Đe thi HSG 8 co HD cham
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (111.25 KB, 4 trang )
PHÒNG GD&ĐT
VĨNH LINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Năm học 2010-2011
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà tổng các chữ số của nó bằng 21.
8x 6 − 27
y4 - 1
:
Bài 2: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức: A =
với
4x 4 + 6x 2 + 9 y3 + y 2 + y + 1
x = 8 và y = 251
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
( 2 + x) ( 8 + x)
x
(Với x > 0)
Bài 4: Giải và biện luận phương trình sau:
b2
x2
x - a 2x - 2
+
a
=
; a, b là tham số.
b - x2
x 2 - b2
Bài 5: Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD, cắt BD, BC, DC,
theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh:
a). AE2 = EK.EG
1
1
1
=
+
b).
AE
AK
AG
c). Khi đường thẳng qua A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi.
Bài 6: Cho tam giác ABC cân ở A, từ trung điểm H của cạnh đáy BC hạ đường
thẳng HE vuông góc với AC (E thuộc AC). Gọi O là trung điểm của HE.
Chứng minh: OA vuông góc với BE.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GIAO DỤC & ĐT
VĨNH LINH
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Năm học 2010-2011
Bài 1: (2,0 điểm)
HƯỚNG DẪN GIẢI
Số tự nhiên có tổng các chữ số của nó bằng 21 thì phải có từ ba chữ số trở lên (vì
số có hai chữ số lớn nhất là 99 cũng chỉ có tổng các chữ số là 9 + 9 = 18 < 21)
Trong các số có từ ba chữ số trở lên thì số nhỏ nhất phải là số có ba chữ số
Trong các số có ba chữ số, số nhỏ nhất phải là số có chữ số hàng trăm nhỏ nhất
Nếu chữ số hàng trăm là 1 hoặc 2 thì tổng của các chữ số hàng chục và hàng đơn
vị tương ứng sẽ là : 21 – 1 = 20 hoặc 21 – 2 = 19.
Cả hai trường hợp này đều bị loại vì tổng đó lớn nhất chỉ có thể là 9 + 9 = 18.
Vậy chữ số hàng trăm nhỏ nhất có thể được là 3
Khi đó chữ số hàng chục cũng như hàng đơn vị đều là 9 để có 3 + 9 + 9 = 21
Vậy số phải tìm là : 399
Điểm TP
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Bài 2: (1,5 điểm)
HƯỚNG DẪN GIẢI
( y - 1) ( y + y + y + 1)
( 2x ) − 3
:
A =
y +y +y+1
( 2x ) + ( 2x ) .3 + 3
( 2x − 3) ( 2x ) + 2x .3 + 3
=
: ( y - 1)
2x
+
2x
.3
+
3
( )
2 3
2 2
3
3
2
2 2
2
2 2
3
2
2
2
Điểm TP
2
2
0,50 đ
2
0,50 đ
2
2x 2 − 3
=
y-1
0,25 đ
Thay số tính được A =
0,25 đ
1
2
Bài 3: (1,5 điểm)
( 2 + x) ( 8 + x)
HƯỚNG DẪN GIẢI
x + 10x + 16
16
= x+
+ 10
x
x
x
16
P đạt giá trị nhỏ nhất khi x +
đạt giá trị nhỏ nhất
x
16
16
Xét tích x × = 16 (không đổi), suy ra tổng x +
đạt giá trị nhỏ nhất khi
x
x
16
x=
x
=> x2 = 16 => x = 4
16
+ 10 = 18
Ta có P = 4 +
4
P=
=
Điểm TP
2
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Bài 4: (1,5 điểm)
Đ K: x ≠ ± b
b2
x2
b 2 x-x 3 -a 2 b 2 x+a 2 x 3 -b 2 +ab 2 -ax 2
x2
x - a 2x - 2
+
a
=
⇔
=
b - x2
x 2 - b2
b 2 -x 2
x 2 -b 2
⇔ b2x – a2b2x – x3 + a2x3 – b3 + ab2 – ax2 + x2 = 0
⇔ (1 – a2)b2x – (1 – a2)x3 + (1 – a)x2 - b2 (1 – a) = 0
⇔ (1 – a)(x2 – b2) - (1 – a2)(x2 - b2 )x = 0
⇔ (x2 – b2)[(1 – a) – (1 – a2)x] = 0
Với ĐK x ≠ ± b ⇒ x 2 − b 2 ≠ 0
ta có (1 – a) – (1 – a2)x = 0 ⇒ ( 1- a ) ( 1 + a ) x = 1 − a
* Nếu (1 – a)(1 + a) ≠ 0 ⇔ a ≠ ±1 thì x =
Giá trị x =
1
1+a
Điểm TP
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125
1
1
≠ ± b còn
là nghiệm của phương trình đã cho nếu x =
1+a
1+a
1
= ± b thì phương trình đã cho vô nghiệm.
1+a
* Nếu a = 1 => phương trình có dạng 0x = 0, được nghiệm đúng với mọi giá trị x
thuộc R, x ≠ ± b
* Nếu a = -1 => phương trình có dạng 0x = 2 => phương trình vô nghiệm.
nếu
0,25 đ
0,125 đ
0,125 đ
Bài 5: (2,0 điểm)
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hình vẽ đúng
A
Điểm TP
0,25 đ
B
a). (0,5 đ)
E
D
K
C
G
* BK // AD và AB // DG nên theo hệ
EK EB
EB EA
=
=
Talet ta có:
và
EA ED
ED EG
* Suy ra: AE2 = EK.EG
0,25 đ
0,25 đ
b). ( 0,75 đ)
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
AE ED
AE ED
=
⇒
=
EK EB
AK BD
AE EB
AE BE
=
⇒
=
Từ
EG ED
AG BD
AE AE ED BE BD
+
=
+
=
=1
Do đó:
AK AG BD BD BD
c). (0,75 đ)
Từ
AE AE
=
=1
AK AG
0,25 đ
0,25 đ
0,125 đ
0,125 đ
Đặt AB = a, AD = b.
BK
a
=
(1)
KC CG
KC CG
=
(2)
Do KC // AD nên
b
DG
Do AB // CG nên
Nhân từng vế của (1) với (2) ta được:
0,25 đ
0,25 đ
BK
a
=
b
DG
Suy ra: BK.DG = ab không đổi
0,125 đ
0,125 đ
Bài 6: (1,5 điểm)
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hình vẽ đúng
A
K
I
B
O
H
E
C
Kẻ BK ⊥ AC; E cắt AO tại I. Có AH
⊥ BC.
Xét ∆AHE và ∆BCK có:
µ =K
µ = 1v , EAH
·
·
(cùng phụ
E
= KBC
µ . Nên suy ra ∆AHE ~ ∆BCK
với C
AE HE
=
Do đó:
(1)
BK CK
HE//BK (cùng vuông góc với AC) và
HB = HC (gt) suy ra EK = EC
Do đó HE = 2EO; CK = 2EK
AE OE
=
Nên từ (1) suy ra:
BK EK
Mà ∆AEO và ∆BKE là các tam giác
vuông. Do đó: ∆AEO ~ ∆BKE
·
·
Suy ra: AOE
= BEK
·
·
Mà BEK
+ BEO
= 1v nên
·
·
AOE
+ BEO
= 1v
·
Do đó EIO = 1v hay OI ⊥ IE
Vậy OA ⊥ BE
Điểm TP
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
Lưu ý: Bài 5 và bài 6, nếu HS không vẽ hình thì không có điểm phần chứng minh
