Chuyên đề lý thuyết và vận dụng lớp 12 - Ôn thi TNPTTH và CĐ-ĐH

chuyên đề lý thuyết chơng trình lớp 12

I/ Công thức l ợng giác:
1, Bảng g/trị l ợng giác của các góc đặc biệt :
300
450
600
900
1200

(/6) (/4) (/3)
(/2) (2/3)
1
Sin
1
2
3
3
Cos
Tan
Cot

2
3
2
1
3
3

2
2
2
1
1

2
1
2
3
1
3

0
////
0

2, Các công thức cơ bản cần nhớ:
sin2 + cos2 = 1

Góc phụ: và


-
2


-) = cos
2


cos( -) = sin
2

tan( -) = cot
2

cot( -) = tan
2
sin(

-

1
3

1500
(5/6)

2
2
2
2

1
2
3
2
1
3
- 3


-1
-1

1800
( )
0
-1
0
////

tan .cot =1

1
= 1+ tan2
2
cos

3, Công thức về góc:
Góc đối: và -
sin(-) = - sin
cos(-) = cos
tan(-) = - tan
cot(-) = - cot

2
1
2
- 3


1350
(3/4)

1
= 1+ cot2
2
sin
Góc bù: và -
sin(-) = sin
cos(-) = - cos
tan(-) = - tan
cot(-) = - cot
Góc : và

Góc: và +
sin(+) = - sin
cos(+) = - cos
tan(+) = tan
cot(+) = cot


+
2


+) = cos
2

cos( +) = -sin
2


tan( +) = -cot
2

cot( +) = -tan
2
sin(

4, Công thức cần nhớ:
Công thức cộng:
cos(a b) = cosa.cosb m sina.sinb
sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb
tan a tan b

tan(a b) = 1 mtan a.tan b
Công thức hạ bậc 2: ( Đ ợc suy ra từ
công thức nhân đôi).

GV: Phạm Xuân Trung -0915.673.504

Công thức nhân đôi:
sin2a = 2 sina.cosa
cos2a = cos2a- sin2a
= 2cos2a - 1
= 1- 2sin2a
Công thức biến tích thành tổng :

1



Chuyên đề lý thuyết và vận dụng lớp 12 - Ôn thi TNPTTH và CĐ-ĐH

1 + cos 2a
2
1 cos 2a
sin2a =
2
1 cos 2a
tan 2 a =
1 + cos 2a

cos 2a =

Công thức biến tổng thành tích :

a +b
a b
.cos
2
2
a+b
a b
cosa - cosb = -2 sin
.sin
2
2
a +b
a b
sina + sinb = 2 sin
.cos

2
2
a+b
a b
sina - sinb = 2cos
.sin
2
2
sin(a b)
tana tanb =
cos a.cos b
sin(a b)
cota cotb =
sin a.sin b
cosa + cosb = 2 cos

1
[cos(a+b)+ cos(a-b)]
2
1
sina.cosb = [sin(a+b)+sin(a-b)]
2
1
sina.sinb = [cos(a-b)- cos(a+b)]
2
cosa.cosb =

Chú ý: một số ct hay dung trong biến
đổi


1+ sin2x = ( sinx + cosx)2
1- sin2x = ( sinx - cosx)2
1- cos2x = 2sin2x
1+ cos2x = 2cos2x
tanx + cotx =

2
sin 2x


4

2 s in( x )
4

sinx + cosx = 2cos( x )
sinx - cosx =
cosx- sinx =

2cos ( x +


)
4

cos3x = 4cos3x - 3cosx
sin3x = 3sinx - 4sin3x

II/ MT VI DNG TON V KHO ST HM S
Dng 1: Cho hm s y = f(x) cú cha tham s m. nh

m hm s ng bin trờn Ă ?
Phng phỏp:
TX: D
Ta cú: y = ax2 + bx + c
hm s ng bin trờn Ă thỡ y ' 0 x Ă

a > 0

0
Dng 2: Cho hm s y = f(x) cú cha tham s m. nh
m hm s nghch bin trờn Ă ?
Phng phỏp:
TX: D
Ta cú: y = ax2 + bx + c hm s ng bin trờn Ă thỡ

a < 0
y ' 0 x Ă
0

Dng 3: Cho hm s y = f(x) cú cha tham s m. nh
m th hm s cú cc tr?
Phng phỏp:
TX: D
Ta cú: y = ax2 + bx + c

GV: Phạm Xuân Trung -0915.673.504

th hm s cú cc tr khi phng trỡnh y = 0
cú 2 nghim phõn bit v y i du khi x i qua


a 0
> 0

hai nghim ú

Dng 4: Cho hm s y = f(x) cú cha tham s m.
Chng minh rng vi mi m th hm s luụn
luụn cú cc tr?
Phng phỏp:
TX: D
Ta cú: y = ax2 + bx + c
Xột phng trỡnh y = 0, ta cú:
=.>0, m
Vy vi mi m th hm s ó cho luụn luụn cú
cc tr.
Dng 5: Cho hm s y = f(x) cú cha tham s m.
nh m th hm s khụng cú cc tr?
Phng phỏp:
TX: D
Ta cú: y = ax2 + bx + c
Hm s khụng cú cc tr khi y khụng i du trờn

a 0
0

ton tp xỏc nh

2



Chuyªn ®Ò lý thuyÕt vµ vËn dông líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
Dạng 6: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định
m để đồ thị hàm số đạt cực đại tại x0?
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Để hàm số đạt cực đại tại x0 thì

 f '( x0 ) = 0

 f ''( x0 ) < 0
Dạng 7: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định
m để đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại x0?
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y’ = ax2 + bx + c

 f '( x0 ) = 0
 f ''( x0 ) > 0

Để hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì 

Dạng 8: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định
m để đồ thị hàm số đạt cực trị bằng h tại x0?
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y’ = ax2 + bx + c
Để hàm số đạt cực trị bằng h tại x 0 thì

 f '( x0 ) = 0


 f ( x0 ) = h
Dạng 9: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định
m để đồ thị hàm số đi qua điểm cực trị M(x0;y0)?
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y’ = ax2 + bx + c

 f '( x0 ) = 0
Để hàm số đi qua điểm cực trị M(x0;y0) thì 
 f ( x0 ) = y0
Dạng 10: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và
M(x0;y0)∈(C). Viết PTTT tại điểm M(x0;y0) ?
Phương pháp:
Ta có: y’ = f’(x) ⇒ f’(x0)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) là
y – y0 = f’(x0).( x – x0 )
Các dạng thường gặp khác :
1/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có
hòanh độ x0.
Ta tìm: + y0 = f(x0)
+ f’(x) ⇒ f’(x0)
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y – y0 = f’(x0).( x – x0 )
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm
thỏa mãn phương trình f”(x)= 0.(®iÓm uèn)
Ta tìm: + f’(x)
+ f”(x)
+Giải phương trình f”(x) = 0⇒ x0


GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

+ y0 và f’(x0). Suy ra PTTT.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua
điểm M(x0;y0):
- gsö ®êng th¼ng qua M cã hÖ sè gãc lµ k cã d¹ng:
y=k(x-x0) +y0
- ®t trªn lµ tiÕp tuyÕn khi hÖ sau cã nghiÖm

 k ( x − x0 ) + y0 = f ( x)
thay pt díi vµo pt trªn

f '( x) = k


t×m x, sau ®ã t×m k , thay vµo pt®t lµ ®îc tt

Dạng 11: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Viết
phương trình tiếp tuyến (d) của (C)
a/ song song với đường thẳng y = ax + b.
b/ vuông góc với đường thẳng y = ax + b.
Phương pháp:
a/ Tính: y’ = f’(x)
Vì tiếp tuyến (d) song song với đường thẳng y =
ax + b nên (d) có hệ số góc bằng a.
Ta có: f’(x) = a (Nghiệm của phương trình này
chính là hoành độ tiếp điểm)
Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm được.
Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d):
y – y0 = a. ( x – x0 )

b/ Tính: y’ = f’(x)
Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng y =
ax + b nên (d) có hệ số góc bằng −
Ta có: f’(x) = −

1
.
a

1
(Nghiệm của phương trình này
a

chính là hoành độ tiếp điểm)
Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm được.
Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d):
y – y0 = −

1
. ( x – x0 )
a

Chú ý: + Đường phân giác của góc phần tư thứ
nhất y = x.; góc phần tư thứ hai y = - x.
Dạng 12: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Tìm
GTLN, GTNN của hàm số trên [a;b]
Phương pháp:
Ta có: y’ = f’(x)
Giải phương trình f’(x) = 0, ta được các điểm cực
trị: x1, x2, x3,…∈ [a;b]

Tính: f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x3),…

max y = ; min y =

Từ đó suy ra:

[ a ;b ]

[ a ;b ]

Phương pháp chung ta thường lập BBT
Dạng 13: Cho họ đường cong y = f(m,x) với m là
tham số.Tìm điểm cố định mà họ đường cong trên
đi qua với mọi giá trị của m.
Phương pháp:

3


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
Ta có: y = f(m,x)
Am + B = 0, ∀m(1)
Hoặc Am2 + Bm + C = 0, ∀m
(2)
Đồ thị hàm số (1) ln ln đi qua điểm M(x;y) khi (x;y)
là nghiệm của hệ phương trình:

A = 0
(a)(đối với (1)) Hoặc


B = 0

Phương pháp:
Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo

uur

vectơ OI = ( x0 ; y0 ) .

 x = X + x0
x+2
y=
x −3
 y = Y + y0

Cơng thức đổi trục: 

A = 0

 B = 0 (b)(đối với (2))
C = 0


Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)
Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ.
Suy ra I(x0;y0) là tâm đối xứng của (C).
Dạng 17: Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C).
CMR đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C).
Phương pháp:


Giải (a) hoặc (b) để tìm x. Suy ra y tương ứng.
Từ đó kết luận các điểm cố định cần tìm.
Dạng 14: Giả sử (C1) là đồ thị của hàm số y = f(x) và
(C2) là đồ thị của hàm số
y = g(x). Biện luận số
giao điểm của hai đồ thị (C1), (C2).
Phương pháp:
Phương trình hồnh độ giao điểm của
y = f(x) và
y = g(x) là
f(x) = g(x)
⇔ f(x) – g(x) = 0
(*)
Số giao điểm của hai đồ thị (C 1), (C2) chính là số nghiệm
của phương trình (*).
Dạng 15: Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), biện luận theo
m số nghiệm của phương trình f(x) - g(m) = 0
Phương pháp:
Ta có: f(x) - g(m) = 0
⇔ f(x) = g(m)
(*)
Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của đồ thị (C):
y = f(x) và đường g(m).
Dựa vào đồ thị (C), ta có:…v.v…
Dạng 16: Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C). CMR điểm
I(x0;y0) là tâm đối xứng của (C).

III/

uur


Đổi trục bằng tịnh tiến theo vectơ OI = ( x0 ;0 )

 x = X + x0
y = Y

Cơng thức đổi trục 

Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)
Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số
chẵn. Suy ra đường thẳng x = x 0 là trục đối xứng
của (C).
Dạng 18: Sự tiếp xúc của hai đường cong có
phương trình y = f(x) và y = g(x).
Phương pháp:
Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với
nhau khi và chỉ khi hệ phương trình

 f ( x) = g ( x)

 f '( x) = g '( x)

Có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là
hồnh độ tiếp điểm của hai đường cong đó.

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT.

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:
an = a.a...a

123
(n ∈ Z+ , n ≥ 1, a ∈ R)

a1 = a ∀a

n thua so

a− n =

1
an

(n ∈ Z+ , n ≥ 1, a ∈ R / { 0} )

2. Các tính chất :
m

n

• a .a = a

m+ n

• (am )n = (an )m = am.n

m
an

n m


= a

am
a

n

a0 = 1

∀a ≠ 0

( a > 0; m, n ∈ N )

= a m− n

(a.b)n = an .b n

3. Hàm số mũ:
Dạng : y = ax ( a > 0 , a ≠ 1 )
• Tập xác đònh : D = R

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

a
an
( )n = n
b
b

4


a

−

m
n

=

1
m
an

=

1
n m

a


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
x
T = R+ ( a > 0

•

Tập giá trò :


•

Tính đơn điệu

*a>1

∀x ∈ R )
: y = ax đồng biến trên R

* 0 < a < 1 : y = ax nghòch biến trên R
B. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa:
Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0
dn

log a N = M

Điều kiện có nghóa:

aM = N

⇔

log a N có nghóa khi

a > 0

a ≠ 1
N > 0



2. Các tính chất :
• log a 1 = 0

log a a = 1

•

log a aM = M

•

log a (N1 .N 2 ) = log a N1 + log a N 2

•

log a N α = α . log a N

aloga N = N
N
log a ( 1 ) = log a N1 − log a N 2
N2

2
Đặc biệt : log a N = 2. log a N

3. Công thức đổi cơ số :
•

log a N = log a b. log b N

* Hệ quả:

log a b =

1
log b a

log b N =

log a N
log a b

log

và

ak

N=

1
log a N
k

4. Hàm số logarít:
Dạng y = log a x ( a > 0 , a ≠ 1 )
• Tập xác đònh : D = R +
T=R
• Tập giá trò
• Tính đơn điệu: * a > 1

: y = log a x đồng biến trên R +
* 0 < a < 1 : y = log a x nghòch biến trên R +
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
1. Đònh lý 1: Với 0 < a ≠ 1 thì :
a M = aN ⇔ M = N
2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì :
aM < aN ⇔ M > N (nghòch biến)
3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì :
aM < aN ⇔ M < N (đồng biến )
4. Đònh lý 4: Với 0 < a ≠ 1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N ⇔ M = N
5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì :
loga M < loga N ⇔ M >N (nghòch biến)
6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì :
loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến)
C. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM(x) = aN(x) (đồng cơ số)
Ví dụ : Giải các phương trình sau :

x + 10

x+5

16 x −10 = 0,125.8 x −15

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

5


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H

Bài tập rèn luyện:
a, 32

x+5
x −7

= 0,25.128

x +17
x −3

(

(x=10)

b, 2 − 3

)

log 2 (2 x 2 −3 x + 5)

(

= 7+4 3

2 x −1

 3  x +1
x −2
c, x 2 − 2 x + 3

d, 
e, 2 − 3
=1
 5 ÷
÷ = 0,12


2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:
( 1) α .a 2 f ( x ) + β .a f ( x ) = c
2 x −1
x +1

(

)

2 x −1
x +1

)

log 4 (3 x + 5) 2

(

= 2+ 3

)


x −2

or α .a 3 f ( x ) + β .a 2 f ( x ) + γ .a f ( x ) + c = 0

( 2)
( 3)
( 4)
( 5)

α .a f ( x ) + β .a − f ( x ) = c
víi b=a.c ta chia 2 vÕ cho c2f(x) råi ®Ỉt Èn phơ

α .a 2f(x) + β .b f ( x ) = γ .c 2 f ( x )
α . ( a+b )

f ( x)

+ β . ( a-b )

f ( x)

=c

α . ( a+b )

f (x)

+ β . ( a-b )

f ( x)


= γ .c f ( x )víi

víi (a+b)(a-b)=1 ta ®Ỉt Èn phơ t= (a+b)f(x)
a +b
c

.

a −b
c

=1

ta ®Ỉt Èn phơ t= (

a+b
c

)f(x)

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 3 2x +8 − 4.3 x + 5 + 27 = 0 2) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0
4) 2 x

2 −x

7,

5 − 21


(

2

− 2 2+ x − x = 3

) (
x

+

3) ( 2 − 3 )x + ( 2 + 3 )x = 4

5) 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0

5 − 21

)

x

6) 2.2 2 x − 9.14 x + 7.7 2 x = 0

x

= 10.2 2

Bài tập rèn luyện:
1) (2 + 3 ) x + (2 − 3 ) x = 4 ( x ± 1 ) 2) 8 x + 18 x = 2.27 x

(x=0)
x
x
3 x +1
x
x
2 x +1
3) 125 + 50 = 2
(x=0)
4) 25 + 10 = 2
(x=0)
5) ( 3 + 8 )x + ( 3 − 8 )x = 6
( x = ±2)
6) 27 x + 12 x = 2.8 x
(x=0)
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 ...
Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
2

x2 + x

− 4.2

x2 − x

−2

2x

2)


+4=0

Bài tập rèn luyệnï: a, 12.3 x + 3.15 x − 5 x +1 = 20

( x = log 3

5
)
3

b, 4 x 2 + x.2 x +1 + 3.2 x = x 2 + 2 x + 8 x + 12
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có
không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho
f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do
2

2

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

2

6



Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x)
= g(x))
c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:
( 1) a f ( x ) = b g ( x )

( 2)
( 3)
( 4)
( 5)
( 6)

víi b ≠ a.c

α .a f(x) + β .b f ( x ) = γ .c f ( x )
α . ( a+b )

f (x)

+ β . ( a-b )

f (x)

=c

α . ( a+b )

f ( x)


+ β . ( a-b )

f ( x)

= γ .c f ( x )

víi (a+b).(a-b) ≠1
víi

a +b
c

.

a −b
c

≠1

a x + b x = f ( x)
a f − bg = g − f

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1 x
3) ( ) = 2x + 1
3
5; x 2 .3log 2 x − x log2 3 = x log2 9

x


1) 3x + 4x = 5x

2) 2x = 1+ 3 2

4; 3.25x-2+9(3x-10).5x-2+3-x=0
Bài tập rèn luyện:
x
1) 2.2 + 3.3 x = 6 x − 1
(x=2) 2) 2 x = 3 − x
2
4; 2 x −1 − 2 x − x = ( x − 1)2 5; 2x + 3x = x + 4
6;

(x=1) 3; x + x log 2 3 = x log 2 5
2

2

8sin x + 8cos x = 10 + cos 2 y

D. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log a M = log a N (đồng cơ số)
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
x
x +1
1) log (x + 6) = 3
2) log 2 (4 + 4) = x − log 1 (2 − 3)
x


2

1
2
3) 2 log 2 ( x − 1) + log 1 ( x + 4) = log 2 (3 − x)
2

( x = − 11; x = −1 + 14 )

2
2
4; log 2 (x + 3x + 2) + log 2 (x +7x + 12) = 3 + log 2 3
2. Phương pháp 2: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸
( 1) a f ( x ) = b g ( x ) ⇔ log a a f ( x ) = log a b g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x).log a b

Tỉng qu¸t:

( 2)

f ( x)

ba

f(x)

= ab

f ( x)

⇔ log a b a


f(x)

= log a a b

f ( x)

b
⇔ ÷
a

= log a b

VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau.
a, 2x.3x+1 =12

b; x x = 10 x-x

2

c; x1+log3 x = 32.x

d; 5 7 = 7 5
2x

2x

e;

x


3 x.8 x+2 = 6

3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
4
3
1) log 2 x + 3 log 2 x =
2) log 32 x + log 32 x + 1 − 5 = 0
3
2
3; log x 2. log 2 x 2. log 2 4x = 0 4; ( x + 3 ) log 3 (x + 2) + 4(x + 2) log 3 (x + 2) = 16
2
2
2
5; log 3x + 7 (9 + 12x + 4x ) + log 2 x + 3 (6x + 23x + 21) = 4
6; 7 log25 (5 x )−1 − x log5 7 = 0
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

7


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
log 2 x + 2. log 7 x = 2 + log 2 x. log 7 x
Bài tập rèn luyệnï:
2. log 92 x = log 3 x. log 3 ( 2 x + 1 − 1)


log 2 x + log 3 x = log 2 x. log 3 x

(x=1;x=4)

4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất.
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong kho¶ng (a;b) thì phương trình f(x) = C có
không quá một nghiệm trong kho¶ng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho
f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong kho¶ng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong kho¶ng (a;b) .
do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x)
= g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
log 2 (x 2 − x − 6) + x = log 2 (x + 2) + 4 b; log 2 (x + 1) = log 3 (x + 2)
a;
2
c; log 2 (x + x − 5) = 2 − x
E. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM < aN ( ≤, >, ≥ )
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1
2 x −3
1 x − x −1
x −1
x2 − 2 x
2
≥( )
≤1

1) 3
2) x2 − 2 x ≥ 2
3; ( x + x − 1)
3
2
2 x −3

 x−2 
Bài tập rèn luyện:
a; 2 + 2 ≤ 3 + 3
( x ≥ 2 ) b; 
÷ ≤1
 2x +1 
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
2x
x+ 2
Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2 − 3.(2 ) + 32 < 0
2) 2 x + 2 3 − x ≤ 9
1 2
1 1 +1
( ) x + 3.( ) x > 12 4) 8 + 21+ x − 4 x + 21+ x > 5 ( 0 < x ≤ 2)
3
3
x

5)

15.2 x +1 + 1 ≥ 2 x − 1 + 2 x +1 ( x ≤ 2 )

x +1


x

x −1

3)

6; 2.14 x + 3.49 x − 4 x ≥ 0

F. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : loga M < log a N ( ≤, >, ≥ )
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
2
log 2 log 3 x − 3 < 1
1) log x (5x − 8x + 3) > 2 2)
3) log 3x − x 2 (3 − x) > 1
3

x
x −2
4) log x (log 9 (3 − 9)) ≤ 1
5) log 5 ( 4 + 144) − 4 log 5 2 < 1 + log 5 (2 + 1)
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
x
Ví dụ : Giải các phương trình sau: 1) log 2 (3 + 2) + 2. log 3x + 2 2 − 3 > 0
(log 2 x) 2 + 3
1
1
log 2 x 64 + log x 2 16 ≥ 3
>2

3)
( log 2 x + 3
8
2
x

3. Phương pháp 3: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

8

2)


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H

( 1) a f ( x ) > b g ( x )
( 2) ba > ab

Tỉng qu¸t:

f(x)

f ( x)

VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau.
a, 2x.3x+1 <24 b;

5 .8
x

x-1
x

c; 5 7 ≥ 7 5
2x

≥ 500

2x

d; x log2 2 x ≥ (2x)4

G. PHƯƠNG PHÁP Gi¶i pt-bpt mò vµ LOGARIT cã tham sè
DẠNG 1: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số
x
x
Bài 1: Với giá trò nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 4 − 4m.(2 − 1) = 0
Bài 2: Cho phương trình: 4 x − m.2 x +1 + 2m = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ≠ x2 sao cho x1 + x2 = 3
x
x
Bài 3: Tìm m để pt sau có hai nghiệm trái dấu: (m + 3).16 + (2m − 1)4 + m + 1 = 0

DẠNG 2: Sử dụng công cụ đạo hàm giải các bài toán có chứa tham số
Bài 1: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 5.16 x + 2.81x = m.36 x
2
2

Bài 2: Tìm m sau cho bất phương trình: 1 + log 5 ( x + 1) − log 5 ( x + 4 x + m) > 0
có nghiệm x ∈ [2,3]
( − 21 ≤ m ≤ 29 )
1
1− x
Bài 3: Tìm m để phương trình: 3 + 1− x + 2m = 0 có nghiệm
3
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 161−

1− x 2

− (m + 5)41−

1− x 2

+ 4 + 5m = 0

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Giải các phương trình
1
12
3x
x
1) 2 − 6.2 − 3( x −1) + x = 1
2
2
2
3
2) log 4 ( x + 1) + 2 = log 2 4 − x + log 8 (4 + x )

(x=1)
( x = 2; x = 2 − 2 6 )

3) log 7 x = log 3 ( x + 2)
4) log 5 x = log 7 ( x + 2)

(x=49)

5) 5.2 3 x−1 − 3.25−3 x + 7 = 0

(x=1)
5
(x= )
2

6) log
7) x

2 x −1

(x=5)

2 x − 3 = 2 log 8 4 + log 2 3

1
2

log2 x3−log2 x−3 1
2
=

x

(x=1,x=2,x=4)

8) 2 x log2 x + 2 x −3log8 x − 5 = 0
9) log 22 x + ( x − 1) log 2 x = 6 − 2 x
10) 1 + 2 log x 2. log 4 (10 − x ) =

2
log 4 x

Bài 2: Giải các bất phương trình
1) 32 x − 8.3 x + x+ 4 − 9.9 x + 4 > 0

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

1
( x = ,x = 2)
2
1
( x = ,x = 2)
4
(x=2,x=8)
(x>5)

9

( m < 0∨ m ≥1 )
(m=4)
3

( −1 < m < − )
4
( m < 2 10 )

( m ≤ −2 )


Chuyên đề lý thuyết và vận dụng lớp 12 - Ôn thi TNPTTH và CĐ-ĐH
2) 9

x2 2 x x

x 6 2 x3 +1

3) 1
2
1
4)
4

7.3

3x

1

8

x 2 2 x x 1

1 x

1
<
2

4
(x )
3
2
1
( < x < )
5
2
1
( x < 2)
4
( x > log 3 10 )
2
( < x < 1)
3

128 0
5

( x + 1)

2 log 2 x > log 2 x

x

7) log x log 9 (3 9) < 1
1
1
<
8)
2
log 4 ( x + 3 x) log 2 (3 x 1)

9)

log 1 ( x + 3) 2 log 1 ( x + 3) 3

(-2 < x <-1)

3
>0
x +1
Baứi 3 : Tỡm taọp xaực ủũnh cuỷa caực haứm soỏ sau:
2

1. y = log 1
2

3 2x x2
x+2

IV/ Công thức nguyên hàm :
Nguyên hàm của các hàm số cơ bản

dx = x + c

2. y = 2

x 3 8 x

+

log 0,3 ( x 1)
x2 2x 8

Nguyên hàm của hàm hợp ( du = u dx )
du = u + c
u +1
u du = + 1 + c
sin udu = cos u + c

x +1

x
dx
=
+c

+1
sin xdx = cosx + c



cos udu = sin u + c
1

cos u du = tan u + c

cosxdx = sin x + c
1
cos x dx = tan x + c

2

2

1

sin

1
sin 2 x dx = cot x + c
1
x dx = ln x + c
x
x
e dx = e + c
ax
x
a
dx
=
+c

ln a

1
x 0 x 2 )
4

( x < 1 0 < x < 1 x > 1 )

x 1

5) log 5 (1 2 x) < 1 + log
6)

(

2

2

u

du = cot u + c

1

u du = ln u + c
e du = e + c
u

(a>0)

u

au
a du = ln a + c
u

GV: Phạm Xuân Trung -0915.673.504

(a>0)

10


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
1

∫x

2

−1
+c
x

dx =

1

∫u

1

dx = 2 x + c
x
∫ tan xdx = − ln cosx + c

2

du =

−1
+c
u

1
du = 2 u + c
u
∫ tan udu = − ln cos u + c

∫

∫

∫ cot xdx = ln s inx + c

∫ cot udu = ln sin u + c

A/ C¸c ph ¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm – tÝch ph©n :
Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ a; b ] . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
thì:
b

b

∫ f ( x )dx = [ F( x )] a = F(b) − F(a)

•

a

1, Ph ¬ng ph¸p 1: BiÕn ®ỉi c¸c biĨu thøc .
dïng ct h¹ bËc cos 2a =

∫ cos xdx
2

VÝ dơ1: tÝnh

1 + cos 2a
2

sin 2a =

1 − cos 2a
2

1
= 1+ tan2 α
cos2α
1
1
∫ x + 1 − x + 3 dx ; ∫ x + 1 − x 2 − 3 dx dïng c¸ch nh©n liªn hỵp

∫ cosx.cos5 xdx ; ∫ cosx.sin 5xdx dïng ct biÕn tÝch thµnh tỉng

∫ tan

2

xdx

dïng ct

2

∫

2

x 2 − x − 2 dx

;

−3

∫ ( 2 x − 1 − x ) dx

chia kho¶ng ®Ĩ bá dÊu gtt®

−1

Π
3

∫ cos
0

x
1 ± sin 2 xdx
2

cã cos

x
x
1 ± sin 2 x = cos sinx ± cos x
2
2

x−5
x −5
A
B
dx t×m A,B sao cho
=
+
2
− 5x + 3
2 x − 5x + 3 x −1 2 x − 3
2sinx − 3cosx
∫ 2sinx + 5cosx dx t×m A,B sao cho 2sinx − 3cosx = A(2sinx + 5cosx) + B(2cosx − 5sinx)

∫ 2x

Π
3

∫

2

Π
2

tan x + cot x − 2dx
2

2

∫

Π
6

0

1
dx cã
2 + sinx − cos x

VÝ dơ2: : Tính các tích phân sau:
1
1
x

x
dx
dx
1) ∫
2) ∫
3
(2x + 1)
2x + 1
0
0
1

2x − 5
dx
5) ∫ 2
x
−
4x
+
4
0

3

x3
dx
6) ∫ 2
x
+
2x

+
1
0

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

2 + sinx − cos x = 2(1 − cos( x +

1

Π
))
4

1

4x + 11
dx
x + 5x + 6
0

3) ∫ x 1 − xdx

4) ∫

0

π
6

7) (sin 6 x + cos6 x)dx
∫
0

11

8)

π
2

2

4sin3 x
∫0 1 + cos xdx 9)


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
π
4

1 + sin 2x
∫0 cos2 x dx
π
4

4
4
∫ (cos x − sin x)dx

0

4
dx
−2 x + 2 x − 3
VÝ dơ3:
0

∫

2

3

1)

∫

x − 1dx
2

5)

∫
0

4

0

π
2

14) ∫ cos 2 x dx
0 1 + 2 sin 2 x
1
dx
18) ∫ 2
−1 x + 2x + 5
2)

∫

15) ∫ sin 3 x dx
0 2 cos 3 x + 1

2 − 4dx

π

6)

∫

x

3) ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx

x − 3x + 2dx

−3

2π

1 + cos 2xdx

∫

7)

0

π
2

cos x
dx
0 5 − 2 sin x

16) ∫

2

5

2

−1
x

1
dx . 13)
e +1
0

12) ∫

6

π
4

4

1

1 + sin 2x + cos 2x
dx
11) ∫
sin x + cos x
π

10) cos 2xdx
∫

−3
3

π
2

π
2

1 + sin xdx

0

4) ∫
1
2

x2 +

17)

1
− 2dx
x2

2

2
8) ∫ x − x dx
0

VÝ dơ4:
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) = A sin πx + B thỏa mãn đồng thời các điều kiện
2

f (1) = 2
'

và

∫ f(x)dx = 4
0

2, Ph ¬ng ph¸p 2: §ỉi biÕn lo¹i I
a
1
2
2
2
2
2
D¹ng 1: ∫ a − x dx
∫− a a 2 − x 2 dx
∫ x a − x dx
§Ỉt x = a.sint
( hc x = a.cost )
Ψdx = a.cost.dt
, ®ỉi cËn råi thay vµo tÝch ph©n ban ®Çu ®Ĩ tÝnh
VÝ dơ: tÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1
2
1
1
1
2

2
2
2
dx
a, ∫ 4 − x dx
b, ∫
c, ∫ x 1 − x dx
d, ∫ 2x − x dx
2
0
−2
−1 1 − x
−1
a
1
2
2
D¹ng 2:
∫− a x 2 + a 2 dx
∫ a + x dx
§Ỉt x = a.tant Ψdx = a(1+ tan2t ).dt , ®ỉi cËn råi thay vµo tÝch ph©n ban ®Çu ®Ĩ tÝnh
VÝ dơ: tÝnh c¸c tÝch ph©n sau
2
1
1
1
1
2
dx
dx ( hc mÉu lµ bËc 2 v« nghiƯm)

a, ∫ 2
b, ∫ 1 + x dx
c, ∫ 2
x +4
x ± x +1
−2
−1
−1
3, Ph ¬ng ph¸p 3: §ỉi biÕn lo¹i II.
§Ỉt t = U(x) ( U(x) thêng lµ c¸c biĨu thøc trong c¨n, trong l thõa)
dt
Ψ dt = U’.dx ⇒ dx =
®ỉi cËn råi thay vµo tÝch ph©n ban
U'
®Çu ®Ĩ tÝnh.
VÝ dơ: tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
a
dx
1
2
2 )Ψ dt =
dx
a, ∫ 2
®Ỉt
t
=
ln
(
x
+

x
±
a
x2 ± a2
x ± a2
0

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

12


Chuyên đề lý thuyết và vận dụng lớp 12 - Ôn thi TNPTTH và CĐ-ĐH
5



b,

x 1
2

1

2

dx

1

f,

sin

h,

2

x +1



d,

0

3

x+2
dx
x +1


1

đặt t =

6

x +1

dx
x

k,

0

l,


2

cos x.sin 3 x



sin 2 x + 1

0


2

4sin x + 9co s x

2

0

5

2


2

cos x.sin

đặt t =

dx

cos x
dx
3.sinx cos x



x +1

tan

3

xdx hoặc

3

đặt t =

x sin 2 x + 1dx


4

1

cos
0

4

x

đặt t = tanx

dx

sin 2 x + 1

0

2

0

m,

hoặc

dx

sin 2 x




4

0


2

3

2x +1

đặt t = sinx

x.cos 3 xdx

đặt t =

x+2
1
1
= 1+
đặt t = 1 +
x +1

x +1
x +1

ta có

1
(2 x 2) + 4
x
+
3
có
2
=
x2 2 x + 5
x2 2x + 5

x+3
1 x 2 2 x + 5 dx

2

x2 1
7 3

1

g,

x 1

đặt t =

x+2
1 x + 1 ữ dx hoặc
2
1
1 2 x + 1 3 2 x + 1 dx

e,

đặt t =

dx

2

1

2

5

1

x

hoặc

x2
dx

x +1



c,

5

x3

có

4sin 2 x + 9co s 2 x

cos x
= cos x
3.sinx cos x 2sin( x 3 )

đặt t =

x


3

cos 2 x
dx
3.sinx

cos x

3


2


2

3s inx + 4 cos x
dx
2
2
x

3sin x + 4 cos

n,

0


3


3

1 + tan 2 x
dx
dx ;

0,
;
2
2
cosx cos x + 1
(1 + t anx )
tan x

4
ln 2



p,

0

4

e +e
dx
e x e x

đặt t = e



t,

x

3

dx đặt t = tanx

0

ln 2

ln x ln x + 1
dx
x
1
3

5cosx 4 si n x

(cosx + si n x)

x

x

e


2

q,

0

1
1+ e

2x

dx

đặt t = 1+e2x

2

đặt t =

3

ln 2 x + 1

Tớnh caực tớch phaõn sau:

2

1) cos x sin xdx

0

3

2


2

2) cos xdx

5

0

GV: Phạm Xuân Trung -0915.673.504


4

1

3) sin 4x2 dx
0 1 + cos x

4) x
0

13

3

1 x 2 dx

Chuyên đề lý thuyết và vận dụng lớp 12 - Ôn thi TNPTTH và CĐ-ĐH

2


4

5) sin 2x(1 + sin 2 x)3dx

0

7)

1 + ln 2 x
1 x dx

1

5
3 6
10) x (1 x ) dx


2

8)


3

2

18) (1 tg 8 x)dx

19)


4

0

4


2

sin x cos x
1 + sin 2 x

dx


2

2
x
dx
22) (e sin x + cos x) cos xdx 23)

11+
x 1
0

21) sin 2 x cos x dx
0 1 + cos x

4

2
25) 1 2 sin x dx
0 1 + sin 2 x
4, Ph ơng pháp 4: Tích phân từng phần

udv = uv

b
a

a

b

vdu
a

b

Dạng 1:

f ( x).cosxdx

b

hoặc

a

f ( x).s inxdx
a

u = f ( x)

Đặt
dv = sinx.dx or dv = cosx.dx
Ví dụ: tính các tich phân sau.

3


3


3

0

0

0

x.cos 2 xdx

(2 x 1).cos2 xdx

b

Dạng 2:

f ( x).e dx
x


3

x.cos xdx

(2 x

2

2

x).sin xdx

0

b

f ( x).a dx

x

hoặc

a

a

u = f ( x)

Đặt
x
x
dv = e .dx or dv = a .dx
Ví dụ: tính các tich phân sau.
2

2

x
x.e dx
0

x
( x 3) .a dx

0

b

Dạng 3:

2

x
(2 x 1).e dx

e .cosxdx
x

a

0

1

(2 x

2

x).e x dx

0

b

hoặc

e .s inxdx
x

a


u=e
Đặt
dv = sinx.dx or dv = cosx.dx
Ví dụ: tính các tich phân sau.
x

phải đặt 2 lần tích phân từng phần

GV: Phạm Xuân Trung -0915.673.504

14


0

tg 4 x
dx
cos 2x


2

ln 5

sin 2 x

4

ln(tgx )
dx
17)
sin 2 x

b

12)

dx
14)
dx 15) x
x
3
ln 3 e + 2e
0
cos 2 x + 4 sin 2 x

13) cos x + sin x dx
0 3 + sin 2 x

1

cos xdx
3

cos x

0 6 5sin x + sin 2 xdx

11)


4
0


6

0


4

1 + ln x
dx
x



1

e

9)

e

1
6)
0 cos4 xdx

sin 2 x
dx
2
0 ( 2 + sin x )

16)


2

20) sin 2 x + sin x dx
0
1 + 3 cos x
e

24)

1

1 + 3 ln x ln x
dx
x


Chuyên đề lý thuyết và vận dụng lớp 12 - Ôn thi TNPTTH và CĐ-ĐH

3


3

e .cos2 xdx

(2e

x

0

x


2

e .cos xdx

1).sin 2 xdx

0

x

e

2

0

b

Dạng 4:


3

x

0

1 + sin x
dx
1 + cosx

b

f ( x).ln x dx

hoặc

a

ln

f ( x) dx

a

u = ln x or u = ln f ( x)
Đặt
dv = f ( x).dx or dv = dx
Ví dụ: tính các tích phân sau.

3


3


3


3

0

0

0

0

x.ln xdx

(2 x 1).ln 2 xdx

3


3

0

0

x ln( x + 1)dx

ln( x

2
x.ln xdx



x3 + 1
.l n xdx
x2

x 2 + 1)dx

Một số tích phân đặc biệt khác .

3

2

ln x
VD1: Tính . a, x .dx
e +1
2

b,






3


3

x 2 cosx
dx
ex + 1

x tan x
dx
6x + 1



c,

3

2

0
2
ln x
ln x
ln x
HD: x .dx = x .dx + x .dx = I1 + I 2
e +1
e +1
e +1
2
2
0

đặt t = -x I1=

2 x
et l n t
e ln x
.
dt
=
0 et + 1 0 e x + 1 .dx
2

sin x

4 + cos x dx

VD2: Tính .

2

I= l n x dx
0

đặt t = x

2

0



x sin

5


2

xdx

0




2

x sin x
0 4 cos2 xdx

x cos

4

x sin 3 xdx

0

3

2

2
10
a, x (2 x) dx

VD3: Tính

x + cosx
dx
4 sin 2 x

b,

x (3 x)
3

100

dx

0

1

a

VD4:Tích phân hàm số lẻ. (



f ( x )dx = 0 )

a

3

2

Tính . a,

x tan xdx
3

2

b,

2

VD5: C/m.






2


2

0

0

ln ( x + x + 1) dx
3

2


3


3

c,






3

x5 x3 x + 1
dx
x2 + 1

x 4 + sin x
x 2 + 1 dx
1

Neu can khac
/2 thi
dat t = tanx

f (sin x)dx = f (cosx)dx

GV: Phạm Xuân Trung -0915.673.504

d)

1

15


Chuyên đề lý thuyết và vận dụng lớp 12 - Ôn thi TNPTTH và CĐ-ĐH

AD tính a;


2

sin 6 x
0 sin 6 x + cos6 x dx

b;


2

0

sin x
dx
sin x + cos x

3
a, (4sin x )dx = 0
2
0
4

b,

5cosx 4 si n x

(cosx + si n x)

3

dx

0

2 + ln x

t

VD6: Giải

c;


2



ln x

x

1
2 t

dt <



3

dt
t

e4

Các ứng dụng của tích phân: Tính diện tích- Thể tích- C/m đẳng thức niwtơn.
A: Tính diện tích .
Coõng thửực:

b

S = [ f ( yx) g ( yx)] dy
dx

y

x=a

a

(H )

x=b
(C1 ) : y = f ( x)

y

(C 2 ) : y = g ( x)

b

x

a

(C 2 ) : x = g ( y )

y=b
(H )

y=a

a
b f(x)=0 tìm cận x=a,x=b
Note: - phải giải PTOg(x)=f(x)
hoặc
x
O của các h/s trên tìm cận,
- nếu S ={y=f(x), y=g(x), y=h(x)} ta phải tìm giao
(C1 ) : x = f ( y )
sau đó tính S=S1+S2+S3.
Ví dụ1: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi.


x2
y = 4

4
1) (H1):
2
y = x

4 2

4)

7)

2

y = x
(H4):
2
x = y

ln x

y = 2 x

(H7): y = 0
x = e

x = 1

y 2 2y + x = 0
10) (H10): x + y = 0


y = x 2 4x + 3
2) (H2) :
y = x + 3

3x 1

y = x 1

3) (H3): y = 0
x = 0

y = x
5) (H5):
2
y = 2 x

y2 + x 5 = 0
6) (H6): x + y 3 = 0


2
y = x 2x
8) (H8) :
2
y = x + 4x

(C ) : y = x

11) (d ) : y = 2 x
(Ox)


3
3

2
y = x + x
2
2
9) (H9):

y = x

(C ) : y = e x

12) (d ) : y = 2
() : x = 1


Ví dụ2: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi.

GV: Phạm Xuân Trung -0915.673.504

16


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
a, y = x 2 − 1 ; y = x = 5
b, y = 2 x − 2; y 2 = 2 x
c, y 2 + 8 x = 16; y 2 = 24 x + 48
d , y = x2 ; y =
e, y =

x 2 27
;y
27
x

x2 2
; x + y2 = 8
2

( gåm 2 phÇn)

f,y=(2+cosx)sinx;y=0;x=

Π
3Π
;x=
2
2

VÝ dơ3: cho (P) y= x2-2x+3 tÝnh S giíi h¹n bëi (P) vµ
a; tiÕp tun qua A(2;3)
b; tiÕp tun t¹i A(-1;6) vµ B(1;2)
B: TÝnh thĨ tÝch . cđa vËt thĨ trßn xoay quanh c¸c trơc
Công thức:
y
b

y
x=a

2

V = π ∫ [ f ( xy)] dx
dy

b
x= 0

x=b
(C ) : y = f ( x)

a

a

O

a

y=0

b

x

NÕu V ={y=f(x), y=g(x)} th×:

O

b

b

a

a

Vx = Π∫ f 2 (x)- g2 (x) dx ; Vy = Π∫ f 2 (y)- g2 (y) dy

Note: - ph¶i gi¶i PT g(x)=f(x) hc f(x)=0 t×m cËn x=a,x=b
- nÕu V ={y=f(x), y=g(x)} ta ph¶i t×m giao cđa c¸c h/s trªn t×m cËn,
sau ®ã tÝnh V=V1- V2
VÝ dơ1: tÝnh thĨ tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y = x; y = 2 − x; y = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
2
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = (x − 2) và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox
b) Trục Oy
2
2
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = 4 − x ; y = x + 2 .
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

17

y= b
(C ) : x = f ( y )
y= a
x


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H

Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y =

1
x2
;
y
=
x2 + 1
2

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
VÝ dơ2: tÝnh thĨ tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi.

Π
khi y = sin 4 x +
cos 4 x ; y =
0; x =
Π
;x =
2
2
b, Vx khi y =
x +
1; y =
x+
1
2
c, Vx ; V y khi (x-2) +
(y −

3) 2 =
1
a , Vx

d , Vx ; V y khi y =
2x −
x2 ; 0x
(x −
4) 2
y2
+
≤
1
4
16

e, Vx ; V y khi

f,Vx ; V y khi y=

x-1;y=2;0x;0y

C : c/m ®¼ng thøc Niwt¬n .
C«ng thøc Niwt¬n: (a± b)n = c0n a n ± c1n a n −1b + c2nan −2b2 ± ...+ (-1)n-1 c nn −1abn-1 + (-1) n c nnb n
VÝ dơ: chøng minh c¸c ®¼ng thøc hc tÝnh c¸c tỉng sau.
1
1
1
2 n +1 −1
a, 1+ c1n +

c 2n + ... +
c nn =
2
3
n +1
2n +2
n
1
1
(-1)
b, S =1c1n +
c 2n - ... +
c nn
2
3
n +1
1
1
1
(-1)n
c, S = c0n − c1n +
c n2 + ... +
c nn
2
4
6
2n + 2
1
1
1

1
0
2
d , S = c19
− c119 +
c19
- ... c19
19
2
3
4
21
1
1
2n
e, S =c0n + c1n .2 +
c 2n .2 2 + ... +
c nn
2
3
n +1
1
1
1
1
f , S = + c1n +
c 2n + ... +
c nn
3
6

9
3n + 3
2
3
2 −1 1
2 -1 2
2 2n+1 -1 2 n
g , S =1+
c2 n +
c 2 n + ... +
c2 n
2
3
2n +1
1
1
1
h, S =c02 n + c 22 n +
c 24 n + ... +
c 22 nn
3
5
2n +1

HD: Sư dơng mét trong c¸c khai triĨn sau
1

∫ x(1 ± x
0

1

2 n

) dx

hc ∫ (1 ± x) dx
n

1

hc

0

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

∫ (1 ± x)

n

dx ®Ĩ c/m

−1

18


Chuyªn ®Ò lý thuyÕt vµ vËn dông líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H

V.TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
uuur
1. AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A )
uuur
2
2
2
2. AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A )
r r
3. a ± b = ( a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 )
r
4. k.a = ( ka1 , ka2 , ka3 )
r
5. a = a12 + a22 + a32
a = b
r r  1 1
6. a = b ⇔ a2 = b2
a = b
 3 3
rr
7. a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3
r r
r
r
r r r
a
a a
8. a / / b ⇔ a = k .b ⇔ a ∧ b = 0 ⇔ 1 = 2 = 3
b1 b2 b3

r r
rr
9. a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0
ur r  a
10. [a, b] =  2
 b2

a1 a1 a2 
,
÷
b1 b1 b2 
rr r
11. a , b, c đồng phẳng ⇔  a, b  .c = 0
rr r
12. a , b, c không đồng phẳng ⇔  a, b  .c ≠ 0
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1
 x −kx B y A −ky B z A −kz B 
M A
,
,

1− k
1− k 
 1− k
14. M là trung điểm AB
a3 a3
,
b3 b3

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

 x + xB y A + y B z A + z B 
M A
,
,

2
2 
 2
15. G là trọng tâm tam giác ABC
 x + x + x y + y B + yC z A + z B + z C 
G A B C , A
,
,
3
3
3


16. Véctơ đơn vị cña 3 trôc:
e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1)

19


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
1 uuur uuur uuur
[ AB, AC ]. AD
6
uuur uuur uuuur/

21. VABCD. A/ B / C / D / = [ AB, AD]. AA

17.
M ( x,0,0) ∈ Ox; N (0, y,0) ∈ Oy; K (0,0, z ) ∈ Oz
18.
M ( x, y ,0) ∈ Oxy; N (0, y, z ) ∈ Oyz; K ( x,0, z ) ∈ Oxz
1 uuuur uuuur 1 2
a1 + a22 + a32
19. S ∆ABC = [ AB, AC ] =
2
2
2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam
giác
•
A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔ [
r
→
→
AB, AC ] ≠ 0
•
•

20. VABCD =

[

Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mpα
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M

và vuông góc mpα : ta có a d = n α

1
S∆ABC = 2 [AB, AC]
2.S ∆ABC
Đường cao AH =
BC
→

→

→

 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng
(d)

Viết phương trình mpα qua M và vuông
góc với (d): ta có nα = a d

→

Shbh = [AB, AC]

•

Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình
hành
• Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
• ABCD là hbh ⇔ AB = DC


Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M/ đối xứng với M qua mpα

Tìm hình chiếu H của M trên mpα
(dạng 4.1)

H là trung điểm của MM/
2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng
d:

Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng
4.2)
H là trung điểm của MM/

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
→
→
→
• [ AB, AC ]. AD ≠ 0
•

1

→

→

→

Vtd = 6 [AB, AC] . AD
Đường cao AH của tứ diện ABCD
3V
1
V = S BCD . AH ⇒ AH =
S BCD
3

•

]

V ABCD. A/ B / C / D / = AB; AD . AA /

Thể tích hình hộp :

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
→

→

2: Cho ba vect¬ a = ( 2;1 ; 0 ), b = ( 1; -1; 2) ,
→

→

→

→

c = (2 ; 2; -1 ).

→

→ → →

a) T×m täa ®é cđa vect¬ : u = 4 a - 2 b + 3 c

b) Chøng minh r»ng 3 vect¬ a , b , c kh«ng ®ång ph¼ng .
→ → →

→

c) H·y biĨu diĨn vect¬ w = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬ a , b , c .
→

→

→

3: Cho 3 vect¬ a = (1; m; 2), b = (m+1; 2;1 ) , c = (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ĩ 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng .
6: Cho ba ®iĨm kh«ng th¼ng hµng: A(1;3;7), B (−5; 2; 0), C (0; −1; −1). H·y t×m träng t©m G cđa tam gi¸c
ABC.
7: Cho bèn diĨm kh«ng ®ång ph¼ng : A(2;5; − 3), B (1;0;0), C (3;0; −2), D(−3; −1;2). H·y t×m täa ®é träng t©m G
cđa tø diƯn ABCD.
8: Cho ®iĨm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm M:
a) Trªn c¸c mỈt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz.
b) Trªn c¸c trơc täa ®é: Ox, Oy, Oz

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

20


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
9: Cho ®iĨm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cđa ®iĨm ®èi xøng víi ®iĨm M:
a) Qua gèc täa ®é O
b) Qua mỈt ph¼ng Oxy
c) Qua Trơc Oy.
10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cđa c¸c ®Ønh cßn
l¹i.
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §êng th¼ng AB c¾t mỈt ph¼ng Oyz t¹i ®iĨm M.
a) §iĨm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ?
b) T×m täa ®é ®iĨm M.
15. a) Trªn trơc Oy t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu hai ®iĨm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1).
b) Trªn mỈt ph¼ng Oxz t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu ba ®iĨm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).
17. Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cđa mét tam gi¸c.
b) TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch ∆ABC.
c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ĩ tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d) TÝnh ®é dµi ®êng cao cđa ∆ABC h¹ tõ ®Ønh A.
e) TÝnh c¸c gãc cđa ∆ABC.
18. Cho bèn ®iĨm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cđa mét tø diƯn.
b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diƯn cđa tø diƯn ABCD.
c) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®êng cao cđa tø diƯn h¹ tõ ®Ønh A.
19. Cho ∆ ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®êng ph©n gi¸c trong cđa gãc B.
20. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho bèn ®iĨm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diƯn. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diƯn ABCD.

b) TÝnh ®é dµi ®êng cao h¹ tõ ®Ønh C cđa tø diƯn ®ã.
c) TÝnh ®é dµi ®êng cao cđa tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B.
d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®êng th¼ng AB, CD.
21. Cho 3 ®iĨm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) X¸c ®Þnh ®iĨm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh .
b) T×m täa ®é giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo.
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A.
T×m täa ®é träng t©m cđa tam gi¸c ABC .
22. Cho 4 ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chøng minh 4 ®iĨm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD
b) T×m täa ®é träng t©m cđa tø diƯn ABCD .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiỊu cao cđa tø diƯn vÏ tõ D.
d) T×m täa ®é ch©n ®êng cao cđa tø diƯn vÏ tõ D .
23. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho ba ®iĨm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cđa tm gi¸c ABC.
b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC
. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
r
1. Vectơ pháp tuyến của mpα :
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n = (A; B; C)
r
r
r
n ≠ 0 là véctơ pháp tuyến của α ⇔ n ⊥ α
5.Phương trình mặt phẳng di qua A(a,0,0)
B(0,b,0) ; C(0,0,c) :
2. Cặp véctơ chỉ phương của mpα :
r r

r r
x y z
⇔
a // b là cặp vtcp của α
a , b cùng // α
+ + =1
a b c
r
r
r
3 Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a , b :
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:
r r
r
n = [a ,b ]
1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
r
4. Pt mpα qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C)
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0

(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
8. Vò trí tương đối của hai mp (α1) và (α2)

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

21


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H

° α cắt β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A 2 : B2 : C2
A1 B1
C1
D1
° α // β ⇔ A = B = C ≠ D
2
2
2
2
A1
B1
C1
D1
° α ≡β ⇔ A = B = C = D
2
2
2
2
ª

α ⊥ β ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0

2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
→
→
° Cặp vtcp: AB , AC
°

α

qua A ( hay B hay C )

qua M trung điểm AB

r

→

qua M

r

Vì α ⊥ (d) nên vtpt n

→

= a ....( AB )
d

Dạng 4: Mpα qua M và // β : Ax + By + Cz + D =
0
° α

qua M
r
Vì α // β nên vtpt n

α

r
=n

β

Dạng 5: Mpα chứa (d) và song song (d/)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))

A 2 + B2 + C2

10.Góc giữa hai mặt phẳng :

r r
n1 . n 2
cos(α , β ) = r r
n1 . n 2

 Mpα chứa (d) nên

a d = aα

Mpα song song (d/) nên a d / = bα

]

Dạng 6 Mpα qua M,N và ⊥ β :
■ Mpα qua M,N nên MN = aα
■ Mpα ⊥ mpβ nên

= AB

Dạng 3: Mặt phẳng α qua M và ⊥ d (hoặc AB)
° α

Ax o + By o + Cz o + D

[

Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :

vtpt n

d(M,α) =

■ Vtpt n = a d , a d /

r → →
vtpt n =[ AB , AC ]

° α

9.KC từ M(x0,y0,z0) đến (α) : Ax + By + Cz + D =
0

n β = bα

qua M (hay N)

°α

→ r
r
vtpt n = [ MN , n ]
β

Dạng 7 Mpα chứa (d) và đi qua
■ Mpα chứa d nên a d = aα
■ Mpα đi qua M ∈ (d ) và A nên AM = bα
qua A

°α

→
r
vtpt n = [ a , AM]
d

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi to¸n 1. Ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
r
Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt n biÕt
r
r
a, M ( 3;1;1) , n = ( −1;1;2 )
b, M ( −2;7;0 ) , n = ( 3;0;1)
r
r
c, M ( 4; −1; −2 ) , n = ( 0;1;3 )
d, M ( 2;1; −2 ) , n = ( 1;0;0 )
Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt:

a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c,
Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng ( α ) ®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng ( β ) biÕt:

a, M ( 2;1;5 ) , ( β ) = ( Oxy ) b, M ( −1;1;0 ) , ( β ) :x − 2y + z − 10 = 0 c, M ( 1; −2;1) , ( β ) : 2x − y + 3 = 0
r
r
Bµi 4 LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M(2;3;2) vµ cỈp VTCP lµ a (2;1; 2); b(3; 2; −1)
Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

22


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
a) Song song víi c¸c trơc 0x vµ 0y.
b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z.
c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z.
Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ :
a) Cïng ph¬ng víi trơc 0x. b) Cïng ph¬ng víi trơc 0y. c) rCïng ph¬ngrvíi trơc 0z.
Bµi 7: X¸c ®Þnh to¹ ®é cđa vÐc t¬ n vu«ng gãc víi hai vÐc t¬ a (6; −1;3); b(3; 2;1) .
Bµi 8: T×m mét VTPT cđa mỈt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cỈp VTCP lµ a (2,7,2); b(3,2,4)
Bµi 9: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt :
a) (P) ®i qua ®iĨm A(-1;3;-2) vµ nhËn n(2,3,4); lµm VTPT.
b) (P) ®i qua ®iĨm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.
Bµi 10: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c mỈt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iĨm A(-1;2;3) vµ hai mỈt ph¼ng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) ®i qua ®iĨm A vµ vu«ng gãc víi hai mỈt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 14: ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa (P)
a) §i qua ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .

b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) ,
d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)
Bµi 15: Cho hai ®iĨm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz
a) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) lµ trung trùc cđa AB.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng y0z
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mỈt ph¼ng (P).
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
r
→
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d)
 d,d’ đồng phẳng ⇔ [ a d , a d / ]. MN = 0
r
r
qua
⇔ [ a d , a / ] ≠ 0 và [ a d , a / ].
r

d,d’
cắ
t
nhau
d
d
M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)
→
x = x o + a 1t
MN =0


r
(d) : y = y o + a 2 t ; t ∈R
 d,d’ song song nhau ⇔ { a d // a d / và

z = z o + a 3 t

2.Phương trình chính tắc của (d)
(d) :

x − xo
a

1

=

y − yo
a2

=

z-z

Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0

0

a3

3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp
α 1 và α2
A x +B 1 y +C 1z +D1 = 0
(d) :  1
A 2 x +B 2 y +C 2 z +D2 = 0

Véctơ chỉ phương
 B C1 C1 A1 A1
a =  1
,
,
 B2 C 2 C 2 A2 A2

M ∉ (d / ) }

r
/
 d,d’ trùng nhau ⇔ { a d // a d / và M ∈ (d )
}
5.Khoảng cách :
r
Cho (d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp
a d/
Kc từ điểm đến đường thẳng:
d ( A, d ) =






4.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :
r
(d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d /
r
→
 d chéo d’ ⇔ [ a d , a d / ]. MN ≠ 0 (không đồng
B1
B2

[a d ; AM ]
ad

Kc giữa 2 đường thẳng :
d (d ; d / ) =

[a d ; a d / ].MN
[a d ; a d / ]

phẳng)

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

23


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
r
6.Góc : (d) có vtcp a d ; ∆ ’ có vtcp a d / ; (α ) có
r
vtpt n

Góc giữa 2 đường thẳng

:

r
a d .a d /
cos(d, d' ) = r
ad . ad /

Góc giữa đường và mặt :

r r
ad . n
sin(d,α) = r
r
ad . n

2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B
( hayB)
quaA
(d )
a d = AB
Vtcp
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song
(∆ )
(d )

qua A

r
r
Vì (d) // (∆) nên vtcp a = a
d
∆

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc
mpα
(d )

qua A

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc
(d1),(d2)
(d )

qua A
r
r
r
vtcp a = [ a , a
]
d1 d 2

Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :
r r
+ Tìm a d = [ a d1, a d2]
+ Mpα chứa d1 , (d)
⇒

; mpβ chứa d2 , (d)

d=α∩β

r
r
Vì (d) ⊥ (α) nên vtcp a = n
d
α

Dạng 7: PT qua A và d cắt d1,d2 : d = α ∩ β

Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên α : d/ = α ∩
β

với mpα = (A,d1) ; mpβ = (A,d2)
Dạng 8: PT d // ∆ và cắt d1,d2 : d = α 1 ∩ α 2
với mpα1 chứa d1 // ∆ ; mpα2 chứa d2 // ∆

 Viết pt mpβ chứa (d) và vuông góc mpα
quaM ∈ (d )

( β ) ⊃ (d ) ⇒ a = a
d
β
( β ) 
 ( β ) ⊥ ( α ) ⇒ nα = bβ
 ⇒ n β = [a d ; nα ]


/ (α )
ª (d )
( β )

Dạng 9: PT d qua A và ⊥ d1, cắt d2 : d = AB
với mpα qua A, ⊥ d1 ; B = d2 ∩ α
Dạng 10: PT d ⊥ (P) cắt d1, d2 : d = α ∩ β
với mpα chứa d1 ,⊥(P) ; mpβ chứa d2 , ⊥ (P)

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong
r c¸c trêng hỵp sau :
a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn a (3; 2;3) lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iĨm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c giao tun cđa mỈt ph¼ng
( P ) : x - 3 y + 2 z - 6 = 0 vµ c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é
Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng ®i qua ®iĨm M(2;3;-5) vµ song song víi ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng
 x = −t


tr×nh: ( d ) :  y = 2 + 2t
 z = 1 + 2t


, t∈R
 x = −t


Bµi 4: Cho ®êng th¼ng (D) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh lµ : ( d ) :  y = 2 + 2t
 z = 1 + 2t



, t ∈ R vµ

(P): x+y+z+1=0

T×m ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mỈt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng
(D)
Bµi 5: Cho mỈt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iĨm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cđa ®êng th¼ng
(d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

24


Chuyªn ®Ị lý thut vµ vËn dơng líp 12 - ¤n thi TNPTTH vµ C§-§H
Bµi6: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt
ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau:
a) ( P ) : x + 2 y + 3 z - 4 = 0
b) ( P ) : x + 2 y + 3z − 1 = 0 .
Bµi 7: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(1;2;3) vµ song song víi ®êng
 x = 2 + 2t


th¼ng ( ∆ ) cho bëi : ( ∆ ) :  y = −3t

 z = −3 + t


t∈R .

Bµi8: XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cđa ®êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) ,biÕt:
x = 1 + t


a) ( d ) :  y = 3 − t
z = 2 + t


 x = 12 + 4t

, t∈R


b) ( d ) :  y = 9 + t

(P): x-y+z+3=0

z = 1 + t


, t ∈R

(P): y+4z+17=0

Bµi 9: (§HNN_TH-98): Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ

( d ) : x −1 =
2

y z+2
=
.
1
−3

a) T×m to¹ ®é giao ®iĨm A cđa (d) vµ (P) .
b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mỈt ph¼ng (P) .
Bµi 10: Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :

( d1 ) : x − 2 =
1

 x = 1 + 2t

y −1 z −1
=
2
1

( d 2 ) :  y = t + 2

 z = −1 + 3t


( t ∈ R)

a) CMR hai ®êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm cđa nã.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2).

Bµi 11: (§HNN-96): cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
 x = −7 + 3t
( d1 ) :  y = 4 − 2t
 z = 4 + 3t


 x = 1 + t1

( d 2 ) :  y = −9 + 2t1
 z = −12 − t
1


( t, t 1 ∈ R )

a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d1),(d2) .
III.MẶT CẦU
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán
kính R
S(I, R) : ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R 2
2

2

2

(1)

S(I,R) : x 2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (2)
2
2
2
( với a + b + c − d > 0 )

•

Tâm I(a ; b ; c) và R = a 2 + b 2 + c 2 − d

2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
2
2
2
Cho (S) : ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R2
và α : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,α) : khỏang cách từ tâm mc(S)
đến mpα :
 d > R : (S) ∩ α = φ

GV: Ph¹m Xu©n Trung -0915.673.504

 d = R : α tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm,
α: tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên
mpα )
 Viết phương trình đường thẳng (d)
qua I và vuông góc mpα : ta có
ad = nα
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và

(α)
 d < R : α cắt (S) theo đường tròn có pt
(S) : ( x − a) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R2

α : Ax + By + Cz + D = 0

*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:

25