Khóa luận tốt nghiệp
LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự cố gắng của bản thân,
đặc biệt là sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.s Nguyễn
Văn Vạn đã giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu để em có thể
hoàn thành khóa luận.
Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành
nhất tới thầy Nguyễn Văn Vạn, cũng như sự quan tâm, chỉ bảo, góp ý
kiến của thầy giáo, cô giáo trong tổ hình học, các thầy cô giáo trong khoa
Toán đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Do điều kiện có hạn và kinh nghiệm cũng như kiến thức của bản
thân em còn nhiều hạn chế cho nên khóa luận không tránh khỏi những
thiếu sót. Kính mong các thầy cô giáo cùng bạn đọc nhận xét và góp ý
kiến để em rút kinh nghiệm và có thể hoàn thiện, phát triển khóa luận về
sau này.
Một lần nữa, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lời chúc sức
khỏe đến các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Huê

Nguyễn Thị Huê

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìm

hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của
thầy giáo Th.s Nguyễn Văn Vạn cũng như các thầy giáo, cô giáo trong
tổ Hình học của khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Khóa luận này không trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu
trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn
thể bạn đọc để khóa luận ngày càng hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Huê

Nguyễn Thị Huê

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU ............................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài. ............................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. ..................................................... 2
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu. ......................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu. ................................................................... 3
5. Cấu trúc khóa luận.............................................................................. 3
PHẦN 2: NỘI DUNG ........................................................................... 4
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................. 4
1.1. Vectơ trong không gian. .................................................................. 4

1.1.1. Định nghĩa và các phép toán về vectơ trong không gian. .............. 4
1.1.2. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ. ............................................. 6
1.2. Hai đường thẳng vuông góc. ............................................................ 8
1.2.1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian ............................. 8
1.2.2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng .............................................. 9
1.2.3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian ................................. 9
1.2.4. Hai đường thẳng vuông góc ........................................................ 10
1.3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. ........................................ 10
1.3.1. Định nghĩa .................................................................................. 10
1.3.2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .................. 10
1.3.3. Tính chất .................................................................................... 11
1.3.4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường
thẳng và mặt phẳng .............................................................................. 11
1.3.5. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc ................ 12
1.4. Hai mặt phẳng vuông góc. ............................................................. 14
1.4.1. Góc giữa hai mặt phẳng .............................................................. 14

Nguyễn Thị Huê

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
1.4.2. Hai mặt phẳng vuông góc ........................................................... 15
1.4.3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương ............ 16
1.4.5. Hình chóp đều ............................................................................ 17
1.5.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ............................ 17
1.5.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai
mặt phẳng song song ............................................................................ 18
1.5.3. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng

chéo nhau ............................................................................................. 18
CHƯƠNG 2: NHỮNG SAI LẦM VÀ CHỨNG MINH THIẾU, LỖI
CHÍNH TẢ TRONG SÁCH GIÁO KHOA VÀ SÁCH BÀI TẬP
HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG 3 CƠ BẢN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC... 20
2.1. Những sai lầm và chứng minh thiếu, lỗi chính tả trong sách giáo
khoa hình học 11 chương 3 cơ bản và cách khắc phục.......................... 20
2.1.1. Lỗi sai 1...................................................................................... 20
2.1.2. Lỗi sai 2...................................................................................... 21
2.1.3. Lỗi sai 3...................................................................................... 22
2.1.4. Lỗi sai 4...................................................................................... 23
2.1.5. Lỗi sai 5...................................................................................... 24
2.1.6. Lỗi sai 6...................................................................................... 26
2.1.7. Lỗi sai 7...................................................................................... 27
2.1. Những sai lầm và chứng minh thiếu, lỗi chính tả trong sách bài tập
hình học 11 chương 3 cơ bản và cách khắc phục. ................................. 28
2.1.1. Lỗi sai 1:..................................................................................... 28
KẾT LUẬN ........................................................................................ 29
TÀI LỆU THAM KHẢO ................................................................... 30

Nguyễn Thị Huê

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Huê

Lớp K35A – CN Toán



Khóa luận tốt nghiệp
PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài.
Khi mới ra đời, hình học là một môn khoa học thực nghiệm nảy
sinh từ việc đo đạc, tính toán các đại lượng về khoảng cách giữa các địa
điểm, diện tích các đám đất, thể tích các thùng chứa,...Thời cổ đại, người
vùng Babilon và Ai Cập đã tích lũy được nhiều kiến thức hình học khá
phong phú, chẳng hạn công thức Pytago, định lý Talet, công thức tính
thể tích hình chóp cụt...Dần dần hình học trở thành một khoa học suy
diễn và nó cũng chính là một bộ phận quan trọng cấu thành lên toán học.
Sách giáo khoa và bài tập nói chung và đặc biệt là sách giáo khoa
và bài tập hình học nói riêng là một loại sách đặc thù cung cấp kiến thức
mang tính nền tảng cho người học, có sự ảnh hưởng rất lớn đối với nhận
thức của mỗi con người. Do đó nội dung và cách diễn đạt trong đó phải
đạt đến độ chuẩn mực, phù hợp với khả năng tiếp nhận theo đặc điểm
của từng lứa tuổi học sinh. Vì vậy nó phải được in ấn một cách nghiêm
túc, thông tin chuẩn mực. Sai sót một chữ, một từ hoặc một lỗi nào đó
cũng khiến cuốn sách trở thành kém chất lượng.
Với chính sách khuyến khích sự phản biện mang tính xây dựng
của Nhà nước, đã có rất nhiều bài viết trên các báo, tạp chí phê bình
những sai sót trong sách giáo khoa cần phải đính chính. Với sự phản
biện của xã hội, qua nhiều thông tin trên báo chí, chúng ta biết rằng sách
giáo khoa được sử dụng trong trường học ở nước ta có nhiều sai sót và
bất cập.
Mặc dù đã được in ấn, tái bản, chỉnh sửa nhiều lần, nhưng bộ sách
hình học vẫn chưa tránh khỏi nhũng sai sót, những kiến thức đưa vào vẫn

Nguyễn Thị Huê


1

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
còn có lỗi, chưa chuẩn mực hoàn toàn. Vì vậy, học sinh có thể tiếp thu
những kiến thức chưa đúng hoặc còn thiếu.
Xuất phát từ sự say mê của bản thân với mong muốn có thể đóng
góp một phần nào đó vào việc hoàn thiện một chương trình chuẩn cho bộ
môn toán, đặc biệt là hình học theo đúng nghĩa khoa học, cùng với sự
giúp đỡ của thầy giáo Th.S Nguyễn Văn Vạn em đã mạnh dạn chọn đề
tài "Tìm các sai lầm và chứng minh thiếu, lỗi chính tả ở sách giáo
khoa hình học lớp 11 chương 3 cơ bản và sách bài tập" làm đề tài
nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Thông qua việc tìm các sai lầm và chứng minh thiếu, lỗi chính tả
và tìm cách khắc phục những lỗi đó sẽ góp phần giúp bộ sách hình học
11 cơ bản được hoàn thiện hơn. Từ đó mang đến cho học sinh một cuốn
sách hoàn chỉnh nhất.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
3.1. Đối tượng nghiên cứu: Chương 3 sách giáo khoa và sách bài
tập hình học 11 cơ bản.
3.2. Phạm vi nghiên cứu: Do khuôn khổ thời gian có hạn, đề tài
chỉ đề cập đến chương 3 của cuốn sách hình học 11 cơ bản, không thể
tìm hiểu toàn bộ về bộ môn toán. Do đó, phạm vi nghiên cứu của đề tài
vẫn ở mức độ hẹp.
Vì vậy, đề tài "Tìm các sai lầm và chứng minh thiếu, lỗi chính
tả ở sách giáo khoa hình học lớp 11 chương 3 cơ bản và sách bài tập"

đã hoàn thành được một phần nội dung trong cuốn sách
Để hoàn thành tốt bài khóa luận này, em xin chân thành cảm ơn
các thầy cô giáo trong tổ hình học, đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Vạn đã
tận tình giúp đỡ, đóng góp ý kiến quý báu cho bài khóa luận.

Nguyễn Thị Huê

2

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắc chắn bài khóa
luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong muốn các thầy cô,
các bạn sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để bài khóa luận hoàn thiện
hơn và thực sự sẽ là đề tài tham khảo bổ ích cho mỗi giáo viên, sinh viên
và học sinh.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Đọc sách.
Tổng kết các kiến thức đã học.
Tham khảo ý kiến của thầy cô, bạn bè.
5. Cấu trúc khóa luận.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, tài liệu tham khảo, khóa
luận gồm phần nội dung chính là:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
1.1.Vectơ trong không gian.
1.2. Hai đường thẳng vuông góc.
1.3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
1.4. Hai mặt phẳng vuông góc.

1.5. Khoảng cách.
Chương 2 : Những sai lầm và chứng minh thiếu, lỗi chính tả trong
sách giáo khoa và sách bài tập hình học 11 chương 3 cơ bản và cách
khắc phục.
2.1.Những sai lầm và chứng minh thiếu, lỗi chính tả trong
sách giáo khoa hình học 11 chương 3 cơ bản và cách khắc phục.
2.2. .Những sai lầm và chứng minh thiếu, lỗi chính tả trong
sách bài tập hình học 11 chương 3 cơ bản và cách khắc phục.

Nguyễn Thị Huê

3

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Vectơ trong không gian.
1.1.1. Định nghĩa và các phép toán về vectơ trong không gian.
1.1.1.1. Định nghĩa

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB
 
chỉ vectơ có điểm đầu A , điểm cuối B . Vectơ còn được kí hiệu là a , b ,
 
x , y , ...

Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của

vectơ đó. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song
song hoặc trùng nhau. Ngược lại hai vectơ có giá cắt nhau được goi là
hai vectơ không cùng phương. Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng
hướng hay ngược hướng.
Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm
đầu và điểm cuối của vectơ đó. Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ







đơn vị. Ta kí hiệu độ dài của vectơ là AB . Như vậy AB  AB



Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ
 
dài và cùng hướng. Khi đó, ta kí hiệu a  b
“Vectơ – không” là một vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối
 
trùng nhau, nghĩa là với mọi điểm A tùy ý ta có AA  0 và khi đó mọi


đường thẳng đi qua điểm A đều chứa vectơ AA . Do đó ta quy ước mọi

vectơ 0 đều bằng nhau, có độ dài bằng 0 và cùng phương, cùng hướng
 
với mọi vectơ. Do đó, ta viết AA  BB với mọi điểm A, B tùy ý.

1.1.1.2 .Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian
 Định nghĩa

Nguyễn Thị Huê

4

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp



Cho hai vectơ a và b . Trong không gian lấy một điểm A tùy ý,


   

a
AB

a
,
BC

b
vẽ
. Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ
và


    
b , đồng thời được kí hiệu AC  AB  BC  a  b.
 


 
Vectơ b là vectơ đối của a nếu b  a và a , b ngược hướng


nhau, kí hiệu b  a .
 Các quy tắc cần nhớ khi tính toán
- Quy tắc ba điểm

A

a

Với ba điểm A, B, C bất kì ta có:
  
AB  BC  AC
  
BC  AC  AB ( hình vẽ).

B

- Quy tắc hình bình hành


b


 
ab

C

B

Với hình bình hành ABCD ta có:
  
AC  AB  AD .

C
 
ab

b


a

A


b

- Quy tắc hình hộp
Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D '
với AB , CD , AA ' là ba cạnh có
chung đỉnh A và AC’ là đường

chéo (hình vẽ), ta có:
   
AC '  AB  AD  AA '

Nguyễn Thị Huê

D

C

a
   B
abc

A

c

D'

A'

5

D

C'

B'


Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
1.1.1.3. Phép nhân vectơ với một số
 

Định nghĩa: Cho số k  0 và vectơ a  0 . Tích của vectơ a với


số k là một vectơ, kí hiệu là k a , cùng hướng với a nếu k  0 , ngược


hướng với a nếu k  0 và có độ dài bằng k . a .

1.1.2. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ.
1.1.2.1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian
  

Cho ba vectơ a , b , c đều khác 0 trong không gian. Từ một điểm
     
O bất kì ta vẽ OA  a , OB  b , OC  c . Khi đó xảy ra hai trường hợp:
 Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm
  
trong một mặt phẳng, ta nói ba vectơ a , b , c không đồng
phẳng (hình 1).
 Trường hợp các đường thẳng OA , OB , OC cùng nằm
  
trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ a , b , c đồng
phẳng (hình 2).



A
a 

O

O

bB


a

c


c

A
 B

b
C

C
Hình 2

Hình 1


Nguyễn Thị Huê

6

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
1.1.2.2 .Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng



Định lí 1. Trong không gian, cho hai vectơ không cùng phương a và b

  
và một vectơ c . Khi đó, ba vectơ a , b , c đồng phẳng khi và chỉ khi có



cặp số m , n sao cho c  ma  nb . Ngoài ra cặp số m , n là duy nhất.

a

ma

A

O
B


C


nb


b


c

1.1.2.3.Phân tích (biểu thị) một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng
Định lí 2. Trong không gian, cho ba vectơ không đồng phẳng
  

a , b, c . Khi đó, với mọi vectơ x ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p




sao cho x  ma  nb  pc. Ngoài ra bộ ba số m, n, p là duy nhất.

D
C


x


c


a O


b

B

A

Nguyễn Thị Huê

D’

7

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
1.2. Hai đường thẳng vuông góc.
1.2.1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
1.2.1.1. Góc giữa hai vectơ trong không gian



Định nghĩa: Trong không gian. Cho u và v là hai vectơ khác

vectơ – không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho
 

AB  u . Khi đó, ta gọi góc BAC ( 0  BAC  1800 ) là góc giữa hai
 


vectơ u và v trong không gian, kí hiệu là u , v .
0

 


u

B
A

C

v

1.2.1.2 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian



Định nghĩa: Trong không gian, cho hai vectơ u và v đều khác

vectơ – không.





Tích vô hướng của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu là u.v , được xác
định bởi công thức:

  
 
u.v  u . v .cos(u, v)
 
 

Trường hợp u  0 hoặc v  0 ta quy ước u.v  0.
1.2.1.3. Một số ứng dụng của tích vô hướng


 Tính độ dài của đoạn thẳng AB : AB  AB  AB 2 .

Nguyễn Thị Huê

8

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp



 
 Xác định góc giữa hai vectơ u và v bằng cos(u , v ) theo công
thức:



 
u.v
cos(u , v ) =   .

u.v

1.2.2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
1.2.2.1. Định nghĩa:

Vectơ a khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của

đường thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc trùng với đường
thẳng d


a
d
1.2.2.2. Nhận xét:



 Nếu a là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ k.a với
k  0 cũng là vectơ chỉ phương của d.
 Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu

biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương a của nó.
 Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai
đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.


1.2.3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai
đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a
và b .

a
b

a'
b'
O

Nguyễn Thị Huê

9

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
1.2.4. Hai đường thẳng vuông góc
1.2.4.1. Định nghĩa:
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa
chúng bằng 900 . Ta kí hiệu a  b .
1.2.4.2. Nhận xét:


 Nếu u và v lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng



a

b

u
.v  0 .
a và b thì :

 Nếu a // b và c vuông góc với một trong hai đường thẳng đó thì c
vuông góc với đường thẳng còn lại.
 Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo
nhau.
1.3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
1.3.1. Định nghĩa
d

Đường thẳng d được
gọi là vuông góc với mặt
a

phẳng   nếu d vuông


góc với mọi đường thẳng
a nằm trong mặt phẳng  

Khi đó ta còn nói   vuông góc với d, hoặc d vuông góc với   và kí
hiệu là d    .
1.3.2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1.3.2.1. Định lí:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
1.3.2.2. Hệ quả:

Nguyễn Thị Huê

10

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác
thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.
1.3.3. Tính chất
1.3.3.1. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông
góc với một đường thẳng cho trước .
d
O

.



1.3.3.2. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và
vuông góc với một mặt phẳng cho trước
O




1.3.4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của
đường thẳng và mặt phẳng
1.3.4.1. Tính chất 1:
 Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với
đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia
 Hai đường thẳng phân

a

b

biệt cùng vuông góc với
một mặt phẳng thì song


song với nhau

Nguyễn Thị Huê

11

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
1.3.4.2. Tính chất 2:
 Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với
mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia .
 Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì
song song với nhau .

a





1.3.4.3. Tính chất 3
 Cho đường thẳng a và mặt phẳng   song song với nhau.
Đường thẳng nào vuông góc với   thì cũng vuông góc với
a.
 Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa
đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác
thì chúng song song với nhau .
b

a



1.3.5. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc
1.3.5.1. Phép chiếu vuông góc
Nguyễn Thị Huê

12

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Định nghĩa: Cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng   .

Phép chiếu song song theo phương của  lên mặt phẳng   được gọi
là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng   .
A
B

A'



B'



1.3.5.2. Định lí ba đường vuông góc:
Phát biểu: Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng   và b là
đường thẳng không thuộc   đồng thời không vuông góc với   . Gọi

b ' là hình chiếu vuông góc của b trên   . Khi đó a vuông góc với b
khi và chỉ khi a vuông góc với b ' .
1.3.5.3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa: Cho đường thẳng d và mặt phẳng   .
Trường hợp đường thẳng d vuông góc



với mặt phẳng   thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d
và mặt phẳng   bằng 900 .


Trường hợp đường thẳng d không

vuông góc với mặt phẳng   thì góc giữa d và hình chiếu

d ' của nó trên   gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt
phẳng   .
Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 900 .
Nguyễn Thị Huê

13

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1.4. Hai mặt phẳng vuông góc.
1.4.1. Góc giữa hai mặt phẳng
1.4.1.1. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc vói hai mặt phẳng đó .
Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc
giữa hai mặt phẳng đó bằng 00 .
m
n





1.4.1.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
Giả sử hai mặt phẳng   và    cắt nhau theo giao tuyến c. Từ

một điểm I bất kì trên giao tuyến c ta dựng trong
vuông góc với c và dựng trong

 

đường thẳng a

   đường thẳng b vuông góc với c. Khi

đó, góc giữa hai mặt phẳng   và    là góc giữa hai đường thẳng a và
b.


c
a

I



b

Nguyễn Thị Huê

14

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp


1.4.1.3. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng   có diện tích S và H’ là
hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng    . Khi đó, diện tích S '
của H’ được tính theo công thức :
S '  Scos

với  là góc giữa   và    .
1.4.2. Hai mặt phẳng vuông góc
1.4.2.1. Định nghĩa
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt
phẳng đó là góc vuông.
Nếu hai mặt phẳng

 

và

 

vuông góc với nhau ta kí hiệu

      .1.4.2.2. Định lí
Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với
nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
kia.
Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường
thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì
vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả 2: Cho hai mặt phẳng   và    vuông góc với nhau.

Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng   ta dựng một đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng    thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng   .
Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
đó.

Nguyễn Thị Huê

15

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1.4.3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
1.4.3.1. Định nghĩa
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với
các mặt đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ
đứng.
Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông.
Hình lập phương là hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và
các mặt bên đều là hình vuông.

Hình lăng trụ đứng tam giác

Hình lập phương

Hình hộp chữ nhật


Nguyễn Thị Huê

16

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1.4.3.2. Nhận xét
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc với mặt
phẳng đáy và là những hình chữ nhật.
1.4.5. Hình chóp đều
Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có
đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác
này .
S

Ví dụ: Hình vẽ

B

C
O

A

D

Nhận xét: - Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân

bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
- Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các
góc bằng nhau.
1.5. Khoảng cách
1.5.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
O

Định nghĩa: Cho điểm O và mặt phẳng   .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên
mặt phẳng   . Khi đó khoảng cách
M

giữa hai điểm O và H được gọi là
)

khoảng cách từ điểm O đến

Nguyễn Thị Huê

H

17

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
mặt phẳng   và được kí hiệu là d  O ,    .
1.5.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa
hai mặt phẳng song song

1.5.2.1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng   .
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng   là khoảng cách từ
một điểm bất kì của a đến mặt phẳng   , kí hiệu là d  a ,    .
1.5.2.2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng
cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia .

M
)

M’
)

1.5.3. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau
M

1.5.3.1. Định nghĩa
 Đường thẳng  cắt hai đường

a

thẳng chéo nhau a, b và cùng
vuông góc với mỗi đường
thẳng ấy được gọi là đường

b
N


Nguyễn Thị Huê

18

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
vuông góc chung của a và b.
 Nếu đường vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo nhau a,
b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b .
1.5.3.2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau
Cho trước hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Ta gọi    là mặt phẳng chứa b và song song với a, a’ là hình chiếu
vuông góc của a trên mặt phẳng    .



M

a

a’
N
b
)

Vì a


 

nên a a ' . Do đó a’ và b cắt nhau tại một điểm. Gọi

điểm này là N. Gọi   là mặt phẳng chứa a và a’,

nằm trong  

nên cắt đường thẳng a tại M và cắt đường thẳng b tại N, đồng thời 
vuông góc với cả a và b. Do đó  là đường vuông góc chung của a và b.
+ Chú ý: Khoảng các giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng
cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó
và chứa đường thẳng còn lại.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng
cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó .

Nguyễn Thị Huê

19

Lớp K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 2: NHỮNG SAI LẦM VÀ CHỨNG MINH THIẾU,
LỖI CHÍNH TẢ TRONG SÁCH GIÁO KHOA VÀ SÁCH BÀI TẬP
HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG 3 CƠ BẢN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC


2.1. Những sai lầm và chứng minh thiếu, lỗi chính tả trong sách giáo
khoa hình học 11 chương 3 cơ bản và cách khắc phục.
2.1.1. Lỗi sai 1: Trang 88 – phần 2, định nghĩa: “Trong không gian
ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song
với một mặt phẳng”.

b


a

a

Sai lầm và thiếu:


- Phải thêm sau


c

O


b


c

song song từ “ hoặc thuộc”

một mặt phẳng.


Bởi vì: Trong vectơ a và mặt phẳng (P) đã biết ta lấy 1 điểm A bất kì
 
trên (P). Khi đó, tồn tại điểm B sao cho AB  a . Nên không thể có giá
của một vectơ tự do song song với một mặt phẳng (hình vẽ).

a

B
P)

Nguyễn Thị Huê

A

20

Lớp K35A – CN Toán