LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian làm việc nghiêm túc, khẩn trương đến nay khóa
luận của em đã hoàn thành. Trong thời gian nghiên cứu em đã được sự giúp
đỡ tận tình của giảng viên – TS. Phạm Thị Minh Hạnh – người trực tiếp
hướng dẫn em làm khóa luận này cùng các thầy cô trong khoa Vật lí, đặc
biệt là tổ Vật lí lý thuyết trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các bạn sinh
viên khoa Vật lí.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lí
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo trong tổ Vật lí lý thuyết,
đặc biệt là cô giáo – TS. Phạm Thị Minh Hạnh đã động viên, tạo mọi điều
kiện, xin cảm ơn tất cả các bạn sinh viên đã giúp đỡ tôi hoàn thành khóa
luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 5 năm 2013
Sinh viên thực hiện

Phan Thị Thương

1


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận
này là trung thực và không trùng lặp với các khóa luận khác. Tôi cũng xin
cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm
ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 20 tháng 5 năm 2013
Sinh viên thực hiện

Phan Thị Thương

2


MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
MỞ ĐẦU……………………………………………………………………….1
NỘI DUNG……………………………………………………………………3
Chương 1. Cấu trúc tinh thể…………………………………….......................3
1.1. Cấu thành vật rắn và thế liên kết các nguyên tử………………………3
1.2. Các mạng Bravais……………………………………………………..5
1.3. Véctơ mạng đảo……………………………………………………...10
1.4. Vùng Brillouin…………………………………………………….....12
1.5. Điều kiện tuần hoàn Born – Karman………………………………...13
Chương 2. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng……………………………..15
2.1. Dao động mạng trong hệ một chiều gồm một loại nguyên tử……….15
2.2. Dao động mạng trong hệ một chiều gồm hai loại nguyên tử………..19
2.3. Dao động mạng trong hệ ba chiều phức tạp………………………....23
2.4. Tọa độ chuẩn trong dao động mạng ba chiều………………………..29
Chương 3. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng….......................................33
3.1. Năng lượng và hàm sóng của dao động mạng – Phonon…………....33

 m
3.2. Toán tử dịch chuyển nguyên tử u   ……………………………..39
i
 

3.3. Phương trình chuyển động của các toán tử as q, t và

 


a q, t …………………………………………………………………….....42


s

 

3.4. Nhiệt động lực học thống kê của tinh thể……………………………43
3.4.1. Năng lượng tự do của dao động mạng……………………….....43

3


3.4.2. Năng lượng và nhiệt dung của vật rắn…………………………..45
3.5. Mô hình Einstein và mô hình Debye………………………………...46
3.5.1. Mô hình Einstein…………………………………………….....46
3.5.2. Mô hình Debye…………………………………………………48
KẾT LUẬN………………………………………………………………......53
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………........54

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay ngành vật lí học
nói chung và vật lí chất rắn nói riêng giữ một vai trò hết sức quan trọng. Việc
nghiên cứu vật lí học nói chung và vật lí chất rắn nói riêng luôn được thực
hiện về cả hai phương diện thực nghiệm và lý thuyết. Lý thuyết không những
tiên đoán được những hiện tượng khoa học mà còn là cơ sở để giải thích các
kết quả thực nghiệm từ đó rút ra các thông số cần thiết cho khoa học, kỹ thuật.
Chính vì vậy việc nghiên cứu và đào tạo về lý thuyết trong môn vật lí chất rắn
luôn giữ một vai trò hết sức quan trọng.
Trong lý thuyết cổ điển, các nguyên tử tương tác với nhau và liên kết
trong chuỗi nguyên tử tuyến tính. Việc nghiên cứu các tính chất của tinh thể
gặp phải khó khăn do phải xác định chuyển động của rất nhiều hạt. Do đó cần
phải xây dựng một phương pháp gần đúng để nghiên cứu về dao động của
mạng tinh thể: Khi đó ta coi, trạng thái kích thích của tinh thể như một khối
khí lý tưởng gồm các kích thích sơ cấp không tương tác với nhau. Mỗi dao
động này là những dao động tử điều hòa và khi đó ta chuyển các dao động tử
điều hòa trong tinh thể thành hệ các dao động tử điều hòa. Coi mỗi năng
lượng tử của dao động mạng là một phonon có năng lượng

 q . Để thuận

tiện cho việc lượng tử hóa các dao động mạng - phonon ta có thể dùng các
phương pháp chung của cơ học Haminton (dựa trên lý thuyết lượng tử).
Do vậy, để giải quyết các bài toán về dao động mạng tinh thể và nhiệt
dung của vật rắn thì việc lượng tử hóa dao động mạng là một việc rất cần thiết
và có ý nghĩa.
Với những lý do nêu trên nên tôi quyết định chọn đề tài khóa luận là:
“Tìm hiểu lý thuyết lượng tử về dao động mạng”.
5



2. Mục đích nghiên cứu.
Qua nghiên cứu tìm hiểu về đề tài: “Tìm hiểu lý thuyết lượng tử về
dao động mạng” để hiểu được quy luật vận động của các nguyên tử, phân tử
trong tinh thể vật rắn theo lý thuyết lượng tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu cấu trúc tinh thể vật rắn.
- Dao động mạng tinh thể theo lý thuyết cổ điển. Xét các bài toán dao
động mạng tinh thể điển hình.
- Áp dụng lý thuyết lượng tử vào nghiên cứu dao động mạng tinh thể.
4. Đối tượng nghiên cứu.
- Mạng tinh thể vật rắn.
5. Phương pháp nghiên cứu.
- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo.
- Thống kê, lập luận, diễn giải.
- Dùng phương pháp của vật lý thống kê và của cơ học lượng tử.
6. Cấu trúc khóa luận.
Khóa luận gồm có 3 chương:
- Chương 1. Cấu trúc tinh thể
- Chương 2. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng
- Chương 3. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng

6


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ

1.1. Cấu thành vật rắn và thế liên kết các nguyên tử
Trạng thái rắn của vật chất có thể tồn tại được là do xuất hiện các lực
tương tác giữa các hạt cấu tạo nên vật rắn khi chúng lại gần nhau ở khoảng

cách đủ nhỏ trong vật rắn. Muốn tạo thành cấu trúc ổn định của vật rắn thì
trong vật rắn phải tồn tại hai loại lực liên kết: Lực hút giữa các hạt để giữ cho
chúng không rời xa nhau và lực đẩy để cho chúng không tụ lại với nhau. Vì
vậy, về bản chất trong vật rắn chỉ có hai loại lực liên kết đó là lực hút và lực
đẩy. Sau đây ta sẽ đi tìm hiểu cụ thể các dạng liên kết điển hình trong vật rắn:
Lực Vanđơvanxơ là loại liên kết thường gặp nhất trong vật rắn, xuất
hiện giữa hai nguyên tử hay phân tử bất kì.
a 

 p  2  V  b   RT
V 


trong đó,

(1.1)

a
và b xuất hiện khi tính đến lực hút và lực đẩy hay tương tác
V2

giữa các phân tử khí thực hay được gọi là phần bổ chính, p là áp xuất, V là thể
tích, a, b là phần bổ chính, R là hằng số, T là nhiệt độ tuyệt đối.
Lực này xuất hiện giữa các phân tử bão hòa như O2 , H 2 , N 2 , CH 4 ... và
các nguyên tử khí trơ như Ar, Ne.
Trong trường hợp tổng quát lực liên kết Vanđơvanxơ gồm ba loại
tương tác chính: Tương tác tán xạ, tương tác định hướng và tương tác cảm
ứng.
Tương tác tán xạ là loại lực liên kết xuất hiện do chuyển động của
điện tử trong các nguyên tử lân cận. Năng lượng tương tác được tính theo

công thức:
7


U

3
J
 - 2 6
tx
4 r

(1.2)

trong đó:  là độ phân cực, r là khoảng cách, J là năng lượng kích thích.
Dưới tác dụng của cường độ điện trường  làm xuất hiện momen
lưỡng cực:
M   .

(1.3)

Tương tác định hướng có năng lượng tương tác được biểu diễn:
Ở vùng nhiệt độ thấp:

M2
U dh  
2 0 r 2

(1.4)


Ở vùng nhiệt độ cao:

U dh  

M4

1
24  k T r 6
2

2
0 B

.

(1.5)

trong đó: M là momen lưỡng cực,  0 là hằng số điện môi, k B là hằng số
Boltzmann, k B = 1,38.10-23 J/K, T là nhiệt độ tuyệt đối, r là khoảng cách giữa
các nguyên tử.
Tương tác cảm ứng có năng lượng tương tác được biểu diễn như sau:

M 2 1
U cu  
.
8 02 r 6

(1.6)

Trong trường hợp tổng quát khi hai nguyên tử lại gần nhau có thể xuất

hiện cả ba loại lực liên kết. Năng lượng tương tác được biểu diễn như sau:
U  U tx  U dh  U cu

Bằng thực nghiệm người ta chứng minh được: U cu  U tx ,U dh .
Liên kết ion là loại liên kết xuất hiện giữa kim loại điển hình với
nhóm Halogen. Bản chất của liên kết ion là lực tương tác tĩnh điện giữa các ion
trái dấu.
Năng lượng tương tác được xác định:
8


U

B
q2

r n 4 0r

(1.7)

trong đó: B, n là hằng số, q là điện tích, r là khoảng cách giữa các nguyên tử,

 0 là hằng số điện môi.
Liên kết cộng hóa trị là loại liên kết được tạo thành bởi các cặp
electron có spin đối song. Đây là loại liên kết mạnh mặc dù là liên kết giữa
các nguyên tử trung hòa. Ví dụ như liên kết trong tinh thể kim cương, Si, Ge,
GaAs, GaP, AlP, v.v….
Liên kết cộng hóa trị có tính định hướng và bão hòa.
Liên kết kim loại là loại liên kết xuất hiện trong kim loại, về cơ bản
liên kết kim loại giống như liên kết cộng hóa trị ở chỗ có các điện tử hóa trị

góp chung nhưng trong liên kết cộng hóa trị thì các điện tử góp chung là do sự
đóng góp từ các nguyên tử lân cận gần nhau nhất và chỉ của từng cặp điện tử.
Còn trong liên kết kim loại thì tất cả các nguyên tử của tinh thể đều cho đóng
góp vào các điện tử góp chung. Mặt khác, điện tử góp chung không định xứ ở
nguyên tử mà dịch chuyển tự do trong các mạng tinh thể.
Liên kết Hidro xuất hiện trong trường hợp khi nguyên tử Hidro liên
kết với nguyên tử có tính âm điện mạnh như Cl2 , P, O2 , N 2 …. Khi có các
điện tử này mất một điện tử liên kết mang điện tích âm còn Hidro mất một
một điện tử mạng điện tích dương. Liên kết có bản chất của lực hút tĩnh điện.
1.2. Các mạng Bravais
Để mô tả cấu trúc bên trong của tinh thể người ta sử dụng khái niệm
mạng không gian: Trong vật rắn các nguyên tử, phân tử được sắp sếp một
cách đều đặn và tuần hoàn trong không gian tạo thành mạng tinh thể.
Tinh thể lý tưởng phải thỏa mãn ba điều kiện sau đây:
- Sự sắp sếp của các nguyên tử, phân tử là hoàn toàn tuần hoàn.

9


- Phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa là ở mọi nơi nó đều chứa những
nguyên tử như nhau và phân bố như nhau.
- Phải có kích thước dài vô hạn.
Người ta có thể xây dựng mạng tinh thể bằng cách lặp lại trong không
gian theo một quy luật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau được gọi là ô
sơ cấp.
Ở tinh thể đơn giản (Ag, Cu, Al,…) mỗi ô sơ cấp chỉ chứa một nguyên tử.
Ở tinh thể phức tạp mỗi ô sơ cấp chứa nhiều nguyên tử, phân tử.
z

a3

a2

aa

y

o

x

H2.1
Hình H2.1 diễn tả mạng tinh thể nhận được bằng cách tịnh tiến các hạt
dọc theo ba trục:
Ox theo các đoạn: a1 , 2a1 , 3a1 ,...
Oy theo các đoạn: a2 , 2a2 , 3a2 ,...
Oz theo các đoạn: a3 , 2a3 , 3a3 ,...
Khi đó vị trí của một nút mạng bất kỳ được xác định bởi véctơ:




r  n1 a1  n2 a2  n3 a3
(2.1)
  
trong đó: ni (i=1, 2, 3) là các số nguyên, a1 , a2 , a3 là các véctơ tịnh tiến cơ sở.

Tập hợp các điểm có bán kính véctơ r được xác định theo công thức
(2.1) với các giá trị khác nhau của ni (i=1, 2, 3) sẽ lập thành mạng không
10



gian và các điểm đó gọi là các nút của mạng không gian hay được gọi là nút
mạng.
Hình hộp được xây dựng từ ba véctơ cơ sở được gọi là ô sơ cấp hay ô
cơ sở và tất cả các ô cơ sở tạo thành mạng có cùng một hình dạng, kích thước
như hình H2.2:


a1 
a3

a2
H2.2
Về nguyên tắc để mô tả một ô cơ sở cần phải biết sáu đại lượng là ba
  
cạnh a1 , a2 , a3 và các góc  ,  ,  giữa chúng như trên hình H2.3.

a3


a2


 


a1

H2.3
Ô cơ sở chỉ chữa các hạt ở đỉnh gọi là ô đơn giản hay ô nguyên thủy và

nó chỉ chứa một hạt trên một ô cơ sở.
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp để mô tả một cách đầy đủ hơn sự
đối xứng của mạng tinh thể, ô cơ sở được xây dựng bằng cách chứa các hạt
không chỉ ở đỉnh mà còn có ở các điểm khác, ô cơ sở như vậy gọi là ô phức tạp.
Căn cứ vào tính chất đối xứng của các loại mạng không gian người ta
chia thành bảy hệ ứng với bảy loại ô sơ cấp khác nhau, mỗi hệ được đặc trưng
  
bởi quan hệ giữa các véctơ cơ sở a1 , a2 , a3 và các góc  ,  ,  giữa các
véctơ đó được trình bày trong bảng 2.1.
11


Bảng 2.1
Hệ

Số mạng tinh thể

Tính chất
  
a1  a2  a3

Tam tà (Triclinic)

+ Tam tà

      900
  
a1  a2  a3

Đơn tà (Monoclicnic) + Đơn tà

+ Đơn tà tâm đáy
+ Hệ thoi
+ Hệ thoi tâm đáy
Thoi (Arthorhomlic)

+ Hệ thoi tâm khối

  900 ,     900
  
a1  a2  a3

      900

+ Hệ thoi tâm mặt
  
a1  a2  a3

+ Hệ tứ giác
Tứ giác (Tetragonal)

+ Hệ tứ giác tâm

      900

khối
+ Hệ lập phương
+ Hệ lập phương
Lập phương (Cubic)

tâm mặt

+ Hệ lập phương

  
a1  a2  a3

      900

tâm khối
  
a1  a2  a3

Tam giác (Trigonal)

+ Hệ tam giác

      900 ,  1200
  
a1  a2  a3

Lục giác (Hexagonal) + Hệ lục giác

    900
  1200

12


Tiếp theo ta nghiên cứu các mặt và các hướng của tinh thể.
Trong một mạng tinh thể ta luôn có thể xác định tập hợp các mặt song
song mà chúng chứa các điểm mạng. Các mặt này là các mặt tinh thể. Mặt

phẳng mạng là mặt phẳng chứa ba nút mạng.
Để ghi tên các mặt tinh thể người ta sử dụng các chỉ số Miller. Ta có
  
ba véctơ cơ sở a1 , a2 , a3 và hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một
nút mạng nào đó.
Giả sử có một mặt phẳng mạng cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại các
điểm A, B, C có các tọa độ lần lượt là n1 , n2 , n3 như hình H2.4.

H2.4
Lấy nghịch đảo ba số n1 , n2 , n3 ta được:

1 1 1
, , .
n1 n2 n3

Quy đồng mẫu số, gọi D là mẫu số chung nhỏ nhất, khi đó:
h

D
D
D
; k  ;l 
n1
n2
n3

Là chỉ số mạng của mặt phẳng này. Kí hiệu là (hkl) và bộ ba số được
đặt trong dấu ngoặc được gọi là chỉ số Miller của mặt phẳng mạng:
h: k :l 


1 1 1
: :
n1 n2 n3

13


Chú ý: Các mặt phẳng mạng song song thì có cùng chỉ số Miller vì
vậy chỉ số Miller (hkl) có thể kí hiệu cho một mặt phẳng mạng hay cho một
họ mặt phẳng mạng song song với nhau.
Nếu mặt phẳng mạng song song với một trục tọa độ thì coi như mặt
phẳng đó cắt trục tọa độ ở vô cực và chỉ số Miller coi như bằng 0.
Nếu mặt phẳng mạng cắt trục tọa độ ở điểm có tọa độ âm thì chỉ số
Miller tương ứng có giá trị âm và kí hiệu dấu “ ˉ ”.
1.3. Véctơ mạng đảo
Mạng thuận là mạng không gian được xác định từ ba véctơ cơ sở
  
a1 , a2 , a3 vị trí của mỗi nút mạng được xác định nhờ véctơ:




r  n1 a1  n2 a2  n3 a3
(3.1)
  
trong đó: n1 , n2 , n3 là các số nguyên, a1 , a2 , a3 là các véctơ cơ sở.
  
Mạng đảo là mạng không gian được xác định từ ba véctơ b1 , b2 , b3
được xác định như sau:
 

 a2  a3  

b1  2    ; b 2  2
a1.  a2  a3 
 
 a1  a2 

b3  2   
a1.  a2  a3 

 
 a3  a1 
   ;
a1.  a2  a3 

(3.2)

  
với b1 , b2 , b3 là các véctơ cơ sở của mạng đảo.

Vị trí của mỗi nút mạng được xác định nhờ véctơ:




G  m1 b1  m2 b2  m3 b3
trong đó: m1 , m2 , m3 là các số nguyên.
Tính chất của véctơ mạng đảo:
Tính chất 1:


14

(3.3)


  
b1  a2 , a3
  
b2  a3 , a1
  
b3  a1 , a2

 
Tức là: ai .b j  2 . ij

(3.4)

(3.5)

Tính chất 2: Độ lớn của véctơ mạng đảo có thứ nguyên nghịch đảo
của chiều dài.

1
[b j ]  
[ai ]

(3.6)

Tính chất 3: Hình hộp chữ nhật dựng nên từ ba véctơ cơ sở của mạng
  

đảo b1 , b2 , b3 được gọi là ô sơ cấp của mạng đảo và có thể tích:

  
(2 )3


V  b1. b2  b3  
VC
g
C

(3.7)

trong đó VC là thể tích ô sơ cấp của mạng thuận.
  
VC  a1.  a2  a3 
Định lý 1: Véctơ mạng đảo


 
G  hb1  kb2  lb3

(3.8)

vuông góc với mặt phẳng (hkl) của mạng thuận.
Định lý 2: Khoảng cách d( hkl ) giữa hai mặt phẳng liên tiếp nhau thuộc

họ mặt phẳng (hkl) bằng nghịch đảo của độ dài véctơ mạng đảo G ( hkl ) nhân
với 2 .
2

d( hkl )  
G ( hkl )

15

(3.9)


1.4. Vùng Brillouin
Vùng Brillouin được định nghĩa là ô mạng cơ sở của ô mạng đảo.
Nhận xét: Tất cả các đại lượng vật lý đặc trưng cho tinh thể một chiều

phụ thuộc vào véctơ sóng hiệu dụng k (độ lớn của véctơ sóng k ) sẽ được lặp
lại một cách tuần hoàn với chu kỳ

2
. Và do tính chất tuần hoàn này nên ta
a

chỉ cần xét tần số góc  của electron trong mạng một chiều đơn giản trong
khoảng

2
trên trục k , do tính đối xứng ta chỉ cần xét k với các giá trị đối
a

xứng qua gốc tọa độ.


 

  k  
a
 a

(4.1)

Hình biểu diễn sự phụ thuộc của  và k

trong khoảng


 
  k  .
a
 a

Do k 

2



nên k có thứ nguyên của nghịch đảo chiều dài, vậy k là

đại lượng được xét trong không gian mạng đảo. Trong trường hợp đang xét,
với mạng thuận có chu kỳ là a thì mạng đảo có chu kỳ là

16

2

.
a



 
Khoảng giá trị    k   trong mạng đảo gọi là vùng Brillouin thứ
a
 a
nhất.
1.5. Điều kiện tuần hoàn Born – Karman
Trong thực tế không có tinh thể lớn vô hạn mà chỉ có tinh thể chứa rất
nhiều nguyên tử. Nếu tinh thể là hữu hạn thì các tính chất của tinh thể vô hạn
bị vi phạm ở biên và trong tinh thể một chiều thì đó chính là điểm đầu và
điểm cuối của dãy nguyên tử. Tuy nhiên nếu tinh thể là đủ lớn thì ảnh hưởng
của biên là rất nhỏ và có thể bỏ qua ta coi tính chất của tinh thể khi ấy gần
giống như tinh thể vô hạn.
Để đảm bảo điều kiện tuần hoàn của tinh thể người ta đưa vào điều
kiện tuần hoàn Born – Karman như sau: Dao động của nguyên tử ở đầu dãy
giống với dao động của nguyên tử ở cuối dãy, xét với tinh thể có N nguyên tử.
(5.1)

U n  U n N

U n là độ dời hay độ dịch chuyển của nguyên tử thứ n khỏi vị trí cân

bằng. Do các nguyên tử dao động tạo nên các sóng. Hàm sóng là nghiệm của
phương trình dao động có dạng:
U n  A.ei ( kna t )


với A là biên độ dao động,  là tần số góc dao động, k 


độ lớn của véctơ sóng k và  là độ dài bước sóng.
Thay (5.2) vào (5.1) ta được:
A.ei ( kna t )  A.e 

i k ( n  N ) a t

 A.ei ( kna t )  A.ei ( kna t ) .eikNa

 eikNa  1
 kNa  2 m  k 

17

2 m 2 m

Na
L

(5.2)
2



là số sóng hay


với m =1, 2, 3…, L=Na là chiều dài của dãy nguyên tử.



 
Trong mạng một chiều    k   , vì vậy các giá trị của m nằm
a
 a
trong khoảng:


N
N
m
2
2

Vậy sẽ có N giá trị của m ứng với N giá trị của k.

18


CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ DAO ĐỘNG MẠNG

2.1. Dao động mạng trong hệ một chiều gồm một loại nguyên tử
Bài toán: Xét tinh thể được cấu tạo từ các nguyên tử giống nhau, đặt
cách đều nhau trên một đường thẳng, khoảng cách giữa các nguyên tử là a,
khối lượng nguyên tử là m.
Vị trí của nguyên tử thứ n được xác định bằng tọa độ:
(1.1)

X n  X 0n  U n


trong đó: X 0n là tọa độ của nguyên tử ở vị trí cân bằng, U n là độ dời hay độ
dịch chuyển của nguyên tử thứ n khỏi vị trí cân bằng và U n  a .
Khi đó, ta có thế năng tương tác của N nguyên tử trên một đường
thẳng sẽ là hàm của tọa độ của N nguyên tử, tức là:

  ( X

01 U1 ; X 02 U 2 ;...; X 0 N U N

)

Vì U n  a nên ta có thể khai triển Taylor thế năng  theo U n , như
sau:
  
1   2 
U

 n

 U nU m 


X
2

X

X
n

,
m
 n 0
 n m 0,0

  0  



1
 3

 U nU mU h  ...

3! n ,m,h  X n X mX h 0,0,0

(1.2)

Tại các đạo hàm có chỉ số 0 kí hiệu các đại lượng ở vị trí cân bằng.
Tại vị trí cân bằng thế năng có giá trị cực tiểu:

  

 0

X
 n 0
Nếu chọn gốc thế năng tại 0 và dừng lại ở gần đúng bậc hai thì thế
năng có dạng:


19


1   2 
  
 U nU m
2 n ,m  X n X m 0,0

Đặt:
  2 
  2 

  nm  

 X nX m 0,0
 X mX n 0,0

(1.3)

Lực tác dụng lên nguyên tử n là:
Fn  




X n
U n

N
N

  2 
 Fn   
U


nmU m


m
m 1  X n X m  0,0
m 1

..

..

Gọi U n là gia tốc của nguyên tử n: U n 

(1.4)

d 2U n
dt 2

Theo định luật II Newton, ta có:
..

mU n  Fn
N
N
..

  2 
 mU n   
U


nmU m


m
m 1  X n X m  0,0
m 1

(1.5)

Phương trình (1.5) là phương trình dao động của nguyên tử thứ n
trong mạng tinh thể một chiều đơn giản, trong đó nm gọi là hằng lực vì nó
đặc trưng cho tương tác giữa nguyên tử thứ n và nguyên tử thứ m.
Giá trị của hằng lực nm chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai
nguyên tử thứ n và nguyên tử thứ m, tức là phụ thuộc vào X 0 n  X 0 m hay
chính là phụ thuộc vào n  m .a .
Do vậy ta có thể viết:

nm  ( X

0n  X0m

 nm  mn

20


)

 ( nm .a )
(1.6)


Nếu ta cho mọi nguyên tử dịch chuyển một khoảng như nhau, nghĩa là:
U1  U 2  U 3  ...  U n  U m  ...

Khi đó, lực tác dụng lên nguyên tử thứ n là: Fn  0 , từ phương trình
(1.5) ta suy ra:
N



nm

0

(1.7)

m 1

Nếu chỉ xét tương tác giữa hai nguyên tử gần nhau nhất thì từ phương
trình (1.7) ta có:

n ,n1  n ,n  n ,n1  0

(1.8)


Vì nm chỉ phụ thuộc vào khoảng cách X 0 n  X 0 m nên:

n,n1  n,n1  ( a )
Thay vào (1.8) ta được:
2n ,n 1  n ,n  0

Đặt: n ,n  2  n ,n 1  n ,n 1  
Lực tác dụng lên nguyên tử thứ n trong mô hình tương tác cặp gần
nhất là:
N

Fn  nmU m  (n ,n1U n1  n ,nU n  n ,n 1U n 1 )
m 1

Fn   (U n 1  2U n  U n1 )
Fn   (U n  U n 1 )   (U n  U n1 )

(1.9)

trong đó  (U n  U n 1 ) là lực do nguyên tử thứ (n-1) tác dụng lên nguyên tử
thứ n và  (U n  U n 1 ) là lực do nguyên tử thứ (n+1) tác dụng lên nguyên tử
thứ n.
Phương trình dao động của nguyên tử thứ n bây giờ có dạng đơn giản
hơn:

21


..


mU n   (2U n  U n1  U n1 )

(1.10)

Nghiệm của phương trình dao động được tìm dưới dạng:

U n  Aei ( qna t )

(1.11)

trong đó, A là biên độ dao động,  là tần số dao động, q 

2



là véctơ sóng


hiệu dụng hay chính là độ dài của véctơ sóng q ,  là độ dài bước sóng, t là

thời gian.
Thay (1.11) và (1.10) ta được:

m 2    2  cos(qa)  isin(qa)  cos(qa)  isin(qa)
 qa 
 2 1  cos(qa )  4 sin 2  
 2 

Từ đó ta tìm được biểu thức cho tần số góc  của dao động:


2 
với: max  2


qa
qa
4
 qa 
sin
 max .sin
sin 2   hay   2
m
2
2
m
 2 


m

Các tính chất của tần số góc của dao động  :
Tính chất 1: Tần số góc  là hàm chẵn của véctơ sóng q , tức là:

( q )  (  q )
Tính chất 2:  là hàm tuần hoàn của q với chu kỳ

2
a


Nhận xét: Tất cả các đại lượng vật lý đặc trưng cho tinh thể một chiều
phụ thuộc vào véc tơ sóng hiệu dụng q sẽ được lặp lại một cách tuần hoàn
với chu kỳ là

2
. Và do tính chất tuần hoàn này ta chỉ cần xét  trong
a

22


khoảng

2
trên trục q . Do tính chất đối xứng của hệ trục tọa độ nên ta chỉ
a


 
cần xét giá trị của q đối xứng qua gốc tọa độ, tức là    q   .
a
 a
Hình vẽ biểu diễn sự phụ thuộc của tần số góc  vào véctơ sóng hiệu


 
dụng q trong khoảng    q   .
a
 a


Vì q 

2



nên q có thứ nguyên của nghịch đảo chiều dài và q là đại

lượng được xét trong không gian mạng đảo. Trong trường hợp đang xét mạng
thuận có chu kỳ là a thì mạng đảo có chu kỳ là

2



. Mạng đảo của mạng một

chiều cũng là mạng một chiều.


 
Khoảng giá trị    q   trong mạng đảo gọi là vùng Brillouin
a
 a
thứ nhất.
2.2. Dao động mạng trong hệ một chiều gồm hai loại nguyên tử
Bài toán: Khảo sát mạng một chiều mà mỗi ô cơ sở chứa hai loại
nguyên tử khác nhau A và B như hình vẽ:

23



với khoảng cách AA=BB=a.
Gọi U n ( A) và U n ( B ) là độ dịch chuyển của hai nguyên tử A và B
trong ô mạng thứ n.
Trong mô hình tương tác cặp gần nhất, lực tác dụng lên nguyên tử A ở
ô thứ n là:
Fn ( A)   1 U n ( A)  U n ( B )   2 U n ( A)  U n 1 ( B )

Lực tác dụng lên nguyên tử B ở ô thứ n trong mô hình tương tác cặp
gần nhất là:

Fn ( B)   1 U n ( B)  U n ( A)   2 U n ( B )  U n1 ( A)
Phương trình dao động của hai nguyên tử A, B là:
..

 Fn ( A)  mA U n ( A)

..
 Fn ( B)  mB U n ( B)

hay:
..

m
U
 A n ( A)   1 U n ( A)  U n ( B )   2 U n ( A)  U n1 ( B )

..
mB U n ( B )   1 U n ( B )  U n ( A)   2 U n ( B )  U n1 ( A)



(2.1)

Nghiệm của hệ phương trình (2.1) được tìm dưới dạng:
U n ( A)  A1ei ( qna t )

i ( qna t )
U n ( B)  A2e

(2.2)

trong đó A1 , A2 là biên độ dao động, a là khoảng cách giữa hai nguyên tử gần
nhất cùng loại. Thay (2.2) vào (2.1) ta được:

 2 1   2 
 1   2e iqa 
  
 A1  
 A2  0
m
m




A
A

iqa

 1   2e  A    2  1   2  A  0
 1 
 2

mB
mB 




24


Để hệ trên có nghiệm A1 , A2  0 thì định thức của hệ phương trình trên
phải bằng 0, tức là:
 2   
  1 2 

m A 


    eiqa 
 1 2



mA




    eiqa 
 1 2



mB



 2   
  1 2 

mB 


0

Phương trình có hai nghiệm là:
 2 1 2 
 qa  
1  0 1  1   2 sin 2   
2
 2  




 2 1 2 
2
2  qa  




1

1


sin

 
 2 2 0
 2  




trong đó:

02   1   2 

 mA  mB 
mAmB



1 2   mAmB 
2 
2
  1   2     mA  mB  


 2  16 

Ta dễ dàng thấy 12 và 2 2 là thực.
Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của  theo q.

Nhánh ở phía dưới ứng với 1 gọi là nhánh âm học.
25

(2.3)