MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học nói một cách tổng quát nhất thì đó là khoa học nghiên
cứu về vật chất và tương tác. Nói một cách cụ thể hơn thì vật lý khoa học
nghiên cứu về các quy luật vận động của tự nhiên từ thang vi mô (các
hạt cấu tạo nên vật chất...) đến thang vĩ mô (các hành tinh, thiên hà, vũ
trụ...). Bên cạnh đó nó còn được xem như là ngành khoa học cơ bản bởi
vì các định luật vật lý chi phối tất cả các ngành tự nhiên khác.
Nghiên cứu về vật lý học là đề tài rất rộng và thú vị được các nhà
khoa học và các học giả quan tâm tìm hiểu qua nhiều thế kỉ qua và đã
mở ra cho loài người những khái niệm, kiến thức mới về thế giới tự nhiên.
Trong đó, vũ trụ học là một đối tượng nghiên cứu của vật lý học đang
được phát triển như vũ bão cùng với sự phát triển của xã hội loài người
cũng như tiến bộ của khoa học kĩ thuật. Ngày nay, các nhà khoa học có
nhiều cách để mô tả vũ trụ giúp chúng ta có được cái nhìn tổng quan hơn
về vũ trụ rộng lớn và thuyết tương đối rộng là một trong số đó. Thuyết
tương đối rộng giúp chúng ta tìm hiểu về vũ trụ qua việc mô tả lực hấp
dẫn và cấu trúc cực vĩ của vũ trụ.
Mặc dù vũ trụ học có ý nghĩa quan trọng như vậy nhưng chúng ta
chỉ tìm hiểu chủ yếu thông qua bộ môn thiên văn của vật lý cổ điển. Việc
nghiên cứu vũ trụ học dựa vào vật lý học hiện đại chưa được quan tâm ở
giảng đường đại học và chưa được đưa vào giáo trình giảng dạy cho học
1


sinh, sinh viên. Chính vì thế mà các vấn đề mới liên quan đến vũ trụ học
khó được tiếp cận với sinh viên trong quá trình học tập và tìm hiểu nhất
là đối với sinh viên sư phạm hiện nay.
Tôi muốn nghiên cứu về vấn đề “Tìm hiểu về vũ trụ học” để
làm tiền đề cho việc tìm hiểu về vũ trụ học nhằm giải đáp các thắc mắc

mà trong quá trình học tập trên lớp chưa được tìm hiểu kĩ cũng như làm
tài liệu tham khảo cho những sinh viên quan tâm đến vấn đề này.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về vũ trụ học.
3. Giả thuyết khoa học
Dùng các phương pháp toán học và thuyết tương đối rộng của
Einstein để nghiên cứu về vũ trụ học.
4. Đối tượng và phạm vi nghi nghiên cứu
Cơ sở lý thuyết của vũ trụ học.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về vũ trụ học.
6. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán.
7. Cấu trúc khóa luận
Mở đầu
Chương 1. Lý thuyết cơ sở
2


Chương 2. Vũ trụ học
Kết luận
Tài liệu tham khảo.

3


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT CƠ SỞ


1.1

Hệ tọa độ tổng quát. Tenxơ phản biến và Tenxơ
hiệp biến.

1.1.1

Hệ tọa độ tổng quát
Khi xét không gian phẳng thực sự, ta thường dùng hệ tọa độ vuông

góc chữ nhật. Tenxơ độ đo (gµν = ηην ) và các phép biến đổi Lorentz đều
có dạng đơn giản nhất khi biểu diễn trong hệ tọa độ này. Tuy nhiên, trong
không thời gian cong thì việc dùng hệ tọa độ chữ nhật hay các dạng hiệu
chỉnh của hệ tọa độ chữ nhật thực sự không thể cho ra một kết quả đơn
giản của độ đo, trừ những vùng ở cách rất xa tất cả các trường hấp dẫn
– nơi mà không thời gian gần như phẳng. Vì vậy, ta dùng hệ tọa độ tổng
quát để mô tả các điểm trong không thời gian. Với mỗi điểm không thời
gian, ta sẽ gán tương ứng một bộ tham số để xác định điểm đó. Bộ số này
được gán theo quy luật bất kì nhưng được định nghĩa rõ ràng.
Ta dùng kí hiệu xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) cho hệ tọa độ tổng quát.
Xét một phép biến đổi từ hệ tọa độ xµ cũng sang hệ tọa độ x′µ .

4


Khi đó

xµ = x′ µ (x)
′µ


µ

′

(1.1)

x = x (x )
Vi phân của các tọa độ tuân theo luật biến đổi

dx′ µ ν
dx =
dx
∂xν
′µ

(1.2)

∂xµ ′ ν
dx = ′ ν dx
∂x
µ

Hay ma trận chuyển

∂x′ 1

 ∂x12
 ∂x′



 ∂x1

 ···

 ∂x′ n
∂x1

đổi từ các tọa độ cũ xµ sang các tọa độ mới x′µ

′1
′1
∂x
∂x
···

2
∂x 2
∂xn2 
∂x′
∂x′ 
 ( ∂x′ µ )
·
·
·

∂x2
∂xn  =

∂xν


··· ··· ··· 
∂x′ n
∂x′ n 
···
∂x2
∂xn

với µ, ν = 1, 2,. . . n
Ma trận chuyển từ hệ tọa độ

∂x1 ∂x1
···

 ∂x′21 ∂x′22
 ∂x
∂x

 ∂x′ 1 ∂x′ 2 · · ·


 ··· ··· ···

 ∂xn ∂xn
···
∂x′ 1 ∂x′ 2

mới x′µ sang hệ tọa độ cũ xµ là

∂x1


∂x′ n 
∂x2 
 ( ∂xµ )
n 
′
∂x  =

∂x′ ν
··· 

∂xn 
∂x′ n

Định thức của ma trận chuyển tọa độ trên được gọi là Jacobi

∂x′ µ
J =
là Jacobi phép biến đổi xµ → x′µ
∂xν
∂xµ
′
J =
là Jacobi phép biến đổi x′µ → xµ
∂x′ ν
′

5


(

Hai ma trận

∂x′ µ
∂xν

)

(
và

∂xµ
∂x′ ν

)
nhân với nhau cho kết quả là ma

trận đơn vị

∂xµ ∂xν
⇒
= δσµ .
ν
σ
∂x ∂x
1.1.2

Tenxơ phản biến và tenxơ hiệp biến
Một đối tượng bốn thành phần Aµ là một vectơ phản biến dưới

phép biến đổi hệ tọa độ tổng quát nếu nó biến đổi theo quy luật:


∂x′ µ ν
A =
A
∂xν
′µ

(1.3)

Một đối tượng bốn thành phần Aµ là một vectơ hiệp biến nếu:

A′µ =

∂xν
Aν
∂x′ µ

(1.4)

Với các tenxơ phản biến, hiệp biến dạng cao hơn thì quy luật biến đổi là:

A

′ αβ...λ

∂x′ α ∂x′ β
∂x′ λ µν...κ
=
··· κ A
∂xµ ∂xν

∂x
(1.5)

′

A αβ...λ

∂xµ ∂xν
∂xκ
= ′ α ′ β · · · ′ λ Aµν...κ
∂x ∂x
∂x

Chú ý : xµ không phải là một vectơ tương ứng với phép biến đổi tọa độ
tổng quát.
Tenxơ hỗn hợp hạng 3 có quy luật biến đổi

A′βγ α

∂x′ α ∂xν ∂xσ µ
=
A
∂xµ ∂x′ β ∂x′ γ νσ

*Tại sao tenxơ lại được các nhà vật lý chú ý?

6

(1.6)



Xét hai tenxơ X và Y trong hệ tọa độ nào đó (đối với các nhà vật
lý thì đó là hệ quy chiếu) thỏa mãn tính chất:

X αβ = Y αβ

(1.7)

∂x′ µ ∂x′ ν
Nhân hai vế của phương trình trên với
ta được:
∂xα ∂xβ
∂x′ µ ∂x′ ν αβ ∂x′ µ ∂x′ ν αβ
X =
Y
∂xα ∂xβ
∂xα ∂xβ
(1.8)

⇒ X ′ µν = Y ′ µν
Biểu thức (1.8) chính là phương trình (1.7) được xét trong hệ tọa độ mới
(hệ quy chiếu mới).
Từ đây ta phát biểu: Nếu phương trình tenxơ hay đẳng thức tenxơ
đúng trong hệ tọa độ nào thì cũng đúng trong hệ tọa độ bất kì khác.
Nói cách khác, phương trình tenxơ không phụ thuộc vào hệ qui
chiếu quán tính hay không quán tính. Như vậy, tenxơ là công cụ toán học
rất phù hợp để xây dựng thuyết tương đối rộng (thuyết tương đối tổng
quát).

1.2


Tenxơ Metric.
Xét không gian n chiều. Chọn hệ tọa độ chuẩn x′µ sao cho độ dài

vô cùng bé nối hai điểm lân cận nhau có dạng:

ds2 = dx′µ .dx′µ

7

(1.9)


Chuyển (1.9) sang hệ tọa độ mới xµ

∂x′ µ α ∂x′ ν β ∂x′ µ ∂x′ ν ′α β
ds = dx .dx =
dx . β dx = ′ α β .dx .dx
∂xα
∂x
∂x ∂x
′µ

2

′µ

Nếu đặt:

gαβ


∂x′ µ ∂x′ ν
=
∂xα ∂xβ

(1.10)

Thì

ds2 = gαβ dxα dxβ

(1.11)

gαβ gọi là tenxơ metric hiệp biến.
Tenxơ metric phản biến g αν được xác định từ biểu thức

gαβ .g αν = δβν
Một cách định nghĩa khác: ⃗e1 , ⃗e2 là các vectơ cơ sở thì

ds2 = d⃗xd⃗x = dxα⃗e1 .dxβ ⃗e2 = ⃗e1⃗e2 dxα dxβ = gαβ .dxα dxβ

(1.12)

Với gαβ = ⃗e1 .⃗e2
Ta có thể viết tích vô hướng của hai vectơ nhờ tenxơ metric:

⃗B
⃗ = gαβ Aα B β = g αβ Aα Bβ = Aα Bα = Aα B α
A.


1.3
1.3.1

Đạo hàm hiệp biến.
Phép dịch chuyển song song
Trong không gian phẳng, dịch chuyển song song một vectơ nghĩa

là dịch chuyển nó sao cho lúc nào vectơ cũng song song với chính nó. Nói
cách khác, dịch chuyển sao cho độ lớn và hướng của nó không thay đổi.
8


Trong không gian cong Riemann, hai vectơ đặt tại hai điểm phân
biệt thì độ lệch không là một vectơ. Vì vậy, ta phải dịch chuyển song song
một vectơ về cùng điểm đặt. Dịch chuyển song song một vectơ dọc theo
đường C là dịch chuyển nó sao cho góc tạo giữa nó và đường cong C là
không đổi. Lúc này các thành phần của vectơ sẽ thay đồi dù độ lớn của
nó không thay đổi.

1.3.2

Đạo hàm hiệp biến của vectơ phản biến
Xét một trường vectơ phản biến bất kì Aµ .
Tại P tương ứng với tọa độ x, vectơ có giá trị Aµ
Tại Q tương ứng với tọa độ x + dx, vectơ có giá trị Aµ + dAµ

Để Aµ (x + dx) − Aµ (x) là một vectơ, ta dịch chuyển song song

Aµ (x) từ x (điểm P) đến x + dx (điểm Q) rồi xác định độ lệch.
Gọi δAµ là độ biến đổi các thành phần của vectơ Aµ khi dịch chuyển

song song một đoạn nhỏ dxν . Độ biến đổi này nhất định phải tuyến tính
đối với dxν .
Khi đó ta có: DAµ = dAµ − δAµ
Đại lượng δAµ có dạng tổng quát: δAµ = −Γµσν Aσ dxν
9


Trong đó: Γµσν một hàm nào đó phụ thuộc vào hệ tọa độ ta chọn,
có thể bằng 0 hoặc khác 0. Γµσν được gọi là kí hiệu Christoffel hay hệ số
liên thông.
Dấu (−) do ta quy ước.

∂Aµ ν
Mặt khác: dA =
dx
∂xν
µ

∂Aµ ν
⇒ DA =
dx + Γµσν Aσ dxν
ν
∂x
µ

(

=

)


(1.13)

∂Aµ
+ Γµσν Aσ dxν
ν
∂x

∂Aµ
Thành phần trong ngoặc
+ Γµσν Aσ được gọi là đạo hàm hiệp biến của
ν
∂x
vectơ phản biến Aµ .
Kí hiệu:

∂Aµ
∇ν A =
+ Γµσν Aσ ≡ Aµ;ν
ν
∂x
µ

1.3.3

(1.14)

Đạo hàm hiệp biến của vectơ hiệp biến
Ta đã biết, dịch chuyển song song một vô hướng thì đại lượng ấy


không đổi. Hay nói cách khác tích vô hướng của hai vectơ sẽ không đổi khi
dịch chuyển song song.

⃗ B
⃗ . Do khi dịch chuyển song song
Xét tích vô hướng của hai vectơ A,
thì tích vô hướng của chúng không thay đổi nên:

δ (Aµ B µ ) = 0

10

(1.15)


⇒ B µ δAµ + Aµ δB µ = 0
⇔ B µ δAµ = −Aµ δB µ
⇔ B δAµ =
µ

−Aµ (−Γµσν B σ dxν )

(1.16)

⇔ B µ δAµ = Γµσν Aµ B σ dxν
Về mặt cấu trúc thì: Γµσν Aµ B σ dxν = Γσµν Aσ B µ dxν
Nên (1.16) có thể được viết lại như sau:

B µ δAµ = Γσµν Aσ B µ dxν
Sau khi giản ước B µ ở cả hai vế ta được


δAµ = Γσµν Aσ dxν
Tương tự như ở (1.3.2), ta xác định được đạo hàm hiệp biến của vectơ
hiệp biến

∇ν Aµ =

∂Aµ
− Γσµν Aσ ≡ Aµ;ν
ν
∂x

(1.17)

Đạo hàm hiệp biến của các tenxơ hạng cao hơn:

∂Aµν
+ Γµσρ Aρν + Γνσρ Aµρ
σ
∂x
∂Aµν
Aµν;σ =
− Γρµσ Aρν − Γρνσ Aµρ
∂xσ
∂Aµν
µ
− Γρνσ Aµρ + Γµρσ Aρν
Aν;σ =
σ
∂x

Aµν
σ =

1.4

Đạo hàm tuyệt đối
Ta đã có
(

DA = dA − δA =
µ

µ

µ

11

)
∂Aµ
µ
σ
+ Γσν A dxν
ν
∂x

(1.18)
(1.19)
(1.20)



Chia hai vế cho du với u là thông số của họ đường cong C
( µ
) ν
DAµ
∂A
µ
σ dx
=
+ Γσν A
du
∂xν
du
Biểu thức này được gọi là đạo hàm tuyệt đối của Aµ và kí hiệu
( µ
) ν
∂A
DAµ
dxν
µ
σ dx
=
=
· ∇ν Aµ = X ν ∇ν Aµ
+ Γσν A
ν
Du
∂x
du
du


DAµ
dxν
ν
µ
µ
ν
= X ∇ν A ≡ ∇ X A ; X =
Du
du
dAµ
∂Aµ dxν
Do
=
nên ta có cách viết thứ hai:
du
∂xν du
ν
DAµ
dAµ
µ
σ dx
=
+ Γσν A
Du
du
du

(1.21)


(1.22)

Tương tự, ta cũng tìm được đạo hàm tuyệt đối của tenxơ hiệp biến hạng
một và các tenxơ hạng cao hơn:

DAµ
dxν
dxν
dAµ
µ
=
∇ν Aµ = ∇X Aµ =
− Γνσ Aσ
Du
du
du
du
DAµν
dxσ
=
∇σ Aµν = X σ ∇σ Aµν = ∇X Aµν
Du
du
DAµ
Ý nghĩa hình học: Trong trường hợp đặc biệt khi
= 0 , ta nói vectơ
Du
Aµ được dịch chuyển song song sao cho nó trùng với vectơ Aµ tại điểm
mới. Trường hợp đặc biệt này chỉ xảy ra đường cong C là đường rất đặc
biệt gọi là đường trắc địa còn vectơ Aµ sẽ là vectơ tiếp tuyến với đường

trắc địa.
ν
dAµ
DAµ
µ
µ
σ dx
= ∇X A =
+ Γσν A
=0
Du
du
du

Do lúc này Aµ =

dxµ
(Aµ là vectơ tiếp tuyến của đường trắc địa)
du
12


nên ta có:

σ
ν
d dxµ
µ dx dx
+ Γσν
=0

du du
du du

(1.23)
σ
ν
d2
µ dx dx
⇔ 2 + Γσν
=0
du
du du
Phương trình (1.23) là phương trình cho đường trắc địa C. Thông số u gọi

là thông số Affine, kí hiệu bằng chữ s hoặc u
ν
σ
d2 xµ
µ dx dx
⇔
+ Γσν
=0
ds2
ds ds

(1.24)

Ở phần sau bằng nguyên lí tác dụng tối thiểu, ta chứng minh được rằng
đường ngắn nhất giữa hai điểm trong không gian Riemann là đường trắc
địa và phương trình của nó trùng với (1.23).


1.5

Kí hiệu Christoffel và tenxơ Metric
Xét trường vô hướng Φ
Khi đó ∇α Φ = ∂α Φ. Nếu đặt Vα = ∇α Φ, ta có:

∇β Vα = ∂β Vα − Γµαβ Vµ = ∂β ∂α Φ − Γµαβ ∂µ Φ

(1.25)

∇α ∇β = ∂α Vβ − Γµβα Vµ = ∂α ∂β Φ − Γµβα ∂µ Φ

(1.26)

Lấy (1.26) trừ (1.25) được:
(

Γµαβ

(∇α ∇β − ∇β ∇α ) Φ = (∂α ∂β − ∂β ∂α ) Φ +
(
)
µ
µ
⇔ (∇α ∇β − ∇β ∇α ) Φ = Γαβ − Γβα ∇µ Φ

−

Γµβα


Nếu không gian của ta không xoắn thì

(∇α ∇β − ∇β ∇α ) Φ = 0 ⇒ Γµαβ = Γµβα
13

)

∇µ Φ

(1.27)


tức là kí hiệu Christoffel đối xứng với hai chỉ số dưới.
Ta có định lý sau: gαβ là tenxơ đối xứng. Nếu không gian của ta là
không xoắn thì ∇µ gαβ = 0.
Có: ∇µ gαβ = gαβ;µ = ∂µ gαβ − Γνµα − Γνµβ gνα
Khi ∇µ gαβ = 0 thì:

∂µ gαβ − Γνµα gνβ − Γνµβ gνα = 0

(1.28)

Tương tự ta cũng chỉ ra được:

∂α gβµ − Γναβ gνµ − Γναµ gνβ = 0

(1.29)

∂β gµα − Γνβµ gνα − Γνβα gνµ = 0


(1.30)

Lấy (1.28) trừ đi (1.29) và (1.30), chú ý tới tính đối xứng của Γναβ ta được:

2Γναβ gνµ + ∂µ gαβ − ∂α gβµ − ∂β gµα = 0
1
⇔ Γναβ gνµ = (∂α gβµ + ∂β gµα − ∂µ gαβ )
2

(1.31)

Nhân cả hai vế của (1.31) với g νµ

1
Γναβ = g νµ (∂α gβµ + ∂β gµα − ∂µ gαβ )
2

(1.32)

1
Γµαβ = g µν (∂α gβν + ∂β gνα − ∂ν gαβ )
2

(1.33)

Hay

Như vậy, nếu ∇µ gαβ = 0 thì Γµαβ có dạng như (1.33). Ta có thể nói ngược
lại: nếu dạng Γµαβ như (1.33) thì sau đó tính toán trực tiếp ta thấy ∇µ gαβ =


0.

14


1.6
1.6.1

Đường trắc địa. Hệ tọa độ trắc địa.
Phương trình cho đường trắc địa
Ta sẽ tìm phương trình đường trắc địa xuất phát từ nguyên lý tác

dụng tối thiểu.
Trước hết ta tìm hiểu về đường trắc địa.Trong cơ học, cơ hệ chuyển
động từ điểm P đến điểm Q của đường trắc địa thì biến phân của hàm
tác dụng bằng 0. Còn trong hình học, nó là đường cong ngắn nhất nối hai
điểm P và Q (biến phân của hàm tác dụng bằng 0)
Ta chọn hàm L có đặc trưng độ dài.
Ta có:

ds2 = gαβ dxα dxβ
( )2
ds
dxα dxβ
L=
= gαβ
du
du du
∫

Hàm tác dụng I = LdΩ
Ω

Bằng phương pháp biến phân ta nhận được phương trình LagrangeEuler:

∂L
d
−
∂xµ du
⇒

Có:

d
du

(

(

∂L
∂ x˙ µ

∂L
∂ x˙ µ

)

=0
(1.34)


)

−

∂L
=0
∂xµ

∂L
∂gαβ α β
=
x˙ x˙
∂xµ
∂xµ
)
∂ (
∂L
α β
=
g
x
˙
x
˙
= 2gαµ x˙ α
ab
∂ x˙ µ( ∂ x)
˙µ
d ∂L

dx˙ α
dgαµ dxα dxβ
= 2gαµ
+2 β
du ∂ x˙ µ
du
dx du du
15


Thay vào (1.34) ta được:

dx˙ α
dgαµ
∂gαβ α β
2gαµ
+ 2 β x˙ α x˙ β −
x˙ x˙ = 0
du
dx
∂xµ
Ta có thể thay thế:

gαµ

2

dx˙ α
dx˙ ν
d2 xν

= gνµ
= gνµ 2
du
du
du

dgαµ α β dgαµ α β dgβµ α β
x˙ x˙ =
x˙ x˙ +
x˙ x˙
dxβ
dxβ
dxα

= (∂β gαµ + ∂α gβµ ) x˙ α x˙ β
Khi đó ta có:

dx˙ ν
2gνµ
+ (∂β gαµ + ∂α gβµ − ∂µ gαβ ) x˙ α x˙ β = 0
du
⇔

dx˙ ν 1 νµ
+ g (∂β gαµ + ∂α gβµ − ∂µ gαβ ) x˙ α x˙ β = 0
du
2

⇔


d2 xν
+ Γναβ x˙ α x˙ β = 0
2
du

hay

d2 xµ
+ Γµαβ x˙ α x˙ β = 0
2
du

(1.35)

Phương trình (1.35) trùng với phương trình (1.23)
Nếu ta đặt L = 2I với I gọi là hàm Lagrange thì phương trình
Lagrange-Euler vẫn có dạng:

d
du

(

∂I
∂ x˙ µ

)

−


16

∂I
=0
∂xµ

(1.36)


1.6.2

Hệ tọa độ trắc địa
Tại điểm P bất kì ta luôn chọn được hệ tọa độ mà trong đó

Γµαβ (P ) = 0

(1.37)

Hệ tọa độ này có tên là hệ tọa độ trắc địa. Đối với các nhà vật lý thì đó
là hệ quy chiếu quán tính.

1.7
1.7.1

Tenxơ Riemann. Tenxơ Ricci.
Tenxơ Riemann
Nhận xét: nói chung đạo hàm hiệp biến không giao hoán.
Xét đạo hàm hiệp biến của vectơ hiệp biến Aβ

∇µ Aβ = Aβ;µ = Aβ;µ − Γαβµ Aα

Bây giờ ta tính độ sai khác giữa Aβ;µ;ν và Aβ;ν;µ .
Vì Aβ;µ là tenxơ hạng hai, ta có:

Aβ;µ;ν = Aβ;µ;ν − Γσβν Aσ;µ − Γσµν Aβ;σ
)
(
)
(
(
)
= Aβ;µ − Γαβµ Aα − Γσβν Aσ;µ − Γασµ Aα − Γσµν Aβ,σ − Γαβσ Aα
,ν
)]
(
[
σ
α
σ
α
= Aβ;µ;ν − Γβµ Aα,ν − Γβν Aσ,µ − Γµν Aβ,σ − Γβσ Aα
−Γαβµ,ν Aα + Γσβν Γασµ Aα
(1.38)
Tương tự, ta xác định được biểu thức của Aβ;ν;µ bằng cách hoán đổi µ và

ν.
17


Đại lượng nằm trong dấu ngoặc của (1.38) là đối xứng theo µ và ν .
Do đó, nó không đóng góp cho Aβ;µ;ν − Aβ;ν;µ . Từ đó ta có

(
)
(
)
Aβ;µ;ν − Aβ;ν;µ = −Γαβµ;ν + Γαβν,µ Aα + Γσβν Γσβµ − Γσβµ Γασν Aα
Ta có thể viết lại thành:
α
Aβ;µ;ν − Aβ;ν;µ = Rβµν
Aα

(1.39)

α
Rβµν
= Γαβν,µ − Γαβµ,ν + Γσβν Γασµ − Γσβµ Γασν

(1.40)

Với

Vế trái của (1.39) là một tenxơ, nó là sự sai khác giữa các tenxơ. Do đó,
vế phải cũng phải là một tenxơ.
α
Vì Aα là một vectơ bất kì nên Rβµν
phải là một tenxơ hạng bốn.
α
Rβµν
được gọi là tenxơ độ cong Riemann gọi tắt là tenxơ Riemann.

1.7.2


Tenxơ Ricci
α
Từ biểu thức (1.39) ta nhận thấy tenxơ Riemann Rβµν
phản đối

xứng với hai chỉ số dưới
α
= −Γαβνµ
Rβµν
σ
σ
= −gασ Rβνµ
⇒ gασ Rβµν

⇒ Rαβµν = −Rαβνµ
Ta cũng sẽ chứng minh được

Rαβµν = −Rβαµν
Rαβµν = Rµναβ
18


α
α
α
Rβµν
+ Rνβµ
+ Rµνβ
=0


(1.41)

Hạ chỉ số (1.41) ta được đồng nhất thức Ricci:
α
α
Rαβµν
+ Rανβµ
+ Rαµνβ = 0

Bằng cách chọn hệ tọa độ trắc địa cho biểu thức (1.38), sau đó đạo hàm
hiệp biến rồi hoán vị vòng quanh các chỉ số, ta nhận được đồng nhất thức
Bianchi:
α
α
α
Rβµν;σ
+ Rβνσ;µ
+ Rβσµ;ν
=0

Hay

Rαβµν;σ + Rαβνσ;µ + Rαβσµ;ν = 0

(1.42)

Ta cuộn chỉ số đầu và chỉ số cuối (α = µ) được
Suy ra


Rβν = Γαβν;α − Γαβα,ν + Γσβν Γασα − Γσβα Γασν

(1.43)

Rβµ được gọi là tenxơ Ricci. Tenxơ Ricci có tính đối xứng.
R = Rα α là một vô hướng, được gọi là độ cong vô hướng hay vô
hướng Ricci.
Tenxơ Einstein được định nghĩa như sau:

1
Gαβ = Rαβ − gαβ R
2

19

(1.44)


1.8

Định thức Metric.
Trong không gian Riemann với Metric gµν , ta có phép biến đổi:

g ′ µν =

∂xα ∂xβ
gαβ
∂x′ µ ∂x′ ν
(1.45)


g

′ µν

∂x′ µ ∂x′ ν
=
gαβ
∂xα ∂xβ

Lấy định thức (1.45) ta được

∂xα ∂x′ β
g =
g
∂x′ µ ∂x′ ν
′

Các metric có dấu âm (negative signature) nên định thức metric g
sẽ âm. Vì vậy ta viết:

(−g ′ ) = J 2 (−g)
⇒ (−g ′ )1/2 = J(−g)1/2
(−g)1/2 là mật độ vô hướng với trọng lượng +1
Cho ma trận A = (aij ) thì ma trận nghịch đảo

Aij
bij =
det |aij |
a = det |aij |
Aij là phần phụ đại số của aij nghĩa là:

a=
Đạo hàm (1.46):

∑

aij Aij

∂ ∑
∂a
=
aij Aij
∂aij
∂aij
20

(1.46)


( )
Nếu aij = aij xk thì

∂a
∂a ∂aij
ij ∂aij
ij ∂aij
=
=
A
=
ab

∂xk
∂aij ∂xk
∂xk
∂xk

(1.47)

Áp dụng (1.47) cho g ta được

∂g
αβ ∂gαβ
βα ∂gαβ
=
gg
=
gg
∂xµ
∂xµ
∂xµ
Hay ta có thể viết

∂g
= gg αβ
∂gαβ

(1.48)

Do (−g)1/2 cũng là hàm của gαβ , đạo hàm và áp dụng (1.48)

∂(−g)1/2

1
∂(−g) 1
= (−g)−1/2
(−g)−1/2 (−g)g αβ
∂gαβ
2
∂gαβ 2
Hay

∂(−g)1/2
1
= (−g)1/2 g αβ
∂gαβ
2

1.9

(1.49)

Phương trình Einstein tổng quát.
Ta đã tìm được phương trình Einstein cho chân không. Muốn tìm

phương trình tổng quát, ta phải cộng thêm hàm Lagrange tương ứng với
sự có mặt của vật chất. Ta gọi là IM . Khi đó hàm tác dụng có dạng:
∫
I = (IG + kIM )dΩ
(1.50)
Ω

Với k là hệ số kết nối.

Bằng nguyên lí tác dụng tối thiểu ta tính được:

δIG
= −(−g)1/2 Gµν
δgµν
21

(1.51)


Tương tự ta cũng tìm ra được:

δIM
= (−g)1/2 T µν
δgµν

(1.52)

T µν là một tenxơ hạng hai nào đó, nói lên ảnh hưởng của vật chất trong
vùng Ω đang xét.Nói một cách khác, tenxơ trên là đại lượng đặc trưng
cho khối lượng và năng lượng.Sau này, nó được chỉ ra là tenxơ năng xung
lượng.
Tương tự như phần trên, ta cũng có:

δIM
∂IG
+k
= −(−g)1/2 Gµν + k(−g)1/2 T µν = 0
δgµν
δgµν

(1.53)

⇒ Gµν = kT µν
⇒ Gµν = kTµν

Phương trình (1.53) là phương trình vi phân xác định các tenxơ Gµν từ
tenxơ năng xung lượng T µν . Điều này phù hợp với nguyên lí Mach: Sự phân
bố vật chất xác định tính chất hình học của không gian. Khi T µν = 0 ta
có phương trình cho vùng không gian nằm ngoài vật chất sinh ra trường
(chân không).
Các phương trình Einstein rất khó giải, vì nó là phương trình phi
tuyến tính nên ta không thể áp dụng nguyên lý chồng chất. Về mặt vật lý
có nghĩa là một vấn đề vật lý phức tạp ta không thể phân tích thành các
thành phần đơn giản hơn để nghiên cứu.
Phương trình vi phân tuyến tính sẽ cho ta rất nhiều nghiệm trong
đó có nhiều nghiệm không có ý nghĩa vật lý. Vì vậy, các nghiên cứu cần
phải được thực nghiệm kiểm chứng.
22


Do Gµν = − 12 Rgµν + Rµν nên ta có

1
Rµν − Rgµν = kTµν
2

(1.54)

Sau này, Einstein đã đưa thêm vào số hạng −λgµν nên phương trình có
dạng:


1
Rµν − Rgµν − λgµν = kTµν
2

(1.55)

λ là hằng số vũ trụ do Einstein đưa vào để phù hợp với mô hình vũ trụ
khi đó là tĩnh. Sau này các quan sát của Hubble chứng minh rằng vũ trụ
đang nở ra.

23


CHƯƠNG 2
VŨ TRỤ HỌC

2.1

Tọa độ đồng chuyển động-Robertson-Walker metric.
Để mô tả thế giới thực ta phải chấp nhận tiên đề sau: Vũ trụ có

không gian đồng nhất (homogeneous), đẳng hướng (isotopic) nhưng nở ra
theo thời gian. Bỏ qua sự khác biệt ở khoảng cách nhỏ, ta coi vũ trụ ở
khoảng cách lớn như là chất lỏng với mật độ không đổi ở mọi nơi.
Ta nói về hệ toạ độ mà ta sẽ sử dụng - toạ độ đồng chuyển động
(commoving coordinates). Toạ độ không gian chia sẻ chuyển động nở đồng
dạng của vật chất trong vũ trụ. Nếu bỏ qua những điểm khác biệt nhỏ
trong chuyển động của các thiên hà (galaxy) (sự dịch chuyển địa phương
so với sự nở đồng dạng), ta có thể nói mỗi thiên hà có toạ độ không gian

của mình. Các điểm toạ độ chuyển động với thiên hà khi thiên hà rơi tự
do trong trường hấp dẫn của vũ trụ. Khoảng tọa độ (coordinate interal)
giữa hai thiên hà bất kỳ luôn luôn không đổi và sự nở vũ trụ là kết quả
không phải từ sự thay đổi vị trí toạ độ của thiên hà mà là từ sự thay đổi
của metric của không thời gian.
Với toạ độ thời gian x0 , ta sẽ sử dụng thời gian riêng đo bởi đồng
hồ gắn với thiên hà. Ta còn giả thiết rằng các đồng hồ này chạy như nhau

24


và đồng bộ. Nghĩa là người quan sát A gửi tin tại thời điểm t0 thì người
quan sát B cũng gửi tin tại t0 . Tin A đến B khi đồng hồ ở đây chỉ tB . Tin
B đến A khi đồng hồ ở đây chỉ tA . Đồng hồ là đồng bộ (synchronized) nếu

tA = tB . Tất cả người quan sát đặt đồng hồ ở zero tại Vụ Nổ lớn (Big
Bang). Ta minh hoạ toạ độ đồng thời gian bằng hình 1.

Hình 1: Tọa độ đồng thời gian
Ta có thể chỉ ra rằng, với việc chọn tọa độ như trên

g00 = 1

(2.1)

g0k = 0

(2.2)

Như vậy tọa độ đồng chuyển động là trực giao với thời gian. Điều kiện

(2.1) suy ra từ giả thiết rằng các đồng hồ đo x0 đứng yên trong hệ đồng
chuyển động. Với các đồng hồ như vậy dx1 = dx2 = dx3 = 0, và vì vậy

ds2 = g00 (dx0 )2
25

(2.3)