Đề thi HSG Toán 8, huyện Thái Thuỵ, tỉnh Thái Bình, 2006 2007
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (95.88 KB, 4 trang )
PHÒNG GIÁO DỤC
THÁI THỤY
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 – 2007
Môn : Toán 8
Thời gian làm bài : 120 phút
ĐỀ BÀI
Bài 1. (4 điểm)
x + 1 x − 1 2(x 2 + 2)
+
=
.
x− 2 x+ 2
x2 − 4
a
b
c
a2
b2
c2
+
+
=
1.
b) Cho
Hãy tính : P =
+
+
b+ c c+ a a+ b
b+ c c+ a a + b
a) Giải phương trình :
Bài 2. (3 điểm)
Cho biểu thức : A = x 6 − 2x 3 y − x 4 + y 2
a) Phân tích A thành nhân tử.
b) Tìm x, y nguyên dương để A = 3.
Bài 3. (3 điểm)
a) Tồn tại hay không số nguyên n thoả mãn : n 3 + 2006n = 20082007 + 4 .
b) Cho ba số a, b, c dương và nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất
đẳng thức sau đây là sai.
1
1
1
a(1 – b) > ; b(1 – c) > ; c(1 – a) > .
4
4
4
Bài 4. (4 điểm)
Cho a, b, c và a – b là các số khác 0 thoả mãn :
(a 2 - bc)(b - abc) = (b 2 - ac)(a - abc) .
1 1 1
Chứng minh rằng : a + b + c = + + .
a b c
Bài 5. (6 điểm)
Cho tam giác ABC, trung tuyến BM cắt phân giác CD của góc trong C tại P. Kẻ DK
song song với BM (K ∈ AC).
PC MA BA
=
=
a) Chứng minh rằng
PD MK BD
PC CA
−
b) Tính :
.
PD CB
– HẾT –
Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình
1
LỜI GIẢI
Bài 1. (4 điểm)
a) ĐKXĐ x ≠ ± 2. Từ phương trình đã cho suy ra:
(x + 1)(x + 2) + (x - 1)(x - 2) = 2(x2 + 4)
⇔ x2 + 3x + 2 + x2 – 3x + 2 = 2x2 + 8
⇔ 0x = 4 (vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
a
b
c
a2
b2
c2
+
+
= 1. Hãy tính : P =
+
+
b) Cho
b+ c c+ a a+ b
b+ c c+ a a + b
Hiển nhiên a + b + c ≠ 0 vì nếu a + b + c = 0 thì từ giả thiết, ta có:
a
b
c
a
b
c
1=
+
+
=
+
+
= − 3 (vô lí)
b + c c + a a + b −a −b −c
a
b
c
+
+
= 1 với a + b + c ≠ 0, ta được;
Nhân cả hai vế của
b+ c c+ a a+ b
b
c
a
b + c + c + a + a + b ÷(a + b + c) = a + b + c
2
2
2
a
b
c
+a+
+ b+
+ c= a + b+ c
⇔
b+ c
c+ a
a+ b
a2
b2
c2
+
+
=0
⇒ P=
b+ c c+ a a+ b
Bài 2. (3 điểm)
Cho biểu thức : A = x 6 − 2x 3 y − x 4 + y 2
a) A = (x6 -2x3y + y2) – x4 = (x3 – y)2 – (x2)2 = (x3 – y – x2)(x3 – y + x2)
= (x3 – x2 – y)(x3 + x2 – y)
b) Theo giả thiết: A = 3 ⇒ x3 + x2 – y ∈ Ư(3) = {±1 ; ±3}
Vì x, y nguyên dương ⇒ x, y ≥ 1 ⇒ x3 + x2 – y > x3 - x2 – y.
Do đó, ta chỉ có hai trường hợp sau:
- TH1: x3 + x2 – y = 3 và x3 - x2 – y = 1 ⇒ 2x2 = 2 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = 1 (vì x ≥ 1)
Khi đó y = x3 + x2 – 3 = -1 (loại, vì y < 0).
- TH2: x3 + x2 – y = -1 và x3 - x2 – y = -3 ⇒ 2x2 = 2 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = 1 (vì x ≥ 1)
Khi đó y = x3 + x2 + 1 = 3 (thoả mãn).
Vậy cặp số (x ; y) cần tìm là (1 ; 3).
Bài 3. (3 điểm)
Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình
2
a) Xét: n3 + 2006n = 20082007 + 4. Khi đó:
- Vế trái: n3 + 2006n = n3 – n + 2007n
Vì n là số nguyên và 2007 ⋮ 3 ⇒ 2007n ⋮ 3.
Còn n3 – n = n(n – 1)(n + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên có một thừa số là
bội của 3 ⇒ n3 – n ⋮ 3.
⇒ n3 – n + 2007n ⋮ 3
(1)
- Vế phải: vì 2008 chia cho 3 dư 1 ⇒ 20082007 chia cho 3 cũng dư 1
⇒ 20082007 + 4 chia cho 3 dư 2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra không tồn tại số nguyên n thoả mãn điều kiện đề bài.
b) Từ giả thiết suy ra 1 – a > 0, 1 – b > 0, 1 – c > 0.
Giả sử các bất đẳng thức đã cho đều đúng.
Nhân vế với vế các bất đẳng thức đã cho (do hai vế của các bất đẳng thức trên đều
dương), ta có:
1
[a(1 – a)][b(1 – b)][c(1 – c)] >
(1)
64
1
1
1
2
Ta có: 0 < a(1 – a) = a – a2 = − (a − 1) ≤ hay 0 < a(1 – a) ≤
4
4
4
1
1
Tương tự: 0 < b(1 – b) ≤ ; 0 < c(1 – c) ≤ .
4
4
1
Suy ra :
[a(1 – a)][b(1 – b)][c(1 – c)] ≤
(2)
64
Rõ ràng (1) và (2) mâu thuẫn với nhau. Từ đó ta suy ra điều cần chứng minh.
Bài 4. (4 điểm)
Ta có:
(a 2 - bc)(b - abc) = (b 2 - ac)(a - abc)
⇔ a2b – a3bc – b2c + ab2c2 = ab2 – ab3c – a2c + a2bc2
⇔ a2b – a3bc – b2c + ab2c2 - ab2 + ab3c + a2c - a2bc2 = 0
⇔ (a2b – ab2) – (a3bc - ab3c) + (a2c – b2c) – (a2bc2 – ab2c2) = 0
⇔ ab(a – b) – abc(a – b)(a + b) + c(a – b)(a + b) – abc2(a – b) = 0
⇔ (a – b)(ab – a2bc – ab2c + ac + bc – abc2) = 0
⇔ ab – a2bc – ab2c + ac + bc – abc2 (do a – b ≠ 0)
⇔ ab + bc + ca = abc(a + b + c) ⇔ a + b + c =
ab + bc + ca
(do a, b, c ≠ 0)
abc
Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình
3
Hay a + b + c =
1 1 1
+ + (đpcm).
a b c
Bài 5. (6 điểm)
a) Áp dụng định lí Talet:
- Vì PM // DK nên:
PC MC
PC MA
=
=
hay
(1) (do MA = MC (giả thiết)).
PD MK
PD MK
- Vì DK // BD nên:
BA MA
=
BD MK
Từ (1) và (2) suy ra:
PC MA BA
=
=
.
PD MK BD
(2)
b) Vì CD là tia phân giác của góc C nên theo tính chất
đường phân giác trong tam giác, ta có:
CA AD
=
CB BD
Suy ra:
Hay
PC CA BA AD BA − AD BD
−
=
−
=
=
PD CB BD BD
BD
BD
PC CA
−
= 1.
PD CB
Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình
4
