LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới ThS. Hà Thanh Hùng đã luôn tận tình hướng dẫn và dìu dắt tôi trong
suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Vật lí, các thầy giáo,
cô giáo trong khoa và tổ Vật lý lý thuyết – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
đã cung cấp cho tôi nền tảng kiến thức quý báu cùng sự giúp đỡ, quan tâm,
động viên nhiệt tình để tôi có thể hoàn thành khóa luận của mình. Nhân dịp
hoàn thành khóa luận này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự giúp đỡ
quý báu đó.
Cuối cùng, bằng tình cảm chân thành nhất, tôi xin gửi lời cảm ơn đến
những người thân trong gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận.
Mặc dù đã cố gắng nhưng vẫn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính
mong sự đóng góp quý báu từ phía các thầy cô và các bạn trong khoa để khóa
luận của tôi được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Phạm Thị Minh Lý


LỜI CAM ĐOAN
Để đảm bảo tính trung thực của khóa luận, tôi xin cam đoan:


Khóa luận là kết quả sự nỗ lực của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn

của thầy giáo ThS Hà Thanh Hùng.



Nội dung khóa luận không trùng lặp với các công trình nghiên cứu

của các tác giả trước đã công bố.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Phạm Thị Minh Lý


MỤC LỤC

PHẦN I. MỞ ĐẦU ........................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................... 2
3. Đối tượng nghiên cứu .............................................................................. 2
4. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................. 2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 2
6. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 2
7. Cấu trúc khóa luận................................................................................... 2
PHẦN II. NỘI DUNG .................................................................................... 3
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG SPINOR VÀ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ ......................... 3
1.1. Trường spinor....................................................................................... 3
1.1.1. Hàm truyền của trường spinor........................................................ 3
1.1.2. Hàm sóng của trường spinor .......................................................... 5
1.2. Trường điện từ...................................................................................... 8
1.2.1. Tác dụng của trường điện từ .......................................................... 8
1.2.2. Hàm sóng của trường điện từ ....................................................... 10

1.2.3. Hàm truyền của trường điện từ..................................................... 12
1.3. Tương tác của trường spinor và trường điện từ ................................... 13
CHƯƠNG 2. ĐỒNG NHẤT THỨC WARD-TAKAHASH CHO SPINOR
QED ............................................................................................................. 14
2.1. Hàm truyền và các đỉnh tương tác trong QED .................................... 14
2.1.1. Hàm truyền................................................................................... 14
2.1.2. Đỉnh tương tác ............................................................................. 15
2.2. Đồng nhất thức Ward-Takahashi cho spinor QED .............................. 15


CHƯƠNG 3. ÁP DỤNG ĐỒNG NHẤT THỨC WARD-TAKAHASHI TÍNH
GIẢN ĐỒ PHÂN CỰC CHÂN KHÔNG ..................................................... 25
PHẦN III. KẾT LUẬN ................................................................................ 32
PHẦN IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................... 33


PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lí học là một trong những môn khoa học nghiên cứu các quy luật từ
đơn giản đến tổng quát của tự nhiên. Vật lí học nghiên cứu cấu trúc, tính chất
của vật chất thông qua các quy luật, định lý.
Cùng với sự phát triển của loài người, Vật lí học trải qua nhiều giai
đoạn phát triển và đạt được những thành tựu đáng kể.
Vật lí hạt cơ bản là môn học nghiên cứu về các hạt nhỏ nhất tạo nên vật
chất, những hiểu biết về các hạt cơ bản luôn luôn là tiền phương tri thức nhân
loại về thế giới siêu nhỏ và thế giới siêu vĩ mô.Trong đó, lý thuyết trường là
công cụ chủ yếu để nghiên cứu các quá trình tương tác giữa các hạt cơ bản
trong thế giới vi mô. Lý thuyết trường lượng tử giúp ta tìm hiểu bản chất cấu
trúc, bản chất tương tác của các phân tử, nguyên tử, hạt nhân và các hạt cơ
bản. Từ đó, nhận biết các quá trình và quy luật vật lí diễn ra trong thế giới vi

mô nhằm giải thích các hiện tượng của thế giới vĩ mô.
Trong tính toán lý thuyết trường, toán học là một công cụ vô cùng quan
trọng, gắn liền với sự phát triển của ngành Vật lí học. Đồng nhất thức WardTakahashi là một trong số đó. Đồng nhất thức này giúp ta tính các tương tác
trong điện động lực học lượng tử, nhất là tính các tương tác của các hạt mang
điện (spinor và vô hướng ) với photon. Đặc biệt, nó có tác dụng hữu ích trong
việc tính giản đồ năng lượng liên kết của electron hay giản đồ phân cực chân
không. Đồng thời, nó phát huy tối đa ưu điểm vào giải các bài toán lượng tử,
giúp việc tính toán trở nên đơn giản hơn, tạo tiền đề khám phá ra kiến thức
mới để ngày càng hoàn thiện hơn bức tranh vật lí hiện đại. Đó chính là lý do
mà tôi chọn đề tài: “Đồng nhất thức Ward-Takahashi cho spinor QED”.

1


2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về đồng nhất thức Ward-Takahashi cho spinor QED.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Spinor QED.
- Đồng nhất thức Ward-Takahashi QED.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Trường spinor.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đưa ra một số lý thuyết cơ sở.
- Tìm hiểu về đồng nhất thức Ward-Takahashi cho spinor QED.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc và tra cứu tài liệu.
- Phương pháp vật lí - toán.
7. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm có ba chương:
Chương 1. Trường spinor và trường điện từ.

Chương 2. Đồng nhất thức Ward-Takahashi cho spinor trong QED.
Chương 3. Áp dụng đồng nhất thức Ward-Takahashi tính giản đồ phân
cực chân không.

2


PHẦN II. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. TRƯỜNG SPINOR VÀ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1. Trường spinor
1.1.1. Hàm truyền của trường spinor
Trường spinor mô tả chung cho các fermion (leptons e,  , và các
quark,...). Đây là các trường vật chất. Các trường này thỏa mãn phương trình
Dirac thu được từ tuyến tính hóa phương trình Klein-Gordon:





 2  m 2   i    m    i    m ,
x
x




trong đó   là các ma trận Dirac tuân theo hệ thức:

          2 g  .


(1.1.1)

Người ta đưa thêm vào ma trận  5 sao cho:

i
4!

 5  i 0 1 2 3             ,

 ,    0,
5



 52 1.

Ma trận Dirac có những tính chất sau: các ma trận Dirac được xác định
chính xác đến một phép biến đổi unita:
 k  O k O1 ,

với O là một ma trận unita bất kì có nghịch đảo.
Liên hợp Dirac của ma trận Dirac bất kì A được định nghĩa như sau:
A  0 A 0 .

3

(1.1.2)



Từ (1.1.2) ta có:

   ,

 5   5 ,     ...      ...     ,

       5        5         ,

k  0,1, 2, 3, 5.

  k  g kn n   k
Ta có thể thấy rằng:

1.  5 biến đổi như đại lượng giả vô hướng.
2.   5   biến đổi như đại lượng giả vectơ.
0
Để cho cụ thể ta chọn biểu diễn của các ma trận Dirac trong đó  là

chéo
I

i

 0

0 
 ,
 I 

 0  

0

 i  
i


I
 ,
0 

 0

,
0 

 5  
 I

trong đó I là ma trận đơn vị 2  2 , còn  là ma trận Pauli.
Vết của số lẻ các ma trận Dirac bằng 0. Thật vậy, tính chất vòng của
vết, kết hợp với tính phản giao hoán của ma trận  5 với các ma trận   cho ta



 Tr    ...
    Tr     ...
 Tr     ...
    Tr    ...
Tr  n1  n 2  n 3 ... n 2 n  1
n1


n2

n1

n3

n2

n 2 n 1

n3

5

5

n 2 n 1

5

5

n1

n2

n1

5


n3

n2

n 2 n 1

n3

5

n 2 n 1



Từ (1.1.3) ta thấy





Tr  n1  n 2  n3 ... n 2 n 1  0 .
Một số công thức thông dụng khác
Tr       4 g  ,

Tr           4g  g   g  g  g  g  ,
Tr  5            4 i    .

4


(1.1.3)



Ta kí hiệu k  k   khi đó:

Tr k p   4 k . p ,

Tr k   p     4 k  p  k p   g  k . p .

Ta có thể đòi hỏi:

 i


 i


hoặc







 m   ( x )  0,

x



(1.1.4)



 m  ( x )  0 .

x


(1.1.5)

Hai phương trình này là phương trình Dirac đã nói ở trên.
Lagrangian tự do của trường spinor với khối lượng m có dạng:
LD0 

i
 x     x     x   x   m x  x ,
2





Trong đó  x   x 0 gọi là liên hợp Dirac.
Trong thực tế, người ta thường sử dụng Lagrangian tự do sau:

 




LD0  i  x      x  m   x x  i  x   x  m x x,

Trong đó ta đã lưu ý đến việc các trường spinor  có chỉ số Dirac  .
Phương trình chuyển động Euler-Lagrange có dạng (1.1.5) và







 x i     m  0,


 x     x.

với

Dễ dàng thu được hàm truyền của trường Dirac
DF k  

i
i k  m 
 2
.
k  m  i 
k  m 2  i

1.1.2. Hàm sóng của trường spinor

Hàm sóng thỏa mãn phương trình (1.1.5) có dạng:
 ( x)  

dk
3

(2 ) 2k0

 a(k, s) u(k, s)e
s

5

ikx



 b  (k , s) (k , s)e ikx ,


 ( x)  

dk
3

(2 ) 2k0

 b(k, s) (k, s)e




ikx

 a  (k , s)u (k , s)e ikx .

(1.1.6)

s

Trong đó u ,  là các spinor Dirac thỏa mãn phương trình:
u (k ,  s )( k  m )  0 ,

( k  m ) u ( k ,  s )  0 ,

 ( k ,  s )( k  m )  0 ,

( k  m ) (k ,  s )  0 .

Toán tử a  k , s  và ak , s  tương ứng là toán tử sinh và hủy hạt với
xung lượng k và phân cực s . Còn b  k , s  và b k, s  tương ứng là toán tử
sinh và hủy phản hạt với xung lượng k và phân cực s .
Các toán tử trên thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán sau:

a k, s, a q, s     k  q ,
bk, s, b q, s     k  q ,
 ak, s, a q, s   a k, s, a q, s   0,
bk, s, bq, s   b k, s,b q, s   0 ,
 a k, s,b q, s   a k, s,b q, s   0 ,
a k, s,b q, s   a k, s,b q, s   0 .



s,s



s,s

















(1.1.7)

Từ (1.1.6) suy ra  x  mô tả sự hủy hạt hoặc sinh phản hạt tại điểm x ,
còn  x  mô tả sự sinh hạt hoặc hủy phản hạt.

 x


 x

Hình 1. Hàm sóng của trường spinor và sự hủy hạt.
Từ phương trình Dirac, ta có:

 i 
i

i



 m   x  i 0

6

  x
 i 0   x,
t


Do vậy Lagrangian có dạng:
LD0  i   x x  ...

trong đó … là các số hạng không chứa   x  . Nếu coi  x  như là tọa độ tổng
quát thì xung lượng tương ứng là:
LD0
P  x 
 i   x.
 x


Do vậy ta có hệ thức phản giao hoán

 t, x, P t, x   i t, x  x ,
 t, x,  t, x    x  x ,
 t, x, t, x    t, x, t, x   0 .
3









3









(1.1.8)

Dựa vào các phản giao hoán tử (1.1.7) ta có các hệ thức phản giao hoán
sau:


 t, x t, xd x, t, x   t, x ,
 t, x t, xd x,  t, x t, xd x  


3





3





3



t, x,  t, x d 3 x ,

trong đó  là các ma trận dạng   ,  5  ,….
Bằng việc chọn pha thích hợp ta có các hệ thức thông dụng sau:

 (k , s )    2 u  ( k , s ) ,

u (k , s )    2  (k , s ) ,


 0 u (k , s )  u (  k ,  s ) ,

 0 ( k , s )    (  k ,  s ) ,

 2 u  ( k , s )  e i ( p , s ) u (  k , s ) ,

 2  (k , s )  e  i (  p , s ) (  k , s ) ,

trong đó:

ei (p,s)   ei (p,s) ,

 0 

2  
  .
0 

7


1.2. Trường điện từ
1.2.1. Tác dụng của trường điện từ
Tác dụng được đưa ra ở đây với sự đóng góp của thế vector 4 chiều
A x  , cụ thể cho điện trường và từ trường như sau






E i    0 Ai   i A0    t Ai   i A0 ,
1
1
B i    ijk  i A k   k A i   ijk  i A k   k A j .
2
2









Để thuận tiện hơn ta viết
1
E x    A  x   A0 x ,
c
Bx     A x .

Tensor cường độ xoắn được đưa ra như sau

F    A   A ,
Sáu thành phần của điện trường và từ trường được mô tả qua tensor
cường độ xoắn sau:

F0i   F 0i    0 Ai   i A0    0 Ai   i A0  E i ,
Fij  F ij   i A j   j Ai    i A j   j Ai    ijk B k .
Bây giờ, ta đưa ra tác động của trường điện từ

S  d 4x L  d 4x

1 2
1
E  B 2    d 4 x F F  .
2
4






F  là lưỡng tensor thỏa mãn đồng nhất thức Bianchi,   F  x   0 ,

và tuân theo luật biến đổi như sau

F  

1  k

Fk .
2

Trong đó   k là tensor Levi-Civita đối xứng hoàn toàn

8


Theo đồng nhất thức Bianchi ta có:

1 k
1
   Fk   k       Ak x .
2
2

(1.2.1)

Tenxo  thỏa mãn tính chất sau:

 k   k      kk    k  k   k    k 
     kk     k  k   k    k  ,
Thay vào (1.2.1) ta có:
(       ) A x   0 .

Phương trình chuyển động của trường điện từ có dạng:

S
A x 


Lx 
1
   F   x   0 ,
  A  x  2

  

Hay ở dạng rõ ràng hơn:


g





 2     A  x   0 .

Như trên, chúng ta đã có đồng nhất Bianchi,   F  x   0 , sử dụng
điều kiện này chúng ta tìm lại được hệ phương trình Maxwell trong chân
không.
. B  0,

  E   t B  0,

. E  0,

  B   t E  0.

Tác động của trường điện từ ở dạng cụ thể được viết lại như sau:
S   d 4 x L x  


1 4  
d x  A x   A x    A x   A x 

2






1 4
d x A  x  g   2     A x .

2





Sau đây, ta sẽ sử dụng tác dụng S để chỉ ra rằng trường điện từ có hai
trạng thái phân cực và xây dựng hàm truyền của photon.

9


1.2.2. Hàm sóng của trường điện từ
Lagrangian tự do:
1
Lbf0 0   A   x  A  x ,
4

(1.2.2)

không cho ta hàm truyền của trường vector không khối lượng.
Vì vậy “trường vector không khối lượng chỉ có thể là trường chuẩn”.
Phương trình Euler-Lagrange có dạng:






  A x       A x    A x   0.

(1.2.3)

Phương trình này bất biến với phép biến đổi chuẩn:
A ( x )  A x   A x      x .

(1.2.4)

Ý nghĩa vật lí của bất biến trên như sau: A không phải là đại lượng
quan sát được và xác định không đơn giá. Sự không đơn giá của A có thể
được sử dụng để đặt điều kiện phụ, thường là điều kiện Lorentz :
 A  0.

(1.2.5)

Điều kiện (1.2.3) và (1.2.5) cho ta:
 2

 2   2  A  x   0,
 t


 2

 2   2  x   0 .
 t



(1.2.6)

Chọn  sao cho một thành phần của A x  bằng không, cụ thể là
A0 x   0 . Khi đó điều kiện Lorentz có dạng:

  A  x   divAx   0 .

(1.2.7)

Để thu được ý nghĩa vật lí của điều kiện (1.2.7) ta chuyển sang biểu
diễn xung lượng:
A  x  

1
d 4 k  k 2 e ikx A k  .

2

 

10

(1.2.8)


Thay (1.2.8) vào (1.2.7) ta có:
k A k 


 k.Ak  k 0 0  0 .

k 0 0

(1.2.9)

Phương trình (1.2.9) là điều kiện trực giao của trường điện từ.
Tách thế năng thành phần tần số dương và âm:
A x   A x   A x ,

A k 

*



với



 A k  .

Ta đưa vào hệ quy chiếu gắn với xung lượng k
A k   e0 a0 k   e1 a1 k   e2 a2 k   e3 a3 k ,

 
trong đó e 1 , e2 là vector phân cực không gian trực giao nhau và trực giao với

e3 .


e1  0, e1 ,
e 2  0, e2 ,

e e   

,

i, j  1, 2, 3,

e e   e ,

e e   e ,

i

j

1 2

ij

3

2 3

1

e0i  0,

e e   e

3 1

e3 
2

k
,
k

.

e 0 là vector dạng thời gian e 0    0 . Ta có thể thấy:
A k  A   k   g  a  k a k  ,

trong đó:
k  A k   0,

k  A k   0.

Sử dụng điều kiện Lorentz, ta có:
k  A k   k 0 a0 k   k a3 k   0 .

Vì k  k 0 nên a3 k   a0 k  và
a3 k a 3 k   a 0 k a 0 k   0 .

Như vậy, số photon dọc a 3 a 3 và số photon thời gian bằng nhau và
ngược dấu.

11



Cuối cùng, vector năng xung lượng bốn chiều:



   dk k

P    dk k   A k A   k  



a  k  a  k ,

 1, 2

chỉ còn đóng góp của hai thành phần trực giao và nhận giá trị xác định dương.
Tóm lại, đối với trường điện từ, ta không có điều kiện Lorentz tự động
mà ta phải tự đưa vào. Sử dụng tính chất bất biến chuẩn, ta loại được thành
phần dọc. Như vậy trường vector không khối lượng chỉ có hai trạng thái spin
vật lí.
2

dk

A x   

3

2  2k 0


a k ,    k ,  e



ikx



 a  k ,    k ,  e ikx .

1





Trong đó   k ,   là vector phân cực. Sự kết hợp của  với các toán tử
sinh và hủy trong biểu thức của hàm sóng tạo ra hai trạng thái phân cực của
trường.
Cuối cùng, ta đưa công thức lấy tổng của các vector phân cực của
trường chuẩn photon.

   k ,   k ,     g  .

*

1, 2

1.2.3. Hàm truyền của trường điện từ
Tính hàm truyền của trường điện từ (trường chuẩn vector không khối

lượng). Việc cố định chuẩn tương đương với việc đưa thêm một số hạng mới
vào Lagrangian
2
1 
1
Lem
A x A x  
  A .
0 
4
2





Để thu được hàm truyền Feynman ta viết lại tác dụng
 1
1  a  a
S 0em  A   d 4 x    Aa   Aa   A a   A  a 
 A  A
2
 4





  Aa   A a   Aa     Aa   g   ab Aa  2 Ab ,


12







 ,



  Aa  A  a   Aa    A  a   Aa    Ab ab ,
  Aa  Aa   Aa    Ab ab .

Do vậy
1
1
1 a   b 
S 0em  A   d 4 x  g   ab Aa  2 Ab  Aa    Ab ab 
A   A  ab 
2
2
2


1
  d 4 x Aa K ab Ab ,
2


trong đó



 2
  1
K ab   g   2   2   1        a b .
 t
  



Từ đây ta tính được hàm truyền của trường điện từ
em
F k  

i
k  i
2

k  k

 g   1    2
k



.



Nhìn vào biểu thức của hàm truyền Feynman của các trường vector, ta
có nhận xét sau đây: khi xung lượng k   hàm truyền của trường vector có
khối lượng không phải là trường chuẩn biến thiên không tốt tiến tới một số
O1 , trong khi đó hàm truyền của trường chuẩn vector có khối lượng và
 1 
.
2 
k 

không có khối lượng biến thiên tốt giảm nhanh theo O
1.3. Tương tác của trường spinor và trường điện từ

Theo quan điểm cổ điển, photon là hạt truyền tương tác của trường điện
từ. Trường điện từ được tạo ra từ các hạt mang điện. Điều này giống như
Graviton là hạt truyền tương tác của trường hấp dẫn. Vật lí cổ điển đã có rất
nhiều hiện tượng chứng minh quan điểm này. Một hiện tượng rất cụ thể đó là
các tiên đề về sự hấp thụ và bức xạ Borh, khi các hạt mang điện thay đổi trạng
thái kích thích thì sẽ hấp thụ hay bức xạ các photon.
Tương tác này sẽ được trình bày trong chương II, trong đó chúng ta sẽ
mô tả cụ thể tương tác của photon với electron.

13


CHƯƠNG 2. ĐỒNG NHẤT THỨC WARD-TAKAHASH
CHO SPINOR QED

2.1. Hàm truyền và các đỉnh tương tác trong QED
2.1.1. Hàm truyền
1

2

- Trường spin :




p

- Phản hạt



i


 p  m  i  



1
2



p






i


  p  m  i 



- Trường chuẩn spin 1:
k k 

i
g  1  2

2
k  M  i 
k  M 2 
2





k

- Trường vector khối lượng m:

p




i
p  m 2  i
2



p p 

 g   2 
m 


- Trường photon:

 ig 


p

p 2  i



14


2.1.2. Đỉnh tương tác




Tương tác photon-spinor  - spinor   ứng với phần đỉnh:


 iq  













2.2. Đồng nhất thức Ward-Takahashi cho spinor QED
Nếu trong điện động lực học lượng tử (QED) ta có M k     k M  k 
là biên độ liên quan đến quá trình có photon ngoài với xung lượng k thì biên
độ đó bị triệt tiêu nếu thay thế   bằng k  :
k  M  k   0 .

(2.2.1)

Khẳng định này rất hữu ích để chứng minh đồng nhất thức tổng quát
hơn cho các hàm tương quan trong QED, được gọi là đồng nhất thức WardTakahashi. Để thảo luận trường hợp tổng quát hơn ta xét M dùng để chỉ một
biến đổi Fourier hàm tương quan, trong đó xung lượng ngoài là không cần
thiết trên bề mặt. Trong trường hợp này, vế phải của (2.2.1) là các số hạng

khác không. Nhưng khi ta áp dụng công thức LSZ:
n

  d 4 xi e ipi x
1

i

m

  d 4 y je

ik j y j

 T   x1   x n    y1    y m  

1


 n
 m
Zi
 p 1 p n S k 1 k m , pi0  E p , q 0j  E q .
   2 Z2i
~   2
2
i
j




 i 1 pi  m  i   j 1 k j  m  i 

15


để lấy ra một phần tử ma trận tán xạ, những số hạng đó sẽ không đóng góp.
Ta sẽ chứng minh bậc trong đồng nhất thức Ward-Takahashi bằng bậc
trong α bằng cách nhìn trực tiếp vào giản đồ Feynman cho đóng góp vào
M k  . Nhìn chung, đồng nhất thức không đúng cho riêng các giản đồ

Feynman, vì vậy ta phải tổng hợp các giản đồ cho M k  ở bậc bất kì.
Xét một giản đồ điển hình cho một biên độ điển hình M k  :

Nếu ta loại bỏ các photon  k  , ta có được một giản đồ đơn giản đó là
một phần của biên độ đơn giản M 0 . Nếu ta lại đưa một photon ở một nơi
khác vào bên trong giản đồ đơn giản, một lần nữa thu được một đóng góp cho
M k  . Bằng cách lấy tổng trên tất cả các giản đồ đóng góp vào M 0 , sau đó

tổng hợp trên tất cả các điểm có thể tương tác trong mỗi giản đồ này, ta thu
được M k  . Biên độ tán xạ tổng hợp M(k) bằng hiệu hai biên độ tán xạ khác
bớt đi một đường photon. Tức là, nếu biên độ tán xạ tổng hợp có n đường
photon thì sẽ bằng hiệu hai biên độ tán xạ khác có n-1 đường photon.
Khi tương tác photon trở thành một trong những giản đồ của M 0 , nó
phải đính kèm hoặc là một đường electron chạy ra của giản đồ hai điểm
ngoài, hoặc là một vòng electron trong. Ta sẽ xét lần lượt mỗi trường hợp này.
Đầu tiên giả sử rằng đường electron chạy giữa các điểm ngoài. Trước
khi tương tác photon  k  , đường nhìn thấy như sau:

16



Các hàm truyền electron có xung lượng:
p
p1  p  q1
p 2  p1  q 2


p  pn1  qn .
Nếu có n đỉnh, ta có thể tương tác photon trong n + 1 các nơi khác
nhau. Giả sử chúng ta tương tác nó sau đỉnh thứ i:

Bên trái các hàm truyền electron của photon mới có xung lượng tăng
thêm k .
Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào các giá trị của giản đồ này, với vector
phân cực   k  thay bằng k  . Tích của k  với đỉnh tương ứng được viết dưới
dạng

 iek     ie p i  k  m    p i  m  .
Nhân các hàm truyền electron liền kề, ta thu được:


i
i
 .
 ie k  i  e  i 

p i  k  m
p i  m
p


m
p

k

m


i
 i


(2.2.2)

Chú ý rằng phép nhân với xung lượng k  tương đương với phép lấy
đạo hàm theo   . Do vậy, ta có thể phát biểu ý nghĩa của công thức (2.2.2)

17


như sau: tích của k  (hay đạo hàm theo   ) của giản đồ bằng hiệu của hai
giản đồ có ít hơn một số đường electron với xung lượng ngoài cộng thêm k .
Giản đồ với photon tương tác vào vị trí i có cấu trúc:

Tương tự với photon tương tác vào vị trí i  1 có cấu trúc:

Số hạng đầu tiên của biểu thức này triệt tiêu số hạng thứ hai của biểu
thức trước. Tương tự sự triệt tiêu xảy ra giữa cặp bất kì khác của giản đồ với
các tương tác liền kề. Khi ta lấy tổng các điểm tương tác dọc theo đường, thì

tất cả đều bị triệt tiêu trừ các số hạng chưa ghép cặp ở hai đầu. Số hạng chưa
ghép cặp xuất phát từ tương tác sau đỉnh cuối cùng (trên cao bên trái) phải
bằng e lần giá trị của giản đồ ban đầu. Số hạng chưa ghép cặp khác, tương tác
trước đỉnh đầu tiên, là giống hệt nhau ngoại trừ một dấu trừ và thay thế p
bằng p  k ở mọi nơi. Ta thu được kết quả theo giản đồ sau:

2.2.3

Trong đó ta đã đổi p   k  q .

18


Trong mỗi giản đồ ở vế trái của (2.2.3) xung lượng vào đường electron
là p và xung lượng ra là q . Theo công thức LSZ, ta có thể rút ra từ mỗi giản
đồ một đóng góp cho phần tử ma trận tán xạ bằng cách lấy hệ số của tích các
cực
 i  i 

 
 .
 q  m   p  m 

Các số hạng ở vế phải của (2.2.3) chứa một trong các cực, nhưng không
chứa cả hai cực. Do đó vế phải của (2.2.3) không có gì để đóng góp cho ma
trận tán xạ.
Để chứng minh đồng nhất thức Ward-Takahashi, ta xét trường hợp
trong đó photon gắn với một vòng eletron trong. Trước khi tương tác photon,
vòng điển hình có dạng:


Các hàm truyền electron có xung lượng
p1
p1  q 2  p 2

pn .

19


Giả sử photon  k  tương tác giữa đỉnh i và i  1 :

Bây giờ có thêm một xung lượng k chạy vòng quanh từ đỉnh mới; theo
quy ước, xung lượng này thoát ra từ đỉnh 1.
Lấy tổng trên tất cả các tương tác vào trong vòng, áp dụng đồng nhất
thức (2.2.2) cho mỗi giản đồ. Cho giản đồ có photon tương tác vào giữa đỉnh
1 và 2, ta thu được:
e



d 4 p1
i

tr  
4
2    p n  k  m 

n




i
 
 

p

k

m
 2




i
i

 

p 1  k  m 
 p 1  m

1

2





.


Số hạng đầu tiên bị triệt tiêu bởi một trong các số hạng từ giản đồ với
photon tương tác giữa đỉnh 2 và 3. Tương tự sự triệt tiêu xảy ra giữa các số
hạng từ các cặp tương tác liền kề khác.
Khi ta lấy tổng trên tất cả n điểm tương tác ta thu được

 n 1  i  1
d 4 p1  i  n 
i
  
   
  
 e
tr 
4
p

m
2   p n  m   p n1  m 

 1


 n 
 n 1 
i
i
  

  
 

 p n  k  m   p n1  k  m 

20

 1 
i
  .
p 1  k  m  

2.2.4


Chuyển biến số tích hợp từ p1  p1  k trong số hạng thứ hai, ta thấy
hai số hạng còn lại bị triệt tiêu. Vì vậy các giản đồ trong đó photon tương tác
dọc theo một vòng khép kín tiến tới không.
Giả sử rằng biên độ M có 2n đường electron ngoài, n đường electron
vào và n đường electron ra. Vị trí xung lượng vào pi và xung lượng ra q i

Biên độ cũng có thể liên quan đến một số tùy ý của các photon phụ
ngoài. Biên độ M 0 thiếu các photon  k  nhưng về mặt khác là giống hệt
nhau. Để tạo thành k  M  từ M 0 ta phải lấy tổng trên tất cả các giản đồ có thể
đóng góp cho M 0 , và cho mỗi giản đồ, lấy tổng trên tất cả các điểm mà tại đó
photon có thể tương tác. Lấy tổng các điểm tương tác dọc theo vòng ngoài
trong giản đồ bất kì tiến tới không. Lấy tổng các điểm tương tác dọc theo một
đường trong giản đồ bất kì cung cấp cho một đóng góp vào công thức (2.2.3).
Lấy tổng trên tất cả các điểm tương tác cho giản đồ riêng bất kì, ta thu
được:


21