Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên và mối liên hệ giữa chúng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (250.15 KB, 36 trang )
ĐẠI HỌC ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
TRẦN THỊ NGỌC ANH
SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHÚNG
TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên nghành: Toán ứng dụng
Người hướng dẫn khoa học
T.s: TRẦN MINH TƯỚC
Hà Nội - 2013
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, với sự cố gắng
của bản thân cùng với sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô
giáo và các bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa luân này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô
giáo trong khoa Toán, các thầy giáo trong tổ Ứng dụng, các bạn sinh viên đã
tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian làm khóa luận. Đặc biệt, em xin
gửi lời cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo Trần Minh Tước, thầy giáo
Nguyễn Trung Dũng-thầy đã giúp đỡ tận tình trong quá trình chuẩn bị và
thực hiện khóa luận này.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa
do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên em không tránh khỏi
những thiếu sót. Em kính mong nhận đươc sự đóng góp ý kiến của các thầy
cô giáo và các bạn sinh viên, để khóa luận của em dược hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Trần Thị Ngọc Anh
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu do tôi thực hiện.
Các số liệu và kết luận trong luận văn không trùng với các công
bố của các tác giả khác .
Tôi xin chịu trách nhiệm về khó luận của mình.
Hà nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Trần Thị Ngọc Anh
2
Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Chương I. Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . .
6
I.1. Một số kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
I.1.1. Không gian L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.2. Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.3. Bất đẳng thức Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.4. Bất đẳng thức Cr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
7
I.2. Hội tụ hầu chắc chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
I.3. Hội tụ theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
I.4. Hội tụ trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
I.4.1. Tính chất khả tích đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.2. Hội tụ trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
18
I.5. Hội tụ theo phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Chương II. Mối liên hệ giữa các dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
II.1. Mối liên hệ giữa hội tụ hầu chắc chắn và hôi tụ theo xác suất . .
21
II.2. Mối quan hệ giữa hội tụ theo xác suất và hội tụ theo phân phối
25
II.3. Mối liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo xác suất .
30
II.4. Mối liên hệ giữa hội tụ theo trung bình và hội tụ hầu chắc chắn
33
3
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4
MỞ ĐẦU
Trong hoạt động thực tiễn của mình, con người bắt buộc phải tiếp xúc với
các biến cố ngẫu nhiên không thể dự đoán trước được. Một lĩnh vực của toán
học có tên là : "Lí thuyết xác suất" đã ra đời nhằm nghiên cứu các quy luật
và các quy tắc tính toán các hiện tượng ngẫu nhiên.
Ngày nay Lí thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học lớn, chiếm
vị trí quan trọng cả về lí thuyết lẫn ứng dụng. Một mặt Lí thuyết xác suất là
một ngành toán học có tầm lí thuyết ở trình độ cao, mặt khác nó được ứng
dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật và cả khoa học xã hội và
nhân văn. Đặc biệt Lí thuyết xác suất gắn liền với khoa học thống kê, một
khoa học về các phương pháp thu nhập, tổ chức và phân tích dữ liệu, thông
tin định lượng.
Khóa luận này sẽ trình bày một phần trong Lí thuyết xác suất : "Sự hội
tụ của dãy các biến ngẫu nhiên và mối liên hệ giữa chúng".
Khóa luận đươc trình bày theo bố cục:
Chương 1 : Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên.
Trong chương này đã trình bày các mục sau: Hội tụ hầu chắc chắn, Hội
tụ theo xác suất, Hội tụ theo trung bình, Hội tụ theo phân phối , các định
nghĩa, định lí, các ví dụ về các dạng hội tụ.
Chương 2 : Mối liên hệ giữa các dạng hội tụ.
Trong chương thứ 2 đã trình bày mối liên hệ giữa các dạng hội tụ, các
định lí, các ví dụ và các phản ví dụ về các mối liên hệ.
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Minh Tước, thầy giáo Nguyễn
Trung Dũng dã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ em trong quá trình
viết khóa luận.
Hà nội, tháng 05 năm 2013
5
Chương I
Sự hội tụ của dãy các biến
ngẫu nhiên
I.1.
Một số kiến thức liên quan
I.1.1.
Không gian L p
Với p > 0, kí hiệu L p = L p (Ω, F , P) là tợp hợp các b.n.n X (xác định
trên (Ω, F , P)) sao cho E | X |P < ∞. Khi X ∈ L p , p > 0 ta kí hiệu:
1
X
P p
p = (E | X | )
Nó được gọi là chuẩn bậc p của X.
I.1.2.
Bất đẳng thức Chebyshev
Giả sử X ∈ L0 và g : R −→ R+ là hàm Borel không âm và không giảm
trên [0, +∞).Khi đó nếu g(X) > 0 thì
P{ω : X(ω) ≥ ε} ≤
6
Eg(X)
g(X)
I.1.3.
Bất đẳng thức Markov
E | X |p
, ∀p > 0, ∀ε > 0
εp
Bất đẳng thức Markov là hệ quả của bất đẳng thức Chebyshev.
P{ω :| X(ω) |≥ ε} ≤
I.1.4.
Bất đẳng thức Cr
Nếu X, A ∈ Lr với r > 0 thì :
E | X + A |r ≤ Cr E | X |r +Cr E | A |r
trong đó :
1
2r−1
Cr =
I.2.
với 0 < r ≤ 1
với r ≥ 1
Hội tụ hầu chắc chắn
Ta luôn giả thiết (Ω, A , P) là không gian xác suất cơ bản, với P là đọ đo
đủ.
Giả sử {Xn , n 1} là dãy đại lượng ngẫu nhiên , xác định trên cùng
một không gian xác suất (Ω, A , P).
Ta kí hiệu {Xn →} là tập những ω sao cho đối với nó, dãy {Xn (ω)} hội tụ.
Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, ta có thể viết:
{Xn →} =
∞
∞
∞
∞
∞
1
{| Xm − Xn |< }
k
k=1 n=1 m=n+1
hay
{Xn →} =
1
{sup | Xn+v − Xn |< }
k
k=1 n=1 v 1
Vì vậy, {Xn →} ∈ A và do đó có thể nói về xác suất của tập hội tụ (hay
không hội tụ) của dãy những đại lượng ngẫu nhiên.
Định nghĩa I.2.1. Dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Xn } được gọi là hội tụ
hầu chắc chắn (hay với xác suất 1) đến đại lượng ngẫu nhiên X (và viết
h.c.c
Xn −→ X) nếu
P{ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = 1
n→∞
7
Giới hạn hầu chắc chắn (nếu tồn tại ) là duy nhất theo định nghĩa : nếu
h.c.c
Xn −→ X và Xn −→ η thì P(X = η) = 1
h.c.c
Ví dụ I.1. Cho Ω = (0, 1], A là σ đại số Borel của (0, 1], P là độ đo
Lebesgue thông thường của (0, 1] và với mỗi k ∈ N ta xác định k đại lượng
ngẫu nhiên
(k)
(k)
(k)
X1 , X2 , ..., Xk
trong đó
(k)
X j = 1, j = 1, k, ∀k ∈ N
Dãy số trên là dãy số dừng, có xác suất bằng 1, nên dãy số trên hội tụ hầu
chắc chắn.
Mệnh đề I.2.1. Để dãy đại lượng ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} hội tụ hầu chắc
chắn, cần và đủ là:
lim P{sup | Xm − Xn |≥ ε} = 0, ∀ε > 0
n→∞
m≥n
Chứng minh:
Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, Xn hội tụ hầu chắc chắn khi
và chỉ khi nó cơ bản với xác suất 1.
Tức là biến cố sau đây có xác suất bằng 0
∞
{Xn
}=
∞
1
{sup | Xm − Xn |≥ }
k
k=1 n=1 m≥n
Xác suất của biến cố ở vế phải đẳng thức trên bằng 0 khi và chỉ khi:
∞
1
sup | Xm − Xn |≥ ) = 0, ∀k
k
n=1 m≥n
P(
Hiển nhiên, điều này xảy ra khi và chỉ khi:
lim P{sup | Xm − Xn |≥ ε} = 0, ∀ε > 0
n→∞
m≥n
Mệnh đề I.2.2. Các điều kiện sau đây tương đương với nhau:
h.c.c
(1)Xn −→ X
8
∞
[ω :| Xk (ω) − X(ω) |≥ 0} = 0, ∀ε > 0
(2) lim P{
n→∞
k=n
(3) lim P{ω : sup | Xk (ω) − X(ω) |≥ ε} = 0, ∀ε > 0
n→∞
k≥n
Chứng minh:
• Ta sẽ chứng minh (1)⇔ (2).
h.c.c
Giả sử Xn −→ X.
⇒ P{ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = 1
n→∞
Vì
lim Xn (ω) = X(ω)
n→∞
⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n ≥ n0 :| Xn (ω) − X(ω) |< ε
Do đó
P{ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = 1
n→∞
⇒ P{ω :| Xn (ω) − X(ω) |< ε, ∀n ≥ n0 } = 1, ∀ε > 0
⇒ P{ω :| Xn (ω) − X(ω) ≥ ε, ∀n ≥ n0 } = 0, ∀ε > 0
Chọn n0 = k
⇒ P{ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε, ∀n ≥ k} = 0, ∀ε > 0
∞
⇒ 0 ≤ P{
[ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε]} = 0, ∀ε > 0
k=n
∞
⇒ lim P{
n→∞
[ω :| Xn (ω) − X(ω) |] ≥ ε} = 0, ∀ε > 0
k=n
• Ta sẽ chứng minh (2) ⇔ (3)
Giả sử :
∞
[ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε]} = 0, ∀ε > 0
lim P{
n→∞
k=n
∞
⇒ P{
[ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε]} = 0, ∀ε > 0
k=n
9
⇒ ∃k ≥ n
⇒ P{ω :| Xk (ω) − X(ω) |≥ ε} = 0, ∀ε > 0
⇒ P{ω : sup | Xk (ω) − X(ω) |≥ ε} = 0, ∀ε > 0
k≥n
⇒ lim P{ω : sup | Xk (ω) − X(ω) |≥ ε} = 0, ∀ε > 0
n→∞
k≥n
• Ta sẽ chứng minh (3) ⇔ (1)
Giả sử :
lim P(ω : sup | Xk (ω) − X(ω) |≥ ε) = 0, ∀ε > 0
n→∞
k≥n
Vì
sup | Xk (ω) − X(ω) | ≥ ε
k≥n
⇒| Xk (ω) − X(ω) |≥ ε, ∀k ≥ n
⇒| Xk (ω) − X(ω) |≥ ε, k = 1, 2, 3...
Chọn n=k
Do đó từ ...
⇒ lim P(ω : sup | Xk (ω) − X(ω) |≥ ε) = 0, ∀ε > 0
n→∞
k≥n
⇒ lim P(ω :| Xk (ω) − X(ω) |≥ ε) = 0, k = 1, 2, 3...
n→∞
⇒ lim P(ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε) = 0, ∀ε > 0
n→∞
⇒ lim P(ω :| Xn (ω) − X(ω) |< ε) = 1, ∀ε > 0
n→∞
⇒ P(ω : lim Xn (ω) = X(ω)) = 1
n→∞
h.c.c
Xn −→ X
Mệnh đề I.2.3. (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ hầu chắc chắn)
Dãy {Xn } hội tụ hầu chắc chắn khi và chỉ khi dãy {Xn } cơ bản theo nghĩa
hầu chắc chắn
10
Chứng minh:
h.c.c
•[⇒] Giả sử Xn −→ X
Khi đó, do:
sup | Xk − Xl |≤ sup | Xk − X | + sup | Xl − X |
k,l≥n
k≥n
l≥n
và giả thiết suy ra dãy {Xn } cơ bản hầu chắc chắn.
•[⇐] Nếu {Xn } cơ bản hầu chắc chắn thì với xác suất 1, các dãy {Xn (ω)}
cơ bản trong R, do đó hội tụ tới X(ω) nào đó
Đặt
X(ω) tại ω mà giới hạn tồn tại
X(ω) =
0
tại ω mà giới hạn không tồn tại
h.c.c
Khi đó Xn −→ X
Bổ đề I.2.1. Borel-Cantelli
Giả sử (An ) là dãy biến cố bất kì
a,
∞
∑ P(An ) < ∞
Nếu
thìP(lim sup An ) = 0
n
n=1
b,
∞
Nếu
∑ P(An ) = ∞
và(An )độc lập thì
P(lim sup An ) = 1
n
n=1
∞
∞
lim sup An =
ở đây
n
Am
n=1 m=n
Chứng minh:
a,
∞
Vì
(
Am )n≥1
là dãy giảm nên
m=n
∞
Am ) ≤ lim
P(lim sup An ) = lim P(
n
n
∞
m=n
11
∑ P(Am ) = 0
n m=n
b, Nếu dãy (An ) độc lập thì (A¯ n ) cũng độc lập. Do đó
∞
∞
A¯ m ) =
P(
∏ P(A¯ m )
m=n
m=n
Do đó ta có
∞
A¯ m ) =
0 ≤ P(
m=n
∞
∞
m=n
m=n
∏ P(A¯ m ) =
∞
≤
∏ (1 − P(Am ))
∞
∏ e−P(Am ) = e− ∑m=n P(Am ) = e−∞ = 0
m=n
(Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức 1 − x ≤ e−x , 0 ≤ x ≤ 1)
∞
Từ đó
∞
A¯ m ) = 0
P(
hay
P(
m=n
và như vậy
Am ) = 1
m=n
P(lim sup An ) = 1
n
Mệnh đề I.2.4. Giả sử εn là dãy số dương và εn ↓ 0
Khi đó nếu
∞
∑ P(| Xn − X |> εn ) < ∞
n=1
h.c.c
thì Xn −→ X
Chứng minh:
Đặt An = (| Xn − X |> εn )
Từ giả thiết và Bổ đề Borel-Cantelli
P(lim sup An ) = 0
n
Nếu
ω∈
/ lim sup An
thì tồn tại
N(ω)
saocho
n
| Xn (ω) − X(ω) |≤ εn , n ≥ N(ω)
Do đó
Xn (ω) −→ X(ω)
với
ω∈
/ lim sup An
n
12
Mệnh đề I.2.5.
εn > o, n > 1
Giả sử
∑ εn < ∞
và
n
Khi đó nếu
∑ P(| Xn+1 − Xn |> εn ) < ∞
n
thì dãy {Xn } hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nào đó, hữu hạn
hầu chắc chắn.
Chứng minh:
Đặt An = (| Xn+1 − Xn |> εn )
P(lim sup An ) = 0
Từ giả thiết và Bổ đề Borel-Cantelli
n
Nếu
ω∈
/ lim sup An
n
thì tồn tại N(ω) sao cho ω ∈
/ An với n ≥ N(ω) hay:
| Xn+1 − Xn |≤ εn , n ≥ N(ω)
Vậy, khi
ω∈
/ lim sup An
∑ | Xn+1 (ω) − Xn (ω) |
thì chuỗi số
n
n
có các số hạng bị trội bởi các số hạng tương ứng của chuỗi hội tụ
∑ εn
n
bắt đầu từ số hạng N(ω)
Do đó tồn tại giới hạn hữu hạn
∞
X(ω) = lim Xn = X1 (ω) + ∑ (Xn+1 (ω) − Xn (ω))
n
n=1
với mỗi
ω∈
/ lim sup An
n
13
I.3.
Hội tụ theo xác suất
Định nghĩa I.3.1. Ta nói rằng, dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Xn } hội tụ
P
theo xác suất đến đại lượng ngẫu nhiên X ( và viết Xn −→ X ) nếu:
lim P(ω :| Xn (ω) − X(ω) |≥ ε) = 0, ∀ε > 0
n→∞
Từ nhận xét :
ε
ε
{| X − η |≥ ε} ⊂ {| Xn − X |≥ } ∪ {| Xn − η |≥ }
2
2
Suy ra rằng, giới hạn theo xác suất (nếu tồn tại) là duy nhất theo định nghĩa:
nếu
P
P
Xn −→ X, Xn −→ η
thì
P(X = η) = 1
Ví dụ I.2. Nếu trung bình của n biến ngẫu nhiên Yi , i = 1, ..., n độc lập và
phân phối đồng đều được cho bởi:
1 n
Xn = ∑ Yi
n i=1
Thì khi n tiến tới vô cùng, Xn sẽ hội tụ theo xác suất về một chung bình chung
µ của các biến ngẫu nhiên Yi .
Ví dụ I.3. Cho Ω = (0, 1], A là σ đại số Borel của (0, 1], P là độ đo
Lebesgue thông thường của (0, 1] và với mỗi k ∈ N ta xác định k đại lượng
ngẫu nhiên
(k)
(k)
X1 , X2k , ..., Xk
trong đó:
(k)
Xj
=
1
0
j
nếu j−1
k <ω ≤ k
trong trường hợp ngược lại
Sau khi đánh số lại, ta sẽ nhận được các dãy đại lượng ngẫu nhiên hội tụ
theo xác suất đến 0
Định lí I.3.1. Dãy {Xn } hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi :
lim P{ω :| Xn (ω) − Xm (ω) |≥ ε, } = 0, ∀ε > 0, (1)
m,n→∞
14
Chứng minh:
• Điều kiện cần suy ra từ nhận xét:
ε
ε
{| Xn − Xm |≥ ε} ⊂ {| Xn − X |≥ } ∪ {| Xm − X |≥ }
2
2
• Để chứng minh điều kiện đủ, ta giả sử có (1) và chọn dãy {Xk } sao cho
εk ↓ 0 và
∑ εk < ∞
k
Tiếp theo chọn n(k) sao cho : P{| Xn − Xm |≥ εk } < εk , ∀n, m ≥ n(k)
Ta đặt nk = max{nk−1 + 1, n(k)}, n1 = n(1)
và
Ak = {| Xnk+1 − Xnk |≥ Xk }
∞
Bn =
Ak
k=n
∞
C=
Bn
n=1
Khi đó ta có P(C)=0 vì
∞
P(C) = lim P(Bn ) ≤ lim
n→∞
n→∞
∞
lim ∑ εk = 0
∑ P(Ak ) ≤ n→∞
k=n
k=n
Mặt khác, ∀ω ∈
/ C, ∃Nω sao cho ω ∈
/ BNω , tức là ω ∈ Ack , ∀k ≥ Nω
Do đó
k+v−1
| Xnk+v (ω) − Xnk (ω) ≤
∑
| Xn j+1 − Xn j |
j=k
k+v−1
≤
∑
ε j ↓ 0, (k, v → ∞)
j=k
Vậy ∀ω ∈
/ C, {Xnk (ω)} là dãy (số) Cauchy. Từ đó suy ra tồn tại đại lượng
h.c.c
ngẫu nhiên X(ω) sao cho Xnk −→ X
Cuối cùng, từ nhận xét :
ε
ε
{| Xn − X |≥ ε} ⊂ {| Xn − Xnk ≥ } ∪ {| Xnk − X |≥ }
2
2
15
P
suy ra Xn −→ X
* Hệ quả :
P
P
Giả sử {Xn }, {An } là dãy các đại lượng ngẫu nhiên và Xn −→ X, An −→ A
Khi đó :
P
Xn ± An −→ X ± A
P
Xn An −→ XA
Xn P X
−→
An
A
nếu mẫu số khác không
I.4.
Hội tụ trung bình
I.4.1.
Tính chất khả tích đều
Định nghĩa I.4.1. Giả sử {Xi , i ∈ I} là họ các đại lượng ngẫu nhiên có kì
vọng hữu hạn, tức là {Xi , i ∈ I} ⊂ L1
Nói rằng họ này khả tích đều nếu :
lim sup
a→+∞ i∈I
{|Xi |≥a}
| Xi | dP = 0
Ví dụ I.4. 1, Nếu tồn tại X ∈ L1 sao cho | Xi |≤ X hầu chắc chắn ∀i ∈ I,
tức là :
P{ω :| Xi (ω) |≤ X(ω)} = 1, ∀i ∈ I
thì {Xi , i ∈ I} khả tích đều.
2, Nếu tồn tại hằng số c < +∞ sao cho | Xi |≤ c hầu chắc chắn, ∀i ∈ I thì
{Xi , i ∈ I} khả tích đều.
Mệnh đề I.4.1. Để họ {Xi , i ∈ I} ⊂ L1 khả tích đều, cần và đủ là :
1, sup E | Xi |< +∞
I
2, ∀ε > 0, ∃δε > 0 sao cho ∀A ∈ A , P(A) < δε
ta có
sup E | Xi | 1A = sup | Xi | dP < ε
I
I
16
A
(Điều kiện 2 có nghĩa là : họ các độ đo µi (A) = E | Xi | 1A liên tục tuyệt đối
đều đối với P)
Chứng minh :
• Điều kiện cần. Ta có :
sup
I
A
| Xi | dP = sup(
I
| Xi | dP +
A{|Xi |
≤ aP(A) + sup
I
{|Xi ≥a}
A{|Xi |
| Xi | dP)
| Xi | dP
Vì vậy, nếu {Xi , i ∈ I} khả tích đều, thì ∀ε > 0, ∃aε > 0
sao cho :
ε
sup
| Xi | dP <
2
{|Xi |≥aε }
I
Do đó với δ =
ε
2aε
ta có :
sup E | Xi |< aε +
I
và
sup
I
A
| Xi | dP < aε
ε
< +∞
2
ε
ε
+ = ε, ∀A ∈ A , P(A) < δε
2aε 2
• Điều kiện đủ : Theo bất đẳng thức Chebyshev và điều kiện 1 ta có :
1
lim sup P{| Xi |≥ a} ≤ lim sup E | Xi |= 0
a→+∞ I
a→+∞ I a
Do đó ∀δ > 0, ∃aδ > 0 sao cho ∀a ≥ aδ
sup P{| Xi |≥ a} < δ
I
Từ đó và điều kiện 2, ta suy ra điều phải chứng minh
Định lí I.4.1. Giả sử {Xn } ⊂ L1 . Điều kiện cần và đủ để dãy này khả tích
đều là : tồn tại hàm G(t),t ≥ 0, dương, tăng và lồi sao cho :
G(t)
=0
t→+∞ t
lim
sup EG(| Xn |) < +∞
n
17
Đặc biệt, nếu 1 < p < +∞ và
sup E | Xn | p < ∞
n
thì {Xn } khả tích đều.
I.4.2.
Hội tụ trung bình
Định nghĩa I.4.2. Giả sử {Xn } ⊂ L p , X ∈ L p và p ∈ (0, +∞)
Lp
Nói rằng, dãy {Xn } hội tụ trung bình cấp p đến X và viết Xn −→ X nếu :
lim E | Xn − X | p = 0
n→+∞
Từ các bất đẳng thức :
P{| Xn − X |≥ ε} ≤
1
E | Xn − X | p , ∀p > 0
p
ε
1
1
(E | Xn − X |r ) r ≤ (E | Xn − X | p ) p , ∀r ∈ (0, p)
Lp
L
P
r
Suy ra rằng, nếu Xn −→ X thì Xn −→ X và Xn −→
X, ∀r ∈ (0, p)
Ví dụ I.5. Giả sử Zn là độc lập ngẫu nhiên rời rạc được xác định như sau:
1
1
P{Zn = 1} = , P{Zn = 2} = 1 −
n
n
Ta thấy: E | Zn − 2 |2 = (1 − 2)2 1n + (2 − 2)2 (1 − 1n ) = n1 → 0 khi n → ∞
Vậy Zn hội tụ tới hằng số 2 theo nghĩa bình phương trung bình.
Ví dụ I.6. Cho X là một biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên [0, 1], nghĩa
là X ∼ U[0, 1] và dãy các biến ngẫu nhiên {X}∞
n=1 được định nghĩa là:
Xn (ω) =
0
nếu 0 ≤ X(ω) ≤
X(ω) n12 < X(ω) ≤ 1
với n = 1, 2, ... thì:
∞
∞
1
∑ P(| Xn − X |≥ ε) ≤ ∑ n2 < ∞
n=1
n=1
18
1
n2
với ε > 0
h.c.c
Do đó Xn −→ X
Chú ý rằng
1
n2
2
E(| Xn − X | ) =
x2 dx =
0
1
→0
3n6
khi n → ∞
L2
Do đó Xn −→
X
Hội tụ trung bình cấp 1 và cấp 2 là những trường hợp quan trọng trong
nhiều vấn đề của lý thuyết xác suất.
Mệnh đề I.4.2. Để {Xn } hội tụ trung bình cấp 1 đến X, cần và đủ là :
lim sup |
n→∞ A∈A
A
Xn dP −
XdP |= 0
A
Chứng minh :
Từ các bất đẳng thức :
sup |
A∈A
E | Xn − X |≤|
A
Xn dP −
{Xn ≤X}
A
XdP |≤ E | Xn − X |
(Xn − X)dP | + |
≤ sup |
A∈A
A
{Xn >X}
(Xn − X)dP |
(Xn − X)dP |
suy ra điều phải chứng minh.
Định lí I.4.2. (Tiêu chuẩn Cauchy về hội tụ trung bình)
Giả sử {Xn } ∈ L p , p ∈ (0, +∞). Điều kiện cần và đủ để {Xn } hội tụ trung
bình cấp p đến X ∈ L p là :
lim E | Xn − Xm | p = 0, (3)
m,n→∞
Chứng minh :
• Điều kiện cần suy ra từ bất đẳng thức Cr
• Giả sử có (3), tức là ∀ε > 0, ∃Nε sao cho ∀m, n ≥ Nε :
E | Xn − Xm | p <
19
ε
2C p
trong đó
1
2 p−1
Cp =
0
Do đó
sup
n
A
| Xn | p dP ≤ sup C p (
n
≤ Cp
A
A
| XNε | p dP +
| XNε | p dP +
A
| Xn − XNε | p dP)
ε
2
Từ đó suy ra {| Xn | p } khả tích đều
Mặt khác, từ (3) suy ra
lim P{| Xn − Xm | p ≥ ε} = 0, ∀ε > 0
m,n→∞
P
Do đó ∃X ∈ L0 sao cho Xn −→ X
Lp
Vậy X ∈ L p và Xn −→ X
I.5.
Hội tụ theo phân phối
Định nghĩa I.5.1. Nếu dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Xn } hội tụ theo phân
phối đến X ∈ L0 , nếu Fn (x) −→ F(x) tại các điểm liên tục của hàm F, kí
hiệu Xn =⇒ X.
20
Chương II
Mối liên hệ giữa các dạng
hội tụ
Mối liên hệ giữa các dạng hội tụ được thể hiện ở giản đồ dưới đây:
Hình II.1:
II.1. Mối liên hệ giữa hội tụ hầu chắc chắn và
hôi tụ theo xác suất
h.c.c
P
Định lí II.1.1. a, Nếu Xn −→ X thì Xn −→ X
P
h.c.c
b, Nếu Xn −→ X thì tồn tại dãy con {Xnk } sao cho Xnk −→ X
21
Chứng minh :
• Ý (a) là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề I.2.1
P
• Để chứng minh (b), ta giả sử Xn −→ 0 và chọn 2 dãy số dương {εn }, {δn },
sao cho εn ↓ 0 và ∑ δn < ∞
P
Vì Xn −→ 0 nên ta chọn được dãy {nk } thỏa mãn điều kiện P{| Xnk |≥ εk } ≤
δk
Đặt :
∞
∞
{| Xnk |≥ εk }, Q =
Rj =
Rj
j=1
k= j
Rõ ràng R j ↓ Q. Do đó
∞
P(Q) = lim P(R j ) ≤ lim
j→∞
j→∞
∑ δk = 0
k= j
tức là P(Q) = 0
Bây giờ ta sẽ chỉ ra
lim Xnk (ω) = 0, ∀ω ∈
/Q
n→∞
Thật vậy, giả sử ω ∈
/ Q. Khi đó tồn tại j0 sao cho ω ∈
/ R j0 , tức là
| Xnk (ω) |< εk , ∀k ≥ j0
Vì εk ↓ 0 nên suy ra
lim Xnk (ω) = 0, ∀ω ∈
/Q
n→∞
P
h.c.c
• Lưu ý : Xn −→ X thì không suy ra được Xn −→ X
Ví dụ II.1. Cho {Xn } là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối
P(Xn = 0) = 1 − n1 và P(Xn = 1) =
1
n
với mọi 0 < ε < 1 ta có
P(| Xn |> ε) = P(Xn = 1) =
1
n
→ 0 khi n → ∞
P
Như vậy Xn −→ 0. Mặt khác :
∞
lim P(
k→∞
∞
∞
{| Xn |≥ ε}) = 1 − lim P(
k→
n=k
22
n=k
{| Xn |< ε})
∞
= 1 − lim ∏ P(| Xn |< ε)
k→∞ n=k
∞
1
= 1 − lim ∏ (1 − ) = 1
k→∞ n=k
n
Điều đó có nghĩa dãy {Xn } không hội tụ hầu chắc chắn.
Mệnh đề II.1.1. Nếu dãy {Xn } cơ bản theo xác suất thì có thể rút ra được
một dãy con {Xnk } hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nào đó.
Chứng minh :
Ta chọn dãy 1 = n0 < n1 < n2 < ... < nk < ... bằng quy nạp như sau :
Đặt n0 = 1. Giả sử chọn được nk . Khi đó tìm được nn+1 > nk sao cho :
P[| Xnk+1 − Xnk |> 2−k ] < 2−k , k = 1, 2, 3, ...
Do đó có thể thực hiên được do dãy {Xn } cơ bản theo xác suất
Rõ ràng
∑ P[| Xnk+1 − Xnk | 2−k ] < ∑ 2−k < ∞
k
k
Theo Mệnh đề I.2.5, dãy {Xnk } hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X
nào đó.
Định lí II.1.2. Nếu dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n > 1} là đơn điệu tăng (giảm)
P
h.c.c
và Xn −→ X khi n → ∞ thì Xn −→ X khi n → ∞
Chứng minh :
P
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết X ≡ 0, Xn > 0, Xn ↓ và Xn −→ X
khi n → ∞
Giả sử {Xn } không hội tụ hầu chắc chắn đến X.
Điều đó có nghĩa là tồn tại ε > 0 và tập A với P(A) > δ > 0 sao cho
sup Xk > ε
k≥n
với ω ∈ A, ∀n
Vì {Xn } là dãy giảm khi n tăng nên
sup Xk = Xn
k≥n
Vậy P[Xn > ε] > P(A) > δ > 0, ∀n
P
Điều này mâu thuẫn với giả thiết Xn −→ X
Định lí đươc chứng minh.
23
h.c.c
Định lí II.1.3. Xn −→ X khi và chỉ khi
P
sup | Xn − X |−→ 0
k≥n
khi n → ∞
Nghĩa là với ε > 0 cho trước thì
P(sup | Xk − X |> ε) −→ 0
k≥n
khi n → ∞
Chứng minh :
h.c.c
Có Xn −→ X khi và chỉ khi :
P
sup | Xk − X |−→ 0
k≥n
khi n → ∞
Hơn nữa, dãy
sup | Xk − X |
k≥n
là đơn điệu giảm và tiến dần đến 0 theo xác suất khi n → ∞
Theo Định lí II.1.2, ta nhận được
h.c.c
sup | Xk − X |−→ 0
k≥n
khi n → ∞
Định lí được chứng minh.
Định lí II.1.4. Nếu
∞
∑ P[ω :| Xk − X |> ε] < ∞, ∀ε > 0
k=1
h.c.c
thì Xn −→ X khi n → ∞
Chứng minh :
Ta có :
P[
∞
[ω | Xk − X |≥ ε]] ≤
∑ P[ω :| Xk − X |> ε]
k=1
k≥n
24
