Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Môn toán
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
Phần I
tổng hợp kiến thức cơ bản
I. Các phép biến đổi về căn thức
1. Hằng đẳng thức đáng nhớ

( a + b ) = a2 + 2ab + b2
( a + b ) ( a b ) = a2 b 2
3
( a b ) = a3 3a2b + 3ab2 b3
a3 b3 = ( a b ) ( a 2 + ab + b2 )

( a b ) = a2 2ab + b2
3
( a + b ) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
a3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 ab + b 2 )

2

2

2. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai
- Đều kiện để căn thức có nghĩa A có nghĩa khi A 0
- Các công thức biến đổi căn thức.
A2 = A
A
=
B

A

B

(A 0;B > 0)

A B = A 2B (A 0;B 0)
A
1
=
B B
C

AB (AB 0;B 0)

( a + b + c)

2

= a2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca

AB = A. B

(A 0;B 0)

A 2B = A B

(B 0)

A B = A 2B (A < 0;B 0)
A
B


=

A B
(B > 0)
B

C( A mB)
C
C( A m B)
(A 0;A B2 )
=
(A 0;B 0;A B)
2
A B
A B
A B
A B
3. Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức
Phơng pháp: Bớc 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
Bớc 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có)
Bớc 3: Đa một biểu thức ra ngoài dấu căn
Bớc 4: Rút gọn biểu thức
Bớc 5: Tính số trị (nếu còn tham số)
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Bớc 2: Trục căn thức ở mẫu nếu có (nếu có)
Bớc 3: Qui đồng mẫu thức (nếu có)
Bớc 4: Đa một biểu thức ra ngoài dấu căn

Bớc 5: Rút gọn biểu thức
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Bớc 2: Biến đổi vế trái về vế phải hoặc vế phải về vế trái. Cũng có khi chúng ta phải biến
đổi cả hai vế cùng về biểu thức trung gian
=

II. Phơng trình bậc hai
1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng ax 2 + bx + c = 0 (a 0)
2. Công thức nghiệm: Ta có = b2 4ac .
- Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm.
b
- Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép x1,2 =
2a
b
b +
- Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 =
; x2 =
2a
2a
b
c
3. Hệ thức Viet: Nếu phơng trình có nghiệm x1; x2 thì S = x1 + x 2 =
; P = x1.x 2 =
a
a
Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0). Ta có thể sử dụng định lí Viet để tính
các biểu thức của x1, x2 theo a, b, c



S1 = x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) 2x1x 2 =
2

b2 2ac
a2

S2 = x13 + x 23 = ( x1 + x 2 ) 3x1x 2 ( x1 + x 2 ) =
3

S3 = x 1 x 2 =

( x1 x 2 ) =
2

3abc b3
a3

( x1 + x 2 ) 4x1x 2 =
2

b2 4ac
a2

4. ứng dụng hệ thức Viet
a) Nhẩm nghiệm: Cho phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0).
c
- Nếu a + b + c = 0 x1 = 1; x 2 =
a
c
- Nếu a - b + c = 0 x1 = -1; x 2 =

a
b) Tìm hai số khi biết tổng và tích: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là hai nghiệm của ph ơng trình bậc
hai X2 - SX + P = 0
c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1; x2 thì
ax 2 + bx + c = a ( x x1 ) ( x x 2 )
d) Xác định dấu các nghiệm số: Cho phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0).
c
- Nếu < 0 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu
a
> 0

- Nếu c
thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
a > 0


> 0
> 0


c
c
- Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm dơng. Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm âm
a
a
b
b
a > 0
a < 0
5. Các dạng toán cơ bản:

Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm
c
Phơng pháp: Điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm là = b2 4ac 0 hoặc 0
a
2
Trong trờng hợp cần chứng minh có ít nhất một trong hai phơng trình ax + bx + c = 0 ; a' x 2 + b' x + c ' = 0 có
nghiệm ngời ta thờng làm theo một trong hai cách sau:
Cách 1: Chứng minh 1 + 2 0
Cách 2: 1. 2 0
Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phơng pháp: Bớc 1: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là hai nghiệm của ph ơng trình bậc hai X2 SX + P = 0
Bớc 2: Giải phơng trình X2 - SX + P = 0
Bớc 3: Kết luận
Dạng 3: Biểu thức đối xứng hai nghiệm
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
b
c
Bớc 2: Tính S = x1 + x 2 =
; P = x1.x 2 = , theo m
a
a
Bớc 3: Biểu diễn hệ thức đề bài theo S, P với chú ý rằng x12 + x 22 = S2 2P ;
1 1 S 1 1 S2 2P
+ = ;
+ =
x1 x 2 P x12 x 22
P2
Dạng 4: Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
b

c
Bớc 2: Tính S = x1 + x 2 =
; P = x1.x 2 = , theo m
a
a
Bớc 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm không phụ
thuộc tham số m

(

)

x13 + x 23 = S S2 3P ;

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

2


Dạng 5: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trớc
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
b
c
Bớc 2: Tính S = x1 + x 2 =
; P = x1.x 2 = , theo m
a
a
Bớc 3: Giải phơng trình với ẩn số m, so sánh điều kiện
Bớc 4: Kết luận
III. Hệ phơng trình

1. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn số:
Cách 1: Sử dụng phơng pháp cộng đại số:
- Nhân các vế của hai phơng trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai
phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau
- Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực hiện phơng trình mới, trong đó có một phơng trình mà hệ số của một
trong hai ẩn bằng 0 (tức là phơng trình một ẩn số)
- Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho
Cách 2: Sử dụng phơng pháp thế
- Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình
một ẩn
- Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
2. Hệ phơng trình đối xứng
a) Hệ đối xứng loại I: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì từng phơng trình không thay đổi
Phơng pháp: Đa về hệ phơng trình theo hai biến mới là: S = x + y và P = xy với điều kiện S 2 4P
b) Hệ đối xứng loại II: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì phơng trình này chuyển thành phơng trình kia
Phơng pháp: Trừ hai phơng trình với nhau để nhận dợc phơng trình mới có dạng tích số. Chú ý nếu hệ phơng
trình có nghiệm (x0; x0) (tức là x = y). Nếu hệ phơng trình có nghiệm (x, y) thì phơng trình cũng có nghiệm (y, x)
IV. Phơng trình quy về phơng trình bậc nhất (bậc hai)
1. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu số:
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa
Bớc 2: Qui đồng mẫu số để đa về phơng trình bậc nhất (bậc hai)
Bớc 3: Giải phơng trình bậc nhất (bậc hai) trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
2. Phơng trình chứa dấu trị tuyệt đối:
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa
Bớc 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối, biến đổi đa về phơng trình bậc nhất (bậc hai)
Bớc 3: Giải phơng trình bậc nhất (bậc hai) trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
3. Phơng trình trùng phơng: ax 4 + bx 2 + c = 0 (a 0)
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt x2 = t 0

Bớc 2: Biến đổi đa về phơng trình bậc hai ẩn t
Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
4. Phơng trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + d = b + c
1
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt t = x2 + (a + d)x + k = x2 + (b + c)x + k với k = ( ad + bc )
2
Bớc 2: Biến đổi đa về phơng trình bậc hai ẩn t
Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x
5. Phơng trình hồi qui
a) Dạng 1: Phơng trình có dạng ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 (a 0)
Phơng pháp: Bớc 1: Chia hai vế của phơng trình cho x2 0
1
Bớc 2: Đặt t = x + với điều kiện t 2 và đa về phơng trình bậc hai ẩn t
x
Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x
b) Dạng 2: Phơng trình có dạng ax 4 bx 3 + cx 2 bx + a = 0 (a 0)
Phơng pháp: Bớc 1: Chia hai vế của phơng trình cho x2 0
1
Bớc 2: Đặt t = x và đa về phơng trình bậc hai ẩn t
x
Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

3



2

6. Phơng trình có dạng ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 với

e d
;e0
=
a b ữ

2

Phơng pháp:

2

2

d
d
d d
d

d
Bớc 1: Đặt t = x + t 2 = x + ữ = x 2 + 2 + ữ x 2 + ữ = t 2 2
bx
bx
b bx
b


bx
Bớc 2: Đa về phơng trình bậc hai ẩn t
Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm

7. Phơng trình có dạng ( x + a ) + ( x + b ) = c
4

Phơng pháp:

4

a+b
a b
a b
x+a = t+
;x + b = t
2
2
2
Bớc 2: Đa về phơng trình trùng phơng ẩn t
Bớc 3: Giải phơng trình trùng phơng trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
Bớc 1: Đặt t = x +

V. Hàm số
1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0)
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b trong đó a 0
- Hàm số bậc nhất xác với mọi giá trị x R và có tính chất đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0
- Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đờng thẳng. Cắt trục tung tại điểm B(0; b). Cắt trục hoành tại điểm

b
A ;0 ữ (trong đó a gọi là hệ số góc, b gọi là tung độ góc)
a
- Các đờng thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau. Nếu gọi là góc hợp bới giữa
đờng thẳng và tia Ox thì a = tg
- Nếu đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) thì:
a = a'
(d) cắt (d) a a
(d) song song (d)
b b'
a = a'
(d) trùng (d)
(d) (d) a.a = -1
b = b'
2. Hàm số y = ax2 (a 0)
- Hàm số có tính chất: Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0. Nếu a < 0 thì hàm
số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
- Đồ thị hàm số là một Parabol với đỉnh là góc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
3. Các dạng toán
Dạng 1: Xác định hàm số bậc nhất (phơng trình đờng thẳng)
Phơng pháp: Dựa vào các điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b thì ax 0 + b = y0
Các kết quả đã nêu ở phần lý thuyết trên
Dạng 2: Xác định hàm số y = ax2 (a 0)
Phơng pháp: Dựa vào điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 thì ax02 = y0
Dạng 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị
Phơng pháp: Lập phơng trình hoành độ giao điểm
Giải phơng trình, từ đó tìm ra toạ độ các giao điểm
Dạng 4: Tơng giao giữa đờng thẳng và Parabol

Phơng pháp: Cho đờng thẳng có phơng trình y = ax + b (a 0) và Parabol y = Ax 2 (A 0). Xét phơng trình
hoành độ giao điểm Ax2 = ax + b (1). Ta có số giao điểm của hai đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm của phơng trình này
- Đờng thẳng cắt Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) có nghiệm
- Đờng thẳng không cắt Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) vô nghiệm
- Đờng thẳng tiếp xúc Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) có nghiệm kép
VI. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
1. Phơng pháp chung
- Chọn ẩn số và xác định điều kiện của ẩn số (đơn vị tính). ẩn số thờng là đại lợng cha biết trong bài toán.
Việc chọn một ẩn số hay hai ẩn số tuỳ thuộc vào số đại lợng cha biết trong bài toán
- Biểu diễn mối tơng quan giữa đại lợng đã biết và đại lợng cha biết
- Lập phơng trình (hay hệ phơng trình)
- Giải phơng trình (hay hệ phơng trình)
- Nhận định kết quả và trả lời
2. Các dạng toán
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

4


Dạng 1: Các bài toán về chuyển động
- Dựa vào quan hệ của ba đại lợng S: quãng đờng; t: thời gian; v: vận tốc của vật chuyển động đều trong
công thức S = v.t
- Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: Ví dụ khi giải bài toán chuyển động thuyền trên sông ta có: v 1 = v0 + v3; v2
= v0 v3 trong đó v1 là vận tốc thuyền đi xuôi dòng, v 2 là vận tốc thuyền đi ngợc dòng, v0 là vận tốc riêng của thuyền,
v3 là vận tốc dòng chảy
Dạng 2: Các bài toán về năng suất lao động
Dựa vào quan hệ ba đại lợng: N: năng suất lao động (khối lợng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời
s
gian); t: thời gian để hoàn thành một công việc; s: lợng công việc đã làm thì N =
t

Dạng 3: Các bài toán về làm chung làm riêng, vòi nớc chảy chung chảy riêng ...
Dựa vào kết quả sau
1
- Nếu x giờ (hoặc ngày) làm xong công việc thì mỗi giờ (hoặc ngày) làm đợc công việc đó
x
1
1
- Nếu trong 1 giờ: Đối tợng A làm đợc công việc, đối tợng B làm đợc công việc thì lợng công việc mà
y
x
1 1
cả hai làm đợc trong 1 giờ là + công việc
x y
1
a
- Nếu mỗi giờ làm đợc công việc thì a giờ làm đợc công việc
x
x
Dạng 4: Các bài toán sắp xếp, chia đều sản phẩm (hàng hóa ...)
Nh dạng 2: Chẳng hạn với ba đại lợng: N: số lợng hàng hoá phân phối cho mỗi xe; t: là số xe chở hàng; s:
s
tổng số lợng hàng hoá trong kho thì N =
t
Dạng 5: Các bài toán tìm số
Dựa vào mối liên hệ giữa các hàng trong một số
Chú ý: ab = 10a + b ; abc = 100a + 10b + c
Dạng 6: Các bài toán liên quan đến tỉ số %
m
Chú ý các kết quả sau: m% của A nghĩa là
.A

100
A m
m
Số A bằng m% số B nghĩa là =
hay A =
.B
B 100
100
m
Số A sau khi tăng lên m% thì đợc số mới có giá trị là A +
.A
100
Dạng 7: Các bài toán có nội dung hình học
Chú ý đến các hệ thức lợng trong tam giác, các công thức tính chu vi, diện tích ... của các hình ...

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

b
b'

C

cạnh đối

VII. Các bài toán hình học phẳng
1. Hệ thức lợng trong tam giác vuông
a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
A
Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH ta có
b2 = a. b

c2 = a. c
2
2
2
b +c =a
h2 = b. c
c
h
1
1 1
a. h = b. c
=
+
c'
h2 b 2 c 2
B
b) Tỉ số lợng giác của góc nhọn
H
a
- Các tỉ số lợng giác của góc nhọn đợc định nghĩa nh sau:
cạnh đối
cạnh kề
sin =
cos =
cạnh huyền
cạnh huyền
cạnh đối
cạnh kề
tg =
cotg =


cạnh kề
cạnh đối
cạnh kề
- Với hai góc và phụ nhau ta có
sin = cos
cos = sin
tg = cotg
cotg = tg
1
2
- Một số góc đặc biệt
sin300 = cos600 =
sin450 = cos45 0 =
2
2

5


3
tg450 = cot g45 0 = 1
2
3
t g300 = cot g60 0 =
co t g300 = t g600 = 3
3
c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin
góc kề. Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề

d) Một số công thức tính diện tích tam giác
a.h
a.b.sinC b.c.sin A c.a.sinB
S=
(h là đờng cao ứng với cạnh a)
S=
=
=
2
2
2
2
S = p.r (p là nửa chu vi, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác)
a.b.c
S=
(R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác)
4R
S = p ( p a ) ( p b ) ( p c ) (p là nửa chu vi của tam giác)
cos300 = sin600 =

2. Đờng tròn:
a) Sự xác định đờng tròn. Tính chất đối xứng của đờng tròn
- Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách đều điểm O một khoảng bằng R
- Tuỳ theo OM = R; OM < R; OM > R mà ta có điểm M nằm trên, nằm bên trong, nằm bên ngoài đờng tròn
- Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng vẽ đợc một và chỉ một đờng tròn
- Đờng tròn có tâm đối xứng, đó là tâm đờng tròn. Đờng tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đờng kính
nào của nó
b) Đờng kính và dây cung của đờng tròn. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Trong một đờng tròn, dây lớn nhất là đờng kính
- Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

- Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy
- Trong một đờng tròn: Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. Trong hai dây không bằng
nhau, dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn
c) Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn
Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của đờng thẳng và đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau; tiếp xúc nhau; cắt nhau. ứng với mỗi vị trí trên, khoảng cách d từ tâm đờng tròn đến đờng
thẳng và bán kính R của đờng tròn có các liên hệ: d > R; d = R; d < R. Ta có các định lí
- Nếu một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
- Nếu một đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đờng
thẳng ấy là một tiếp tuyến của đờng tròn
d) Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau:
Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là
tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
e) Đờng tròn nội tiếp tam giác, ngoại tiếp tam giác, bàng tiếp tam giác
- Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là
ngoại tiếp đờng tròn. Tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đờng phân giác các góc trong tam
giác
- Đờng tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác, còn tam giác gọi là nội tiếp
đờng tròn. Tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đờng trung trực tam giác
- Đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia là đ ờng
tròn bàng tiếp tam giác. Tâm của mỗi đờng tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của hai đờng phân giác của hai góc
ngoài tam giác hoặc giao điểm của tia phân giác của một góc trong và một trong hai đ ờng phân giác của góc ngoài
không kề với nó
f) Vị trí tơng đối của hai đờng tròn
Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của hai đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: Hai đờng tròn không giao
nhau, tiếp xúc nhau, cắt nhau
Do tính chất đối xứng của đờng tròn, nếu hai đờng tròn cắt nhau thì giao điểm đối xứng với nhau qua đờng
nối tâm, nếu hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì giao điểm nằm trên đờng nối tâm
g) Góc với đờng tròn:

+ Góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn đợc gọi là góc ở tâm. Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc
ở tâm chắn cung đó. Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo cung nhỏ. Số đo của nửa đờng tròn bằng 1800.
+ Góc nội tiếp: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai cạnh chứa dây cung của đờng tròn đó.
Cung bên trong của góc gọi là cung bị chắn. Trong một đờng tròn số đo của góc nội tiếp bằng nữa số đo cung bị
chắn
+ Góc tạo bởi giữa tiếp tuyến và dây cung: Cho đờng tròn (O), A là tiếp điểm, xAy là tiếp tuyến của (O) tại A,
AB là một dây cung. Góc tạo bởi tia Ax (hoặc tia Ay) với dây AB đợc gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Số đo
của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nữa số đo cung bị chắn
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

6


+ Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn: Mỗi góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn chắn hai cung: một cung nằm
bên trong góc và cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của cung đó. Số đo có đỉnh ở bên trong đ ờng tròn bằng nửa
tổng số đo hai cung bị chắn
+ Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn: Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn bằng nửa hiệu hai cung bị
chắn
Chú ý: Trong một đờng tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đờng tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
h) Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d
Rn
- Độ dài cung tròn n0 bán kính R : l =
180

I) Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn: S = R2
R 2n lR
- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n 0: S =
=
360
2
3. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau.
Cách chứng minh:
- Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba
- Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác
- Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau
- Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba
- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc vuông góc
- Hai góc so le trong, so le ngoài hoặc đồng vị
- Hai góc ở vị trí đối đỉnh
- Hai góc của cùng mộ tam giác cân hoặc đều
- Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba
- Hai cạnh của một tam giác cân hoặc tam giác đều
- Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau
- Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông)
- Hai cạnh bên của hình thang cân
- Hai dây trơng ứng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn hoặc hai đờng bằng
nhau. Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song

Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau: ở vị trí so le
trong; ở vị trí so le ngoài; ở vị trí đồng vị.
- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn
- Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành, chữ nhật, hình vuông, ...
Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc
Cách chứng minh:
- Chúng cùng song song với hai đờng thẳng vuông góc khác.
- Chứng minh chúng là chân đờng cao trong một tam giác.
- Đờng kính đi qua trung điểm của dây và dây không đi qua tâm.
- Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau.
- Tính chất 2 đờng chéo hình thoi, hình vuông
Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồng quy.
Cách chứng minh:
- Dựa vào tổng hai góc kề bù có tổng bằng 180 0
- Dựa vào hai góc đối đỉnh
- Dựa vào hai đờng thẳng đi qua một điểm cùng song song với đờng thẳng khác
- Dựa vào hai góc bằng nhau có 1 cạnh trùng nhau
- Chứng minh chúng là ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác
trong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngoài của hai góc kia)
- Vận dụng định lí đảo của định lí Talet.
Dạng 6: Chứng minh hai tam giác bằng nhau
* Hai tam giác thờng: - Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g)
- Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c)
- Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)
* Hai tam giác vuông: - Có một cạnh và một góc nhọn bằng nhau
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn


7


- Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau
- Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau
Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng
* Hai tam giác thờng: - Có hai góc bằng nhau đôi một (g-g)
- Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-g-c)
- Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-c-c)
* Hai tam giác vuông: - Có một góc nhọn bằng nhau
- Có hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ
- Có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ
Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Cách chứng minh:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc .
- Dựa vào phơng tích của đờng tròn
VIII. Các bài toán hình học không gian
1. Hình lăng trụ: Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt song song gọi là đáy và các cạnh không thuộc hai đáy
song song với nhau. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
Sxq = p. l (p là chu vi thiết diện thẳng, l là độ dài cạnh bên)
Lăng trụ đứng: Sxq = p. h (p là chu vi đáy, h là chiều cao)
V = B. h (B là diện tích đáy, h là chiều cao)
Hình hộp chữ nhật:
Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c là các kích thớc của hình hộp chữ nhật)
V = a. b. c
Các đờng chéo hình hộp chữ nhật d = a2 + b 2 + c 2
Hình lập phơng: V = a3 (a là cạnh)

2. Hình chóp: Hình chóp là hình đa diện có một mặt là đa giác, các mặt khác là tam giác có chung đỉnh. Hình chóp
đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các mặt bên bằng nhau. Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy
và thiết diện song song với đáy. Hình chóp cụt từ hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều
1
Hình chóp đều: Sxq = . n .a. d (n là số cạnh đáy; a là độ dài cạnh đáy; d là độ dài trung đoạn)
2
Stp = Sxq + B (B là diện tích đáy)
1
V= .B.h
3
1
Hình chóp cụt đều: Sxq = ( n.a + n.a' ) .d (n là số cạnh đáy; a, a cạnh đáy; d trung đoạn chiều cao mặt bên)
2
V = V1 + V2 (V1 thể tích hình chóp cụt; V2 thể tích hình chóp trên)
1
V = .h B + B'+ B.B' (B, B là diện tích đáy, h là chiều cao)
3
3. Hình trụ: Hình trụ là hình sinh ra bới hình chữ nhật quay xung quanh một cạnh của nó
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2. R. h (R là bán kính đáy; h là chiều cao)
- Diện tích toàn phần: Stp = 2. R. h + 2. R2
- Thể tích hình trụ: V = S. h = . R2. h (S là diện tích đáy)
4. Hình nón: Hình nón là hình sinh ra bởi tam giác vuông quay xung quanh một cạnh góc vuông của nó. Hình nón
cụt là phần hình nón giữa đáy và một thiết diện vuông góc với trục
Hình nón:
- Diện tích xung quanh: Sxq = . R. l (R là bán kính đáy; l là đờng sinh)
- Diện tích toàn phần: Stp = . R. l + . R2
1
- Thể tích: V = .R 2 .h (h là chiều cao)
3
Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: Sxq = (R1 + R2). l (R1; R2 là bán kính hai đáy; l là đờng sinh)

- Diện tích toàn phần: Stp = (R1 + R2). l + (R12 + R22)
1
- Thể tích: V = .h.(R12 + R 22 + R1 R 2 ) (h là chiều cao)
3
5. Hình cầu:
- Diện tích mặt cầu: S = 4. R2 (R là bán kính)
4
- Thể tích hình cầu: V = .R 3
3
IX. Bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị
1. Định nghĩa:
a>bab>0ba<0
abab0ba0
2. Một số tính chất:

(

)

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

8


A > B
A >C
1/
B > C
AC > BC,C > 0
3/ A > B

AC < BC,C < 0
A > B > 0
AC > BD
5/
C > D > 0

2/ A > B A + C > B + C
A > B
A +C >B+C
4/
C > D
6/ A > B > 0, n N* An > Bn

7/ A > B > 0,n N,n 2 n A > n B
A n > A m ,A > 1
n,m N*
9/
n
m
A < A ,0 < A < 1
n > m
3. Một số BĐT cơ bản:

( a + b)

2

1 1
A < B với AB > 0
8/ A > B

1 > 1 với AB < 0
A B
2n +1
2n +1
a > b a > b

10/
n N 2n+1 a > 2n+1 b
a a

4ab

a + b a+b

a b ab

1 1
4
1 1 1
9
(với a, b > 0)
(với a, b, c > 0)
+
+ +
a b a+b
a b c a+b+c
1 1
1
n2
a b

+ + ... +
(Với a1, a2, , an > 0)
+ 2 (với ab > 0)
a1 a2
an a1 + a 2 + ... + an
b a
a) Bất đẳng thức CauChy: Dạng tổng quát: Giả sử a1, a2, , an là các số thực không âm, khi đó ta có:
n
a1 + a2 + ... + an n
a1 + a2 + ... + an
Dạng 1:
Dạng 2:
a1a2 ...an
ữ a1a2 ...an
n
n


Đẳng thức xảy ra a1 = a2 = = an
n

S
S
* Nếu a1 + a2 + ... + an = S (const) thì Max ( a1a2 ...an ) = ữ xảy ra a1 = a2 = = an =
n
n
* Nếu a1a2...an = P (const) thì Min ( a1 + a2 + ... + an ) = n n P xảy ra a1 = a2 = = an = n P

Hệ quả:


Bất đẳng thức CauChy suy rộng: Cho n số dơng a1, a2, , an (n 2) và n số dơng 1, 2, n sao cho 1+



2 + + n = 1 thì: a1 1 .a1 1 ....a1 1 1a1 + 2a2 + ... + nan
Dấu bằng xảy ra a1 = a2 = = an
b) Bất đẳng thức: CauChy Bunhiakowski Schwarz (CBS)
Dạng tổng quát: Cho 2n số thực tuỳ ý a1, a2, ..., an; b1, b2, ..., bn khi đó:

(a

2
1

)(

Dấu đẳng thức xảy ra
Hệ quả:

)

+ a22 + ... + an2 b12 + b 22 + ... + bn2 ( a1b1 + a 2b2 + ... + a nbn )

2

a1 a2
a
= = ... = n
b1 b2
bn


(

)

* Nếu a1x1 + a2x2 + ... + anxn = c (const) thì Min x12 + x 22 + ... + x n2 =

c2
xảy ra
a12 + a22 + ... + an2

x1 x 2
x
= = ... = n
a1 a2
an
* Nếu x12 + x 22 + ... + x 2n = c2 (const) thì
x1 x 2
x
= = ... = n 0
a1 a2
an
x1 x 2
xn
= c . a12 + a 22 + ... + an2 = = ... = 0
a1 a2
an

Max { a1x1 + a2 x 2 + ... + an x n } = c . a12 + a 22 + ... + an2
Min{ a1x1 + a2 x 2 + ... + an x n }


Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

9


2
2
2
( a + a + ... + an )
Dạng khác của CBS: a1 + a2 + ... + an 1 2
b1 b2
bn
b1 + b2 + ... + bn

2

Phần II
Một số dạng bài tập tự luyện
Bài tập về biểu thức
1
a +2
5
Bài 1: Cho biểu thức : P =

+
a +3 a+ a 6 2 a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P < 1


x x +3
x +2
x +2
:
+
+
Bài 2: Cho biểu thức: P = 1
ữ
ữ


ữ
x + 1ữ

x 2 3 x x5 x +6
a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của a để P < 0
x 1
1
8 x 3 x 2

+
: 1
Bài 3: Cho biểu thức: P =
3 x 1 3 x + 1 9x 1 ữ
ữ 3 x + 1 ữ
ữ




a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P =

6
5



a 1
2 a
Bài 4: Cho biểu thức P = 1 +
:

ữ
a + 1ữ a 1 a a + a a 1ữ
ữ



a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P < 1
c) Tìm giá trị của P nếu a = 19 8 3
1 + a3

a(1 a)2 1 a 3
Bài 5: Cho biểu thức: P =
:
+ a ữ.
a ữ

ữ 1+ a
ữ
1+ a
1 a


1
b) Xét dấu của biểu thức M = a.(P- )
2
x +1
2x + x
x +1
2x + x
+
1ữ: 1 +

Bài 6: Cho biểu thức: P =
ữ
2x + 1
ữ
2x 1
2x + 1
2x 1 ữ



1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x = . 3 + 2 2
2


2 x
1
x
Bài 7: Cho biểu thức: P =

: 1+
ữ
ữ
x x + x x 1

ữ
x 1ữ

x + 1
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P 0

2a + 1
1 + a3
a
Bài 8: Cho biểu thức: P =

.
aữ
ữ
a3 1 a + a + 1 ữ 1 + a
ữ




a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P. 1 a
a) Rút gọn P

(

)

x+2
x +1
Bài 9: Cho biểu thức P = 1:
+

x x 1 x + x +1

a) Rút gọn P
1 a a
1+ a
Bài 10: Cho biểu thức : P =
+ a ữ.
1 a
ữ 1+


a) Rút gọn P

Bài 11: Cho biểu thức: P =



a) Rút gọn P

x +1
ữ.
x 1 ữ

b) So sánh P với 3

a
aữ
ữ
a

b) Tìm a để P < 7 4 3
2 x
x
3x + 3 2 x 2
+

1ữ
ữ:
ữ
x +3
x 3 x9 ữ
x 3

1
b) Tìm x để P <
2


Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

10


c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
x3 x 9x
x 3
x 2
1ữ:


Bài 12: Cho biểu thức: P =
ữ
x9
ữ x+ x 6 2 x
x +3ữ



a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P < 1
15 x 11 3 x 2 2 x + 3
Bài 13: Cho biểu thức : P =
+

x + 2 x 3 1 x
x +3
a) Rút gọn P
c) Chứng minh P

Bài 14: Cho biểu thức: P=

b) Tìm các giá trị của x để P=

1
2

2
3
2 x
x +m

x

+

x m



m2
4x 4m2

với m > 0

a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P = 0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x > 1
a2 + a 2a + a
Bài 15: Cho biểu thức P =


+1
a a +1
a
a) Rút gọn P
b) Biết a > 1 Hãy so sánh P với P
c) Tìm a để P = 2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
a +1
ab + a a + 1
ab + a
+
1ữ:

+ 1ữ
Bài 16: Cho biểu thức P =
ab + 1
ữ ab + 1
ữ
ab 1
ab 1



a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P nếu a = 2 3 và b =

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu


3 1
1+ 3

a+ b =4

a a 1 a a +1
1 a +1
a 1

+ a
+
ữ
ữ
a a a+ a
a a 1
a +1ữ

a) Với giá trị nào của a thì P = 7
b) Với giá trị nào của a thì P > 6

Bài 17: Cho biểu thức : P =

2

a
1 a 1
a + 1
Bài 18: Cho biểu thức: P =



ữ

ữ
2 2 a ữ a +1
ữ
a

1



a) Tìm các giá trị của a để P < 0
b) Tìm các giá trị của a để P = -2
Bài 19: Cho biểu thức P = (

a b

)

2

+ 4 ab a b b a
.
a+ b
ab
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi a = 2 3 và b = 3
x+2
x
1 x 1

Bài 20: Cho biểu thức : P =
+
+
:
x x 1 x + x + 1 1 x ữ
ữ 2


a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P > 0 x 1
2 x +x
1
x +2
Bài 21: Cho biểu thức : P =

: 1
ữ
ữ
x x 1

ữ
x 1ữ

x + x + 1
a) Rút gọn P
b) Tính P khi x= 5 + 2 3
3x


1

ữ
2
1
Bài 22: Cho biểu thức P = 1:
+ 2
ữ:
2+ x 4x 42 x ữ 42 x


a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = 20
3
3

Bài 23: Cho biểu thức : P = x y + x y
x y
yx



ữ:
ữ


(

x y

)


2

+ xy

x+ y

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

11


a) Rút gọn P

b) Chứng minh P 0


1
3 ab
1
3 ab
a b
Bài 24: Cho biểu thức P =
+
.

:
ữ
ữ
a + b a a + b b ữ a b a a b b ữ a + ab + b





a) Rút gọn P
b) Tính P khi a =16 và b = 4
2a + a 1 2a a a + a a a
Bài 25: Cho biểu thức: P = 1 +

.
ữ
1 a
ữ 2 a 1
1

a
a


6
2
a) Cho P=
tìm giá trị của a
b) Chứng minh rằng P >
3
1+ 6
x 5 x 25 x
x +3
x 5
Bài 26: Cho biểu thức: P =
1ữ:


+
ữ
x 25
ữ x + 2 x 15
x +5
x 3 ữ



a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P < 1

(

)

( a 1) . a b
ữ:
a bữ
2a + 2 ab + 2b
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
a +2
ữ
a 1 ữ

1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P >
6

3
1
1
2
1 1 x + y x + x y + y3
+
+ + :
Bài 29: Cho biểu thức: P =
ữ.
yữ
x
x 3 y + xy 3
x + y x y
a) Rút gọn P
b) Cho x.y = 16. Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất

3 a
3a
Bài 27: Cho biểu thức P =

a + ab + b a a b b

a) Rút gọn P
1
1 a +1
Bài 28: Cho biểu thức P =


ữ:
a a 2

a 1

Bài 30: Cho biểu thức : P =

x3
xy 2y

+

2x



1

.

1 x

x + x 2 xy 2 y 1 x
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y = 625 và P < 0,2

x +2
x 2 x +1

.
Bài 31 : Cho biểu thức : Q =
x + 2 x +1 x 1 ữ
ữ

x


a) Tìm x để Q > Q
Bài 32 : Cho biểu thức P =

b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
1
x +1

+

x
x x

a) Rút gọn biểu thức sau P.
Bài 33 : Cho biểu thức : A =

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =

1
2

x x +1 x 1

x 1
x +1

a) Rút gọn biểu thức


b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

c) Tìm x để A < 0.

d) Tìm x để

1
4

A =A

1
1
3
Bài 34 : Cho biểu thức : A =
+
ữ 1
ữ
a + 3
a
a 3
a) Rút gọn biểu thức sau A.

b) Xác định a để biểu thức A >

1
.
2

x + 1 x 1 x 2 4x 1 x + 2010


+
Bài 35 : Cho biểu thức: A =
.
ữ.
x2 1
x
x 1 x +1
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
b) Tìm x Z để A Z

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

12


(

)


2 x 2 x +1
Bài 36 : Cho biểu thức: A = x x 1 x x + 1 ữ:
.
x x x+ x ữ
x

1



a) Tìm x để A < 0.
b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên
x+2
x
1 x 1
+
+
:
Bài 37 : Cho biểu thức: A =
x x 1 x + x + 1 1 x ữ
ữ 2


a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2
a +3
a 1 4 a 4
Bài 38 : Cho biểu thức: P =
(a 0; a 4)

+
4a
a 2
a +2
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9
a + a a a
1
Bài 39 : Cho biểu thức: N = 1 +
ữ

ữ

ữ
a
+
1
a 1 ữ


a) Rút gọn biểu thức N.
b) Tìm giá trị của a để N = -2010
x x + 26 x 19 2 x
x 3
Bài 40 : Cho biểu thức P =

+
x+2 x 3
x 1
x +3
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x = 7 4 3
c) Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó
2 x
x
3x + 3 2 x 2
+

1ữ
Bài 41 : Cho biểu thức P =
ữ:

x +3
ữ
x +3 x9 ữ

x 3

a) Tìm x để P <

1
2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

a +1

a 1
1
Bài 42: Cho A=

+ 4 a ữ. a +
ữ với x > 0 ,x 1
a 1
ữ
a +1
a


a) Rút gọn A

(


)(

b) Tính A với a = 4 + 15 .

)(

10 6 .

4 15

)

x3 x 9x
x 3
x 2
Bài 43: Cho A=
1ữ:
+

với x 0 , x 9, x 4
ữ
x9
ữ x+ x 6
ữ
x

2
x
+

3



a) Tìm x để A < 1.
b) Tìm x Z để A Z
15 x 11 3 x 2 2 x + 3
Bài 44: Cho A =
với x 0 , x 1.
+

x + 2 x 3 1 x
x +3
a) Rút gọn A.
b) Tìm GTLN của A.
1
2
c) Tìm x để A =
d) CMR : A
2
3
x+2
x +1
1
Bài 45: Cho A =
với x 0 , x 1.
+
+
x x 1 x + x + 1 1 x
a) Rút gọn A.

b) Tìm GTLN của A
1
3
2

+
Bài 46: Cho A =
với x 0 , x 1.
x +1 x x +1 x x +1
a) Rút gọn A.
b) CMR : 0 A 1
x 5 x 25 x
x +3
x 5
Bài 47: Cho A =
1ữ:

+
ữ
x 25
ữ x + 2 x 15
x +5
x 3ữ



a) Rút gọn A.
b) Tìm x Z để A Z
2 a 9
a + 3 2 a +1

Bài 48: Cho A =
với a 0 , a 9 , a 4.


a5 a +6
a 2 3 a
a) Tìm a để A < 1
b) Tìm x Z để A Z
x x +7
1 x +2
x 2 2 x
Bài 49: Cho A =
+
:


ữ
ữ với x > 0 , x 4.
x4

x 2ữ
x +2 x4ữ

x 2

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

13



a) Rút gọn A.

b) So sánh A với

3
3
xy
x

y
Bài 50: Cho A =
+
x y
yx

a) Rút gọn A.


ữ:
ữ


(

x y

)

2


+ xy

x+ y

1
A

với x 0 , y 0, x y

b) CMR : A 0
x +1
x 1
+
ữ Với x > 0 , x 1
x 1
x + 1ữ

b) Tìm x để A = 6

x x 1 x x +1
1

+ x
ữ.
x x x+ x
x
a) Rút gọn A.


x 4

3 ữ x +2
x

Bài 52 : Cho A =
+
:

ữ với x > 0 , x 4.
x x 2
x 2 ữ
x
x 2ữ



a) Rút gọn A
b) Tính A với x = 6 2 5
Bài 51 : Cho A =

(

)

1 1
1
1
1
Bài 53 : Cho A=
+


với x > 0 , x 1.
ữ:
ữ+
1 x 1+ x 1 x 1+ x 2 x
a) Rút gọn A
b) Tính A với x = 6 2 5
2x + 1
1
x+4
Bài 54 : Cho A = 3
: 1
với x 0 , x 1.
ữ

ữ x + x + 1ữ
x

1

x

1


a) Rút gọn A.
b) Tìm x nguyên để A nguyên
1
1
2 x 2
2

Bài 55: Cho A=

:

với x 0 , x 1.
ữ
x + 1 x x x + x 1ữ x 1 x 1ữ



a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A đạt GTNN
2 x
x
3x + 3 2 x 2
Bài 56 : Cho A =
+

1ữ với x 0 , x 9
ữ:
x +3
ữ
x 3 x9 ữ

x 3

1
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 2
x +1

x 1 8 x x x 3
1


:

Bài 57 : Cho A =
ữ
ữ với x 0 , x 1.
x 1

x +1 x 1ữ
x 1ữ

x 1

a) Tính A với x = 6 2 5
b) CMR : A 1
1
x +1
1
Bài 58 : Cho A =
với x > 0 , x 1.
+
ữ:
x 1 x 2 x + 1
x x
a) Rút gọn A
b) So sánh A với 1
x 1

1
8 x 3 x 2
1

+
: 1
Bài 59 :
Cho A =
Với x 0,x
3 x 1 3 x + 1 9x 1 ữ
ữ 3 x + 1 ữ
ữ
9



6
a) Tìm x để A =
b) Tìm x để A < 1.
5
x 2
x + 2 x 2 2x + 1
Bài 60 : Cho A =

.
với x 0 , x 1.
x 1 x + 2 x + 1ữ
ữ
2



a) Rút gọn A.
b) CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c) Tính A khi x = 3 + 2 2
d) Tìm GTLN của A
Bài tập về phơng trình bậc hai
Bài 1: Cho phơng trình : m 2x

(

)

2

2 1 = 2 x + m2

a) Giải phơng trình khi m = 2 + 1
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

14


b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 3 2
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 2: Cho phơng trình : ( m 4 ) x 2 2mx + m 2 = 0
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 2 .Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt
c) Tính x12 + x 22 theo m


Bài 3: Cho phơng trình : x 2 2 ( m + 1) x + m 4 = 0
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M = x1 ( 1 x 2 ) + x 2 ( 1 x1 ) không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Tìm m để phơng trình
a) x 2 x + 2( m 1) = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt
b) 4x 2 + 2x + m 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt

(

)

c) m2 + 1 x 2 2 ( m + 1) x + 2m 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu

Bài 5: Cho phơng trình : x 2 ( a 1) x a2 + a 2 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để x12 + x 22 đạt giá trị nhỏ nhất
1 1 1
Bài 6: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức: + = . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau
b c 2
phải có nghiệm x2 + bx + c = 0 và x2 + cx + b = 0
Bài 7: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:
2x2 (3m + 2)x + 12 = 0 và 4x2 (9m 2)x + 36 = 0
Bài 8: Cho phơng trình : 2x 2 2mx + m2 2 = 0
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng trình
Bài 9: Cho phơng trình bậc hai tham số m : x 2 + 4x + m + 1 = 0
a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện x12 + x 22 = 10


Bài 10: Cho phơng trình x 2 2 ( m 1) x + 2m 5 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 11: Cho phơng trình x 2 2 ( m + 1) x + 2m + 10 = 0 (với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x 1; x2 hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x 1; x2 mà
không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để 10x1x 2 + x12 + x 22 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 12: Cho phơng trình ( m 1) x 2 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1
b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của ph ơng trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
x x 5
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức: 1 + 2 + = 0
x 2 x1 2
2
Bài 13: Cho phơng trình: x mx + m 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm x 1; x2 với mọi m; tính nghiệm kép ( nếu có) của phơng trình và giá trị
của m tơng ứng
b) Đặt A = x12 + x 22 6x1x 2 . Chứng minh A = m2 8m + 8 .
c) Tìm m để A = 8 và tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng.
d) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
Bài 14: Giả sử phơng trình a.x 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2. Đặt Sn = x1n + x 2n (n nguyên dơng)
a) Chứng minh: a.Sn+ 2 + bSn+1 + cSn = 0

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

15



5

5

1+ 5 1 5
b) áp dụng Tính giá trị của : A=
+
2 ữ
ữ 2 ữ
ữ



Bài 15: Cho f(x) = x2 - 2 (m + 2).x + 6m + 1
a) CMR phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
b) Đặt x = t + 2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2
Bài 16: Cho phơng trình: x 2 2 ( m + 1) x + m2 4m + 5 = 0
a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính x12 + x 22 theo m
Bài 17: Cho phơng trình x 2 4x 3 + 8 = 0 có hai nghiệm là x1; x2. Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu
6x 2 + 10x x + 6x 2
thức : M = 1 3 1 2 3 2
5x1x 2 + 5x1 x 2
Bài 18: Cho phơng trình x 2 2 ( m + 2 ) x + m + 1 = 0

1

2
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để : x1(1 2x 2 ) + x 2 (1 2x1 ) = m2
Bài 19: Cho phơng trình x 2 + mx + n 3 = 0 (1) (n , m là tham số)
a) Cho n = 0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
x x =1
b) Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phơng trình (1) thoả mãn hệ : 21 22
x1 x 2 = 7
a) Giải phơng trình khi m =

Bài 20: Cho phơng trình: x 2 2 ( k 2 ) x 2k 5 = 0 ( k là tham số)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho x12 + x 22 = 18

Bài 21: Cho phơng trình ( 2m 1) x 2 4mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = 1
b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 22: Cho phơng trình: x 2 ( 2m 3 ) x + m2 3m = 0
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 1 < x1 < x 2 < 6
Bài 23: Cho phơng trình x 2 2mx + 2m 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1; x2 với mọi m.
b) Đặt A = 2(x12 + x 22 ) 5x1x 2 . CMR A = 8m2 18m + 9 . Tìm m sao cho A = 27
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia
Bài 24: Giải và biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) + 2m + 10 = 0
Bài 25: Giải và biện luận phơng trình: (m - 3) x2 2mx + m 6 = 0
Bài 26: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x2 + 2007x 2009 = 0
b) 17x2 + 221x + 204 = 0

c) x2 + ( 3 5 )x - 15 = 0
d) x2 (3 - 2 7 )x - 6 7 = 0
Bài 27: Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
a) x2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0
b) (m 3)x2 (m + 1)x 2m + 2 = 0
2
Bài 28: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x 3x 7 = 0
a) Tính: A = x12 + x22
B = x1 x 2
C=

1
1
+
x1 1 x 2 1

D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

1
1
và
x1 1
x2 1
Bài 29: Cho phơng trình: x2 ( k 1)x - k2 + k 2 = 0 (1) (k là tham số)
a) Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
c) Gọi x1, x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
b) Lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn


16


Bài 30: Cho phơng trình: x2 2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
a) Giải phơng trình (1) với m = -5
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m
c) Tìm m để x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là ha1 nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần b)
Bài 31: Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)
9
a) Giải phơng trình khi m = 2
b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m
c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần
nghiệm kia.
Bài 32: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
a) Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
b) Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Bài 33: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
a) Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
b) Tìm k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10
Bài 34: Cho phơng trình : x2 6x + 1 = 0, gọi x 1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình. Không giải phơng trình, hãy
tính: a) x12 + x22
b) x1 x1 + x 2 x 2
c)

x12 + x 22 + x1x x ( x1 + x 2 )

.
x12 x12 1 + x 22 x 22 1

Bài 35: Cho phơng trình bậc hai: x2 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình).
Bài 36: Cho phơng trình: x2 2mx + 2m 5 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để: x12(1 x22) + x22(1 x12) = -8.
Bài 37: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
a) Giải phơng trình với m = 0.
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4.
Bài 38: Cho phơng trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1).
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x13 + x23.
Bài 39: Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 0.
Bài 40: Cho phơng trình: (m 1)x2 + 2mx + m 2 = 0 (*)
a) Giải phơng trình khi m = 1.
b) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 41: Cho phơng trình (2m - 1)x2 - 2mx + 1 = 0. Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1, 0)
Bài 42: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó:
a) 2x2 + (3m + 1)x 9 = 0 và 6x2 + (7m 1)x 19 = 0.
b) 2x2 + mx 1 = 0 và mx2 x + 2 = 0.
c) x2 mx + 2m + 1 = 0 và mx2 (2m + 1)x 1 = 0.
Bài 43: Xét các phơng trình sau: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2)
Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duy nhất.
Bài 44: Cho hai phơng trình: x2 2mx + 4m = 0 (1) và x2 mx + 10m = 0 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phơng trình (1)
Bài 45: Cho hai phơng trình: x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0
a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung.

b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 46: Cho hai phơng trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) và x2 + 2x + m = 0 (2)
a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 47: Cho các phơng trình: x2 5x + k = 0 (1) và x2 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của phơng trình
(1).

(

)

(

)

Bài tập về hàm số bậc nhất
Bài 1: a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
b) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành
Bài 2 Cho hàm số y = (m 2)x + m + 3.
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

17


a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x 1 đồng quy
Bài 3: Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.

a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -4).
c) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m
Bài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
a) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
b) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng
thời đi qua điểm C(0 ; 2).
Bài 5: Cho hàm số y = (2m 1)x + m 3.
a) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy.
c) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1
6x
4x 5
Bài 6 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau : y =
;y=
và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
4
3
Bài 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1).
Bài 8 : Cho hàm số : y = x + m
(D). Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :
a) Đi qua điểm A(1; 2010).
b) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0.
Bài 9: Cho hàm số y = (m - 2)x + n
(d)
Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)
b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+ 2 .
c) Cắt đờng thẳng -2y + x 3 = 0
d) Song song vối đờng thẳng 3x + 2y = 1

Bài 10: Cho hàm số : y = 2x 2 (P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ
c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d) y = mx 1 theo m
d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0; -2) và tiếp xúc với (P)
Bài 11 : Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y = 2x + m
1) Xác định m để hai đờng đó :
a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x= -1. Tìm hoành độ điểm còn lại
Tìm toạ độ A và B
2) Trong trờng hợp tổng quát, giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N. ìm toạ độ trung điểm I của
đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi.
Bài 12: Cho đờng thẳng (d) 2(m 1)x + (m 2)y = 2
a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y = x 2 tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài 13: Cho (P) y = x 2
a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với
(P)
b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 2
3
Bài 14: Cho đờng thẳng (d) y = x 3
4
a) Vẽ (d). Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
b) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Bài 15: Cho hàm số y = x 1 (d)
a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d)
b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phơng trình x 1 = m
Bài 16: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng : (d) y = (m 1)x + 2

(d') y = 3x 1
a) Song song với nhau
b) Cắt nhau
c) Vuông góc với nhau
Bài 17: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng : (d1): y = 2x 5; (d2): y = x + 2; (d3): ax - 12 đồng quy tại một điểm trong
mặt phẳng toạ độ
Bài 18: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x + (m - 1)y = 1 luôn đi qua một điểm cố định
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

18


1
Bài 20: Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y=ax + b .Xác định a và b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1; 0) và tiếp
2
xúc với (P).
Bài 21: Cho hàm số y = x 1 + x + 2
a) Vẽ đồ thị hàn số trên
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x 1 + x + 2 = m
Bài 22: Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y = 2x + m
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
2
x
Bài 23: Cho (P) y =
và (d) y = x + m
4
a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4

d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P)
Bài 24: Cho hàm số y = x 2 (P) và hàm số y = x + m (d)
a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng. Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai
điểm A và B bằng 3 2
Bài 25: Cho điểm A(-2; 2) và đờng thẳng ( d1 ) y = -2(x + 1)
a) Tìm a để hàm số y = a.x 2 (P) đi qua A
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d2) đi qua A và vuông góc với (d1)
c) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d 2) ; C là giao điểm của (d 1) với trục tung. Tìm toạ độ của B và C. Tính
diện tích tam giác ABC
1
Bài 26: Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lợt là -2 và 4
4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x 2;4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
x2
và điểm M (1; -2)
4
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi x A ; xB lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để x A2 xB + x A xB2 đạt giá trị nhỏ nhất
d) Gọi A' và B' lần lợt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B.
*Tính S theo m;
*Xác định m để S= 4(8 + m2 m2 + m + 2)

Bài 27: Cho (P) y =

Bài 28: Cho hàm số y = x 2 (P)

a) Vẽ (P)
b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
1
Bài 29: Trong hệ toạ độ xOy cho Parabol (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y = mx 2m 1
4
a) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
1
Bài 30: Cho (P) y = x 2 và điểm I(0; -2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m.
4
a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B m R
b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
3
x2
Bài 31: Cho (P) y =
và đờng thẳng (d) đi qua điểm I( ;1) có hệ số góc là m
2
4
a) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
b) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
x
x2
Bài 32: Cho (P) y =
và đờng thẳng (d) y = + 2
2
4
a) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
b) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn


19


Bài 33: Cho (P) y = x 2
a) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 34: Cho (P) y = 2x 2 . Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các giá trị của
m và n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB
(d1 )x + y = m
Bài 35: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình
cắt nhau tại một điểm trên (P)
(d2 )mx + y = 1
y = 2x 2
Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn
Bài 1: Giải các phơng trình sau đây:
x
x
2x 3 - 1
a)
b) 3
=2
+
=2
x - 1 x+2
x + x +1
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình theo m:
(m 2)x + m2 4 = 0
Bài 3: Tìm m Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên: (2m 3)x + 2m 2 + m - 2 = 0.

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 7x + 4y = 23.
Bài 4: Giải hệ phơng trình:
2x 3y = 5
x + 4y = 6
2x y = 3
a)
b)
c)
3x + 4y = 2
4x 3y = 5
5 + y = 4x
5
2
+
=2

x y = 1
2x + 4 = 0
x x + y
d)
e)
f)
4x + 2y = 3
x + y = 5
3 + 1 = 1,7
x x + y
mx y = 2
Bài 5: Cho hệ phơng trình :
x + my = 1
a) Giải hệ phơng trình theo tham số m.

b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m
x 2y = 3 m
Bài 6: Cho hệ phơng trình:
2x + y = 3(m + 2)
a) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất
(a 1)x + y = a
Bài 7: Cho hệ phơng trình:
có nghiệm duy nhất là (x; y).
x + (a 1)y = 2
a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
b) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 17y = 5.
2x 5y
c) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức
nhận giá trị nguyên.
x+y
x + ay = 1
Bài 8: Cho hệ phơng trình:
(1)
ax + y = 2
a) Giải hệ (1) khi a = 2.
b) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
mx y = n
Bài 9: Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình
có nghiệm là 1; 3 .
nx + my = 1

(


)

( a + 1) x + y = 4
Bài 10: Cho hệ phơng trình
(a là tham số).
ax + y = 2a
a) Giải hệ khi a = 1.
b) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y 2.
x - (m + 3)y = 0
Bài 11: Cho hệ phơng trình :
(m là tham số).
(m - 2)x + 4y = m - 1
a) Giải hệ khi m = -1.
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

20


b) Giải và biện luận phơng trình theo m.
x - m y = 0
Bài 12: Cho hệ phơng trình:
(m là tham số).
mx 4y = m + 1
a) Giải hệ khi m = -1.
b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác định mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.
( m + 1) x y = m + 1
Bài 13: Tìm m để hệ phơng trình
Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y nhỏ nhất
x + ( m 1) y = 2

Bài 14: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị
x y = 2
x + 1 = y

y + 1 = x 1
a)
b) x y
c)
2y 5 = x
y = 3x 12
+ =1
4 4
2x + by = 4
Bài 15: Cho hệ phơng trình :
bx ay = 5
a) Giải hệ phơng trình khi a = b
b) Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm (x; y) = (1; -2)
mx y = 2m
Bài 16: Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m:
4x my = 6 + m
x + ay = 1
Bài 17: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình :
ax + y = 2
a) Có một nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
2
2
x + xy + y = 19
Bài 18: Giải hệ phơng trình sau:
x xy + y = 1


x 1 + y 2 = 1
Bài 19*: Tìm m sao cho hệ phơng trình sau có nghiệm:
2
( x y ) + m ( x y 1) x + y = 0
2x 2 xy + 3y 2 = 13
Bài 20: GiảI hệ phơng trình: 2
2
x 4xy 2y = 6
a3 + 2b2 4b + 3 = 0
Bài 21*: Cho a và b thoả mãn hệ phơng trình 2 2 2
.Tính a2 + b2
a
+
a
b

2b
=
0

(a + 1)x y = 3
Bài 21: Cho hệ phơng trình
a.x + y = a
a) Giải hệ phơng rình khi a= - 2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y > 0

Giải toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
1. Toán chuyển động
Bài 1: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km. Cùng một lúc, một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp

nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe
biết rằng trên đờng AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi
Bài 2: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ. Tính vận tốc của
ca nô khi nớc yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nớc là 4 km/h.
Bài 3: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngựơc từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn
thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h
Bài 4: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng và một đoạn đờng dốc. Vận tốc
trên đoạn đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h. Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn
đoạn đờng bằng là 110km và thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút. Tính chiều dài quãng đờng
ngời đó đã đi.

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

21


Bài 5: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tảI đi với vận tốc 30 km/h, xe con đi với vận tốc 45
3
km/h. Sau khi đi đợc quãng đờng AB, xe con tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đờng còn lại. Tính quãng đ4
ờng AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.
Bài 6: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định. Khi từ B về A ngời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết rằng thời gian về
nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 7: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ng ợc chiều nhau. Sau 1h40 thì gặp nhau. Tính
vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ng ợc 9Km/h và vận tốc dòng nớc là 3 Km/h.
Bài 8: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km. Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h. Sau đó 2 giờ
một ngời đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h. Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu
Km ?
Bài 9: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h. Sau đó một thời gian, một ng ời đi xe máy cũng xuất phát từ
A với vận tốc 30 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ngời đi xe máy tại B. Nhng sau khi đi đợc nửa
quãng đờng AB, ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 km/h nên hai ngòi gặp nhau tại C cách B 10 km. Tính quãng đờng AB

Bài 10: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h. Khi đến B ng ời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở
về A với vận tốc trung bình là 24 km/h. Tính quãng đờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
Bài 11: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h, sau đó ng ợc từ B về A. Thời gian đi xuôi ít
hơn thời gian đi ngợc là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 3 Km/h và vận
tốc riêng của ca nô là không đổi .
Bài 12: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi
còn 60 km nữa thì đợc một nửa quãng đờng AB, ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại. Do
đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đờng AB.
Bài 13: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II
chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy. Tính chiều dài quãng đờng
sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc .
Bài 14: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một ngời đi xe máy cũng đi từ A và
đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 15: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km. Một lần khác, ca nô đó cũng
chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km. Tính vận tốc dòng nớc chảy và vận tốc riêng (thực) của ca
nô.
Bài 16: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tầu khi n ớc
yên lặng, biết rằng vận tốc dòng nớc là 4 km/h.
Bài 17: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi
theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng ca nô chạy nhanh hơn
thuyền 12 km/h.
Bài 18: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120 km trong một thời gian đã định.
Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên nửa
quãng đờng còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng.
Bài 19: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau khi đi đ ợc 1 giờ ôtô bị
chắn đờng bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu
của ôtô.
Bài 20: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi còn cách B 30 km, ngời đó nhận thấy rằng sẽ
đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ tới đích sớm hơn
nửa giờ.Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu.

Bài 21: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km. Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô
thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe ô tô .
2
Bài 22: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi đợc quãng đờng với vận tốc đó, vì đờng
3
khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn lại. Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so
với dự định. Tính quãng đờng AB
Bài 23: Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm
mất 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc
đầu .
Bài 24: Quãng đờng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc của ôtô thứ nhất hơn
vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai 2h. Tính vận tốc của mỗi ôtô?
Bài 25: Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại từ B về
A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của
ô tô.
Bài 25: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi
với vận tốc dòng nớc 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km.
Tính vận tốc thực của ca nô.
Bài 26: Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ
nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc mỗi xe
Bài 27: Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một ngời đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau 2h, một ngời đi xe
đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

22


Bài 28: Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi
ngợc là 40'. Tính khoảng cách giữa A và B. Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dòng nớc là 3km/h.
Bài 29: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A và đến B sớm hơn

một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần xe đạp
2. Toán năng suất
Bài 1: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong
công việc ấy, thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc
ấy trong bao lâu?
Bài 2: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày
đã vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104
000 đôi giầy. Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch.
Bài 3: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá, nhng đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần
nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã
định
Bài 4: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng. Trớc khi làm việc đội xe đó đợc bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe
chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối
lợng bằng nhau.
Bài 5: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán. Nếu làm chung trong 4 giờ tổ 1 và 6 giờ của tổ 2 thì hoàn
2
thành đợc
mức khoán. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao
3
lâu ?
Bài 6: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định. Họ làm chung với nhau
trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai
làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 7: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6
giờ thì họ làm đợc 25% côngviệc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong .
Bài 8: Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi
làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công
nhân ? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là nh nhau.
Bài 9: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ 2 làm 6 giờ
thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong ?.

Bài 10: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 vợt 20%. Do đó cuối
tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đ ợc bao nhiêu sản
phẩm
Bài 11: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12%
nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ?
Bài 12: Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu ngời. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng
1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 ngời. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay ?
3. Toán thể tích
Bài 1: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút. Nếu chảy riêng thì
vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể
?
Bài 2: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng, vòi thứ
nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong
bao lâu ?
Bài 3: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10
1
m3. Sau khi bơm đợc
thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm đ ợc 15 m3. Do
3
vậy so với quy định, bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút. Tính thể tích bể chứa.
Bài 4: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ
1
nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ đ ợc bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì
5
sau bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 5: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể. Nếu chảy riêng thì
vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?
Bài 6: Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nu chảy cùng một thời gian nh nhau thì lợng nớc
2
của vòi II bằng lợng nớc của vòi I chảy đợc. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể

3
Bài 7: Nếu mở cả hai vòi nớc chảy vào mệt bể cạn thì sau 2 giờ 55phút bể đầy bể. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ
nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể ?
4. Một số dạng khác

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

23


Bài 1: Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đ ợc tất cả 80 cây. Biết
rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng đợc nhiều
hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ.
Bài 2: Một hình chữ nhật có diện tích 300m 2. Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m thì ta đợc hình chữ
nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu.
Bài 3: Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120 lít. Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem rót vào hai bình kia thì
1
1
hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2 chỉ đợc thể tích của nó, hoặc bình thứ 2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc thể
2
3
tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình
Bài 4: Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng nhau. Nếu số hàng
tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao
nhiêu ghế ?
Bài 5: Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đờng kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu
chúng chuyển động ngợc chiều nhau thì cứ 2 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhau thì cứ sau
10 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
Bài 6: Một khối lớp tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Mỗi xe chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ôtô
thì có thể xếp đều các học sinh trên các ôtô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô, bao nhiêu học sinh. Mỗi xe chở

không quá 32 học sinh.
Bài 7: Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất 300 chi tiết máy
trong một ngày. Nhng thực tế mỗi ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản xuất thêm đợc tất cả là 600 chi
tiết và hoàn thành kế hoạch trớc 1 ngày. Tính số chi tiết máy dự định sản xuất.
Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở
thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe ?
Bài 9: Hai tổ học sinh trồng đợc một số cây trong sân trờng. Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây
trồng đợc của cả hai tổ sẽ bằng nhau. Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đ ợc của tổ hai
sẽ gấp đôi số cây của tổ một. Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu cây ?
Bài 10: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi hợp tác xã đã bán cho nhà n ớc.
Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xã thứ nhất bán cho nhà nớc nhiều hơn hai lần số thóc hợp tác xã thứ hai bán là
280 tấn
Bài 11: Để chở một số bao hàng bằng ôtô, ngời ta nhận thấy nếu mỗi xe chở 22 bao thì còn thừa một bao. Nếu bớt đi
một ôtô thì có thể phân phối đều các bao hàng cho các ôtô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô và tất cả có bao
nhiêu bao hàng. Biết rằng mỗi ôtô chỉ chở đợc không quá 32 bao hàng (giả thiết mỗi bao hàng có khối lợng nh nhau)
Bài 12: Mỗi ngời dán tất cả tem của mình vào một quyển vở. Nếu dán 20 tem trên một tờ thì quyển vở không đủ để
dán hết số tem. Còn nếu mỗi tờ dán 23 tem thì ít nhất một tờ trong quyển vở còn bị bỏ trống. Nếu giả sử cũng trên
quyển vở đó mà trên một tờ dán 21 tem thì tổng số tem dán trên quyển vở đó với số tem thực có của ng ời đó là 500
tem. Hỏi quyển vở đó có bao nhiêu tờ và số tem ngời đó có ?
Bài 13: Tìm một số gồm ba chữ số sao cho khi ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt về bên trái của một số gồm hai chữ số
còn lại, ta đợc một có ba chữ số lớn hơn số ban đầu 765 đơn vị.
Bài 14: Một trăm con trâu ăn một trăm bó cỏ. Trâu đứng mỗi con ăn năm bó, trâu nằm mỗi con ăn ba bó, trâu già 3
con ăn một bó. Tìm số trâu mỗi loại ?
Bài 15: Tìm một số có 2 chữ số biết rằng nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì đ ợc thơng là 4 và d là
3. Còn nếu đem số đó chia cho tích các chữ số của nó thì đợc thơng là 3 và d là 5.
Bài 16: Hai đội cờ thi đấu với nhau. Mỗi đấu thủ của đội này phải đấu một ván với mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng
tổng số ván cờ đã đấu bằng bình phơng số đấu thủ của đội thứ nhất cộng với số đấu thủ của đội thứ hai. Hỏi mỗi
đội có bao nhiêu đấu thủ ?
Bài 17: Hai đội bóng bàn của hai trờng A, B thi đấu giao hữu để chuẩn bị tranh giải toàn tỉnh. Biết rằng mỗi đấu thủ
của đội trờng A phải lần lợt gặp các đối thủ của trờng B một lần và số trận đấu gấp 2 lần tổng số đấu thủ của 2 đội.

Tìm số đấu thủ của mỗi trờng.
Bài 18: Trong một cuộc gặp mặt học sinh giỏi có 35 bạn học sinh giỏi văn và toán tham dự. Các học sinh giỏi văn
tính số ngời quen của mình là các bạn học sinh giỏi toán và nhận thấy rằng : bạn thứ nhất quen 6 bạn; Bạn thứ 2
quen 7 bạn; Bạn thứ 3 quen 8 bạn ; ... và cứ thế bạn cuối cùng quen tất cả các bạn học sinh giỏi toán. Tính số học
sinh giỏi văn, giỏi toán. Biết rằng không có học sinh nào vừa giỏi văn vừa giỏi toán.
Bài 19: Trong một buổi liên hoan, một lớp khách mời 15 khách đến dự. Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê thêm
một dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải ngồi thêm một nữa thì mới đủ chỗ ngồi. Biết rằng mỗi dãy ghế đều có số
ngời ngồi nh nhau và ngồi không quá năm ngời. Hỏi lớp học lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế
Bài 20: Một đoàn gồm 50 học sinh qua sông cùng một lúc bằng 2 loại thuyền : Loại thứ nhất, mỗi thuyền chở đợc 5
em và loại thứ 2 chở đợc 7 em mỗi thuyền. Hỏi số thuyền mỗi loại ?
Bài 21: Tìm một số N gồm 2 chữ số, biết rằng tổng các bình phơng hai chữ số bằng số đó cộng thêm tích hai chữ số.
Nếu thêm 36 vào số đó thì đợc một số có hai chữ số mà các chữ số viết thứ tự ngợc lại.
Bài 22: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Ngời ta làm lối đi xung quanh vờn (thuộc đất trong vờn) rộng
2 m. Tính kích thớc của vờn, biết rằng đất còn lại trong vờn để trồng trọt là 4256 m2.
Bài 23: Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng 500 m 2. Nếu
giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m 2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.
Bài 24: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác tăng 50 cm 2.
Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm 2. Tính hai cạnh góc vuông.

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

24


Bài 25: Nếu tử số của một phân số đợc tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng
và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng

1
. Nếu tử số thêm 7
4


5
. Tìm phân số đó.
24

Hình học phẳng
Bài 1: Cho ABC ( A$ = 900 ), đờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại E và F a)
Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tứ giác EFCB nội tiếp.
c) Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC.
d) CMR: Nếu SABC = 2. SAEHF thì tam giác ABC vuông cân.
Bài 2: Cho tam giác ABC (AB > AC ) nội tiếp (O). Vẽ đờng phân giác của góc A cắt (O) tại M. Nối OM cắt BC tại I.
ã
ã
ã
ã
ã
a) Chứng minh BMC cân.
b) BMA
và ABC
> AMC
+ ACB
= BMC
c) Đờng cao AH và BP của tam giác ABC cắt nhau tại Q. Chứng minh OI // AH.
d) Trên AH lấy điểm D sao cho AD = MO. Tứ giác OMDA là hình gì ?
e) Chứng minh AM là phân giác của góc OAH.
1
f) OM kéo dài cắt (O) tại N. Vẽ OE vuông góc với NC. Chứng minh OE = MB .
2
g) Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE.

h) Chứng minh các tứ giác ABHP và QPCH nội tiếp.
i) Từ C vẽ tiếp tuyến của (O) cắt BM kéo dài tại K. Chứng minh CM là phân giác của góc BCK.
k) So sánh các góc KMC và KCB với góc A.
l) Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng minh tam giác BMS cân tại M.
ả MOC
ã
ã
ã
ã
ã
m) Chứng minh S$ = EOI
; CBC
; ABF
= NCM
= AON
n) Từ A kẻ AF // BC, F thuộc (O). Chứng minh BF = CA.
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại D, E. Gọi I là
giao điểm của BE và CD.
a) Chứng minh AI vuông góc với BC.

ả = IAE
ả
b) Chứng minh IDE

ã
d) Cho BAC
= 600. Chứng minh DOE đều.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đờng cao AH của tam giác ABC cắt (O) tại D, AO kéo dài cắt (O) tại E.
a) Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.
b) Gọi M là điểm chình giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC.

c) Tính bán kính của (O) biết BC = 24 cm và IM = 8 cm.
Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M và N sao cho các cung AM, MN, NB bằng nhau. Gọi P
là giao điểm của AM và BN, H là giao điểm của AN với BM. Chứng minh rằng
c) Chứng minh : AE . EC = BE . EI.

a) Tứ giác AMNB là hình thang cân.
b) PH AB. Từ đó suy ra P, H, O thẳng hàng.
c) ON là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính PH.
Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt
AB tại E và F. Chứng minh rằng
a) Tam giác MAE đồng dạng tam giác MCA và ME . MC = MF . MD.
b) Tứ giác CEFD nội tiếp.

c) Khi AB = R 3 thì tam giác OAM đều.

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB > AC ), đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB tại E,
đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC tại F.
a) Tứ giác AEHF là hình gì ?
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp.
c) Chứng minh AE . AB = AF . AC.
d) Chứmg minh EF là tiếp tuyến chung của (O) và (I).
e) Gọi Ax là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh Ax // EF.
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc AB. Qua B vẽ đờng thẳng vuông góc với CD tại H, đờng
thẳng BH cắt CA tại E.
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn

25