trường đại học sư phạm hà nội 2
khoa toán
----------

lê thị vân dung

xấp xỉ đều tốt nhất

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội – 2010

1


trường đại học sư phạm hà nội 2
khoa toán
----------

lê thị vân dung

xấp xỉ đều tốt nhất
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Văn Hùng

Hà Nội - 2010

2


Lời cảm ơn
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Nguyễn Văn
Hùng – Khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2. Thầy đã tận
tình giúp đỡ, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành khoá
luận tốt nghiệp.
Nhân dịp này tôi xin chân thành cám ơn ban giám hiệu, ban chủ nhiệm
khoa toán, các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi
hoàn thành tốt khoá luận.
Bên cạnh đó, tôi muốn gửi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, và các bạn
sinh viên khoá K32 Cử Nhân Toán đã động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tôi
hoành thành đề tài khoá luận tốt nghiệp.
Do còn hạn chế về kinh nghiệm và thời gian nên khóa luận còn nhiều
thiếu sót. Tôi kính mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các
bạn đọc để khóa luận của tôi được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cám ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Sinh viên
Lê Thị Vân Dung

3


Lời cam đoan
Đề tài của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên
cứu và thực hiện đề tài này tôi tham khảo một số tài liệu (đã nêu trong phần

tài liệu tham khảo).
Tôi xin cam đoan những kết quả trong đề tài là kết quả nghiên cứu của
riêng tôi, không trùng với tác giả nào khác. Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn
trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Sinh viên
Lê Thị Vân Dung

4


Mục lục
Mở đầu……………………………………………………………………

5

Nội dung………………………………………………………………….

7

Chương 1. Một số khái niệm cơ bản…………………………………

7

1.1. Không gian tuyến tính……………………………………………….

7

1.2. Không gian định chuẩn………………………………………………


8

1.3. Không gian Hilbert…………………………………………………..

10

Chương 2. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn...

13

2.1. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn…………….

13

2.1.1. Bài toán……………………………………………………….

13

2.1.2. Các định lý……………………………………………………

13

2.2. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn Ca ,b ………

15

2.2.1. Bài toán……………………………………………………….

15


2.2.2. Các định lý……………………………………………………

15

2.3. Một số trường hợp đặc biệt…………………………………………..

19

2.3.1. Xấp xỉ bằng đa thức bậc không……………………………….

20

2.3.2. Xấp xỉ bằng đa thức bậc nhất…………………………………

20

2.4. Ví dụ…………………………………………………………………

21

Chương 3. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert…………………

27

3.1. Bất đẳng thức Bessel và đẳng thức Parseval…………………….

27

3.2. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert…………………………….


29

3.2.1. Bài toán……………………………………………………….

29

3.2.2. Các định lí…………………………………………………….

29

3.3. Xấp xỉ tốt nhất trong L2  a, b ………………………………………..

33

3.3.1. Xấp xỉ bằng đa thức đại số……………………………………

33

5


3.3.2. Xấp xỉ bằng đa thức trực giao………………………………...

34

3.3.3. Xấp xỉ trung bình phương bằng hệ trực giao hàm cho bằng
bảng………………………………………………………………………

37


3.4. Ví dụ…………………………………………………………………

40

Kết luận…………………………………………………………………...

46

Tài liệu tham khảo………………………………………………………..

47

6


Mở đầu
1. Lý do chon đề tài
Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số, phương pháp tính, toán học
tính toán, là một khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu là giải số,
giải phương trình, giải các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu.
Các bài toán xấp xỉ hàm số là một trong những nhiệm vụ chính của giải
tích số, bằng việc thay một hàm có dạng phức tạp hoặc một hàm dưới dạng
bảng bằng những hàm số đơn giản hơn với sai số nhỏ.
Một bộ phận nhỏ của xấp xỉ hàm là xấp xỉ đều tốt nhất có thể áp dụng
để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hay
một biểu thức nào đó thường đề cập trong những kỳ thi tuyển sinh vào các
trường đại học, cao đẳng, trung cấp dạy nghề.
Dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Văn Hùng và nhận thức
trên, tôi xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài :

“ XấP Xỉ ĐềU TốT NHấT”
Cụ thể ở đây tôi nghiên cứu hai vấn đề
1. Nghiên cứu xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian tuyến tính định
chuẩn.
2. Nghiên cứu xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian Hilbert.
Đây là đề tài có phạm vi quy mô nhỏ trong ngành giải tích toán học.
Với hy vọng sẽ làm sáng tỏ thêm về lý thuyết xấp xỉ hàm. Khoá luận của tôi
gồm ba phần: Lời nói đầu, nội dung, kết luận.
Do thời gian và năng lực có hạn nên khoá luận của tôi khó tránh khỏi
những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp của các
thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên.

7


2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu “xấp xỉ đều tốt nhất” nhằm tìm hiểu các bài toán
trong không gian định chuẩn và không gian Hilbert.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các bài toán trong không gian định chuẩn và không gian
Hilbert.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là các hàm trong không gian định
chuẩn và không gian Hilbert.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc và phân tích tài liệu liên quan.

Chương 1
Một số khái niệm cơ bản
1.1. không gian tuyến tính


8


Định nghĩa 1.1.1. Trên tập X   , xác định một cấu trúc tuyến tính 
nếu với mọi x, y  X với mọi t  R (hoặc t  C ) xác định phép cộng
x  y  X và phép nhân tx  X thỏa mãn các tính chất sau:

a. x  y  y  x
b.  x  y   z  x   y  z 
s  tx    st  x

c.  s  t  x  sx  tx
t  x  y   tx  ty
d .   X

: x   x,  x X

e.   x   X : x    x   0, x  X
f . 1x  x

trong đó x , y , z  X ; s, t  R ( hoặc s , t  C )
Khi đó  X ,   là không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.2. Cho hệ n véctơ x1 ,..., xn trong không gian tuyến tính
X . Xét đẳng thức véctơ 1 x1   2 x2  ...   n xn  0 . Đẳng thức trên xảy ra

nếu 1   2  ...   n  0 thì hệ n véctơ đó độc lập tuyến tính hoặc  bộ

1, 2 , ..., n với


n


i 1

2
i

 0 để đẳng thức trên xảy ra thì hệ n véctơ đó phụ

thuộc tuyến tính.
Tập hợp K trong X gọi là lồi nếu  x, y  K thì đoạn thẳng nối x, y
nằm trong K .

1.2. Không gian định chuẩn
1.2.1. Một vài định nghĩa

9


Định nghĩa 1.2.1.1. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R . ánh
xạ  : X  R xác định trên X lấy giá trị trên tập số thực: x  R ,  x  X
thỏa mãn các điều kiện:
a. x  0,  x  X
x 0 x0
b. x  y  x  y ,  x, y  X
c.  x   x ,    R, x  X

Được gọi là một chuẩn trên X .
Không gian tuyến tính X cùng với  được gọi là một không gian

tuyến tính định chuẩn.
Định nghĩa 1.2.1.2. Hai  1 ,  2 cùng xác định trong không gian tuyến
tính X gọi là tương đương, nếu tồn tại hai hằng số c1 , c2  0 sao cho:
 x  X c1 x 1  x 2  c2 x1 .

Định nghĩa 1.2.1.3. Cho X , Y là hai không gian tuyến tính định
chuẩn. ánh xạ A : X  Y gọi là (giới nội) bị chặn nếu tồn tại hằng số M  0
sao cho:

x  X Ax Y  M x

X

.

1.2.2. Một vài định lý và ví dụ
Định lý 1.2.2.1. Nếu X là một không gian tuyến tính hữu hạn chiều thì
mọi chuẩn trên X tương đương.
Chứng minh
Thật vậy, giả sử trên X có  1 và  2 là hai chuẩn cho trước.
Gọi S  x  X | x 1  1. Vì S đóng và X có số chiều hữu hạn nên  2
đạt max và min trên S ký hiệu là M và m tương ứng.
Xét x  0 là phần tử bất kì trong X ,

10


khi đó x 2  x 1 .
đó


x
x1

 x1
2

x
x1

vì rằng
2

x
x
 1 nên m 
x1 1
x1

 M , do
2

m x 1  x 2  M x 1.

Vậy hai chuẩn là tương đương.
Định lý 1.2.2.2. Toán tử tuyến tính A : X  Y là bị chặn khi và chỉ khi
A là toán tử liên tục.

Ví dụ 1.2.2.1. Xét C0 ,1 là các hàm số liên tục trên 0,1 với x  t  , y  t  

C0,1 , k  R . Ta định nghĩa


 x  y t   x t   y t  , t  0,1
 kx t   k x t  ,  t  0,1
C0 ,1 và hai phép toán trên là một không gian tuyến tính. Với x  C0 ,1 , đặt

x  max xt  thì có thể thấy  là một chuẩn trên C0,1 .
t0 ,1

Ví dụ 1.2.2.2. Với số p  1 xét Lp 0,1 với x  xt   Lp 0,1 và

y  y  t  với y  Lp  0,1 .  k  R ta định nghĩa:

 x  y t   x t   y t  , t  0,1
 kx t   k x t  ,  t  0,1
Không gian Lp 0,1 với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính
1
p

p


với x  Lp 0,1 và xét x    xt  dt  . Khi đó  là một chuẩn trên Lp 0,1
0

1

1.3. không gian hilbert
1.3.1. Các định nghĩa

11



Định nghĩa 1.3.1.1. Hàm số , đưa mọi cặp x, y trong không gian
tuyến tính H vào R gọi là tích vô hướng của x, y , kí hiệu là x, y nếu nó
thỏa mãn các tính chất sau:

a. x, x  0, x  H
x, x  0  x  
b. x. y  y, x
c.  x   y, z   x, z   y, z ;
 x, y, z  H ;  ,   R .

Cặp H , ,  gọi là không gian có tích vô hướng hay không gian tiền
Hilbert.
Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đủ.
Mọi không gian có tích vô hướng là không gian định chuẩn, với chuẩn

x  x, x

1

2

Định nghĩa 1.3.1.2. Cho H là không gian Hilbert. Hệ các phần tử ei iI
của H Gọi là
Trực giao nếu:

en , em  0 n  m

Trực chuẩn nếu: en , em   n, m

với

n, m  N .





n

Hệ en 1 đầy đủ nếu Span en 1  H , nghĩa là    0, x  H , Sn   ci ei


 c  R; n  n   : S
i

n



i 1

 x  .

Giả sử ei 1 là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert. Với mỗi x  H ,


n

ta lập tổng Fourier S n   ci ei với ci  x, ei . Ta nói chuỗi Fourier hội tụ

i 1

đến x nếu S n  x  0 n   .

12


1.3.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1.3.2.1. Xét X  R n , với x   x1 , x2 ,..., xn   R n , y   y1 , y2 ,..., yn  ,

x, y  Rn
Đặt  x, y    xi yi . Có thể thấy R n cùng với tích vô hướng xác định
n

i 1

như trên là một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.3.2.2. Xét X  L2 a, b là không gian các hàm bình phương khả
tích trên đoạn a, b bao gồm các hàm thực xt  xác định, bình phương khả
tích trên a, b sao cho
b

 pt x t dt  
2

a

Trong đó pt  là hàm trọng ( pt  thường được chọn thoả mãn các điều
kiện xác định và khả tích trên a, b , pt   0 trên a, b và pt   0 chỉ trên
một tập có đọ đo 0). Ta trang bị trên L2 a, b một tích vô hướng bằng cách đặt

với xt , yt   L2 a, b thì x, y    pt xt  yt dt .
b

a

Không gian L2 a, b với tích vô hướng vừa xác định là không gian
Hilbert.
Ví dụ 1.3.2.3. Xét trường hợp cụ thể của L2 a, b ở trên với

a  1, b  1
p  t   1, và xét hệ đa thức x1 t   1, x2 t   t , ..., xk t   t k 1 , k  2 . Hãy trực
giao hóa hệ xk t  nói trên bằng quá trình trực chuẩn hóa Hilbert- Schmidt.
Nhận thấy x1  2, e1 
1

x1
1
, thay số ta có e1  .
x1
2

Dễ thấy  x , e    tdt  0 nên
2

1

y2  x2  t , t   1,1.

1


13


1

1
2


 1
Vậy y2    t.tdt    t 3
 1
 3
1

thay số ta có

2
  2 . Vì e2  y2 ,

3
y2
1 

1

3
t , t   1,1 .
2


e2 

1

Ta có

1
 x3 , e1    t dt  t 3
3
1

1



2

1

 x3 , e2    t
1

1

2
3
1

2


3
3 3
tdt 
t dt  0
2
2 1

y3  x3   x3 , e1  e1   x3 , e2  e2 

Thay số ta được y 3  t 2 
có y3 

1
2

 
1
1 
suy ra y 3     t 2   dt  , rút gọn ta
 
3
3  
 1
2

1

2 2
3 5  2 1
, từ đó e3 

 t   ,…
3 5
2 2
3

Quá trình cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ được một hệ trực chuẩn ei . Tuy
nhiên do ta chỉ quan tâm đến tính trực giao của hệ nên có thể nhân mỗi ei với
một hằng số thích hợp để được một véctơ mới, vẫn kí hiệu là ei nhưng với
dạng đơn giản hơn, như sau





1 2
3t  1
2
5t 3  3t
35t 4  30t 2  3
e4  t  
, e5  t  
2
8
1
e6  t   63t 5  70t 3  15t ,...
8
e1  t   1, e2  t   t , e3  t  






Hệ đa thức ei t iN trực giao thu được như trên gọi là hệ đa thức trực


giao Legendre.

Chương 2
Xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn
14


2.1. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn
2.1.1. Bài toán
Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn, X 0 là không gian con hữu
hạn chiều của X và x  X là một phần tử cố định. Tìm phần tử x0  X 0 sao
cho

x  x0  d  x, X 0  : inf x  v
vX 0

2.1.2. Các định lý
Định lý 2.1.2.1. Bài toán xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính
định chuẩn luôn có nghiệm.
Chứng minh
Đặt   v  X 0 : v  2 x 
Nếu v  X 0   thì v  x  v  x  x  x   . Do đó v không là
phần tử tốt nhất của phần tử x .
Như vậy có thể giới hạn việc tìm phần tử tốt nhất trong  .
Ta nhận thấy  là tập đóng và bị chặn trong X 0 nên  là tập compact.

Xét hàm   v  : x  v . Ta có v, v  thì

  v     v  x  v  x  v  v  v ,
suy ra  là hàm liên tục trên tập compact  trong không gian hữu hạn chiều

X 0 nên x0  sao cho   x0   inf   v   inf x  v hay là x0  sao cho
v

v

x  x0  inf v  x .
v

Theo chứng minh trên thì inf x  v  inf x  v suy ra x0  sao
v

cho

vX 0

x  x0  inf x  v .
vX 0

Định lý 2.1.2.2. (Tính duy nhất nghiệm của bài toán xấp xỉ tốt nhất)

15


Trong không gian tuyến tính định chuẩn lồi thực sự thì xấp xỉ tốt nhất
tồn tại và duy nhất.

Chứng minh
Sự tồn tại
Sự tồn tại xấp xỉ tốt nhất được suy ra từ định lý 2.1.2.1.
Sự duy nhất
Giả sử x1, x2 là các xấp xỉ tốt nhất của phần tử x , nghĩa là

x  x1  d  x, X 0   d
x  x2  d  x, X 0   d
Xét trường hợp
Nếu d  0 suy ra x  x1  x  x2  0 suy ra x1  x2  x .
Nếu d  0 . Do x1, x2  X 0 suy ra



x1  x2
x x
 X 0 suy ra d  x  1 2
2
2

1
1
1
1
x x
x  x1  x  x2  d suy ra x  1 2 
x  x1  x  x2  d .
2
2
2

2
2
Do X là không gian lồi thực sự nên

x  x2
x  x1

2
2

   0

suy ra

d
d
x  x2
x  x1

  suy ra   1.
tương đương với
2
2
2
2
Vậy ta có

x  x2 x  x1

suy ra x1  x2 .

2
2

Vậy xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn lồi thực sự là duy
nhất.
Chú ý: Không gian định chuẩn X gọi là lồi thực sự nếu x, y  

x  y  x  y suy ra y   x    0  .

16


2.2. XấP Xỉ ĐềU TốT NHấT TRONG KHÔNG GIAN tuyến tính ĐịNH
CHUẩN Ca ,b 
2.2.1. Bài toán
Cho không gian định chuẩn X  Ca,b , X 0  Pn  {tập tất cả các đa
thức xác định trên đoạn  a, b có bậc  n }.
Đặt En  f   f  p : inf f  Q .
QPn

Khi đó đa thức p gọi là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc n của hàm số
f . Tìm p .

2.2.2. Các định lý
Định lý 2.2.2.1. (Vallee - Poussin) Cho f  Ca,b và Q  x   Pn . Giả sử
tồn tại n  2 điểm phân biệt a  x0  x1  ...  xn1  b .






Sao cho sgn  1  f  xi   Q  xi    const  i  0, n  1 .
i

Khi đó En  f  : inf f  Q  min f  xi   Q  xi   m .
QP
i 0, n 1
n

Chứng minh
Nếu m  0 Khi đó En  f   0  m . Hiển nhiên định lý đúng.
Nếu m  0
Giả sử En  f   m và P  Pn là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f trên

 a, b . Khi đó

f  P  En  f   m . Suy ra
P  xi   f  xi   P  f  m  Q  xi   f  xi  .

do đó





sgn Q  xi   P  xi    sgn Q  xi   f  xi    f  xi   P  xi 
 sgn Q  xi   f  xi  

17


 i  0, n  1


Như vậy đa thức Q  P  Pn đổi dấu  n  2 lần nên có ít nhất  n  1
nghiệm, suy ra Q  P .
Ta có m  Q  f  min Q  xi   f  xi   m mâu thuẫn
i 0,n 1

Vậy En  f  : inf f  Q  m : min f  xi   Q  xi  .
QP
i 0, n 1
n

Định lý 2.2.2.2. (Chebysev) Điều kiện cần và đủ để P  Pn là đa thức
xấp xỉ đều tốt nhất của f  Ca,b là tồn tại  n  2 điểm luân phiên Chebysev





a  x0  x1  ...  xn1  b sao cho f  xi   P  xi     1 f  P , i  0, n  1
i

trong đó   1.
Định lý 2.2.2.3. Đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f  Ca,b là duy nhất.
Chứng minh
Giả sử P, Q  Pn là hai đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f trên đoạn

 a, b . Khi đó


PQ
 Pn cũng là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất, vì
2

En  f   f 

PQ 1
1
 f  P  f  Q  En  f 
2
2
2

Gọi  xi i 0 là n  2 điểm luân phiên Chebysev của
n1

Ta có

P  xi   Q  xi 
 f  xi   En  f 
2

PQ
.
2

i  0, n  1 từ đây suy ra

2 En  f   P  xi   f  xi   Q  xi   f  xi 
 P  xi   f  xi   Q  xi   f  xi 


 P  f  Q  f  2En  f 
do đó

P  xi   f  xi   Q  xi   f  xi   En  f 

18

i  0, n  1


P  xi   f  xi   i Q  xi   f  xi  với i  1 .

hay

Ta có 1  i  Q  xi   f  xi   1  i  En  f   2En  f  hay i  1 từ





đây suy ra P  xi   Q  xi  i  0, n  1 hay P  Q .
Định lý 2.2.2.4. Đa thức xấp xỉ đều tốt nhất P  Pn của một hàm

f  C1,1 chẵn (lẻ) cũng là hàm chẵn (lẻ).
Chứng minh
Giả sử f là hàm chẵn.
Với mọi x  1,1 ta có f  x   P  x   f  P  En  f  . Thay x :  x
thì


f   x   P   x   f  x   P   x   En  f  , x  1,1 . Suy ra P   x 

cũng là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f .
Do tính duy nhất của xấp xỉ đều tốt nhất, ta được

P   x   P  x  , x  1,1 .
Vậy P cũng là hàm chẵn.
Định lý 2.2.2.5. Giả sử f  Cna ,b còn f  n1 x  giới nội và không đổi
dấu trên  a, b . Khi đó

inf f

 n1

x a ,b

 b  a   E f  sup
 x  2n1
n 
2  n  1!
x a ,b
n 1

f

 n1

b  a 
 x  2n1
2  n  1!

n 1

Chứng minh
Gọi P là đa thức nội suy của f với các mốc nội suy là nghiệm của đa
thức Chebysev.

xk 

ab ba
 2k  1 sao cho f x  P x

cos
 k  k
2
2
2  n  1

Theo công thức ước lượng sai số của phép nội suy, ta có

19

 k  1, n  1


f  x   P  x   sup f

 n1

x a ,b


suy ra En  f   f  P  sup f

 b  a  với mọi
 x  2n1
2  n  1!
n 1

 n1

x a ,b

x  a, b .

b  a  .
 x  2n1
2  n  1!
n 1

Giả sử Q là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của hàm f trên  a, b . Khi đó
theo định lý Chebysev f  Q đổi dấu  n  2 lần nên f  Q có ít nhất  n  1









không điểm yi i  1, n  1 sao cho f  yi   Q  yi  i  1, n  1 . Như vậy Q

là đa thức nội suy của hàm f với các mốc nội suy  yi i 1 :
n1

f    
f  x  Q x 
  x
 n  1! n1
n 1

trong đó
n 1

n1  x     x  yi  ,    x    a, b .
i 1

Giả sử n1  x  đạt max tại x  x0  a, b .

En  f   P  Q  f  x0   Q  x0   f 

Ta có

 inf f
x

 n1

 x

n1


 n  1!

 inf f

n 1

 n1

x

  x  
0

n1  x0 
n 1

b  a  .
 x  2n1
2  n  1!
n 1

Hệ quả 2.2.2.1. Đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc n của một đa thức bậc

n  1: f  x   a0  a1x  ...  an1x n1

 an1  0 có dạng

 2x   a  b   b  a 
Q  x   f  x   an1Tn1 


2 n 1
ba

 2
Chứng minh
Ta có

f

n1

 x   an1  n  1!  const .

20

n 1


Từ định lý 2.2.2.5 suy ra
En  f   an1

b  a 

n 1

22 n1

Đa thức Q có bậc không quá n , ngoài ra

 2x   a  b  b  a 

Tn1 

2 n 1
ba

 2

f  x   Q  x   an1

n 1

Các điểm Chebysev của Q là
xi 

ab ba
i

cos
i  0, n và f  Q  En  f  .
2
2
n 1





2.3. Một số trường hợp đặc biệt
2.3.1. Xấp xỉ bằng đa thức bậc không
Định lý 2.3.1.1. Cho f  Ca,b đặt M : max f  x  ; m : min f  x  .

x a ,b 

Khi đó Q  x  

x a ,b

M m
là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc không của f trên
2

đoạn  a, b
Chứng minh
Vì m  f  x   M x  a, b và Q  x  



nên

M m
M m
 f  x  Q x 
2
2

f  x  Q x 

hay

M m
2


M m
, x   a, b 
2

Theo định lý Wieestrass  x1  a, b, x2  a, b sao cho f  x1   M ; f  x2   m .
Ta có
Vậy

f  x1   Q  x1  
f Q 

M m
M m
; f  x2   Q  x2   
.
2
2

M m
và
2

21


f  x1   Q  x1   f  Q ; f  x1   Q  x1   f  Q
Suy ra x1, x2 là hai điểm Chebysev.
Vậy Q  x  


M m
là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f .
2

2.3.2. Xấp xỉ bằng đa thức bậc nhất
Cho f  x  là hàm lồi trên đoạn  a, b . Nếu f  x  là hàm tuyến tính thì
đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất là Q  x   f  x  .
Bây giờ giả sử

f  x  không phải hàm tuyến tính. Khi đó

Q  x   a0  a1x là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f  x  trên  a, b , ta có
f  x    a0  a1x  cũng là hàm lồi, nên đạt cực trị tại một điểm duy nhất
c   a, b . Theo định lý chebysev, tồn tại 3 điểm Chebysev, tại đó
f  x    a0  a1x  đạt cực đại. Do đó hai điểm Chebysev còn lại là a và b .
Ta
có

f  a    a0  a1a    L ; f  c    a0  a1c    L ; f b    a0  a1b    L

trong đó L  f  Q ;  1.
Từ hệ thức đầu và cuối, suy ra
a1 

f b  f  a 
ba

Nếu f khả vi thì điểm c tìm từ điều kiện f   c   a1 . Sử dụng hai hệ
thức đầu ta được
f  a   f  c  a  c f b   f  a 

a0 

2
2
ba

L  f  a    a0  a1a  

f  a   f  c  a  c f b   f  a 

.
2
2
ba

ý nghĩa hình học
y

D
C’

22

C
B

A

o


x


Nối hai điểm A a, f  a   ; B  b, f  b  
bằng đoạn thẳng AB

y  f  a   a1  x  a   a1x  f  a   aa1 ,
kẻ tiếp tuyến song song với AB

y  f  c   a1  x  c   a1x  f  c   ca1
Đường cần tìm là đường trung bình
của hai đoạn thẳng AB và CD:

y  a1x  a0
trong đó a0 

f  a   f  c  a  c f b   f  a 

.
2
2
ba

2.4. Ví dụ
Ví dụ 1. Tìm đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của hàm f x   x trên đoạn

 1,5.
Giải
Đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất của hàm f x   x trên đoạn


 1,5 có dạng

y  a1 x  a0 .

áp dụng 2.3.2 ta có : a1 

5 1
2
 .
5   1 3

y

Hàm f x   x đạt cực trị tại x  0

B

trên đoạn  1,5 suy ra c  0 .

f a   f c  a  c f b   f a 
a0 

2
2
ba


1  1  5 1
1 2 5
 

 1   
2  2  5   1 2  3  6

D

A
C

x

Vậy đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất của hàm f x   x trên đoạn

 1,5 là
23


y

2
5
x .
3
6

Ví dụ 2. Tìm đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc ba của hàm f  x   e x

2

trên đoạn  1,1 .
Giải

Vì f là hàm chẵn nên đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc ba của hàm f là
Q3  x   a3 x 3  a2 x 2  a1 x  a0 cũng là hàm chẵn

Do đó a3  a1  0 suy ra Q3  x   a2 x 2  a0 .
Đặt t  x 2 khi đó f1  t   et ; Q3  t   a2t  a0 ; t   0,1 . Phương trình
đường thẳng qua A0,1, B1, e có dạng y  e  1t  1 .
Tìm C  c, f1  c   trong đó f1c   a2 

e 1
 e  1.
1 0

Ta có ec  e  1, suy ra c  lne  1 . Phương trình tiếp tuyến với đường cong

y  f1 t  tại C có dạng
y   e  1 t  c   f1  c 
  e  1 t   e  1   e  1 ln  e  1

Vậy phương trình đường trung bình của đường thẳng AB có dạng

y   e  1 t 

e   e  1 ln  e  1
2

trở lại biến x ta được

y  e  1x 2 

e  e  1lne  1

2

Vậy đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc ba của f  x   e x trên đoạn  1,1
2

là

y  e  1x 2 

e  e  1lne  1
.
2

24


Ví dụ 3. Tìm đa thức bậc nhất xấp xỉ đều tốt nhất f  x   x 3 trên  1,1.
Giải
Vì f  x   x 3 là hàm lẻ nên đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất và bậc
hai trùng nhau. Đa thức xấp xỉ tốt nhất bậc nhất của f là

23
1 3
Q  x1   Q2  x   x  T3  x  5  x3   4 x3  3x  2  x .
2
2
4
3

Ví dụ 4. Tìm a, b từ điều kiện sau max x 2  ax  b  min .

x 1

a ,b

Giải
Nếu ta coi f  x   x 2 và P1 là tập hợp các đa thức sinh bởi hai phần tử

1, x. Ta phải tìm đa thức bậc nhất Qx  ax  b sao cho
max f  x    ax  b   max f  x   Q x  .
x 1

x 1

Như vậy bài toán trở thành. Tìm Qx  là xấp xỉ đều tốt nhất của f x 
trên  1,1.
Vì rằng f  x   x 2 là hàm chẵn nên Qx  là hàm chẵn suy ra a  0 .
Đặt m  min f x   0; M  max f x   1
x 1

x 1

Vậy f  x   x 2 có đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc không trên  1,1 là

Q x 
Vậy có a  0; b  

M m 1
1
 vậy b  
2

2
2
1
thì max x 2  ax  b  min .
a ,b
x 1
2

Ví dụ 5. Tìm a, b, c sao cho max x 3  ax 2  bx  c là nhỏ nhất.
x 1

Giải
Nếu coi rằng f  x   x 3 ; P2  1, x, x 2  ; Qx   ax  bx  c thì bài toán
f  x   Q x  đạt min
đã cho trở thành bài toán tìm Qx   P2 sao cho max
a ,b ,c
x 1

25