Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

THPT Nguyễn Du

RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
A- CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT.
I- TÓM TẮC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

HỆ THỐNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:

α

0

π
6

π
4

π
3

π
2

2π
3

3π
4

5π
6

π

3π
2

2π

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

3
2

2

2

1
2

0

–1

0

cos

1

3
2

2
2

1
2

0

−

tan


0

3
3

1

3

P

cot

P

3

1

3
3

0

−

1
2

2

2

−

3
2

–1

0

1

− 3

–1

−

3
3

0

P

0

3
3


–1

− 3

P

0

P

−

I- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC:
1. Công thức quy đổi độ – Rađian:

α
a
=
π 180

( a tính bằng độ, α tính bằng rad)

2. Số đo góc và cung lượng giác theo độ và radian.
sđ(Ox, Ot) = a0 + k3600 hoặc sđ(Ox, Ot) = α + k2 π , k ∈ Z. (với 00 ≤ a0 < 3600 , 00 ≤ α < 2π)
Dùng cho HS khá giỏi 10NC

1



Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác
sđAB = a + k360 hoặc sđAB = α + k2 π , k ∈ Z.
( với 00 ≤ a0 < 3600 , 00 ≤ α < 2π)
3. Công thức tính độ dài cung: l = α .R ( α tính bằng rad)

THPT Nguyễn Du

0

0

II.NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1:
1. Hằng đẳng thức lượng giác:
sin2 x = 1 − cos2 x

 sin2x + cos2x = 1⇔ 

cos2 x = 1 − sin2 x

sin x = ± 1 − cos2 x
⇔ 
2

cos x = ± 1 − sin x
1
1
1
±
 1+ tan2x = 2 ⇔ cos2x =
2 ⇔ cosx =

cos x
1 + tan x
1 + tan2 x
1
1
1
±
 1+ cot2x = 2 ⇔ sin2x =
2 ⇔ sinx =
sin x
1 + cot x
1 + cot2 x
sin x
1
cos x
1
=
=
 tanx.cotx = 1 ⇔ tanx =
⇔ cotx =
cos x cot x
sin x tan x

 Chú ý: Trong các công thức có chứa dấu (±) , việc chọn dấu (+) hoặc dấu (–) cần nhận xét giá trị của
cung x trên đường tròn lượng giác.
2. Cung liên kết:

sin
cos
tan

cot

–x

π –x

–sinx
cosx
–tanx
–cotx

sinx
–cosx
–tanx
–cotx

π
–x
2
cosx
sinx
cotx
tanx

π
+x
2
cosx
–sinx
–cotx

–tanx

π+ x

–sinx
–cosx
tanx
cotx

3. Chú ý:
a + b = π ≡ 1800
a+b=

π
2

≡ 900

cosb = –cosa

sinb = sina

cosb = sina

sinb = cosa

cos(B + C) = –cosA
tan(B + C) = – tanA
∆ABC sin(B + C) = sinA
B+C

A
B+C
A
B+C
A
sin
= cos
cos
= sin
tan
= cot
2
2
2
2
2
2
sin(x + k2π) = sinx
tan(x + kπ) = tanx
cos(x + k2π) = cosx
cot(x + kπ) = cotx

III. NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2:
1.Công thức cộng:
cos(a ± b) = cosa.cosb m sina.sinb
tan(a ± b) =

tan a ± tanb
1 m tan a. tanb


sin(a ± b) = sina.cosb ± sinb.cosa

2.Công thức nhân:
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a =
sin2a = 2sina.cosa =
3.Công thức hạ bậc:
sin2 a =

1 − cos 2a
2

;

4.Công thức tính theo t :
Dùng cho HS khá giỏi 10NC

2 tan a
1 + tan2 a

;

1 + cos 2a
2
a
t = tan
2

cos2 a =

tan2a =

;

tan2 a =

1 − tan2 a
1 + tan2 a
2 tan a
1 − tan2 a

1 − cos 2a
1 + cos 2a

2


Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

THPT Nguyễn Du
sin a =

2t
1+ t

cos a =

2

5. Công thức biến đổi tích thành tổng:
2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b)
2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b)

6. Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos a + cos b = 2 cos

sin a + sinb = 2 sin

a +b
a −b
cos
2
2

1+ t

2

2t

tan a =

1 − t2

2sina.sinb = –[ cos(a + b) – cos(a – b) ]

cos a − cos b = −2 sin

a +b
a −b
cos
2
2


Hệ quả: cosx + sinx =

1− t

2

sin(a + b)
cos a.cos b
sin(a − b)
tana – tanb =
cos a.cos b

a +b
a −b
sin
2
2

tana + tanb =

a +b
a −b
sin
2
2

sin a − sinb = 2 cos

π

π
2 sin( + x) = 2 cos( − x)
4
4

π
π
2 sin( − x) = 2 cos( + x)
4
4

cosx – sinx =

III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ∆ ABC:
1. Định lý hàm số sin và cos:

a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A
b2 = a2 + c2 − 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 − 2ab.cos C

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sinB sinC

2. Chuyển cạnh sang góc:
a = 2RsinA


b = 2RsinB

a
b2 + c2 − a2
cos A =
2R
2bc
1
1
1
1
1
1
S = a.ha = b.hb = c.hc = bc sin A = ac sinB = ab sinC
2
2
2
2
2
2
abc
a +b+c
S = pr =
= p(p − a)(p − b)(p − c)
, với p =
4R
2
sin A =


3. Chuyển góc sang cạnh:
4. Công thức diện tích:

c = 2RsinC

R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC
5. Công thức đường trung tuyến và phân giác trong các góc của ∆ ABC:
m2a =

la =

b2 + c2 a2
−
2
4

2bc
A
cos
b+c
2

mb2 =

lb =

a2 + c2 b2
−
2
4


2ac
B
cos
a+c
2

m2c =

lc =

a2 + b2 c2
−
2
4

2ab
C
cos
a+b
2

(ma, mb, mc − độ dài trung tuyến)
(la, lb, lc − độ dài phân giác)

B. BÀI TẬP.
VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.
1. Tính giá trị lượng giác của cung sau.
3
π

1) sina = với 0 < a <
2) tana = - 2 với < a < π
5
2
3) cosa =

1
π
với - < a < 0
5
2

4) sina =

2. Chứng minh các đẳng thức sau:
1
1) sin2x + tan2x =
- cos2x
2
cos x
cos 2 x − sin 2 x
4)
= sin2xcos2x
2
2
cot x − tan x
Dùng cho HS khá giỏi 10NC

1
π

với a ∈ ( , π )
3
2

5) tana = 2 với a∈ (π,

2) tan2x - sin2x = tan2xsin2x
5)

1
− 1)
=1
cos 2 x
2
1 + tan x

3)

3π
)
2

tan 3 x 3 − tan 2 x
=
tan x 1 − 3tan 2 x

(1 + cot 2 x)(

3



Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

THPT Nguyễn Du

6) cosx + cos(2π/3 - x) + cos(2π/3 - x) = 0
tan 2 a − tan 2 b
8)
= tan(a +b)tan(a - b)
1 − tan 2 a tan 2 b
cos x − sin x
1
10) cos x + sin x = cos 2x - tan2x
12) sin3xcos3x + sin3xcos3x =

3
sin4x
4

14) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos2x

7) sin(a + b)sin(a - b) = sin2a -sin2b = cos2b - cos2a
1
9) cos3xsinx - sin3xcosx = sin4x
4
x
sin 2 x − 2sin x
11) sin 2 x + 2sin x = -tan2 2
3x
x

cosxsin
2
2
4
4
2
sin x − cos x + cos x
x
= cos 2
15)
2
2(1 − cos x)
2
13) sinx - sin2x +sin3x = 4cos

3. Rút gọn các biểu thức sau:
5π
7π
 π
 11π

+ x÷
) - 3cos(x ) + 2sin(x + π )
2) B= sin  x − ÷ + cos ( x − π ) − 5sin 
2
2
2

 2


3π
π

3) C = cos  + α ÷ + cos ( 2π − α ) + sin ( π − α ) + cos ( π + α )
4) D= 2cosa-3cos(π+a)-5sin(π/2-a)+cot(
- a)
2
2 
3π
5) cos(π - a) - 2sin(3π/2 + a) + tan(
- a ) + cot(2π - a)
2
1) A = sin(x +

4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.
1) A = cos4a + cos2asin2a +sin2a
2) B = cos4a - sin4a + 2sin2a
1 + cot a
2
3) C = 2(sin6a + cos6a) - 3(sin4a + cos4a)
4) D =
1 − cot a tan a − 1
5) E = sin 4a + 4cos 2 a + cos 4 a + 4sin 2 a
6) F = cos2a + sin(300 + a)sin(300- a)
sin 4 a + cos 4 a − 1
7) G = sin a + cos a + 3sin acos a
8) H =
sin 6 a + cos6 a − 1
9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b)
Trong đó a - b ≠ kπ và m ≠ ± 1 thì biểu thức:

1
1
A=
+
(m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ).
1 − m sin 2a 1 − m sin 2b
6

6

2

2

5. Tính các biểu thức đại số.
1) Tính sin3a -cos3a biết sina -cosa = m
2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức:
3) Biết

cos( a + b)
p
= . Tính tana.tanb
cos( a − b)
q

4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) ≠ k2π tính tan
5) Tính sin2x nếu: 5tan2x - 12tanx - 5 = 0 (

Dùng cho HS khá giỏi 10NC


π
π
4
2

1 + cos 2a
a
a
A=
cot − tan
2
2

a
b
.tan
2
2

4


Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

THPT Nguyễn Du

6. Không dùng máy tính hãy tính giá trị các biểu thức :
π
4π

5π
1) A = cos200cos400cos600cos800
2) B = cos .cos
.cos
7
7
7
0
0
0
0
0
0
3) C = sin6 .sin42 .sin66 .sin78
4) Tính: E = sin5 .sin15 sin250.sin350. ...... sin850
π
3π
5π
7π
9π
5) Tính: F = sin .sin
.sin
.sin
. sin
6) A = sin370.cos530 + sin1270.cos3970
18
18
18
18
18

7) A = tan1100 + cot200
8) Tính sin150 và cos150
1
π
2π
o
8) A = tan20o.tan40o.tan60o.tan80o
b) B =
, M = cos - cos
o - 2sin70
2sin10
5
5

π
3π
5π
7π
c) C = sin4 16 + sin4 16 + sin4 16 + sin4 16
e) E = tan9o - tan27o - tan63o + tan81o.
g) G1 = sin18o.cos18o; G2 = sin36o.cos36o

3π
5π
π
d) D = tan2 12 + tan2 12 + tan2 12

π
3π
5π

7π
f) F = cos6 16 + cos6 16 + cos6 16 + cos6 16
2π
4π
6π
h) H = cos
+ cos
+ cos
7
7
7
π
2π
3π
4π
k) K = cos + cos
+ cos
+ cos
5
5
5
5

π
23π
π
13π
+ sin
+ sin + cos
5

5
6
5
9. Với a ≠ kπ (k ∈ Z) chứng minh:
sin 32a
sin 2 n+1 a
a) cosa.cos2a.cos4a...cos16a =
b) cosa.cos2a.cos4a....cos2na = n+1
32.sin a
2 sin a
o
o
o
o
o
10. Tính: A = cos20 .cos40 .cos60 .
11. Tính: A = sin6 .sin42 .sin66o.sin78o.
π
4π
5π
π
2π
4π
8π
16π
32π
12. Tính: A = cos . cos
. cos
. 13. Tính: cos . cos
. cos

. cos
. cos
. cos
.
7
7
7
65
65
65
65
65
65
π
3π
π
2π
3π
4π
7π
5π
7π
9π
14.Tính: sin .sin
.sin .sin . sin .
15. Tính: cos .cos
.cos
.cos
....cos
.

18
18
18
18
18
15
15
15
15
15
π
π
π
π
π
16. Tính: sin5o. sin15o .sin25o... sin85o.
17. Tính: 96 3 .sin .cos . cos . cos . cos .
48
48
24
12
6
o
o
o
o
o
o
o
o

18. Tính: 16.sin10 .sin30 .sin50 .sin70 .
19. Tính: sin10 .sin20 .sin30 ....sin80 .
o
o
o
o
o
20. Tính: cos9 . cos27 . cos45 . cos63 . cos81 . cos99o. cos117o. cos135o. cos153o. cos171o.
i) I = sin

21. Tính: A = cos

π
2π
+ cos
5
5

7. Chú ý các công thức sau:
π
π
1) 4sinx.sin( - x)sin( + x) = sin3x
3
3
π
π
3) tanx.tan( - x)tan( + x) = tan3x
3
3

B = cos

π
3π
+ cos
5
5

π
π
- x)cos( + x) = cos3x
3
3
sin 2n +1.a
4) cosa.cos2a.cos4a .......... cos2na = n+1
2 sin a
2) 4cosx.cos(

5) Để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) +......+(-1)n. cos(a +nx).
x
x
thì nhân 2 vế với 2cos nếu cos ≠ 0.
2
2
Dùng cho HS khá giỏi 10NC

5


Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

THPT Nguyễn Du

8.Các bài tập khác:
1. Chứng minh rằng :
cos15o + sin15o
a)
= 3
cos15o − sin15o
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = sin3x.sin3x + cos3x.cos3x

1
sin 75o − cos 75o
b)
=
3
cos 75o + sin 75o
b) B =

1 + cos x
(1 − cos x)2
[1 +
]
sin x
sin 2 x

c) C = cos3x.cos3x - sin3x.sin3x
3. Chứng minh rằng :
π

π
π
π
a) 4.cosx.cos( - x).cos( + x) = cos3x.
b) 4.sinx.sin( - x).sin( + x) = sin3x.
3
3
3
3
π
π
c) tanx.tan( - x).tan( + x) = tan3x. Áp dụng tính:
3
3
o
o
o
A = sin20 .sin40 .sin80 . B = cos10o.cos20o.cos30o....cos80o. C = tan20o.tan40o.tan60o.tan80o.
4. Chứng minh rằng :
3
5
1 − cos 2 x
6
6
8
a) sin x + cos x = 8 + cos2x
b) tanx = sin 2 x Áp dụng tính:

π
π

π
π
π
) + cos6( )
B = tan2( ) + tan2(3. ) + tan2(5. )
24
24
12
12
12
5. Chứng minh rằng:
3 1
1
35 7
1
+ cos 4 x + cos x
a) sin4x = − cos 2 x + cos 4 x
b) sin8x + cos8x =
8 2
8
64 16
16
π
π
π
π
π
π
Áp dụng tính A = sin8( ) + cos8( )
B = sin4( ) + sin4(3. ) + sin4(5. ) + sin4(7. )

24
24
16
16
16
16
2π
4π
6π
π
2π
3π
4π
6. Tính: cos(
) + cos(
) + cos(
)
22. Tính cos( ) + cos(
) + cos(
) + cos(
)
7
7
7
5
5
5
5
1
sin 750 − cos 750

7. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b). Tính: tana.tanb.
24. CMR:
=
0
0
3
sin 75 + cos 75
A = sin6(

VẤN ĐỀ 2.

BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC.

I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
+A+B+C=π
+ a −b < c < a + b

+ a2 = b2 + c2 - 2a.b.cosC
a
b
c
1
1
abc
=
=
= 2R
= pr = ( p − a )ra .
+
+ S = a.ha = ab.sin C =

sin A sin B sin C
2
2
4R
a+b+c
S = p ( p − a )( p − b)( p − c)
Trong đó: p =
2
r: bán kính đường tròn nội tiếp
ra: bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A.
+ Đường trung tuyến :
b2 + c2 a2
a 2 + c 2 b2
b2 + a2 c2
2
2
2
−
−
−
ma =
mb =
mc =
2
4
2
4
2
4

Dùng cho HS khá giỏi 10NC

6


Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

THPT Nguyễn Du

+ Đường phân giác:
A
B
2bc.cos
2ac.cos
la =
lb =
2
2
b+c
a+c
+ Mở rộng định lí sin và cosin:
b2 + c2 − a 2
a 2 + c2 − b2
cotA =
cotB =
4s
4s

la =

2ab.cos
a+b

C
2

a 2 + b2 − c 2
cotC =
4s

II-BÀI TẬP : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC.
A
B
C
1. sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos .
2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
2
2
2
3A
3B
3C
3. sin3A+sin3B+sin3C = -4cos
cos
cos
.
4. sin4A+sin4B+sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C.
2
2
2

A
B
C
5. cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin .4sin .4sin . 6. cos2A+cos2B+cos2C = -1-4cosA.cosB.cosC.
2
2
2
3 A 3B 3C
7. cos3A+cos3B+cos3C =1- 4sin
sin
sin
. 8. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC.
2
2
2
9. cos4A+cos4B+cos4C = -1+ 4cos2Acos2Bcos2C.

10. tan2A +tan2B + tan2C = tan2A.tan2B.tan2C.

11. cotA.cotB + cotB.cotgC + cotC.cotA = 1

12. tan

13. cot

A
B
C
A
B

C
+cot + cot = cot cot cot .
2
2
2
2
2
2

14. cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosA.cosB.cosC.

3 2
(a + b2 + c2).
4
B
C
a sin sin
A
B
C
2
2.
18. r = p.tan tan tan =
A
2
2
2
cos
2

15. cos22A + cos22B + cos22C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C.

17. la =

2bc.cos
b+c

A
2
2 =
bc

B
B
C
C
A
A
tan + tan tan + tan tan =1
2
2
2
2
2
2

b.c. p.( p − a ) .

16. ma2 + mb2 + mc2 =

p

19. R = 4.cos A .cos B .cos C .
2

2

20. r = 4R.cos

2

A
B
C
. cos . cos .
2
2
2

III. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
1. Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau:
(a 2 − b 2 ).sin A.sin B 1 2
A
B
C
S=
= (a sin2B + b2sin2A) = p2.tan tan tan = 2R2.sinA.sinB.sinC.
2.sin( A − B )
4
2

2
2
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
A
B
C
a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0 b) (b - c)cot +(c - a)cot + (a - b)cot = 0.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c) (b - c )cotA +(c - a )cotB+(a - b )cotC = 0. d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB+(a + b)cosC.
B −C
b−c
A
A
B−C b+ c
e) sin
=
cos . f) cos
=
sin .
g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C).
2
a

2
2
a
2
C
1
1
1
a+b
1
2 2
h) cosA + cosB = 2 c sin .
i) r = h + h + h .
a

Dùng cho HS khá giỏi 10NC

b

c

7


THPT Nguyễn Du

Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

3. Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng:
B

C
1
a) 2sinA = sinB + sinC.
b) tan . tan = .
2
2
3
4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
của tam giác. Chứng minh rằng:
A
B
C
r
a) r = 4R.cos . cos . cos .
b) IA.IB.IC = 4Rr2. c) cosA + cosB + cosC = 1 +
2
2
2
R
5. Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng công sai của cấp số cộng
3
C
A
đó được xác định theo công thức sau: d = r(tan - tan )
2
2
2
6. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc. CMR : b2 + c2 = 5a2.
A
B

C
cos
cos
cos
1
1 1
7. Chứng minh rằng:
+ + .
2 +
2
2 =
a
b
c
la
lb
lc
8. Ch. minh rằng các trung tuyến AA' và BB' vuông góc với nhau khi: cotC = 2(cotA + cotB).
mb
c
9. Cho =
≠ 1 chứng minh rằng : 2cotA = cotB + cotC.
mc
b
10. Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến. gọi α = AMB . Chứng minh rằng:
2sin( B − c)
b2 − c2
a) cotα =
.
b) cotα = cotC - cotB.

c) cotα =
2sin B sin C
4s
c
11. Chứng minh rằng
là nghiệm của phương trình:
b
(1 + x2 -2xcosA)(b2 - bc) = a2(1 - x).
12. Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x2 - 2x +2);
(x2 + 2x + 2). Với giá trị nào của x (dương) thì tam giác đó tồn tại.
13. Cho ma = c. Chứng minh rằng:
a) bcosC = 3cosB.
b) tanB = 3tanC.
c) sinA = 2sin(B - C).
14. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. H chia đường cao xuất phất từ A theo tỉ số k cho trước.
2
CMR :a) tanB.tanC = 1 + k. b) tanB + tanC = ktanA
c) cos(B - C) = (1+ )cosA.
k
15. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
A
C
Chứng minh rằng : cot cot = 3.
2
2
tan A
16. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tanA.tanB = 6;
=3. Chứng tỏ rằng: tanA, tanB, tanC
tan C
theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng.

A
B
C
17. Tam giác ABC có cot , cot , cot theo thứ tự lập một cấp số cộng. CMR : a, b, c theo thứ
2
2
2
tự cũng lập một cấp số cộng.
18. Tam giác ABC có: cotA, cotB, cotC hteo thứ tự lập một cấp số cộng. Chứng minh rằng a 2,
b2, c2 theo thứ tự đó cũng lập một cấp số cộng.
19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tanA = tanB + tanC. Chứng minh rằng :
a) tanB.tanC = 3.
b) cos(B- C) = 2cosA.
IV – ĐỊNH DẠNG TAM GIÁC CÂN.
A. Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi:
Dùng cho HS khá giỏi 10NC

8


Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

THPT Nguyễn Du

A+ B
sin A + sin B 1
= (tan A + tan B)
2. 2tanB + tanC = tan2B.tC. 3.
2
cos A + cos B 2

C 2sin A.sin B
cos 2 A + cos 2 B 1
= (cot 2 A + cot 2 B)
4.
5. cot =
2
2
2
sin C
sin A + sin B 2
1 + cos B
2a + c
A
B
B
A
C
B
=
6. sin .cos3 = sin .cos 3
7. (p - b)cot = p.tan
8.
sin B
2
2
2
2
2
2
4a 2 − c 2

1. atanA+btanB =(a+b)tan

9. a2sin2B +b2sin2A=c2cot

C
2

10. a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0

A
B
B
A
.cos3 = sin .cos3
12. a = 2b.cosC. Chứng minh ∆ ABC cân tại A.
2
2
2
2
B. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
sin 2 B tan B
=
1.
2. (b2 + c2)sin(C-B) = (C2 - B2)sin(B- C)
sin 2 C tan C
11. sin

(b − c) 2
1 − cos( B − C )
= 2.

3.
2
b
1 − cos 2 B

b2 − c2
4. sin(B - C)=
a2

V. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG.
A. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là:
1. cos2a + cos2B + cos2C = -1

2. tan2A + tan2B + tan2C = 0

3. sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
B. Chứng minh tam giác vuông khi:

1.

b
c
a
+
=
cos B cos C sin B.sin C

4.

1

b+c
+ cot A =
sin A
a

5. cot2C =

7.

sin A + cos B
= tgA
sin B + cos A

8. sin

2bc
11. cos(B - C) = 2
a

Dùng cho HS khá giỏi 10NC

2. cot

B
=
2

B a+c
=
2

b

1
(cot C − cot B)
2
a−c
2a

1
12. S = a 2 sin 2 B
4

3.

6.

9. cos

1
a
+ cot A =
(c ≠ b)
sin A
c −b

cos( B − C )
= tan B
sin A + sin(C − B )

B

c+a
B
c−a
10. tan =
=
2
2a
2
c+a

sin B + sin C
= sin A.cos B.cos C
1
13. 1
+
cos B cos C
9


Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

THPT Nguyễn Du

14. 1 + cot(450 - B) =

2
1 − cot A

15. sin4C + 2sin4A + 2sin4B = 2sin2C(sin2A + sin2B)

16. 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15 17. cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0
C. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau.
1. sin3A + sin3B + sin3C = 0

2. sin4A + sin4B + sin4C = 0

3. sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB
4. a3 = b3 + c3

5. c = Ccos2B + Bsin2B

7. sin2A + sin2B =5sin2C

8.

1 1 1
+ =
b c la

6. (1+cotA)(1 + cotB) = 2

9. sin2A + sin2B + sin2C ≤ 2

10. cos2A + cos2B + cos2C ≤ 1

11. Ch.minh nếu ∆ ABC có: sin

A
B
C

B
C
1
= sin .sin thì tan . tan = và ngược lại.
2
2
2
2
2
2

12. Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a2 = bc + c2
13 Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại trung điểm H của AD. Chứng
minh rằng tanB.tanC = 2.
14. Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có độ dài bằng a.

Chứng minh rằng: sin

B
C
l
.sin = lb. c 2
2
2
4a

15. Cho tam giác vuông ABC tại A. Gọi α là góc giữa đường cao và đường trung tuyến ứng với

cạnh huyền. Chứng minh rằng:
Dùng cho HS khá giỏi 10NC

tan

α
B −C
= tan
2
2
10


Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

THPT Nguyễn Du

16. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng:
a) tgB = 3tgC

b) sin A = 2sin(B - C)

17. Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam

giác ABC đều là có hệ thức.

1
1
1
+
+
− (cot A + cot B + cot C ) = 3

sin a sin B sin C

18. Cho tam giác ABC với 3 góc đều nhọn. CMR: (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA > 2
Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao?
VI. BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
Hàm lồi lõm. ( Không có trong chương trình HS dùng tham khảo)

+ Tính chất hàm lồi:

f ( x1 ) + f ( x2 )
x+ y
≤ f(
) , ∀x, y ∈ R
2
2

+ tính chất hàm lõm:

f ( x1 ) + f ( x2 )
x+ y
≥ f(
) , ∀x, y ∈ R
2
2

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1. sinA + sinB +sinC ≤

3 3
2

3. 1 < cosA + cosB + cosC ≤

Dùng cho HS khá giỏi 10NC

2. 1 < sin

3
2

A
B
C
3
+ sin + sin ≤
2
2
2
2

4. Sin2A + Sin2B + Sin2C ≥

9
4

11

Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

THPT Nguyễn Du

A
B
C
9
2 2
2 2
2 2
5. 2 < cos
+ cos
+ cos
≤ 4

7. sin

A
B
C
1
. sin . sin ≤
2
2
2
8

9. cosA.cosB.cosC ≤

13.

8. sinA.sinB.sinC ≤

1
8

10. cos

11. 1 + cosA.cosB.cosC ≥

1

1

1
14.

12.

1
1
1
+
+
≥6
cos A
cos B

cosC

1
2.sin A.sin B.sin C
≤
3 3
sin A + sin B + sin C

1
1
1
26 3
) + (1 +
) + (1 +
)≥5+
sin A
sin B
sin C
9

A
B
C
16. tan 2 + tan 2 + tan 2 ≥

3

19. tanA + tanB + tanC ≥ 3 3 . (Với ∆ABC nhọn).

21. tan

3 3
3

A
B
C
3 3
. cos . cos ≤
2
2
2
3

3 .sinA.sinB.sinC

A +
B +
C ≥6
sin
sin
sin
2
2
2

15. (1 +

A
B

C
3
6. 4 ≤ sin2 2 + sin2 2 + sin2 2 < 1.

1
A
B
C
tan tan ≥
3 3
2
2
2

20. tan2A + tan2A + tan2A ≥ 9. (Với ∆ABC nhọn.)

22. cos3A + cos3A + cos3A ≤

23. 36r2 ≤ ab + bc + ca ≤ 9R2.

25. ha + hb + hc ≥ 9r (

A
B
C
17. tan2 2 + tan2 2 + tan2 2 ≥ 1

1
1
1

1
=
+
+
)
ha
hb
hc
r

9 1
+ (cos3A + cos3B + cos3C).
4 4

24. (a + b + c)(ha + hb + hc) ≥ 18S.

26. (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) ≤ abc

27. a2(b+c-a)+ b2(a+c-b)+c2(a+b- c) ≤ 3abc. 28. a(b2+c2-a2)+b(a2+c2-b2)+c2(a2+b2-c2) ≤ 3abc

Dùng cho HS khá giỏi 10NC

12


Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

THPT Nguyễn Du

29. a(b-c)2 + b(c-a)2 +c(a -b)2 +4abc≥ a3 +b3+c3

31.

30.

1
1
1
4R2
+
+
≥33
ra
rb
rc
r (a + b + c)abc

ab
bc
ac
+
+
≤ 6R.
lc
la
lb

32. ma2 + mb2 + mc2 ≥

s

3

A
B
C
A
B
C
+ tg + tg + cotg + cotg + cotg ≥ 4 3
2
2
2
2
2
2

33. a4 + b4 + c4 ≥ 16S2.

34. tg

35. a2 + b2 + c2 ≥ 4S 3

36. a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ 16S2.

CHỨNG MINH ∆ABC ĐỀU KHI THÕA MÃN CÁC ĐIỀU KIỆN SAU

1. R = 2r

2. S =

b + c − a
= a2

4.  b + c − a
a = 2b cos C

3

3

3

2 2 3
a cos A + b cos B + c.cos C
2p
R (sin A + sin3B + sin3C) 3.
=
3
a sin B + b sin C + c sin A
9R
 2 a 3 − b3 − c 3
a =
a −b−c
5. 
sin B.sin C = 3

4

7. A, B, C là nghiệm của phương trình: tanx - tan

8. 2(acosA + bcosB + c.cosC) = a + b + c

1

cos
B
.cos
C
=

4
6. 
3
3
3
a 2 = a − b − c
a −b−c


x
2 3
=
2
3

9. sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C.

10. cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0 11. cot2A + cot2B + cot2C = 1
sin A + sin B ≥ 2sin C
cos A + cos B ≥ 2cos C

12.

a cos A + b cos B + c.cos C
1
=
a+b+c
2

14.

cos A + cos B + cos C
= 3.cotA.cotB.cotC, với ∆ABC nhọn
sin A + sin B + sin C

Dùng cho HS khá giỏi 10NC

13. 

13


Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

THPT Nguyễn Du
2

2

2

2

2

2

15. 3tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C

17. cot

1
1
1
1
A B C
16. 2 + 2 + 2 =
sin A sin B sin C 2sin sin sin
2 2 2

A
B
C
+ cot + cot = tanA + tanB + tanC.
2
2
2

18. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: cot

A
B
C
+ cot
cot = 9 Chứng minh ∆ ABC là
2
2
2

tam giác đều.

19. Cho tam giác ABC thỏa mãn:

a.cos A + b.cos B + c.cos C 1
=
a+b+c
2

(A, B, C là các góc của tam

giác a = BC, b = CA, c = AB). Chứng minh tamgiác ABC là tam giác đều.
20. Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần và đủ là:

21. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cosA.sinB.sinC +

p + R = (2 + 3 3 ).r

3 (sinA + cosB + cosC) =

17

4

Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh.

22. Các góc của tam giác ABC thỏa mãn: cotA + cotB + cotC = tan

A
B
C
+ tan + tan
2
2
2

Chứng minh tam giác ABC đều.
23. CMR,tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn điều kiện: sinA+ inB+sinC =sin2A+sin2B+sin2C
thì tam giác ABC là tam giác đều.
25. Tam giác nhọn ABC có các góc thỏa mãn:

Dùng cho HS khá giỏi 10NC

14


Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

THPT Nguyễn Du

1
1

1
1
1
1
+
+
=
+
+
cos A cos B cos C sin A sin B sin C . Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
2
2
2
26. CMR, nếu ∆ ABC thỏa mãn điều kiện: sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC đều.

27. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn:

1
2

+

1
2

+

1
2

sin 2 A sin 2 B sin 2C

=

1
2.cos A.cos B.cos C

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
28. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của tam giác đó thỏa mãn hệ thức:

cos2A +

3 (cos2B + cos2C) +

5
=0
2

29. Cho tam giác ABC thỏa : sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB. CMR, ∆ ABC vuông.
30. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ
dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác

ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:

sin A sin B sin C
+
+
= 3
ma
mb

mc

31. CMR, không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của nó đều là nghiệm của phương trình:

1
(4cos x − 1)(7sin 2 x − sin 2 x − 6) = 0
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dùng cho HS khá giỏi 10NC

15


THPT Nguyễn Du

Dùng cho HS khá giỏi 10NC

Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác

16