Khãa luËn tèt nghiÖp

LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, tôi đã nhận
được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo trong tổ phương pháp và
các bạn sinh viên trong khoa toán. Qua đây tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc tới
các thầy cô giáo trong tổ phương pháp, đặc biệt là cô Dương Thị Hà,
người đã định hướng cho tôi chọn đề tài, dẫn dắt chỉ bảo tận tình chu
đáo, giúp tôi nhanh chóng hoàn thành khóa luận của mình đúng thời
gian.
Xin cám ơn tất cả các thầy cô giáo và các bạn sinh viên!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Vân

SV: NguyÔn ThÞ V©n

1

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của tôi đã hoàn thành nhờ sự quan tâm, giúp đỡ của các
thầy cô giáo trong khoa toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình cô
Dương Thị Hà và sự nỗ lực của bản thân tôi. Trong quá trình nghiên
cứu và thực hiện khóa luận, tôi có tìm hiểu một số tài liệu tham của các

tác giả khác có liên quan đến đề tài.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả của việc học tập, nghiên
cứu và sự nỗ lực của bản thân tôi, không trùng lặp với kết quả của các
tác giả khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Vân

SV: NguyÔn ThÞ V©n

2

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

MỤC LỤC
Lời cảm ơn ......................................................................................... 1
Lời cam đoan .................................................................................... 2
A. MỞ ĐẦU
1.

Lí do chọn đề tài ......................................................................... 5

2.

Mục đích nghiên cứu .................................................................. 6


3.

Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................. 6

4.

Phương pháp nghiên cứu ............................................................ 6

5.

Cấu trúc khóa luận ...................................................................... 6

B. NỘI DUNG
Chương 1: Nhị thức Niu-tơn và ứng dụng ...................................... 7
1.1. Nhị thức Niu-tơn ........................................................................ 7
1.1.1. Tổ hợp ..................................................................................... 7
1.1.2. Công thức nhị thức Niu-tơn ...................................................... 7
1.1.3. Tính chất của nhị thức Niu-tơn ................................................ 7
1.1.4. Tam giác Pascal và hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn ............... 8
1.1.5. Một số khai triển hay sử dụng .................................................. 9
1.2. Ứng dụng của nhị thức Niu-tơn .................................................. 9
1.2.1. Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-tơn ........................................ 9
1.2.2. Dạng 2: Bài toán xác định hệ số hoặc số hạng trong một
khai triển ........................................................................................... 11
1.2.3. Dạng 3: Biết trước giá trị của hệ số hay số hạng nào đó
trong khai triển .Tìm giá trị của ẩn tham gia ...................................... 16
1.2.4. Dạng 4: Chứng minh đẳng thức chứa Cnk hay tính tổng tổ
hợp .................................................................................................... 17
1.2.5. Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức chứa Cnk .......................... 22


SV: NguyÔn ThÞ V©n

3

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
1.3. Một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng nhị thức Niu-tơn ....... 23
TiÓu kÕt ................................................................................................ 29
Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập liên quan đến ứng
dụng của nhị thức Niu-tơn trong chương trình môn Toán ở
phổ thông. ......................................................................................... 30
2.1. Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-tơn ........................................... 30
2.2. Dạng 2: Bài toán xác định hệ số hoặc số hạng trong một khai
triển .................................................................................................... 31
2.3. Dạng 3: Biết trước giá trị của hệ số hay số hạng nào đó trong
khai triển.Tìm giá trị của ẩn tham gia ............................................... 41
2.4. Dạng 4: Chứng minh đẳng thức chứa

hay tính tổng tổ hợp ..... 45

2.5. Dạng 5: Chứng minh một bất đẳng thức chứa

....................... 58

Tiểu kết ............................................................................................ 61
C. KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


SV: NguyÔn ThÞ V©n

4

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

A. MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Tổ hợp là một lĩnh vực quan trọng của toán học rời rạc. Hiện nay
lí thuyết tổ hợp được ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực khoa học
khác nhau như lí thuyết số, hình học hữu hạn, biểu diễn nhóm, thống kê
xác suất, quy hoạch thực nghiệm, …. Từ khi máy tính phát triển và thịnh
hành, tổ hợp đã trở thành một lĩnh vực toán học ứng dụng với sự phát
triển mạnh mẽ. Nó là chiếc cầu giữa các bài toán cần giải quyết với công
cụ tính toán là máy tính.
Trong chương trình môn toán trung học phổ thông, tổ hợp, đặc
biệt là nhị thức Niu-tơn trong đại số và giải tích lớp 11 là một mảng
kiến thức rất cơ bản, quan trọng, không thể thiếu và cũng tương đối khó.
Học sinh sẽ được cung cấp những hiểu biết ban đầu về tổ hợp, nhị thức
Niu-tơn và tam giác Pascal, thấy được số tổ hợp (hệ số tổ hợp) có liên
quan chặt chẽ với việc khai triển lũy thừa của một nhị thức và mối quan
hệ giữa các hệ số trong nhị thức Niu-tơn với các số nằm trên một hàng
của tam giác Pascal. Song song với nó, học sinh bước đầu được làm
quen với các dạng bài tập ứng dụng của nhị thức Niu-tơn như khai triển
nhị thức; xác định hệ số hay một hạng tử cuả một khai triển; chứng minh

đẳng thức chứa

hay tính tổng tổ hợp…. Thực tế cho thấy việc dạy

cho học sinh các kiến thức về nhị thức Niu-tơn cũng như việc áp dụng
trực tiếp công thức này không có gì khó khăn. Tuy nhiên, ta nhận thấy
đây là vấn đề mà học sinh tỏ ra rất quan tâm bởi tính đa dạng các bài
toán trong ứng dụng nhị thức Niu-tơn và sự khó định hướng khi giải các
bài tập thuộc mảng kiến thức này. Với lí do đó, tôi mạnh dạn đi vào
nghiên cứu đề tài: ”Nhị thức Niu-tơn và ứng dụng” nhằm củng cố

SV: NguyÔn ThÞ V©n

5

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
kiến thức, rèn luyện kĩ năng ứng dụng nhị thức Niu-tơn vào giải toán,
thông qua đó nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán nói riêng và
dạy học nói chung trong nhà trường phổ thông.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các ứng dụng của nhị thức Niu-tơn trong chương trình
môn Toán ở nhà trường phổ thông. Trên cơ sở đó xây dựng hệ thống bài
tập minh họa cho các ứng dụng đó nhằm góp phần nâng cao chất lượng
dạy học môn Toán trong nhà trường phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các ứng dụng của nhị thức Niu-tơn trong chương trình
môn toán ở nhà trường phổ thông và xây dựng hệ thống bài tập minh họa

cho các ứng dụng của nhị thức Niu-tơn.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
5. Cấu trúc khóa luận
A. Mở đầu
B. Nội dung
Chương 1: Nhị thức Niu-tơn và ứng dụng
Chương 2: Xây dụng hệ thống bài tập liên quan đến ứng dụng của nhị
thức Niu-tơn trong chương trình môn Toán ở phổ thông
C. Kết luận

SV: NguyÔn ThÞ V©n

6

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

B. NỘI DUNG
Chương 1: NHỊ THỨC NIU-TƠN VÀ ỨNG DỤNG

1.1. Nhị thức Niu-tơn
1.1.1. Tổ hợp
Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm
chập

n


phần tử khác nhau. Một tổ hợp

của n phần tử ( 0  k  n ; k , n  ) là một tập hợp gồm

khác nhau lấy ra từ

phần tử và

phần tử

phần tử này sắp xếp tùy ý.

Công thức: Số tổ hợp chập k của n phần tử: Cnk 

n!
k ! n  k !

Tính chất:

1) Cnk  Cnn  k ;
2) Cnk  Cnk 1  Cnk11.
1.1.2. Công thức nhị thức Niu-tơn
a, b  R; n 
n

a  b 




:

n

 Cnk a nk b k  Cn0a n  Cn1a n1b  ...  Cnnb n .
k 0
n

 a  b n    1k Cnk a nk b k  Cn0a n  Cn1a n1b  ...   1n Cnnbn .
k 0

Quy uớc: a 0  1, (a  0)
Công thức nhị thức Niu-tơn gọi tắt là nhị thức Niu-tơn
1.1.3. Tính chất của nhị thức Niu-tơn
1) Số các số hạng của công thức là n  1;
2) Tổng bậc của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng bậc của nhị thức:

(n  k )  k  n ;

SV: NguyÔn ThÞ V©n

7

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
3) Số hạng tổng quát của nhị thức là Tk 1  Cnk a n  k b k . Đây là số hạng
n


thứ k  1 trong khai triển  a  b  ;
4) Các hệ số của nhị thức cách đều hai số hạng đầu, số hạng cuối thì
bằng nhau Cnk  Cnn  k ;
5) 2 n  Cn0  Cn1  ...  Cnn ;
n

6) 0  Cn0  Cn1  ...   1 Cnn .

1.1.4. Tam giác Pascal và hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn

n 1
n2

1
1

1
2

1

n3
n4

1
1

3
4


3
6

n5
........

1
5
10
10
5
1
...............................................................

1
4

1

Nhận xét:
1) Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm n  1 số
Cn0 ; Cn1 ; Cn2 ; ...; Cnn .

2) Trong tam giác này, bắt đầu từ hàng thứ 2, mỗi số ở hàng thứ n từ cột
thứ 2 đến cột thứ n  1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột
và cột trước nó. Sở dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi:
Ckm 1  Ckm  Ckm1;

3) Ta có thể vận dụng hệ số khai triển nhị thức trong tam giác Pascal để
khai triển nhị thức Niu-tơn với lũy thừa đủ nhỏ.

n

Ví dụ minh họa: Xét khai triển  a  b  , n  .

SV: NguyÔn ThÞ V©n

8

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
n  1:
n  2:
n  3:
n  4:

 a  b 1  1.a  1.b;
 a  b 2  1.a 2  2.ab  1.b2 ;
 a  b 3  1.a3  3.a 2b  3.ab2  b3;
 a  b 4  1.a 4  4.a3b  6.a 2b 2  4.ab3  1.b4

...

1.1.5. Một số khai triển hay sử dụng
1) 2 n  Cn0  Cn1  ...  Cnn ;
n

2) 0  Cn0  Cn1  ...   1 Cnn ;
n


3)  x  1  Cn0 x n  Cn1 x n 1  ...  Cnn ;
n

n

4) 1  x   Cn0  Cn1 x  ...   1 x nCnn ;
n

n

5)  x  1  Cn0 x n  Cn1 x n 1  ...   1 Cnn .

1.2. Ứng dụng của nhị thức Niu-tơn
1.2.1. Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-tơn
Phương pháp giải: Sử dụng trực tiếp công thức nhị thức Niu-tơn.
Lưu ý: Khi khai triển nhị thức (a  b)n , ta cần nắm được các kĩ năng sau:


Số hạng tổng quát trong khai triển là Cnk a n  k b k , 0  k  n;



Từ đó ta có các số hạng trong khai triển là :
+ k  0 , ta có số hạng thứ nhất là Cn0a nb0  a n ;
+ k  1 , ta có số hạng thứ hai là Cn1 a n 1b1;
……………………………………………….
+ k  n , ta có số hạng thứ n  1 (số hạng cuối) là Cnn a 0bn  bn .
n


Khi khai triển nhị thức  a  b  , ta cần chú ý quy tắc đan dấu, số hạng
k

thứ k sẽ có dấu là  1 , 0  k  n .
Ví dụ 1. (Đại số và giải tích 11 - Cơ bản). Khai triển biểu thức  2 x  3 

SV: NguyÔn ThÞ V©n

9

Líp: K35D - To¸n

4


Khãa luËn tèt nghiÖp
Giải
Áp dụng nhị thức Niu-tơn ta có:

 2 x  34  C40  2 x 4  C41  2 x 3 .3  C42  2 x 2 .32  C43.2 x.33  C44 .34
 16 x 4  96 x3  216 x2  216 x  81.
Nhận xét: Cách 2: Ta cũng có thể sử dụng hệ số khai triển nhị thức
trong tam giác Pascal để khai triển như sau:
Từ tam giác Pascal ta thấy hệ số khai triển lũy thừa 4 là:

1

4

6


4

1

 2 x  34  1. 2 x 4  4. 2 x 3 .3  6. 2 x 2 .32  4.2 x.33  1.34
 16 x 4  96 x3  216 x 2  216 x  81.

Đối với các bài toán khai triển nhị thức Niu-tơn với a, b có số mũ hữu tỉ
hoặc số thực, ta vẫn áp dụng nhị thức Niu-tơn tương tự.
Lưu ý: +) ∀

> 0,

∈

∗

ta có: √ =

+) ∀

≠ 0,

∈

∗

ta có: x


n



1
xn

Mở rộng: Khai triển lũy thừa có nhiều số hạng
 Nếu khai triển lũy thừa chứa 3 số hạng thì ta đưa về cách khai triển
lũy thừa chứa hai số hạng, tức là :

 x  y  z

n

n

k

  Cnk x n  k  y  z  ;
k 0

k

Sau đó xem  y  z  như một nhị thức và tiếp tục khai triển:
n

n

k


k 0

i 0

 x  y  z n   Cnk x n  k  y  z k   Cnk x n  k  Cki y k i z i
k 0
n k

   Cnk Cki x n  k y k i z i .
k 0 i 0

SV: NguyÔn ThÞ V©n

10

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
 Tương tự, nếu khai triển lũy thừa chứa 4 số hạng ta đưa về tích của hai
biểu thức rồi khai triển:
n

 x  y  z  t n   Cnk x n k  y  z  t k  ....
k 0
n k

i


    Cnk Cki Ci j x n  k y k  i z i  j t j
k 0 i 0 j 0

Nhận xét: Cách 2: Cũng có thể đưa về tích hai biểu thức mà mỗi biểu
thức là một nhị thức Niu-tơn.
n

A   Cnk  x  y 

nk

 z  t k .

k 0

Tổng quát: Đối với khai triển lũy thừa chứa n số hạng ta cũng đưa lũy
thừa về tích các nhị thức rồi khai triển.Tuy nhiên các dạng mở rộng với

n  5 , ít gặp ở chương trình phổ thông.

 Tùy theo yêu cầu của bài toán mà ta có những cách khai triển
thích hợp sao cho bài toán trở nên đơn giản dễ giải. Đây là dạng toán
cơ sở của các dạng toán ứng dụng nhị thức Niu-tơn. Các dạng toán
tiếp theo đều phải sử dụng đến phép khai triển nhị thức.
1.2.2. Dạng 2: Bài toán xác định hệ số hoặc số hạng trong một khai
triển
Cơ sở để khai thác bài toán này chính là số hạng tổng quát của  a  b 

n


là: Tk 1  Cnk a n  k b k .
Phương pháp giải chung:
Bước 1: Viết khai triển nhị thức đã cho theo ⅀;
Bước 2: Rút gọn số mũ của ẩn x và y;
Bước 3: Cho số mũ của ẩn trong khai triển bằng số với số mũ của ẩn mà
đề bài yêu cầu được một phương trình ẩn k. Giải phương trình này tìm

SV: NguyÔn ThÞ V©n

11

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
k. Sau đó thế vào hệ số (hoặc số hạng) tổng quát để tìm được hệ số hoặc
số hạng cụ thể.
a. Bài toán xác định hệ số trong một khai triển
Các bài toán thường gặp:
+) Tìm hệ số của số hạng chứa x k nào đó trong khai triển;
+) Tìm hệ số của số hạng thứ k trong khai triển;
+) Tìm hệ số của số hạng không chứa x hay không phụ thuộc vào x ;
+) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển.
25

Ví dụ 2: Tìm hệ số của x12 y13 trong khai triển  x  y  .
Giải
Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có:  x  y 

25


25

k 25  k k
  C25
x
y
k 0

25  k  12
 k  13.
Suy ra số hạng chứa x12 y13 ứng với 
k

13

Vậy hệ số cần tìm là C13
25 .
Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối D năm 2004).
Tìm hệ số cuả số hạng không chứa x trong khai triển:
7

1 

f ( x)   3 x  4  .
x


Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển:

k

uk  C7k

 x
3

7k

7 7k

 1 
k 3 12
với 0  k  7, k 

  C7 x
4
 x 

Ứng với số hạng không chứa x ta có:

7 7k

 0  k  4.
3 12

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: C74  35.

SV: NguyÔn ThÞ V©n


12

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
Mở rộng: Bài toán tìm hệ số chứa

trong tổng n số hạng đầu tiên

của cấp số nhân.
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un ) với công bội q  1 là:
1  qn
Sn  u1  u2  ...  un  u1
1 q

Xét: S ( x )  1  bx 

m 1

 1  bx 

m2

 ...  1  bx 

m n

như là tổng n số


hạng đầu tiên của cấp số nhân với công bội q  1  bx  1 và
u1  (1  bx)m 1 .

Khi đó: S ( x)  1  bx 

1  bx n  1  bx m1  1  bx m n 1
1  1  bx 
bx

m 1 1 

Vậy hệ số của số hạng chứa xk trong ( ) là tích của
hạng chứa

trong khai triển 1  bx 

Ví dụ 4: Tìm hệ số của số hạng chứa
4

m  n 1

1
và hệ số của số
b

 1  bx 

m 1

.


trong khai triển sau:
5

15

f ( x )  1  x   1  x   ...  1  x  .

Giải
Ta có f ( x) là tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với u1  1  x 

4

và q  1  x ,  x  0
12
1  qn
(1  x)16  (1  x ) 4
4 1  (1  x )
 f ( x )  u1
 (1  x )

1 q
1  (1  x )
x

Do đó hệ số của số hạng chứa
16

trong khai triển f ( x) chính là hệ số của
16


16

k k
x .
trong khai triển 1  x  : 1  x    C16
k 0
5
Vậy C16
là hệ số của x 4 trong khai triển f ( x).

SV: NguyÔn ThÞ V©n

13

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn
Phương pháp giải:
Xét khai triển:

 a  bx 

n

n

  Cnk a n  k b k x k

k 0

Đặt uk  Cnk a n  k b k , 0  k  n

uk  uk 1
uk là hệ số lớn nhất trong khai triển ⇔ 
uk  uk 1
Giải bất phương trình ẩn k ta tìm được k  k0 .
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là u k  C nk a n  k b k .
0

0

0

0

Ví dụ 5: (Đề thi đại học học viện kĩ thuật quân sự năm 2000).
12

Cho khai triển: 1  2 x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a12 x12 . Tìm max  ak  .
Giải
12

12

k k k
.2 x
Ta có: 1  2 x    C12
k 0

k k
Đặt ak  C12
2

ak  ak 1
ak là hệ số lớn nhất trong khai triển  
ak  ak 1
k k
k 1 k 1
C12
2  C12
2

k k
k 1 k 1
C12 2  C12 2

12!
12!

2.

 k !12  k !  k  1!13  k !


12!
12!

2
 k !12  k !

 k  1!11  k !

SV: NguyÔn ThÞ V©n

14

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
3k  25
23
25


k 
3
3
3k  23
 k  8.
8 8
Vậy a8  C12
2 là hệ số lớn nhất trong khai triển.

b. Bài toán tìm số hạng trong một khai triển
Các bài toán thường gặp:
+) Tìm số hạng thứ k trong khai triển.
+) Tìm số hạng chứa x k trong khai triển.
+) Tìm số hạng không không chứa x hay không phụ thuộc vào x .
+) Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển.

13

2
1
Ví dụ 6: Tìm số hạng thứ 10 trong khai triển:  x   .
5
5
Giải
13

2
1 13 k 13 k k
1
Ta có:  x    13  C13 x
2
5
5 k 0
5

Số hạng thứ 10 của khai triển ứng với k  1  10  k  9.
9 4
Vậy số hạng thứ 10 là 29 C13
x .

Ví dụ 7. Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển



5


337

36



.

Giải
Ta có:



5

3

3 7

36



36



36  k

k


36

 3  7   

k 5
C36

k 0

3

36  k k
k
C36 3 5 7 3

k 0

Số hạng là số nguyên ứng với:

SV: NguyÔn ThÞ V©n

15

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
 36  k
 5 

36  k  5

k  3
k 


 k  6 ;21 ;36
3
0

k

36


0  k  36
 k 
k 

6 6 2
21 3 7
36 0 12
Vậy số hạng là số nguyên là C36
3 7 ; C36
3 7 ; C36
37 .

1.2.3. Dạng 3: Biết trước giá trị của hệ số hay số hạng nào đó trong
khai triển. Tìm giá trị của ẩn tham gia.
Phương pháp giải: Khai triển nhị thức Niu-tơn rồi dựa vào hệ số hoặc

số hạng để tìm giá trị của ẩn.
Ví dụ 8: (Bài 24-SGK/trang 67 - Đại số và giải tích 11 - Nâng cao).
n

Biết rằng hệ số của x

n2

1

trong khai triển  x   bằng 31. Tìm .
4


Giải
Theo công thức Niu-tơn, ta có:
n

n
1

 1
x


Cnk x n  k   



4  k 0


 4

Khi đó hệ số của
Theo giả thiết ta có:

trong khai triển

k

 1
là: Cn2   
 4

2



1 2
Cn
16

1 2
Cn  31  n  32
16

Vậy n  32 .
n

1 


Ví dụ 9: Trong khai triển  2 x  x  . Tổng các hệ số của hạng tử thứ 2
4 

và thứ 3 bằng 36. Cho biết thêm hạng tử thứ 3 gấp 7 lần hạng tử thứ 2.
Tìm x .

SV: NguyÔn ThÞ V©n

16

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
Giải

 

Hạng tử thứ 2 của khai triển trên là: Cn1 . 2 x

n 1

 

Hạng tử thứ 3 của khai triển trên là: Cn2 . 2 x

1
có hệ số là
4x


n2

1
có hệ số là Cn2
2x
4

Vì tổng các hệ số của hạng tử thứ 2 và thứ 3 bằng 36 ta có:

n  Cn2  36  n 

n!
 36  2n  n  n  1  72  n2  n  72  0
2! n  2 !

n  8

. Do n 
 n  9

nên n  8

Do hạng tử thứ 3 gấp 7 lần hạng tử thứ 2 nên

1
2
x n2 1

7.

C
2
n
4x
42 x
7 1
6 1
2
x
 C81. 2 x

7.
C
2
8
4x
16 x

 

Cn1 . 2 x

n 1

 

 

 


1
 56.25 x  28.22 x  2.23 x  1  x   .
3

1
Vậy x   .
3
 Lưu ý: Bài toán giải phương trình, bất phương trình có ứng dụng của
nhị thức Niu-tơn cũng thuộc dạng bài tập này.
1.2.4. Dạng 4: Chứng minh đẳng thức chứa

hay tính tổng tổ hợp.

Thực chất của dạng toán này là liên quan đến tổng các hệ số khai triển
của nhị thức Niu-tơn. Do đó, dạng này có nhiều phương pháp giải nên ta
cần dựa vào đặc trưng của từng số hạng để lựa chọn phương pháp giải
cho phù hợp. Các phương pháp cơ bản thường dùng với dạng toán này
gồm:
 Thuần nhị thức Niu-tơn;
 Dùng đạo hàm cấp, cấp 2;

SV: NguyÔn ThÞ V©n

17

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
 Dùng tích phân;

 Đồng nhất hệ số.
a. Phương pháp 1: Thuần nhị thức Niu-tơn
Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng có dạng Cnk a n  k b k thì ta
sẽ dùng trực tiếp công thức Niu-tơn:

 a  b

n

n

  Cnk a n  k b k  Cn0 a n  Cn1 a n 1b  ...  Cnn 1ab n 1  Cnnbn
k 0

Việc còn lại chọn cho khéo a và b.Ta có thể xét khai triển ( x  b)n , sau đó
chọn x  a .
Ví dụ 10. Chứng minh rằng:
203n Cn0  213n 1Cn1  ...  2n 130.Cnn 1  2n.30 Cnn  5n.

Giải
Chọn khai triển:

 x  3n  x 0 3n Cn0  x13n 1Cn1  ...  x n 130.Cnn 1  x n .30 Cnn
Chọn x  2 ta có:
5n  203n Cn0  213n 1 Cn1  ...  2n 130.Cnn 1  2n.30 Cnn (đpcm).

b. Phương pháp 2: Dùng đạo hàm cấp 1; cấp 2
b1. Sử dụng đạo hàm cấp 1
Dấu hiệu nhận biết: Khi trong tổng cần tính hoặc đẳng thức cần chứng
minh mà có một thành phần hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần từ


1; 2; 3; ... ; n hoặc giảm dần từ n ; n  1; ...; 2; 1 hay số hạng đó có dạng
kC nk hoặc kCnk a n  k b k 1 thì ta có thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính.

Cách giải:
Bước 1: Chọn khai triển

 a  x n  Cn0a n  Cn1 a n 1x  ...  Cnn 1a.x n 1  Cnn x n

SV: NguyÔn ThÞ V©n

18

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế theo
na  x

n 1

ta được :

 Cn1 a n 1  2Cn2 a n  2 x  ...   n  1 Cnn 1a.x n  2  nCnn x n 1

Bước 3: Chọn x  b, ta có kết quả cần tìm.
Ví dụ 11: Tính tổng: S  1.20 Cn1  2.21Cn2  3.22 Cn3  ...  n.2n 1 Cnn .
Giải
Chọn khai triển:


 x  1n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n
Lấy đạo hàm cấp 1 hai vế:
n  x  1

n 1

 Cn1  2Cn2 x  ...  nCnn x n 1

Chọn x  2 ta có:
n 1

n.3n 1  Cn1  2.21Cn2  ...  n.2 Cnn  S
Vậy S  n3n 1.
b2. Sử dụng đạo hàm cấp 2
Dấu hiệu nhận biết: Khi trong tổng cần tính hay đẳng thức cần chứng
minh mà có một thành phần hệ số đứng trước tổ hợp có dạng tích của hai
số nguyên dương liên tiếp 1.2 ; 2.3 ; ... ; (n  1)n hoặc

12 ; 22 ; ... ; n2

(không kể dấu) hay tổng đó mất Cn0 & Cn1 hoặc Cnn 1 & Cnn thì ta có thể
dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính.
Cách giải
n

Bước 1: Chọn khai triển:  x  a  nếu số hạng tổng quát của tổng có dạng
k  k  1 Cnk a n  k bk

Bước 2: Đạo hàm hai vế theo

na  x

n 1

x

ta được:

 Cn1 a n 1  2Cn2 a n  2 x  ...   n  1 Cnn 1a.x n  2  nCnn x n 1

Bước 3: Đạo hàm lần nữa:

SV: NguyÔn ThÞ V©n

19

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
n  n  1 a  x 

n2

 2Cn2 a n  2  2.3Cn3a n  3 x  ...  n  n  1 Cnn x n  2

Bước 4: Chọn x  b ta có kết quả.
Ví dụ 12. Tính tổng: S  1.2.Cn2  2.3.Cn3  ...  n  n  1 Cnn .
Giải
n


Chọn khai triển:  x  1  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n
Lấy đạo hàm cấp 1: n  x  1

n 1

 Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x 2  ...  nCnn x n 1

Lấy đạo hàm cấp 2:
n  n  1 x  1

n2

 2Cn2  2.3Cn3 x  ...  n  n  1 Cnn x n  2

Chọn x  1, ta có: n  n  1 2n  2  2Cn2  2.3Cn3  ...  n  n  1 Cnn  S
Vậy S  n  n  1 2n  2.
c. Phương pháp 3: Dùng tích phân
Dấu hiệu nhận biết: Khi mỗi số hạng của tổng hoặc đẳng thức cần
chứng minh có mẫu số tăng đều hoặc giảm đều thì ta dùng tích phân.
Cách giải:
Bước 1: Thường gặp số hạng tổng quát có dạng
chọn khai triển  x  b 

 k 1   k 1
k 1

Cnk

thì


n

Bước 2: Lấy tích phân với cận  ;  (   )
Bước 3: Tính giá trị của mỗi vế rồi suy ra kết qủa.
Ví dụ 13: (Đề thi đại học khối B năm 2003).
Tính tổng: S

 Cn0

22  1 2 23  1 3
2n1  1 n

Cn 
Cn  ... 
Cn .
2
3
n 1

Giải

SV: NguyÔn ThÞ V©n

20

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

n

Chọn khai triển:  x  1  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n
2

2

n





 n   x  1 dx   Cn0  Cn1 x  ...  Cnn x n dx
1



1

2
1
1
1
1
2
Cnn x n 1 
 x  1n 1   Cn0 x  Cn1 x 2  Cn2 x3  ... 
1 
n 1

2
3
n 1
1

2 1
2 1
2
2
3n 1  2n 1
1

 Cn0 x  Cn1 x 2  Cn2 x3  ... 
Cnn x n 1
1 2
1 3
1
1
n 1
n 1

3n1  2n1
.
Vậy S 
n 1
d. Phương pháp 4: Đồng nhất hệ số.
Dấu hiệu nhận biết: Khi tổng cần tính hoặc đẳng thức cần chứng minh
2

 .


chứa Cnk Cmr hoặc C nk
Các bước giải:

n

Bước 1: Ứng với mỗi Cnk , chọn khai triển là  x  1 và Cmr chọn khai
m

triển là  x  1 .
Bước 2: Xác định hệ số cần đồng nhất là hệ số của x k  r , sau đó khai
triển các nhị thức sau :

 x  1n  ...
 x  1m  ...
 x  1n  x  1m   x  1n  m
Bước 3: Đồng nhất hệ số của x r  k . Suy ra đpcm hoặc giá trị của tổng
cần tính.
Ví dụ 14: Tính tổng: S  C50C75  C51C74  C52C73  C53C72  C54C71  C55C70 .
Giải

SV: NguyÔn ThÞ V©n

21

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
Chọn 2 khai triển:


 x  15  C50  C51 x  ...  C55 x5
 x  17  C70  C71 x  ...  C77 x7  C75 x5  C74 x 4  ...  C70
5
7
  x  1  x  1  ...   C50C75  C51C74  C52C73  C53C72  C54C71  C55C70  x5  ...
5

7

Vậy hệ số của x5 trong tích  x  1  x  1 là:
C50C75  C51C74  C52C73  C53C72  C54C71  C55C70  S
5

7

12

5 5
Mặt khác  x  1  x  1   x  1  ...  C12
x  ...
12

Do đó hệ số của x 5 trong khai triển  x  1

5
là C12

5
Vậy S  C12

.

1.2.5. Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức chứa

.

Phương pháp: Áp dụng nhị thức Niu-tơn cho bài toán chứng minh
bất đẳng thức liên quan đến hệ số khai triển của nhị thức Niu-tơn.
Nếu các bất đẳng thức phức tạp thì rút gọn trước.
Ví dụ 15: Chứng minh rằng: Cn2  2Cn3  ...  ( n  1)Cn3  ( n  2).2n 1.
Giải
Ta có:

 x  1n  Cn0  Cn1 x  ...  Cnn x n
n 1
n  x  1  Cn1  2Cn2 x  ...  nCnn x n 1

(1)
(2)

Thay x  1 vào (1) ta có:
2n  Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn

(3)

Thay x  1 vào (2) ta có:
n 2n 1  Cn1  2Cn2  ...  nCnn

(4)


Lấy (4) trừ (3):

SV: NguyÔn ThÞ V©n

22

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp



 

n 2 n 1  2n  Cn1  2Cn2  ...  nCnn  Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn



  n  2  2n 1  Cn0  Cn2  2Cn3  ...   n  1 Cnn
 Cn2  2Cn3  ...   n  1 Cnn   n  2  2n 1  1   n  2  2n 1.

 Điều phải chứng minh!
1.3. Một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng nhị thức Niu-tơn
Bài toán ứng dụng nhị thức Niu-tơn rất đa dạng, phong phú và
tương đối khó đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt nhị thức Niu-tơn, các tính
chất của nó, các phương pháp tính tích phân và đặc biệt là khả năng nhận
dạng các dạng toán này. Qua việc quan sát, tìm hiểu về kiến thức và kĩ
năng của học sinh có thể thấy rằng trong quá trình giải học sinh thường
mắc phải một số sai lầm không đáng có dẫn đến lời giải sai như:

1. Vận dụng sai nhị thức Niu-tơn đối với tổng có đan dấu;
2. Chưa nắm vững tính chất của nhị thức Niu-tơn;
3. Nhầm lẫn giữa hai dạng toán sử dụng đạo hàm và tích phân do nhớ
nhầm công thức đạo hàm, tích phân;
4. Giải sai hoặc tính toán nhầm do kĩ năng chưa thành thạo, chưa nắm
vững những kiến thức có liên quan và do yếu tố tâm lí, ….
Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ điển hình cho những sai lầm của học
sinh khi ứng dụng nhị thức Niu-tơn:
n

Ví dụ 1: Khai triển  2  x  .
+) Lời giải sai: Ta có:

 2  x n  Cn0 x 0 .2 n  Cn1 x1.2n 1  ...  Cnn 1x n 1.21  Cnn x n .20 .
+) Phân tích: Đây là một tổng có đan dấu nên số hạng tổng quát thứ
k

k  1 có dạng  1 Cnk 2n  k x k . Do học sinh quên mất đằng trước

có

dấu    nên dẫn đến lời giải sai.

SV: NguyÔn ThÞ V©n

23

Líp: K35D - To¸n



Khãa luËn tèt nghiÖp
+) Lời giải đúng:

 2  x n  Cn0 2n  Cn1 x.2n 1  ...n   1n 1 Cnn 1x n 1.2   1n Cnn x n
36

Ví dụ 2: Cho khai triển  x  2  . Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển.
+) Lời giải sai:
36

Ta có:  x  2 

36

k 36  k k
  C12
.x
2
k 0

k
Đặt ak  C36
.2k

ak 1

ak

k 1 k 1
C36

2
k k
C36 2

2.


36!
(k  1)!(35  k )! 2(36  k )

36!
k 1
k !(36  k )!

ak 1
2(36  k )
71
1
 1  72  2k  k  1  k  .
ak
k 1
3
Do k 

*

nên 0  k  23  max(a0; a1;...; a12 )  a23.

+) Phân tích: Do học sinh hiểu nhầm với k  [0; 23] thì
tăng


nên.

max(ak )  a23 .

Tuy

nhiên

với

đơn điệu

ak 1
1
ak

thì

max( ak )  {a23 ; a24 }. Do vậy để tránh hiểu nhầm ta nên sử dụng phương

pháp giải đã nêu ở bài toán tìm hệ số lớn nhất của khai triển.
+) Lời giải đúng:
36

Ta có:  x  2 

36

k 36  k k

  C12
.x
2
k 0

k k
Đặt ak  C36
2

ak  ak 1
ak là hệ số lớn nhất trong khai triển  
ak  ak 1

SV: NguyÔn ThÞ V©n

24

Líp: K35D - To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
k k
k 1 k 1
C36
2  C36
2

k k
k 1 k 1
C36 2  C36 2

36!
36!

2.

 k ! 36  k !  k  1! 37  k !


36!
36!

2
 k ! 36  k !
 k  1! 35  k !
3k  74 71
74

 k
3
3
3k  71
 k  24.
24 24
Vậy a24  C36
2 là hệ số lớn nhất trong khai triển.
10

Ví dụ 3: Viết số hạng thứ 5 của khai triển:  x  5  .
5 5 5
Sai lầm 1: Số hạng thứ 5 của khai triển là C10

x 5.
n

+) Phân tích: Vì có n  1 số hạng trong khai triển  a  b  nên số hạng
tổng quát thứ k  1 có dạng Cnk a n  k b k . Do học sinh chưa nắm chắc tính
10

chất của nhị thức Niu-tơn nên nghĩ rằng khai triển  x  5  có 10 số
10

hạng nhưng thực chất  x  5  có 11 số hạng.
n

Chú ý: Dạng toán tìm số hạng trong một khai triển  a  b  theo chương
trình mới hiện nay sách giáo khoa không đưa ra kí hiệu số hạng tổng
quát thứ k  1 trong khai triển nên học sinh gặp nhiều lung túng trong
lập luận. Do vậy để thuận tiện trong việc truyền đạt kiến thức nên kí hiệu
số hạng tổng quát thứ k  1 là Tk 1  Cnk a n  k bk .
4 4 6
Sai lầm 2: Số hạng thứ 5 của khai triển là C10
x 5.
n

n

+) Phân tích: Ta có:  a  b    b  a  nhưng số hạng thứ k  1 của
n

khai triển  a  b  là Cnk a n  k b k  Cnk a k b n  k là số hạng thứ k  1 của


SV: NguyÔn ThÞ V©n

25

Líp: K35D - To¸n