TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HOA

ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ
ĐỂ GIẢI TOÁN

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. ĐINH THỊ KIM THÚY

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này, tôi đã nhận
đƣợc rất nhiều sự quan tâm giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán - Trƣờng
ĐHSP Hà Nội 2, các thầy cô đã tận tình giúp đỡ tôi trong 4 năm học vừa qua
và đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành đề tài này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô Đinh Thị Kim Thúy
ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình
thực hiện đề tài.
Do thời gian tìm hiểu còn hạn hẹp, trang bị kiến thức về toán học còn
hạn chế nên đề tài này không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận
đƣợc sự giúp đỡ và góp ý của thầy cô và các bạn để khóa luận đƣợc hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Hoa


LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là: Nguyễn Thị Hoa
Sinh viên: Lớp K37A – Toán. Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi đã trình bày trong khóa luận
tốt nghiệp này là kết quả quá trình nghiên cứu, tìm tòi, học hỏi của bản thân
dƣới sự chỉ đạo của giáo viên hƣớng dẫn.
Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Hoa


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................ 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 1
4. Kết cấu của khóa luận ................................................................................... 2
NỘI DUNG....................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1 : MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN .................................. 3
1.1. Đoạn thẳng định hƣớng .............................................................................. 3
1.2. Vectơ .......................................................................................................... 3
1.3. Các phép toán vectơ ................................................................................... 5

1.4. Tích vô hƣớng của hai vectơ ...................................................................... 6
CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN.. 7
§1: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC .. 7
1.1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng. .............................................................. 7
1.2. Chứng minh hai điểm trùng nhau. ........................................................... 11
1.3. Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc ................................................. 12
1.4. Tính góc giữa hai đƣờng thẳng ................................................................ 15
1.5. Giải các bài toán chứa yếu tố cố định ...................................................... 19
1.6. Giải bài toán chứa yếu tố song song ........................................................ 22
1.7. Tìm quỹ tích điểm .................................................................................... 25
1.8. Giải bài toán cực trị .................................................................................. 28
1.9. Bài tập đề nghị ......................................................................................... 31
§2: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ .. 35
2.1. Các kiến thức cần sử dụng ....................................................................... 35
2.2. Một số bài toán đƣợc giải bằng phƣơng pháp vectơ ................................ 35
2.2.1. Bài toán chứng minh bất đẳng thức ...................................................... 35


2.2.2. Giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình ......................... 38
2.2.3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ..................................................... 43
2.2.4. Bài tập đề nghị ...................................................................................... 46
KẾT LUẬN .................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 49


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trƣờng phổ thông, hình học là một bộ phận cấu thành nên
Toán học. Đây là một môn học thú vị nhƣng tƣơng đối khó đối với học sinh
bởi hình học là môn học chặt chẽ, tính logic và trừu tƣợng cao hơn các môn

học khác của Toán học. Trong chƣơng trình Toán THCS các em đã đƣợc làm
quen với các đại lƣợng vô hƣớng, khi lên bậc THPT các khái niệm đó tiếp tục
đƣợc mở rộng, chúng ta có khái niệm mới, trong đó vectơ là một ví dụ. Khái
niệm vectơ sẽ theo suốt các em trong quá trình học ở phổ thông.
Thông thƣờng khi mở rộng một khái niệm nào đó thì đồng thời cho ta
một phƣơng pháp mới, một công cụ mới để giải toán. Khái niệm vectơ ra đời
cho ta một phƣơng pháp mới, để giải toán một cách hiệu quả hơn. Nhờ có
phƣơng pháp này các bài toán nhƣ chứng minh tính song song, vuông góc,
thẳng hàng,… nói chung đƣợc giải quyết một cách dễ dàng và ngắn ngọn.
Với mong muốn trên, đƣợc sự giúp đỡ của cô Đinh Thị Kim Thúy tôi đã
chọn đề tài: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Qua các dạng toán, các ví dụ tham khảo mẫu sẽ cho học sinh thấy đƣợc
phần quan trọng của việc sử dụng vectơ trong lời giải các bài tập toán trong
THPT, khiến cho học sinh coi đây là một phƣơng pháp để giải toán có hiệu
quả, một cách tƣ duy khá mới mẻ, sáng tạo trong toán học.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu là vectơ và những ứng dụng của nó để giải toán
THPT.
Do thời gian có hạn, đề tài chỉ đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ vectơ
để giải một số bài toán THPT cơ bản.

1


4. Kết cấu của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo nội dung của khóa
luận gồm 2 chƣơng:
Chƣơng 1: Một số kiến thức liên quan
Chƣơng 2: Ứng dụng phƣơng pháp vectơ để giải toán


2


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1 : MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1.1. Đoạn thẳng định hƣớng
Một đoạn thẳng đƣợc gọi là định hƣớng nếu một trong hai điểm mút
của nó ta chọn một điểm làm điểm đầu, còn điểm kia làm điểm cuối.
Chẳng hạn, với đoạn AB nếu ta chọn điếm A làm điểm đầu, điểm B
làm điểm cuối thì ta có đoạn thẳng định hƣớng và kí hiệu là (A, B).
Hai đoạn thẳng định hƣớng (A, B) và (C, D) gọi là bằng nhau nếu trung
điểm của các đoạn thẳng AD, BC trùng nhau. Khi đó ta viết (A, B) = (C, D).
1.2. Vectơ
1.2.1. Định nghĩa
 Vectơ là một đoạn thẳng đã định hƣớng.
 Một vectơ kí hiệu là AB , CD ,… hoặc a , b ,…
 Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau nhƣ AA , BB đƣợc gọi là
vectơ - không. Kí hiệu: 0 .
1.2.2. Độ dài vectơ
Độ dài vectơ AB kí hiệu là

AB

chính là AB.

(Đối với a thì độ dài của nó kí hiệu là

a


)

1.2.3. Hai vectơ cùng phƣơng
 Hai vectơ AB , CD khác vectơ - không cùng phƣơng kí hiệu AB // CD
khi và chỉ khi AB song song CD hoặc A, B, C, D thẳng hàng.
 Điều kiện để hai vectơ AB , CD cùng phƣơng là AB = k CD , k  R.
1.2.4. Hai vectơ cùng hƣớng, hai vectơ ngƣợc hƣớng
 Hai vectơ AB , CD cùng phƣơng gọi là cùng hƣớng khi và chỉ khi
AB // CD

và hai tia AB, CD cùng hƣớng. Kí hiệu: AB  CD .

3


 Điều kiện để hai vectơ AB , CD cùng hƣớng là AB = k CD (k > 0).
 Hai vectơ AB , CD cùng phƣơng gọi là ngƣợc hƣớng khi và chỉ khi
AB // CD

và hai tia AB, CD ngƣợc hƣớng. Kí hiệu: AB  CD .

 Điều kiện để hai vectơ AB , CD ngƣợc hƣớng là AB = k CD (k < 0).
 Vectơ - không thì cùng phƣơng, cùng hƣớng mọi vectơ.
1.2.6. Hai vectơ bằng nhau
 Hai vectơ AB , CD đƣợc gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hƣớng và
cùng độ dài. Kí hiệu: AB = CD .
 Điều kiện để hai vectơ AB , CD bằng nhau là AB  CD và

AB  CD


.

Chú ý: Hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì bằng nhau.
Nếu cho một vectơ a và một điểm O, thì ta có duy nhất một điểm A
sao cho: OA  a .
1.2.7. Hai vectơ đối nhau
 Hai vectơ AB , CD đối nhau nếu AB + CD = 0 . Kí hiệu: AB = - CD .
 Điều kiện để hai vectơ AB , CD đối nhau là AB  CD và

AB  CD

.

1.2.7. Ba vectơ đồng phẳng trong không gian
 Ba vectơ a, b, c đƣợc gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một
mặt phẳng hoặc nằm trong các mặt phẳng song song.
 Điều kiện để ba vectơ a, b, c khác 0 đồng phẳng là tìm đƣợc cặp số
thực m, n sao cho: c  ma  nb .
 Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng nếu ma  nb  kc  0 thì
m = k = n = 0.
1.2.8. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ a ≠ 0 , b ≠ 0 , góc giữa hai vectơ a, b kí hiệu là ( a, b ) và
4


 

0o  a, b  1800

cos ( a, b ) =


a.b
a.b

1.3. Các phép toán vectơ
1.3.1. Phép cộng vectơ
a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các
điểm B và C sao cho AB  a, BC  b . Khi đó vectơ AC đƣợc gọi là tổng của
hai vectơ a và b . Kí hiệu: AC  a  b.
b) Các tính chất
Với mọi vectơ a, b, c ta có:
(1) Tính chất của vectơ – không: a  0  0  a  a
abba

(2) Tính chất giao hoán:

a  b  c  a  b  c.

(3) Tính chất kết hợp:
1.3.2. Hiệu hai vectơ

a) Định nghĩa: Hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu a - b là tổng của

 

vectơ a và vectơ đối của vectơ b , tức là: a  b  a   b .
Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.
b) Quy tắc ba điểm về phép trừ vectơ
Nếu MN là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kỳ, ta luôn có:
MN  ON  OM .


1.3.3. Phép nhân vectơ với một số
a) Định nghĩa: Tích của vectơ a với một số thực k là một vectơ, kí hiệu là
k a , đƣợc xác định nhƣ sau:
1) Nếu k  0 thì vectơ k a cùng hƣớng vectơ a .
Nếu k<0 thì vectơ k a ngƣợc hƣớng vectơ a .
5


2) Độ dài của vectơ k a bằng k . a .
Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một số.
b) Các tính chất
Với hai vectơ bất kỳ a, b và mọi số thực k, l ta có:



1) k l a  k.l a
2) k  l a  k a  l a

 

3) k a  b  k a  k b
4) 1.a  a
1.4. Tích vô hƣớng của hai vectơ
a) Định nghĩa: Tích vô hƣớng của hai vectơ a , b là một số thực, kí hiệu là
a . b và đƣợc xác định bởi:
a . b = a . b cos( a, b ).

b) Tính chất: Với ba vectơ a, b, c tùy ý và mọi số thực k, ta có:
1) a.b  b.a

2) a.b  0  a  b

     
4) a.b  c   a.b  a.c
3) k a .b  a. k b  k a.b

 

a. b  c  a.b  a.c .

6


CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN
§1: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
Sử dụng phương pháp vectơ ta sẽ giải quyết được rất nhiều bài toán
trong mặt phẳng cũng như trong không gian mà các phương pháp khác không
đạt được tính ưu việt như phương pháp này.
Nội dung của việc sử dụng phương pháp vectơ trong giải toán hình học
được thể hiện qua một số dạng sau.
1.1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Phƣơng pháp:
Muốn chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng ta đi chứng minh bằng
một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta đi chứng minh AB = k AC .
Cách 2: Lấy điểm O bất kỳ ta chứng minh OC   OA   OB trong đó     1 .
Ví dụ 1.1. Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đƣờng
tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng O, G, H
thẳng hàng.
Lời giải

A

H
B

G

O

M

C
A’

Gọi AA’ là đƣờng kính đƣờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC, và M là
trung điểm của BC.
7


Ta có:
A ' B  AB 
  A ' B / / CH
CH  AB 
A ' C  AC 
  A ' C / / BH
BH  AC 

Do đó tứ giác A’BHC là hình bình hành.
Ta lại có: M là trung điểm của BC. Suy ra M là trung điểm của A’H.
Theo giả thiết ta có G là trọng tâm của tam giác ABC


 ⃗⃗⃗⃗⃗

1 ⃗⃗⃗⃗⃗
(
3

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )  ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Vì M là trung điểm của BC suy ra ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có OM là đƣờng trung bình của tam giác AA’H `  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

 ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗


⃗⃗⃗⃗⃗

Từ (1) và (2)  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
.
2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

⃗⃗⃗⃗⃗ suy ra O, G, H thẳng hàng.

Nhận xét: Nhờ hệ thức vectơ về tính chất trọng tâm của tam giác, tính
chất trung điểm của đoạn thẳng, tính chất đường chéo của hình bình hành sẽ
cho ta lời giải của bài toán. Ngoài ra bài toán này có thể giải bằng phương
pháp tổng hợp hoặc sử dụng phép vị tự.
Ví dụ 1.2. Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn tâm O. Các đƣờng
thẳng song song đi qua A, B, C cắt đƣờng tròn ngoại tiếp lần lƣợt tại các điểm
thứ hai là A1, B1, C1. Chứng minh rằng các trực tâm của tam giác ABC1,
BCA1, CAB1 nằm trên một đƣờng thẳng.
Lời giải

8



A
A
1

C1

O
C
B
B1

Gọi H1, H2,, H3 lần lƣợt là trực tâm của tam giác ABC1, BCA1, CAB1 cùng nội
tiếp đƣờng tròn tâm O. Theo ví dụ 1.1 ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗


⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

Từ (1) và (2) ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗


⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

Từ (2) và (3) ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Lại có AA1 // BB1 // CC1 nên:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Do đó:

Suy ra ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗


⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(
(

)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ suy ra H1, H2, H3 thẳng hàng.

Nhận xét: Nhờ hệ thức vectơ về tính chất trọng tâm trong một tam giác
và tính chất song song của bài ta tìm được hệ thức vectơ biểu thị liên hệ giữa
H1, H2, H3 và từ đó ta có ngay được H1, H2, H3 thẳng hàng.
9


Ví dụ 1.3. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam
giác A’BD. Chứng minh rằng A, G, C’ thẳng hàng.
Lời giải

C

B
A

D
G

B’

C’

A’

Cách 1:

D’

Do G là trọng tâm của tam giác A’BD nên ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Suy ra A, G, C’ thẳng hàng.
Nhận xét: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp tổng hợp trong
hình không gian lớp 11, nhưng việc thiết lập mối quan hệ giữa A, C’, G là
dài dòng. Nhờ hệ thức về vectơ về tính chất trọng tâm của tam giác thì việc
chứng minh trở nên gọn gàng dễ hiểu.
Cách 2:
Bài này có thể dùng điều kiện cần và đủ để ba điểm A, G, C’ thẳng hàng:
A, G, C’ thẳng hàng  DG   DA  1   DC',   R
Gọi M là trung điểm của A’B và G là trọng tâm của tam giác BDA’, suy ra:

DG 



2
1
DM  DB  DA'
3
3



Ta có: DB  AB  AD

DA'  AA'  AD
 DG 



 

 



1
1
1
1
2

AB  AD  AA'  AD  AB  AA'  2 AD  AB '  2 DA  DC'  DA
3
3
3
3
3

10


Vậy A, G, C’ thẳng hàng.
Với những bài toán liên quan đến trọng tâm tam giác, tứ diện, hay có
các yếu tố tỉ lệ ta nên dùng phƣơng pháp vectơ để giải.
1.2. Chứng minh hai điểm trùng nhau.
Phƣơng pháp:
Muốn chứng minh hai điểm A, B trùng nhau ta chứng minh bằng một
trong hai cách sau:
Cách 1: Chứng minh AB  0 .
Cách 2: Chứng minh OA  OB với O là điểm tùy ý.
Ví dụ 2.1. Cho tam giác ABC lấy các điểm A’  BC, B’  AC,
C’  AB sao cho: AA  BB '  CC '  0 (1). Chứng minh rằng hai tam giác
ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Lời giải
Gọi G, G’ lần lƣợt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A’B’C’ ta có:

0  AA'  BB '  CC '






 GA  GB  GC  G ' A'  G ' B'  G ' C ' 3GG'

 AG  GG'  G ' A'  BG  GG'  G ' B'  CG  GG'  G ' C '



 3GG'

 GG'  0 . Vậy G, G’ trùng nhau.
Nhận xét: Ta sử dụng hướng chứng minh G  G'  GG'  0 xuất
phát từ đẳng thức (1) ta tiến hành việc phân tích vectơ bằng cách xen hai
điểm G, G’ vào. Vận dụng đẳng thức vectơ về tính chất trọng tâm của tam
giác ta đi đến đẳng thức GG'  0 .

11


Ví dụ 2.2. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lƣợt là trung
điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có
cùng trọng tâm.
Lời giải
Gọi G1, G2 là trọng tâm của tam giác ANP, CMQ và O là một điểm tùy ý.
OA  ON  OP  3OG1
Ta có: 
(1)
OC  OM  OQ  3OG2

Mặt khác:
OA  ON  OP  OA 




 







1
1
1
OB  OC  OC  OD  OA  OC  OB  OD (2)
2
2
2

OC  OM  OQ  OC 



 








1
1
1
OA  OB  OA  OD  OC  OA  OB  OD (3)
2
2
2

Từ (1),(2) và (3) suy ra OG1  OG2 . Vậy G1, G2 trùng nhau.
Nhận xét: Ta sử dụng hướng chứng minh G1  G2  OG1  OG2 .
1.3. Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc
Phƣơng pháp: Muốn chứng minh hai đƣờng thẳng a, b vuông góc với
nhau ta đi chứng minh u a .u b  0 .
Trong đó u a , u b lần lƣợt là các vectơ chỉ phƣơng của các đƣờng thẳng
a và b.
Chẳng hạn, muốn chứng minh AB  CD ta đi chứng minh AB.CD = 0.
Ví dụ 3.1. Chứng minh ba đƣờng cao trong tam giác đồng quy.
Lời giải
Giả sử AA’, BB’, CC’ là ba đƣờng cao trong tam giác ABC.
Gọi H = BB’  CC’. Ta chứng minh AH  BC  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Thật vậy:



 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
12


 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗




 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )


(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

=0
Vậy AH  BC tức là ba đƣờng cao đồng quy.
Ví dụ 3.2. Tam giác ABC cân tại A, kẻ đƣờng cao AH và gọi D là hình
chiếu của H trên AC, I là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AI  BD.
A
Lời giải
Ta có: AI 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗



1
AH  AD
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗


⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Do đó:






1
AI .BD  AH  HD . HC  HD
2
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

D




I

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Suy ra



.

13

B
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

H

C


Ví dụ 3.3. Cho hình lập phƣơng ABCDA’B’C’D’. Gọi M, N là các
điểm tƣơng ứng thuộc các cạnh AD, BB’ sao cho AM = BN. I, J tƣơng ứng là
trung điểm của các cạnh AB, C’D’. Chứng minh rằng IJ  MN.
Lời giải
I


A

B

M
N

D

C

A’

B’

D’
Đặt: ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Do M  AD nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗

⃗


⃗⃗⃗⃗⃗

N  BB’ nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

C’

J

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

Do đó:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
(do | ⃗ |


(

⃗

)( ⃗

)

⃗

(⃗

)

| |).

Suy ra MN  IJ.
Ví dụ 3.4. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đƣờng tròn tâm O. Gọi
M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác AMC. Chứng minh
rằng OG  CM.
Lời giải

14


A
Gọi N là trung điểm của AC, ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗


(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

M

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

O

G
+

N

Do đó:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗


⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
[(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

C

B

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )


(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

(|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⃗⃗⃗⃗⃗ ]

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ))

Suy ra OG  CM.
1.4. Tính góc giữa hai đƣờng thẳng
Phƣơng pháp:
Muốn tính góc giữa hai đƣờng thẳng a, b ta đi tìm góc giữa hai vectơ
chỉ phƣơng hoặc hai vectơ pháp tuyến pháp tuyến của chúng.
Gọi

là góc giữa hai đƣờng thẳng a, b thì khi đó:

15


|
( với ⃗


(⃗

⃗ )|

|⃗ ⃗ |
|⃗ | |⃗ |

⃗ là hai vectơ chỉ phƣơng của hai đƣờng thẳng a, b.)

Hoặc
|
(với ⃗

(⃗

⃗ )|

|⃗ ⃗ |
|⃗ | |⃗ |

⃗ là hai vectơ pháp tuyến của hai đƣờng thẳng a, b.)

Ví dụ 4.1. Cho tam giác ABC cân tại A, hai đƣờng trung tuyến BB1,
CC1 vuông góc với nhau. Hãy tính góc giữa hai cạnh bên của hai tam giác đó.
Lời giải
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

Đặt:

⃗⃗⃗⃗⃗


A

Khi đó ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

C

B1

⃗

Do BB1  CC1 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗


B

1
1

  b  a . a  b   0
2
 2


C

5
1 2 1 2
a
.
b

a  b 0 ( )

4
2
2
Do | |

|⃗ |

 

nên từ ( ) suy ra


 

5
4
AB 2 . cos a, b  AB 2  cos a, b 
4
5
Vậy góc giữa hai đƣờng thẳng AB và AC là (

cos  

4
.
5

16

) thỏa mãn:


Nhận xét: Với kết quả tìm được không phải là góc đặc biệt thì việc tìm
chúng bằng phương pháp bình thường không phải là đơn giản.
Ví dụ 4.2. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lƣợt là trung điểm
của các cạnh AB, BC, AD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Hãy tính góc
giữa hai đƣờng thẳng MG và NP.
Lời giải
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

Đặt:


⃗⃗⃗⃗⃗

A

⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Mặt khác: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

(

)

M

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Suy ra:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

P

B
⃗

(

)

⃗

(

D

)

G
N

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Do | |
Gọi

⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗ |


⃗)

(

⃗

(

)

|⃗ |

| | nên ta có thể giả sử | |

C
| |

.

là góc giữa hai đƣờng thẳng MG và NP, khi đó:
|

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )|

Lại có:
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|

|

√(

⃗

)(

⃗

(
⃗

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗

(

⃗

⃗

⃗
⃗

)
17


)|
⃗

⃗

)|


⃗

√(

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

√

)

Vậy:
√

√



√

Ví dụ 4.3. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi AH là đƣờng cao của tứ
diện xuất phát từ đỉnh A và O là trung điểm của AH. Tìm góc giữa OC và OB

Lời giải
Đặt: ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Trong đó: | ⃗ |

| |

⃗⃗⃗⃗⃗
| |

và ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

A

⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

O
(⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )




AH 1
 bcd
2
6

 AO 

)



B

H

Ta có:
⃗

(⃗

)

(⃗

)

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗


⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Gọi

là góc giữa OB và OC, khi đó:
|

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )|

C

⃗
⃗

|⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |

Mặt khác:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Suy ra




( ⃗

) (
.
18

⃗

)

D


1.5. Giải các bài toán chứa yếu tố cố định
Phƣơng pháp:
Bƣớc 1: Dự đoán yếu tố cố định.
Bƣớc 2: Dựa vào phƣơng pháp vectơ để chứng minh.
Chẳng hạn, muốn chứng minh một hình chứa một điểm cố định ta làm
nhƣ sau:
+) Dự đoán yếu tố cố định.
+) Dựa vào phƣơng pháp vectơ để chứng minh nó trùng với một điểm
cố định hoặc rút ra một đẳng thức vectơ trong đó tất cả các điểm đều cố định
trừ điểm đang xét.
Ví dụ 5.1. Cho góc Oxy và hai số dƣơng a, b. Điểm A, B là hai điểm
chạy trên Ox, Oy sao cho:

a
b

 1. Chứng minh rằng đƣờng thẳng AB

AB OB

luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải
x
A
K

X

O
Y

B

y

Trên Ox lấy điểm X sao cho OX = a, trên Oy lấy điểm Y sao cho OY = b
Dựng hình bình hành OXKY khi đó ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Đặt:  
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗


⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

a
b

 1   ,   0,1 ta có:
OA
OB

⃗⃗⃗⃗⃗

(

)⃗⃗⃗⃗⃗ suy ra K  AB. Vậy AB đi qua điểm cố định K.
19


Ví dụ 5.2. Cho tam giác ABC. Các điểm I, J di động trên các cạnh AB,
AC sao cho:

AB AC

 3 . Chứng minh rằng IJ luôn đi qua một điểm cố
AI
AJ


định.
Lời giải

A

J

G

I
B

C
M
Gọi M là trung điểm của BC, G là giao điểm của AM và IJ.


 AI  m AB 
Đặt 
 AJ  n AC 


AB 1

AI m
AC 1

AJ n

Từ giả thiết ta có:


Giả sử ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗

 ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

 AG 

1

AI 
AJ
 1
 1

 AG 

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗


m
 .n
AB 
AC (1)
 1
 1

Đặt AG  x AM 





1
x
x
x AB  AC  AB  AC (2)
2
2
2

Từ (1) và (2) suy ra
20