TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

ĐẶNG THỊ ÚT TRANG

SỰ GẦN ĐÚNG CỦA SU(3) TRONG
NGHIÊN CỨU HẠT CƠ BẢN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS.Nguyễn Thị Hà Loan

Hà Nội, 2013


LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, với tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin được cảm ơn PGS.TS.
Nguyễn Thị Hà Loan – người đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho em trong
suốt thời gian qua để em có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp một cách tốt
nhất.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Vật lý
– Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt cho em những kiến thức quý
báu trong suốt thời gian em học tại trường.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên đã luôn động viên,
khích lệ, giúp em hoàn thành khóa luận đúng thời hạn.

Xuân Hòa, ngày tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Đặng Thị Út Trang


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong đề tài: “Sự gần đúng của SU(3)
trong nghiên cứu hạt cơ bản” là trung thực và không trùng lặp với các đề tài
khác.

Xuân Hòa, ngày tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Đặng Thị Út Trang


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 1
3. Đối tượng nghiên cứu ..................................................................................... 1
4. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu ................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 2
CHƯƠNG 1: ĐỐI XỨNG SU(n) ....................................................................... 3
1.1. Định nghĩa nhóm đối xứng SU(n)................................................................ 3
1.2. Biểu diễn của nhóm đối xứng SU(n)............................................................ 4
CHƯƠNG 2: ĐỐI XỨNG SU(3) ....................................................................... 6
2.1. Định nghĩa đối xứng SU(3) ........................................................................ 6
2.2. Nhóm biến đổi SU(3) ................................................................................ 15

2.3. Đa tuyến của nhóm SU(3) ......................................................................... 15
2.3.1. Biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng SU(3) ............................................. 17
2.3.2. Biểu diễn chính quy của nhóm đối xứng SU(3) ...................................... 22
SỰ GẦN ĐÚNG CỦA SU(3) TRONG NGHIÊN CỨU HẠT CƠ BẢN .......... 33
3.1. Sự gần đúng của SU(3).............................................................................. 33
3.2. Khắc phục sự gần đúng của SU(3)............................................................. 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 39


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hạt cơ bản là những thực thể vi mô tồn tại như 1 hạt nguyên vẹn, đồng
nhất, không thể tách thành các phần nhỏ hơn; ví dụ như các hạt e, positron,
các quark,…Đó chính là thành phần cấu tạo nên thế giới vật chất vô cùng
phong phú của chúng ta.
Hạt cơ bản có thể tìm hiểu thông qua các tương tác mà chúng tham gia; đó
là:
-Tương tác mạnh
-Tương tác yếu
-Tương tác điện từ
-Tương tác hấp dẫn
Hằng số tương tác ở mỗi loại tương tác rất khác nhau. Chính sự khác nhau
này đòi hỏi phải có hướng tiếp cận, nghiên cứu hạt cơ bản cho phù hợp. Đối
với tương tác mạnh thì hằng số tương tác lớn nên khi nghiên cứu người ta
không áp dụng lý thuyết nhiễu loạn mà sử dụng phương pháp có hiệu quả cao
hơn – phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng. Phương pháp này đã cho kết
quả chính xác về các số lượng tử như siêu tích, bảo toàn điện tích, số lepton,
số baryon,… nhưng lại không chính xác khi xét tới khối lượng các hạt, đối
xứng SU(3) bị vi phạm.
Để hiểu rõ hơn sự vi phạm đối xứng SU(3) và cũng để nâng cao trình độ

hiểu biết tôi đã quyết định chọn đề tài: “Sự gần đúng của SU(3) trong nghiên
cứu hạt cơ bản” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sự gần đúng của SU(3) trong nghiên cứu hạt cơ bản.
3. Đối tượng nghiên cứu
Ứng dụng lý thuyết nhóm đối xứng SU(3) để nghiên cứu các hạt cơ bản.

1


4. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu
- Lý thuyết nhóm đối xứng SU(3).
- Các đa tuyến của SU(3).
- Sự gần đúng của lý thuyết nhóm đối xứng SU(3).
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết.
- Phương pháp của lý thuyết nhóm đối xứng.

2


CHƯƠNG 1: ĐỐI XỨNG SU(n)

1.1. Định nghĩa nhóm đối xứng SU(n)
Tập hợp các ma trận n  n, Unita, có định thức
bằng 1, thỏa mãn các tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(n).
Gọi g là phần tử của nhóm đối xứng SU(n) thì:
g  SU (n)
g .g   g  .g  I


Det g  1

 Nhóm đối xứng SU(n) phụ thuộc vào bao nhiêu tham số thực?
Ký hiệu mỗi phần tử của nhóm đối xứng SU(n) là U (1 ,  2 ,...,  m ) với

1 ,  2 ,...,  m là các tham số thực.
U (1 ,  2 ,...,  m )  e ii i

(i  1, m)

Xét trường hợp  i (i  1, m) là các vô cùng bé, ta có thể viết như sau:
U (1 ,  2 ,...,  m )  e ii i  I  i i  i  ...

Trong đó: I là ma trận đơn vị

 i là ma trận vuông hạng n .
U  .U  I

Theo tính chất Unita, ta có :
Vì

U  e ii i  I  i i  i  ...
U   e ii i  I  i i  i  ...

Do đó :






U .U   I  i i  i  ... I  i i  i  ...  I  i i  i  i i  i   i2  i  i  ...

Ta chỉ xét đến gần đúng bậc một





U .U   I  i i  i   i  I

3


  i   i

Mặt khác :

Det U 1 ,  2 ,...,  m   1

Ta có :

Det A  e sp ln A

(1)

Spur (sp) là vết của ma trận, là tổng các phần tử trên đường chéo chính .
U 1 ,  2 ,...,  m   e ii i

Mà :
Nên :


Det U  e sp ln e

Vì Det U  1

nên

i i  i

 e sp ln  I ii i   e sp ii i   e ii spi

e ii spi  1  sp i  0

(2)

Ta thấy mỗi ma trận n  n có n 2 phần tử ma trận phức, tức sẽ có 2n 2 tham số
thực. Từ điều kiện (1) :  i   i ta thấy có n 2 phương trình ràng buộc. Ngoài
ra, điều kiện (2): sp i  0 cho ta một phương trình ràng buộc .
Như vậy trong 2n 2 tham số chỉ có m  (n 2  1) tham số thực độc lập.
Do đó nhóm SU (n) phụ thuộc vào m  (n 2  1) tham số thực độc lập.
Vậy có thể viết :
g ( )  expi a  a 

( a  1, m )

Trong đó  a (a  1, m) là các tham số thực,  a (a  1, m) là các ma trận n  n
phải thỏa mãn :

 a   a
sp a  0

1.2. Biểu diễn của nhóm đối xứng SU(n)
Giả sử có p hạt được mô tả bởi các hàm trường  i (i  1, p) biến đổi như sau
dưới tác dụng của nhóm biến đổi SU(n) :





 i ( x)   i ( x)  U . i ( x).U 1  e ia M a ( x) i

4

(*)


Trong đó M a là các ma trận p  p thỏa mãn các hệ thức giao hoán giống

a :

M a , M b   if abc M c

; M a  M a

Với f abc là hằng số cấu trúc của nhóm thì ta nói rằng p hạt này lập thành
một biểu diễn của nhóm đối xứng SU(n).
 Nếu số chiều của ma trận M a bằng số chiều của nhóm thì p hạt lập thành biểu
diễn chính quy của SU(n).
 Nếu số chiều của ma trận M a bằng chỉ số của nhóm thì p hạt lập thành biểu
diễn cơ sở của SU(n).
Từ hệ thức (*) ta có thể tìm sự biến đổi của hàm trường như sau :

U  e ia  a

,

( a  1, m )

 I  i a  a  ...
U 1  I  i a  a  ...
U i ( x )U 1  I  i a  a  ... i ( x)I  ia  a  ...

  i ( x)  i a  a i ( x)   i ( x)i a  a  ...
  i ( x)  i a  a , i ( x)  ...

e

 ia M a



 ( x) i  I  i a M a  ... ( x)i
  i ( x)  i a M a i ( x)  ...





U i ( x)U 1  e ia M a ( x ) i

 i ( x)  ia  a , i ( x)  ...   i ( x)  i a M a i ( x)  ...


 a , i ( x)   M a i ( x)

5


CHƯƠNG 2: ĐỐI XỨNG SU(3)
2.1. Định nghĩa đối xứng SU(3)
Tập hợp tất cả các ma trận 3  3, Unita, có định thức bằng 1 và thỏa mãn
tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(3).
Bất kỳ 1 phần tử nào của SU(3) đều có thể viết dưới dạng:
g  SU (3) :

g .g   I

(2.1)

det g  1

(2.2)

ia a
2
Nếu  a là vô cùng bé thì g  e

( a  1,8 )

Các ma trận a phải thỏa mãn điều kiện :

a  a


(2.3)

spa  0

(2.4)

spa là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận a .

 Điều kiện (2.3) : a  a có được do xuất phát từ tính chất Unita :
g .g   I

Ta có:

g e


i a

g e

a
2

ia

a
2

Xét với  a là các vô cùng bé ta khai triển Furie hàm mũ đến số hạng bậc
nhất :

g  I  i a


g  I  i a

6

a
2

a
2

 ...

 ...







 


g.g    I  i a a  ... I  i a a  ...  I  i a a  i a a   a2 a a  ...
2
2
2

2
2 2




Vì  a là các vô cùng bé nên ta có thể bỏ qua số hạng chứa  a2 so với  a :
 a a 
g .g  I  I  i a     ...  I
2 
 2


 a a 
 i a     0
2 
 2
 a  a

 Điều kiện (2.4) : spa  0 được suy ra từ tính chất det g  1.

Det g  e sp ln g

Ta có:

 e sp ln e
e
e
Vì:


det g  1  e
 sp

2

a
2

 
 
sp  ln  I  i a a  
2 


i a sp

i a sp

a

i a

a
2

a
2

1


0

 spa  0

 Lựa chọn ma trận a :
Ta có thể chọn a (a  1,8) là các ma trận vuông 3  3 bất kỳ thỏa mãn 2 điều
kiện:

a  a
spa  0

7


Để đơn giản ta chọn a (a  1,8) là các ma trận Gell-Mann:

 0 1 0
 0  i 0
1 0 0






1   1 0 0  ;  2   i 0 0  ; 3   0  1 0 
 0 0 0
 0 0 0
0 0 0








0 0 1
0 0  i
 0 0 0






 4   0 0 0  ; 5   0 0 0  ;  6   0 0 1 
1 0 0
i 0 0 
 0 1 0







0 0 0 
1 0 0 




1 
7   0 0  i  ; 8 
0
1
0


3
0 i 0 



 0 0  2

Các ma trận a phải thỏa mãn điều kiện giao hoán :

c
  a b 
 2 , 2   if abc 2



a, b, c  1,8

c 1
 a b 
  ab
 ,   d abc
2 2

2 2

(2.5)

(2.6)

Trong đó : f abc là hằng số cấu trúc nhóm SU(3) hoàn toàn phản đối xứng theo
3 chỉ số a, b, c .
d abc là hằng số hoàn toàn đối xứng theo các chỉ số a, b, c .
d abc không đổi dấu khi hoán vị các chỉ số này.

f abc đổi dấu khi hoán vị 2 trong 3 chỉ số a, b, c .

0 nếu a  b

 ab 
1 nếu a  b
8


 Hằng số cấu trúc nhóm f abc , d abc và cách xác định.
Dùng tính chất : sp a b   2 ab ta tính được f abc , d abc .
Công thức tổng quát :

f abc 

i
spa , b c 
4


1
d abc  spa , b c 
4
Cụ thể : Để có (2.7) ta nhân 2 vế của (2.5) với

c
2

rồi sp 2 vế ta được :

c c
  a b   c
 2 ; 2  2  if abc 2 . 2



  
     

sp  a , b  c   sp if abc c . c 
2 2

 2 2  2 
   i
 if abc sp c . c   f abc
 2 2 2


1    a b   i
sp

,
c   f abc
2 3   2 2   2

i
  sp a , b c   f abc
4
Tính toán cuối cùng ta được giá trị cụ thể của hằng số cấu trúc :
f123  1
f147  f 246  f 257  f 345  f 516  f 376 
f 458  f 678 

1
2

3
2

Các hằng số khác thì bằng 0.
Tương tự, ta tính d abc . Nhân (2.6) với

c
2

9

rồi sp lên ta có :

(2.7)
(2.8)



c c 1
c
  a b   c
 ; .  d abc . .   ab .
2 2 2
2
2 2 2

  
 
     

1
sp  a ; b . c   sp d abc . c . c   sp  ab . c 
2 2
2

2
 2 2  2 
     
 
sp  a ; b . c   d abc sp c . c
 2 2
 2 2  2 


 1
   ab .sp c

2
 2

1
1
sp a , b c   d abc
3
2
2

 d abc 

1
sp a , b c 
4

Tính toán cuối cùng ta được các giá trị cụ thể :
1
3
1

2 3

d118  d 228  d 338  d 888 
d 448  d 558  d 668  d 778

d146  d157  d 247  d 256  d 344  d 355  d 366  d 377 

1
2


Các hằng số khác thì bằng 0.
Ví dụ 1 : Tính f123
Áp dụng công thức :

f abc 

i
spa , b c 
4

Ta có

f123 

i
sp1 , 2 3 
4

Với

 0 1 0
 0  i 0
1 0 0







1   1 0 0  ;  2   i 0 0  ; 3   0  1 0 
 0 0 0
 0 0 0
0 0 0







1 , 2   12  2 1
10


1 0  0  i 0   0  i 0  0 1 0 

 


0 0  i 0 0    i 0 0  1 0 0 

 


0 0  0 0 0   0 0 0  0 0 0 

0

 1


0


i

 0

0

 2i

 0

0


0   i 0 0
 

 i 0   0 i 0
 

0 0   0 0 0 
0

0

0



 2i 0 

0 0 

 2i 0 0  1 0 0   2i 0 0 


 

1 ,  2 3   0  2i 0  0  1 0    0 2i 0 
0
0 0  0 0 0   0 0 0 








 

 sp  ,    2i  2i  0  4i
1

2

3


i
 f123   .4i  1
4

Ví dụ 2 : Tính f147
Ta có : f147 

i
sp1 , 4 7 
4

 0 1 0
0 0 1
0 0 0 






Với 1   1 0 0  ;  4   0 0 0  ; 7   0 0  i 
 0 0 0
1 0 0
0 i 0 








1 , 4   14  4 1

11


0

 1

0


1 0  0 0 1   0 0 1  0 1 0 

 


0 0  0 0 0    0 0 0  1 0 0 

 


0 0  1 0 0   1 0 0  0 0 0 

0

 0

0



0 0  0 0 0
 

0 1  0 0 0
 

0 0   0 1 0 

0

 0

0


0
0

0

1


 1 0 

 0 0 0  0 0 0   0 0 0 



 

1 , 4 7   0 0 1  0 0  i    0 i 0 
 0  1 0  0 i 0   0 0 i 


 






 sp1 ,  4 7   0  i  i  2i
i
1
 f147   .2i 
4
2

Ví dụ 3 : Tính f
Ta có : f 376 

376

i
sp3 , 7 6 
4

1 0 0

0 0 0 
 0 0 0






Với 3   0  1 0  ; 7   0 0  i  ; 6   0 0 1 
0 0 0
0 i 0 
 0 1 0







3 , 7   37  7 3
1

 0

0


0

0  0 0



 1 0  0

0 0  0

0   0 0 0  1 0 0 
 


0  i    0 0  i  0  1 0 
 


i 0   0 i 0  0 0 0 

12


0

 0

0


0 0  0 0 0
 

0 i    0 0 0

 

0 0   0  i 0 

0

 0

0


0 0


0 i

i 0 

 0 0 0  0 0 0   0 0 0 


 

3 , 7 6   0 0 i  0 0 1    0 i 0 
 0 i 0  0 1 0   0 0 i 


 







 sp3 , 7 6   0  i  i  2i
i
1
 f 376   .2i 
4
2

Ví dụ 4 : Tính d123

1
d123  sp1 , 2 3 
4
 0 1 0
 0  i 0
1 0 0






Với 1   1 0 0  ;  2   i 0 0  ; 3   0  1 0 
 0 0 0
 0 0 0
0 0 0








 ,    
1

2

1 2

0

 1

0


 

2 1

1 0  0  i 0   0  i 0  0 1 0 

 


0 0  i 0 0    i 0 0  1 0 0 


 


0 0  0 0 0   0 0 0  0 0 0 

13


i

 0

0


0   i 0 0  0 0 0
 
 

 i 0   0 i 0   0 0 0
 
 

0 0   0 0 0   0 0 0 
0

 1 , 2 3  (0)  sp1 ,  2 3   0
 d123  0


Ví dụ 5 : Tính d 228
Ta có : d 228 

1
sp2 , 2 8 
4

 0  i 0
1 0 0 



1 
 2   i 0 0  ; 8 
0 1 0 
3
 0 0 0



 0 0  2

2 , 2   2 2  2 2  22 2
 i 0  0  i 0 


0 0  i 0 0 
0 0  0 0 0 
0 0


1 0
0 0 

0

 2 i
0

1

 2 0
0


1 0 0
1 0 0 
1 0 0

 1 
 2 

2 , 2 8  2 0 1 0   0 1 0    0 1 0 
3
 0 0 0 3  0 0  2





0 0 0

2
1  1  4
3
3
1 4
1
 .

4 3
3

sp 2 ,  2 8  
 d 228

Ví dụ 6 : Tính d 888
Ta có : d 888 

1
sp8 , 8 8 
4

14


1 0 0 
1 0 0 
1 0 0
 1 
 2


1 
8 , 8   28 8  2.  0 1 0   0 1 0    0 1 0 
3
 3  0 0  2 3  0 0 4
0
0

2







1 0 0
1 0 0 
1 0 0 
 1 


2
2 
8 , 8 8   0 1 0   0 1 0  
0 1 0 
3
 3  0 0  2 3 3  0 0  8
 0 0 4





sp8 , 8 8  
 d 888

2

1  1  8 

3 3
1  4
1
 .

4  3
3

2
3 3

 6   4
3

2.2. Nhóm biến đổi SU(3)
Đó là nhóm các toán tử Unita phụ thuộc vào 8 thông số:
U ( a )  e ia M a

( a  1,8)

Trong đó M a là các vi tử của nhóm biến đổi thỏa mãn điều kiện tương tự  a :


M a , M b   if abc .M c
M a  M a
spM a  0

thì nhóm biến đổi này gọi là nhóm biến đổi SU(3).
2.3. Đa tuyến của nhóm SU(3)
Nếu ta có n hạt mà hàm trường tương ứng mô tả trạng thái các hạt là  i

i  1, n sẽ biến đổi như sau dưới tác dụng của nhóm biến đổi SU(3) :





 i ( x)   i ( x)  U . i .U 1  e ia a ( x) i
Trong đó  a là các ma trận n  n thỏa mãn hệ thức giao hoán :

 a , b   if abc c a, b, c  1,8
 a   a
sp a  0
15

(2.9)


Khi đó ta nói n hạt này lập thành 1 đa tuyến n chiều của SU(3).
Hay nói  i

i  1, n là các hàm trường mô tả trạng thái của n hạt lập thành 1


đa tuyến n chiều của SU(3).
Khi  a vô cùng bé, khai triển Furier và lấy đến số hạng gần đúng bậc 1 ta
được:
U ( )  expi a M a   I  i a M a

 ...

U 1 ( )  exp i a M a   I  i a M a

 ...

exp ia a   I  i a a  ...

Thế vào biểu thức (2.9) ta được:
U ( ). i .U 1 ( )  exp i a a  ( x) i





 I  i a M a  i I  i a M a   i  i a a
  i  i a i M a  i a M a i   a2 M a i M a   i  i a a i

Vì  a là các vô cùng bé nên ta bỏ qua  a2 so với  a






 i a M a i  i M a  i a a i





 i a M a i   i M a  i a a i (vì M a  M a )

 i a M a , i   i a a i
 M a , i    a i
 M a , i    a , i
j

 M a , i    a i  i





i

 M a , i    j  a  j

 Lưu ý:
a) Các vi tử M 1 ; M 2 ; M 3 liên hệ với nhau bởi hệ thức:

M , M   i
i

j


ijk M k

i, j, k  1,2,3; fi

jk

  ijk



M 1 ; M 2 ; M 3 là các vi tử của nhóm đối xứng SU(3), vì thế M1; M 2 ; M 3 được

đồng nhất với toán tử spin đồng vị.

16


b) M 8 giao hoán với M 1; M 2 ; M 3 (thấy được từ giá trị của hằng số cấu trúc
nhóm) , từ đó cho phép ta đồng nhất M 8 với siêu tích  . ( Trong 1 đa tuyến
SU(3) thì giá trị siêu tích không đổi  toán tử siêu tích giao hoán với toán tử
spin đồng vị).

M 1; M 8   if18c M c  0
M 2 ; M 8   if 28c M c  0
M 3 ; M 8   if38c M c  0
Vì f18c  f 28c  f 38c  0
Nên ta có công thức tổng quát: M i ; M 8   0
2.3.1. Biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng SU(3)
Có bao nhiêu khả năng của  a thì sẽ có bấy nhiêu biểu diễn:


M , M   i. i
i

Khi  a 



a

2

j

jk

( i, j, k  1,2,3 ; f ijk   ijk )

.M k

,  là các ma trận Gell-Mann. Lúc này 3 hạt lập thành biểu diễn
a

cơ sở của nhóm SU(3). Đó chính là 3 hạt quark: u; d ; s
 M ,     
 a i 

i
 a 


 2 
 j

j

Hàm trường qu  q1 ; qd  q2 ; qs  q3 biến đổi như sau dưới tác dụng của
nhóm biến đổi SU(3):
qi  qi  U .qi .U 1  exp i a a .q i

i
 a 
M a ; qi     .q j
 2 j


M ; q  q
 a i 

17

i
 a 

 2
 j

 j

( a 


a
2

)


 Hạt u
 Tìm I 3



M 3 , q1



1
 3 

q
 2
 j
j

1
1
1
 3 
 3 
 3 


2

3
 q   q  
q
2
 2
 2
 1
 2
 3
1 

  
1
 q .1  q .0  q .0
2

 

1 1 1
q   q 2  1  q 3  1
31
3 2
3 3
2












1

2

3

1 
q1
2

Hình chiếu của hạt quark u là

1
2

 Tìm siêu tích

; q 

2 
2 

M ; q  

.q
3  8 1 
3

Với

1 0 0 

1 
8 
0 1 0 
3

 0 0  2


1



 , q1



1

 
j 8 
 2
 j


1
1
1

 
  
2   1  8 
 2 8 
 3 8  

q
q
q
 2
 2 
3   2 


 3 
1
2


      
1
1


q .1  q .0  q .0 q

3
3


1 1 1
q   q 2  1  q 3  1
8 1
8 2
8 3
3








1

2

3

1

18


Siêu tích của hạt quark u là


1
.
3

 Số lạ là 0
1
1
 Số Barion:   S  B  L  ...  B    S  L   0  0 
3
3

 Điện tích: Q  I 
3

 1 1 2
  
2 2 6 3

 Hạt d
 Tìm I 3
1 0 0


3   0  1 0 
 0 0 0






M 3 , q2



2
 3 

q
 2
 j
j

2
2
2
 3 
 3 
 3 

2

3
 q   q  
q
 2
 2
 2
 1
 2

 3
1 







1 
q .0  q  .(1)  q  .0
2
3
2 1

1
  q2
2
1
Hình chiếu spin đồng vị của hạt quark d là  .
2

 Tính siêu tích
1 0 0 

1 
8 
0 1 0 
3


 0 0  2

19




 ; q2



, q 

2

2 
2 

M ; q  
.q
3  8 2 
3

2
 8 

 2
 j

j


2
2
2







2   1  8 

2
3
8
8

q    q    q   
3  2 
 2 2
 2 3 
1


      
1
1



q .0  q .1  q .0 q
3
3


1 1
q  2  q 2  2  q 3  2
8 1
8 2
8 3
3








1

2

3

2

Siêu tích của hạt quark d là

1

3

 Tính số lạ
Số lạ của hạt quark d là 0
 Số Barion:
1
1
B    S  L  00 
3
3

 Điện tích:

1 1
1
QI    
3 2
2 6
3

 Hạt quark s
 Tính I 3 :



M 3 , q3

 q

3

 3 

 2
 j

 j

3
3
3
 3 
 3 
 3 

2

3
 q   q  
q
 2
 2
 2
 1
 2
 3
 1

20









1 
q .0  q  .0  q  .0
2
3
2 1

0

Hình chiếu spin đồng vị của hạt quark s là 0 .
 Tính siêu tích:



 ; q3



 , q3

3
 8 

 2
 j




2 
2 

M ; q  
.q
3  8 3 
3



3
3
3

 
  
2   1  8 
 2 8 
 3 8  

q
q
q
 2
 2 
3   2 



 3 
1
2


j

      
1
2


q .0  q .1  q .( 2)  q
3
3


1 1 3
q   q 2  3  q 3  3
8 1
8 2
8 3
3









1

2

3

3

Siêu tích của hạt quark s là 

2
3

 Tính số lạ
Số lạ của hạt quark s là (-1)
 Số Barion:
1
1
B    S  L    (1)  0 
3
3

 Điện tích:

1 2
1
Q  I   0      
3 2

2 3
3

21