LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành tốt đề tài này, trước tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu
sắc tới các thầy cô trong khoa Toán – trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã
động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Đặc biệt, em xin
chân thành cảm ơn thầy Trần Văn Bằng đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo
tận tình để em có thể hoàn thành đề tài luận văn này
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề
tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn trong khoa.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên
Cao Thị Thanh Huệ

2


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Trần
Văn Bằng cùng với sự cố gắng của bản thân em. Trong quá trình nghiên cứu
và thực hiện khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả ( đã nêu
trong mục tài liệu tham khảo ).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên
cứu của bản thân em không trùng với kết quả của các tác giả khác.Nếu em sai
em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên
Cao Thị Thanh Huệ

3

MỤC LỤC

Trang
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU

2

Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
A. Một số khái niệm

3

1. Cấp của phương trình vi phân

3

2. Phương trình vi phân thường

3

B. Một số dạng phƣơng trình vi phân

3

1. Phương trình tuyến tính


3

2. Phương trình vi phân cấp một

3

3. Phương trình thuần nhất cấp một

5

4. Phương trình vi phân toàn phần

5

5. Phương trình tuyến tính cấp một

6

6. Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng

6

7. Phương trình không thuần nhất. Phương pháp hệ số bất định

6

Chƣơng 2. ỨNG DỤNG
A. Một số ứng dụng trong vật lý

9


1. Vận tốc thoát khỏi Trái Đất

9

2. Vật thể rơi

11

3. Dao động lò xo

11

4. Dao động không tắt dần

13

5. Sự cộng hưởng

15

6. Dao động tắt dần

16

4


7. Con lắc đơn


18

8. Định luật Newton và chuyển động của hành tinh

19

9. Lực xuyên tâm và định luật II Kepler

21

10. Định luật I Kepler

22

11. Định luật III Kepler

24

12. Bài toán quỹ đạo

26

B. Một số ứng dụng trong hóa học và kinh tế

33

1. Định luật làm lạnh Newton

33


2. Sự chuyển đổi các hóa chất đơn giản

35

3. Tăng trưởng logictic và giá cả hàng hóa

36

KẾT LUẬN

41

TÀI LIỆU THAM KHẢO

42

5


LỜI NÓI ĐẦU
Sự phát triển của toán học tuy có những bước thăng trầm ở từng thời
điểm lịch sử, song những kết quả mà nó đạt được rự rỡ nhất là vào thế kỷ XX,
do sự phát triển của ngành Giải tích toán học.
Với sự ra đời của ngành Giải tích toán học, đặc biệt là giải tích hàm thì
những bài toán trong thực tế cuộc sống, vật lý, khoa học, kĩ thuật, … được
giải quyết nhanh gọn và chính xác.
Ngành Giải tích toán học nghiên cứu nhiều kĩnh vực như: các lớp hàm
liên tục, khả vi, khả tích, phương trình vi phân, …. Mỗi lĩnh vực đều có tầm
quan trọng riêng trong việc nghiên cứu và ứng dụng. Trong đó phương trình
vi phân là một phần cơ bản của Giải tích. Có thể nghiên cứu từng phần để

thấy được cái hay của môn học này và trong thực tế cũng như trong các môn
khoa học khác phương trình vi phân có nhiều ứng dụng như: giải bài toán dao
động lò xo, con lắc đơn, định luật Newton….
Xuất phát từ nhận thức trên và long ham mê môn học, em mạnh dạn
chọn đề tài: “ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN” để
thực hiện khoá luận tốt nghiệp của mình. Khoá luận bao gồm các nội dung:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Ứng dụng.

6


CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
A. MỘT SỐ KHÁI NIỆM
1. Cấp của phƣơng trình vi phân
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện
trong phương trình.
Ví dụ
3

d2y
 dy 
 2   y  0
2
dx
 dx 
là phương trình cấp 2
2. Phƣơng trình vi phân thƣờng
Phương trình
F  x, y, y ',... y  n    0


được gọi là phương trình vi phân thường cấp n.
B. MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. Phƣơng trình tuyến tính
Một phương trình vi phân thường cấp n được gọi là tuyến tính nếu nó
có thể được viết dưới dạng
b0  x 

dny
d n1 y
dy

b
x
 ...  bn1  x   bn  x  y  R  x  .
1 
n
n 1
dx
dx
dx

2. Phƣơng trình vi phân cấp một
2.1 Định nghĩa
Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát
F  x, y, y '  0

trong đó hàm F xác định trong miền D  R3 .
Hoặc từ (2.1) ta giải ra được


7

(2.1)


y '  f  x, y 

ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm.
Ta cũng có thể viết phương trình vi phân đã giải ra đạo hàm dưới dạng đối
xứng
M  x, y  dx  N  x, y  dy  0.

2.2 Cách giải
Ta sẽ dùng phương pháp tách biến
- Đưa phương trình vi phân cấp một về dạng
A  x  dx  B  x  dy  0

(2.2)

trong đó A  x  và B  y  là các hàm lần lượt chỉ phụ thuộc x và y.
- Tích phân hai vế phương trình (2.2) ta được tích phân tổng quát của (2.2)
 A  x  dx   B  y  dy  C .

2.3 Ví dụ
Giải phương trình
2x
2y
dx 
dy  0 .
2

1 x
1  y2

Ta có tích phân tổng quát
2x
2y
 1 x 2 dx   1 y 2 dy C

hay

ln 1  x 2   ln 1  y 2   C ,

C 0

Do đó

1  x 1  y   C ';
2

2

là tích phân tổng quát của phương trình.

8

C '  eC


3. Phƣơng trình thuần nhất cấp một
3.1 Định nghĩa

Phương trình
M  x, y  dx  N  x, y  dy  0

(3.1)

được gọi là phương trình thuần nhất nếu M  x, y  và N  x, y  là những hàm
thuần nhất cùng bậc.
Cách giải
- Đưa (3.1) về dạng
dy
y
 g    0 .
dx
x

(3.2)

- Đặt y  vx , phương trình (3.2) trở thành
x

dv
 v  g  v   0.
dx

(3.3)

- Giải (3.3) bằng phương pháp tách biến.
4. Phƣơng trình vi phân toàn phần
4.1 Định nghĩa
Phương trình

M  x, y  dx  N  x, y  dy  0

(4.1)

được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm F  x, y  khả vi
sao cho
dF  x, y   M  x, y  dx  N  x, y  .

4.2 Cách giải
Xác định

F
F
 M và
N
x
y

Từ một trong hai phương trình trên ta tìm F rồi cho F thoả mãn phương trình
còn lại ta tìm được nghiệm tổng quát của (4.1) là

 

F x, y C.

9


5. Phƣơng trình tuyến tính cấp một
5.1. Định nghĩa

Phương trình tuyến tính cấp một có dạng
dy
 P  x y  Q  x
dx

(5.1)

5.2. Cách giải
- Đưa phương trình về dạng (5.1) .
- Tìm thừa số tích phân exp   Pdx 
- Nhân cả hai vế của (5.1) với thừa số tích phân.
- Giải phương trình vi phân toàn phần.
5.3. Nghiệm tổng quát
Giả sử v là thừa số tích phân của phương trình. Khi đó nghiệm
tổng quát của phương trình là

y  v1  vQdx  Cv1
6. Phƣơng trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng
Dạng tổng quát
a0 y    a1 y 
n

n 1

 ...  an1 y ' an y  0

(6.1)

trong đó a0 , a1,..., an là các số thực.
Giả sử y1, y2 ,..., yn là hệ nghiệm cơ bản của phương trình (6.1) khi đó


y  c1 y1  c2 y2  ...  cn yn
là nghiệm tổng quát của phương trình (6.1).
7. Phƣơng trình không thuần nhất. Phƣơng pháp hệ số bất định
7.1. Phƣơng trình không thuần nhất.
Dạng tổng quát

a0 y   a1 y
n

n1

 ...  an1 y ' an y  R  x 

(7.1)

Giả sử y p là nghiệm riêng của (7.1) và yc là nghiêm của phương trình thuần

10


nhất tương ứng. Khi đó y  y p  yc là nghiệm tổng quát của phương trình
(7.1)
7.2. Phƣơng pháp hệ số bất định
 Trƣờng hợp 1. Hàm R  x  có dạng một đa thức cấp m nhân với hàm
mũ

R  x    b0 x m  b1x m1  ...  bm1x  bm  e x
trong đó b0 , b1 ,..., bm ,  là các hằng số. Ta kí hiệu
Pm  x   b0 x m  b1 x m1  ...  bm1x  bm


(7.3)

-  không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng
F     a0 n  a1 n1  ...  an1  an  0

tức F    0 . Khi đó ta tìm nghiệm riêng của (7.1) dưới dạng
y*  x   Qm  x  e x

(7.4)

trong đó Qm  x  là một đa thức cấp m với các hệ số ta cần xác định
Qm  x   d 0 x m  d1 x m1  ...  d m .

Để xác định các hệ số d0 , d1,...dm ta thay (7.4) vào (7.3) và sau khi giản ước
thừa số e x ta đồng nhất các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của x ở hai vế.
-  là nghiệm bội k  k  1 của phương trình đặc trưng. Khi đó

F    F '    ...  F 

k 1

   0; F k     0

(7.5)

Trong trường hợp này ta không thể tìm nghiệm riêng y*  x  dưới dạng (7.4)
vì F    0 không cho phép ta xác định các hệ số d0 , d1,..., dm . Ta tìm nghiệm
riêng y*  x  dưới dạng
y*  x   x k Qm  x  e x


Để xác định các hệ số d0 , d1,..., dm ta làm như phần trước.

11

(7.6)


 Trƣờng hợp 2. Hàm R  x  có dạng

R  x   e x  Pm1  x cos x  Pm2  x  sin  x 
trong đó Pm   x  , Pm

2

1

 x  là các đa thức của

x bậc không quá m và ít nhất

một trong hai đa thức trên có bậc bằng m . Có thể một trong hai là hằng số
hoặc đồng nhất bằng 0.
Ta viết lại R  x  dưới dạng
 i  x
 i  x
1
2
R  x   Pm   x  e   Pm   x  e 
1

2
Trong đó Pm   x  , Pm   x  là các đa thức bậc m .

- Nếu   i không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng y*  x  dưới dạng
1
2
y*  x   Qm   x  cos x  Qm   x  sin  x  e x

(7.7)

trong đó Qm   x  , Qm   x  là các đa thức cấp m với các hệ số ta cần xác định.
1

2

- Nếu   i là nghiệm bội k  k  1 của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng y*  x  dưới dạng
1
2
y*  x   x k Qm   x  cos x  Qm   x  sin  x  e x

(7.8)

1
2
Để xác định các hệ số của Qm   x  , Qm   x  ta thay y*  x  vào phương trình

(7.1) như trương hợp 1.


12


CHƢƠNG 2 : ỨNG DỤNG
Nhiều bài toán trong thực tế cuộc sống, vật lý, hóa hoc,... sau khi được
toán học hóa đã dẫn đến phương trình vi phân. Sau đây chúng ta sẽ xét một số
bài toán như vậy.
A. Một số ứng dụng trong vật lý
1. Vận tốc thoát khỏi trái đất
Nhiều bài toán vật lý dẫn đến phương trình vi phân cấp một. Xét bài toán
xác định vận tốc của hạt chuyển động theo hướng xuyên tâm đi ra xa trái đất
và bị tác động chỉ bởi lực hấp dẫn của trái đất. Giả sử vận tốc ban đầu theo
hướng xuyên tâm sao cho chuyển động của hạt diễn ra trên toàn bộ đường đi
qua tâm của trái đất.
Theo định luật hấp dẫn của Newton thì gia tốc của hạt tỷ lệ nghịch với
bình phương khoảng cách từ hạt tới tâm trái đất. Giả sử r là biến khoảng cách
và R là bán kính trái đất. Nếu t biểu diễn thời gian, v là vận tốc của hạt, a là
gia tốc và k là hằng số tỷ lệ trong định luật Newton thì ta có
a

dv
k
 2
dt
r

Gia tốc là âm vì vận tốc giảm.Vì thế hằng số k là dương. Khi r  R thì

a   g , gia tốc của trọng lực ở bề mặt trái đất. Như vậy
g  


k
R2

từ đó

gR 2
a 2
r

(1.1)

Chúng ta sẽ biểu diễn gia tốc qua vận tốc và khoảng cách. Ta có
a

dv
dr
và v  , do đó
dt
dt

13


a

dv dr dv
dv

v

dt dt dr
dr

(1.2)

Từ (1.1) và (1.2) ta có
v

dv
gR 2
 2 .
dr
r

(1.3)

Tập hợp nghiệm của (1.3) là

2 gR 2
v 
 C.
r
2

Giả sử hạt rời bề mặt trái đất với vận tốc v0 . Khi đó v  v0 khi r  R ,
do đó ta có

C  v02  2 gR .
Như vậy, một hạt chuyển động theo hướng xuyên tâm đi ra xa trái đất
với vận tốc ban đầu v0 sẽ chuyển động với vận tốc v được xác định bởi

phương trình

2 gR 2
v 
 v02  2 gR.
r
2

(1.4)

Phương trình (1.4) cho phép ta xác định một hạt sẽ thoát khỏi trái đất.
Ở bề mặt trái đất, r  R , vận tốc là dương, v  v0 . Từ (1.4) ta thấy vận tốc
của hạt sẽ dương nếu và chỉ nếu

v02  2 gR  0 .
Mặt khác, nếu v02  2 gR  0 thì sẽ có một giá trị tới hạn của r làm cho vế
phải của (1.4) bằng 0. Nghĩa là, hạt sẽ dừng lại, vận tốc sẽ thay đổi từ dương
sang âm và hạt sẽ quay trở lại trái đất.
Một hạt chuyển động từ trái đất với vận tốc ban đầu v0 mà v0  2 gR
sẽ thoát khỏi trái đất. Do đó mức tối thiểu của vận tốc chiếu là

ve  2 gR

14


được gọi là vận tốc thoát.
Như vậy, bằng việc tìm tập hợp nghiệm của phương trình vi phân (1.3)
ta xác định được phương trình vận tốc của hạt chuyển động theo hướng xuyên
tâm đi ra xa trái đất, từ đó xác định được vận tốc thoát của hạt.

2. Vật thể rơi
Một vật thể rơi từ một độ cao ở thời điểm t  0 . Nếu h  t  là độ cao
của vật ở thời điểm t , gia tốc a  t  và vận tốc v  t  thì ta có mối liên hệ giữa

a, v, h
a t  

dv
dh
và v  t   .
dt
dt

Đối với một vật thể rơi thì a  t  là hằng số và bằng với g  9,8 (m/s).
Kết hợp các phương trình vi phân trên ta được
d 2h
g.
dt 2

Từ đó ta có

dh
 gt  v0 .
dt
Do đó

1
h  t   gt 2  v0t  h0 .
2
Phương trình trên biểu diễn độ cao của một vật rơi từ độ cao ban đầu h0 với

vận tốc ban đầu v0 .
3. Dao động lò xo
Xét một lò xo bằng thép gắn với một vật đỡ và được treo xuống. Trong
giới hạn đàn hồi lò xo sẽ tuân theo định luật Hooke. Nếu lò xo bị kéo dãn
hoặc bị nén thì độ biến dạng của lò xo sẽ tỷ lệ với lực tác dụng lên nó và khi

15


lực thôi tác dụng thì lò xo sẽ trở về vị trí ban đầu. Nếu lực có độ lớn Q  lb  ,
độ giãn của lò xo là C  ft  thì ta có
Q  kC ,

k = const

(3.1)

Giả sử một vật B nặng w  lb  đựơc gắn vào cuối của lò xo và được đưa
đến điểm cân bằng (hình 1a) .
Khi vật nặng B di chuyển từ vị trí cân bằng E thì chuyển động của B sẽ
được xác định bởi một phương trình vi phân với các điều kiện ban đầu.
Giả sử t là thời gian đo bằng giây được tính ngay khi chuyển động
bắt đầu. Giả sử x đo bằng feet là khoảng cách đo theo hướng dương từ điểm
cân bằng (hình 1). Giả sử chuyển động của B diễn ra hoàn toàn trên đường
thẳng đứng, do đó vận tốc và gia tốc được xác định bởi đạo hàm cấp 1 và cấp
2 của x đối với t .
Thêm nữa, do lực cản của môi trường trong đó chuyển động diễn ra




hoặc do ma sát thì sẽ có một lực cản tác dụng lên B là bx ' t , trong đó b là
hằng số.

1a

1b
Hình 1

16


Trọng lượng của lò xo không đáng kể so với trọng lượng của B, vì thế
ta lấy khối lượng của B chia cho g , hằng số gia tốc trọng trường. Nếu ngoài
các lực trên không có lực nào tác dụng lên vật thì độ dịch chuyển x phải thoả
mãn phương trình
w
x ''  t   bx  t   kx  t   0 .
g

(3.2)

Giả sử thêm rằng, lực theo phương thẳng đứng, do chuyển động của giá
hoặc sự xuất hiện của từ trường tác động mạnh trên hệ thống. Lực cưỡng bức
sẽ phụ thuộc vào thời gian và chúng ta sử dụng F  t  để biểu thị gia tốc mà nó
truyền tới trọng lượng của vật. Khi đó lực cưỡng bức là

w
F  t  và phương
g


trình (3.2) viết lại thành
w
w
x ''  t   bx '  t   kx  t   F  t  .
g
g

Tại thời điểm t  0 , giả sử vật rời được một khoảng x0 từ vị trí cân bằng
và vận tốc ban đầu v0 . Bài toán xác định vị trí của vật B ở thời điểm t bất kỳ
trở thành việc giải phương trình vi phân với các giá trị ban đầu
w
w
x ''  t   bx '  t   kx  t   F  t  , t  0
g
g

(3.3)

điều kiện ban đầu x  0   v0 và x '  0  v0 .
Viết lại (3.3)
x ''  t   2 x '  t    2 x  t   F t 

trong đó 2 

kg
bg
và  2  .
w
w


4. Dao động không tắt dần
Xét phương trình vi phân (3.4)
x ''  t   2 x '  t    2 x  t   F  t 

17

(3.4)


Nếu   0 thì phương trình vi phân trở thành
x ''  t    2 x  t   F  t 

Đây là phương trình tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng, trong đó  2 

(4.1)
kg
.
w

Nghiệm của phương trình thuần nhất x ''  t    2 x  t   0 là

x0  c1 sin  t  c2cos t
và nghiệm tổng quát của (4.1) có dạng

x  c1 sin  t  c2cos t  x p

(4.2)

trong đó x p là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất.
Ví dụ 4.1

Giải bài toán lò xo có dao động không tắt dần với F  t   Asin t trong
đó    .
Phương trình vi phân của chuyển động là
w
w
x ''  t   kx  t   Asin t
g
g

trong đó  2 

kg
.
w

Giả sử điều kiện ban đầu: x  0  x0 và x '  0   v0
Nghiệm riêng của (4.3) có dạng

x p  Esin t
thay x p vào (4.3) ta được
 E 2 sin t   2 Esin t  Asin t

từ đó ta có
E

A
.
  2
2


Do đó nghiệm tổng quát của (4.3) là

18

(4.3)


x  t   c1 sin  t  c2cos t 

A
sin t
  2

 4.4 

2

khi đó ta có
x '  t   c1 cos t  c2  sin  t 

A
cost
  2

x  0   c2  x0 và x '  0   c1 

A
v .
  2 0


2

Ta có
2

Do đó

c1 

v0





A
và c2  0
  2  2 

Vậy nghiệm tổng quát của (4.3) là

x t  

v0



sin  t  x0cos t 

A

A
sin

t

sin t
2
  2
  2  2 

5. Sự cộng hƣởng
Xét ví dụ 4.1 với điều kiện   . Khi đó ta có phương trình vi phân
x ''  t    2 x  t   Asin  t

trong đó  2 

(5.1)

kg
.
w





Nghiệm của phương trình thuần nhất x '' t   2 x t  0 vẫn như
trước nhưng nghiệm riêng x p trước sẽ không tồn tại vì    .
Ta tìm nghiệm riêng dạng


x p  Pt sin  t  Qt cos  t .

(5.2)

trong đó P và Q là các hằng số cần xác định. Thay x p vào phương trình (5.1)
ta được

19


2P cos t  2Q sin  t  Asin  t

đồng nhất hai vế ta được P  0 và Q  

A
.
2

Khi đó
xp  

At
cos t .
2

Do đó nghiệm tổng quát của (5.1) là
x  t   c1 sin  t  c2cos t 

At
cos t

2

(5.3)

Ta có
x '  t   c1 cos t  c2  sin  t 

At
A
sin  t 
cos t .
2
2

Điều kiện ban đầu x  0  x0 và x '  0   v0 . Do đó ta có
c2  x0 và c1 

v0





A
2 2

.

Vậy nghiệm tổng quát của (5.1) là
x  t   x0cos t 


v0



sin  t 

A
2 2

 sin  t   t cos  t 

(5.5)

Biên độ lớn của dao động được xây dựng như vậy đươc gọi là cộng
hưởng.
6. Dao động tắt dần
Trong bài toán lò xo tổng quát, chúng ta dẫn đến phương trình
x ''  t   2 x ' t    2 x  t   F  t  ; x  0  x0 và x '  0   v0

trong đó 2 

kg
bg
và  2  ,   0 .
w
w

Phương trình đặc trưng
m2  2 m   2  0


20

(6.1)


có hai nghiệm là    2   2 .
 Nếu    ,  2   2  0 thì đặt  2   2   2 khi đó nghiệm tổng quát
của (6.1) là
x  t   e  t  c1cos t  c2 sin  t    1 t 

(6.2)

trong đó  1  t  là nghiệm riêng của (6.1) . Hàm e  t được gọi là hệ số tắt dần
 Nếu    thì m1  m2   . Do đó nghiệm tổng quát của (6.1) là
x  t   e t  c1  c2t    2 t 

(6.3)

trong đó  2  t  là nghiệm riêng của (6.1).
 Nếu    và  2   2  0 thì đặt  2   2   2 . Khi đó nghiệm tổng
quát của (6.1) là

x  t   c1e

  t

 c2e

  t


 3 t 

(6.4)

trong đó  3  t  là nghiệm riêng của (6.1).
Giả sử ở một thời điểm ta có F  t   0 khi đó nếu    thì phương
trình (6.2) đúng và chuyển động được gọi là dao động tắt dần. Nếu    thì
phương trình (6.3) có đúng và chuyển động được gọi là chuyển động tắt dần
tới hạn. Nếu    thì phương trình (6.4) đúng và chuyển động được gọi là
quá ngưỡng tắt dần.
BÀI TẬP
Bài 1. Một chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi phương trình vi
phân
d 2x
dx
 2
 169 x  0
2
dt
dt

và điều kiện khi t  0 thì x  0 và v  8  ft / s  . Tìm giá trị của  để dẫn đến
dao động tắt dần tới hạn, hãy xác định x trong điều kiện của t và vẽ đồ thị
với 0  t  0,2 .

21


Bài 2. Một lò xo bị giãn 0,64  ft  bởi một vật nặng 4  lb  . Vật nặng bị đẩy lên

1
 ft  bên trên điểm cân bằng và sau đó bắt đầu đi xuống với vận tốc 5  ft / s  .
3

Chuyển động diễn ra trong môi trường cái mà cung cấp một lực tắt dần có độ
1
lớn v . Hãy tìm phương trình mô tả vị trí của vật ở thời điểm t .
4

Bài 3. Một lò xo bị một vật nặng 4  lb  kéo giãn 0,32  ft  . Vật nặng được gắn
vào lò xo và di chuyển trong môi trường nơi cung cấp một lực tắt dần có độ
3
1
lớn v . Vật được kéo xuống  ft  bên dưới điểm cân bằng và giả sử vận tốc
2
2

ban đầu trở lên là 4  ft / s  . Tìm vị trí của vật sau đó.
7. Con lắc đơn
Một sợi dây dài C  ft  được treo một đầu để nó có thể chuyển động trong
một mặt phẳng thẳng đứng. Cho một con lắc B nặng w  lb  được gắn vào
cuối sợi dây và khối lượng của sợi dây không đáng kể so với khối lượng của
con lắc.
Cho   radians  là góc lệch so với phương thẳng đứng của sợi dây ở thời
điểm t  s  (hình 4). Thành phần tiếp tuyến của lực là wsin và nó có xu
hướng giảm tới  . Do khối lượng không đáng kể của sợi dây và sử dụng

S  C làm thước đo độ dài cung từ vị trí thẳng đứng nên ta có
w d 2S
 wsin 

g dt 2

(7.1)

d 2 g
 sin   0.
dt 2 C

(7.2)

hay

Nếu  nhỏ thì sin  và  gần bằng nhau. Khi đó (7.2) xấp xỉ bằng phương
trình đơn giản hơn

22


d 2
  2  0
2
dt

trong đó  2 

(7.3)

g
.
C


Ta có thể sử dụng nghiệm của (7.3) với những điều kiện ban đầu thích
hợp bất cứ khi nào với những điều kiện đó  vẫn còn nhỏ,   0,3  radians 

Hình 4
8. Định luật Newton và chuyển động của hành tinh
Định luật II Newton về chuyển động khẳng định rằng: với một vật thể có
khối lượng m thì mối liên hệ giữa lực F tác động lên vật và gia tốc được cho
bởi phương trình

F  ma .

(8.1)

Định luật hấp dẫn của Newton khẳng định rằng: hai vật bất kì hút nhau
với một lực mà độ lớn của nó tỷ lệ thuận với tích khối lượng của các vật và tỷ
lệ với bình phương khoảng cách giữa tâm của các vật. Do đó nếu các vật có
khối lượng là M và m thì chúng ta có

F 

Mm
r2

23

(8.2)


trong đó  là hằng số hấp dẫn Newton và r là khoảng cách giữa các tâm của

các vật.
Chúng ta xét bài toán về chuyển động của mặt trời và một hành tinh
đơn, chúng lần lượt có khối lượng là M và m . Giả sử M lớn hơn nhiều so
với m và cũng có những chuyển động của mặt trời gây ra bởi lực hấp dẫn gây
ra trên mặt trời vì khối lượng của hành tinh không đáng kể.
Giả sử tâm của mặt trời là cực của hệ toạ độ cực và xác định vị trí tâm
của chuyển động hành tinh ở điểm  r ,  . Chúng ta sẽ sử dụng các vecto trực
giao thông thường

e1  cos i  sin j
e2   sin i  cos j .
Khi đó thành phần vecto cho hành tinh được xác định bởi

R  re1 .
Ta thấy
de1
de
 e2 và 2  e1 .
d
d

Vecto vận tốc của hành tinh là
v

dR dr
de
 e1  r 1
dt dt
dt


v

dr
de d
e1  r 1
.
dt
d dt

hoặc

Vì vậy
v

dr
d
e1  r
e2 .
dt
dt

Vi phân lần nữa đối với t ta được vecto gia tốc

24


a

dv dr de1 d 2 r
dr d

d 2
d de2

 2 e1 
e2  r 2 e2  r
dt dt dt dt
dt dt
dr
dt dt

dr d de1 d 2 r
dr d
d 2
d d de2
 2 e1 
e2  r 2 e2  r
=
dt dt d dt
dt dt
dt
dt dt d

hay
2
 d 2r
 d 2
dr d 
 d  
a   2  r
 e2 .

  e1   r 2  2
dt
dt
dt
dt
dt







Định luật II Newton về chuyển động bây giờ có thể được viết
2
 d 2r
 d 2
dr d 
 d  
F  m 2  r
 e2 .
  e1  m  r 2  2
dt dt 
 dt  
 dt
 dt

(8.3)

9. Lực xuyên tâm và định luật II Kepler

Giả sử lực đưa ra trong phương trình (8.3) là lực xuyên tâm thì thành phần
lực theo phương e2 phải bằng 0, do đó

 d 2
dr d 
m r 2  2
  0.
dt
dt
dt



(9.1)

Nhân cả hai vế của phương trình (9.1) với r ta được

d  2 d
r
dt  dt


0


hoặc
r2

d
C

dt

(9.2)

trong đó C là hằng số.
Tích phân hai vế (9.2) đối với khoảng thời gian t1  t  t2 ta được

t1 d
2
dt  C  t1  t2  .
r
t2 dt

25

(9.3)


Ta thấy tích phân phương trình (9.3) là diện tích của một miền được giớ hạn
bởi quỹ đạo của hành tinh và hai thành phần vecto thời gian t1 và t 2 . Do đó
diện tích này chỉ phụ thuộc vào độ dài của khoảng thời gian.
Kết quả trên được biết là định luật II Kepler
Thành phần vecto từ mặt trời tới hành tinh quét được những diện tích
bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau.
10. Định luật I Kepler
Xét lực F được xác định trong phương trình (8.3) và giả sử lực không chỉ
là lực xuyên tâm mà độ lớn của lực thoả mãn định luật hấp dẫn Newton xác
định trong phương trình(8.2). Nghĩa là

 d 2

dr d 
Mm
m r 2  2


.

dt dt 
r2
 dt
Từ phương trình (9.2) ta có

d C

và thay vào trên ta được
dt r 2

d 2r C 2
M
 3  2 .
2
dt
r
r

(10.1)

Ta thấy
dr dr d C dr



dt d dt r 2 d

và
d 2 r C d 2 r d 2C 2 dr dr

 3
dt 2 r 2 d 2 dt
r dt d

hoặc
2

d 2r C 2 d 2r 2C 2  dr 

 5 
 .
dt 2 r 4 d 2
r  d 
Thay (10.2) vào (10.1) ta được

26

(10.2)