Đề thi thử ĐH lớp 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (252.46 KB, 3 trang )
TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG
ĐỀ KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2010 − 2011
MÔN: TOÁN 11 KHỐI A
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (3,0 điểm)
1. Giải phương trình:
x
x
− cos3
2
2 = 1 cos x
2 + sin x
3
sin 3
2. Giải phương trình:
7 − x2 + x x + 5 = 3 − 2 x − x2
Câu II (2,0 điểm)
1. Cho hàm số y = x 3 − 3x. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm
M (−1; 2) .
2. Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Niu – Tơn của ( x 2 + 2) n , biết:
An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49 (n ∈ ¥ , n > 3).
Câu III (2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
và SC = a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
1. Chứng minh SH ⊥ ( ABCD), AC ⊥ ( SHK ).
2. Tính số đo góc giữa SC và mặt phẳng (SHD).
Câu IV (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 9 và đường
thẳng d : x + y + m = 0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp
tuyến AB, AC tới đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông (B, C là các tiếp điểm).
Câu V (2,0 điểm)
1. Cho x, y, z là những số dương thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 = xyz
Chứng minh rằng:
2. Tính giới hạn: lim
x→0
x
y
z
1
+ 2
+ 2
≤
x + yz y + zx z + xy 2
2
1 + 2 x − 3 1 + 3x
x2
−−−−−−−−−−−−−HẾT−−−−−−−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..............................................................................; Số báo danh...........................
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu I
3.0 đ
1
x
x
− cos3
2
2 = 1 cos x
2 + sin x
3
sin 3
x
x 1
1
(1) ⇔ sin − cos ÷1 + sin x ÷ = (2 + sin x) cos x
2
2 2
3
0.5
x
x
x
x
⇔ 3 sin − cos ÷+ 2 sin 2 − cos 2 ÷ = 0
2
2
2
2
x
x
x
x
⇔ sin − cos ÷ 3 + 2sin + 2 cos ÷ = 0
2
2
2
2
x
x
sin 2 = cos 2
x
x
⇔
⇔ sin = cos
2
2
2sin x + 2 cos x + 3 = 0
2
2
x
π
⇔ tan = 1 ⇔ x = + k 2π
2
2
2
0.5
0.5
π
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = + k 2π (k ∈ ¢ ) .
2
2
3 − 2 x − x ≥ 0
2
2
7 − x + x x + 5 = 3 − 2x − x ⇔
2
2
7 − x + x x + 5 = 3 − 2 x − x
0.5
2
3 − 2 x − x ≥ 0
⇔
x x + 5 = −4 − 2 x (*)
Đặt x + 5 = t > 0 ⇒ x = t 2 − 5 ⇒ phương trình (*) có dạng:
0.5
t 3 + 2t 2 − 5t − 6 = 0 ⇔ (t − 2)(t 2 + 4t + 3) = 0 ⇔ t = 2 do t > 0.
Với t = 2 ⇒ x = −1
Vậy phương trình có nghiệm x = −1.
Câu II
2.0 đ
1
2
0.5
Đường thẳng d đi qua điểm M(- 1; 2), hệ số góc k có phương trình là: y = k ( x + 1) + 2
Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm:
0.25
x 3 − 3 x = k ( x + 1) + 2
1
9
Giải hệ tìm được : x = −1, k = 0 hoặc x = , k = −
2
2
4
3 x − 3 = k
y = 2
Vậy các phương trình tiếp tuyến cần lập là:
y = − 9 x − 1
4
4
n
!
8
n
!
An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49 ⇔
−
+ n = 49
(n − 3)! 2!(n − 2)!
0.5
0.25
⇔ n3 − 7 n 2 + 7 n − 49 = 0 ⇔ (n − 7)(n 2 + 7) = 0 ⇔ n = 7
0.25
0.25
7
2
7
k 2k
7 −k
Với n = 7 ⇒ ( x + 2) = ∑ C7 .x .2 .
0.5
k =0
Cho 2k = 8 ⇔ k = 4 ⇒ hệ số của x là C .2 = 280.
8
Câu III
2.0 đ
1
SB = BC = a ⇒ SC 2 = SB 2 + BC 2 .
4
7
Do
3
đó
∆SBC
CB ⊥ ( SAB ) ⇒ CB ⊥ ( SH ) mặt khác SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
vuông
tại
B.
1.0
Ta có HK / / BD ⇒ HK ⊥ AC . Suy
ra
AC ⊥ ( SHK ).
2
Gọi I = CK ∩ HD ⇒ ∆DIK : ∆CDK
·
⇒ CK ⊥ ( SHD ) ⇒ CK ⊥ HD . Góc CSI
là goác giữa SC là (SHD).
DA.DK
a
∆DIK : ∆DHA ⇒ DI =
=
DH
5
0.5
0.5
a 6
SI
5
·
SI = SH 2 + IH 2 =
⇒ cos CSI
=
=
SC
5
3
Câu IV
1.0 đ
(C) có tâm I (1; − 2), R = 3 . Tam giác ABC vuông tại A
suy
ra IBAC là hình vuông, IA = 3 2 .
0.5
Điều kiện: d ( I , d ) = 3 2 ⇔
m = 4
| m − 1|
=3 2 ⇔
2
m = −2
0.5
Vậy m = 4 hoặc m = −2
Câu V
2.0 đ
1
Từ giả thiết ⇒
x
y
z
1 1 1
+ +
= 1 và xyz = x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx ⇒ + + ≤ 1
yz zx xy
x y z
x
1
11 x
=
≤ + ÷(1)
Ta có: x + yz
yz 4 x yz
x+
x
0.25
2
0.25
y
11 y
z
11 z
≤ + ÷ (2); 2
≤ + ÷
y + zx 4 y zx
z + xy 4 z xy
x
y
z
11 1 1 x
y
z 1
+ 2
+ 2
≤ + + + + + ÷≤
Từ (1), (2) và (3) ⇒ 2
x + yz y + zx z + xy 4 x y x yz zx xy 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 3.
Tương tự
2
2
1 + 2 x − 1 + 3x
1 + 2 x − ( x + 1)
( x + 1) − 1 + 3 x
= lim
+ lim
2
2
x→0
x→0
x →0
x
x
x2
x2
x3 + 3x 2
= lim 2
+ lim
x → 0 x ( 1 + 2 x + x + 1)
x →0 2
x [( x + 1) 2 + ( x + 1) 3 1 + 3 x + 3 (1 + 3x) 2 ]
3
lim
1
3
= +1 =
2
2
3
0.25
0.25
0.5
0.5
