TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN MINH TRUNG

GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC
BẰNG PHƢƠNG PHÁP NĂNG LƢỢNG

Chuyên ngành: Vật lý đại cƣơng
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
ThS. HOÀNG VĂN QUYẾT

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Hoàng
Văn Quyết trong suốt thời gian thực hiện đề tài khoá luận tốt nghiệp này.
Đồng thời tôi xin cảm ơn các thầy cô trong tổ vật lý đại cương, các thầy cô
trong khoa vật lý đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khoá luận tốt
nghiệp của mình.
Tuy nhiên đây là bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu nên đề tài
của tôi không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp
ý của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài khoá luận của tôi được hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày11 tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Minh Trung


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Những
kết quả nghiên cứu trong khoá luận là hoàn toàn trung thực. Đề tài này chưa
được công bố trong bất cứ một công trình khoa học nào khác.
Hà Nội, ngày 11 tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Minh Trung


MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc khoá luận ........................................................................................ 2
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT............................................................... 3
1.1. Momen quán tính của vật rắn ..................................................................... 3
1.2. Định lí biến thiên động năng ...................................................................... 5
1.2.1. Định lí biến thiên động năng của chất điểm, hệ chất điểm ..................... 5
1.2.2. Định lí biến thiên động năng của vật rắn ................................................ 6
1.3. Định luật bảo toàn và biến thiên momen động lượng ................................ 7
1.3.1. Định luật bảo toàn và biến thiên momen động lượng momen động
lượng của chất điểm .......................................................................................... 7

1.3.2. Định luật biến thiên và bảo toàn momen động lượng của hệ chất điểm ....... 8
1.3.3. Định luật bảo toàn và biến thiên momen xung lượng của vật rắn ........ 10
1.4. Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng................................................. 11
1.4.1. Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng của chất điểm ...................... 11
1.4.2. Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm ................. 12
1.4.3. Định luật bảo toàn và biến thiên cơ năng của vật rắn ........................... 13
CHƢƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI. .........16
2.1. Bài toán áp dụng định luật bảo toàn momen xung lượng ........................ 16
2.1.1. Bài toán áp dụng.................................................................................... 16
2.1.2. Bài toán tự giải ...................................................................................... 21


2.2. Bài toán áp dụng định luật biến thiên momen xung lượng ...................... 21
2.2.1. Bài toán áp dụng.................................................................................... 22
2.2.2. Bài toán tự giải ...................................................................................... 25
2.3. Bài toán áp dụng định lí biến thiên động năng ........................................ 27
2.3.1. Bài toán áp dụng.................................................................................... 27
2.3.2. Bài toán tự giải ...................................................................................... 35
2.4. Bài toán áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ........................................... 37
2.4.1. Bài toán áp dụng.................................................................................... 38
2.4.2. Bài toán tự giải ...................................................................................... 45
2.5. Bài toán áp dụng định luật biến thiên cơ năng ......................................... 47
2.5.1. Bài toán áp dụng.................................................................................... 47
2.5.2. Bài toán tự giải ...................................................................................... 53
KẾT LUẬN .................................................................................................... 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 56


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Bài toán là công cụ đắc lực để vận dụng và nắm chắc được lý thuyết,
đặc biệt nó giúp cho học sinh phát triển tư duy, phát huy kỹ năng tìm tòi sáng
tạo. Nhưng việc lựa chọn bài toán cũng như phương pháp giải nó gặp nhiều
khó khăn. Do vậy, việc tìm tòi và đưa ra một phương pháp để giải một bài
toán nào đó là rất cần thiết.
Trong phần cơ học đã có nhiều tài liệu tham khảo viết về việc giải các
bài toán động lực học, nhưng hầu hết các tài liệu đó đều vận dụng các định luật
Niutơn (tức dùng phương pháp động lực học) để giải, cách này hay, tuy nhiên
trong nhiều bài toán cụ thể thì phương pháp năng lượng tỏ ra hiệu quả hơn.
Bài toán động lực học là bài toán về quan hệ giữa lực, khối lượng và
gia tốc của chuyển động. Trong bài toán động lực học ngoài sự có mặt của các
đại lượng động học như: s,

, vt , a và t còn có sự tham gia của các đại lượng

động lực học như F và m. Về nguyên tắc nếu ta biết cách liên hệ vận tốc, gia
tốc và độ dịch chuyển của vật theo thời gian trong một chuyển động bất kì, thì
giải các bài toán động lực học ta chỉ cần viết các định luật Niutơn, phương
pháp này đơn giản với chuyển động biến đổi đều. Còn trong các trường hợp
khác, tức là lực tác dụng lên vật biến thiên thì việc dùng định luật II Niutơn để
giải bài toán này trở nên khó khăn hơn đặc biệt là trong các chuyển động
cong. Trong trường hợp đó lý thuyết năng lượng giúp chúng ta giải bài toán
một cách thuận tiện hơn.
Ngoài ra với những bài toán động lực học trong đó có sự va chạm giữa
các vật mà nếu dùng định luật bảo toàn động lượng vẫn chưa đủ để giải thì
khi đó phương pháp năng lượng có vai trò quan trọng trong việc giải toán.
Đặc điểm của phương pháp năng lượng là không cần xác định tường
minh tất cả các lực tác dụng lên hệ mà chỉ cần quan tâm tới một số lực nhất
1



định, chẳng hạn như áp dụng định luật biến thiên momen xung lượng ta chỉ cần
xác định các ngoại lực tác dụng lên hệ hay áp dụng định lý biến thiên động
năng ta chỉ cần xác định các lực tác dụng lên hệ thực hiện công…. Do vậy,
phương pháp này thể hiện ưu điểm rõ rệt so với phương pháp động lực học.
Trong quá trình tìm hiểu tôi thấy phương pháp năng lượng có ưu điểm
hơn so với các phương pháp khác. Chính vì vậy tôi đi nghiên cứu để tìm hiểu
sâu hơn nữa về đề tài “Giải bài toán cơ học bằng phương pháp năng lượng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng được hệ thống bài tập và đưa ra phương pháp giải bài tập cơ
bằng phương pháp năng lượng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lại các kiến thức về các định luật bảo toàn và biến thiên để áp
dụng giải bài toán.
Phân loại và đưa ra phương pháp giải các bài toán cơ học bằng phương
pháp năng lượng.
Minh hoạ các phương pháp bằng các bài toán cụ thể.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là các bài toán cơ học.
Các phương pháp năng lượng trong cơ học.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc và tra cứu tài liệu.
Phân loại và giải bài toán.
6. Cấu trúc khoá luận
Chương 1. Cơ sở lý thuyết.
Chương 2. Phân loại bài tập và phương pháp giải.

2



PHẦN NỘI DUNG
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Momen quán tính của vật rắn
Momen quán tính của vật đối với một trục là:
∑
Từ đây ta có thể thấy momen quán tính không phụ thuộc vào trạng thái
của vật nó chỉ xuất hiện khi có momen ngoại lực tác dụng lên vật.
Đối với vật rắn đồng chất có mật độ khối lượng là
∫

thì ta có:

∫

Định lí Stender_Huyghen:
“Momen quán tính I của một vật đối với một trục song song với trục đi
qua khối tâm bằng tổng momen quán tính

của vật đối với trục đi qua khối

tâm đó và tích của khối lượng và bình phương khoảng cách giữa hai trục đó”.

Momen quán tính của một số vật rắn:
+ Đĩa tròn đồng nhất khối lượng m, bán kính R
∫
Phân đĩa thành các vành khăn có bán kính x
và rộng dx.

dx


Diện tích vành khăn là:

x

Gọi dm là khối lượng phân tử vành khăn thì momen quán tính dI của nó
là:

3


Vì đĩa đồng nhất nên khối lượng của các phân tử tỉ lệ với diện tích của
chúng:

Vậy momen của đĩa đối với trục:
∫

+ Hình trụ đặc khối lượng m, bán kính R, quay quanh trục giữa.
∫

∫

Với:
L
(

∫

)

+ Quả cầu đồng nhất khối lượng m, bán kính R quay quanh trục đi qua tâm.

∫(

)

Chuyển sang toạ độ cầu:

∫∫∫(

)

4


∫

∫

∫

)

∫(
1.2. Định lí biến thiên động năng

1.2.1. Định lí biến thiên động năng của chất điểm, hệ chất điểm
Một chất điểm đang chuyển động trên một quỹ đạo bất kì. Dưới tác
dụng của lực ⃗ khi nó ở vị trí 1 trên quỹ đạo, vận tốc của nó là ⃗ và tới vị trí
2 vận tốc là ⃗ . Theo định luật Niuton thứ II, ta viết được:
⃗


⃗

(1)



Nhân hai vế với d s :
⃗

⃗

⃗

⃗

.

⃗

⃗ ⃗

/ (2)

Vì vế thứ nhất có thứ nguyên của năng lượng, nên lượng

ở vế thứ

hai cũng có thứ nguyên của năng lượng.
Lấy tích phân cả hai vế của (2) theo quãng đường đi từ vị trí 1 đến vị trí 2:
(

Lượng

)

∫ ⃗

.

∫

/

(3)

ở vế thứ hai của (3) được gọi là động năng của chất điểm.

Động năng cũng là số đo của chuyển động, nó đặc trưng cho dự trữ năng
lượng của một vật đang chuyển động. Vậy vế thứ hai của (4) là độ biến thiên
động năng của chất điểm trên quãng đường đi từ vị trí 1 đến vị trí 2.

5


Như vậy: ta có thể phát biểu nội dung định lý biến thiên động năng:
“Độ biến thiên động năng của chất điểm trên một quãng đường đi bằng công
của lực tác dụng lên chất điểm trên quãng đường đó”.
1.2.2. Định lí biến thiên động năng của vật rắn
Đối với chất điểm k thì độ biến thiên động năng bằng tổng công nguyên
tố của ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm.
(


)

Vật rắn có thể coi như một hệ chất điểm mà khoảng cách giữa các chất
điểm không thay đổi theo thời gian nên lấy tổng theo tất cả chất điểm của vật
rắn ta có:
∑ (

)

∑

∑

Vì sự biến đổi của vật là liên tục nên có thể thay tổng bằng tích phân.
Lấy tích phân hai vế từ vị trí đầu có động năng

đến vị trí có động năng

ta có:
∫

∑

∑

∑




∑

Độ biến thiên động năng của vật rắn trên một độ rời nào đó bằng tổng
công do tất cả nội lực và ngoại lực tác dụng lên vật.
Đối với vật rắn thì khoảng cách giữa các chất điểm là không đổi suy ra:
Ta có:
⃗

mà độ dịch chuyển giữa các chất

⃗

là không đổi nên:

6


∑



∑



Vậy:
Với vật rắn thì độ biến thiên động năng của hệ bằng tổng công của
ngoại lực tác dụng lên vật.
1.3. Định luật bảo toàn và biến thiên momen động lƣợng
1.3.1. Định luật bảo toàn và biến thiên momen động lƣợng momen động

lƣợng của chất điểm
Để đặc trưng cho chuyển động quay của chất điểm, người ta dùng định
nghĩa momen của chất điểm đối với điểm O là vectơ xác định bằng hệ thức:
⃗



⃗⃗⃗

⃗ (4)

O

Trong đó

⃗
A

là bán kính của vectơ của chất diểm đối với điểm O. Thứ nguyên

của momen động lượng là , (

h 

. Đơn vị của momen động lượng là

⁄ ). Lấy đạo hàm hai vế của (4) đối với thời gian, ta được:
( ⃗ )
Vì


⃗

(

⃗ )

⃗

)

( )

⃗ , và ⃗ cùng giá với ⃗ nên tích vectơ thứ nhất của vế phải

bằng không. Theo định luật Niuton thứ II,
vế phải là ⃗⃗⃗

( 

⃗ .

Do đó (5) viết lại thành:

7

⃗

⃗ nên tích vectơ thứ hai của



⃗⃗⃗
Khi ⃗⃗⃗

thì

( )
. Có thể có hai trường hợp: ⃗

, và

tức là không có lực tác dụng lên chất điểm; hoặc
một lực xuyên tâm, giá của

và

cùng giá tức là

,
là

luôn luôn đi qua điểm O. Vậy “Khi lực tác lên

chất điểm có momen lực bằng 0 đối với một điểm nào đó, thì momen động
lượng của chất điểm đối với điểm đó là không đổi”. Đó là định luật bảo toàn
momen động lượng của chất điểm.
Khi ⃗⃗⃗

, thì ta viết được (6) thành:
⃗⃗⃗


Vectơ ⃗⃗⃗
gian

( )

được gọi là xung lượng của momen lực trong khoảng thời

, nó đặc trưng cho tác dụng của momen lực trong khoảng thời gian đó.

Vậy: “Độ biến thiên momen động lượng của chất điểm đối với một điểm nào
đó trong khoảng thời gian nào đó bằng xung lượng của momen lực đối với
điểm đó trong khoảng thời gian đó”. Đó là định luật biến thiên momen của
chất điểm.
1.3.2. Định luật biến thiên và bảo toàn momen động lượng của hệ chất điểm
Xét hệ gồm n chất điểm, có khối lượng
bán kính vectơ của các chất điểm

,

,…

. Đối với điểm O,

,… . Đối với chất điểm thứ i, ta viết

,

được:
⃗⃗⃗


( )

Trong đó ⃗⃗⃗ là momen đối với điểm O của tất cả các lực tác dụng lên chất
điểm thứ i, bao gồm nội lực và ngoại lực. Lấy tổng từng vế của (8) theo tất cả
các chất điểm của cơ hệ, ta được:

8


∑ ⃗⃗⃗

∑

( )

Vế phải (9) là tổng momen của các nội lực và ngoại lực tác dụng lên cơ
hệ. Ta tính tổng các momen các nội lực. Xét hai chất điểm bất kì 1, 2, lực
tương tác giữa chúng là ⃗ và ⃗

⃗ như hình vẽ:

A

B

h

O

Ta có:

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗ )

Hay:
|⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ |

⃗

⃗

Tổng momen các lực tương tác giữa cặp chất điểm thứ 1 và 2 là một
cặp vectơ triệt tiêu nhau. Đối với mỗi cặp chất điểm trong hệ, ta cũng có kết
quả như vậy. Do đó tổng momen các nội lực bằng 0, và vế phải của (9) là
tổng momen của các ngoại lực.
Vế trái của (9) được viết thành:
∑

⃗


∑

Trong đó ⃗ là momen động lượng của cơ hệ đối với điểm O, ta viết lại được
(9) thành:
⃗
Khi ⃗⃗⃗ (

)

thì

⃗

⃗⃗⃗ (

và ⃗

)

(

)
. Vậy: “Khi momen các ngoại lực

tác dụng lên cơ hệ bằng 0 đối với một điểm nào đó, thì momen động lượng của
9


cơ hệ đối với điểm đó không đổi”. Đó là định luật bảo toàn momen động lượng
của cơ hệ.

Khi ⃗⃗⃗ (

)

, ta viết được (10) thành:
⃗

⃗⃗⃗ (

(

)

)

Vậy: “Độ biến thiên momen động lượng của cơ hệ đối với một điểm nào đó
trong khoảng thời gian nào đó bằng xung lượng của tổng momen các ngoại
lực đối với điểm đó trong khoảng thời gian đó”. Đó là định luật biến thiên
momen động lượng của cơ hệ.
1.3.3. Định luật bảo toàn và biến thiên momen xung lƣợng của vật rắn
Momen xung lượng của chất điểm thứ i đối với trục quay Oz là:
⃗

( ⃗ )

( 

⃗ )

Về độ lớn

Lấy theo cả vật

∑

∑

không đổi đối với mọi chất điểm trên vật. Suy ra:

Với

Vì I>0 nên ta có thể viết:
⃗

⃗⃗

Từ phương trình II Niuton đối với trục quay ta có:
⃗⃗⃗
⃗⃗

⃗⃗⃗

( ⃗⃗ )

Suy ra:
⃗

⃗⃗⃗

Đây là biểu thức của định luật biến thiên momen xung lượng của vật
rắn.


10


“Độ biến thiên momen xung lượng của một vật đối với một trục quay bằng
tổng momen ngoại lực tác dụng lên vật đối với trục quay đó”.
Nếu ⃗⃗⃗



⃗

hay ⃗

Đây là biểu thức của định luật bảo toàn momen xung lượng của vật rắn.
“Khi momen ngoại lực tác dụng lên một vật đối với một trục nào đó bằng
không thì momen xung lượng của vật đối với trục đó được bảo toàn”.
1.4. Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng
1.4.1. Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng của chất điểm
Như ta đã biết một chất điểm chuyển động từ vị trí 1 đến vị trí 2 trong
một trường thế, độ biến thiên động năng của nó bằng công của lực tác dụng.
Công này bao gồm công

()

của các lực thế và công

( )

của các lực khác


không phải lực thế. Ta viết được:
()

(12)

( )

Công của lực thế bằng độ giảm thế năng, nên:
()

( )

(13)

( )

Cộng từng vế của (5) và (6) ta được:
( )

(

(

)

(

)


và

(

( ))

)

(14)

(14.a)

( )

Trong đó:

(

gọi là cơ năng của vật ở vị trí 1 và 2.

Như vậy: “Độ biến thiên cơ năng của chất điểm bằng công của các lực
khác, không phải lực thế, tác dụng lên nó”. Nếu chất điểm chỉ chịu tác dụng
của lực thế hoặc chịu tác dụng của cả các lực không phải lực thế, nhưng công
của các lực không phải lực thế bằng không tức là:

( )

thì ta có:

Đó là định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm: “Khi lực tác dụng lên

chất điểm chỉ là lực thế hoặc chịu tác dụng của các lực không phải lực thế

11


nhưng tổng công của các lực không phải lực thế bằng không, cơ năng của
chất điểm là một đại lượng không đổi”.
1.4.2. Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm
Xét hệ gồm n chất điểm có khối lượng

,

…. Và giả sử chất điểm

thứ i chịu tác dụng của lực thế ⃗ ( ) , các lực khác là ⃗ ( ) .
Theo định luật Niuton thứ II, ta có:
⃗

⃗()

⃗(

)

Nếu hệ chỉ chịu tác dụng của lực thế thì ta có:
⃗

⃗()

Trong khoảng thời gian dt, độ dịch chuyển của chất điểm là

hai vế với độ dịch chuyển

⃗

. Nhân

của chất điểm:

⃗

⃗

⃗()

⃗

⃗

(15)

Vế thứ nhất của (15), theo (2) là vi phân của động năng:
⃗

(

⃗

)

Vế thứ hai là công của lực thế trên độ dịch chuyển

thế năng:
⃗()

⃗

Do đó, đối với chất điểm thứ i, ta viết được:
(16)
Lấy tổng theo tất cả các chất điểm trong cơ hệ:
∑
Vì

và

∑

là những vi phân toàn phần, ta viết được:

12

⃗

, nó bằng độ giảm


(∑
Gọi

∑

∑


)
∑

là động năng của cơ hệ và

là thế năng của cơ

hệ, ta có:
(

)

(17)
(17.a)

Đó là định luật bảo toàn cơ năng của cơ hệ: “Khi một cơ hệ chỉ chịu
tác dụng của những lực thế, cơ năng của hệ là một đại lượng không đổi”.
Nếu cơ hệ còn chịu tác dụng của những lực khác không phải lực thế
⃗ ( ) . Thì ta có:
⃗

⃗()

⃗(

)

Cũng lập luận như trên ta rút ra:
(

Ở đây

( )

)

(18)

( )

là công của các lực khác, không phải lực thế tác dụng

lên cơ hệ trong khoảng thời gian dt, và (

)

là độ biến thiên cơ

năng của cơ hệ trong khoảng thời gian đó. Đó là định luật biến thiên cơ
năng của cơ hệ:
“Độ biến thiên cơ năng của cơ hệ trong một khoảng thời gian bằng công
của các lực khác không phải lực thế tác dụng lên cơ hệ trong thời gian đó”.
1.4.3. Định luật bảo toàn và biến thiên cơ năng của vật rắn
Định luật bảo toàn cơ năng là trường hợp riêng của định luật bảo toàn
năng lượng.
Trước hết ta xét một chất điểm chuyển động trong trường thế, độ biến
thiên động năng của chất điểm bằng tổng công của lực thế và lực không thế
tác dụng lên nó.

13



Mặt khác độ giảm thế năng bằng công của lực thế:
Từ đây ta có:



(

)

(

)

Hay:
Vậy độ biến thiên cơ năng của chất điểm bằng công của lực không thế
tác dụng lên nó.
Vật rắn coi như tập hợp các chất điểm mà khoảng cách giữa chúng
không thay đổi theo thời gian nên lấy tổng theo tất cả các chất điểm của vật
rắn ta có:
∑

∑

∑

Hay:
Trong đó:
+


∑

: Cơ năng của vật rắn ở thời điểm ban đầu.

+

∑

: Cơ năng của vật rắn tại thời điểm sau.

+

∑

: Công của lực không thế tác dụng lên vật.

Đó là biểu thức của định luật biến thiên cơ năng của vật rắn. “Độ biến
thiên cơ năng của vật rắn bằng công của lực không thế tác dụng lên vật”.
Nếu vật rắn chỉ chịu tác dụng của lực thế, có nghĩa

Hay:

14

thì:


Đây là biểu thức của định luật bảo toàn cơ năng của vật rắn. “Khi vật
rắn chỉ chịu tác dụng của lực thế thì cơ năng của nó được bảo toàn”.

Lưu ý:

, trong đó

bao gồm cả động năng của chuyển động

tịnh tiến của khối tâm và động năng của chuyển động quay quanh khối tâm.

15


CHƢƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI
2.1. Bài toán áp dụng định luật bảo toàn momen xung lƣợng
Phƣơng pháp giải
Bước 1: Chỉ ra hệ cần nghiên cứu và các ngoại lực tác dụng lên hệ.
Bước 2:
+ Chọn điểm tính momen và chiều quay dương.
+ Chỉ ra momen ngoại lực đối với hệ đang xét có giá trị bằng không.
+ Tính momen xung lượng của hệ tại các thời điểm thích hợp.
Bước 3: Viết biểu thức định luật bảo toàn momen xung lượng và các
phương trình theo giả thiết (nếu có).
Bước 4: Giải hệ phương trình vừa thiết lập.
Bước 5: Biện luận kết quả (nếu có).
2.1.1. Bài toán áp dụng
Bài 1: Một người đứng ở ghế Giucốpski sao phương của trọng lực tác dụng
lên người trùng với trục quay của ghế. Hai tay người đó dang ra cằm hai quả
tạ, mỗi quả có khối lượng 2kg. Khoảng cách giữa hai quả tạ là 1,6m. Cho hệ
người và ghế quay với vận tốc góc không đổi 0,5 vòng/s.
Hỏi vận tốc góc của ghế và người nếu người đó co tay lại để khoảng
cách giữa hai quả tạ là 0,6m. Cho biết momen quán tính của người và ghế

(không kể tạ) là 2,5 kg/

.
Bài giải:

Vì hệ ngoại lực gồm các lực song song với trục quay nên momen ngoại
lực tác dụng lên hệ ở đây bị triệt tiêu.
Do đó, theo định luật bảo toàn momen động lượng, momen động lượng
của hệ được bảo toàn nghĩa là:

16


Momen động lượng của hệ khi người dang tay bằng momen động
lượng khi người co tay lại:
(1)
Trong đó:

là momen quán tính của hệ khi người dang tay bằng:
. /

(2)

là momen quán tính của hệ khi người co tay bằng:
. /

(3)

Từ (1), (2) và (3) ta rút ra:
. /

. /
Thay số vào, ta có:
.

/

.

/

(

)

Vậy khi người co tay, hệ quay nhanh hơn.
Bài 2: Một đĩa tròn đồng chất, trọng lượng là Q, bán kính R quay được quanh
một trục thẳng đứng AB đi qua tâm đĩa và vuông góc với đĩa. Trên vành có
một chất điểm M có trọng lượng P. Đĩa quay quanh trục với vận tốc góc

.

Tại một thời điểm nào đó chất điểm chuyển động theo vành đĩa với vận tốc
z
tương đối so với đĩa là u. Tìm vận tốc góc đĩa lúc đó.
B
Bài giải:
O
u
A


17

⃗


Khảo sát cơ hệ gồm đĩa và chất điểm M. Đĩa có thể quay quanh trục cố
định z thẳng đứng, còn chất điểm M chuyển động trên mặt đĩa theo đường
tròn tâm O, bán kính OM (chuyển động tương đối) với vận tốc u và cùng
quay với đĩa quanh trục z (chuyển động theo).
Các ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực ⃗ và ⃗ và các phản lực tại
các ổ trục A và B.
Vì hệ ngoại lực gồm các lực song song và cắt trục z ta có:
⃗

⃗⃗⃗
( ) (1)

Trong đó:
+

( ) là momen động lượng của hệ theo trục z ở thời điểm ban đầu.

+

là momen động lượng của hệ theo trục z ở thời điểm bất kì.
Giả sử ở thời điểm ban đầu chất điểm nằm yên trên đĩa và cùng quay

quanh trục z theo chiều dương với vận tốc góc

.


Momen động lượng của hệ lúc đó là:
( )

( )

( )

Trong đó:
+

( )

. Là momen động lượng của đĩa theo trục z ở thời

điểm ban đầu.
+

( )

. Là momen động lượng của chất điểm

theo trục z ở thời điểm ban đầu.
( )

(

)

( )


Khi chất điểm chuyển động đối với đĩa với vận tốc u (theo chiều dương
của z) thì đĩa sẽ quay quanh trục z với vận tốc góc là

18

cùng theo chiều dương.


Suy ra ta có momen động lượng của hệ theo trục z ở thời điểm bất kì là:
Trong đó:
. Là momen của đĩa theo trục z ở thời điểm bất kì.

+
(

+

). Là momen của chất điểm theo trục z ở thời

điểm bất kì.
(

)

( )

Thay (2) và (3) vào (1) ta được:
(


)

Bài 3: Một bánh đà có dạng hình trụ đồng chất có khối lượng M bán kính R
quay quanh trục cố định nằm ngang. Một sợi dây cuốn quanh bánh đà đầu kia
của sợi dây buộc vật nặng có khối lượng m. Quả nặng được nâng lên rồi
buông cho rơi xuống (hình vẽ). Sau khi rơi được độ cao h quả nặng bắt đầu
làm căng dây và làm quay bánh đà. Tính vận tốc góc của bánh đà tại thời
điểm này?
Bài giải:
Khi nâng vật lên rồi thả cho nó rơi. Trước khi dây
căng vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực là lực thế. Do đó
⃗

cơ năng của vật được bảo toàn.
R

Chọn gốc tính thế năng tại thời điểm mà vật làm
⃗

cho dây căng

⃗

Ta có:

Trong đó:

O

là vận tốc của vật ngay trước lúc dây căng.

19

⃗

⃗


( )

√



Lúc dây căng lực căng ⃗ làm quay bánh đà.
Xét hệ gồm vật và bánh đà ngoại lực tác dụng lên vật gồm trọng lực và
phản lực tại điểm treo ròng rọc.
Chọn O làm điểm tính momen ta có:
⃗⃗⃗
 ⃗⃗⃗

[⃗ ⃗ ]

(với chiều quay hướng ra ngoài mặt giấy)

Những do tương tác giữa vật và bánh đà xảy ra rất ngắn


⃗

⃗⃗⃗


⃗

⃗

( )

Ta có:
⃗
⃗

,
,

⃗ ⃗ -

⃗⃗

Theo (2) ta có:
,

⃗ -

,

⃗ -

⃗⃗

Chiếu theo chiều quay ta được:




Ta có:
Từ (1) suy ra:
√
√



(
)
Nhận xét: Trong bài toán này momen động lượng của hệ biến thiên.
Nhưng thời gian tương tác xảy ra ngắn thì ta coi momen động lượng của hệ
trong thời gian đó bảo toàn.
20