Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian hoàn thành khóa luận, bên cạnh sự nỗ lực miệt
mài nghiên cứu của bản thân là những đónggóp quý báu của bạn bè thầy
cô trong tổ hình học khoa Toán, đặc biệt là thầy Đinh Văn Thủy –
người đã trực tiếp hướng dẫn tận tình, chu đáo để em có thể hoàn thành
khóa luận này.
Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo Đinh
VănThủy, quý thầy cô, bạn bè đã cổ vũ, động viên em trong suốt thời
gian hoàn thành khóa luận.
Một lần nữa em xin gửi lời cảm ơn và kính chúc sức khỏe tới các thầy
cô!

Hà Nội, tháng 5năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hiền

SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan trước hội đồng khoa học Trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 và hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp khoa Toán:
Khóa luận “Mô hình xạ ảnh của không gian afin và không gian
ơclit” do tôi viết, đó là kết quả của sự tìm tòi, tổng hợp từ các tài liệu
tham khảo và sự hướng dẫn của thầy Đinh Văn Thủy, những trích dẫn
trong khóa luận là trung thực.
Khóa luận không trùng với các khóa luận của các tác giả khác.

Hà Nội, tháng 5năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hiền

SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
NỘI DUNG ............................................................................................ 3
Chương I: MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFIN ................ 3
1.1.Xây dựng mô hình ............................................................................ 3
1.2.Một số khái niệm cơ bản của hình học afin thể hiện trên mô hình .... 4
1.2.1. Tọa độ afin và mục tiêu afin ......................................................... 4
1.2.2 . Các m – phẳng afin...................................................................... 6

1.2.3. Sự cùng phương của các phẳng afin. ............................................ 8
1.2.4. Phép biến đổi afin......................................................................... 8
1.2.5. Tỉ số kép ..................................................................................... 10
1.2.6 Siêu mặt bậc hai afin trong An = Pn \ Pn-1 .................................... 12
1.3. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin ............................................... 13
1.3.1. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin............................................ 13
1.3.2. Thể hiện afin của các đường conic trong A2 ............................... 13
Chương 2 ............................................................................................. 15
MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN ƠCLIT ............................. 15
2.1. Xây dựng mô hình ......................................................................... 15
2.1.1. Cái tuyệt đối của không gian xạ ảnh Pn ...................................... 16
2.2.Một số khái niệm cơ bản của hình học ơclit thể hiện trên mô hình . 16
2.2.1. Sự vuông góc của hai đường thẳng ............................................. 16
2.2.2. Siêu cầu ...................................................................................... 17
2.2.3. Phép đồng dạng .......................................................................... 18
2.3. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit ............................................. 20
2.3.1. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit .......................................... 20
2.3.2. Một số thể hiện trên mô hình ...................................................... 20

SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

Chương 3: BÀI TẬP ............................................................................ 23
Dạng 1: Áp dụng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin vào giải các bài toán 23
Dạng 2: Áp dụng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơlit vào giải các bài
toán sơ cấp. .......................................................................................... 35

KẾT LUẬN.......................................................................................... 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 43

SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp ĐH


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành dành
cho sinh viên ngành toán tại các trường đại học sư phạm trong cả nước.
Mục đích của môn học này là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan
về các hình học và mối quan hệ giữa chúng. Đồng thời hình học xạ ảnh
giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng
tạo một số bài toán ở trường trung học phổ thông.
Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài
toán hình học afin và hình học ơclit là một vấn đề cơ bảnvà cũng là một
trong những mục đích, yêu cầu quan trọng dành cho các sinh viên khi
học môn hình học xạ ảnh.
Nhằm tìm hiểu rõ hơn về hình học xạ ảnh đồng thời ứng dụng nó

vào việc giải các bài toán hình học afin và hình học ơclittôi đã chọn đề
tài nghiên cứu khoa học là: “Mô hình xạ ảnh của không gian afin và
không gian ơclit”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu mô hình xạ ảnh của không gian afin và không gian ơclit.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Mô hình xạ ảnh của không gian xạ ảnh An và En.
4. Mức độ và phạm vi nghiên cứu.
Tìm hiểu tổng quan về mô hình xạ ảnh của không gian afin và
không gian ơclit.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu.


Tìm hiểu cách xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian afin

và không gian ơclit.

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền1K35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2



Khóa luận tốt nghiệp ĐH

Tìm hiểu về một số khái niệm cơ bản hình học afin và hình

học ơclit thể hiện trên mô hình.



Tìm hiểu mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin và mặt phẳng



Một số bài toán chọn lọc áp dụng mô hình xạ ảnh của hình học

ơclit.
trong A2, E2.

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền2K35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

NỘI DUNG
Chương I: MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFIN

1.1.Xây dựng mô hình
Trong Pnchọn một siêu phẳngPn-1nào đó và gọi An= Pn\ Pn-1là tập
hợp những điểm của Pn mà không thuộc Pn-1
Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {Ai;E} của Pn sao cho các đỉnh A1, A2, ...
, An thuộc Pn-1 và do đó đỉnh An+1 không thuộcPn-1. Đối với mục tiêu đã
chọn siêu phẳng Pn-1 có phương trình xn+1=0. Bởi vậy mọi điểm X thuộc
An sẽ có tọa độ xạ ảnh là (x1, x2,....., xn+1) trong đó xn+1≠0 và có tọa độ xạ
ảnh không thuần nhất là (X1, X2,....,Xn) trong đó Xi =

. Khi đó có một


song ánh từ tập An vào Rnbằng cách ta cho mỗi điểm thuộc An tương
ứng với tọa độ không thuần nhất của nó. Gọi Vn là không gian vectơ n
chiều trên trường số thực R với cơ sở{

...., } và ta xét ánh xạ:

φ : An x AnVn
(X,Y)φ(X,Y) =

=(Y1 – X1, Y2 – X2,....,Yn – Xn )∕ { }

Thì ánh xạ φ thõa mãn 2 tiên đề không gian afin, thật vậy:
+)  X An : X= ( X1, X2,...., Xn ) và =(v1,v2,...,vn)  Vn. Khi đó
có duy nhất điểm Y=(Y1,Y2,....,Yn) vớiY1= X1+ v1; Y2= X2+ v2; ....; Yn=
Xn+ vn và φ(X,Y) =
+)  X, Y,Z An : X= ( X1, X2,...., Xn ), Y=(Y1,Y2,....,Yn),
Z=( Z1, Z2,...., Zn )
Ta có

φ(X,Z) =

= (Z1 – X1, Z2 – X2,....,Zn – Xn)

=(Z1 – Y1, Z2 – Y2,....,Zn – Yn )+ (Y1 – X1, Y2 – X2,....,Yn – Xn )
=

+

= φ(X,Y)+ φ(Y,Z)


SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền3K35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

Vậy Anđược gọi là mô hình xạ ảnh của không gian afin.
1.2.Một số khái niệm cơ bản của hình học afin thể hiện trên mô hình
1.2.1. Tọa độ afin và mục tiêu afin
Ta xét mục tiêu xạ ảnh
{Ai; E}của không gian xạ ảnh
Pn. Gọi Ei là giaocủa đường
thẳng

AiAn+1

với

E

siêu

X

An+1

phẳngchứa các đỉnh Ai còn lại
Xi


của mục tiêuvà điểm E, còn Xi
là giao điểm củađường thẳng

Ei

đó với các siêu phẳngchứa các
Ai

điểm Ai còn lại và điểm X.

Hình 1
Ta có các tỉ số kép (H.1):
(AiAn+1EiXi)=

và (AiAn+1EiEi)=1

Do đó các điểm Ei có tọa độ xạ ảnh là:
Ei =(0,...,0,1,0,...,0,1) (số 1 thứ nhất ở cột thứ i)
Do đó ta tính được tọa độ xạ ảnh của các điểm E1,E2,...,En là:
E1= (1,0,...,0,1)
E2= (0,1,0,....,0,1)
................................
En= (0, ...., 1,1)
Ta suy ra tọa độ xạ ảnh không thuần nhất của các điểm đó là:
E1= (1,0,...,0)
E2= (0,1,0,....,0)
................................
En= (0,....,0,1)


SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền4K35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

Điểm An+1(0,0,....,0,1) có tọa độ xạ ảnh không thuần nhất là:
An+1=(0,0,....,0)
Do cách đặt tương ứng khi xây dựng mô hình ta có:
= (1,0,....,0) =
= (0,1,0,....,0) =
............................................
= (0,....,0,1) =
Ta nhận thấy các vectơ

chính là các vectơ cơ sở

trong

không gian vectơ Vn. Do đó ta có thểdùng bộ điểm{An+1; E1,E2,....., En}
làm mục tiêu afin của không gian afin An= Pn\ Pn-1. Mục tiêu afin này
được sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh {Ai; E} đã cho.
Nếu một điểm XAn= Pn\ Pn-1có tọa độ xạ ảnh không thuần nhất
là (X1, X2,...., Xn ) thì vectơ

có tọa độ là:
= (X1 – 0 , X2 – 0, ......,Xn – 0)
= (X1, X2,...., Xn)


Điều đó chứng tỏ rằng (X1, X2,...., Xn) là tọa độ afin của điểm X
đối với mục tiêu afin {An+1; Ei}, i = 1,2,.....,n. Vậy :
Kết luận: Tọa độ xạ ảnh không thuần nhất của một điểm X thuộc
An đối với mục tiêu xạ ảnh {Ai ; E} chính là tọa độ afin của điểm X đó
đối với mục tiêu afin {An+1; Ei}, i= 1,2,....,n, còn mục tiêu afin {An+1; Ei}
gọi là được sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh {Ai ; E} cho trước.
Ví dụ: Trong mặt phẳng afin A2 = P2\P1, ta thấy mục tiêu afin
{A3; E1,E2} được sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh {A1, A2,A3; E}. Trong
trường hợp này đường thẳngP1 = A1A2 là đường thẳng vô tận có phương
trình x3 =0 nên không có trong mặt phẳng mặt afin. Các đường thẳng

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền5K35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

đồng quy tại A1 hoặc A2 nằm trên P1trở thành những đường thẳng song
song với nhau trong mặt phẳng afin (H.2)

E

E
X
X

Hình 2
1.2.2. Các m – phẳng afin
Ta hãy xét một m – phẳng Pmnào đócủa Pnmà không nằm trong

siêu phẳng Pn-1. Giả sử đối với mục tiêu xạ ảnh đã chọn sao cho Pn-1có
phương trình xn+1=0, khi đó Pmcó phương trình:
n 1

a x
ij

j

,

j=1,2,....,n – m

j 1

Trong đó ma trận [ aij ] có hạng bằng n – m.
Gọi Am là tập hợp những điểm X thuộc Pm mà không thuộc Pn-1 có
nghĩa là :
Am = Pm Anvới An= Pn\ Pn-1

Hình 3

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền6K35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

Khi đó mỗi điểm X của Am có tọa độ xạ ảnh không thuần nhất là (

X1, X2,...., Xn) với Xi =
X(x1,x2,...,xn+1) Am

với xn+1≠0

Chia hai vế của phương trình m – phẳng cho xn+1 ta có:
n

a X
ij

j

+ ai,n+1 =0 ,

i=1,2,....., n –m

j 1

Ta thấy ma trận aij của hệ phương trình này cũng có hạng bằng n –
m.Thật vậy ta hãy xét hệ phương trình sau đây:

i = 1,2,....,n - m
Vì Pm không thuộc Pn-1 nên hệ này có hạng bằng n – m+1. Gọi A
là ma trận của hệ, ta có hạng của A phải bằng n – m+1 :

A=

Nếu ma trận [aij] có hạng nhỏ hơn n – m thì ma trận A sẽ có hạng
nhỏ hơnn – m +1 là điều vô lý

n

Vậy hệ phương trình

a X
ij

j

+ ai,n+1 =0 ,

i=1,2,....., n –m có

j 1

hạng bằng n – m, là phương trình của một m – phẳng afin.
Vậy: Mỗi m – phẳng afin Am chính là một m – phẳng xạ ảnh
Pm(không thuộc Pn-1) sau khi bỏ đi những điểm nằm trên siêu phẳng Pn-1.

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền7K35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

1.2.3. Sự cùng phương của các phẳng afin.
Trong Pn cho hai cái phẳng Pr và Ps phân biệt (r ≥ s ) đều không
thuộc Pn-1 nhưng có giao là một cái phẳng s – 1 chiều thuộc Pn-1 vìPn1


Ps = Ps-1.
Giả sử PrPs = Qs-1Pn-1
ThìPr \ Pn-1 và Ps \ Pn-1 là hai phẳng afin song song.
Ví dụ: Trong A2 = P2 \ P1 hai đường thẳng a, b song song với

nhau nghĩa là hai đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm nằm trên P1.
Một tứ đỉnh toàn phần ABCD có AB  DC và AD  BC thuộc P1 thì tứ
đỉnh toàn phần đó biểu thị cho hình bình hành ABCD trong mặt phẳng
afin ( H.4)
P1
B
a b

C

A
D
Hình 4

1.2.4.Phép biến đổi afin
Trong tập hợp tất cả những phép biến đổixạ ảnh của Pnta hãy xét
những phép biến đổi biến siêu phẳng Pn-1 thànhchính nó. Mỗi phép biến
đổi như vậy biến mỗi điểm có tọa độ xạ ảnh (x1,x2,....,xn+1) thành điểm có
tọa độ xạ ảnh (x’1,x’2,....,x’n+1) sao cho nếu xn+1 = 0 thì x’n+1 = 0 và nếu
xn+1 ≠ 0 thì x’n+1 ≠ 0. Muốn vậy trong phương trình của phép biến đổi
xạảnh cần có phương trình x’n+1 = xn+1. Do đó phương trình của phép
biến đổi xạ ảnh có dạng :

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền8K35G – SP Toán



Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

i =1,2,...,n

Trong đó ma trận A của phếp biến đổi xạ ảnh là một ma trận
vuông cấp n+1 không suy biến và có dạng:

A=

Khi đó phép biến đổi xạ ảnh nói trên của Pnsẽ sinh ra trên không
gian afin An một phép biến đổi afin. Thật vậy ta hãy lấy một điểm X An
có tọa xạ ảnh là (x1,x2,..., xn+1) trong đó xn+1 ≠ 0. Qua phép biến đổi xạ
ảnh nói trên điểm X biến thành diểm X’ có tọa độ xạ ảnh là
(x’1,x’2,....,x’n+1) và tất nhiên x’n+1 ≠ 0. Chuyển tọa độ xạ ảnh của X và
X’ sang tọa độ afin ta có phép biến đổi:

Trong đó ma trận A’ = [aij], i,j = 1,2,...,n là ma trận vuông cấp n
không suy biến và như vậy ta có phép biến đổi afin.
Kết luận: Mỗi phép biến đổi xạ ảnh của Pn biến Pn-1 thành chính
nó sẽ sinh ra trên An một phép biến đổi afin.
Ngược lại mỗi phép biến đổi afin của không gian afin An đều có
thể xem như được sinh ra bởi một phép biến đổi xạ ảnh của Pn biến siêu
phẳng Pn-1 thành chính nó.
Thật vậy nếu ta có một phép biến đổi afin thì bằng cách chuyển từ
tọa độ afin sang tọa độ xạ ảnh ta sẽ có n phương trình đầu của phép biến
đổi xạ ảnh với điều kiện xn+1 ≠ 0. Sau đó ta thêm vào n phương trình
SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền9K35G – SP Toán



Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

đómột phương trình x’n+1 =xn+1 và xem xn+1 có thể bằng 0 thì ta được
phương trình của phép biến đổi xạ ảnh sinh ra phép biến đổi afin nói
trên. Phép biến đổi xạ ảnh này biến siêu phẳng Pn-1 thành chính nó.
1.2.5. Tỉ số kép
a) Giả sử A, B, C, D là bốn điểm phân biệt nằm trên một đường
thẳng xạ ảnh ℓ của Pn nhưng không có điểm nào trong bốn điểm thuộc
siêu phẳng Pn-1.
Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {Ai,E}sao cho An+1 ≡ A, A1 = ℓ Pn-1.
Khi đó các điểm B, C, D có tọa độ biểu thị
tuyến tính qua tọa độ của An+1 và A1.
A1

Ta có A =( 0,0,....,0,1)
D

B =b,0,....,0,1)

C
P

B

C =( c,0,.....,0,1)
A

ℓ

Hình 5
D =(d,0,.....,0,1)
Thật vậy ta hãy tính tọa độ điểm B(b1, b2,...,bn+1)

=

+

=

=

=

Tương tự ta tính được tọa điểm C và D.
Bây giờ ta tính tỉ số kép (ABCD). Ta có:
= 1

+ 1

 (ABCD) =

;

= 2

:


SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền10K35G – SP Toán

+ 2

n-1


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

Thay tọa độ của các điểm A, B, C, D vào công thức định nghĩa
của tỉ số kép ta có:
=
=
Do đó (ABCD) =

:

Nếu chuyển tọa độ xạ ảnh của các điểm A, B, C, D sang tọa độ
afin ta có:
A = (0,0,.....,0)
B = (b,0,......,0)
C = (c,0,.......,0)
D = (d,0,.......,0)
Ta tính được tọa dộ của các véctơ sau đây:
= ( -c,0,...,0) ;

= (-d,0,...,0)


= (b-c,0,...,0) ;

= (b-d,0,...,0)

Do đó (ABC) = -

và (ABD) = -

Nên: (ABCD) =
Như vậy tỉ số kép (ABCD) của bốn điểm A, B, C, D bằng tỉ số của
hai tỉ số đơn (ABC) và (ABD).
b) Nếu một trong bốn điểm A, B, C, D là điểm vô tận, ví dụ điểm
Dthuộc siêu phẳng Pn-1 thì khi đó D ≡ A1 và ta có :
=nên

+
(ABCD) =

:

=-

= (CAB)

Vậy (ABCD∞) = (ABC)

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền11K35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp ĐH

Đặc biệt nếu (ABCD) = -1 và D là điểm vô tận thì khi đó C là
trung điểm của đoạn AB.
(ABCD∞) = (ABC) = -1
1.2.6 Siêu mặt bậc hai afin trong An = Pn\ Pn-1
Trong mô hình xạ ảnh của không gian afin An = Pn\ Pn-1, siêu mặt
bậc hai afin (S’) sinh ra bởi siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S): (S’) = (S) \ Pn-1là
tập hợp những điểm thuộc siêu mặt xạ ảnh (S) mà không thuộc siêu
phẳng Pn-1.
a) Hai điểm của An được gọi là liên hợp với nhau đối với (S’) nếu
chúng liên hợp với đối với (S). Từ đó suy ra: tập hợp các điểm của An
cùng liên hợp với điểm I (I không phải là tâm của (S’)) là một siêu phẳng
’ của An, ta gọi là siêu phẳng đối cực của điểm I đối với (S’). Dễ thấy
rằng ’ = \ Pn-1 trong đó  là siêu phẳng đối cực của điểm I đối với (S).
b) Nếu hai điểm P, Q của Pn liên hợp với nhau đối với (S) và
đường thẳng < P, Q > cắt (S’) tại hai điểm M, N. Khi đó Q là điểm vô
tận của An khi và chỉ khi P là trung điểm của đoạn thẳng MN. Từ đó suy
ra: Điểm I của Anlà tâm của (S’) khi và chỉ khi nó liên hợp với mọi điểm
của Pn-1 đối với (S). Đặc biệt, nếu (S) không suy biến và không tiếp xúc
với Pn-1 thì (S’) có tâm duy nhất, đó là điểm đối cực của Pn-1 đối với (S).
c) Gọi C = (0:c1:c2:....:cn) là một điểm thuộc (S)Pn-1, nó xác định
n

một phương:

n

= (c1:c2:....:cn) của A , vì khi đó


a cc
ij i

j

 0 nên

i , j 1

chính là phương tiệm cận của (S’). Nếu (S’) có tâm duy nhất I thì đường
thẳng afin đi qua I có phương là đường tiệm cận của (S’).

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền12K35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

1.3. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin
1.3.1. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin
Từ xây dựng trên với n = 2 ta có A2 = P2 \ ∆ là mô hình xạ ảnh của
mặt của mặt phẳng afin.
1.3.2.Thể hiện afin của các đường conic trong A2
Nếu (S) là đường ôvan trong mặt phẳng xạ ảnh P2 thì trong mặt
phẳng afin A2 = P2\ ∆, tập (S) \ ∆ sẽ là:
● Đường elip, nếu (S) không cắt ∆

P2


A2 = P2 \ ∆

●Đường parabol, nếu (S) tiếp xúc với ∆
P2

A2 = P2\ ∆

S

P

I
∆

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền13K35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

● Đường hypebol, nếu (S) cắt ∆ tại hai điểm phân biệt

P2

A2= P2\
S

H

I

J


SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền14K35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

Chương 2
MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN ƠCLIT

2.1.Xây dựng mô hình
Xét không gian xạ ảnh thực Pn, một siêu phẳng Pn-1 của Pn, thì có
mô hình xạ ảnh An = Pn \ Pn-1 của không gian afin thực n chiều.
Ta chọn trong không gian En đó một mục tiêu trực chuẩn {An+1;
Ei} tức là:
.

=

với i,j = 1,2,...,n

Ta hãy gọi {Ai; E} là một mục tiêu xạ ảnh sinh ra mục tiêu trực
chuẩn{An+1; Ei}. Điều đó có nghĩa là: Ai là giao điểm của đường thẳng
An+1Ei với siêu phẳng Pn-1với i = 1,2,...,n còn E là điểm của En có tọa độ
là (1,1,...,1).



=  An 1 Ei
n

Khi đó ta có

i 1

Ta có nếu một điểm XEn có tọa độ đối với mục tiêu trực chuẩn
{An+1; Ei} là (X1,X2,...,Xn) thì nó sẽ có tọa độ đối với mục tiêu xạ ảnh
{Ai;E} là (x1,x2,...,xn) với xn+1≠ 0 và Xi =

i = 1,2,...,n

Đối với mục tiêu trực chuẩn đã chọn hai vectơ

= (u1,u2,...,un)

và = (v1,v2,...,vn) sẽ có tích vô hướng là:
= [u]*[v]
Khi đó An trở thành một không gian Ơclit n- chiều và gọi là mô
hình xạ ảnh của không gian Ơclit n chiều.

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền15K35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH


2.1.1.Cái tuyệt đối của không gian xạ ảnh Pn
Trong Pn với mục tiêu xạ ảnh {Ai; E} ta chọn siêu phẳng Pn-1 có
phương trình xn+1=0. Trong siêu phẳng Pn-1 ta lấy mục tiêu (A1,A2,...,An ;
E’) trong đó E’ là giao của đường thẳng An+1E với siêu phẳng Pn-1. Ta
hãy xét một siêu mặt trái xoan không T có phương trình đối với mục tiêu
(A1,A2,...,An ; E’) là:
n
2
i

[x]*[x] =  x
i 1

=0

Siêu mặt trái xoan không T gọi là cái tuyệt đối của không gian xạ ảnh
Pn.
2.2.Một số khái niệm cơ bản của hình học ơclit thể hiện trên mô hình
2.2.1. Sự vuông góc của hai đường thẳng
Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng d và d’ vuông
góc với nhau là hai điểm vô tận của chúng liên hợp với nhau đối với cái
tuyệt đối T.
Chứng minh : Ta dựng qua gốc
An+1 của mục tiêu trực chuẩn

d

{ An+1;Ei} hai đường thẳng d1 và d’1
lần lượt song song với d và d’. Trên d1


x

và d’1 ta lần lượt lấy hai điểm X và X’
khác

với

An+1

có

tọa

độ

là

(X1,X2,...,Xn) và (X’1,X’2,...,X’n).
Gọi A∞ và A’∞ lần lượt là hai
điểm vô tận của d1 và d’1 (cũng là
điểm vô tận của d và d’ ) ( H.6)

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền16K35G – SP Toán

T

x’

d’



Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

Khi đó ta có tọa độ xạ ảnh của A∞ và A’∞ là

Hình 6

A∞ = (X1,X2,...,Xn,0) ; A’∞ =(X’1,X’2,...,X’n,0)
( vì Pn-1 có phương trình xn+1 = 0 )
Điều kiện cần và đủ để d1 và d’1 vuông góc với nhau là:
n

.

=0 

X X
i

'
i=

0

i 1

Đó chính là điều kiện để hai điểm A∞ và A’∞ liên hợp với nhau đối

với cái tuyệt đối T.
2.2.2. Siêu cầu
Định lí: Mỗi siêu mặt bậc hai trong không gian Ơclit En là một
siêu cầu khi và chỉ khi nó cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T.
Chứng minh: Mỗi siêu cầu trong En có phương trình đối với cơ sở
trục chuẩn { An+1;Ei} là:
n

 X

2

i

 X i0  = R2

(1)

i 1

Trong đó (

,

, ....,

là tọa độ của tâm siêu cầu và R là bán

kính của siêu cầu. Bằng cách chuyển sang tọa độ xạ ảnh ta đưa phương
trình siêu cầu trên về dạng:

2

 xi
xi0 
 0  = R2


xn 1 
i 1  xn 1
n

n

hay

x

(2)

2

x  xi0 xn 1  = R2

0
n 1 i

(3)

i 1


Muốn tìm giao của siêu cầu với siêu phẳng vô tận có phương trình
xn+1 = 0, ta thay xn+1 = 0 vào phương trình (3) ta có:
n

02
2
n 1 i =

x
i 1

x

n

0 hay

2
i

x
i 1

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền17K35G – SP Toán

=0


Trường ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp ĐH

Đó chính là phương trình của cái tuyệt đối T. Vậy mọi siêu cầu
của En đều cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T.
Ngược lại giả sử (S) là một siêu mặt bậc hai nào đó của En có
phương trình đối với cơ sở trực chuẩn {An+1;Ei} là:
n

n

a X X
ij

i

j

+2

i , j 1

a

i,n+1

X i  an 1,n 1 = 0

(4)

i 1


Bằng cách chuyển sang tọa độ xạ ảnh ta có phương trình
n 1

a xx
ij i

j

=0

(4’)

i , j 1

Giao của siêu mặt (4’) đó với siêu phẳng vô tận có phương trình
xn+1=0 là:
n

a xx
ij i

j

=0

(5)

i , j 1


Vì giao đó trùng với cái tuyệt đối T nên aij= kij với k≠ 0. Như vậy
phương trình (4) sẽ trở thành:
n

k

X

n
2
i

+2

i 1

a

i,n+1

X i + an+1,n+1 = 0

(6)

i 1

Phương trình (6) chính là phương trình của một siêu cầu (có thể là
siêu cầu điểm hoặc siêu cầu ảo) và định lí đã được chứng minh.
2.2.3.Phép đồng dạng
Định lí: Mỗi phép biến đổi afin của không gian ơclit En là một

phép đồng dạng khi và chỉ khi nó được sinh ra bởi một phép biến đổi của
Pn sao cho cái tuyệt đối T được giữ nguyên.
Chứng minh: Đối với mục tiêu trực chuẩn đã chọn, mỗi phép afin
của En sẽ có phương trình:

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền18K35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

n 1

X’i =

b X
ij

j

+ bi,n+1

i=1,2,....,n

(7)

j 1

trong đó ma trận B = [bij] không suy biến.

Lại có phép afin đó được sinh ra bởi phép biến đổi xạ ảnh sau đây của
Pn:

i= 1,2,.....,n

(8)

Phép biến đổi (8) ở trên sẽ sinh ra trên siêu phẳng vô tận Pn-1 một
phép biến đổi sau đây:

i=1,2,....,n

(9)

Hay [x’] = B[x]

(10)

Ta suy ra [x] = B-1[x’]

(11)

Do đó: [x]*[x] = [x’]*(B-1)*B-1[x’]
= [x’]*(BB*)-1[x’]

(12)

Nếu phép afin (7) là phép đồng dạng thì BB* = kI với k≠0, do đó
phép (9) hay (10) sẽ biến mỗi điểm (x1,x2,...,xn) của cái tuyệt đối T thành
điểm (x’1,x’2,...,x’n) thỏa mãn điều kiện:

[x’]*(BB*)-1[x’] = 0
Hay [x’]*[x’] = 0

(13)
(14)

Nghĩa là (x’1,x’2,...,x’n) cũng nằm trên cái tuyệt đối T. Vậy T biến
thành chính nó.
Ngược lại nếu phép biến đổi (9) biến T thành chính nó thì phương
trình (13) phải trùng với phương trình (14) nên:
(BB*)-1 = kI với k≠ 0

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền19K35G – SP Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp ĐH

hay BB* = I
Điều đó chứng tỏ phép biến đổi (7) là một phép đồng dạng.
2.3. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit
2.3.1. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit
Ta chọn trong mặt phẳng xạ ảnh P2 một đường thẳng ∆ làm đường
thẳng vô tận.
Chọn mục tiêu xạ ảnh sao cho ∆ có phương trình x3 = 0. Đường
thẳng ∆ như vậy sẽ đi qua A1, A2 của mục tiêu (H.7)
Cái tuyệt đối T trên ∆ là hai cặp điểm ảo I, J
liên hợp thỏa mãn hệ phương trình :


A2

∆

=0
E

Hình 7
Ta có I(1,i,0) , J(1,-i,0) là hai điểm cyclic (hay hai viên điểm) của mô
hình.
2.3.2. Một số thể hiện trên mô hình
● Hai đường thẳng a, b có hai phương xác định lần lượt bởi hai
điểm vô tận là U, V trên ∆, biểu thị cho hai đường thẳng vuông góc với
nhau nếu: (UVIJ) = -1
∆

U

I

a

V

J

b

● Đường tròn là đường trái xoan S cắt đường vô tận ∆ tại hai điểm
cyclic I, J.


∆

I

J

SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền20K35G – SP Toán