đường thẳng d:

y = 24x + 10


HD Bài 25:
x = 0 ⇒ y = -5

1/ y ' = 4x 3 - 4x, y ' = 0 ⇔ x


=

±1 ⇒ y

=

-6

3/ Ta có: 4x 3 - 4x = 24 ⇔ x3 - x - 6 = 0 ⇔ x = 2 , khi x = 2 ⇒ y = 3 . Vậy PTTT là:
y = 24x - 45

Bài 26: Cho hàm số y = -x 4 + 2x 2 + 3 đồ thị (C)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2/ Tìm m để phương trình x 4 - 2x 2 + m = 0 (*) có bốn nghiệm phân biệt.
HD Bài 26:
2/ Phương trình (*) ⇔ -x4 + 2x2 + 3 = m + 3
PT (*) có 4 nghiệm pb khi đt: y = m + 3 cắt (C) tại 4 điểm pb
⇔ 3 < m + 3 < 4 ⇔ 0 < m < 1.
Bài 27: Cho hàm số: y = x 4 - mx 2 - (m + 1) có đồ thị (Cm), (m là tham số).
1/ Tìm m biết đồ thị hàm số đi qua diểm M (-1;4)
2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -2 .
3/ Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn
xoay tạo ra khi quay (H) quanh trục hoành.

Bài 28: Cho hàm số: y = -x 4 + 2mx 2 , có đồ thị (Cm), ( m là tham số)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 .
WWW.VNMATH.COM

www.VNMATH.com

11


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM

2/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C1) tại điểm A( 2 ;0).
3/ Xác định m để hàm số (Cm) có 3 cực trị.
Bài 29: Cho hàm số: y = x 4 - (1 - 2m )x2 + m2 - 1, m là tham số.
1/ Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 . Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m
vừa tìm được.
2/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 4x 4 - 8x 2 - 3 - k = 0
Bài 30: Cho hàm số: y = 2x 2 - x 4 (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) .
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
3) Dùng đồ thị (C) tìm điều kiện của k để phương trình: x 4 - 2x 2 + k = 0 (*) , có 4
nghiệm phân biệt.
WWW.VNMATH.COM

CÂU II: ( 3 ĐIỂM)
1.Hàm số, ptrình, bất phương trình mũ và logarit.
2.GTLN,GTNN . Nguyênhàm , tích phân
1.Hàm số, ptrình, bất phương trình mũ và logarit.
Bài 1: Tính A = 81


1
log5 3

4
log3 6 3log8 9
+ 27
+3
4

1

Bài 2: Tính B = 16 5 4 + 84 9 + 5 3 8 5
Bài 3: Biết:  2 14 = a , tính 56 32
Bài 4: Tính 30 8 biết 30 3 = a 30 5 = b
Bài 5: Tìm tập xác định của các hàm số sau y = 3(x - 1)- 3
Bài 6: Tìm tập xác định của các hàm số sau y = (x 2 - 4x + 3)Bài 7: Tìm tập xác định của các hàm số sau y =

2
log 4 x - 3
log 2 (x 2 - 2x + 2)

Bài 8: Tìm tập xác định của các hàm số sau y =

Giải các pt sau:
Bài 11: 22x + 6 + 2x

+

7


Bài 12: 1 - 3.21 -

= 17
log9 2

Bài 13: c./ 4x - 3.2x + 9
=0
x
x
x
Bài 15: e./ 6.9 - 13.6 + 6.4 = 0

(

Bài 17: g./ 2 + 3

) + (2 - 3 )
x
x

2

x

+ 23 -

2x

= 0


Bài 14: 2.16x - 15.4x - 8 = 0
Bài 16: 5.4x + 2.25x - 7.10x = 0

(

- 4 = 0 Bài 18: 3 + 5

)x + 16(3 - 5 )x

= 2x+ 3

Bài 19: 3x + x - 4 = 0

Bài 20: x 2 - (3 - 2x )x + 2 (1 - 2x ) = 0

Bài 21: a./ ln(x 2 - 6x + 7) = ln(x - 3)

Bài 22: lg( x 2 - 6x + 5) - lg(1 - x) = 0

Bài 23: lg2 x - 3.lg x = lg x 2 - 4 .

Bài 24: log (x + 3 ) - log (x + 7 ) + 2 = 0

WWW.VNMATH.COM

4

2


www.VNMATH.com

12


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM
1
4 - lg
x

Bài 27:

LOG5 x+LOG25 x=LOG0,2 3

+

2
2 + lg
x

æ

Bài 25:

Bài 28:

Bài 29: log x + log x + log x = 11 .
2


4

ö

æ

Bài 26: log ççç 3x - 1÷÷. log÷ çç ç3x
ø
3è
3è

= 1.

8

lg( x + 1 +
1)
lg 3 x - 40

Bài30: log

2

-

ö
3÷
= 6
ø÷


1÷
-

=3

x + log (2x) + log (4x) = log (8x)

.

Giải các bpt sau:
1

Bài 31:

3x

2
3 x + 5x - 6

Bài 33: log

1

>

(x 2 - 4x

+ 6) <

1


Bài 32: 2.5x + 3.5-x ≥ 5

+ 2

Bài 34: log2 x + log x ≤ 0

-2

2

2

2

2.GTLN,GTNN .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 1. f (x) = 2x3 - 3x 2 -12x +10 trên đoạn [-3; 3]
HD : max f (x) = f (-1) =17 ; min f (x) = f (-3) = -35
[ -3;3]

[ -3;3 ]

Bài 2. f (x) = x + 3x - 9x - 7 trên đoạn [-4; 3]
HD: max f (x) = f (1) = -12 ; min f (x) = f (-3) = f (3) = 20
3

2

[-4;3]


[ -4;3]

1

Bài 3. f (x) = x3 - 3x 2 - 4 trên đoạn  ;3
2 

HD : max f (x) = -4 ; min f (x) = -8

Bài 4. f (x) = x3 - 6x 2 + 9x trên đoạn [0; 4]

HD : max f (x) = 4 ; min f (x) = 0

1 
 2 ;3



1 
 2 ;3 



[ 0;4]

[ 0;4]

Bài 5. f (x) = x - 3x - 9x + 35 trên đoạn [-4; 4]
HD : max f (x) = f (-1) = 40 ; min f (x) = f (-4) = -41

3

2

[ -4;4 ]

[-4;4 ]

Bài 6. f (x) = - x + 3x + 9x + 2 trên đoạn [-2; 2]
HD : max f (x) = f (3) = 29 ; min f (x) = f (-1) = -3
3

2

[-2;2 ]

[ -2;2 ]

2x

Bài 7. f (x) = - 1

trên đoạn [0; 2]

3
min f (x) = f (2)x=- -3

1

HD : max f (x) = f (0) =

3
; 0;2
[

]

[ 0;2]

Bài 8. f (x) = x - 2 trên đoạn [0; 4]
min f (x) = f (0) = -2

HD :

2
0;4
max
f (x) = f (4) = 5 ;

[ 0;4]

x2 + x +

Bài 9. f (x) = 2

mi3n f (x) = f (0) =1

trên đoạn [-1; 3]

HD : max f (x) = f (3) =
[- ]

1;3

14
;
5

[ -1; ]

WWW.VNMATH.COM

www.VNMATH.com

13


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM
x 2 + 2x +

Bài 10. f (x) = 3

với 1 < x ≤ 3 HD : ymin = 9 ; ymax không tồn tại

x 2 -x x-1
+1
1
HD
:
max
f

(x)
=
3
;
min
f
(x)
x 2 + x +1
3
=
1 4 1 2 1
Bài 12. f (x) = x - x - trên đoạn [-1; 1]
4
2
4
1
1
HD : max f (x) = f (0) = - ; min f (x) = f (-1) = f (1) = [-1;1]
4 [- ]
2
1;1
4
2
Bài 13. f (x) = x - 2x + 5 trên đoạn [-2; 3]
HD : max f (x) = f (3) = 68 ; min f (x) = f (-1) = f (1) = 4

Bài 11. f (x) =

[ -2;3]


[ -2;3]


Bài 14. f (x) = x 4 - 2x 2 + 2 trên đoạn 
 3; 3 
HD : max f (x) = ( 3) = f ( - 3 ) = 5 ; min f (x) = f (-1) = f (1) =1

f

- 3; 3 



- 3; 3 

Bài 15. f (x) = x5 - 5x 4 + 5x3 +1 trên đoạn [-1; 2]
HD : max f (x) = 2 ; min f (x) = -10
[ -1;2]

[ -1;2]

Bài 16. f (x) = 25 - x 2 trên đoạn [-4; 4]
HD : max f (x) = f (0) = 5 ; min f (x) = f (-4) = f (4) =
3

[-4;4

[ -4;4

Bài 17. f (x) = (3 - x) x 2 +1 trên đoạn [0; 2]

HD : max f (x) = f (0) = 3 ; min f (x) = f (2) = 5
[ 0;2]

[ 0;2]

Bài 18. f (x) = x +1+ 4 - x 2
HD : max f (x) = f ( 2) = 2 2 +1 ; min f (x) = f (-2) = -1
[ -2;2 ]

[-2;2 ]

Bài 19. f (x) = 4 - 2x trên đoạn [-1; 2]

HD : max f (x) = f (-1) = 6 ;
[- ]
1;2

mi2n f (x) = f (2) = 0
[ -1; ]

Bài 20. f (x) = 2x + 5 - x 2
HD : max f (x) = f (2) = 5 ; min f (x) = f (- 5) = -2 5
- 5 ; 5 



- 5; 5 




Bài 21. f (x) = 5 - 4x trên đoạn [-1; 1] HD : max f (x) = f (-1) = 3 ; min f (x) = f (1)
[-1;1

=1
Bài 22. f (x) = x + 4 x2

[ -1;1

HD : max f (x) = f ( 2) = 2 2 ; min f (x) = f (-2) = -2
[ -2;2 ]

[-2;2 ]

HD :

max f (x) = f (1) = 2 ; min f (x) = f (- 2) = - 2
- 2 ; 2 



- 2 ; 2 



 3π

Bài 24. f (x) = 2sin x + sin 2x trên đoạn  0; 
 2 
π 


3 3

 3π 

HD : max
f (x) = f   =
; min
 f (x) = f 
 = -2
 3π 
 3π
3
2
2








0;

0;



2 




2 

4
3

Bài 25. f (x) = 2sin x - sin 3 x trên đoạn [0;π ]
WWW.VNMATH.COM

www.VNMATH.com

14


TI LIU ễN THI T TI NAM HC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM


3

HD : max f (x) = f 2 = f =
[ 0; ]
4
4
3
2




Bi 26. f (x) = sin x + 2sin x - 3

2

; min f (x) = f (0) = f ( ) = 0
[ 0; ]

HD : t t = sin x ; -1 t 1


Bi 27. f (x) = 2 cos 2x + 4sin x trờn on 0;
2


HD : max f (x) = f = 2 2 ; min f (x) = f (0) = 2


4
2
2




0;

0;

Bi 28. f (x) = cos x(1+ sin x) trờn on [ 0; 2]



HD : max f (x) = f 3 =
[ 0;2 ]


3 3

3
5
=


; [0;2
mi ] f (x) = f

n
sin
Bi 29. f (x) = x
trờn on [0; ]
2 + cos x
3
2
; min f (x) = f ( 0) = f () = 0
HD : max f (x) = f =
[ 0; ]
[ 0; ]
3 3
mi f (x) = 0
Bi 30. f (x) = x 2 - 3x + 2 trờn on [-10; 10] HD : max f (x) = 132 ; [-10;10]
[]

n
10;10
2
Bi 31. f (x) = x - 2x + 3 trờn on [0; 2]
HD : max f (x) = 3 ; min f (x) = 2
[ 0;2]

[ 0;2]

HD : max f (x) = 56 ; min f (x) = 0

Bi 32. f (x) = x 2 - 5x + 6 trờn on [-5; 5]

[ -5;5]

[ -5;5 ]

Bi 33. f (x) = ( x - 2x ) e trờn on [0; 3]
2

x

HD : max f (x) = f (3) = 3e3 ; min f (x) = f ( 2) = ( 2 - 2 2) e 2
[ 0;3]

[ 0;3]

ln 2

Bi 34. f (x) = x


trờn on 1;e 3

HD : max f (x) = f (e3 ) =
1;e3



Bi 35. Tỡm GTNN ca hm s f (x) = e x +
HD : t t = ex ( t > 0 )

9
; min f (x) = f (1) =

e2
0
1;e

4
e +1



3



x

GTNN ca hs l 3 t ti x = 0

Tớnh tớch phõn

Baứi 1. 15 TCH PHAN ẹOI BIEN.
1/


2

sin x.

8cos x + 1 dx

HD: ẹAậT t = 8cos x +1 KQ =

0


2

2/


0

sin 2x

( cos


2


x+2

)

sin 2x dx

3/
0

2

dx
3

4 sin 2 x + cos 2
x

WWW.VNMATH.COM

HD: ẹAậT

2

HD:
0

t = cos 2 x + 2 KQ =

sin 2x dx

4 sin 2 x + cos 2
x


2

=


0

13

5
72

sin 2x dx
3sin 2 x +1

www.VNMATH.com

15


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM

2
3


ÑAËT t = 3sin 2 x +1 ⇒ KQ
=

4/

1 1 1
HD: ÑAËT t = sin 2x +1 ⇒ KQ = -  2 2e

e

cos 2x

π
2

∫e

sin 2 x+1

dx

π
4



π

∫


5/ sin 2x(1+ sin x)2 dx
π
2

17
HD: ∫ sin 2x(1+ sin x) 2 dx = ∫ 2sin x.cos x(1+ sin x) 2 dx ÑAËT t = sin x ⇒ KQ = 6
π
π
2

e

6/
dx
7/

2

2

ln 3 x + 2
x

∫
e18

HD: ÑAËT t = ln x ⇒ KQ = 8

dx
3

ln x +1

e31

ln x dx
ln x
+1

14
HD: ÑAËT t = ln x +1 ⇒ KQ = 3
2

∫ x.

8/ 1
2

9/

∫
0

HD: ÑAËT t = x 3 +1 ⇒ KQ =

x 2 dx
3

HD: ÑAËT t = x +1 ⇒ KQ

∫


=

10/ x. x +1 dx
0

11/

4

∫

e tan x+2 dx

4

cos x

12/

∫

e

1

HD: ÑAËT

dx


t=

π
2

HD: ∫ sin 3 x.cos 2 x dx =

0

=

x -1 ⇒ KQ = 2(e -1)

π
2

13/ ∫ sin 3 x.cos2 x dx
ÑAËT t = cos x ⇒ KQ

116
15

e2

x -1

x

4
3


HD: ÑAËT t = tan x + 2 ⇒ KQ = e3 -

2

0

9
2

HD: ÑAËT t = 3 ln x +1 ⇒ KQ
=

∫ x.

0

2

∫ sin x.(1- cos

2

x) cos 2 x dx

0

2
15


dx
ln∫ 2
0 1+ e
x

WWW.VNMATH.COM

ln 2

HD:

∫
0

dx
=
1+ e- x

ln 2

∫
0

3
e x dx
x
ÑAËT
t
=
e

+1
⇒
KQ
=
ln
2
e x +1

www.VNMATH.com

16


TÀI LIỆU ƠN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM
π
4

15/ ∫
0

dx
cos4 x

π
4

HD: ∫
0


dx
=
cos4 x

π
4

∫
0

1+ tan 2 x
dx
cos2 x

ĐẶT t = 1+ tan 2 x ⇒ KQ =

4
3

Bài 2. 10 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
1/

π
2

(4x + 5)sin 2x dx

 u = 4x + 5
HD: ĐẶT dv = sin 2 x dx



⇒ KQ = π +

∫π(3x - 2).cos3x dx

 u = 3x - 2
HD: ĐẶT dv = cos 3x dx


⇒ KQ =

∫

0
π

2/

15
2

π
-1
2

2

 u =
HD: ĐẶT  2x
dv = e3 x


ln 5

∫

3/

2x.ex dx

ln 2
3

4/

(x 2 +1).e 2x dx

∫

HD: ĐẶT

0
2

5/ ∫ (3x - 4).e -2 x dx

HD: ĐẶT

6/ ∫ (6x 2 + 5)ln x dx

HD: ĐẶT


7/ ∫ (3x 2 + 2x) ln(x + 2)

HD: ĐẶT

0
2

1
2

0
2

8/

ln ( x + 1 )

∫ 64 x

2

HD: ĐẶT

dx

1

dx


⇒ KQ = 10ln 5 - 4ln 2 6

 u = x 2 + 1
15e6 - 3
⇒
KQ

4
=
 dv = e2 x dx
-7e -4 - 5
 u = 3x ⇒
KQ
 4
4
 dv = e-2 x dx
=
u = ln

29
⇒ KQ = 26ln 2

x
3
 dv = (6 x2 + 5) dx
 u = ln(x +
40
⇒ KQ = 12ln 8
 2)
3

 dv = (3x2 + 2 x) dx
+
u = ln(x
1

⇒ KQ = ln
d
+ 1)
2 27
 dv = x2

x

3

9/ ∫ [ln(x -1) - ln(x + 1)]dx
2

3

3

3

2

2

2


HD: ∫ [ln(x -1) - ln(x +1)]dx = ∫ ln(x -1)dx - ∫ ln(x +1)dx
π

10/

∫

x

cos x dx

e0

= A+ B

 u = cos x

HD: ĐẶT 

 dv

= ex

dx

27
64

⇒ KQ = ln


⇒ KQ = -

eπ + 1
2

Bài 3. 10 CÂU TÍCH PHÂN KHÁC.
1/

π
2 2

∫
0

x - 2x +
dx
3

WWW.VNMATH.COM

www.VNMATH.com

17


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM
5

5


x 2 - 2x + 3
HD: ∫
dx = ∫ (x -1+
x -1
2
2
1

2/

∫x

4x - 5
2

0

-x- 2

∫x

3/

2

-x- 2

dx = ∫ (
0


∫

HD:
5

∫ sin

π
6
π
8

ln 3

dx
e x - 8e - x - 2

0

π
3

=

∫

2

7/


1
ÑAËT t = e x ⇒ KQ = ln
2x
2
- 2e x - 8

sin 2 x

π
3

HD:

x.cos 2 x

1 + cos x

π
4
2

∫e
0

π
8

π
6

π
8

π
12

π
12

π
3

HD:

dx

∫ sin

HD: ∫ sin 3x sin 5x dx∫

12

6/

3)dx ⇒ KQ = 2 ln 2

x +1

e x dx


dx

∫π sin 3x sin 5x dx
π
3

1 +

x- 2

e x - 8e - x - 2
ln 3

5/

15
+ 2ln 4
2

dx

∫
0

4/

1

4x - 5


0

ln3

) xdx-1⇒ KQ =

dx

1

HD: ÑAËT

2

∫

π
4

∫x

0
2

8/ ∫ 1+

HD: ÑAËT

- x dx


∫x
0

x dx

1

HD: ÑAËT

x -1

dx
2

x.cos 2 x

=

4dx

∫ sin

π
6

2

2x

⇒ KQ = 4 3


1
1
3
(cos 2x - cos 8x) dx ⇒ KQ = ( 2 -1 + )
2
8
4

π
3

π
3

4

4

1+ cos x
dx
cos x
dx
=
+
dx ⇒ KQ = 1- 3 + 2
∫
∫
2
2

sin 2 x
sin
x
sin
x
π
π
2

2

π
3

t =

1
2

- x dx = ∫

2

-(x 2 - x) dx + (x

∫

0

2


- x) dx ⇒ KQ = 1

1

x -1 ⇒ KQ = 11

3

- 4ln 2

1

9/ ∫ x(e2x + 3x 2 +1)dx
0

1

1

1

e2 37
HD: ∫ x(e + 3x +1)dx = ∫xe dx + ∫x 3x +1 dx ⇒ KQ = +
4 36
0
0
0
2x


2

2x

2

π
2

10/ ∫ cos x.ln(sin x +1)
dx
0

HD:ÑAËT= sin x +1

π
2

2

0

1

∫ cos x.ln(sin x +1) dx =∫ ln

t dt ⇒ KQ = 2ln 2 -1
www.VNMATH.com

18



TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM

CÂU III: ( 1 ĐIỂM) BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
WWW.VNMATH.COM

Bài 1.Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC) và mặt phẳng
(SBC) vuông góc với mặt phẳng (SAB),Góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng α
( 0 < α < 900 ).SB = a 2 và góc BCS = 450.
a sin

1.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Kq : d ( A, (SBC)) = 2α

2.Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (SAB) và các mặt của hình chóp là tam
giác vuông.
3.Tính theo a, α thể tích của khối chóp S.ABC.Tìm α sao cho thể tích lớn nhất.
V=

a 3 2 sin 2α
π
=> V lớn nhất <=> α =
6
4

Bài 2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a.SA vuông
góc với (ABCD) và SA = 2a.
I,J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC,ADC. Gọi V1 là thể tích khối chóp S.AIJ và
V2 là thể tích khối chóp S.ABCD.Tính tỷ số :


V1
.
V2

Kq :

V1 1
=
V2 6

Bài 3.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết
AB = a; AD = a 3; SA = a 3 và SA vuông góc với (ABCD).
a)Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Kq : VS . ABCD = a 3
b)Gọi I là trung điểm của SC.Chứng minh I là tâm mặt cầu (S)ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD.Tính diện tích mặt cầu (S).
Kq : S = 10π.a 2
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)

Kq : d(A,SBD) =

3a
15

Bài 4. Cho hình chop S.ABCD đáy là hình chữ nhật. Biết SA=AB = a , AD = 2a,
SA ⊥ ( ABCD )

a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD


Kq : V =

2 3
a
3

b) Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Kq : r =

a 6
.
2

Bài 5.Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA
vuông góc với mp ( ABC), biết AB = a, BC = a 3 và SA = 3a.
a)Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Kq : V =

a3 3
2

b)Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn BI theo a. Kq : BI =

a 13
2

Bài 6. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB=a và A’B= a 5 .
a)Gọi M là trung điểm của cạnh CC’ và cắt lăng trụ theo hai mặt phẳng (MAB) ,
(MA’B’) ta được ba khối chóp đỉnh M. Hãy gọi tên ba khối chóp đó
WWW.VNMATH.COM


www.VNMATH.com

19


TÀI LIỆU ƠN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM

b)Tính thể tích ba khối chóp nói trên.
Kq . VM .A/ B/C / = VM . ABC =

a3 3
Và VM . ABB/ A/ =
12

a3 3
3

Bài 7. Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ∆ABC vng tại A , AB = a , góc C
bằng 300 , cạnh bên SB vng góc với mặt đáy và SC tạo với mặt đáy một góc 450.
a/ Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC

Kq : VS . ABC =

a3 3
3

b/ Gọi A’ là hình chiếu vng góc của B trên SA và C’ ∈ SC sao cho SC = 3SC’ .
Tính thể tích tứ diện SBA’C’ và khoảng cách từ điểm C’ đến mp(SAB)

Kq : VS.BA/C/ =

4a 3 3
và d( C/,(SAB)) =
45

a 3
3

c/. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. r = a 2
Bài 8: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD đáy hình vng cạnh bằng a , cạnh bên SA ⊥
(ABCD) , góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy bằng 450.
a/ Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD

Kq : VS . ABCD =

a3 2
3

b/ Mặt phẳng đi qua A và vng góc với SC cắt SB,SC,SD lần lượt tại B’,C’,D’.
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

KQ : VS . AB

C/

D/ =
/

a3 2

9

Bài 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a ,cạnh bên
1
3

1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. KQ : = V = B.h =

a 5
.
2

a3 3
6

2) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy. Kq : 600 .
3) Tìm tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp và tính diện tích mặt cầu (S).
Kq : r =

5a 3
25π a 2
S=
12
12

4) Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp đáy
của hình chóp.

Kq : S =


π .a 2
2

Bài 10. CHO HÌNH CHÓP TỨ GIÁC ĐỀU S.ABCD CÓ CẠNH ĐÁY BẰNG 2A, CẠNH BÊN HP
VỚI
4 2a 3
MẶT ĐÁY MỘT GÓC BẰNG 450 .
A. TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP S.ABCD THEO A.

KQ. V =

3

B. GỌI E LÀ ĐIỂM THUỘC CẠNH SC SAO CHO SE = 2 EC , TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TỨ
4 2a 3
DIỆN
SABE THEO A .

KQ : V =

9

C. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGỌAI TIẾP HÌNH CHÓP S.ABCD THEO
A.
a 2


KQ : R =
Bài 11 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a.
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC

WWW.VNMATH.COM

www.VNMATH.com

20


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM

b/ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu nội, ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Hướng dẫn: b/ E là trung điểm của BC. Trong tam giác SOE, tâm Knội là giao điểm
của SO và đường phân giác góc SEO
Trong tam giác SOA, tâm I ngoại là giao điểm của SO và đường trung trực của đoạn
SA.
Bài 12 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a.
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b/ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu nội, ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Hướng dẫn: b/ E là trung điểm của BC. Trong tam giác SOE, tâm Knội là giao điểm
của SO và đường phân giác góc SEO
Trong tam giác SOA, tâm Ingoại là giao điểm của SO và đường trung trực của đoạn
SA.
Bài 13 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC vuông tại B và AB=a; AC=2a;
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc của SB và (ABC) bằng 600 .
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC
b/ Gọi AH, AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB, SAC. Chứng minh SC vuông
góc với mp (AHK) và tính thể tích khối chóp S.AHK.
Hướng dẫn: b/ c.m AH vuông góc (SBC), SC vuông góc (AHK)
Tính AH, AK, SK suy ra thể tích khối chóp S.AHK.
Bài 14 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA

vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc của SB và (ABCD) bằng 600 .
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b/ Gọi AH, AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB, SAD. Chứng minh SC vuông
góc với mp (AHK) tại E và tính thể tích khối chóp S.AHEK.
Hướng dẫn: a/ SA= AB.tan600
b/ c.m AH vuông góc (SBC), AK vuông góc (SCD)
c.m HK song song BD suy ra HK vuông góc AE. Suy ra thể tích khối
chóp S.AHEK=1/3.(1/2AE.HK).SE
Bài 15 : Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, 2a, 3a. Tính thể tích khối hình
hộp và đường chéo của hình hộp.
Hướng dẫn: V= 1/3 abc và d2 = a2+b2+c2
Bài 16 : Cho hình lập phương có cạnh bằng a.
a/ Tính thể tích khối lập phương .
b/ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu nội, ngoại tiếp hình lập phương.
Hướng dẫn: Tâm là giao điểm 4 đường chéo của lình lập phương.
Bài 17 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a và SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC); cho SB = a 3 . Gọi I là trung điểm của BC.
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC và chứng minh (SBC) vuông góc với (SAI).
b/ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Hướng dẫn: a/ Tính SA suy ra thể tích khối chóp S.ABC c.m BC vuông góc (SAI)
b/ Trong tam giác SAI, tâm K là giao đi63m của trục tam giác ABC và
đường trung trực của đoạn SA.
WWW.VNMATH.COM

www.VNMATH.com

21


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011

WWW.VNMATH.COM

Bài 18 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với
nhau. Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
a/ Chứng minh SH vuông góc với mp(ABC).
b/ Cho SA= a; SB= a 3 ; SC= 2a. Xác định và tính góc của hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC).
Hướng dẫn: a/ c.m BC vuông góc (SAH) và AC vuông góc (SBH).
b/ Tính SI suy ra tanSIA.
Bài 19 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (đáy lớn
AD) có AD = 2BC= a. Tam giác SAD vuông cân tại A; gọi M là trung điểm của AB.
Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) đi qua M và song
song với mp(SAD).
Hướng dẫn: Thiết diện là hình thang vuông MNEF có S= ½(MN+EF).MF
Bài 20 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA= a, BC= 2a và SA vuông góc với BC.
Gọi M là trung điểm của AB. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp và
mặt phẳng (P) đi qua M, song song với SA, BC.
Hướng dẫn: Thiết diện là hình chữ nhật MNEF có S= MN.MF
CÂU IVa: ( 2 ĐIỂM)
Toạ độ điểm, vectơ, mặt cầu. phương trình mặt phẳng, đường thẳng. Tính góc,
khoảng cách. vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu
WWW.VNMATH.COM

Bài 1: Cho A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1)
a. Cm A, B, C không thẳng hàng.
b. Tìm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

ĐS D(1; 2; 0)

Bài 2: Cho A(1; 3; -2), B(-1; 1; 2), C(1; 1; -4)

 x= 1-t


a. Viết ptts các đường trung tuyến của tam giác ABC.ĐS: AM:  y= 3-2t

z= -2+ t



b. Viết ptts các đường AB, AC, BC.

ĐS:

AB:

 x= 1-2t


 y= 3-2t

z= -2+ 4t



Bài 3: Cho A(1; 3; 1), B(2; 1; 2), C(0; 2; -6)
c. Tìm G là trọng tâm tam giác ABC.
ĐS: G(1; 2; -1)

WWW.VNMATH.COM


www.VNMATH.com

22


TÀI LIỆU ÔN THI TÚ TÀI NAM HỌC 2010-2011
WWW.VNMATH.COM
x =1+ t

d. Viết ptts đường thẳng qua G và song song với AB. ĐS: y = 2 - 2t

 z = -1+

t

Bài 4: Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a. Viết phương trình các mặt phẳng (ACD), (BCD).
ĐS: (ACD): 2x + y + z -14 = 0.
(BCD): 18x + 4y + 9z -126 = 0.
b. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua AB và song song với CD.
ĐS: (α) : 10x + 9y + 5z -74 = 0.
Bài 5: Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a. Viết phương trình các mặt phẳng (ABC). ĐS:

(ABC): x + y + z - 9 = 0.

b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mp(ABC).
ĐS: x + y + z - 10 = 0.
Bài 6: Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
x = 5 +


a. Viết ptts đường thẳng qua A và song song với BC. ĐS: y4t=1- 6t

 z = 3 + 2t
x = 5 +18t

b. Viết ptts đường thẳng qua A và vuông góc với mp(BCD).ĐS: y =1+ 4t

z = 3+

9t

Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (α)
a. Đi qua A(1; 2; 3) và song song với các mặt phẳng tọa độ.
ĐS: x – 1 = 0; y – 2 = 0; z – 3 = 0.
b. Đi qua A(1; 2; 3) và song song với mặt phẳng : x + y + z = 0.
ĐS: (α) : x + y + z - 6 = 0.
Bài 8: Viết phương trình mặt phẳng (α)
a. Đi qua A(1; 2; 3), B(1; 6; 2) và vuông góc với mặt phẳng : 3x + y + 2z = 0.
b. Đi qua M(3; 1; -1), N(2; -1; 4) và vgóc với mặt phẳng : 2x - y + 3z - 1 = 0.
ĐS: - x + 13y + 5z - 5 = 0.
Bài 9: Viết ptts đường thẳng
x = -2 + 2t

a. Đi qua A(-2; 3; 1) và có vectơ chỉ phương a = (2; 0; 3) ĐS y = 3

 z =1+ 3t

WWW.VNMATH.COM


www.VNMATH.com

23