Các dạng toán tính nhanh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (108.87 KB, 4 trang )
GIÚP HỌC SINH ÔN TẬP
TÍNH NHANH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Các dạng toán tính nhanh giá trị biểu thức không chỉ có trong các kì kiểm tra thông
thường mà còn thường gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán. Tuy nhiên, khi gặp các
dạng toán loại này nhiều em học sinh vẫn tỏ ra lúng túng hoặc bài toán yêu cầu tính nhanh
mà mình lại đi "tính chậm".
Chúng ta cùng tìm hiểu qua các bài toán sau :
Dạng 1. Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau:
A = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 + 0,10 + 0,11 + … + 0,19. ( 19 số
hạng)
(Đề thi HSG lớp 5, TP Hà Nội, năm 2000)
Giải: Ta có: M = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9
= (0,1 + 0,9) + (0,2 + 0,8) + (0,3 + 0,7) + (0,4 + 0,6) + 0,5
= 1 + 1 + 1 + 1 + 0,5 = 4,5.
N = 0,10 + 0,11 + 0,12 + 0,13 + 0,14 + 0,15 + 0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19
= (0,10 + 0,19) + (0,11 + 0,18) + (0,12 + 0,17) + (0,13 + 0,16) + (0,14 + 0,15)
= 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29
= 0,29 x 5 = 1,45.
Vậy: A = M + N = 4,5 + 1,45 = 5,95.
Dạng 2. Vận dụng tính chất của dãy số cách đều
Ví dụ : Tính nhanh tổng sau:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
Giải: Cách 1.
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S = 101 + 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1 Cộng vế với vế ta có:
2 x S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + (4 + 98) + … + (100 + 2) + (101 + 1)
2 x S = 102 + 102 + 102 + 102 + … + 102 + 102 (có 101 số 102)
2 x S = 102 x 101 = 10 302.
S = 10 302 : 2 = 5151.
Cách 2. Viết thêm số 0 vào tổng đã cho.
S = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +…+ 100 + 101
= (0 + 101) + (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51)
= 101 + 101 + 101 + … + 101
Tổng trên có 102 số hạng nên số cặp ghép được là: 102 : 2 = 51 (cặp)
Vậy S = 101 x 51 = 5151.
Cách 3. Viết thêm số 102 vào tổng đã cho.
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S + 102 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 +
101 + 102
S + 102 = (1 + 102) + (2 + 101) + (3 + 100) + … + (51 + 52)
S + 102 = 103
+ 103
+ 103
+ … + 103
S + 102 = 103 x 51 = 5253
1
S = 5253 - 102 = 5151.
Cách 4. Tách số hạng đầu tiên đứng một mình
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S = 1 + (2 + 101) + (3 + 100) + (4 + 99) + … + (51 + 52)
S = 1 + 103
+ 103
+ 103 + … + 103
S = 1 + 103 x 50 = 1 + 5150 = 5151.
Cách 5. Tách số hạng cuối cùng đứng một mình
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51) + 101
S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101
S = 101 x 50 + 101 = 101 x 51 = 5151.
Cách 6. Tách riêng số hạng ở chính giữa đứng một mình
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + … + (50 + 52) + 51
S = 102 + 102 + 102 + … + 102 + 51
= 102 x 50 + 51 = 5100 + 51 = 5151.
Dạng 3. Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân
Ví dụ : Tính nhanh:
B = 8 x 5 x 125 x 4 x 2 x 25
Giải: B = 8 x 5 x 125 x 4 x 2 x 25
B = (5 x 2) x (8 x 125) x (4 x 25)
= 10 x 1000 x 100
=
1 000 000.
Dạng 4. Vận dụng quy tắc nhân một số với một tổng
Ví dụ : Tính bằng cách nhanh nhất:
241,324 x 1999 + 241,324
(Đề thi HSG lớp 5, tỉnh Hà Tĩnh, năm 2002)
Giải: 241,324 x 1999 + 241,324
= 241,324 x 1999 + 241,324 x 1
= 241,324 x (1999 + 1)
= 241,324 x 2000 = 482 648.
Dạng 5. Vận dụng quy tắc nhân một số với một hiệu
Ví dụ : Cho A = 1993 x 427 và B = 477 x 1993
Tính hiệu B - A mà không tính riêng tích A và tích B.
(Thi HSG lớp 5 toàn quốc, năm học 1992 - 1993)
Giải: B - A = 477 x 1993 - 1993 x 427
=1993 x (477 - 427)
= 1993 x 50 = 99 650.
Dạng 6. Vận dụng tính chất "a x 0 = 0"
Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức:
(1999 x 1998 + 1998 x 1997) x (1 +
1
1
1
: 1 - 1 ).
2
2
3
(Thi HSG lớp 5 TP Hà Nội, năm 2000)
2
Giải:
1
1
1
1 3
1
:1 -1 =1+ : -1
2
2
3
2 2
3
1 2
1
1
1
1
1
= 1 + x - 1 = 1+ - 1 = 1 - 1 = 0.
2 3
3
3
3
3
3
Ta có: 1 +
Vậy:
(1999 x 1998 + 1998 x 1997) x (1 +
1
1
1
: 1 - 1 ) = (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x 0 = 0.
2
2
3
Dạng 7. Vận dụng tính chất "0 : a = 0" (với a khác 0)
Ví dụ : Tính nhanh:
(
1
1
1
1
: 0,5 - : 0,25 + : 0,125 : 0,1) : (1 + 2 + 3 + ... + 2006 + 2007 + 2008)
2
4
8
10
1
1
1
1
1 1
1 1
1 1
1
1
Giải: Ta có: : 0,5 - : 0,25 + : 0,125 : 0,1 = : - : + : :
=
2
4
8
10
2 2
4 4
8 8 10 10
1
1
1
1
1 - 1 + 1 - 1 = 0. Vậy: ( : 0,5 - : 0,25 + : 0,125 : 0,1) : (1 + 2 + 3 + ... + 2006 +
2
4
8
10
2007 + 2008) = 0 : (1 + 2 + 3 + ... + 2006 + 2007 + 2008) = 0.
Dạng 8. Sử dụng phương pháp khử liên tiếp
Ví dụ : Tính nhanh tổng sau:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1x 2
2 x3
3x4
2007 x 2008
1
1
1
1 1
1
1 1
1
1
1
Ta có:
=1- ;
= - ;
= - ; ... ;
=
.
1x 2
2 2 x3
2 3 3x4
3 4
2007 x 2008
2007 2008
A=
Vậy ta có:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
) + ( - ) + ( - ) + ... + (
) = 1 - + - + - + ... +
2
2
3
3
4
2007
2008
2
2
3
3
4
1
1
1
2007
=1=
.
2007 2008
2008
2008
A = (1 -
Dạng 9. Nhóm các số lại với nhau để có kết quả bằng 0
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức:
A = 181 + 3 - 4 - 5 + 6 + 7 - 8 - 9 + 10 + 11 - 12 - 13 + 14 + 15 - 16 - 17 + 18 + 19.
Ta nhóm lại như sau:
A = 181 + (3 - 4 - 5 + 6) + (7 - 8 - 9 + 10) + (11 - 12 - 13 + 14) + (15 - 16 - 17 + 18) + 19 =
181 + 0 + 0 + 0 + 0 + 19 = 200.
Dạng 10. Đưa về dạng toán "Tìm thành phần chưa biết của phép tính
Ví dụ : Tính nhanh:
1
1
1
1
1
1
+ +
+
+
+
4
8
16
32
64
128
(Thi HSG lớp 5 tỉnh Bắc Giang, năm 2001)
Giải: Đặt:
S=
1
1
1
1
1
1
+ +
+
+
+
4
8
16
32
64
128
Cùng nhân 2 vế với 2 ta được:
3
Sx2=(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ +
+
+
+
)x2= + + +
+
+
.
4
8
16
32
64
128
2
4
8
16
32
64
Ta thấy giữa S và S x 2 chỉ khác nhau ở hai số hạng đầu và cuối.
Vậy: S x 2 - S =
1
1
.
2 128
Từ đó ta tính được: S =
63
.
128
Chúc các em học giỏi !
4
