TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

NGUYỄN THỊ MINH TOẠI

IDEAL VÀ SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI - 2015


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán
LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu miệt mài, nghiêm túc cùng với sự giúp đỡ
tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, đến nay Khóa luận của em
đã đƣợc hoàn thành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo
trong tổ Đại số, Khoa Toán, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã động viên
giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo hƣớng dẫn Tiến sĩ Nguyễn
Thị Kiều Nga đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn
thành khóa luận tốt nghiệp này
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong
khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận đƣợc
những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên.

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Minh Toại

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán
LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó em đƣợc sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô
giáo trong khoa Toán đặc biệt là sự hƣớng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn
Thị Kiều Nga
Trong khi nghiên cứu hoàn thành Khóa luận này em có tham khảo một
số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Vì vậy em xin khẳng định đề
tài “ Ideal và sự phân tích nguyên sơ” không có sự trùng lặp với đề tài của
các tác giả khác
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Minh Toại

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga



Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

MỤC LỤC

CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .......................................................... 2
1.1. Vành, vành con....................................................................................... 2
1.2. Miền nguyên, trƣờng. ............................................................................. 4
1.3. Ideal và vành thƣơng. ............................................................................. 6
1.4. Đồng cấu vành........................................................................................ 9
1.5. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự. ......................................................... 12
CHƢƠNG 2: IDEAL TRÊN VÀNH GIAO HOÁN....................................... 15
2.1. Các phép toán trên ideal. ...................................................................... 15
2.2. Ideal hữu hạn sinh. ............................................................................... 19
2.3. Ideal cực đại, ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ. .................................. 20
2.4. Mối liên hệ giữa ideal cực đại, ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ........ 35
2.5. Ideal đối cực đại. .................................................................................. 39
2.6. Ideal bất khả quy. ................................................................................. 44
2.7. Một số bài tập về ideal. ........................................................................ 44
CHƢƠNG 3: SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ............................................... 52
3.1. Vành Noether. ...................................................................................... 52
3.2. Sự phân tích nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ cực tiểu ............... 54
3.3. Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether ........................................ 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 61

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga


Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

LỜI MỞ ĐẦU
Đại số là một bộ môn của Toán học. Nó không chỉ là cơ sở cho nhiều
ngành Toán học khác mà còn có nhiều ứng dụng trong một số ngành khoa học
kĩ thuật. Đại số đƣợc xây dựng và phát triển từ những cấu trúc đại số cơ bản
nhƣ: Nhóm, vành, trƣờng, modun,… Ideal là một trong những khái niệm cơ
bản và quan trọng của Đại số. Các lớp ideal đặc biệt là ideal nguyên tố, ideal
cực đại, ideal đối cực đại, ideal bất khả quy,… có vai trò quan trọng trong
việc nghiên cứu Đại số giao hoán và hình học đại số. Đặc biệt, khái niệm
ideal nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ là một công cụ quan trọng của đại
số trong việc nghiên cứu các tính chất của các lớp modun đặc biệt nhƣ modun
Coher- Macaulay, modun Coher- Macaulay suy rộng… Nhƣng trong chƣơng
trình đại học các vấn đề này chỉ đƣợc trình bày một cách sơ lƣợc và trừu
tƣợng gây nhiều khó khăn cho việc tìm hiểu của các bạn đọc, đặc biệt là sinh
viên khoa Toán. Đƣợc sự hƣớng dẫn và giúp đỡ tận tình của cô giáo - Tiến sĩ
Nguyễn Thị Kiều Nga cùng với lòng yêu thích môn Đại số em mạnh dạn chọn
đề tài: “Ideal và sự phân tích nguyên sơ” để làm khóa luận tốt nghiệp mong
muốn giúp ích cho các bạn yêu thích môn Đại số có thêm tài liệu tham khảo.
Khóa luận đƣợc chia làm 3 chƣơng:
 Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị.
 Chƣơng 2: Ideal trên vành giao hoán.
 Chƣơng 3: Sự phân tích nguyên sơ.
Do còn hạn chế về thời gian và kiến thức của bản thân nên khóa luận
không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp của
các thầy cô giáo và các bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn!

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga


1


Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

Khóa luận tốt nghiệp

CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Vành, vành con.
1.1.1. Vành

a) Định nghĩa: Cho X là tập khác rỗng, trên X trang bị hai phép toán hai
ngôi, gọi là phép cộng và phép nhân và kí hiệu lần lƣợt là (+), (.). X đƣợc gọi
là vành nếu thỏa mãn các điều kiện:
i) X cùng với phép cộng là một nhóm Abel.
ii) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm.
iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với các phần tử tùy ý
x, y, z  X , ta có
x( y  z )  xy  xz
( y  z ) x  yx  zx

b) Chú ý
+) Vành X gọi là vành có đơn vị nếu X là một vị nhóm nhân.
+) Vành X đƣợc gọi là vành giao hoán nếu phép nhân giao hoán.
+) Vành X đƣợc gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm
nhân giao hoán.
+) Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0. Gọi là phần tử không của
vành.
+) Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có), kí hiệu là 1.

c) Ví dụ
- Tập hợp

các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân thông

thƣờng là một vành giao hoán có đơn vị gọi là vành các số nguyên. Ta cũng
có vành các số hữu tỉ

, các số thực

, các số phức

(với phép toán cộng

và phép toán nhân các số thông thƣờng).

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

2


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

- Tập hợp các số nguyên là bội của một số nguyên n  1 cho trƣớc là
một vành với phép cộng và phép nhân thông thƣờng. Vành này là vành giao
hoán nhƣng không có đơn vị.
- Tập các ma trận vuông cấp n (với các phần tử là các số ) cùng với
phép cộng và phép nhân ma trận là một vành có đơn vị. Vành này không giao

hoán nếu n  1 .
c) Tính chất
Cho X là một vành
+) x0  0  0 x , x  X .
+) Nếu vành có ít nhất 2 phần tử thì 0  1 .
+) (nx) y  nxy  x(ny) , x, y  X , n .
+) ( x  y) z  xz  yz .
1.1.2. Vành con và điều kiện tương đương

a) Định nghĩa: Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X ổn
định với hai phép toán cộng và nhân trong X , nghĩa là x  y  A, xy  A với
mọi x, y  A . Khi đó A là một vành con của X nếu A cùng với hai phép
toán cảm sinh trên A là một vành.
b) Điều kiện tƣơng đƣơng
Cho X là một vành, A là một bộ phận khác rỗng của X . Các điều kiện
sau đây là tương đương:
i) A là một vành con của X .
ii) x, y  A thì x  y  A, xy  A,  x  A .
iii) x, y  A thì x  y  A, xy  A .
c) Ví dụ
+){0} và X là hai vành con của vành X .

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

3


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán


+) Tập hợp m

gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho

trƣớc là một vành con của vành các số nguyên

.

+) Vành đa thức [ x1,...xn ] là một vành con của vành

[ x1,..., xn ] .

+) A là một vành giao hoán có đơn vị thì A là một vành con của vành
đa thức A[ X ]. Vành A[ X ] lại là vành con của vành đa thức hai biến A[ X , Y ] .
1.1.3. Đặc số của vành

Cho X là vành có đơn vị 1, nếu tồn tại số nguyên dƣơng n nhỏ nhất
sao cho n1  0 thì ta nói X có đặc số là n , ngƣợc lại ta nói X có đặc số bằng
0. Đặc số của X kí hiệu là CharX .
Ví dụ: Vành các số hữu tỉ

có đặc số 0. Vành

3

các lớp thặng dƣ

modun 3 có đặc số 3.
1.1.4. Tập con nhân đóng


a) Định nghĩa
Cho R là vành có đơn vị 1. Tập con A đƣợc gọi là tập con nhân đóng
của R nếu:
i)1 A .
ii) Với mọi x, y  A thì xy  A .
b) Ví dụ
Cho R là vành giao hoán đơn vị 1, vành con A của R là tập nhân đóng
1.2. Miền nguyên, trƣờng.
Trong toàn bộ phần này X là vành giao hoán có đơn vị.
1.2.1. Ước và bội của một phần tử

a) Định nghĩa: Cho X là vành giao hoán, a, b  X , a gọi là bội của b
hay a chia hết cho b , kí hiệu a b nếu tồn tại c  X sao cho a  bc . Khi đó ta
cũng nói b là ƣớc của a , kí hiệu là b | a.
b)Ƣớc của không: a  X , a  0, a đƣợc gọi là ƣớc của không nếu tồn
tại b  X , b  0 sao cho ab  0 . Khi đó b cũng gọi là ƣớc của không.

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

4


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

c) Phần tử khả nghịch
Phần tử u  X đƣợc gọi là phần tử khả nghịch nếu u là ƣớc của 1, tức
là tồn tại v  X sao cho uv  1 .

d) Phần tử liên kết
Với a, a '  X , ta nói a , a ' liên kết với nhau nếu tồn tại u khả nghịch
sao cho a  ua ' hoặc a '  ua .
Kí hiệu: a ~ a ' hoặc a ' ~ a .
e) Ƣớc thực sự
a đƣợc gọi là ƣớc thực sự của b nếu a là ƣớc của b , a không khả

nghịch và a không liên kết với b .
g) Phần tử bất khả quy
a  X là phần tử bất khả quy nếu a  0 , a không khả nghịch và a

không có ƣớc thực sự.
e) Phần tử nguyên tố
Phần tử a  0 , không khả nghịch đƣợc gọi là phần tử nguyên tố nếu
a uv thì a | u hoặc a | v .
1.2.2. Miền nguyên

a) Định nghĩa
Một vành giao hoán X có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và không
có ƣớc của 0 đƣợc gọi là miền nguyên.
b) Ví dụ: Vành các số nguyên

là một miền nguyên.

1.2.3. Trường

a) Định nghĩa
Trƣờng là một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác không đều khả
nghịch trong vị nhóm nhân.
Nhận xét: Nếu X là trƣờng thì

+) ( X ,+) là một nhóm Abel.

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

5


Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

Khóa luận tốt nghiệp

+) ( X * ,.) là nhóm Abel, X *  X \ 0.
+) Phép nhân phân phối đối với phép cộng.
b) Ví dụ
Tập hợp

các số hữu tỉ cùng với phép cộng và phép nhân thông

thƣờng là một trƣờng. Ta cũng có trƣờng số thực

và trƣờng số phức

.

1.2.4. Trường con

a) Định nghĩa
Giả xử X là một trƣờng, A là một bộ phận của X ổn định đối với hai
phép toán trong X . A là một trƣờng con của trƣờng X nếu A cùng với hai
phép toán cảm sinh trên A là một trƣờng.

b) Điều kiện tƣơng đƣơng
Giả sử A là một bộ phận có nhiều hơn một phần tử của một trường X .
Các điều kiện sau đây là tương đương:
i) A là một trường con của X .
ii) Với mọi x, y  A , x  y  A , xy  A ,  x  A , x 1  A nếu x  0 .
iii) Với mọi x, y  A , x  y  A , xy 1  A , nếu y  0.
c) Ví dụ
+) X là một trƣờng con của trƣờng X . Bộ phận 0 không phải là
một trƣờng con của X , vì theo định nghĩa một trƣờng có ít nhất 2 phần tử.
+) Trƣờng số hữu tỉ
thân

là một trƣờng con của trƣờng số thực

lại là trƣờng con của trƣờng số phức

, bản

.

1.3. Ideal và vành thƣơng.
1.3.1. Ideal

a) Định nghĩa
Cho A là một vành, I là vành con của A . Khi đó:

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

6



Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

Khóa luận tốt nghiệp

+) I gọi là ideal trái của A nếu với mọi x  A, với mọi a  I , thì

xa  I .
+) I gọi là ideal phải của A nếu với mọi x  A, với mọi a  I , thì

ax  I .
+) I gọi là ideal của A nếu I vừa là ideal trái vừa là ideal phải của A .
Nhận xét
+) Nếu A là vành không giao hoán thì ideal trái và ideal phải là phân
biệt.
+) Nếu A là vành giao hoán thì ideal trái và ideal phải là trùng nhau.
b) Điều kiện tƣơng đƣơng
Cho A là vành, I  A, I   . Các điều kiện sau tương đương:
i) I là ideal của A .
ii) Với mọi a, b  I thì a  b  I và x  A thì ax  I , xa  I .
c) Ví dụ: Cho vành A
+) Vành A luôn có các ideal tầm thƣờng là ideal 0 và A .
+) Tập hợp m

gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho

trƣớc là một ideal của vành các số nguyên

.


d) Nhận xét
i) Trong một vành giao hoán thì mọi ideal trái cũng là ideal phải và do
đó là ideal.
ii) Nếu A là một vành có đơn vị và ideal I chứa một phần tử khả
nghịch a thì x  a(a 1x)  I với mọi x  A , hay I  A . Vậy I  A khi và chỉ
khi I chứa một phần tử khả nghịch. Từ đó suy ra nếu A là một trường thì A
chỉ có hai ideal là {0} hoặc A vì khi đó mọi ideal khác không của A đều
chứa phần tử khả nghịch.

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

7


Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

Khóa luận tốt nghiệp
1.3.2. Vành thương

a) Xây dựng vành thƣơng
Cho A là một vành và I là một ideal của A khi đó với quan niệm I là
một nhóm con của nhóm cộng Abel A và ta có nhóm thƣơng

 



A / I  x  x  x  I x  A là một nhóm Abel.

Ta trang bị cho A / I quy tắc nhân đƣợc xác định nhƣ sau:

Với mọi x, y  A / I
x y  ( x  I )( y  I )  xy  xy  I .

Quy tắc này là một phép toán hai ngôi trong A / I . Thật vậy nếu x  x ' và
y  y ' tức x  I  x ' I , y  I  y ' I  x  x '  I , y  y '  I do đó

x  x ' a, y  y ' b với a,b  I .

Ta có xy  x ' y '  ( x ' a)( y ' b)  x ' y '  ab  ay ' x ' b . Vì I là một ideal của
A và a,b  I nên ab, ay ', x ' b  I . Do đó x y  x ' y '  I . Từ đó suy ra quy tắc

trên là một phép toán hai ngôi trong A / I .
Nhƣ vậy A / I có hai phép toán cộng và nhân:
x  y  x  y , x y  xy,

Với hai phép toán này, dễ dàng chỉ ra rằng A / I là một vành và đƣợc gọi là
vành thƣơng của vành A trên ideal I .
b) Nhận xét:
+) Phần tử không của vành thƣơng A / I là lớp 0  0  I  I .
+) Nếu A là vành giao hoán thì A / I cũng là vành giao hoán.
+) Nếu A là vành có đơn vị 1 thì A / I cũng là vành có đơn vị với đơn
vị là 1  1  I .
c) Ví dụ

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

8


Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Cho
n

là vành, n

( n ). Khi đó tồn tại vành thƣơng

là ideal của

.
+) Nếu n  0 thì n  0 . Ta có
+) Nếu n  0 thì

n



n

{0}



.

.


Trong trƣờng hợp đặc biệt ta có {0}, A là hai ideal của A nên tồn tại 2
vành thƣơng
A

{0}

 {x  0 | x  A}  A.

A  {x  A | x  A}  { A}.
A

d) Tính chất
Cho vành giao hoán A , I là ideal của A .
+) Nếu J là ideal của A sao cho J  I thì J
thương A

I

và với r  R ta có r  I  J

+) Mỗi ideal B của R

I

I

I

là ideal của vành


nếu và chỉ nếu r  J .

đều có dạng K

I

với K là ideal của A thỏa

mãn K  I . Tồn tại duy nhất ideal K  a  R | a  I  J  của A thỏa mãn
điều kiện trên.
+) J1 , J 2 là các ideal của A sao cho J1, J 2  I Ta có

J1

I



J2

I

khi và

chỉ khi J1  J 2 .
1.4. Đồng cấu vành.
1.4.1. Định nghĩa

Cho X , Y là 2 vành. Ánh xạ f : X  Y gọi là đồng cấu vành nếu thỏa
mãn các điều kiện sau

 f ( x  y )  f ( x)  f ( y )
Với mọi x, y  X thì 
 f ( xy )  f ( x) f ( y )

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

9


Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

Khóa luận tốt nghiệp

+) f là đơn cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là đơn ánh.
+) f là toàn cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là toàn ánh.
+) f là đẳng cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là song ánh.
+) Cho hai vành X , Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng
cấu vành f : X  Y . Nếu vành X đẳng cấu với vành Y ta kí hiệu X  Y .
1.4.2. Ví dụ

+) Giả sử A là một vành con của vành X . Đơn ánh chính tắc
f : A X
a

a

là một đồng cấu đƣợc gọi là đơn cấu chính tắc.
+) Ánh xạ đồng nhất của vành X là một đồng cấu gọi là tự đẳng cấu
đồng nhất của X .
+) Giả sử A là một ideal của một vành X . Ánh xạ

h: X  X A

x A

x

là một đồng cấu từ vành X đến vành thƣơng X / A . Đồng cấu này còn là
toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc.
+) Giả sử X và Y là hai vành. Ánh xạ
k : X Y

x

0

với 0 là phần tử không của Y là một đồng cấu gọi là đồng cấu không . Kí
hiệu là  .
1.4.3. Tính chất cơ bản

a) Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành.
b) Cho f : X  Y là cấu một đồng vành, trong đó X là một trường thì
f là đồng cấu không hoặc đơn cấu.

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

10


Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán


Khóa luận tốt nghiệp

c) Cho f : X  Y là một đồng cấu vành:
+) Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành
g : X  Y sao cho: gf  1X thì f là đơn cấu.

+) Nếu f có nghịch đảo phải tức là tồn tại một đồng cấu vành
g : X  Y sao cho gf  1Y thì f là toàn cấu.

+) Nếu f có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì f là đẳng cấu.
d) f : X  Y là đồng cấu vành, A là một vành con của X , B là ideal
của Y thì:
+) f ( A) là một vành con của Y .
+) f 1 ( B) là một ideal của X .
Đặc biệt
Cho f : X  Y là đồng cấu vành.
Hạt nhân của f , kí hiệu là Kerf , Kerf  {x  X | f ( x)  0Y } .
Ảnh của đồng cấu f , kí hiệu là Im f
Im f  f ( X )   f ( x) Y | x  X  .

Khi đó: +) X là vành con của X nên Im f là vành con của Y.
+) {0Y } là ideal Y nên Kerf là ideal của X .
Do đó +) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf  {0 X }.
+) f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f  Y .
e) Định lý cơ bản của đồng cấu vành
Cho đồng cấu vành f : X  Y . A , B tương ứng là các ideal của X , Y
sao cho f ( A)  B. Với pA : X  X / A , pB : Y  Y / B là toàn cấu chính tắc.
Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành f : X A  Y B làm cho biểu đồ sau
giao hoán


Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

11


Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

Khóa luận tốt nghiệp

X

f

Y
pB

pA

X/A

Y/B

f

Tức f pA  pB f .
Đặc biệt, nếu A  Kerf , B  {0Y } thì Y / B  Y / {0Y }  Y tức biểu đồ
f
giao hoán
Y
X

f

p
X/Kerf

Nghĩa là f p  f với p : X  X / Kerf là toàn cấu chính tắc.
Hệ quả:(1) Cho f : X  Y là đồng cấu vành thì X / Kerf  Im f .
(2) Nếu f : X  Y là toàn cấu vành thì X / Kerf  Y .
(3) B, C là các ideal của X thì B  C

C

B

B C

.

1.5. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự.
1.5.1. Định nghĩa

Cho tập X   , S là một quan hệ hai ngôi. S đƣợc gọi là một quan hệ
thứ tự trong X (hay ngƣời ta gọi S là một quan hệ thứ tự giữa các phần tử
của X ) nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn:
i) (Phản xạ) Với mọi a  X : aSa .
ii) (Phản đối xứng) Với mọi a, b  X : Nếu aSb và bSa , thì a  b .
iii) (Bắc cầu) Với mọi a, b,c  X : Nếu aSb và bSc , thì aSc .
Nếu S là một quan hệ thứ tự trong X , thì ngƣời ta thƣờng kí hiệu S
bằng “  ”.


Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

12


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

Ngƣời ta bảo một tập X là sắp thứ tự nếu trong X có một quan hệ thứ
tự. Kí hiệu ( X , ) .
1.5.2. Ví dụ

+) Quan hệ  trong tập hợp các số tự nhiên
+) Quan hệ chia hết trong

là một quan hệ thứ tự.

: Ngƣời ta kí hiệu a | b và đọc là “ a chia

hết cho b ”.
+) Quan hệ bao hàm “  ” giữa các bộ phận của một tập hợp X .
1.5.3. Tập sắp thứ tự toàn phần

Tập sắp thứ tự ( X , ) đƣợc gọi là tập sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi
a  b
a, b  X ta luôn có a  b hoặc b  a . Ta viết a  b nếu 
a  b
1.5.4. Định nghĩa


Cho tập X là tập sắp thứ tự, tập A  X , A đƣợc gọi là một xích của

X nếu A cùng với quan hệ thứ tự bộ phận của X lập thành tập sắp thứ tự
toàn phần.
Khi đó nếu A  a1, a2 ,..., an  , không giảm tính tổng quát ta có thể viết:
a1  a2  ...  an .
1.5.5. Phần tử cực đại, cực tiểu, cận trên, cận dưới

Cho ( X , ) là tập sắp thứ tự.
+) Phần tử a  X đƣợc gọi là phần tử cực đại của X nếu tồn tại b  X
mà a  b thì b  a .
+) Phần tử a  X đƣợc gọi là phần tử cực tiểu của X nếu tồn tại b  X
mà b  a thì b  a .
+) A  X ,( X , ) là tập sắp thứ tự, a0  X gọi là cận trên ( cận dƣới)
của X nếu với mọi a  A thì a  a0 (a0  a) .

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

13


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

1.5.6. Bổ đề Zorn

Cho tập sắp thứ tự ( X , ) , nếu mỗi xích của X đều có cận trên thì X
chứa ít nhất một phần tử cực đại.


Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

14


Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

Khóa luận tốt nghiệp

CHƢƠNG 2: IDEAL TRÊN VÀNH GIAO HOÁN
Từ đây cho đến hết chƣơng này, các vành đƣợc nhắc tới đều là vành
giao hoán có đơn vị 1 khác 0.
2.1. Các phép toán trên ideal.
2.1.1. Tổng các ideal

a) Định nghĩa
Cho A là một vành I , J là các ideal của A thì tập
I  J  {a  b | a  I , b  J }

là một ideal của A . Gọi là tổng của hai ideal I và J .
b) Chứng minh
+) Ta có I  J   do 0  I  J , I  J  A
+) Lấy a  a1  b1, b  a2  b2  I  J và x  A . Ta có
a  b  (a1  a2 )  (b1  b2 )  I  J ,

ax  a1x  b1x  I  J ,
xa  xa1  xb1  I  J .

Vậy I  J là một ideal của A .
c) Ví dụ

là vành giao hoán, I  2 và J  4

là hai ideal của vành

. Khi

đó I  J  2 .
2.1.2. Tích các ideal

a) Định nghĩa
Nếu I , J là hai ideal của vành A thì tập
n

IJ  { aibi | n  1, ai  I , bi  J với mọi i  1,...., n}
1

là một ideal của A . Và đƣợc gọi là tích của hai ideal I và J .
b) Chứng minh
Ta có +) IJ   do 0  IJ , IJ  A

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

15


Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

Khóa luận tốt nghiệp

+) Lấy x  A và a, b  IJ , với:

a  a1b1  ...  anbn , b  c1d1  ...  cmdm . Khi đó
a  b  a1b1  ...  anbn  (c1 )d1  ...  (cm )dm  IJ ,
ax  a1 (b1x)  ...  an (bn x)  IJ ,
xa  ( xa1 )b1  ...  ( xan )bn  IJ .

Vậy IJ là một ideal của A .
c) Ví dụ
, I  n , J  m , (n, m ) là các ideal của

Trên vành giao hoán
ta có IJ  mn . Thật vậy
+) Với mọi x  IJ

ta có: x   aibi ,(ai  m , bi  n ). Có thể viết
iI

n

ai  mti , bi  nki do đó x   mti nki suy ra x  nm .Vậy IJ  nm .

(1)

1

+) Ngƣợc lại, với mọi x  nm thì x  nmt  (m1)(nt ), t 

suy ra x  IJ .

Vậy nm  IJ .


(2)

Từ (1) và (2) suy ra nm  IJ (đpcm).
2.1.3. Thương các ideal

a) Định nghĩa
Cho A là vành giao hoán I , J là hai ideal của A thì tập
I : J  {a  A | ax  I với mọi x  J }  a  A | aJ  I 

là một ideal của A . Đƣợc gọi là ideal chia của ideal I cho ideal J .
b) Chứng minh
Ta có: +) I : J   do 0  I : J , I : J  A
+) Lấy a, b  I : J và x  A , ta có ay, by  I với mọi y  J . Khi
đó (a  b) y  ay  by  I , do đó a  b  I : J .

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

16


Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Mặt khác từ (ax) y  x(ay)  I suy ra ax  I : J . Vì A là một vành giao hoán
nên xa  ax  xa  I : J .
Vậy I : J là ideal của A .
c) Ví dụ
. Khi đó I : J  2 .


Có I  2 , J  3 là 2 ideal của
2.1.4. Căn của ideal

a) Định nghĩa
Nếu A là một vành giao hoán và I là một ideal của A thì tập
I  {a  A tồn tại n

*

để a n  I }

là một ideal của vành A . Đƣợc gọi là căn của ideal I .
Chứng minh
Ta có

I  , I  A . Lấy a, b  I và x  A , thì tồn tại n

sao

cho a n ,bn  I . Khi đó ta có  ax    xa   a n x n  I ( I là một ideal của A )
n

suy ra ax, xa  I . Mặt khác

n

 a  b

2n


2n

   1 C2kn a k b2 nk  I . Vì k  n
k

k 0

hoặc 2n  k  n với mọi k  0,1,...,2n. Do đó a  b  I .
Vậy

I là một ideal của A .

b) Căn lũy linh
Nếu I  0 khi đó

0 

0 gọi là căn lũy linh của A . Kí hiệu:

Rad ( A) tức là Rad ( A)  x  A n  N * , x n  0 .

Khi đó mọi x  Rad ( A) đƣợc gọi là phần tử lũy linh của A .
c) Tính chất
Cho  Ai i 1 là các ideal của R, ta có:
n

n

Ai 


i 1

n

Ai .

(*)

i 1

Chứng minh:

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

17


Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Quy nạp theo n .
+) n  1 thì (*) hiển nhiên đúng.
A1  A2  A1  A2 . Thật vậy:

+) n  2 ta chỉ ra

Với mọi a  A1  A2 luôn tồn tại m  N để a m  A1  A2 . Tức là tồn tại
a m  A1
vậy a  A1  A2 .

 m
a

A

2

a m  A1
suy ra
m N :  m
a  A2

Do đó

A1  A2  A1  A2 .

(1)

Ngược lại, với mọi b  A1  A2 thì b  A1 và b  A2 do đó tồn
tại u, v 

để bu  A1 và bv  A2 . Giả sử u  v thì v  u  r , r  N . Khi đó

bv  bu r  bubr  A1 (do bu  A1 ). Lại có bv  A2 . Nhƣ vậy tồn tại v  N để
bv  A1  A2 suy ra b  A1  A2 . Vậy

A1  A2  A1  A2 .

(2)


A1  A2  A1  A2 .

Từ (1) và (2) ta có

+) Giả sử (*) đúng với n  1 tức là có

n 1
i 1

Ai 

n 1

Ai . Ta phải chứng
i 1

minh (*) đúng với n . Thật vậy:
n

n 1

Ai 

i 1

Ai  An 

i 1




n 1

n 1

Ai  An

(theo chứng minh trên)

i 1

Ai  An

(theo giả thiết quy nạp)

i 1



n

Ai
i 1

n

Vậy
i 1

Ai 


n

Ai .
i 1

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

18


Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

Khóa luận tốt nghiệp
2.2. Ideal hữu hạn sinh.
2.2.1. Tập sinh của ideal

+) Cho vành X , Tập S  X . Giao của tất cả các ideal của X chứa S
là ideal nhỏ nhất của X chứa S và gọi là ideal của X sinh bởi S . Kí hiệu là
S .

Đặt B  S thì S gọi là tập sinh của ideal B .
+) Nếu S là tập hữu hạn phần tử thì B là ideal hữu hạn sinh.
+) Trƣờng hợp đặc biệt , X  X thì   0 ; X  X .
2.2.2. Ideal sinh bởi n phần tử

a) Định lý: Cho X là vành giao hoán, có đơn vị 1 và a1,..., an  X . Khi
đó ideal sinh bởi n phần tử a1,..., an kí hiệu là
n


B  a1 ,..., an   ai xi , xi  X , i  1, n .
 i 1


Chứng minh:
Giả sử a  x1a1  ...  xn an , b  y1a1  ...  ynan là hai phần tử tùy ý thuộc
B và x là phần tử tùy ý thuộc X . Ta có

a  b  ( x1a1  ...  xnan )  ( y1a1  ...  ynan )
 ( x1a1  y1a1)  ...  ( xn an  yn an )
 ( x1  y1 )a1  ...  ( xn  yn )an  B ;
xa  ax  x( x1a1  ...  xnan )  xx1a1  ...  xxnan  B.

Vậy B là một ideal của X , B chứa các a1 với i  1n
( vì ai  0a1  ...  1ai  ...  0an , i  1, n ).
Mặt khác, mọi ideal chứa các ai với i  1, n thì cũng chứa x1a1,..., xn an
với x1,..., xn  X và do đó x1a1  ...  xnan .

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

19


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

Vậy B là giao của tất cả các ideal chứa ai , i  1, n . Hay B là ideal sinh
bởi n phần tử ai , i  1, n .
b) Ideal chính

X là một vành giao hoán, ideal chính của X là ideal sinh bởi tập gồm

một phần tử của X . Với a  X , B  a  ax | x  X   aX  Xa.
c) Ví dụ
Vành

có:
+)

2,3,5  2 x  3 y  5z | x, y, z  Z .

+) 3  3x | x  Z   3
+) X là trƣờng thì mọi ideal của X là ideal chính.
2.3. Ideal cực đại, ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ.
2.3.1. Ideal cực đại

a) Định nghĩa
Ideal I của vành giao hoán A đƣợc gọi là ideal cực đại nếu thỏa mãn
hai điều kiện sau:
i) I  A .
I  J
ii) Nếu tồn tại ideal J của A mà 
thì J  A .
I

J


Ví dụ +)


là vành giao hoán thì p

số nguyên tố. Thật vậy, nếu có ideal I của

là ideal cực đại của

với p là

sao cho ( p)  I  , và I  ( p)

thì tồn tại a  I và a  ( p) , có nghĩa là a không chia hết cho p .
Vì p là số nguyên tố nên từ a không chia hết cho p suy ra a và p
nguyên tố cùng nhau. Do đó tồn tại x, y  Z để ax  py  1 . Do đó 1 I , vì
vậy I  .

Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

20


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Minh Toại – K37A Toán

+) Nếu K là một trƣờng thì K có duy nhất một ideal cực đại là
ideal 0 vì trƣờng chỉ có hai ideal là 0 và K .
b) Định lý
b1) Ideal I của vành A là một ideal cực đại nếu và chỉ nếu vành
thương A  A là một trường.
I

Chứng minh:
Điều kiên cần: Giả sử I là ideal cực đại của A . Ta chứng minh A / I là
trƣờng. Thật vậy, do A là vành giao hoán, có đơn vị nên A / I là vành giao
hoán, có đơn vị. Vậy A / I có ít nhất hai phần tử là 0  I và 1  I . Giả sử
x  I  A / I mà x  I  I suy ra x  I . Đặt J  x  I  I  xx0 x0  A thì
I  J
. Do I là ideal cực đại nên J  A . Do đó 1 J .
J là ideal của A và 
I

J


Vậy tồn tại x0  A, a  I sao cho 1  xx0  a .
Suy ra 1  A  xx0  a  I  xx0  I  ( x  I )( x0  I ) . Hay nghịch đảo của x  I
là x0  I .
Vậy A / I là một trƣờng.
Điều kiện đủ: Giả sử A / I là trƣờng
Khi đó A / I   và có ít nhất 2 phần tử là 0  I ,1  I . Suy ra A  I ( vì
nếu A  I thì 1 I  1  I  I  0  I ). Giả sử J là ideal của A thỏa mãn
I  J
khi đó tồn tại x  J \ I . Suy ra x  I  I (vì x  I ).

I  J

Do A / I là trƣờng nên tồn tại x0  I  I / A sao cho ( x  I )( x0  I )  1  I .
Suy ra xx0  I  1  I  xx0  1 A . Vậy tồn tại a  I để a  xx0  1 suy ra
1  xx0  a  J ( vì J là ideal của A và tập  x, a  J ).

Vậy J  A hay I là ideal cực đại của A .


Giảng viên hướng dẫn: Ts Nguyễn Thị Kiều Nga

21