TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

Phạm Thị Lan Anh

Martingale rời rạc và ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Chuyên ngành: Toán - ứng dụng

Người hướng dẫn:
TS.Trần Minh Tước

Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới
thầy giáo hướng dẫn TS.Trần Minh Tước. Thầy đã giao đề tài và tận tình
hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này. Nhân dịp này em
xin gửi lời cảm ơn của mình tời toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán
học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp K35ACN Toán ngành
Toán ứng dụng, khoa Toán học đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập tại lớp.
Hà nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Phạm Thị Lan Anh

Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chương 1. Martingale rời rạc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Kỳ vọng có điều kiện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Khái niệm tương thích và dự báo được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1. Các σ -trường liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Thời điểm Markov và thời điểm dừng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2. Các ví dụ về thời điểm dừng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3. Các tính chất của thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Quá trình Martingale rời rạc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
14
15

Chương 2. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1. Bài toán Gambler và Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2. Quá trình dừng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3. Áp dụng Optional Stopping theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25


Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2


LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết xác suất và thống kê là một bộ phận của toán học, nghiên cứu các
hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế.Các khái niệm dầu
tiên của xác suất do các nhà toán học tên tuổi Pierre Fermat ( 1601 - 1665 )
và Bailes Pascal ( 1623 - 1662 ) xây dựng từ thế kỷ thứ XVII dựa trên việc
nghiên cứu các quy luật trong trò chơi may rủi.Sau gần 3 thế kỷ phát triển,
lý thuyết xác suất đã được A.N.Kolmogorov tiên đề hóa.
Dựa trên nền tảng đó, nhiều hướng nghiên cứu chuyên sâu của xác suất
đã ra đời, trong đó có martingale. Đề tài luận văn của em "Martingale rời
rạc và ứng dụng " là một phần nhỏ thuộc hướng nghiên cứu đó. Để có thể
hiểu và nắm bắt được một số kết quả của đề tài, em xây dựng luận văn theo
2 chương:
Chương 1: Martingale rời rạc.
Chương 2: Ứng dụng.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn
đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi
có những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của
thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn!

3



LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.Trần Minh
Tước, cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá trình nghiên cứu và thực
hiện khóa luận, em có tham khảo một số tác giả ( đã nêu trong mục tài liệu
tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.Nếu sai em xin
chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Phạm Thị Lan Anh

4


Chương 1

Martingale rời rạc.
1.1.

Kỳ vọng có điều kiện.

Định nghĩa 1.1. Cho biến ngẫu nhiên X mà E(|X|) < ∞. Ta đã biết, E(X|Y )
là kỳ vọng có điều kiện của X theo Y và được định nghĩa là hàm của Y khi
Y = y bằng:


∑ P(X = x|Y = y) nếu X,Y rời rạc,
E[X|Y = y] = x


 x fX|Y (x|y)dx
nếu X,Y liên tục và có hàm mật độ f .
Ở đó
x fX|Y (x|y) =

f (x, y)
f (x, y)
=
f (x, y)dx
fY (y)

Kết quả quan trọng:
E[X] = E[E[X|Y ]].
Sau đó nó được chứng minh và được viết lại là


∑ E[X|Y = y]P(Y = y) nếu X,Y rời rạc,
E[X] = y

 E[X|Y = y] f (y)dy nếu X,Y liên tục.
Y
5


Đây là kết quả quan trọng được sử dụng trong một loạt các tính chất sau này.
Định nghĩa 1.2. Cho hai biến ngẫu nhiên X,Y ta gọi E[X|Y ] là kỳ vọng có
điều kiện của X theo Y , là một hàm h(Y ) mà có tính chất với mọi A ∈ σ (Y )
thì
E[XIA ] = E[h(Y )IA ].

(1.1.1)
Tính chất 1.1.

1. Nếu C là hằng số thì E(C|F ) = C (h.c.c).

2. Nếu X ≤ Y (h.c.c) thì E(X|F ) ≤ E(Y |F ) (h.c.c).
3. |E(X|F )| ≤ E(|X||F ).
4. Nếu a, b là hằng số và aEX + bEY xác định thì
E((aX + bB)|F ) = aE(X|F ) + bE(Y |F ) (h.c.c).
5. E(X|{0,
/ Ω}) = EX (h.c.c).
6. E(X|F ) = X (h.c.c).
7. E[E(X|F )] = EX (h.c.c).
8. Nếu F1 ⊂ F2 thì
E[E(X|F2 )|F1 ] = E[E(X|F1 )|F2 ] = E(X|F1 ) (h.c.c).
9. Nếu X độc lập với F (nghĩa là σ (X) và F độc lập) thì
E(X|F ) = EX (h.c.c).
10. Nếu Y là F −đo được và E|Y | < ∞, E|XY | < ∞ thì
E(XY |F ) = Y E(X|F )(h.c.c).
Chứng minh. (1) là hiển nhiên.
(2) X ≤ Y (h.c.c) suy ra E[XIA ] ≤ E[Y IA ] với mọi A ∈ F
hay
E[E(X|F )I] ≤ E[E(Y |F )I], ∀A ∈ F .
6


Tức là
E(X|F ) ≤ E(Y |F ) (h.c.c).
(3) −|X| ≤ X ≤ |X| suy ra
−E(X|F ) ≤ E(Y |F ) ≤ E(|X||F )

Từ đó ta có điều phải chứng minh.
(4) A ∈ F thì
E[(aX + bY )IA ] = aE[XIA ] + bE[Y IA ]
= aE[E(X|F )IA ] + bE[E(Y |F )IA ]
= E[(aE(X|F ) + bE(X|F ))IA ]
Từ đó ta có kết luận.
(5) EX đo được đối với σ −đại số {0,
/ Ω} và nếu A = 0/ hoặc A = Ω thì ta có.
XdP =
A

A

EXdP.

Đó là điều phải chứng minh.
(6) Hiển nhiên.
(7) Sử dụng (1.1.1) với A = Ω.
(8) Nếu A ∈ F1 thì
A

E[E(X|F2 )|F1 ]dP =

A

E(X|F2 )dP =

xdP.
A


từ đó theo bất đẳng thức đầu. Bất đẳng thức sau suy ra từ (6) và nhận xét
E(X|F1 ) là F2 −đo được.
(9) Nếu A ∈ F thì X và IA độc lập. Do đó

A

XdP = EXIA = EX · P(A) =

Từ đó ta có kết luận.

7

A

EXdP.


1.2.

Khái niệm tương thích và dự báo được.

1.2.1.

Các σ -trường liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên

Cho trước quá trình ngẫu nhiên X = {Xn , n ∈ N}. Ký hiệu σ ({Xn , n ∈ N})
là σ -trường bé nhất của A chứa tất cả các σ -trường σ (Xn ), n ∈ N. Ta gọi
σ ({Xn , n ∈ N}) là σ -trường sinh ra từ X = {Xn , n ∈ N}.
Đặt
X

σ≤n
= σ≤n = σ ({Xm , m ≤ n}), m, n ∈ N,
X
σ= σX
σ=n
= σ=n = σ (Xn ),
X
σ≥n
= σ≥n = σ ({Xm , m ≥ n}), m, n ∈ N,
X
σ>n
= σ>n = σ ({Xm , m > n}), m, n ∈ N.
Cho dãy σ -trường {An , n ∈ N} được gọi là không giảm nếu
Am ⊂ An , m ≤ n, ∀m, n ∈ N.
Chẳng hạn, {σ≤n , n ∈ N} là họ không giảm. Ta lưu ý rằng σ≤n gồm các biến
cố quan sát được tính đến thời điểm n.

Định nghĩa 1.3. Dãy quá trình ngẫu nhiên X = {Xn , n ∈ N} được gọi là
tương thích với dãy các σ -trường {An , n ∈ N} nếu ∀n ∈ N thì Xn là An -đo
được.
Định nghĩa 1.4. Ta nói rằng V = {Vn , An−1 , n ∈ N}, A1 = A0 là dãy dự
báo được nếu Vn là An−1 -đo được với mỗi n ∈ N.

Rõ ràng, dãy dự báo được là dãy tương thích. Tất nhiên, ta luôn có X =
{Xn , σ ≤ n, n ∈ N} là dãy tương thích. Người ta thường gọi σ≤n là σ -trường
tự nhiên của dãy X = {Xn , n ∈ N}. Nó gồm tất cả những biến cố liên quan
đến quá khứ ( trước n ) và hiện tại ( tại n) của dãy.

8


1.3.

Thời điểm Markov và thời điểm dừng.

Từ nay về sau ta luôn giữ các giả thiết sau:
• Giả sử (Ω, A , P) là không gian xác suất với A chứa tất cả các tập
có xác suất 0 (tập O được gọi là xác suất 0, nếu tồn tại A ∈ A sao
cho P(A) = 0 và O ⊂ A). Trong trường hợp này, ta nói (Ω, A , P) là
không gian xác suất đầy đủ.

• N = {0, 1, 2, . . .}, N = N ∪ {∞}.
• R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}.
• A , n ∈ N dãy các σ -trường không giảm. Ký hiệu
∞

A∞ =

An .
n=0

là σ -trường bé nhất chứa tất cả An , n ∈ N.

1.3.1.

Định nghĩa.

Giả sử τ : Ω → N ∪ {∞} là biến ngẫu nhiên ( có thể lấy giá trị ∞).Ta nói

rằng τ là thời điểm Markov đối với {A , n ∈ N}, nếu
{ω : τ(ω) = n} ∈ An

, ∀n ∈ N.

Nếu thêm vào đó P(τ < ∞) = 1, thì τ được gọi là thời điểm dừng.
Chú ý: τ là thời điểm Markov khi và chỉ khi:
{ω : τ(ω) ≤ n} ∈ An ,

∀n ∈ N.

Thật vậy, chứng minh suy ra từ các bất đẳng thức sau;
n

{ω : τ(ω) ≤ n} =

{ω : τ(ω) = k} ∈ An
k=0

9


{ω : τ(ω) = n} = {ω : τ(ω) ≤ n}|{ω : τ(ω) ≤ n − 1} ∈ An
Ký hiệu Aτ là lớp gồm tất cả các tập con A của Ω sao cho:
A ∈ A∞ , và A ∩ (τ ≤ n) ∈ An
Như vậy, Aτ gồm tất cả các biến cố quan sát được tính đến thời điểm τ.
Dễ dàng chứng minh rằng Aτ là σ -trường con của σ -trường A . Thật vậy:
• Ω ∈ Aτ , vì Ω ∩ (τ ≤ n) = (τ ≤ n) ∈ An .
• Giả sử Ak ∈ Aτ , k = 1, 2, . . . tức là: Ak ∩ (τ ≤ n) ∈ An , k = 1, 2, . . .
Khi đó, ta có:

∞

(

∞

)Ak ∩ (τ ≤ n) =

k=1

Suy ra

∞
k=1 )Ak

(Ak ∩ (τ ≤ n)) ∈ An .
k=1

∈ An ;

• Giả Sử A ∈ A∞ , và Ac = Ω|A. Ta thấy:
Ac ∩ (τ ≤ n) = Ω ∩ (τ ≤ n)|A ∩ (τ ≤ n)
= (τ ≤ n)|A ∩ (τ ≤ n) ∈ An
Suy ra Ac ∈ Aτ .

1.3.2.

Các ví dụ về thời điểm dừng.

¯ thì hiển nhiên τ là thời điểm Markov.

Ví dụ 1. Nếu τ(ω) ≡ n (∈ N)
Ví dụ 2.Giả sử {Xn , n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên, và B là tập Borel của
R. Đặt:

min{n : X ∈ B} nếu ω ∈
n
n∈N Xn ∈ B ,
τB :=
0
nếu Xn ∈
/ B ∀n ∈ E .

10


Khi đó τB là thời điểm Markov đối với {σ≤n }, n ∈ N. Chứng minh suy ra từ:
n

{τB ≤ n} =

{Xk ∈ B} ∈ σ≤n , ∀n ∈ N
k=0

Ví dụ 3. Giả sử {Xn , n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên và Bn , n = 1, 2, . . .
là dãy Borel của R. Đặt τ1 = τB1 :

min{n > τ : X ∈ B }, ω ∈
n
1
2

n∈N {Xn ∈ B2 } ∩ {τ1 < ∞}
τ2 :=
∞
trong các trường hợp còn lại.
τn được định nghĩa tương tự. Khi đo {τn , n ∈ N} là dãy các thời điểm Markov
đối với {σ≤n }, n ∈ N. Chứng minh đối với τ2 suy ra từ:
n

{τ2 ≤ n} = {τ2 ≤ n} ∩

{Xk ∈ B2 }
k>τ1

1.3.3.

Các tính chất của thời điểm dừng

Tính chất 1.2. Giả sử τ là thời điểm Markov đối với{An , n ∈ N} . Khi dó
{τ < n} ∈ An
Thật vậy ta thấy:
n

{τ < n} =

{τ ≤ n − k} ∈ An−1 ⊂ An
k=1

Cần lưu ý rằng, nói chung, từ điều kiện {τ < n} ∈ An không suy ra được τ
là thời điểm Markov.
Tính chất 1.3. Nếu τ1 , τ2 là các thời điểm Markov đối với {An , n ∈ N}, thì

τ1 ∧ τ2 = min(τ1 , τ2 ), τ1 ∨ τ2 = max(τ1 , τ2 )
và (τ1 + τ2 ) là thời điểm Markov đối với {An , n ∈ N}.
Thật vậy chứng minh suy ra từ:
{τ1 ∧ τ2 ≤ n} = {τ1 ≤ n} ∪ {τ2 ≤ n}
11


{τ1 ∨ τ2 ≤ n} = {τ1 ≤ n} ∪ {τ2 ≤ n}
n

{τ1 + τ2 ≤ n} =

{τ1 = k} ∩ {τ2 = n − k}
k=0

Tính chất 1.4. Nếu τ1 , τ2 là các thời điểm Markov đối với {An , n ∈ N}, thì
τn = sup τn ,

τn = inf τn

n

n

n

n

cũng là thời điểm Markov đối với {An , n ∈ N}
Thật vậy, chứng minh suy ra từ

{sup τn ≤ n} =
n

{τn ≤ n},
n

{inf τn ≤ n} =

{τn ≤ n},

n

n

Tính chất 1.5. Nếu τ là thời điểm Markov đối với {An , n ∈ N}, thì τ ∈ Aτ .
Nếu τ và σ các thời điểm Markov đối với {An , n ∈ N} sao cho P(τ ≤ σ ) = 1
thì Aτ ⊂ Aσ .
Thật vậy, giả sử A = {τ ≤ m}. Để chứng minh τ ∈ Aτ , ta phải chỉ ra A ∈ Aτ ,
hoặc tương đương A ∩ {τ ≤ n} ∈ An , ta có:
{τ ≤ m} ∩ {τ ≤ n} = {τ = n ∩ m} ∈ An∩m ⊂ An .
Bây giờ giả sử A ⊂ {ω : σ < ∞} và A ∈ Aτ , Khi đó do P(τ ≤ σ ) = 1 và
σ -trường An đầy đủ, hai tập:
A ∩ {σ ≤ n}; a ∩ {τ ≤ n} {σ ≤ n}
chỉ sai khác nhau một tập có độ đo không, tập thứ hai thuộc vào An nên
A ∩ {σ ≤ n} ∈ An tức là A ∈ Aσ .
Tính chất 1.6. Nếu τ1 , τ2 là các thời điểm Markov đối với {An , n ∈ N}, và
τ = inf τk , thì:
k

Aτ =

Aτk
k

12


Thật vậy, theo tính chất 4, ta có: Aτ ⊂
Mặt khác, nếu A = k Aτk , thì:

k Aτk

(A ∩ {τk ≤ n}) ∈ An

A ∩ {τ ≤ n} = a ∩ ( {τk ≤ n}) =
k

k

Suy ra A ∈ Aτ .
Tính chất 1.7. Nếu τ1 , τ2 là các thời điểm Markov đối với {An , n ∈ N}, thì
các biến cố {τ < σ }, {τ = σ }, {τ ≤ σ } thuộc vào Aτ ∩ Aσ .
Thật vậy, với mỗi n ∈ N ta có:
{τ < σ } ∩ {τ = n}
{τ = σ } ∩ {τ = n}

= {σ > n} ∩ {τ = n} ∈ An
= {σ = n} ∩ {τ = n} ∈ An

Vì vậy, {τ = σ } ∈ Aτ và {τ = σ } ∈ Aτ . Từ đó suy ra:

{τ ≤ σ } = {τ < σ } ∪ {τ = σ } ∈ Aτ
Do tính đối xứng ta có, {τ = σ } ∈ Aτ . Cuối cùng biến cố của {τ < σ } là
{σ ≤ τ} ∈ Aτ , suy ra {τ < σ } ∈ Aτ ; biến cố đối của {τ ≤ σ } ∈ Aτ là
{σ < τ} ∈ Aτ , suy ra {τ ≤ σ } ∈ Aτ .
Tính chất 1.8. Giả sử {Xn , An , n ∈ N} là dãu tương thích và τ là thời điểm
Markov đối với {An , n ∈ N} thì:

X
τ(ω) (ω)nếu ω ∈ {τ(ω) < ∞} ,
Xτ : Ω → R, Xτ (ω) :=
0
nếu ω ∈ {τ(ω) = ∞} .
là đo được đối với Aτ , tức là: Xτ ∈ Aτ .
Thật vậy, với mọi tập Borel B của đường thẳng.
{Xτ ∈ B} ∩ {τ = n} = {Xn ∈ B}, {τ = n} ∈ An
Vì {Xn ∈ B} ∈ An . Điều này chứng tỏ {Xτ ∈ B} ∈ Aτ , tức là Xτ ∈ Aτ

1.4.

Quá trình Martingale rời rạc.

Các định nghĩa dưới đây có hiệu lực khi thay tập số nguyên không âm
N = 0, 1, . . . bằng tập hữu hạn (0, 1, . . . , N), N ∈ N.
13


1.4.1.

Định nghĩa.

Giả sử (Ω, A , P) là không gian xác suất. Dãy X = {Xn , An , n ∈ N}, được
gọi là: Martingale trên (đối với {An , n ∈ N}) , nếu:
(i) {Xn , An , n ∈ N} là dãy tương thích;
(ii) E|Xn | < ∞, ∀n ∈ N;
(iii) với m ≤ n, m, n ∈ N.
E(Xn |A ) ≤ Xm ,
P− hầu chắc chắn.
Martingale dưới (đối với {An , n ∈ N}) ,nếu điều kiện (i), (ii) được thực
hiện, và
(iii’) với m ≤ n, m, n ∈ N.
E(Xn |Am ) ≥ Xm ,
P− hầu chắc chắn.
Martingale (đối với {An , n ∈ N}) , nếu điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và
(iii’) với m ≤ n, m, n ∈ N.
E(Xn |Am ) ≥ Xm ,
P− hầu chắc chắn.
Martingale (đối với {An , n ∈ N}) , nếu điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và
(iii") với m ≤ n, m, n ∈ N.
E(Xn |Am ) = Xm
P- hầu chắc chắn.

1.4.2. Các ví dụ.
Ví dụ 1.1. Giả sử (ξn , n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với
Eξn = 0, n ∈ N.
Khi đó các tổng riêng Sn = ξ0 + . . . + ξn là dãy martingale đối với An =
σ (ξ0 , . . . , ξn ). Thật vậy, do Sn−1 ∈ An−1 và tính độc lập của ξn với An−1 , ta
có
E(Sn |An−1 ) = E(Sn−1 + ξn |An−1 ) = Sn−1 + Eξn = Sn−1 .
Ví dụ 1.2. Giả sử X là biến ngẫu nhiên nào đó có E|X| < ∞ và {An , n ∈ N}
là dãy σ −trường con không giảm của A . Khi đó, dãy

Xn = E(X|An )

14


là dãy martingale đối với An , n ∈ N. Thật vậy, vì An−1 ⊂ An ta có
Xn−1 = E(X|An−1 ) = E(E(X|An )|An−1 ) = E(Xn |An−1 )
Ví dụ 1.3. Nếu X = {Xn , A , n ∈ N} là martingale và g là hàm lồi với
E|g(Xn )| < ∞, n ∈ N thì {g(Xn ), A , n ∈ N} là martingale dưới.
Thật vậy, theo bất đẳng thức Jensen với m ≤ n ta có:
g(Xm ) = g(E(Xn |Am )) ≤ E(g(Xn )|Am ).

1.4.3.

Các tính chất.

Tính chất 1.9. Nếu X = {Xn , A , n ∈ N} là martingale trên, thì hàm chung
bình EXn không phụ thuộc vào n ∈ N.
Thật vậy, với m ≤ n ta có:
EXm = E(E|Am ) = EXn
Tính chất 1.10. Nếu X = {Xn , A , n ∈ N} là martingale dưới, thì hàm chung
bình EXn không giảm theo n ∈ N.
Thật vậy, với m ≤ n ta có:
EXm ≤ E(E|Am ) = EXn
Tính chất 1.11. Nếu X = {Xn , A , n ∈ N} là martingale, thì E|Xn | p , 1 ≤
p < ∞ không giảm theo n ∈ N
Thật vậy, do |x| p , 1 ≤ p < ∞ là hàm lồi, nên {|Xn |n , A , n ∈ N} là martingale dưới, vì thế từ tính chất hai ta có tính chất ba.

Tính chất 1.12. Giả sử X = {Xn , A , n ∈ N} là martingale trên, và τ, σ là
hai thời điểm Markov (đối với {An , n = 0, 1, . . . , N}) sao cho P{τ ≤ N} = 1

. Khi đó:
Xσ ≥ E(Xσ |A ) trên tập {τ ≥ σ }, P − hầu chắc chắn.
15

(1.4.2)


Tức là, P{ω ∈ {τ ≥ σ } : Xσ ≤ E(Xσ |A )} = 0.
Do đó:
Xτ∧σ ≥ E(Xσ |Aτ∧σ ), P − hầu chắc chắn.

(1.4.3)

Thật vậy, đầu tiên ta chú ý rằng:
N

E|Xτ | =

N

∑

n=0 {τ=n}

|Xτ |dP =

∑

N

n=0 {τ=n}

|Xn |dP ≤

∑ E|Xn | < ∞

n=0

tức là E|Xτ | < ∞. Tiếp theo, chúng ta chú ý rằng:
N

{τ ≥ σ } =

N

{σ = n}{τ ≥ n}, Ω =
n=0

{σ = n}
n=0

Vì thế ta xét tập {σ − n} và chứng tỏ rằng (1.4.2) đúng đối với:
ω ∈ {σ = n} ∩ {τ ≥ σ } = {σ = n} ∩ {τ ≥ n}
Trên tập này Xσ = Xn , nên theo 1.1.3 (tính chất 8) ta có:
E(Xτ |Aσ ) = E(Xτ |An ), ({σ = n}, P − hầu chắc chắn)
Do đó chỉ cần chỉ ra rằng trên tập {σ = n} ∩ {τ ≥ n}
Xn ≥ E(Xτ |An ), P − hầu chắc chắn.
Giả sử A ∈ A . Khi đó:
A∩{σ =n}∩{τ≥n}

(Xn − Xτ )dP

=
A∩{σ =n}∩{τ>n}

+
A∩{σ =n}∩{τ>n}

(Xn − Xτ )dP

(Xn − Xτ )dP

=
A∩{σ =n}∩{τ>n}

(Xn − Xτ )dP

≥
A∩{σ =n}∩{τ≥n+1}

(Xn+1 − Xτ )dP

(1.4.4)
Trong đó bất đẳng thức sau cùng được thực hiện là do: (Xn ) là martingale
trên, nên trên tập:
A ∩ {σ = n} ∩ {τ > n} ∈ An
16


Ta có:

Xn ≥ E(Xn+1 |An ), P − hầu chắc chắn.
hoặc tương đương:

A

Xn dP ≥

A

E(Xn+1 |A )dP =

A

Xn+1 dP, ∀A ∈ An

Tiếp tục bất đẳng thức (1.4.4) ta được:

A∩{σ =n}∩{τ≥n}

(Xn − Xτ )dP

≥
A∩{σ =n}∩{τ≥n+1}

≥
A∩{σ =n}∩{τ=N}

Vì vậy tập Ω|

N

n=0 {σ

(Xn+1 − Xτ )dP

(Xn − Xτ )dP

(1.4.5)
= n} có độ đo không, nên từ (1.4.5) suy ra (1.4.2)

Tính chất 1.13. Nếu X = {Xn , A , n ∈ N} là martingale trên và τ, σ là hai
thời điểm Markov (đối với {An , n = 0, 1, . . . , N}) sao cho P{σ ≤ τ ≤ N} = 1
. Khi đó:
EX0 ≥ EXσ ≥ EXτ ≥ EXN
• Giả sử X = {Xn , A , n ∈ N} là martingale dưới,và τ, σ là hai thời
điểm Markov (đối với {An , n = 0, 1, . . . , N}) sao cho P{σ ≤ τ ≤
N} = 1.Khi đó, ta có:
EX0 ≥ EXσ ≥ EXτ ≥ EXN
• Giả sử X = {Xn , A , n ∈ N} là martingale dưới, và τ, σ là hai thời
điểm Markov (đối với {An , n = 0, 1, . . . , N}) sao cho P{σ ≤ τ ≤
N} = 1, khi đó ta có:
E|Xτ | ≤ EX0 + 2EXN− ≤ 3 sup E|Xn |.
n≤N

Thật vậy, từ tính chât 4 ta có 2 khẳng định đầu trong tính chất 5 . Khẳng đinh
thứ 3 được chứng minh như sau. Ta thấy |Xτ | = Xτ + 2Xτ− , và theo khẳng
−
−
định thứ nhất thì E|Xτ | = EXτ + 2E−
τ ≤ EX0 + 2EXτ . Do {Xn , An , n =
17

0, 1, . . . , N} là martingale dưới, nên theo khẳng định thứ hai thì EXτ− ≤
EXN− . Vậy là :
E|Xτ | = EX0 + 2EXτ−
EX0 + 2EXN− ≤ EX0 + 2E|XN | ≤ 3 sup E|Xn |
n≤N

Ví các bất đẳng thức (1.4.4) và (1.4.5) trở thành đẳng thức đối với martingale nên ta thu được điều phải chứng minh.
Tính chất 1.14. Nếu X = {Xn , A , n ∈ N} là martingale và τ, σ là hai thời
điểm Markov (đối với {An , n = 0, 1, . . . , N}) sao cho
P{τ ≤ N} = P{σ ≤ N} = 1.
Khi đó, Xσ = E(Xσ |A ) trên tập {τ ≥ σ } , P−hầu chắc chắn.
Đặc biệt, nếu P{σ ≤ τ ≤ N} = 1 thì
EX0 = EXσ = EXτ = EXN
Tính chất 1.15. Giả sử X = {Xn , A , n ∈ N} là martingale (martingale dưới)
τ là hai thời điểm Markov (đối với {An , n = 0, 1, . . . , N}) . Khi đó dãy "ngắt"
tại thời điểm τ, Tức là:
X τ = {Xn∧τ , A , n ∈ N}
cũng là martingale (martingale dưới).
Chứng minh. Thật vậy, ta thấy:
n−1

Xn∧τ =

∑ Xm Iτ=m + Xn Iτ≥n

m=0

Suy ra Xn∧τ là A -đo được và có kỳ vọng hữu hạn. Hơn nữa,

Xn+1∧τ − Xn∧τ = Iτ≥n (Xn+1 − Xn ).
do đó:
E(Xn+1∧τ − Xn∧τ |An ) = Iτ>n E((Xn+1 − Xn |An ) = 0 (≤ 0)

18


Chương 2

Ứng dụng .
2.1.

Bài toán Gambler và Martingale

Bài toán Gambler Hai đấu thủ A và B chơi một trò chơi như sau: tung một
đồng xu nếu đồng xu ngửa thì đấu thủ A được 1 đồng ngược lại đấu thủ A
mất 1 đồng. Giả sử rằng, số tiền ban đầu của các đấu thủ A và B là a đồng
và b đồng và họ sẽ tiếp tục chơi đến khi một trong số họ hết tiền.
Nếu đấu thủ A thắng thì đấu thủ B hết tiền, ngược lại, đấu thủ B thắng
thì đấu thủ A hết tiền. Vì vậy ta chỉ quan tâm đến tiền của đấu thủ A.
Kí hiệu Xi là số tiền mà đấu thủ được được ở lần tung thứ i. Khi đó.
Xi , i = 1, 2, . . . là các biến ngẫu nhiên độc lập với phân phối xác suất
P(Xi = 1) = p, P(Xi = −1) = q
với q = 1 − p và E(Xi ) = p − q.
Tổng số tiền sau lần gieo thứ n cho bởi
Sn = X1 + X2 + · · · + Xn

19

với S0 = 0 và n = 1, 2, . . .
Kí hiệu Fn = σ (X1 , X2 , . . . , Xn ) cho σ -đại số nhỏ nhất sinh bởi X1 , X2 , . . . , Xn
Khi đó Fn ⊂ Fn+1 được xem như lịch sử của trò chơi đến thời điểm n ( lần
gieo thứ n ).
Tính chất 2.1. Số tiền trung bình sau lần gieo thứ n + 1. Khi cho bởi lịch
sử đến thời điểm thứ n là Sn + p − q.
Chứng minh. Chúng ta có
E[Sn+1 |Fn ] = E[Sn + Xn+1 |Fn ]
= E[Sn |Fn ] + E[Xn+1 |Fn ]
= Sn + E[Xn+1 ].
Ở đây chúng ta sử dụng tính chất Sn là Fn -đo được và Xn+1 độc lập với Fn .
Vì vậy
E[Sn+1 |Fn ] = Sn + p − q.

Chú ý

• Nếu p = q = 12 thì E[Sn+1 |Fn ] = Sn tương ứng trường hợp này trò
chơi diễn ra công bằng và {Sn , n ≥ 0} là martingale.
• Nếu p > q thì E[Sn+1 |Fn ] > Sn tương ứng trường hợp này {Sn , n ≥
0} là martingale dưới.
• Nếu p < q thì E[Sn+1 |Fn ] < Sn tương ứng trường hợp này {Sn , n ≥
0} là martingale trên.
Tính chất 2.2. Trong trường hợp diễn ra công bằng, tức là {Sn , F , n ≥ 0}
là martingale với {Fn = σ (X1 , X2 , . . . , Xn )}. Khi đó {Yn = Sn2 − n, n ≥ 0}
cùng là martingale đối với F , n ≥ 1.

20


Chứng minh. Vì Yn là hàm của X1 , X2 , . . . , Xn nên Yn là Fn -đo được. Vì

|Yn | ≤ n + n2 nên Yn là khả tích. Để chứng minh {Yn } là martingale ta phải
chỉ ra E[Sn+1 |Fn ] = Yn chúng ta có
Yn+1

=
=
=
=

2
Sn+1
−n+1
(S + Xn+1 )2 − (n + 1)
2 −1
Sn2 − n + 2Sn Xn+1 + Xn+1
2 −1
Yn + 2Sn Xn+1 + Xn+1

Suy ra
2 |F ] − 1
E[Yn+1 |Fn ] = E[Yn |Fn ] + E[2Sn Xn |Fn ] + E[Xn+1
n
2 ]−1
= Yn + 2Sn E[Xn+1 |Fn ] + E[Xn+1

= Yn + 0 + 1 − 1 = Yn .

Tính chất 2.3. Trong trò chơi Gambler tổng quát, tức là xác suất đấu thủ A
được tiền hay lần gieo thứ i là P(Xi = 1) = p , xác suất đấu thủ A mất tiền
ở lần gieo thứ i là P(Xi = −1) = q. Đặt Sn = X1 + . . . Xn và định nghĩa

q
Zn = ( )Sn , n ≥ 1.
p
Khi đó {Zn , n ≥ 1} là martingale đối với F = σ (X1 , X2 , . . . , Xn ).
Chứng minh. Vì Zn là hàm của X1 , X2 , . . . , Xn nên Zn là Fn -đo được. Mặt
q
p n
khác, |Zn | ≤ | |n +
nên Zn là khả tích với mỗi n chúng ta kiểm tra
p
q
điều kiện
E[Zn+1 |Fn ] = Zn .

21


Chúng ta có
Sn+1

E [Zn+1 |Fn ] = E

q
p

Sn

= E

p

q
p
q

=

|Fn

·

Sn

·E

= Zn ·

Xn+1

q
p

Xn+1

|Fn

|Fn

Xn+1

q

p

= Zn · E

q
p

q
P(Xn+1 = 1) +
p
q
p

q
· p+
= Zn ·
p

q
p

−1

P(Xn+1 = −1)

−1

· q = Zn (p + q) = Zn .

Chú ý rằng p + q = 1.

Nhận xét. Trong trò chơi Gambler công bằng thì {Sn , n ≥ 1} là martingale.
Nếu chúng ta cố định thời điểm n thì E[Sn ] = 0. Điều này không thú vị gì.
Tuy nhiên, chúng ta có thể dừng cuộc chơi khi số tiền đạt đến 100. Đây chính
là thời điểm dừng
T = min{n : Sn = 100}.
Tính chất 2.4. Đặt Sn = X1 + X2 + · · · + Xn , n ≥ 1 là số tiền thu được đến
lần gieo thứ n. Khi đó T = min{n : Sn = 100} là thời điểm dừng đối với
σ -trường {Fn = σ (X1 , X2 , . . . , Xn ), n ≥ 1}.
Chứng minh. Với mỗi n, ta có
n

{T ≤ n} =

{Sk = 100} ∈ Fn .
k=1

22


2.2.

Quá trình dừng.

Cho T là một thời điểm dừng {Zn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên.
Đặt T ∧ n = min(T, n). Định nghĩa

Z
nếu n ≤ T (ω)
n
An = ZT ∧n =

Z
T (ω) nếu n > T (ω)
Khi đó {Zn , n ≥ 1} được gọi là quá trình dừng đối với thời điểm dừng T .
Định lý 2.1. Nếu {Zn , n ≥ 0} là martingale đối với {Fn , n ≥ 1}, khi đó
quá trình dừng {Yn = ZT ∧n } cũng là martingale đối với {Fn , n ≥ 1}.
Đặc biệt E[ZT ∧n ] = E[Z0 ].
Chứng minh. Ta có
Yn+1 = ZT ∧(n+1)

= ZT ∧n + IT ≥n+1 (Zn+1 − Zn )
= Yn + IT ≥n+1 (Zn+1 − Zn )

Vì vậy, ta có
E[Yn+1 |F ] = E [Yn + IT ≥n+1 (Zn+1 − Zn )|Fn ]
Vì {T ≥ n + 1} = {T ≤ n}c ∈ Fn cho nên
E [Yn + IT ≥n+1 (Zn+1 − Zn )|Fn ] = Yn + IT ≥n+1 E(Zn+1 − Zn )
= Yn + 0 = Yn .

Định lý 2.2. Optional Stopping theorem Cho Z0 , Z2 , . . . là martingale và
T là một thời điểm dừng hữu hạn. Khi đó một trong các điều kiện sau được
thỏa mãn:
i, T là bị chặn, tức là tồn tại số nguyên m sao cho T (ω) ≤ m
23


ii, {ZT ∧n , n ≥ 0} là bị chặn, tức là tồn tại hằng số k sao cho |ZT ∧n | ≤ k ∀n.
iii, E T < ∞ và tồn tại hằng số C sao cho |Zn − Zn−1 | ≤ C ∀n.
Chúng ta có E[ZT ] = E[Z0 ].
Chứng minh. Trước hết chúng ta chú ý rằng, ZT ∧n − ZT . Khi n ∈ ∞.
Vì {ZT ∧n } là martingale nên ta có

E[ZT ∧n ] = E[Z0 ].
i, Vì T ≤ m ta có T ∧ m = T à vì vậy
E[ZT ] = E[ZT ∧n ] = E[Z0 ].
ii, Vì |ZT ∧n | ≤ k là bị chặn với mọi n nên ta có
E[ZT ] = lim E[ZT ∧n ] = E[Z0 ].
n→∞

iii, Viết
ZT ∧n = ZT ∧n − ZT ∧n−1 + ZT ∧n−1 − ZT ∧n−2 + . . .
+ Z3 − Z2 + Z2 − Z1 + Z1 − Z0 + Z0 .
Chúng ta thu được
|ZT ∧n | = |ZT ∧n − ZT ∧n−1 | + |ZT ∧n−1 − ZT ∧n−2 | + . . .
+ |Z3 − Z2 | + |Z2 − Z1 | + |Z1 − Z0 | + |Z0 |.
≤ C +C + · · · +C + |Z0 |
≤ (T ∧ n)C + |Z0 | ≤ CT + |Z0 |.
Suy ra
E[ZT ] = lim E[ZT ∧n ] = E[Z0 ]
n→∞

24