S PHC
Bi toỏn 1: Tỡm s phc, tớnh mụun,
Cho hai s phc a+bi v c+di.
1) a+bi = c+di a = c; b = d.

2) mụun s phc z = a + bi = a 2 + b2

3) s phc liờn hip z = a+bi l z = a bi
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i

* z+ z = 2a; z. z = z 2 = a 2 + b2

6) ) (a+bi )( c+di) = (ac bd)+(ad+bc)i

7) z = a + bi = 2 2 [(ac+bd)+(ad-bc)i]
a +b

5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i.
c + di

1

Bi toỏn 2: Gii phng trỡnh bc 2.
Cho phng trỡnh ax2 + bx + c = 0. vi = b2 4ac.
b

Nu = 0 thỡ phng trỡnh cú nghip kộp x1 = x 2 = 2a (nghim thc)
Nu > 0 thỡ phng trỡnh cú hai nghim thc: x =
Nu < 0 thỡ phng trỡnh cú hai nghim phc x =

b

2a
b i
2a

z = r(cos +i sin )

Bi toỏn 3: Dng lng giỏc ca s phc:

a
r

Vi r = a 2 + b 2 , cos= ,sin =

* Nu z = r(cos +i sin ), z = r(cos +i sin )

b
r
(r, r 0)

z' r'
= [cos('-)+isin('-)]
z r

zz = r r[cos( + ) + i sin( + )]
Bi toỏn 4: Cụng thc Moa-vr

[r(cos + isin)]n = r n (cosn + isinn)
Dạng 1: Các phép toán về số phức
Câu 1: Thực hiện các phép toán sau:


(cos + isin) n = (cosn + isinn)

Bi tp: Số phức

1

2i ữ
3

1 3
1
c. 3 i ữ+ + 2i ữ i
3 2
2

(

2 5
iữ
3
4

4
3 1 5 3
+ i ữ + i ữ + 3 i ữ
5
4 5 4 5

)


b. 2 3i

a. (2 - i) +

d.

Câu 2: Thực hiện các phép tính sau:
a. (2 - 3i)(3 + i)

3

b. (3 + 4i)

1

c. 3i ữ
2


2

Câu 3: Thực hiện các phép tính sau:
a.

1+ i

b.

2i


2 3i

c.

4 + 5i

3

d.

5i

2 + 3i

( 4 + i ) ( 2 2i )

Câu 4: Giải phơng trình sau (với ẩn là z) trên tập số phức

(

)

a. 4 5i z = 2 + i

(

b. 3 2i

) 2 ( z + i ) = 3i


Câu 5: Cho hai số phức z, w. chứng minh: z.w = 0




c. z 3

1
1
i ữ= 3 + i
2
2

3 + 5i
z

= 2 4i

z = 0
w = 0


Câu 6: Chứng minh rằng mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dới dạng
xác định

d.

x+i
x i


với x là số thực mà ta phải


Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trớc
Câu 1: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a. z + 3 = 1

b. z + i = z 2 3i

Câu 2: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a. z + 2i là số thực

c. z.z = 9

b. z - 2 + i là số thuần ảo

d.

z 3i
z+i

= 1 là số thực

căn bậc hai của Số phức. phơng trình bậc hai
Dạng 1: tính căn bậc hai của số

Vớ d :
Tỡm cn bc hai ca s phc z = 4i
Gi x + iy l cn bc hai ca s phc z = 4i , ta cú :
2

2
x = y
x = y
(x + iy)2 = 4i x y = 0
hoc
2xy = 4
2xy = 4
2xy = 4
x = y
x = y
x = y
x = 2;y = 2
2


(loi) hoc


2
2
2x = 4
2x = 4
x = 2
x = 2; y = 2
Vy s phc cú hai cn bc hai : z1 = 2 i 2 , z 2 = 2 + i 2
Câu 1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
a. -5

b. 2i


d.

c. -18i

Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai

4

5
i
3 2

Ví dụ: Gii phng trỡnh x2 4x + 7 = 0 trờn tp s phc

Gii: ' = 3 = 3i2 nờn

' = i 3

Phng trỡnh cú hai nghim : x1 = 2 i 3 , x 2 = 2 + i 3

Câu 1: Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a. x2 + 7 = 0
b. x2 - 3x + 3 = 0
c. x2 + 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0
2
d. x - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0
e. ix2 + 4x + 4 - i = 0
2
g. x + (2 - 3i)x = 0
Câu 2: Giải các phơng trình sau trên tập số phức


(

a. z + 3i

) ( z 2 2z + 5) = 0

(

2

b. z + 9

) ( z2 z + 1) = 0

c. 2z3 3z 2 + 5z + 3i 3 = 0
Câu 3: Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lợt là:
a. 2 + 3i và -1 + 3i
b. 2i và -4 + 4i
Câu 4: Tìm phơng trình bậc hai với hệ số thực nhận làm nghiệm:
a. = 3 + 4i
b. = 7 i 3
Câu 5: Tìm tham số m để mỗi phơng trình sau đây có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn điều kiện đã chỉ ra:
a. z2 - mz + m + 1 = 0
b. z2 - 3mz + 5i = 0

điều kiện: z 2 + z 2 = z z + 1
1
2
1 2

điều kiện: z3 + z3 = 18
1
2

Bài tập:
Câu 1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:


a. 7 - 24i

b. -40 + 42i

c. 11 + 4 3 i

d.

1
4

+

2
2

i

Câu 2: Chứng minh rằng:
a. Nếu x + iy là căn bậc hai của hai số phức a + bi thì x - yi là căn bậc hai của số phức a - bi
b. Nếu x + iy là căn bậc hai của số phức a + bi thì


x
k

+

y
k

i là căn bậc hia của số phức

Câu 3: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. z2 + 5 = 0
b. z2 + 2z + 2 = 0
c. z2 + 4z + 10 = 0
d. z2 - 5z + 9 = 0
Câu 4: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. (z + i)(z2 - 2z + 2) = 0
b. (z2 + 2z) - 6(z2 + 2z) - 16 = 0
2
c. (z + 5i)(z - 3)(z + z + 3) = 0
d. z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = 0
Câu 5: Giải phơng trình sau trên tập số phức:

a
b
+
i
2
2 (k 0)
k

k

e. -2z2 + 3z - 1 = 0

2

4z + i
4z + i
b.
+6=0
ữ 5
zi
zi

2

a. (z + 2i) + 2(z + 2i) - 3 = 0

Câu 6: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm biết:
a) = 2 - 5i

b. = -2 - i 3

c. =

3i 2

Câu 7: Chứng minh rằng nếu phơng trình az2 + bz + c = 0 (a, b, c R) có nghiệm phức R thì
nghiệm của phơng trình đó.
Câu 8: Cho phơng trình: (z + i)(z2 - 2mz + m2 - 2m) = 0

Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phơng trình
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b/ Chỉ có đúng 1 nghiệm thực C/Có ba nghiệm phức
Câu 9: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. z2 + z + 2 = 0
b. z2 = z + 2 c. (z + z )(z - z ) = 0
d. 2z + 3 z = 2 + 3i
Câu 10: Giải phơng trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo
a. z3 - iz2 - 2iz - 2 = 0
b. z3 + (i - 3)z2 + (4 - 4i)z - 4 + 4i = 0
MT S BI TON NNG CAO
Bi 1.

Thc hin cỏc phộp tớnh:
a) (2 + 4i)(3 5i) + 7(4 3i)
(2 + i ) + (1 + i)(4 3i)
c)
3 + 2i
e) (1 + 2i)3

b) (1 2i)2 (2 3i)(3 + 2i)
(3 4i)(1 + 2i )
+ 4 3i
d)
1 2i
2 + i 2 1+ i 2
+
f)
1 i 2 2 i 2

Bi 2.


Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp s phc:
a) 2x2 + 3x + 4 = 0
b) 3x2 +2x + 7 = 0
2
c)(1 ix) + ( 3 + 2i)x 5 = 0
d) 2x4 + 3x2 5 = 0
e) ( 2 i 3) z + i 2 = 3 + 2i 2

Bi 3.

Tỡm cỏc s phc tha món :
a) 2x + 1+ (12y)i = 2x+( 3y2)i
b) 4x + 3+ (3y2)i = y+1 + (x3)i
c) x + 2y + (2xy)i = 2x + y +(x+2y)i

Bi 4.

Bit z1 v z2 l hai nghim ca phng trỡnh 2x2 + 3 x + 3 = 0. Hóy tớnh:
a) z12 + z22

b) z13 + z23

c)

z1 z2
+
z2 z1




cũng là


Bài 5.

Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.

Bài 6.

a. Biểu diễn các số phức sau đây trên mặt phẳng phức: 3+2i; 2+i, 1−3i. Viết liên hợp và số đối của các số
phức đó.
b. Cho z = ( 2a − 4 ) + ( 3b + 6 ) i với a, b ∈ R . Tìm a, b để z là số thực, z là số ảo.
ĐS: a. (3;2), (2;1), (1;−3).
Tìm căn bậc hai của các số phức:
a. 1 + 4 3i ,
b. 17 + 20 2i ,
c. 46 − 14 3i
ĐS: a. z1 = 2 + 3i; z2 = −2 − 3i , b. z1 = 5 + 2 2i; z2 = −5 − 2 2i , c. z1 = 7 + 3i; z2 = −7 − 3i
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
2
a. z 2 − z + 1 = 0
b. z − ( 2 + i ) z − 2i = 0

Bài 7.
Bài 8.

2
c. iz − 2 ( 1 − i ) z − 4 = 0


2
d. z − ( 5 − i ) z + 8 − i = 0 .

1
3
±
i , b.
2
2
Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. z=1+i
b. z=1−i
d. z=5
e. z=i
g. z = 1 + i 3
h. z = 1 − i 3
ĐS: a. z =

Bài 9.

z1 = 2; z2 = −i , c. z1 = −2; z2 = −2i , d. z1 = 2 + i; z2 = 3 − 2i .
c. z=−3
f. z=−2i
i. z = −1 + i 3


π
π

 π

 π 
ĐS: a. z = 2  cos + i sin ÷, b z = 2  cos  − ÷ + i sin  − ÷÷,
4
4

 4
 4 

c. z = 3 ( cos π + i sin π ) , d. z = 5 ( cos 0 + i sin 0 ) ,

π
π

 π
 π 
e. z = 1 cos + i sin ÷ , f. z = 2  cos  − ÷ + i sin  − ÷÷ ,
2
2

 2
 2 


π
π

 π
 π 
g z = 2  cos + i sin ÷ , h. z = 2  cos  − ÷ + i sin  − ÷÷ ,
3

3

 3
 3 

2π
2π 

+ i sin
i. z = 2  cos
÷.
3
3 

Bài 10. Dùng công thức Moa-vrơ để tính a. (1+i)5,

Bài 11. a. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

(

(

)

6

3 −i .

)


ĐS: a. −4 ( 1 + i ) , b. −64 .

8

3+i .

b. Tìm phần thực và phần ảo của (x+yi)2−2(x+yi)+5. Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực.
ĐS: a. a = −128; b = −128 3 , b. x = 1; y = 0 .

Cho z1, z2 là hai nghiệm của phương trình : x2 + (2 – i)x + 3 + 5i = 0
Không giải phương trình ,hãy tính:
a) z12 + z22 b) z14 + z24 c) d) z14z2 + z24z1
Bài 13: Cho số phức z có mođun bằng 1,biết một acgumen của z là ϕ. Hãy tìm một acgumen của số phức
sau:
a) 2z2
b) – c)
d) – z2.
e) z + f) z2 + z
g) z2 – z h) z2 +
Bài 12: