LỜI CẢM ƠN
 
Tôi xin trân trọng cám ơn ban chủ nhiệm khoa vật lý, các thầy giáo, cô 
giáo trong khoa và tổ vật lý lí thuyết – Trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đã 
tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này. 
Đặc biệt, tôi xin trân trọng cám ơn thầy giáo Th.s: Hà Thanh Hùng đã 
quan tâm và hướng dẫn tận tình cho tôi trong quá trình hoàn thành khóa luận. 
Mặc dù đã cố gắng song không khỏi thiếu sót. Kính mong sự đóng góp 
quý báu từ phía các thầy cô và các bạn trong khoa để khóa luận của tôi được 
hoàn chỉnh hơn. 
Tôi xin trân trọng cám ơn! 
Sinh viên 
 
 
 
Nguyễn Phương Hiền 
 
 
 
 
 
 
 
 


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan:  
 Khóa luận là kết quả của sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn của 
thầy giáo hướng dẫn Th.s: Hà Thanh Hùng. 
 Nội dung khóa luận không trùng lặp với các công trình nghiên cứu 

của các tác giả trước đã công bố. 
 
Sinh viên 
Nguyễn Phương Hiền 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1
NỘI DUNG ................................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1. ĐỐI XỨNG TRONG VẬT LÝ ..................................................... 3
1.1. Sự đối xứng ............................................................................................................ 3
1.2. Sự đối xứng trong lý thuyết trường. .................................................................. 4
1.3. Sự đối xứng trong vật rắn .................................................................................... 4 
1.4. Đối xứng SU(3) ..................................................................................................... 5
1.5. Đối xứng SU(2) ..................................................................................................... 6
1.6. Đối xứng U(1) ....................................................................................................... 7
1.7. Đối xứng SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y ................................................................... 7
CHƯƠNG 2. ĐỊNH LÝ CPT .................................................................................. 9
2.1. Phép biến đổi C, P, T ......................................................................................... 10

2.1.1. Liên hợp điện tích ( Charge Conjugation – C ) ......................................... 10
2.1.2. Nghịch đảo không gian ( Parity – P ) .......................................................... 10
2.1.3. Nghịch đảo thời gian ( Time Reversal – T ) ............................................... 11 
2.1.4. Bảng tóm tắt các luật biến đổi ....................................................................... 12 
2.2. Định lý CPT ......................................................................................................... 13 
2.3. Mô hình chuẩn..................................................................................................... 13
CHƯƠNG 3. ĐỊNH LÝ CPT TRONG MÔ HÌNH CHUẨN ....................... 33
3.1. Phép liên hợp điện tích ...................................................................................... 33
3.2. Phép nghịch đảo không gian ............................................................................. 36
3.3. Phép nghịch đảo thời gian ................................................................................. 37
3.4. Định lý CPT ......................................................................................................... 42
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 47


MỞ ĐẦU
 
1. Lý do chọn đề tài 
Trong vật lý, lý thuyết trường lượng tử nghiên cứu rất nhiều về những 
biến  đổi  đối  xứng.  Đối  xứng  có  vai  trò  cực  kỳ  quan  trọng  trong  tiến  hành 
khám phá vật lý, bước đầu trong điện từ và sau đó lan rộng sang nhiều ngành 
như khoa học vật liệu, vật lý chất đông đặc ngưng tụ, vũ trụ hạt, vũ trụ thiên 
văn kèm theo  những  ứng dụng  kỳ  diệu trong công nghệ liên đới đến  những 
nghành này. Tính chất đối xứng là một đặc tính của hệ vật lý mà các đặc tính 
đó bất biến dưới các phép biến đổi cụ thể, nó phản ánh các định luật bảo toàn 
của hệ chẳng hạn như sự tồn tại của các trạng thái của hệ hay những quy tắc 
lọc lựa cho các chuyển dời trong hệ. Tính đối xứng của một hệ vật lý có thể là 
các đặc tính vật lý hay toán học của hệ đó mà không bị thay đổi dưới các phép 
biến đổi trong hệ tọa độ không gian vật lý hay trừu tượng. 
Trong vật lý hạt, có 3 sự đối xứng cơ bản thể hiện tính chất của trường 

lượng tử: tính chẵn lẻ, liên hợp điện tích và nghịch đảo thời gian. Ba đối xứng 
này  đóng  vai  trò  hết  sức  quan  trọng  trong  lý  thuyết  trường  hiện  đại.  Các  lý 
thuyết vật lý hiện đại đều dựa trên giả thiết rằng mọi hệ vật lý đều bảo toàn dưới 
sự tác dụng kết hợp của cả 3 toán tử đó, và nó được gọi là sự đối xứng CPT. 
Định lý CPT này đã trở thành một trong những định lý cơ bản của nền 
vật lý hiện đại, là cơ sở để hình thành nên các mô hình lý thuyết hạt cơ bản. 
Các  nghiên  cứu  về  sự  đối  xứng  CPT  luôn  là  một  trong  những  xu  hướng 
nghiên cứu trọng tâm của các nhà vật lý cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm. 
Xuất  phát  từ  tầm  quan  trọng  trong  việc  nghiên  cứu  vấn  đề này,  đồng 
thời với khả năng và sở thích của bản thân, cũng với sự chỉ đạo tận tình của 
thầy  giáo  Hà  Thanh  Hùng  nên  em  chọn  đề  tài“  Định  lý  CPT”  để  làm  khóa 
luận tốt nghiệp. 

1 


2. Mục đích nghiên cứu
Tìm  hiểu  về  mô  hình  chuẩn,  các  tương  các  trong  mô  hình  chuẩn  và 
định lý CPT trong mô hình chuẩn. 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nắm được sự biến đổi C, P, T trong các mô hình chuẩn : 
 Phép nghịch đảo không gian 
 Liên hợp điện tích 
 Nghịch đảo thời gian 
 Đưa ra định lý CPT 
  Củng  cố và bồi  dưỡng  việc sử dụng phương tiện toán  học, các  phép 
biến đổi, các toán tử… để giải quyết các vấn đề trong từng phần của đề tài. 
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Để  đạt  được  mục  đích  và  nhiệm  vụ  nêu  ra  ta  cần  xác  định  được  đối 
tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu của nó: 

 Hạt và các phản hạt của nó 
 Biến đổi C, P, T trong các mô hình chuẩn 
 Các bài toán, ứng dụng cơ bản trong đề tài 
5. Phương pháp nghiên cứu
 Điều tra, tra cứu tài liệu
 Tổng hợp, xử lý, khái quát, phân tích tài liệu thu được
 Tổng hợp bài tập, giải bài tập và ứng dụng.
 
 
 
 

2 


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. ĐỐI XỨNG TRONG VẬT LÝ

1.1. Sự đối xứng
Trong vật lý, tính chất  đối xứng là  một đặc tính của hệ vật lý mà các 
đặc tính đó bất biến dưới các phép biến đổi cụ thể, nó phản ánh các định luật 
bảo toàn của hệ chẳng  hạn  như  sự  tồn  tại  của  các trạng  thái  của  hệ  hay các 
quy tắc  lọc  lựa cho các chuyển  dời trong  hệ. Tính đối xứng của  một hệ vật 
lý  có  thể  là  các  đặc  tính  vật  lý hay  toán  học  của  hệ  đó  (biểu  hiện  ra  bên 
ngoài hay  nội  tại)  mà  không  bị  thay đổi dưới các phép biến đổi trong hệ tọa 
độ không gian vật lý hay trừu tượng. 
Trong lý thuyết lượng tử, các đặc tính của một hệ vật lý thường được 
diễn  tả dưới  dạng  các  toán  tử.  Để  biết  được  một  toán  tử  A  có  phải  là  đối 
xứng (bảo toàn) hay không, định lý Noether’s chỉ ra rằng toán tử đó phải thoả 
mãn hai điều kiện: 

(a) AH = HA   

(1.1.1) 

(b) ∂A/∂t = 0   

(1.1.2) 

Trong đó H là toán tử Hamilton, t là thời gian. Trong trường hợp toán 
tử A thoả mãn cùng  lúc  hai điều  kiện  trên  (giao  hoán  với  toán  tử  Hamilton 
và  không  phụ  thuộc tường  minh  vào  thời  gian),  đại  lượng  quan  sát  được  a 
(trị riêng của toán tử A) sẽ là một đại lượng bảo toàn hay hằng số. 
Trong trường  hợp  hai  toán  tử  A  và  B  không  phụ  thuộc  tường  minh 
vào  thời  gian,  thoả  mãn  các  điều  kiện  AH  =  HA  và  BH  =  HB  thì  các  đại 
lượng quan sát được tương  ứng  với  cả  A  và  B  đều  được  bảo  toàn  một  cách 
đồng  thời.  Tuy  nhiên,  các điều  kiện  này  chỉ  là  điều  kiện  cần  nhưng  chưa 
phải  là  điều  kiện  đủ  cho  việc  cùng tồn tại các đại lượng bảo toàn một cách 
đồng thời. 
3 


1.2. Sự đối xứng trong lý thuyết trường
Trong bối cảnh của cơ học cổ điển và lý thuyết trường liên tục biến đổi 
đối xứng kết hợp với sự bảo toàn khối lượng. Những đối xứng liên tục cũng 
được phân tích trong lý thuyết trường lượng tử. Trái với định lý CPT là những 
biến  đổi  đối  xứng  rời  rạc.  Nó  có  thể  chỉ  ra  rằng  trong  vài  giả  thuyết  một  lý 
thuyết trường lượng tử là đối xứng với sự kết hợp của phép nghịch đảo không 
gian (P), phép liên hợp điện tích (C) và nghịch đảo thời gian (T). Trước khi đưa 
ra định lý này ta đi tìm hiểu những đối xứng trong lý thuyết trường lượng tử. 
Trong lý thuyết trường lượng tử,  một  phép biến đổi đối xứng  là phép 

ánh xạ một – một của các trạng thái: 
|  >     |  ' > = U(  ) 

(1.2.1) 

và thỏa mãn 2 điều kiện: 
 Đầu tiên là xác suất chuyển đổi giữa 2 trạng thái  |  > và  |  > phải 
được bảo toàn: 
|  |  |  =  |  ' |  ' |        

(1.2.2) 

Theo định lý Wigner thì ánh xạ U phải là đơn nhất hoặc phản đơn nhất. 
 Thứ hai,  phương  trình  biến  đổi  của  các  trạng  thái  cũng  sẽ  biến  đổi 
như sau: 
|  | e

iH ( t  t )

|  |  =  |  ' | e

iH ( t t  )

|  ' |          

(1.2.3) 

Vì vậy nó được viết rằng ánh xạ U giao hoán với toán tử Hamiltanian: 
[U, H] = 0 


 (1.2.4) 

1.3. Sự đối xứng trong vật rắn
Trong vật rắn,  mạng tinh thể bao giờ  cũng  mang tính đối xứng, nó  là 
một trong những đặc điểm quan trọng, thể hiện cả ở hình dáng bên ngoài, cấu 
trúc bên trong cũng như thể hiện ra các tính chất. Tính đối xứng là tính chất 
ứng với một biến đổi hình học, các điểm, đường, mặt tự trùng lặp lại, gồm có: 
- Tâm đối xứng: bằng phép nghịch đảo qua tâm chúng trùng lại nhau 

4 


- Trục đối xứng: các điểm có thể trùng lặp nhau bằng cách quay quanh 
trục một góc α, số nguyên n = 2π/ α được gọi là bậc của trục đối xứng, chỉ tồn 
tại các n = 1, 2, 3, 4, 6; 
- Mặt đối xứng: bằng phép phản chiếu gương qua một mặt phẳng, các 
mặt sẽ trùng lặp lại. 
1.4. Đối xứng SU(3)
Nhóm đối xứng SU(3) gồm các phần tử dạng: 
8

U    e

i

a M a
a 1

  


(1.4.1) 

Trong đó  a là các thông sô thực, Ma các vi tử,  M a  M a , tuân theo các 
hệ thức giao hoán: 

M

a

, M b   if abc M c   

(1.4.2) 

f abc  là hằng số cấu trúc của nhóm SU(3), hoàn toàn phản xứng theo các chỉ 

số:  f abc   f bac   f cba   f acb  
Dưới tác dụng của phép biến đổi SU(3) các toán tử trường biến đổi theo 
quy tắc tổng quát: 
8

  x    ' x   e
 Chọn Ma = 

a
2

i

 a M a
a 1


8

  xe

i

 a M a
a 1

 

,  a  là các ma trận Gell-Mann  

0 1 0
1   1 0 0   
0 0 0



 0 i 0 
2   i 0 0    
0 0 0



1 0 0
3   0 1 0   
0 0 0




0 0 1
4   0 0 0 
1 0 0

 

 0 0 i 
5   0 0 0   
i 0 0 



0 0 0
6   0 0 1   
0 1 0



0 0 0


7   0 0  i   
0 i 0 



1 0 0 
1 

8 
0 1 0   

3

 0 0 2 

5 

 (1.4.3) 


và nó có các tính chất 
4
3

a  a ;  Tra  0 ;  Tra b  2 ab ;  [a , b ]  2if abc c ; {a , b }  2d abc c   ab  
Trong đó Tr(Trace) là ký hiệu lấy vết ma trận, dabc là hằng số cấu trúc 
của nhóm SU(3) đối xứng theo các chỉ số, fabc là hằng số cấu trúc của nhóm 
SU(3) phản đối xứng theo a,b,c. 
Đạo hàm hiệp biến có dạng: 
       D   x       x   ig S Ga  M a  x    , Ma =

a
2

  

(1.4.4) 


Tám trường chuẩn  G a  x  , (a=1,2…8) là các gluon. 
1.5. Đối xứng SU(2)
Đối  xứng  SU(2)  được  mô  tả  bằng  ngôn  ngữ  toán  học  bởi  nhóm  biểu 
diễn SU(2), với các phần tử có dạng: 
3

U    e

i

 a I a
a 1

          

(1.5.1)  

Trong  đó  a là  các  thông  số  nhận  các  giá  trị  thực,  các  vi  tử  Ia  được 
đồng nhất với toán tử spin đồng vị, hecmitic  I a  I a  và tuân theo các hệ thức 
giao hoán 

I

a

, I b   i abc I c       

(1.5.2)

 abc  là hằng số cấu trúc của nhóm SU(2), thường chọn Ia là 3 ma trận Pauli: 

 0 1
0  i
1 0 
,   b  
,   c  


      
1 0 
i 0 
 0  1

a  

I1  I1 ,    I a 

a
2

(a  1,3)                  

(1.5.3)  
 (1.5.4)  

Dưới tác dụng của phép biến đổi đó thì các toán tử trường biến đổi theo 
quy tắc tổng quát: 
3

  x    ' x   e


6 

i

 a I a
a 1

3

  xe

i

 a I a
a 1

 

(1.5.5)  


1.6. Đối xứng U(1)
  Trường vật chất là trường spinor 

  x  '  S  x  ,  '  x    S  ,  S  e iq  x      

 (1.6.1) 

Dưới tác dụng của phép biến đổi đó thì các toán tử trường biến đổi theo 
quy tắc tổng quát: 


  x i   '  x   e iq  x   x     

(1.6.2) 

Trong đó q là điện tích của trường  . Đạo hàm hiệp biến: 

D  x      x   iqA  x    

(1.6.3) 

Lagrangian tự do của trường Dirac có dạng: 

LD0  i  x       x   m  x   x     

(1.6.4) 

  Trường vật chất là trường vô hướng 
 Chỉ có trường vô hướng phức mới tương tác với photon 

 '  x   e  iq  x   x     

(1.6.5) 

Trong đó q là điện tích của trường   . Đạo hàm hiệp biến 

D  x      x   iqA  x   x       

 (1.6.6) 


1.7. Đối xứng SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y
Dưới  tác  dụng  của  phép  biến  đổi  đối  xứng  đó  thì  các  toán  tử  trường 
biến đổi theo công thức tổng quát: 
7

i  x    '  x   e

 ig

 M a a
a 1

          

(1.7.1)  

Trong  đó  a   là  các  tham  số  thực.  Với  Ma  €  (T(SU(3)C),  T(SU(2)L), 
T(U(1)Y)) 
Đạo hàm hiệp biến có dạng: 
 
D A    A  ig 5V a  a      
 2 A

(1.7.2) 

C
 a C

 a 
D  AB      AB  ig 5V a   CB     AC                  (1.7.3) 

 2 B
 2  A


7 


Trong đó g5 là hằng số tương tác của nhóm SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y.
Đối  xứng  có  vai  trò  rất  quan  trọng  trong  vật  lý,  đặc  biệt  là  đối  xứng 
CPT. Ngày nay, đối xứng CPT đã trở thành một trong những định lý cơ bản 
của nền vật  lý  hiện  đại,  là  cơ  sở  để  xây  dựng  nên  các  mô  hình  lý  thuyết hạt 
cơ  bản.  Các  nghiên  cứu  về  sự  đối  xứng  CPT  luôn  là  một  trong  những 
hướng  nghiên  cứu  trọng tâm của các nhà vật lý cả về mặt lý thuyết lẫn thực 
nghiệm.  Ta  sẽ  đi  nghiên  cứu  cụ  thể  đối  xứng  CPT  và  các  áp  dụng  nó  ở 
chương sau. 

8 


CHƯƠNG 2. ĐỊNH LÝ CPT
 
Trong vật  lý hạt, có ba sự đối xứng cơ bản thể hiện tính chất của các 
trường  lượng  tử:  tính  chẵn  lẻ  (Parity  –  P),  liên  hợp  điện  tích  (Charge 
Conjugation  –  C),  và nghịch  đảo  thời  gian  (Time  Reversal  –  T).  Ba  sự  đối 
xứng này đóng vai  trò hết sức quan trọng trong lý thuyết trường hiện đại và 
được thể hiện dưới dạng các toán tử: 
+  Đối  xứng  điện  tích  (C)  để  chỉ  sự  biến  đổi  các  đại  lượng  hoặc  quá 
trình vật lý dưới một phép biến đổi liên hợp điện tích mà ở đó mọi hạt trong 
hệ đều được thay thế bằng phản hạt của nó: 
C Ψ(q) = Ψ(– q) 


(2.2) 

+ Đối xứng  chẵn lẻ  (P)  là  tính chất  đối  xứng  của  các đại lượng hoặc 
quá trình vật lý dưới sự nghịch đảo không gian tựa như đối xứng gương: 
P Ψ(r) = Ψ(– r)   

(2.3) 

+ Đối xứng nghịch đảo thời gian (T) là sự đối xứng của các đại lượng 
hoặc quá trình vật lý dưới sự biến đổi đảo ngược chiều thời gian. 
T Ψ(t) = Ψ(– t)  

(2.4) 

Các lý thuyết vật lý hiện đại đều dựa trên giả thiết rằng mọi hệ vật lý 
đều bảo toàn dưới sự tác dụng kết hợp của cả ba toán tử đó, nó được gọi là 
sự đối xứng CPT. Nói cách khác, định lý CPT đòi hỏi  tất  cả  các  hiện  tượng 
vật lý đều phải đối xứng dưới sự tác dụng của CPT. 
Định  lý  CPT  xuất  hiện  lần  đầu  tiên  trong  công  trình  của  Julian 
Schwinger  năm  1951,  để  chứng  minh  mối  liên  hệ  giữa  spin  và  thống  kê. 
Vào năm 1954, Gerhard Luder và Wolfgang Pauli đưa ra các chứng minh cụ 
thể  cho  lý  thuyết  này. Cùng lúc đó,  John Stewart Bell cũng đã  chứng  minh 
được định lý này độc lập với  Lüder  và  Pauli.  Các  chứng  minh  này  dựa  trên 
sự  bất  biến  Lorentz  và nguyên  lý  tương  tác  cục  bộ  của  trường  lượng  tử. 
Sau  đó,  R.Jost  đã  đưa  ra  chứng minh tổng quát trong lý thuyết trường lượng 

9 



t.
Tastrỡnhbycthvnhlýdiõy.
2.1. Phộp bin i C, P, T
2.1.1. Liờn hp in tớch ( Charge Conjugation C )
DitỏcdngcaphộpbiniChtbinthnhphnhtvngc
li.Trongkhụnggiancỏcvectortrngthỏiphộpbininycúththchin
bitoỏnt U C .Kýhiua(p,), a (p,) ltoỏnthy,sinhht;b(p,),

b (p,)ltoỏnthy,sinhphnht,tacútht:
U C a ( p,...)U C1 C b ( p,...),

(2.1.1.1)

viC lmtthasnoúvi | C |2 1.
Quylutcacỏctoỏnttrngtngngnhsau:
Vitrngvụhngphc:

( x) C ( x) U C1 ( x)U C (C ) * ( x),

(2.1.1.2)

* ( x) *C ( x) * ( x);| (C ) |2 1.

(2.1.1.3)



Vitrngvector,iviintớchl:

U C1 A ( x)U C A ( x)


(2.1.1.4)



Vitrngspinor:

( x ) C ( x) U C1 ( x )U C (C )C T ( x )

(2.1.1.5)

x C x U C1 U C C T C 1

(2.1.1.6)

Trongú:
1 negu ủieọn tsch chaỹn

-1 negu ủieọn tsch leỷ

(C )

2.1.2. Nghch o khụng gian ( Parity P )

DitỏcdngcaphộpbiniPhtvixunglng p chuynthnh

ht cúxung lng - p (spin khụng i). Trong khụng gian cỏcvector trng

10



thái phép biến đổi P có thể thực hiện bởi toán tử unita U P  
Quy luật biến đổi của toán tử trường như sau: 
- Với trường tensor ( giả tensor): 
                 ( x 0 , x)  P ( x 0 , x)  U P1 ( x 0 , x)U P   ( P ) ( x 0 ,  x),  

(2.1.2.1)          

Với  |  P( ) |2  1.  Ở  đây  ta  có  thể  chọn  U P   sao  cho  các  thừa  số   P( )   là 
thực, cụ thể là:  
1
1

 P( )  

trö ôø
ng tensor
 
trö ôø
ng giaû tensor

- Với trường spinor: 

 ( x )   P ( x )  U P1 ( x )U P   ( P) 0 ( x 0 ,  x),             (2.1.2.2)  

 ( x)   P ( x)  U P1 ( x)U P  * ( P) ( x 0 ,  x) 0            
Với  | 

(2.1.2.3)


 

( ) 2
P

|  1 . Do vậy  ( P)  1  hoặc  ( P )  i . Ta chọn 

 ( P)  1  để cho  U P  là unita và hermitic. 
2.1.3. Nghịch đảo thời gian ( Time Reversal – T )
Dưới  tác  dụng  của  phép  biến  đổi  T  xung  lượng  và  spin  đều  đổi  dấu. 
Khác với các phép biến đổi C và P, để cho các hệ thức giao hoán (hoặc phản 
giao hoán) chính tắc giữa các toán tử trường không thay đổi thì trong không 
gian vector trạng thái phép biến đổi T phải được thực hiện bởi toán tử phản 
unita: 

 (t , x)  T (t , x )  [U T1 (t , x)U T ]   (T )  (t , x)         (2.1.3.1)  
  U T        là antiunita.   
U TU T  1  

Nếu   (V 1 )* (V 2 )  1*2  suy ra V là unita, còn 
 

(U T1 )* (U T 2 )  2*1   vì vậy  U T  là antiunita. 

- Đối với trường vector: 

11 

(2.1.3.2)  



  ( x 0 , x)   T ( x 0 , x)   (T )   ( x 0 , x)               

(2.1.3.3)  

- Đối với trường spinor: 
Trong trường hợp này có hai ma trận 

 T ( x 0 , x)  U T1 ( x)U T   (T ) ( x 0 , x)T

(2.1.3.4)  

 T ( x 0 , x )  U T1 ( x)U T   (T ) ( x 0 , x )T

(2.1.3.5)  

Ma trận T: 
T   T 1  

 T ( x 0 , x )  * (T )T 1 ( x 0 , x )  

  1, T T  T ,|  (T ) |2  1,           
2.1.4. Bảng tóm tắt của các luật biến đổi
Các quy luật biến đổi của định lý CPT của các trường vô hướng, trường 
vector và trường spin được tóm tắt từ các kết quả trên, với các pha   P ,  C  và 

T  là tùy ý từ các trường biến đổi và thực từ các trường trung hòa. 
Bảng 2.1: Bảng tóm tắt của các luật biến đổi
Trường vô hướng


Trường vector

Trường spinor

( spin 0) 

( spin 1)

( spin 1/2 ) 


C ( x )C   C  (t , x )  

P ( x) P    P (t ,  x )  

T  ( x )T   T ( t , x )  



CA ( x)C   C A  (t , x )   C ( x)C   C C T (t , x )  


PA ( x) P    P A (t ,  x )   P ( x) P    P 0 (t ,  x )  


TA ( x)T   T A (t , x )   T ( x )T   T A (t , x )  

 0
5
0 1 2 3

Quy ước      và thỏa mãn    i    . Hơn nữa C và A là ma 

trận tác dụng và các thành phần spinor với các tính chất: 
1
T
1
T
5
             C  C        ,      C  C  C ,      A  i C    
Trong biến đổi Dirac C trở thành: 

C  i 0 2              

12 

  (2.1.4.1)             

(2.1.4.2)  


2.2. Định lý CPT
Nếu tự nhiên được mô tả bởi lý thuyết trường định xứ bất biến Lorentz 
trong đó có mối liên hệ spin với thống kê, khi đó sẽ có định lý sâu sắc. Đó là 
định  lý  CPT.  Tác  động  của  lý  thuyết  luôn  luôn  bất biến  dưới  biến  đổi  tổng 
hợp C,P,T:
CPT
W 
W 

Ta không chú ý cách chứng minh chặt chẽ mà chỉ cần đưa ra cách áp 

dụng  cụ  thể.  Định  lý  CPT  được  công  nhận  như  một  tiên  đề  mà  không  cần 
chứng minh. 
2.3. Mô hình chuẩn
2.3.1. Cấu trúc mô hình chuẩn
Mô hình này thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu. Trong mô 
hình chuẩn, tương tác yếu đóng vai trò quan trọng trong quá trình rã các hạt 
meson. Tương tác yếu có hai dòng mang điện  J   và  J  : 
J   J had  J lep
J lep   l   x    1   5      x 
l

(2.3.1.1)

       

 

Với  J   là dòng các tương tác yếu,  các dòng  J lep  là các dòng tương tác 
yếu của các lepton,  J had  là các dòng tương tác yếu của các hadron. Và công 
thức tường minh của  J had  có thể đoán nhận : 

J had
 JV  J A  

  Dạng V(vector) – A(axial) của các dòng với việc chỉ có duy nhất một 
hằng số tương tác cho tất cả các tương tác yếu    

GF  
J J    nên lý thuyết 
2


trên được gọi là lý thuyết tương tác yếu vạn năng V – A. 
Tương tác điện từ có dòng: 

J em   l   x     l   x                    

13 

(2.3.1.2)  


Ta định nghĩa tích yếu và điện tích nhờ nhóm SU(2): 
1 3 lep
1
d xJ 0  x    d 3 x e  x 1   5  e  x 

2
2

T  t   T  t 
T  t  

3
em
3


                     Q  t    d xJ 0  x    d xe  x  e  x 

(2.3.1.3)


        

                 

Giao hoán tử chính tắc có dạng: 

T  t  , T  t    2T 3  t                       

(2.3.1.4)  

Trong đó 
T3  t  

1 3
d x  e  x 1   5  e  e   x 1   5  e  x   ,  T3    Q    (2.3.1.5)  

4

Như vậy  T±  , Q không tạo thành đại số khép kín; vì thế người ta phải 
thêm nhóm U(1) và nhóm SU(2) × U(1) đã được sử dụng. 
Để có dòng V – A của tương tác yếu, ta tách các fermion thành phần 
xoắn trái và xoắn phải. Để đơn giản, ta gọi các hạt xoắn trái là hạt trái và các 
hạt xoắn phải là hạt phải. 

L 

1
1   5 
2


PL 

1
1
1   5   ;        PR  1   5                         (2.3.1.7)  
2
2

R 

  ,          

1
1   5             
2

(2.3.1.6)  

Đặt 

Với PL, PR là hai toán tử chiếu: 
PL PL       PL   ,        PL PR      0
PR PR       PR    ,            PL    PR     I 

                       

  (2.3.1.8)  

Ta có:    L   PR ,        R   PR  


 E   L  E R   R  E L  ,     E  1, i 5 ,       
 0   L  0 L   R  0 R  ,          0    ,    5   

14 

(2.3.1.9)  


Các hạt chia theo ba thế hệ hạt: 
1. e, e , u , d    thế hệ 1. 
2.  ,  , c, s    thế hệ 2. 
3.  ,,  , t , b    thế hệ 3. 
 Vật lý ở mỗi thế hệ là như nhau, vì vậy có thể áp dụng cho các thế hệ 
còn lại. 
Ta xét thế hệ 1. 
  Để  có dòng  mang  điện lepton dạng V-A,  ta sắp xếp  các  hạt  trái  vào 
lưỡng tuyến của nhóm SU(2)L còn các hạt phải trong đơn tuyến 
 eL 
 uL 
     ,           ,     eR ,    uR,    dR            
 dL 
 eL 

(2.3.1.10) 

Chỉ  với  cách  cho  neutrino  vào  lưỡng  tuyến,  ta  mới  hy  vọng  có  dòng 
tương tác  yếu mang điện (2.3.1.1). Xét trường hợp lepton   , e   trước và ta 
ký hiệu: 
 eL 

Le     ,
 eL 

Re =  eR,       

(2.3.1.11)  

Để có sự bảo toàn điện tích thì biểu diễn ma trận của toán tử điện tích 
phải có dạng chéo, tức là 
Q   3  1          

(2.3.1.12)  

Cũng như nhóm SU(2) đồng vị, toán tử điện tích có công thức: 
YW
                                  
Q  I3 
2

(2.3.1.13)  

Từ  (2.3.1.13)  ta  suy  ra  siêu  tích  yếu  của  lưỡng  tuyến  bằng  tổng  điện 
tích của các hạt trong đó. 

 

Công thức trên được áp dụng cho cả các lepton ( trong SU(2) đồng vị, 
công  thức  Gell-Mann-Nishijima  chỉ  áp  dụng  cho  các  hadron),  vì  vậy  ta  kí 
hiệu    (weak). Chỉ có các lepton trái thực hiện lưỡng tuyến của SU(2) nên ta 


15 


ký  hiệu  L  ở  dưới  SU(2)L.  Đây  chính  là  nguyên  nhân  tại  sao  người  ta  viết 
nhóm chuẩn  SU(2)L ×  U (1)Y   . Kết  hợp  (2.3.1.12)  và  (2.3.1.13)  ta thu  được 
W

siêu tích yếu cho lưỡng tuyến trái và đơn tuyến phải 
                                     YLeW  1 ,       YReW  2  

 

Với phép biến đổi trường định xứ, các trường biến đổi như sau: 
3

 1  aa

L  x   L '  x   e ig 

W
R '

R  x   R '  x   e  ig 'Y

 x

 x

W
L '


e  ig 'Y

 x  L x 

 

R  x                 

(2.3.1.14)  

Trong đó     là ma trận Pauli; g,g’ là hằng số tương tác của hai nhóm 
trên. 
Đạo hàm hiệp biến có dạng tổng quát 

D     igA M   ig ' B

Y
            
2

(2.3.1.15)  

Trong  đó  A   và  Bµ  tương  ứng  là  trường  chuẩn  của  nhóm  SU(3)L  và 
U(1)Y, Y là toán tử siêu tích yếu của nhóm U(1)Y. Các hệ số g, g’ không phải 
là các tham số đo được, chúng chỉ xuất hiện trong các phép tính trung gian. 
Các hằng số đo được chính là hằng số cấu trúc tinh tế α và hằng số Fermi GF. 
Số hạng khối lượng có dạng 
m  m( L R   R L )


(2.3.1.16)

chứa các thành phần trái và phải biến đổi không giống nhau. Nên nó không 
bất biến với biến đổi chuẩn (2.3.1.14). Vậy các fermion ban đầu phải có khối 
lượng bằng không. 
Đạo hàm hiệp biến có dạng 
1


'
D L ,R     ig 3 1 t L, R A
 ig ' YL , R B  L , R
2


        (2.3.1.17) 

Trong đó   tαL,R   và YL,R    là  ma trận  biểu diễn  của   L , R   ứng với nhóm 
SU(2)L  và  U (1)Y , g là hằng số tương tác của SU(2)L   và g’ là hằng số tương 
W

16 


tác của nhóm  U (1)Y , A’µα là trường chuẩn của nhóm SU(2)L   , Bµ là trường 
W

chuẩn cảu nhóm  U (1)Y . Các hệ số g, g’ có thể được tự do chọn dấu. Thành 
W




phần trái Le có  t Le 


2

 ,  YLe = -1 nên 

ig '  ig ' 

D Le      A
  B  Le
2
2

              

(2.3.1.18)

 

Đơn tuyến  phải có Re   tαLe = 0,  YLe = -2, 
D Re      ig ' B  Re         

(2.3.1.19)

 
Các trường Le, Re và gauge boson vẫn không khối lượng. Để cho chúng 
có khối lượng, ta phải phá vỡ đối xứng tự phát bằng các hạt Higgs. 

Phần hạt Higgs 
Để cho các hạt có khối lượng cần thiết, ta phải phá vỡ đối xứng tự phát 
qua các trường Higgs 
  ' 
 '   0    2,1
                 
 ' 

(2.3.1.20)

 

Trong (2.3.1.20) ta viết đa tuyến bằng móc đơn có hai số. Số đầu tiên là 
số  thành  phần  trong  đa  tuyến  SU(2),  còn  số  thứ  hai  là  siêu  tích  yếu  của  đa 
tuyến đó. 
Theo (2.3.1.17) ta có 
i '  i


D '      gA
  g ' B  '      iP  ' (2.3.1.21)
2
2


   
   

17 



Trong đó ta ký hiệu 
 ' g '

A3  B A1'   iA2' 


g
g '  g '
g


P  A'   B 
g
'
2
2
2  '

'
 A3'   B 
 A1  iA2
g


 ' g '

    (2.3.1.22) 
A3  B
2W   


g
g
  P CC   P NC
 
g' 
2

 A3'   B 
 2W
g



Trong công thức trên  
W  

1
 A1'   iA2' 
2
                                     
2W
g 0

2  2W       0



PCC 


P

 

NC


g
W   W  
 

2
         
    

(2.3.1.23)

 
(2.3.1.24)

 

0
 ' g '

g  A3  B
g

g ' 
'



A

B      
2
    3
0
g


g

2

0
 ' g ' 

A

Y
B
3
W


g
    '  g '  

 A3  YW B   

0
g



         Ma trận    và    được định nghĩa như sau 
 0 1

0 0

1 0 

 

1 0 

 

Các trường chuẩn  A1'  ,  A2'   không phải là trường vật lý, chỉ tổ hợp của 
nó trong (2.3.1.23) là  W  mới là trường vật lý. 
Ma trận  PCC  là chung cho tất cả các lưỡng tuyến. Chỉ có ma trận chéo 
PNC  là phụ thuộc vào siêu tích yếu của đa tuyến, nên nó sẽ khác nhau cho các 

đa tuyến khác nhau. 

18 


Lagrangian của trường Higgs có dạng 
LHiggs   D '    D '   V  '      

2

2

'
  V  '      '  '    '     

         Trong đó        

(2.3.1.25) 
(2.3.1.26) 

Ta thực hiện khai triển 

 '0  x  
Trong  đó 

1
v
  0           (2.3.1.27) 
v    x   i  x   
2
2

v
  là  trung  bình  chân  không  của  trường   '0  x  .  Và  hệ  số 
2

1
 là cần thiết để cho Lagrangian tự do của    x   là trường vô hướng thực 

2

1
có hệ số đúng bằng   
2
v
 0  '0  x  0   
2

Cực tiểu của thế năng  V ( ' )  cho 
i

 2  2
v             
  

(2.3.1.28)  

Chỉ  các  thành  phần  trung  hòa  có  VEV,    vì  nếu  cho  các  thành  phần 
mang điện có VEV sẽ dẫn đến các hệ quả vật lý sai như sự không bảo toàn 
điện tích. Trường    '0  không phải là trường vật lý,    x   mới là trường vật lý 
đó  là  các  Higgs  boson  mà  người  ta  tìm  m  115GeV .  Lưỡng  tuyến  Higgs 
được viết lại như sau: 
  
  '     
'0 
 

(2.3.1.29) 


1 0
        
2 v 

(2.3.1.30) 

'  
Trong đó    

' 

19 


  
   0    
 

Và     

(2.3.1.31) 

Thành phần động năng của trường Higgs được khai triển như sau 
' 

 D     D         i  
'




'

P       P  ' 

     (2.3.1.32)        
  
 
'  
 i  P      P     P P  '








                              

Trong đó ta đã sử dụng tính Hecmit của các ma trận Pµ.  Ta đi xét số 
hạng cuối cùng trong (2.3.1.32) 

 ' P P '    P P   '  P P    P P  '
                  '  P P  '

   (2.3.1.33)  

Số  hạng  đầu  tiên  trong  (2.3.1.33)  cho  tương  tác  của  hai  boson  chuẩn 
với  hai  trường  Higgs.  Hai  số  hạng  tiếp  theo  cho  tương  tác  của  hai  boson 
chuẩn  với  một  Higgs  boson.  Còn  số  hạng  cuối  cùng  chình  là  số  hạng  khối 

lượng của các trường chuẩn  
Lmass   D  '




 D





 '    ' P P  '


         ' PCC P CC  '   ' PNC P NC  '


g 2 v 2  0 W  0 W   0 




4  W 0  W 0  1 
 gA'3  g ' B 0

v2
  0,1 

 gA'3  g ' B 

8
0

(2.3.1.34) 

 gA'3  g ' B 0
 0


 gA'3  g ' B  1 
0


g 2v 2    v 2
1
W W  ( gA'3  g ' B ) 2  mW2 WW    mZ2 Z  Z   
4
8
2

Trong đó ta đã thu được khối lượng của W Boson 
g 2v 2
g
m 
hay mW 
4
2
2
W


 
Để thu được khối lượng của Z boson ta phải chéo hóa 

20 

(2.3.1.35)  


1 2
v2

mW Z  Z  ( gA'3  g ' B ) 2
2
8
 gg '   A'3 
 g2
v 2 '3
  A , B  
   
'2
8
  gg g   B 



 

 mZ2 0   Z  
1
Z

,
A
     0 0   A 
2
 


(2.3.1.36)  

Ta đã chéo hóa ma trận khối lượng bằng ma trận trực giao 
Z   cosW A'3  sin W B  
A  sin W A'3  cosW B

 
Và thu được khối lượng của Z boson 
g 2v 2
gv
mW
m 
mZ 

2
 hay     
4cos W      
2cos W cosW     
2
Z

(2.3.1.37)  


(2.3.1.38)  

Trường Aµ vẫn không có khối lượng và được đồng nhất với photon. 
Trong các công thức trên ta đã đưa vào góc trộn lẫn 
tan W 

g'
g

(2.3.1.39)  

Góc  W gọi là góc Weinberg hay weak angle. Cũng như hằng số tương 
tác g và g’, tham số thực nghiệm đo được sẽ tỷ lệ với bình phương của hằng 
số tương tác. Đây chính là   sin 2 W . 
Giá trị thực nghiệm như sau: 
sin 2 W  0.231  

Từ (2.3.1.37), ta có 
A'3  cosW Z   sin W A  

B   sin W Z   cosW A  

(2.3.1.40)  

Thay  các  trường  chuẩn  không  vật  lý  A3 , B   bằng  các  trường  vật  lý 
Z  , A   vào biểu thức của  P  ta có 

21 



 Z
2W 
2
1

2
s

2
s
A
W 
W 

g 
P   cW
Z
              
2

cW 
 2W

(2.3.1.41) 

Trong  đó  ta  ký  hiệu:  sin W =  sW,  cos W =  cW,  tan W =  tW.  Số  hạng  thứ 
nhất trong (2.3.1.32) cho ta số hạng động năng: 
1
1
           _            

2
2

(2.3.1.42)  

Ta xét một phần của số hạng thứ hai trong (2.3.1.32) 
 Z
2
 c 1  2sW   2 sW A
gv

 
      ' P   
  0,1  W
2 2
 2W 




2W   
   
Z     0          

  
cW 

gv 
1
  

 0
 2W    Z                
cW
2 2


(2.3.1.43)    

Cuối cùng số hạng thứ hai trong (2.3.1.32) trở thành 
 2 W    W     
igv 

i     P       P     
1

 0
 0*
2 2   Z         
 cW
 

igv    
1
  
 
W    W    Z    
cW
2 2





(2.3.1.44)

  
 
1
Trong đó ta đã sử dụng   0 
  i   . Trong (2.3.1.44) ta đã gặp 
2
phải  các số hạng khó chịu trộn  lẫn  các trường  chuẩn  có  khối lượng  với các 
trường vô hướng. May thay, ta có thế chọn phép chuẩn  R  để làm mất được 
chúng. 
2W
g 0
 

2  2W       0



CC

Sử dụng (2.3.1.24):  P

22 


g
W   W  

 

2
 
