TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN


TRẦN THỊ HẠNH

VẤN ĐỀ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
ThS.NGUYỄN VĂN VẠN

HÀ NỘI – 2015


LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận này tôi không khỏi
lúng túng và bỡ ngỡ. Nhưng dưới dự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của Ths
Nguyễn Văn Vạn tôi đã từng bước tiền hành và hoàn thành khóa luận với
đề tài “Vấn đề lớn nhất, nhỏ nhất trong không gian 0xyz”.
Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cùng tất cả các
thầy cô trong khoa Toán học đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi
để tôi hoàn thành khóa luận.
Mặc dù có những cố gắng tìm tòi nhất định, song khóa luận không
tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của tất cả các thầy cô và các bạn sinh viên.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Trần Thị Hạnh


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Ths
Nguyễn Văn Vạn.
Tôi xin cam đoan rằng:
- Khóa luận này là kết quả nghiên cứu, tìm tòi của riêng tôi.
- Những tư liệu được trích dẫn trong khóa luận là trung thực.
- Kết quả nghiên cứu này không thể trùng khít với bất kì công trình
nghiên cứu của tác giả nào đã được công bố trước đó.
Nếu sai, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Trần Thị Hạnh


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài .......................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................... 2
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu .................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu .............................................................. 3
NỘI DUNG ............................................................................................ 4
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT......................................................... 4

1.1. Tích có hướng của hai vectơ ........................................................ 4
1.1.1. Hệ tọa độ trong không gian ................................................... 4
1.1.2. Tọa độ của vectơ................................................................... 5
1.1.3. Tọa độ của điểm ................................................................... 5
1.1.4. Tích có hướng của hai vectơ ................................................. 6
1.2. Các dạng toán thường gặp trong không gian 0xyz ....................... 8
1.2.1. Viết phương trình của mặt phẳng .......................................... 8
1.2.2. Viết phương trình đường thẳng trong không gian ............... 11
1.2.3. Viết phương trình mặt cầu .................................................. 14
1.2.4. Bài toán cực trị trong không gian ........................................ 15


1.2.5. Bài toán xác định tọa độ điểm, vectơ trong không gian ....... 15
1.3. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ........................ 16
1.3.1. Định nghĩa .......................................................................... 16
1.3.2. Phương pháp đạo hàm ........................................................ 16
1.3.3. Phương pháp miền giá trị của hàm số ................................. 18
1.3.4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức ................................... 18
CHƯƠNG 2: LỚP CÁC BÀI TOÁN .................................................. 20
2.1. Bài toán 1 .................................................................................. 20
2.2. Bài toán 2 .................................................................................. 22
2.3. Bài toan 3 .................................................................................. 26
2.4. Bài toán 4 .................................................................................. 30
2.5. Bài toán 5 .................................................................................. 36
2.6. Bài toán 6 .................................................................................. 38
2.7. Bài toán 7 .................................................................................. 42
2.8. Bài toán 8 .................................................................................. 48
2.9. Bài toán 9 .................................................................................. 49
CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ỨNG DỤNG .................................................. 54
KẾT LUẬN.......................................................................................... 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 60


MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng
toán thường gặp như: viết phương trình mặt phẳng, viết phương trình
đường thẳng hay viết phương trình mặt cầu, … ta còn bắt gặp các bài
toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một
điều kiện cực trị. Có thể nói rằng cực trị hình học trong phương pháp tọa
độ trong không gian là một dạng toán khó, đòi hỏi học sinh vừa phải biết
tư duy hình học, vừa phải biết kết hợp sử dụng phương pháp tọa độ trong
không gian.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu Toán học, tôi thấy đây là
một dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn các học sinh khá
giỏi. Nếu ta biết sử dụng linh hoạt, khéo léo kiến thức của hình học
thuần túy, vectơ, phương pháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán
trên về một bài toán quen thuộc.
Chính vì những lí do trên, tôi quyết định đi sâu vào nghiên cứu đề
tài “Vấn đề lớn nhất, nhỏ nhất trong không gian 0xyz” nhằm mở ra
một cách nhìn nhận mới về bài toán cực trị trong hình học không gian.
Đồng thời tôi cũng mong muốn rằng, thông qua việc nghiên cứu sẽ đem
lại cho tôi những kinh nghiệm quý báu phục vụ cho công tác giảng dạy
sau này.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Khóa luận cung cấp cho bạn đọc phương pháp giải một số dạng
1



bài cực trị trong hình học không gian.
- Rèn luyện kĩ năng sử dụng linh hoạt, sáng tạo các tính chất hình
học thuần túy để giảm bới tính toán.
- Đồng thời khóa luận cũng giúp bạn đọc có thể giải quyết tốt các
bài toán khác của hình học giải tích, có cái nhìn mới về dạng toán này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tuyển chọn và sắp xếp các dạng toán cơ bản theo một trình tự
hợp lí để bạn đọc tiếp nhận chúng một cách dễ dàng, tạo hứng thú khi
gặp bài toán này.
- Đưa ra cách tiếp cận lời giải dưới góc độ bản chất hình học.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4.1.Đối tượng nghiên cứu
Trong phạm vi khóa luận này, tôi chủ yếu nghiên cứu các dạng
toán cực trị thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng, trung cấp
chuyên nghiệp, phương pháp giải và ví dụ minh họa.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Như chúng ta đã biết có thể sử dụng công cụ giải tích để xét sự
biến thiên và tìm cực trị của một đại lượng như: góc, khoảng cách, độ
dài…trong các bài toán tọa độ trong không gian. Mặc dù cách làm này
khá rõ ràng nhưng quá trình tính toán phức tạp. Trong khóa luận này, tôi
chủ yếu xét một số bài toán cực trị với bản chất hình học của nó, từ đó đề
xuất phương pháp giải bằng công cụ thuần túy hình học nhằm giảm bớt
tính toán trong quá trình giải.
2


5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp tổng hợp các vấn đề lí thuyết.
- Phương pháp thống kê toán học.
- Phương pháp thực nghiệm.

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp phân tích, tổng hợp.

3


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Tích có hướng của hai vectơ
1.1.1. Hệ tọa độ trong không gian
- Trong không gian, xét bộ ba trục tọa độ 0x, 0y, 0z có chung điểm
gốc 0 và đội một vuông góc với nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông
góc trong không gian.

z


k


i

0


j

y

x


- Trên các trục 0x, 0y, 0z của hệ tọa độ vuông góc 0xyz, lần lượt
 



xét các vectơ đơn vị i , j , k cùng hướng với các trục tương ứng. Khi đó
 

thay vì viết hệ trục 0xyz, ta còn kí hiệu là trục  0, i, j, k  .
- Điểm 0 gọi là gốc tọa độ, 0x gọi là trục hoành, 0y gọi là trục
tung, 0z gọi là trục cao.
- Các mặt phẳng đi qua hai trong ba trục tọa độ gọi là các mặt
phẳng tọa độ, ta kí hiệu chúng là (0xy), (0yz), (0zx).
- Ta cần chú ý các đẳng thức sau:
2  2  2
i  j k

4


   
i. j  j.k  k .i  0

1.1.2. Tọa độ của vectơ
- Trong không gian, xét hệ trục tọa độ 0xyz. Khi đó với mỗi vectơ






u tồn tại duy nhất bộ số (x; y; z) sao cho: u  x.i  y. j  z.k . Bộ số (x; y; z)



được gọi là tọa độ của vectơ u và kí hiệu u   x; y; z  hay u  x; y; z  .

- Từ định nghĩa về tọa độ của vectơ, ta dễ dàng suy ra các tính
chất sau:




Cho các vectơ u1  x1; y1 ; z1  , u 2  x2 ; y2 ; z2  và số k tùy ý, ta có:




1) u1  u 2  x1  x2 , y1  y2 , z1  z2
 

2) u1  u2   x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2 


3) k .u1   k .x1 ; k . y1; k .z1 
 

4) u1.u2  x1 x2  y1 y2  z1 z2



5) u1  x12  y12  z12
 
 
u1 .u2
6) cos u1 , u2    
u1 . u2









x1 x2  y1 y2  z1 z2
x12  y12  z12 . x22  y22  z22



 



với u1  0, u2  0

 

7) u1  u2  u1.u2  0  x1 x2  y1 y2  z1 z2  0
1.1.3. Tọa độ của điểm

- Trong không gian tọa độ 0xyz, mỗi điểm M hoàn toàn được xác


định bởi vectơ OM . Tọa độ của điểm M được định nghĩa là tọa độ của
5




vectơ OM . Như vậy:
   
M  x; y; z   OM  xi  y j  zk

- Xét hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) và số thực k, k ≠ 1, ta
có:


 AB = (xA – xB; yA – yB; zA – zB)


2

 AB   xA  xB   ( y A  yB ) 2  ( z A  zB )2




 M chia đoạn AB theo tỉ số k khi và chỉ khi MA  k MB , khi đó:
x A  kxB


 xM  1  k

y A  kyB

 yM 
1 k

z A  kz B

 zM  1  k

x A  xB y A  y B z A  z B
;
;
2
2
 2

 M là trung điểm của đoạn AB thì M 


.


1.1.4. Tích có hướng của hai vectơ


- Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ u  a; b; c  và

 

 
v  a '; b '; c '  là một vectơ, kí hiệu là u , v  hay u  v và được xác định bằng

tọa độ như sau:
  b c c a a b 
u , v   
,
,
   bc ' b ' c; ca ' c ' a; ab ' a ' b 
 
 b ' c ' c ' a ' a 'b ' 

6


- Tính chất của tích có hướng:


 



1) Vectơ u, v  vuông góc với cả hai vectơ u và v , tức là:
  
  
u , v  .u  u , v  .v  0
 
 





 

 

2) u  v  u . v .sin  u, v 
 







3) u, v   0 khi và chỉ khi hai vectơ u và v cùng phương.
- Ứng dụng của tích có hướng:
1) Tính diện tích hình bình hành ABCD
 
S ABCD   AB, AD 

2) Tính diện tích tam giác ABC
SABC =

1    
AB, AC 
2

3) Thể tích khối tứ diện ABCD
VABCD 


1   
 AB, AC  . AD

6

4) Tính thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’
  

VABCDA’B’C’D’ =  AB, AD  .AA '
  

  

5) Ba vectơ u, v, w đồng phẳng khi và chỉ khi u, v  .w  0

7


1.2. Các dạng toán thường gặp trong không gian 0xyz
1.2.1. Viết phương trình của mặt phẳng
Bài toán viết phương trình của mặt phẳng là bài toán cơ bản nhất
trong hình học không gian. Sau đây là một số kiến thức cần nhớ để giải
quyết bài toán này.




- Vectơ n  0 gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   nếu giá



của n vuông góc với mặt phẳng.
- Trong không gian 0xyz, cho mặt phẳng   đi qua điểm

M  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ pháp tuyến n  A; B; C  . Khi đó mặt phẳng   có

phương trình tổng quát là:
A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0
 Ax  By  Cz  D  0 với D    Ax0  By0  Cz0  , ABC ≠ 0.

- Mặt phẳng   đi qua ba điểm A, B và C sẽ nhận vectơ
 
 AB, AC  làm vectơ pháp tuyến.



Đặc biệt:
 Các mặt phẳng tọa độ : + (0xy) có phương trình: z = 0
+ (0yz) có phương trình: x = 0
+ (0zx) có phương trình: y = 0
 Mặt phẳng   đi qua gốc tọa độ khi và chỉ khi D = 0.
 Mặt phẳng   song song (hoặc chứa) trục 0x khi và chỉ khi A = 0.
8


 Mặt phẳng   song song (hoặc chứa) trục 0y khi và chỉ khi B = 0.
 Mặt phẳng   song song (hoặc chứa) trục 0z khi và chỉ khi C = 0.
 Mặt phẳng   song song (hoặc trùng) với mặt phẳng (0xy) khi và chỉ
khi A = B = 0.
 Mặt phẳng   song song (hoặc trùng) với mặt phẳng (0yz) khi và chỉ

khi B = C = 0.
 Mặt phẳng   song song (hoặc trùng) với mặt phẳng (0zx) khi và chỉ
khi C = A = 0.
 Mặt phẳng   cắt các trục 0x, 0y, 0z lần lượt tại các điểm A(a ; 0 ; 0),
B(0 ; b ; 0), C( 0 ; 0 ; c) có phương trình:
x y z
   1 , (abc ≠ 0) (1)
a b c

Phương trình (1) gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
- Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng


(1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0, n  A1 , B1 , C1 
1



(2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0, n  A2 , B2 , C2 
2



n  kn
A
B C
D
1
2
 (1)  (2) khi và chỉ khi 

hay 1  1  1  1
A2 B2 C2 D2
 D1  kD2


n  kn
A
B C
D
1
2
 (1) // (2) khi và chỉ khi 
hay 1  1  1  1
A2 B2 C2 D2
 D1  kD2

9






 (1) cắt (2) khi và chỉ khi n  n hay A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
1

2

- Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Xét mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B2 + C2 > 0

Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến mặt phẳng () là:
d(M, ()) =

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

 Nếu M(x0; y0; z0) thuộc () thì d(M, ()) = 0.
 Nếu H là hình chiếu của M trên () thì d(M, ()) = MH.
 Với mọi điểm K thuộc () và K không trùng với H thì MK > MH.
 Nếu hai mặt phẳng song song thì khoảng cách giữa chúng là :
d=

D1  D2
2

A  B2  C 2

- Góc giữa hai mặt phẳng (1) và (2) là :
 
n1 .n 2
 
cos  1  ,  2    cos n1 , n 2   
n1 . n 2





 Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi
 

n1 .n2  0

 Hai mặt phẳng trùng nhau hoặc song song với nhau thì góc giữa hai
mặt phẳng đó bằng 00.

10


1.2.2. Viết phương trình đường thẳng trong không gian
- Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương

u  a; b; c  có phương trình tham số là:

 x  x0  at

 y  y0  bt ,  t   
 z  z  ct
0


- Trong trường hợp abc  0 bằng cách khử t từ phương trình tham
số ta được phương trình chính tắc:
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c

- Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A  xA ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; z B 

có các thành phần tọa độ tương ứng khác nhau thì có phương trình:
x  xA
y  yA
z  zA


xB  x A y B  y A z B  z Â

- Một số vấn đề về đường thẳng và mặt phẳng
 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Xét mặt phẳng (): Ax + By + Cy + D = 0, A2 + B2 + C2 > 0, có vectơ


pháp tuyến n (A; B; C) và đường thẳng d qua M(x0; y0; z0) có vectơ chỉ


phương u (a; b; c).


+) Đường thẳng d cắt mặt phẳng () khi và chỉ khi n.u  0
+) Đường thẳng d song song với mặt phẳng () khi và chỉ khi

11



n.u  0

M  d
 M  ( )



+) Đường thẳng d thuộc mặt phẳng () khi và chỉ khi

n.u  0

M  d
 M  ( )


 Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ()

u.n
 
sin  d ,     cos u , n   
u.n

 

 Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () khi và chỉ khi


a b c
u  kn   
A B C

- Một số vấn đề giữa hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng có phương trình:
 x  x1  a1t
 x  x2  a2u



1 :  y  y1  b1t ,  t    và  2 :  y  y2  b2u ,  u   
z  z  c t
z  z  c u


1
1
2
2



1 qua điểm M1(x1; y1; z1) và có vectơ chỉ phương u1 (a1; b1; c1).


2 qua điểm M2(x2; y2; z2) và có vectơ chỉ phương u2 (a2; b2; c2).
 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
12


  

+) 1 và 2 chéo nhau khi và chỉ khi u1 , u2  .M 1M 2  0 .
  

+) 1 và 2 đồng phẳng khi và chỉ khi u1 , u2  .M 1M 2  0 .
  
 u1 , u2  .M 1M 2  0


+) 1 và 2 cắt nhau khi và chỉ khi 

  
 u1 , u2   0

M1  2
+) 1 và 2 song song khi và chỉ khi    

 u1 , u2   0

M1  2
+) 1 và 2 trùng nhau khi và chỉ khi    

u , u   0
  1 2 

 Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 là:
 
u1.u2
 
cos  1 ,  2   cos u1 , u2   
u1 u2





 


 Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi u1.u2  0 .
 Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến một đường thẳng 1
 
 MM 1 , u1 


d(M, 1) =

u1

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
 
 M 2 M 1 , u1 
d(1, 2) = d(M2, 1) =   
u1

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
13


  
u1 , u2  M 1 M 2
d(1, 2) =   
u1 , u2 



 Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đường
thẳng cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
Gọi H1, H2 lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung với hai

đường thẳng đó. H1H2 là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kì
thuộc hai đường thẳng.
H1H2 = d(1, 2)
1.2.3. Viết phương trình mặt cầu
- Mặt cầu tâm I  x0 ; y0 ; z0  , bán kính R có phương trình:
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  z0 )2  R 2

- Phương trình x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 là phương trình
mặt cầu khi và chỉ khi a 2  b2  c 2  d . Khi đó tâm mặt cầu là điểm
I( -a ; -b ; -c) và bán kính mặt cầu là R  a 2  b 2  c 2  d .
- Khi mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 cắt mặt cầu (S) với
phương trình (S): ( x  a) 2  ( y  b)2  ( z  c) 2  R 2 thì giao tuyến là một
đường tròn. Phương trình đường tròn có dạng:
2

2

2

 x  a    y  b    z  c   R2
(C ): 
Ax  By  Cz  D  0

+) Tâm J của đường tròn (C) là hình chiếu của tâm I của mặt cầu (S) trên
mặt phẳng (P).
14


+) Bán kính của đường tròn (C) là r  R 2  IJ 2  R 2  d 2 ( I , ( P))
1.2.4. Cực trị trong không gian

Bài toán cực trị trong hình học không gian thường được phát biểu
dưới dạng yêu cầu xác định tọa độ của điểm, phương trình của một
đường hay một mặt để một biểu thức hình học nào đó đạt giái trị lớn
nhất hay nhỏ nhất. Khi gặp bài toán này, ta thường sử dụng hai phương
pháp sau:
 Cách 1: Sử dụng các tính chất hình học để giảm bớt tính toán.
 Cách 2: Sử dụng thuần túy tọa độ, áp dụng các phương pháp đại số để
giải.
1.2.5. Bài toán xác định tọa độ điểm, vectơ trong không gian
Muốn xác định tọa độ một điểm, vectơ ta cần xác định các thành
phần tọa độ gồm hoành độ, tung độ, cao độ.
- Trên quan điểm Hình học thì điểm đó phải là giao điểm của các
đường, mặt trong không gian, chẳng hạn:
 Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng, của đường thẳng và mặt
phẳng, của đường thẳng và mặt cầu …
 Giao điểm của ba mặt phẳng, giao điểm của hai mặt phẳng và một
đường thẳng, giao điểm của hai mặt phẳng và một mặt cầu …
- Trên qua điểm Đại số thì chúng ta cần tìm ba phương trình để
chúng ta thiết lập hệ ba phương trình ba ẩn.

15


1.3. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
1.3.1. Định nghĩa
Cho biểu thức f(x) xác định trên D.
- Ta nói M (không đổi) là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai
điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
 f(x) ≤ M,  x  D.
  x0  D: f(x0) = M.

- Ta nói m (không đổi) là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu hai
điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
 f(x) ≥ m,  x  D.
  x0  D: f(x0) = m.
1.3.2. Phương pháp đạo hàm
- Điều kiện cần để hàm số có cực trị:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì
f’(x0) = 0.
- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ
điểm x0) thì:

16


 Nếu qua x0 đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực tiểu
tại x0.
 Nếu qua x0 đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại
tại x0.
- Trong trường hợp phương trình y’ = 0 có nghiệm nhưng ta
không xét được dấu của y’, khi đó ta sử dụng định lí sau:
“Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm x0 và
f’(x0) =0 và f’’(x0) ≠ 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa:
 Nếu f’’(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0.
 Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.”
- Các bước tìm cực trị:
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính y’, giải phương trình y’ = 0.
Bước 3: Tìm các giới hạn (nếu cần).
Bước 4: Lập bảng biến thiên và suy ra cực trị của hàm số.

Đặc biệt:
Nếu hàm số liên tục trên D = [a, b] và phương trình y’ = 0 có các
nghiệm c1, c2, …, cn thì:
Max f(x) = max {f(a), f(b), f(c1), …, f(cn)}
Min f(x) = min {f(a), f(b), f(c1), …, f(cn)}

17


1.3.3. Phương pháp miền giá trị của hàm số
- Với bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
trên D. Ta gọi y0 là một giá trị bất kì của hàm số y = f(x) trên miền đã
cho. Khi đó phương trình y = f(x) có nghiệm trong D.
- Từ điều kiện có nghiệm suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x).
1.3.4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
- Bất đẳng thức Cauchy
Cho các số không âm a1 , a2 ,..., an , ta có:
a1  a2  ...  an n
 a1a2 ...an
n

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an .
- Bất đẳng thức Bunyakovsky
Cho các số a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn thuộc  ta có:

 a1b1  a2b2  ...  anbn 
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi

2


 (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 )

a1 a2
a

 ...  n .
b1 b2
bn

Quy ước: Nếu bi = 0 thì ai = 0, với i = 1; 2; …;n.
- Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối cơ bản.
  a   , a  0 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
 Cho ai   , i = 1, 2, …, n ta có :
18


a1  a2  ...  an  a1  a2  ...  an
a  0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  i
với i = 1, 2, …, n.
 ai  0

19


CHƯƠNG 2 : LỚP CÁC BÀI TOÁN
2.1. Bài toán 1
 Bài toán:
Trong không gian 0xyz, cho các điểm A1 , A2 ,..., An . Xét vectơ





w  1 MA1   2 MA2  ...   n MAn

Trong đó 1 ,  2 ,...,  n là các số thực cho trước thỏa mãn
1   2  ...   n  0


Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng d sao cho w có độ
dài nhỏ nhất.
 Phương pháp:








Gọi G là điểm thỏa mãn 1 GA1   2 GA2  ...   n GAn  0 (G hoàn toàn xác
định).


 

Ta có: MAk  MG  GAk với k = 1 ; 2 ; … ; n, nên

 

 
 
w  1 MG  GA1   2 MG  GA2  ...   n MG  GAn

















 1   2  ...   n  MG  1 GA1   2 MA2  ...   n GAn


 1   2  ...   n  MG




Do đó w  1   2  ...   n MG


20