TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

LẠI THỊ DƢƠNG

TÍNH TỔNG TRẠNG THÁI
CỦA MỘT SỐ HỆ VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS. TS Lƣu Thị Kim Thanh

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, bằng tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn cô
giáo, PGS. TS Lƣu Thị Kim Thanh, người đã hướng dẫn và tận tình chỉ bảo
cho em trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý,
trường đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt cho em những kiến thức quý
báu trong suốt bốn năm học vừa qua.
Cuối cùng em xin cảm ơn đến tất cả bạn bè, những người đã giúp đỡ,
động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thiện khóa luận này.

Hà Nội, 05 năm 2015
Sinh viên
Lại Thị Dƣơng

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên
cứu. Bên cạnh đó, em nhận được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô
giáo trong khoa Vật lý. Đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của cô giáo, PGS.TS
Lƣu Thị Kim Thanh.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em có nghiên cứu một số
tài liệu ghi trong mục tài liệu tham khảo.
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong đề tài “Tính tổng trạng
thái của một số hệ vật lý” của mình không có sự sao chép, trùng lặp với bất cứ
đề tài nào khác.

Sinh viên
Lại Thị Dƣơng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 1
3. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................. 1
4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 1
5. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
CHƢƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA THỐNG KÊ .................. 3
1.1. Xác suất nhiệt động .................................................................................... 3
1.2. Phương pháp Gibbs .................................................................................... 4
1.3. Không gian pha .......................................................................................... 6
1.4. Xác suất trạng thái ...................................................................................... 7
1.5. Định lí về sự bảo toàn thể tích pha............................................................. 9

Kết luận chương 1 ........................................................................................... 13
CHƢƠNG 2: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI TRONG THỐNG KÊ CỔ
ĐIỂN ............................................................................................................... 14
2.1. Tích phân trạng thái của hệ đẳng nhiệt .................................................... 14
2.2. Tích phân trạng thái của hệ có số hạt thay đổi ......................................... 17
2.3. Biểu thức của các hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái ................... 18
2.4. Áp dụng tích phân trạng thái để khảo sát khí lí tưởng ............................. 20
2.5. Áp dụng tích phân trạng thái để khảo sát khí thực .................................. 24
Kết luận chương 2 ........................................................................................... 28
CHƢƠNG 3: TỔNG TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ HỆ VẬT LÍ
LƢỢNG TỬ ................................................................................................... 29
3.1.Tổng trạng thái của hệ các hạt lượng tử .................................................... 29
3.2. Tổng trạng thái của các hệ dao động tử và rôtato lượng tử ..................... 33
3.2.1.Tổng trạng thái của hệ dao động tử........................................................ 33


3.2.2. Tổng trạng thái của rôtato lượng tử ...................................................... 35
Kết luận chương 3 ........................................................................................... 36
KẾT LUẬN .................................................................................................... 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 38


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý lí thuyết là một ngành của vật lý học ra đời khi phương pháp toán học
ngày càng được áp dụng phổ biến trong vật lý.
Vật lý thống kê là một bộ môn của vật lý lí thuyết áp dụng các phương
pháp thống kê để giải quyết các bài toán liên quan đến các hệ chứa một số rất
lớn những phân tử có số bậc tự do cao đến mức không thể giải thích chính xác
bằng cách theo dõi các phân tử mà phải giả thiết các phân tử đó có tính hỗn

loạn và tuân theo các quy luật thống kê.
Trong phần áp dụng phân bố chính tắc vào việc nghiên cứu tính chất của
các hệ thực có đề cập đến một khái niệm đặc biệt quan trọng đó là tích phân
trạng thái (hay tích phân thống kê) nhờ đó ta có thể tìm được một loạt các đại
lượng đặc trưng cho một hệ vật lý bất kì. Tích phân trạng thái phản ánh trạng
thái nội tại của hệ bởi vì phép tích phân được thực hiện theo tất cả các trạng
thái vi mô của hệ.
Với vốn kiến thức của mình tích lũy được trong 4 năm đại học tôi muốn tìm
hiểu sâu sắc hơn về tích phân trạng thái.
Vì vậy tôi chọn đề tài làm luận văn tốt nghiệp là “ Tính tổng trạng thái của
một số hệ vật lý”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sâu sắc hơn về tổng trạng thái.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Tổng trạng thái trong vật lý thống kê.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp vật lý lí thuyết và phương pháp toán học.

1


5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Xây dựng được các công thức tính tích phân trạng thái và tổng trạng thái của
một hệ vật lý.

2


CHƢƠNG 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA THỐNG KÊ

Vật lý thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa đặc tính vĩ mô của hệ mà ta khảo
sát với các đặc tính và quy luật chuyển động của các hạt mà đối với hệ nhiều
hạt xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luật thống kê, do đó phương pháp
của vật lý thống kê là phương pháp dựa trên lý thuyết xác suất.[1][3]
Đối với hệ ít hạt và hệ nhiều hạt nó tuân theo các quy luật khác nhau đó là
quy luật động lực và quy luật thống kê.
Quy luật động lực: là quy luật dựa vào giá trị đã cho một cách chính xác một
số đại lượng đặc trưng cho một quá trình hay một hiện tượng nhất định. Ta sẽ
tính được giá trị của một số đại lượng khác nhau nhờ việc giải hệ phương
trình Hamintơn và quy luật chỉ có giá trị với hệ ít hạt.
Quy luật thống kê: là quy luật khách quan của hệ nhiều hạt, tính cách của hệ
nhiều hạt tại thời điểm xét hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái lúc
trước.
Quy luật tính thống kê không thể quy về quy luật tính động lực vì tính chất
thống kê mất hết mọi nội dung khi ta xét một hạt riêng lẻ hay một số ít hạt
chuyển động hay tương tác theo định luật cơ học, chỉ trong các hệ nhiều hạt
mới có biểu hiện các quy luật hiện tượng mới về tính chất. Nhưng nếu các
định luật chuyển động của các hạt riêng lẻ thay đổi hoặc nếu ta chuyển từ loại
hạt này sang loại hạt khác thì tính chất của toàn bộ hệ vĩ mô sẽ thay đổi. Từ
các phân tích trên ta thấy rằng hai quy luật này độc lập nhau nhưng vẫn phụ
thuộc qua lại lẫn nhau.
1.1. Xác suất nhiệt động
Ngoài cách mô tả vi mô các trạng thái của hệ vật lý là cách mô tả trong đó
thực tế là ta cần phải biết một số rất lớn các thông số là các tọa độ và vận tốc
của các hạt cấu thành hệ còn có cách mô tả khác là cách mô tả vĩ mô.

3


Tùy thuộc ta xét theo quan điểm vĩ mô hay quan điểm vi mô mà ta phân biệt

trạng thái vĩ mô và trạng thái vi mô của hệ.
Trạng thái vĩ mô là trạng thái được xác định bởi các thông số vĩ mô như
nhiệt độ, áp suất,... tức là các thông số đo được trong các thí nghiệm vĩ mô
thông thường và nó chỉ có ý nghĩa nhất định đối với thế giới vĩ mô.
Trạng thái vi mô là trạng thái xác định bằng các thông số vi mô tức là các
tọa độ và xung lượng của các hạt cấu thành hệ và chúng chỉ có ý nghĩa đối với
thế giới vi mô.
Xác suất nhiệt động mỗi một trạng thái vĩ mô của hệ đều tương ứng với một
số rất lớn các trạng thái vi mô, đồng thời các trạng thái vi mô đó của hệ biến
đổi một cách liên tục. Điều đó có nghĩa là mọi thông số vĩ mô bất kì F đều là
hàm của các thông số vi mô.
F = F(q1....q3N,p1....p3N,t)
Các trạng thái vĩ mô khác nhau tương ứng với các số lượng khác nhau các
trạng thái vi mô. Và một trạng thái vĩ mô sẽ là càng bền, nếu như số trạng thái
vi mô tương ứng với nó mà hệ có thể thực hiện được là càng lớn.
Dựa vào quan niệm đó người ta đưa vào xác suất nhiệt động của trạng thái vĩ
mô. Xác suất nhiệt động WT của một trạng thái vĩ mô nhất định của hệ là số
trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô đó, tức là số trạng thái vi mô
mà hệ có thể thực hiện được, tương thích với điều kiện bên ngoài đã cho. Từ
định nghĩa trên xác suất nhiệt động không giống như xác suất toán học mà
được biểu thị bằng một số luôn luôn lớn hơn đơn vị rất nhiều.
WT>>1
1.2. Phƣơng pháp Gibbs
[2]Ta biết rằng mọi thông số vĩ mô bất kì F đều là hàm của các thông số vi
mô vì vậy trong trường hợp tổng quát nó biến thiên liên tục với thời gian. Tuy
nhiên trong bất kì một thí nghiệm vật lí nào, ta cũng đều đo không phải là giá
trị tức thời của các đại lượng vật lý mà là đo các trị trung bình theo thời gian.
Thực vậy để tiến hành đo đạc một đại lượng nào đó như áp suất chẳng hạn ta

4



cần một khoảng thời gian t nào đó và trị số đo được là trị trung bình của F
theo thời gian t
t

Ft

1
F (q1 ,...q3 N , p1 ....p3 N , t )dt
t0

Tức là trị trung bình của F được lấy theo các trạng thái vi mô khả hữu của
hệ. Nhưng việc tìm trị trung bình theo thời gian trong trường hợp tổng quá
không thể tiến hành được bởi vì ta không biết được sự phụ thuộc của 6N
thông số vi mô vào thời gian tức là ta không thể theo dõi tất cả những biến đổi
của trạng thái vi mô với thời gian.
Để giải quyết khó khăn đó Gipxơ đã đề xuất ra phương pháp nổi tiếng gọi là
phương pháp Gipxơ.
Cơ sở của phương pháp Gipxơ: là thay việc khảo sát sự biến đổi của hệ đã cho
với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự với hệ đã cho
gọi là tập hợp thống kê.
Tập hợp thống kê: là một tập hợp các hệ, tương tự với nhau có số lượng và
loại hạt như nhau và ở trong những điều kiện vĩ mô giống nhau và ở trong các
trạng thái vi mô khả hữu khác nhau. Đồng thời phải đảm bảo rằng mỗi một hệ
trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi dành
cho các hệ tương tự khác, tức là sẽ lần lượt ở trong các trạng thái vi mô dành
cho mọi hệ tương tự trong tập hợp, đó là nội dung của cái gọi là giả thuyết
écgôđíc. Tuy nhiên có thể thừa nhận một cách gần đúng rằng mọi hệ trong tập
hợp thống kê sẽ lần lượt ở trong những trạng thái vi mô rất gần giống với

những trạng thái vi mô của các hệ khác, đó là giả thiết chuẩn écgôđíc và các
hệ đó được gọi là các hệ chuẩn écgôđíc.
Giả thiết chuẩn écgôđíc: trị trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng
trị trung bình theo tập hợp thống kê. Như vậy trong phương pháp cơ bản của
vật lí thống kê một vấn đề được đặt ra là làm sao tính được trị trung bình theo
tập hợp, muốn vậy ta phải tìm được tập hợp xác suất hay hàm phân bố thống
kê của hệ. Để giải quyết vấn đề này Gipxơ đã dựa vào cách biểu diễn hệ trong
không gian pha để đưa vào mật độ xác suất.

5


1.3. Không gian pha
[4] Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều hạt với thời gian
người ta đưa vào một không gian quy ước gọi là không gian pha, đồng thời
các tọa độ của không gian đó chính là các thông số độc lập xác định trạng thái
vi mô của hệ (tức là các tọa độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấu
thành hệ). Phương pháp đó phải coi là rất thuận tiện về mặt nguyên tắc vì
rằng, việc mô tả tính chất của hệ nhiều hạt trong không gian thực ba chiều gặp
phải những khó khăn rất lớn.
Mặt khác, đối với tất cả các hệ vật lí thực,không gian pha là không gian
nhiều chiều. Chẳng hạn như, không gian pha của một phân tử khí lí tưởng đơn
giản nhất là không gian 6 chiều; đối với phân tử hai nguyên tử có 5 bậc tự do
không gian pha là mười chiều; còn đối với một hệ phức tạp nói chung là 2fN
chiều với f là số hạt tự do của một hạt trong hệ, N là số hạt trong hệ.
Trong vật lí thống kê người ta thường xét hai loại không gian pha:
Không gian

là không gian của hệ 1 hạt.


Không gian K là không gian của hệ nhiều hạt.
Các yếu tố cơ bản của không gian pha.
Điểm pha
Trạng thái của hệ được xác định bởi tất cả các giá trị của tất cả các tọa
độ và xung lượng suy rộng của các hạt cấu thành hệ được biểu diễn
trong không gian pha bằng một điểm gọi là điểm pha.
Quỹ đạo pha
Khi trạng thái của hệ biến đổi với thời gian, điểm pha sẽ chuyển động
và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha.
Bởi vì các phương trình Hamintơn luôn luôn xác định một các đơn trị tính
chất của hệ, nên từ đó suy ra rằng, các quỹ đạo pha của hệ không thể cắt nhau
trong không gian pha.
Siêu diện năng lượng
Nếu xét một hệ cô lập thì đối với hệ đó năng lượng toàn phần là không
đổi nghĩa là

6


E = E(q1,q2,..p1,p2,...) = const
Điều kiện đó có thể xem như một phương trình liên hệ tất cả các thông số
vi mô của trạng thái, và trong không gian pha nó là phương trình của một mặt
nào đó gọi là siêu diện năng lượng hay mặt năng lượng trong không gian pha.
Thể tích pha
Sau này ta sẽ xét không phải là 1 hệ mà là một tập hợp hệ và sự phân bố
của các điểm pha của chúng trong không gian pha vì vậy người ta đưa vào
quan niệm thể tích pha.
dV = dx.dy.dz
Để thuận tiện cho việc nghiên cứu sự phân bố của các hệ ta chia không
gian pha ra thành các thể tích nguyên tố đồng thời tương tự như thể tích của

hình hộp 3 chiều độ lớn của mỗi thể tích đó được biểu thị như sau
dX = dq1,dq2,....,dqfN,dp1.dp2...dpfN
trong đó tất cả các dqk và dpk biểu thị các khoảng đủ nhỏ của các thông số
trạng thái.

1.4. Xác suất trạng thái
Trong không gian pha K trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê được
biểu diễn bằng một điểm pha điểm pha này gọi là điểm biểu diễn pha của hệ
đó. Các điểm biểu diễn pha của hệ đó chuyển động trong không gian pha và
vạch ra các quỹ đạo pha, đồng thời mỗi điểm dịch chuyển một cách độc lập
với sự tồn tại của các điểm khác.[3]
Xét một thể tích nguyên tố dX của một không gian pha bao quanh một điểm
pha nào đó. Ở thời điểm t đang xét, có một số hệ trong tập hợp thống kê có
điểm biểu diễn pha của mình nằm trong thể tích nguyên tố dX đó, đó là các
điểm biểu diễn pha mà quỹ đạo của chúng gặp dX ở thời điểm t.
Một cách tổng quát ta có thể coi rằng số lượng dn của các hệ trong tập hợp
thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong thể tích nguyên tố dX của
không gian pha sẽ tỉ lệ với độ lớn dX của thể tích đó

7


dn =

dX

f q1 , q2 .... p1 , p2 ....t
f X , t được gọi là mật độ phân bố các hệ, nó
trong đó
chỉ rõ số lượng các hệ có điểm biểu diễn pha ở trong một đơn vị thể tích pha.

Bởi vì các hệ trong tập hợp thống kê đều bình đẳng như nhau cho nên nếu gọi
n là số hệ trong tập hợp thống kê thì theo lí thuyết xác suất để một hệ nào đó
trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha rơi vào trong thể tích nguyên tố
dX sẽ là
dn
n

dW

n

dX

( X , t )dX

Trong đó hàm ( X , t ) được gọi là mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống
kê và nó thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
dW

( X , t )dX

1 (1.1)

(X )

Xác suất để hệ thực hiện mà ta xét ở trong một trạng thái vi mô nào đó, đặc
trưng bằng một tập hợp các giá trị của các biến số X nằm trong khoảng dX sẽ
bằng
dW


( X , t )dX

trong đó ( X , t ) là hàm phân bố thống kê thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. Như
vậy mỗi trạng thái vi mô của hệ mà ta khảo sát được đặc trưng bằng một xác
suất dW. Điều đó là hoàn toàn dĩ nhiên. Thực vậy khi hệ nằm trong một trạng
thái vĩ mô nào đó ta chỉ có thể biết được một số ít biến số thôi, đó là các thông
số vĩ mô đo được trong thí nghiệm chúng là hàm của các biến số vi mô X:
Fk = Fk(X)
Với k = 1,2,...,m mà m <Do đó dù biết tất cả các thông số vĩ mô ta cũng không thể xác định tất cả các
biến số X có nghĩa là từ các phép đo vĩ mô ta chỉ có thể dự đoán một cách
thống kê về các giá trị của các biến số vi mô X tức là về các trạng thái vi mô
mà thôi.

8


Biết hàm phân bố ( X , t ) ta có thể tìm được trung bình thống kê của một đại
lượng vật lí bất kì F(X) theo công thức
F

F ( X )dW
(X )

F ( X ) ( X , t )dX (1.2)
(X )

Trong đó tích phân lấy theo toàn bộ khoảng biến thiên của các biến số X. Ở
đây và sau này ta luôn luôn nhớ rằng các tích phân thuộc loại (1.1) và (1.2) là
các tích phân nhiều lớp bởi vì

dX = dq1,dq2,....dp1,dp2,....,
đó là các tích phân 2fN lớp với fN là số bậc tự do của hệ.

1.5. Định lí về sự bảo toàn thể tích pha
Định lí Liouville [3]
Trong không gian pha, với thời gian, tập hợp các điểm biểu diễn pha
chuyển từ thể tích này sang thể tích khác. Giả sử ở một điểm nào đó ta
tách ra một thể tích dX1 trong đó chứa dn 1dX 1 điểm biểu diễn pha của
các hệ trong tập hợp thống kê. Sau một khoảng thời gian nào đó số các
điểm biểu diễn pha đó sẽ chuyển sang thể tích dX2 ở đó mật độ phân bố
là 2 . Khi đó hiển nhiên là
dn
(1.3)
1 dX 1
2 dX 2
Đẳng thức (1.3) đưa ta đến ý nghĩ rằng, sự chuyển động của các điểm
biểu diễn pha của hệ trong không gian pha cũng có thể coi tương tự như
chuyển động của chất lỏng. Vì vậy, ta hãy tạm thời quên không gian
pha và xét phương trình liên tục của chất lỏng thông thường.
Ta hãy tưởng tượng tách ra trong chất lỏng chuyển động một nguyên
tố thể tích cố định có dạng hình hộp, với các cạnh là dx, dy và dz (hình
1) Giả sử chất lỏng chảy vào thể tích này qua bề mặt gần gốc tọa độ và
sau đó chảy qua bề mặt khác. Khi đó khối lượng chất lỏng chảy vào
nguyên tố thể tích theo hướng của trục y trong thời gian dt là bằng
v y dtdxdz trong đó là khối lượng riêng của chất lỏng và là hàm của
tọa độ và thời gian; vy là hình chiếu của vận tốc trên trục Oy. Cũng

9

trong thời gian trên khối lượng chất lỏng chảy ra qua bề mặt song song
với bề mặt trước và theo hướng trục y là

vy

vy

y

dy dtdzdx

Z

dz
dx

y

dy

Ở đây ta đã coi rằng các giá trị và vy đều thay đổi trên đoạn dy. Kết quả là
x
còn dư một khối lượng
chất lỏng bằng hiệu 2 khối lượng nói trên
vy
y

dxdydzdt

Tương tự đối với các trục khác tìm được khối lượng chất lỏng dư ra tổng cộng

khi nó chảy vào chảy ra khỏi nguyên tố thể tích theo cả 3 trục
vy

vx
x

vz
z

y

dxdydzdt

Nhưng khối lượng chất lỏng dư ra đó đúng bằng độ biến thiên của khối
lượng chất lỏng trong nguyên tố thể tích trong khoảng thời gian dt nghĩa là
bằng
t

dtdxdydz

So sánh 2 biểu thức đó ta rút ra phương trình liên tục đối với chất lỏng

t

vx
x

vy
y

vz
x

10

=0


Trở lại không gian pha, ta có thể viết được một phương trình tương tự bởi
vì có một sự tương tự hình thức giữa chuyển động của các điểm biểu diễn pha
với chuyển động của chất lỏng thực. Có nghĩa là đối với không gian pha K ta
có thể lặp lại những lập luận giống như trên. Muốn vậy trong không gian pha
ta đưa vào khái niệm vận tốc pha, đó là một vectơ có các thành phần là
q1,q2...p1,p2... và nó chính là vận tốc của các điểm biểu diễn pha. Đối với hệ
thực có fN bậc tự do, ta được phương trình tổng quát sau đây
fN

t

qk
qk

k 1

pk
pk

0

Trong đó là mật độ phân bố của các điểm biểu diễn pha. Thực hiện phép

tính vi phân của tích trong dấu ngoặc ta được

t

qk

pk

qk

k

pk

k

qk
qk

pk
pk

0

Tổng của hai số hạng đầu là đạo hàm toàn phần của hàm theo thời gian (coi
như là hàm của qk,pkvà t ) nghĩa là
d
dt

t

qk
k

qk

pk

pk

Và vì vậy ta có phương trình
d
dt

qk
qk

k

pk
pk

0

Nếu hệ thực mà ta xét là hệ bảo toàn áp dụng phương trình Hamintơn
H
qk
qk

pk

Ta có
k

qk
qk

pk
pk

H
pk

0 và do đó ta tìm được phương trình sau đây

11


d
dt

0

Hệ thức trên có ý nghĩa vật lí: “sự phân bố các hệ trên những trạng thái là
không đổi theo thời gian”
Tóm lại định lí Liouville cho biết rằng tập hợp thống kê tương ứng với trạng
thái cân bằng là tập hợp
const trong không gian pha tức là các trạng thái
khả dĩ là đồng xác suất. Điều này hoàn toàn phù hợp với tiên đề cơ bản của
vật lí thống kê.

Kết quả cuối cùng này có thể phát biểu như là nguyên lí của sự bảo toàn thể
tích nguyên tố pha, cụ thể là: khi các hệ (tức là các điểm biểu diễn pha của các
hệ) chuyển động trong không gian pha các thể tích nguyên tố giữ không đổi
về độ lớn và chỉ có thể thay đổi về dạng. Đó chính là định lí Liouville
Suy rộng các kết quả thu được, ta có thể nói rằng tập hợp pha chuyển động
trong không gian pha với mật độ phân bố không đổi nhưng có thể bị biến
dạng. Giá trị căn bản của định lí Liouville là: nhờ nó ta đã chứng minh được
giả thiết nói rằng số lượng dn của các hệ có điểm biểu diễn pha nằm trong thể
tích nguyên tố dX là tỉ lệ với dX.
Phương trình Liouville
Phương trình d

0 còn

dt

có thể viết dưới một dạng khác. Ta có

n

do đó ta

tìm được
d
dt

t
t

Hay

qk

t

k

H,

H,

qk

pk

pk

t

k

H
pk qk

H
qk pk

0

(1.5)

Với H , là dấu ngoặc Poátxông. Phương trình (1.5) thường được gọi là
phương trình chuyển động của tập hợp pha thống kê, nó đóng vai trò chủ đạo

12


trong việc giải quyết các vấn đề của lí thuyết thống kê vè các quá trình không
cân bằng. Người ta gọi phương trình (1.5) là phương trình Liouville.

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Nội dung chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản của thống kê như: xác suất
nhiệt động, phương pháp Gibbs, không gian pha, xác suất trạng thái và định lí
về sự bảo toàn thể tích pha, đây là những cơ sở để xây dựng lí thuyết thống kê
nói chung và tổng trạng thái nói riêng.

13


CHƢƠNG 2
TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI TRONG THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN

2.1. Tích phân trạng thái của hệ đẳng nhiệt
[3] Ta xét hệ đẳng nhiệt tức là hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt. Giả sử hệ
mà ta muốn khảo sát C1 và hệ điều nhiệt C2 có các số hạt tương ứng là N1, N2
và được diễn tả bằng biến số chính tắc X1 và X2, đồng thời
N1<< N2

(2.1)

Ta có thể coi hệ chung bao gồm 2 hệ đó là một hệ cô lập đoạn nhiệt do đó hệ
chung có phân bố vi chính tắc
1
(E)

( X1, X 2 )

(2.2)

E H X1, X 2

trong đó hàm Haminton của hệ chung bao gồm các hàm Haminton của cả 2 hệ
con cộng với năng lượng tương tác U12
H(X1,X2) = H(X1) + H(X2) + U12(X1,X2)

(2.3)

hiển nhiên là hàm phân bố mà ta xét C1 sẽ bằng
X1

(2.4)

X1 , X 2 dX 2
X2

Để tìm

X1 trong trường hợp tổng quát người ta dựa vào 3 giả thiết sau:

1. Một là ta sẽ coi rằng năng lượng của hệ C1 và C2 luôn luôn lớn hơn

năng lượng tương tác U12 rất nhiều. Tức là
U12(X1,X2) = 0
(2.5)
2. Hai là ta giả thiết rằng khi N1 + N2 = N
thì tồn tại một giới hạn:
E
N

3
2

(2.6)

const

3. Ba là khi tìm công thức cho

X1 ta sẽ coi rằng

H1(X1) << E

(2.7)

14


tức là ta chỉ xét những trạng thái mà ở đó năng lượng của hệ là rất nhỏ
so với năng lượng toàn phần của hệ điều nhiệt. Nói khác đi biểu thức
mà ta tìm được cho X1 sẽ chỉ đúng khi (2.6) được thỏa mãn.
Để tìm được

X1 ta tiến hành như sau. Ta chia hệ mà ta muốn khảo sát C1

ra làm 2 phần C1’ và C1’’. Các hàm phân bố

X1 ' và

X 2 ' đối với 2 hệ

con đó sẽ phụ thuộc vào năng lượng toàn phần của từng hệ con
X1 '

f H1 ' X 1 ''

X 1 ''

f H1 '' X 1 ''

Năng lượng toàn phần của hệ đẳng nhiệt mà ta khảo sát bằng tổng của các
năng lượng toàn phần của cả 2 hệ con và năng lượng tương tác giữa chúng
H1(X1) = H1’(X1’) + H1’’(X1’’) + U12’
Nếu như các hệ con C1’ và C1’’ là đủ lớn (tức là các hệ vĩ mô) thì tương tự
như giả thiết thứ nhất ở trên, ta có thể coi năng lượng tương tác U12’ giữa 2 hệ
con là rất nhỏ so với năng lượng toàn phần của các hệ con H1’ và H1’’ nghĩa
là ta có thể viết
H1(X1) = H1’(X1’) + H1’’(X1’’)
Do đó ta có thể coi 2 hệ con đó là độc lập đối với nhau và có thể vận dụng
định lí nhân xác suất, có nghĩa là ta có
f H1 ' H1 '' dx1 ' dx1 ''

hay là

f H1 ' H1 ''

f (H1 ')dx1 ' H1 '' dx1 ''

f H1 ' f H1 ''

từ đó bằng cách lấy lôgarít và sau đó lấy tích phân ta được
dlnf(H1’ + H1’’) = dlnf(H1’) + dlnf(H1’’)
hay

[lnf(H1’+H1’’)](dH1’ + dH1’’) = [lnf(H1’)]dH1’ + [lnf(H1’’)]dH1’’

coi rằng dH1’ và dH1’’có thể tiến đến 0 một cách độc lập, ta tìm được
[lnf(H1’ + H1’’)] = [lnf(H1’)]’ = [lnf(H1’’)]’’ = -

15


trong đó là một hằng số nào đó, bởi vì các đạo hàm của các hàm số với các
đối số khác nhau chỉ có thể bằng nhau khi chúng là hằng số
Lấy tích phân đẳng thức đó ta có
f H

D exp

H

Hiển nhiên rằng, từ điều kiện khi chuẩn hóa,

1

,D

, với

exp

f H

phải là số dương. Đặt

0 ta có
H

exp

với

và là các hằng số

Thông số được gọi là môđun của phân bố chính tắc còn đại lượng
xác định từ điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố
( X )dX

exp

X

,a

H ( X , a)

dX

được

1 (2.8)

X

Từ đó
ln exp

H ( X , a)

dX

ln Z ( , a)

(2.9)

X

Đại lượng
Z ( , a)

exp

H X,a

dX

(2.10)

X

được gọi là tích phân trạng thái( hay tích phân thống kê).
Nếu hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau thì các phép chuyển vị khác nhau của
các hạt đó sẽ không đưa đến một trạng thái vi mô nào đó, mặc dù chúng sẽ
được biểu diễn bằng các điểm khác nhau của không gian pha. Vì vậy đối với
các hệ gồm các hạt đồng nhất như nhau ta phải loại trừ tất cả các điểm của
không gian pha tương ứng với các phép chuyển vị khác nhau của các hạt. Bởi
vì với N hạt có thể thực hiện N! phép chuyển vị cho nên không gian pha của
hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau phải giảm N! lần. Khi đó phân bố chính tắc
được viết dưới dạng

16


(X )

,a

1
exp
N!

H X,a

(2.11)

2.2. Tích phân trạng thái của hệ có số hạt thay đổi
[3] Đối với hệ có số hạt thay đổi, trong nhiệt động lực học người ta đưa vào
thế hóa học biểu thị năng lượng tự do như sau

N

V ,T

Từ định nghĩa của thế hóa học, bằng cách lấy tích phân bất định theo N, ta
suy ra
N

trong đó

(2.12)

( ,V , T )

là một thế nhiệt động mới.

Ở một thời điểm nào đó, hệ có số hạt thay đổi chứa một số hạt nhất
định.Nhưng ở thời điểm tiếp sau, số hạt trong hệ sẽ thay đổi. Ta biết rằng một
hệ có một số nhất định N các hạt đồng nhất như nhau sẽ nghiệm đúng phân bố
chính tắc, cụ thể là sự phân bố của hệ đó có dạng
dW X

1
exp

N!

H
dX
kT

1
exp
N!

N
kT

H

dX

trong không gian pha 6N chiều.
Đối với hệ có số hạt nhất định N’ khác ta có phân bố chính tắc
dW ' X '

1
exp
N '!

N
kT

H

dX '

trong không gian pha 6N chiều. Tập hợp pha chính tắc tương ứng với hệ đó sẽ
khác đi. Bởi vì, trong hệ có số hạt thay đổi số hạt n có thể biến thiên từ 0 đến
cho nên những hệ có số hạt nhất định như trên có thể là nhiều vô số.
Tập hợp các hệ khả dĩ tương ứng với 1 hệ thực có số hạt thay đổi được gọi
là tập hợp pha chính tắc lớn hay tập hợp chính tắc lớn. Hàm

17


N, X

1
exp
N!

N
kT

H

(2.13)

xác định phân bố phải tìm đối với hệ có số hạt thay đổi. Phân bố đó được gọi
là phân bố chính tắc lớn Gipxơ.Đại lượng
,V , T trong phân bố được gọi là
thế nhiệt động lớn, thế này được xác định từ điều kiện chuẩn hóa của phân bố
chính tắc lớn.
Để tìm điều kiện chuẩn hóa ta cần phải lấy tích phân (2.13) theo các biến số

vi mô X của các tập hợp chính tắc và lấy tổng theo toàn bộ các tập hợp chính
tắc tạo thành tập hợp chính tắc lớn, nghĩa là

N

1
exp
0 N !X

N
kT

H

dX

(2.14)

1

Bởi vì thế nhiệt động lớn không phụ thuộc vào các biến số pha X và vào
số hạt N, cho nên đẳng thức (2.14) có thể viết lại dưới dạng
exp

kT

exp
N 0

N 1

exp
kT N ! X

H
dX
kT

1

(2.15)

do đó
kT ln

exp
N 0

N 1
exp
kT N ! X

H
dX
kT

(2.16)

Đối với phân bố chính tắc lớn, biểu thức
Z

exp
N 0

N 1
exp
kT N ! X

H
dX
kT

(2.17)

đóng vai trò là tích phân trạng thái.

2.3. Biểu thức của các hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái
[3] Mối quan hệ của năng lượng tự do
được biểu diễn bởi biểu thức

của hệ với tích phân trạng thái Z

(2.18)

kT ln Z

18


Từ đó chúng ta có thể biểu diễn được các thong số nhiệt động và hàm nhiệt
động bất kì của hệ theo tích phân trạng thái Z, điều đó cho chúng ta xác định

nhiều tính chất của hệ nhiệt động.
Đầu tiên ta tìm áp suất p được xác định qua năng lượng tự do theo công
thức
p

(2.19)

V

T

áp dụng công thức (2.18) ta được
p

kT

ln Z
V

(2.20)
T

Đó là phương trình trạng thái của hệ, vì vế phải phụ thuộc vào T và V. Ta
có thể viết lại (2.20) dưới dạng quen thuộc hơn bằng cách nhân 2 vế của đẳng
thức với V:
pV

ln Z
ln V

kT

(2.21)
T

Từ phương trình Gipxơ – Hemhôxơ ta tìm được nội năng U:
U

T

T

kT ln Z

k ln Z T

ln Z
T

kT

T

T
V

kT 2

ln Z
T

(2.22)
V

Tương tự ta có thể tính được các hàm nhiệt động khác như thế nhiệt động
Gipxơ, entanpi, và entrôpi theo tích phân trạng thái. Thật vậy
Biểu thức của thế nhiệt động Gipxơ:
F
kT

pV
ln Z
ln V

kT ln Z kT

ln Z
ln V

ln Z
T

19

T


Biểu thức của entrôpi:
F
T

S

ln Z
T

k ln Z kT
V

ln Z
ln T

k ln Z

Biểu thức của entanpi:
H

U

pV

TS

ln Z
ln T

kT

pV

ln Z
ln V

V

T

Cuối cùng ta có thể biểu diễn nhiệt dung đẳng tích của hệ qua tích phân trạng
thái
CV

T

kT 2

T

V

ln Z
ln T

2

T
V

ln Z
T2

V

2.4. Áp dụng tích phân trạng thái để khảo sát khí lí tƣởng
[2][3]Ta có thể tìm đượccác hàm nhiệt động của khí lí tưởng nhờ vào tích
phân trạng thái.
1) Để tính tích phân trạng thái Z ta cần biết hàm Haminton H. Đối với khí
lí tưởng, hàm Haminton bằng tổng các năng lượng của các hạt riêng lẻ,
nghĩa là
N

H
k 1

pk2
Uk X
2m

(2.23)

Ở đây Uk(X) biểu thị thế năng của hạt thứ k mà chúng ta dựa vào xuất phát từ
lập luận sau đây.Các hạt của khí lí tưởng có thể chuyển động hoàn toàn tùy ý
bên trong bình có thể tích V nhưng chúng không thể ra khỏi giới hạn của
bình. Điều đó tương đương với giả thiết là: ở bên trong bình các hạt có thế
năng bằng 0 còn ở ngoài bình chúng có thế năng vô cùng lớn.

20