Các bài toán tiếp tuyến luyện thi dại học 2011
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (106.26 KB, 3 trang )
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
Bài 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) , biết tiếp tuyến của hàm số cắt trục Ox , Oy tại A,B sao
cho tam giác OAB vuông cân
x +1
a) y= x3-x2 +1
a) y =
2x +1
HD : Đường thẳng cắt trục Ox,Oy lần lượt tại A,B sao cho tam giác OAB vuông cân => hệ số gốc bằng 1
hoặc bằng -1 , không đi qua gốc tọa độ
a).y’=3x2-2x
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm , khi đó :
i)
y’(x0)=-1 3x02-2x0=-1 3x02-2x0+1 =0 vô nghiệm
y’(x0)=1 3x02-2x0=1 3x02-2x0-1=0 x0=1,x0=-1/3
ii)
Với x0=1 thì y(1)=1 => y=x không thõa mãn
b) y ' = −
Với x0=-1/3 , y(-1/3)=23/27 => y=x+32/27
1
( 2 x + 1)
2
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm , khi đó :
1
= 1 vô nghiệm
i) y’(x0)=1 −
2
( 2 x0 + 1)
ii)y’(x0)=-1 −
1
( 2 x0 + 1)
2
= −1 x0=0,x0=-1
Với x0=0 thì y(0)=1 => y=-x+1 không thõa mãn
Với x0=-1 , y(-1)=0 => y=-x-1
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
a)(C) y=-x4-x2+6 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x-6y+1=0
b)(C) y =
2x
, biết tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ tam giác có diện tích bẳng ½
x +1
HD:
a) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng (d) : x-6y+1 =0
y’(x0)= - 6 => -4x03 – 2x0 =-6 => 2x03+x0-3=0 => x0=1 , 2x02+2x0+3=0 (vô nghiêm)
Với x0=1=> y(1)=4 => Phương trình tiếp tuyến cần tìm y=-6(x-1)+4=-6x+10
b) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) với (C) , => (d) có phương trình : y=y’(x0)(xx0)+y(x0)
Ta có y ' =
2
( x + 1)
2
=> ( d) : y =
2x 0
2
x − x0 ) +
2 (
(x 0 + 1)
x0 +1
(d) cắt trục Ox tại A : xA=-x0 , yA=0 , cắt trục Oy tai B: xB=0, y B =
2
2x 0 2
( x 0 + 1)
2
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định
Diện tích tam giác OAB có diện tích bằng ½ nên :
2x 02
( x 0 + 1)
2
=
1
<=> 2x 02 = x 0 + 1, 2x 02 = − x 0 − 1
2
x0=1 ,x0 =-1/2
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y =
1
1
x + , y = 8x + 2
2
2
Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
a)(C) y = 4x3-6x2+1 , biết tiếp tuyến đi qua điểm (-1,-9)
b)(C) y= x4-2x2-1 , biết tiếp tuyến đi qua (0,-1)
HD: a) Gọi (d) là đường thẳng đi wua M(-1,-9) có hệ số góc k => (d) y=k(x+1)-9
k(x + 1) − 9 = 4x 3 − 6x 2 + 1 (1)
(d) là tiếp tuyến của (C)
k = 12x 2 − 12x (2)
Thay (2) vào (1) ta được : (12x2-12x)(x+1)-9=4x3-6x2+1 4x3+3x2-6x-5=0 (x+1)2(4x-5)=0
x = −1, k(−1) = 24
x = 5 , k( 5 ) = 15
4
4
4
Các tiếp tuyến cần tìm là : y=24(x+1)-9=24x+ 15 , y=
b) Gọi (d) là đường thẳng đi wua M(0,-1) có hệ số góc k => (d) y=kx-1
kx − 1 = x 4 − 2x 2 + 1 (1)
(d) là tiếp tuyến của (C)
3
k = 4x − 12x (2)
Thay (2) vào (1) ta được : (x2-12x)(x+1)-9=4x3-6x2+1 4x3+3x2-6x-5=0 (x+1)2(4x-5)=0
x = −1, k(−1) = 24
x = 5 , k( 5 ) = 15
4
4
4
y = 24(x + 1) − 9
Các tiếp tuyến cần tìm là :
y = 15 (x + 1) − 9
4
Bài 4 Tìm điểm M thuộc (C) y =
điểm đó bằng
x+2
sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến với đồ thọ tại
x +1
2
b) Trên (C): y = f ( x) = x 4 − 2 x 2 lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều
kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau
HD :
/
−1
x+2
D=R\{-1} , y ' =
÷=
2
x + 1 (x + 1)
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định
Gọi x0 là hoành độ M => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y=−
x +2
1
2
x − x0 ) + 0
x+(x 0 + 1) y - (x 0 + 2)(x 0 + 1) − x 0 = 0
2 (
(x 0 + 1)
x0 +1
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến tt bằng
2
(x 0 + 1)(x 0 + 2) + x 0
1 + ( 1 + x0 )
2
= 2
(x 0 + 1)(x 0 + 2) + x 0
1 + ( 1 + x0 )
2
= 2
2
Đặt u=x0+1 , phương trình u 2 + 2u − 1 = 2(1 + u 2 ) u 2 + 2u − 1 = 2(1 + u 2 )
(u-1)(u+1)(u2-4u+1)=0
u = 1, u = −1, u = −2 ± 3
x 0 = 0, x 0 = −2, x 0 = −3 ± 3
b) Ta có f '( x ) = 4 x 3 − 4 x . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B.
3
3
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là k A = f '(a ) = 4a − 4a, k B = f '(b) = 4b − 4b
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
y = f ' ( a ) ( x − a ) + f ( a ) = f ' ( a ) x + f (a ) − af' ( a ) ;
y = f ' ( b ) ( x − b ) + f ( b ) = f ' ( b ) x + f (b) − bf' ( b )
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:
k A = k B ⇔ 4a 3 − 4a = 4b3 − 4b ⇔ ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 − 1) = 0 (1)
Vì A và B phân biệt nên a ≠ b , do đó (1) tương đương với phương trình: a 2 + ab + b 2 − 1 = 0 (2)
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau
2
2
a 2 + ab + b2 − 1 = 0
a + ab + b − 1 = 0
⇔
a
≠
b
⇔
(
) 4
,
2
4
2
−3a + 2a = −3b + 2b
f ( a ) − af ' ( a ) = f ( b ) − bf ' ( b )
Giải hệ này ta được nghiệm là (a;b) = (-1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này tương ứng với cùng một
cặp điểm trên đồ thị là ( −1; −1) và ( 1; −1) .
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là
a 2 + ab + b 2 − 1 = 0
a ≠ ±1
a ≠ b
Bài tập tương tự
1. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong ( C ) y = x 3 − 3x 2 + 2 biết tiếp tuyến cắt các trục
Ox, Oy lần lượt tại A, B thoả mãn OB = 9OA .
