Đạo hàm cấp n
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (503.2 KB, 4 trang )
i s v Gii tớch 11
Chuyờn O HM V NG DNG
O HM CP CAO
Ch :
I- Lí THUYT:
Cho hàm số:
y f ( x)
(1)
Giả sử hàm số y f ( x) có đạo hàm tại mọi x a; b . Khi đó tương ứng:
f / : a; b R
x f / ( x)
cho ta một hàm số mới. Vì hàm số này xây dựng từ hàm số y f ( x), hoàn toàn xác định
bởi hàm số đó nên được gọi là đạo hàm của hàm số y f ( x).
Tương tự, nếu hàm số:
y f / ( x)
(2)
có đạo hàm tại mọi điểm x c; d a; b thì ta lập được đạo hàm của (2) theo cách trên
gọi là đạo hàm cấp hai của y f ( x) và kí hiệu là: y // f // ( x).
* TNG QUT:
Nếu hàm số y ( n-1) f ( n1) ( x) có đạo hàm tại mọi điểm x c; d thì tương ứng:
f ( n ) : c; d R
x f ( n ) ( x)
cho ta đạo hàm của y ( n-1) f ( n1) ( x), gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y f ( x) và kí hiệu là:
y ( n ) f ( n ) ( x)
Như vậy:
/
n 4
y ( n ) f ( n1) ( x)
II- THUT TON XC NH O HM CP n CA HM S:
* Bc 1: Tính y / , y // , y /// , ... và tiến hành dự đoán đạo hàm cấp n dựa trên logic.
* Bc 2: Chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.
III- MT S KT QU V V D CN LU í:
Bi tp 1: Chứng minh rằng:
p
p
(n)
(n)
a) sin ax a nsin ax n
b) cosax a n cos ax n
2
2
Gii: Ta cú:
p
/
sin ax acosax asin ax (*) Đúng với n 1
2
Giả sử (*) đúng đến n k , tức là: sin ax
(k )
p
a k sin ax k
2
Ta cần chứng minh (*) cũng đúng với n k 1, tức là: sin ax
Ta có: sin ax
( k 1)
( k 1)
p
a k 1sin ax (k 1)
2
/
/
k
p
p
p
(k ) /
k
sin ax a sin ax k a cos ax k . ax k
2
2
2
Chuyờn O HM V NG DNG
i s v Gii tớch 11
p
p p
p
a k 1cos ax k a k 1sin ax k a k 1sin ax (k 1)
2
2 2
2
p
(n)
Chứng minh tương tự, ta được:
cosax a n cosax n
2
Vớ d ỏp dng: Tính y ( n ) , biết y sin 5 x.cos 2 x
Gii: Ta cú:
1
y sin 5 x.cos 2 x sin 7 x sin 3 x
2
1
p
p
y ( n ) 7 n sin 7 x n 3n sin 3 x n
2
2
2
Vớ d ỏp dng: Cho y x 2 sin x. Tính y (25)
Gii: áp dụng công thức Lai-bơ-nit (Leibnitz). Quy ước: u (0) u
uv
(n)
n
Cnk u ( nk ) .v( k ) u ( n)v Cn1u ( n1) .v / ... Cnn1u / .v( n1) Cnnu.v( n)
k 0
và chú ý rằng:
x2
(k )
0 k 3
Ta được:
(25)
25.24
(25) 2
(24)
(23)
sin x .x 2 sin x
.x 25 sin x
.( x 2 ) /
y (25) sin x .x 2
sin x .( x 2 ) //
2
p
p
p
x 2 sin x 25. 50 x sin x 24. 600sin x 23.
2
2
2
Suy ra: y (25) x 2 600 cos x 50 x sin x
Vớ d ỏp dng: Cho y (1 x 2 ) cos x. Tính y (2 n )
Gii: Ta có:
y (2 n ) cos x
(2 n )
(1 x 2 ) C21 n cos x
(2 n1)
(1 x 2 ) / C22n cos x
(2 n2)
(1 x 2 ) //
p
p
2n(2n 1)
(1 x 2 ) cos( x np ) 4nx cos x (2n 1) 2.
cos x (2n 2)
2
2
2
p
(1) n (1 x 2 ) cos x 24nx cos ( x np ) (1) n1 (4n 2 2n) cos x
2
(1) n (4n 2 2n 1 x 2 ) cos x (1) n 4nx sin x
Vậy: y (2 n ) (1) n (4n 2 2n 1 x 2 ) cos x 4nx sin x
Vớ d ỏp dng: Cho y x x 0 . Tính y (10)
Gii: Ta có:
i s v Gii tớch 11
Chuyờn O HM V NG DNG
1
;
y/
2 x
/
/
x
1 1
1
1 1
//
(1) 2
y
;
2 x
2
x
x x
2
y /// (1) 2
y (4) (1)
1 1.3
23 x 2 x
3 1 3.5
;
24 x3 x
;
...
y (10) (1)9
Vậy: y (10)
1 1.3.5.7.9.11.13.15.17
210
1 17!!
210 x9 x
x9 x
;
; ở đây 17!! 1.3.5.7.9.11.13.15.17 x 0
Vớ d ỏp dng: Cho y sin x.sin 2 x.sin 3x. Tính y (10)
Gii: Hướng dẫn: Phân tích thành tổng rồi tìm đạo hàm dần từng bậc.
Đáp số: y (10) 28 sin 2 x 218 sin 4 x 28.310 sin 6 x.
Vớ d ỏp dng: Cho y x.cos2 x. Tính y (10)
Gii: áp dụng công thức Lai-bơ-nit (Leibnitz).
Đáp số: y (10) 1024 x.cos2 x 5sin 2 x .
Bi tp 2: Chứng minh rằng:
1 ( n )
a n .n !
n
(
1)
.
n1
ax b
ax b
Gii: Ta cú:
/
1
a.1!
/
1
ax b (1)
2
2
ax b
ax b
ax b
Giả sử (**) đúng với n k , tức là:
Đúng (**) với n 1
1 ( k )
a k .k !
k
(
1)
.
k 1
ax b
ax b
Ta cần chứng minh (**) cũng đúng với n=k+1, tức là chứng minh:
k 1
( k 1)
.(k 1)!
k 1 a
1
(1) .
k 2
ax b
ax b
Thật vậy:
/
/
/
k
1 ( k 1) 1 ( k )
a
.
k
!
1
(1) k a k .k !
(1) k .
k 1
k 1
ax b
ax b
ax b
ax b
i s v Gii tớch 11
Chuyờn O HM V NG DNG
ax b k 1 /
k
(k 1).a. ax b
k k
k 1 k
(1) a .k !.(1).
(1) a .k !
2 k 2
2 k 2
ax b
ax b
(1)
k 1
.
a k 1.(k 1)!
ax b
k 2
Vớ d ỏp dng: Tính y ( n ) , biết y
(đ.p.cm)
1
x(1 x)
Gii: Ta cú:
1
1
1
y
x(1 x) x 1 x
Suy ra: y
(n)
(1) n n !
x n1
(1) n n !(1) n
(1 x) n1
Vớ d ỏp dng: Cho hàm số: y
(1) n
1
n ! n1
(1 x) n1
x
5 x 3
2
x 3 x 2
a) Tìm A, B sao cho có thể viết y dưới dạng: y
A
B
x 1 x 2
b) Từ đó, hãy tính y ( n ) .
Gii: Ta cú:
a) Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta được:
5 x 3
A
B
, x 1, x 2
x 1 x 2
x 2 3 x 2
5 x 3 A x 2 B x 1
5 x 3 x(A B) (2A B)
A B 5
A 2
Vậy ta có hệ sau sau để xác định A, B:
2A B 3 B 7
Vậy:
5 x 3
2
x 3 x 2
2
7
x 1 x 2
7
2
7
2
n
(n)
b) Theo câu a, y
. Suy ra: y (1) n !
n1
n1
x 1 x 2
x 1
x 2
Lu ý: Trong toàn bộ các bài giải trên, chúng tôi dành phần chứng minh bằng phương pháp
quy nạp cho độc giả.
IV- MT S BI TP T LUYN:
Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a) y sin 2 x
2 x 1
e) y 2
x x 2
b) y sin x.cos4 x
2 x 1
f) y
x 3
c) y x.sin 2 x
sin x
g) y 2
x x 2
d) y (1 x)cos4 x
x
h) y 2
x 1
