Khoá luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khoá luận em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy
giáo – TS Khuất Văn Ninh, đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ em trong suốt quá
trình thực hiện đề tài này
Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán,
các cô chú quản lý thư viện trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều
kiện thuận lợi để em hoàn thành đề tài.
Xin chân thành cảm ơn các bạn sinh viên trong nhóm đề tài, cùng các
bạn sinh viên trong lớp K29B – Toán đã giúp đỡ tôi.
Vì thời gian có hạn nên chắc chắn đề tài của em còn nhiều thiếu sót
kính mong sự đóng góp của thầy cô và các bạn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2007
Sinh viên
Nguyễn Thị Hiền

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

1


Khoá luận tốt nghiệp

Lời Cam đoan

Khoá luận tốt nghiệp này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến

Sĩ Khuất Văn Ninh và có sử dụng sách tham khảo của một số tác giả. Tôi xin
cam đoan:
Khoá luận này là kết quả của riêng tôi.
Kết quả này không trùng với bất kỳ của tác giả nào đã công bố.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên
Nguyễn Thị Hiền

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

2


Khoá luận tốt nghiệp

Mục lục
Chương 1: Một số kiến thức liên quan

`

1.1 Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân.

5

1.2 Không gian Lp ,1  p  

6

1.3 Tích chập


6

1.4 Một số định lý về không gian Banach và không gian Hilbert

8

Chương 2: Phép biến đổi Fourier
2.1 Chuỗi Fourier

9

2.2 Tích phân Fourier

10

2.3 Biến đổi Fourier

10

Chương 3: ứng dụng của phép biến đổi Fourier
3.1 Giải phương trình truyền nhiệt

21

3.2 Giải phương trình truyền nhiệt không thuần nhất

22

3.3 Giải phương trình trình truyền sóng


23

Chương 4: Phép biến đổi Laplace
4.1 Biến đổi Laplace

25

4.2 Biến đổi Laplace ngược

34

4.3 Tính không chỉnh của biến đổi Laplace

37

4.4 Tích phân Duhamel

39

4.5 Bảng đối chiếu gốc và ảnh

41

Chương 5: ứng dụng của phép biến đổi Laplace
5.1 ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân

43

5.2 ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình tích phân 49


Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

3


Khoá luận tốt nghiệp

mở đầu

1. Lý do chọn đề tài:
Bộ môn phương trình vi phân và phương trình tích phân là một môn
toán cơ bản vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi. Thông
thường các phương trình vi phân và phương trình tích phân được bắt nguồn từ
thực tiễn trong Vật lý, Kỹ thuật, Sinh học…Có nhiều phương pháp giải các
phương trình vi phân và phương trình tích phân và một trong những phương
pháp giải cho hiệu quả đặc biệt cao là sử dụng phép biến đổi tích phân đặc
biệt là hai phép biến đổi: biến đổi Fourier và Laplace. Vì vậy nghiên cứu các
phép biến đổi tích phân là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên các chuyên
ngành Toán, Vật lý…
Trong 4 năm học qua, chúng ta đã học về chuỗi Fourier, đẳng thức
Paseval, bất đẳng thức Holder trong giáo trình giải tích hàm, đó là một trong
những tiền đề để nghiên cứu phép biến đổi Fourier, biến đổi Laplace. Ngoài
ra để có điều kiện nghiên cứu đầy đủ, chúng ta phải nắm được tích phân
Lesbesgue, lý thuyết hàm …. Để tìm hiểu sâu về phép biến đổi tích phân, em
đã chọn đề tài: "ứng dụng của phép biến đổi tích phân để giải phương trình
vi, tích phân" để thực hiện khoá luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu định nghĩa và tính chất của hai phép biến đổi Fourier và
Laplace, nghiên cứu các ứng dụng của hai phép biến đổi này vào việc giải

phườg trình vi phân và phương trình tích phân.Đặc biệt đi sâu vào nghiên cứu
ứng dụng cuả phép biến đổi Laplace.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

4


Khoá luận tốt nghiệp

Nghiên cứu một số kiến thức liên quan
Nghiên cứu về phép biến đổi Fourier.
Nghiên cứu về ứng dụng của phép biến đổi Fourier.
Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace.
Nghiên cứu về ứng dụng của phép biến đổi Laplace
4. ý nghĩa lý luận thực tiễn
Hai phép biến đổi Fourier và Laplace có hiệu quả cao trong giải phương trình
vi, tích phân vì vậy việc nghiên cứu đề tài này có ý nghĩa thực tiễn cao.Nó
giúp giải một số hệ phương trình tích phân phức tạp một cách đơn giản, có lời
giải ngắn gọn mà khi sử dụng phương pháp khác cho lời giải dài dòng, phức
tạp.

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

5


Khoá luận tốt nghiệp


Chương 1: Một số kiến thức liên quan
1.1. Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân:
Định lý 1.1 (Định lý hội tụ đơn điệu):
Cho dãy ( f n ) là dãy tăng các hàm khả tích (Lesbesgue) trên tập   IR N sao
Khi đó: f n hội tụ h.h trên  về một hàm khả tích trên 

cho supn  f n   .
và
fn  f 1=



f n x  f ( x) dx  0 khi n  



Định lý 1.2 (Định lý hội tụ bị chặn):
Cho dãy ( f n ) là dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên  . Giả sử:
(a) f n (x)  f (x) h.h trên 
(b) Tồn tại hàm f khả tích sao cho với mỗi n , f ( x)  g ( x) h.h trên  .
Khi đó f khả tích và
fn  f 1=



f n x  f ( x) dx  0 khi

n 




Định lý 1.3 (Fubini): Cho f khả tích trên 1 x 2 . Khi đó với hầu hết x
 1 :
F ( x,.)  y  F ( x, y ) khả tích trên  2 và

x



F ( x, y)dy khả tích trên 1

2

Kết luận tương tự khi đổi vai trò x cho y , 1 cho  2
Hơn nữa ta có:



1

dx  F ( x, y)dy =
2



2

dy  F ( x, y)dx =

1




1 2

f ( x, y)dxdy

Định lý 1.4 (Tonelli):
Giả sử:



2

F ( x, y) dy <

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

 h.h x  1

6


Khoá luận tốt nghiệp

và



1


dx  F ( x, y) dy < 
2

khi đó F khả tích trên 1 x 2
1.2. Không gian L p : 1  p  
1.2.1. Định nghĩa: Cho p  R . Với 1  p   ta định nghĩa:
Lp () =  f :   IR (hoặc C ); f đo được và f khả tích
p

Lp () =  f :   R (hoặc C ); f đo được và f , f ( x)  C h.h



p
f p =  f ( x) dx 


f



1

 và ký hiệu

p

= inf c; f ( x)  c h.h 


1.2.2. Định lý
Định lý 1.5: (Bất đẳng thức Holder):
Cho f  L p và g  L p ' với 1  p   . Khi đó: f .g  L1 và



f .g  f

p

.g

p'

Định lý 1.6 (Frischer - Riesz):
(a) L p là không gian Banach với 1  p  
(b) Giả sử  f n  là dãy hội tụ về f trong không gian L p ( 1  p   ), nghĩa
là:
fn  f

p

 0 . Thế thì có dãy con

 f n k k 1,2... sao cho

f nk ( x)  f ( x) h.h
k , f nk ( x)  h( x) h.h với h là một hàm trong L p

1.3. Tích chập:

1.3.1.Định nghĩa: Cho 2 hàm số f và g xác định trên R N thì hàm số f  g xác
định bởi: ( f * g )( x)  R f ( x  y).g ( y)dy với giả thiết là tích phân ở trên tồn tại
N

được gọi là tích chập của f và g .

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

7


Khoá luận tốt nghiệp

1.3.2.Định lý:
Định lý 1.7: Giả sử f  Lp ( R N ) với 1  p   khi đó với mỗi x  R N hàm số
y  f ( x  y).g ( y ) khả tích trên R N và f  g  Lp ( R N ) . Hơn nữa:
f* g

p

 f 1. g

p

Chứng minh:
Với p   thì kết quả rõ ràng
Trước hết ta xet trường hợp p=1 và đặt
F ( x, y )  f ( x  y ).g ( y )

Với mọi y ta có:


 F ( x, y) dx 

f ( y )  f ( x  y ) dx  g ( y ) . f

 dy  F ( x, y) dx 

và

1



f 1. g 1  

áp dung dịnh lý Tonelli ta thấy F  L1 ( R N  R N ) ). Theo định lý Fubini được:
h.h x  R N và  dx  F ( x, y) dy  f 1 . g 1

 F ( x, y) dy  

 ta đã chứng minh trong trường hợp p  1 .

Giả sử 1  p   . Theo kết quả trên ta biết rằng với mỗi x cố định hàm
y  f ( x  y) . g ( y)

p

là hàm khả tích nghĩa là:

1


y  f ( x  y) p ' . g ( y) là hàm thuộc Lp ( R N ) Mặt khác :
y  f ( x  y)

1/ p'

 L p ' ( R) ( p ' là số liên hợp của p )

dựa vào bất đẳng thức Holder ta suy ra hàm:
y  f ( x  y) . g ( y)  f ( x  y)

là khả tích và:



1/ p

. g ( y) . f ( x  y)



1/ p'

f ( x  y) . g ( y) dy  f ( x  y) . g ( y) dy





Nghĩa là  f * g ( x)  f * g ( x). f

p

p

p

p / p'
1



1/ p

.( f 1 )1 / p '

. áp dụng kết quả trong trường hợp p  1

ta có:
f * g  L p và f * g

p
p

 f 1. g p . f
p

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

p / p'
p


8


Khoá luận tốt nghiệp

Nghĩa là:

f* g

p

 f 1. g p .

1.4. Một số định lý về không gian Banach và không gian Hilbert.
Định lý 1.8(ánh xạ mở):
Cho A là một "toàn ánh" từ X lên Y và giả sử A là tuyến tính, bị chặn. Khi
đó A(U ) mở trong Y với U là một tập mở bất kỳ trong X .
Định lý 1.9(Lax-Milgram):
Cho H là không gian Hilbert và a: H  H  
  R (hoặc   C ) là dạng song tuyến tính liên tục trên H . Nghĩa là khi giữ

cố định một biến thì a tuyến tính theo biến còn lại và:
a(u, v)  M u . v , u, v  H

Giả sử a cưỡng bức trên H , nghĩa là có số   0 sao cho :
a(u, v)   u , u  H
2

Khi đó với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục l : H   tồn tại duy nhất một

u l  H phụ thuộc liên tục vào l , thoả mãn:

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

a(u l , v)  l , v , v  H .

9


Khoá luận tốt nghiệp

Chương 2: Phép biến đổi Fourier
2.1. Chuỗi Fourier
2.1.1. Định nghĩa: Với hàm f  L1   ,   nghĩa là f khả tích Lesbesgue
trên   ,   ,ta định nghĩa chuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác như
sau:
a0 
  (a n cos nx  bn sin nx) , trong đó:
2 n 1

1



an 

f ( x ) cos nx dx , n  0,1,2,...
 

bn 


1

'

'

'





f ( x ) sin nx dx , n  1,2,...
 
'

'

'



(2.1).
(2.2).

Mối liên hệ giữa (2.1) – (2.2) được ký hiệu là:
f ( x) ~

a0 

  (a n cos nx  bn sin nx)
2 n 1

2.1.2. Sự hội tụ:
Định lý 2.1: Cho f  L1   ,  . . Nếu f thoả mãn điều kiện Dirichlet trong

  ,   thì chuỗi Fourier của

f hội tụ về f (x ) tại các điểm x    ,   mà tại

đó hàm f liên tục, hội tụ về

1
f ( x  )  f ( x  ) nếu x là điểm gián đoạn thông
2

thường, hội tụ về









1
f (  )  f (  ) tại x   nếu f (  ) và f (  ) tồn tại.
2


Trong đó điều kiện Dirichlet là:
(i) Tồn tại f (a  ), f (b  ) và f có biến phân bị chặn trên a, b .
(ii) Có hữu hạn điểm thuộc a, b sao cho khi bỏ đi các lân cận tuỳ ý của
những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của a, b .
2.1.3. Sự hội tụ đều:

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

10


Khoá luận tốt nghiệp

Định lý 2.2: Cho f  L1   ,   . Giả sử rằng f bị chặn thoả mãn điều kiện
Dirichlet trên   ,   . Giả sử f liên tục trên khoảng u, v  ( ,  ) . Khi đó
chuỗi Fourier của f hội tụ đều về f trên một đoạn bất kỳ a, b  u, v .
2.2. Tích phân Fourier:
Xét hàm f  L1 ( R) ta đặt: a 

1



b 








1





f (t ) cos tdt





(2.3)

f (t ) sin tdt

(2.4)

Ta cho f liên kết với tích phân sau, gọi là tích phân Fourier:


f ( x) ~  (a cos x  b sin x)d

(2.5).

0

Ta thấy các công thức (3.1),(3.2), (3.3) tương tự như chuỗi Fourier của một
hàm thuộc L1   ,   .

Định lý 2.3 (Định lý về sự hội tụ của tích phân Fourier ):
Cho f  L1 ( L) thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng mở hữu hạn. Giả
sử f ( x  ) và f ( x  ) tồn tại thì ta có:





0

(a cos x  b sin x)d 



1
f (x  )  f (x )
2



(2.6).

Chứng minh: Tham khảo chứng minh trong [1]
2.3. Biến đổi Fourier:
2.3.1. Định nghĩa: Xét hàm f  L1 ( R) . Vì
theo  nên ta có: f ( x) 

1
2














f (t ) cos  (t  x)dt là hàm chẵn



d  f (t ) cos  (t  x)dt nếu f thoả mãn giả thiết


của định lý 2.3 và giả thiết liên tục tại x .


Tương tự hàm    f (t ) sin  (t  x)dt là lẻ theo  nên
1
2








Vậy f ( x) 



d  f (t ) sin  (t  x)dt  0 .


1
2







d  f (t )cos  (t  x)  i sin  (t  x)dt




Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

11


Khoá luận tốt nghiệp




1
2









d  f (t )e i (t  x ) dt





 1
e ix 
2 
 2
1













f (t )e t dt d .


Định nghĩa: Cho f  L1 ( R) là hàm xác định bởi:
fˆ ( ) 

1


2





f (t )e it dt được gọi là biến đổi Fourier của f

Định lý 2.4: Giả sử f  L1 ( R) thì fˆ  C 0 với C 0 là không gian các hàm số liên
tục, tiến dần về 0 tại vô cực. Hơn nữa:
f



 f


1

Chứng minh:
Ta có bất đẳng thức trên được suy trực tiếp từ định nghĩa fˆ khi t n  t thì
fˆ (t n )  fˆ (t ) 

1


2





f ( x) . e itn x  e itx dx

Hàm dưới dấu tích phân ở trên bị chặn bởi 2 f ( x) và hội tụ từng điểm tới
không khi n   . Vì vậy fˆ (t n )  fˆ (t ) . Do định lý hội tụ bị chặn. Hay fˆ liên
tục
Với một hàm số x  h(x) ta ký hiệu h là hàm số x  h( x   ) , vì


e i  1 nên fˆ (t )    f ( x).e it ( x  / t ) dx    f  / t ( x).e itx dx


Kéo theo 2 fˆ (t ) 

  f ( x)  f 








/t

( x)e itx dx  f  f  / t

1

Suy ra fˆ tiến đến 0 khi

t .

Bổ đề 2.1: Cho hàm số f xác định trên R với mỗi y  R , đặt f y là tịnh tiến của
f xác định bởi: f y ( x)  f ( x  y), x  R

Nếu f  Lp ( R),1  p   thì ánh xạ y  f y từ R vào L p (R ) là liên tục đều.
Chứng minh:

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

12


Khoá luận tốt nghiệp


Cho trước   0 có C0 ( R) trù mật trong L1 ( R ) nên ta tìm được hàm g lien tục
trên R và triệt tiêu bên ngoài một đoạn bị chặn  A, A sao cho f  g p  
Tính liên tục đều của g cho ta 1 số   0, A thỏa mãn
g (s)  g (t )  3 A . , s, t  R, s  t  
1

Vì vậy suy ra g s  g t

p

  . Bằng cách đổi biến ta

có: h p  h p với h  Lp (R) Vậy:
f s  ft

p

 fs  gs

 ( f  g)s

p

p

 g s  gt

 g s  gt

p


 gt  ft

p

 (g  f )t

1

p

 3 , s, t , s  t   .

Bổ đề này áp dụng để chứng minh định lý 2.4
1
Định lý 2.5: Giả sử f  L1 ( R) và fˆ  L1 ( R) .Đặt g ( x) 


2





fˆ ( )e ix d

(tích phân này được hiểu theo nghĩa Lesbesgue).khi đó:
(a) g  C 0 với C 0 là không gian các hàm liên tục trên R và tiến dần về vô
cực.
(b) f ( x)  g ( x) hầu hết trên R

Chứng minh:
(a): Được chứng minh đơn giản bằng cách suy ra từ bổ đề 2.1.
(b): Chứng minh khá phức tạp, cần nhiều kiến thức nên ta có thể tham khảo
trong [2].
Công thức trong định lý 2.5 dẫn đến khái niệm về biến đổi Fourier ngược:
2.3.2. Biến đổi Fuorier ngược:
Định nghĩa: Hàm x 

1


2





F ( )e ix dx được gọi là biến đổi Fourier ngược

của F. Tích phân (Theo nghĩa Lesbesgue) là xác định nếu F  L1 ( R) .
Xét biến đổi Fourier có dạng khác:
Xét hàm f  L1 ( R) với f chẵn, thỏa mãn giả thiết của định lý 2.2 và f liên

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

13


Khoá luận tốt nghiệp


tục tại x. Khi đó ta có:


2
=  cos x


f ( x) 

1









0


f (t ) cos tdt d

cos x  f (t ) cos tdt d 






0

0

1





0







sin x  f (t ) cos tdt d


Công thức trên dẫn đến khái niệm về phép biến đổi Fourier - Cosin của hàm
thuộc L1 ( R  ) . Cho f  L1 ( R  ) ta định nghĩa phép biến đổi Fourier – Cosin của
f là hàm: F ( ) 

2






0

f ( x) cos xdx

Vậy nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn a, b  R  và
f liên tục tại x thì theo định lý 2.2 ta có:

f ( x) 

2





0

F ( ) cos xdx

Tương tự ta có định nghĩa biến đổi Fourier – sin của hàm f  L1 ( R  ) là hàm
 ( ) 

2



thì: f ( x) 




0

F ( ) sin xd . Khi đó nếu f thỏa mãn giả thiết như đã nói ở trên

2





0

( ) sinxd

*Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho f ( x)  e  x ,   0 . Tìm fˆ


2



2



1
Giải: Ta có: fˆ ( ) 



2







0

1



.

 x

(. cos x  i sin x)dx

 x

cos xdx 

e

e

1




.

2


2



0

e

 x

d sin x


2  x
e sin x 0    e x sin xdx 

0
2 

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

14



Khoá luận tốt nghiệp



1



2      x

 e d cos x
    0

.




 2  x
e cos x 0    e x sin xdx 
2


0
 




 2
 ˆ 
.
f ( )
 1  
2
2
 

2  
  2   2 

 fˆ ( ) 

 1 0 xa
Ví dụ 2: Cho f ( x)  1 / 2 x  a
 0 xa


Khi đó thì biến đổi Fourier – Cosin của f là:
2



F ( ) 

a

0


cos xdx 

2 sin a





Do f thỏa mãn giả thiết định lý 3.1 nên ta có





0





0

sin 



d 


2


q

được hiểu là lim
q   0

2.3.3. Các tính chất của biến đổi Fourier:
Tính chất 1: Với x  0 đặt f r ( x)  f (rx) . Ta có
1 
fˆr ( )  fˆ ( )
r r

Chứng minh:

fˆr ( ) 



1


2





1




r


2

1
r


fˆ   .
r



f (rx).e ix dx
f (t ).e t / r dt < Đặt rx  t >

Tính chất 2: Với y  R .Đặt: f y ( x)  f ( x  y) .Ta có:

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

15

và tích phân


Khoá luận tốt nghiệp

fˆy ( ) 




2



1



1




2



f ( x  y ).e ix dx
f (t )e i (t  y ) dt  e iy fˆ ( ) .

Tính chất 3: Cho f  L1 ( R) thỏa mãn sup f   a, a . Ta có fˆ
Là hàm giải tích trên C
Chứng minh: Có fˆ ( ) 

1



2

a

a

f ( x)e ix dx  f  L1 ( R) phải giải tích trên C

Tính chất 4: Cho dãy ( f n ) n1, 2... hội tụ trong L1 ( R ) .Khi đó dãy ( fˆn ) n1, 2,...
hội tụ đều trên R
1
Chứng minh: fˆm ( )  fˆn ( ) 


2











f m ( x)  f n ( x) e it dx
f m ( x)  f n ( x) dx  0 khi m, n   .

Tính chất 5: Cho f  L1 ( R) . Ta có fˆ liên tục, bị chặn và fˆ ( )  0 khi

 .

Chứng minh: Ta có fˆ bị chặn do fˆ ( )   f ( x) dx

Trường hợp f là hàm đặc trưng của a, b thì:
fˆ ( ) 

1
2

e
b

a

ix

dx 

e ia  e ib
và là hàm liên tục về tiến 0 khi
.
i
2
1

 .

Nếu f là hàm bậc thang thì f là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng. Từ
đó do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier ta cũng có fˆ liên tục và tiến

về 0 khi    .
Cuối cùng nếu f  L1 ( R) , do tập hợp các hàm bậc thang trù mật trong L1 ( R ) ta
tìm được dãy các hàm bậc thang ( f n ) n1, 2... hội tụ trong L1 ( R ) về f . áp dụng

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

16


Khoá luận tốt nghiệp

tính chất 4 ta có dãy ( fˆn ) n1, 2,... hội tụ đèu về fˆ trên R . Suy ra fˆ liên tục à
tiến về 0 khi    .
Tính chất 6: Cho f  L1 ( R) thỏa mãn tính chất f ' L1 ( R) và f liên tục tuyệt
đối trên mọi khoảng hữu hạn. Khi đó
( f ' ˆ)  ifˆ .

Chứng minh: Vì f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên:
x

f ( x)  f (0)   f ' (t )dt . Hơn nữa: f ' L1 ( R) nên vế phải của đẳng thức trên có
0

giới hạn khi x   .Ngoài ra giới hạn đó phải bằng 0 vì f  L1 ( R) . Vậy:
( f ' ˆ)( ) 



1



2





f ' ( x)e ix dx 

1


2





e ix df ( x)


1   x
e f ( x)  i  f ( x)e ix dx 


2 

 ifˆ ( ) .

Tính chất 7: Nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong L1 ( R ) thì f hội tụ về 0

càng nhanh khi    , nghĩa là:
fˆ ( ) 

( f ( n ) ˆ)( )



n

Điều này có được nhờ tính chất 6.
Tính chất 8: Cho f  L1 ( R) .Nếu f’’ tồn tại và f ''  L1 ( R) thì fˆ  L1 ( R) .
1
Chứng ninh: fˆ bị chặn do tính chất 5 và giản về 0 nhanh hơn 2 khi    .



Do tính chất 7 từ đó fˆ  L1 ( R) .

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

17


Khoá luận tốt nghiệp

Tính chất 9: Cho f  L1 ( R) và thỏa mãn I . f  L1 ( R) với I là ánh xạ đồng nhất
x  x do đó người ta thường viết x.f(x) thay cho I. f . Khi đó fˆ khả vi và
dfˆ
( )  (iIf ˆ)( ) cũng có thể viết (ixf ˆ)( ) .
d


Chứng minh: Có
d  1

d  2









i
f ( x).e ix dx  
2








xf ( x)e x dx

dfˆ
( )  (ixf ˆ)( ) .
d


Điều này cho thấy nếu f giảm càng nhanh thì fˆ càng trơn.


Tính chất 10: Với f , g  L1 ( R) và ( f  g )( x)   f ( x  t ) g ( x)dx  L1 ( R) . Khi đó
ta có : ( f  g ˆ)  2fˆgˆ .
Chứng minh: áp dụng định lý Fubini ta có:


( f  g )( x)e ix dx     f (t ).g ( x  t )dt. e ix dx

  















f (t )  g ( x  t )e ix dx dt

 





 


f (t )  g (u )e iu du e it dt ( Sử dụng phép đổi biến:
 


u  x  t  x  u  t , du  dx )


1



2

  ( f  g )( x)e ix dx  2 .







 1
f (t )

 2


g (u )e iu du e it dt







 2 . fˆ .gˆ ( ) .

Tính chất 11: Gọi S là tập hợp các hàm khả vi vô hạn và giảm nhanh. Nghĩa
là : f  C  và: p, q  N , M  0, x, x p . f ( q ) ( x)  M
Khi đó fˆ  S
Chứng minh: Cho p, q  N bất kì ta có x p  2 f ( q ) ( x)  M

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

18


Khoá luận tốt nghiệp

Suy ra x p . f ( q ) ( x) 

M
x2


Bất đẳng thức trên cho thấy x p . f ( q )  L1 ( R) .Theo tính chất 9 thì





^
(i ) q ( fˆ ) ( p ) ( )  (i ) q (ix) p . f ( x)







 (i) p .(i ) q x p f ( x)  (i) p ( x p f ) ( q ) ( x)
^



^

Suy ra fˆ  S vì ( x p f ) ( q ) ( x)  M và ( x p . f ) ( q )  L1 ( R) .
Tính chất 11 cho thấy phéo biến đổi Fourier là ánh xạ từ S vào S . Người ta
cũng chứng minh được đây là 1 song ánh.
2.4. Biến đổi Fourier trong Lp ( R),1  p  2

Ta xét hàm f  L1 ( R) là hàm chẵn f ( x)  e x ,  0 thì fˆ ( ) 

2 sin a

.
là một





hàm không nằm trong L1 ( R) . Mục này ta xét khả năng mở rộng địng nghĩa
biến đổi Fourier cho hàm : f  Lp (R) với 1  p  2 .Đặc biệt khi p=2 thì ta có
kết quả rất quan trọng là biến đổi Fourier bảo toàn cấu trúc không gian L2 ( R ) .
Định lý 2.6: (Plancherel – 1910) : Với mọi f  L2 ( R), N  0 ta đặt
FN  f ( ) 

1 N
. f ( x).eix dx khi đó :
2  N

(a) FN  f  hội tụ trong L2 ( R ) đến một hàm F  f  khi N   hơn nữa
Ff  2  
2





F  f ( ) d  
2






f ( x) dx  f
2

2
2

(b) Nếu f  L2 ( R)  L1 ( R) thì F f   fˆ h.h trên R
(c) Đặt  N ( x)  _  N F  f ( ).eix d thì  N hội tụ trong L2 ( R ) đến f khi
N

N  .

(d) Toán tử F là một đẳng cấu từ L2 ( R ) vào L2 ( R )
Chứng minh : Với mọi f1, f2  S .Theo tính chất 11 ta có : fˆ1, fˆ2  S  L1 ( R) .

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

19


Khoá luận tốt nghiệp

Từ định lý 2.4 và định lý Fubini ta suy ra được :








f1 ( x). f 2 ( x)dx  



1
2





1
2








.  fˆ1 ( ).eix d  f 2( x)dx
  



fˆ1 ( )  f 2 ( x).eix dx d
 




  fˆ ( ) fˆ2 ( x)d .( Trong đó f (x) là liên hợp của f (x) )


1

Suy ra gˆ 2  g 2 , g  S .() . Trong đó . 2 là chuẩn trong L2 ( R ) . Với f  L2 ( R)
triệt tiêu bên ngoài đoạn bị chặn  a, a thì cũng thuộc L1 ( R) .Ta có Cc (a, a) trù
mật trong L2  a, a  do đó có một dãy hàm ( f n )  Cc (a, a) hội tụ về f trong
L2  a, a  dẫn đến hội tụ trong L1 ( a, a ) với bất đẳng thức Holder.

fn  f

L1 9  a , a )

 2a f n  f

L1 ( a , a )

ta có thể xem như f n  S nếu nới

rộngmiền xác định của f n lên toàn R với f n triệt tiêu bên ngoài  a, a  như vậy
f n hội tụ về f trong L2 ( R ) và L1 ( R) . Từ tính chất 4 của biến đổi Fourier ta có :

fˆn  fˆ đều trên R. ()

Theo () thì fˆn  fˆ m  f n  f m 2 do đó  fˆn  là dãy Cauchy trong L2 ( R ) hội tụ
2


trong L2 ( R ) về một hàm g .
Kết hợp () và sử dụng định lý Fischer – Riesz ta có:
fˆ  g  L2 ( R)
fˆ

 g
2

2

 lim fˆn
n 

2

 lim f n
n 

2

 f

2

(  ) Đúng cho hàm f bất kỳ trong L2 ( R )

và triệt tiêu bên ngoài một đoạn bị chặn.
Tiếp theo ta xét f  L2 ( R) tuỳ ý. Đặt:
 f ( x)

f N ( x)  
 0

Ta có lim f N  f
N 

2

N xN
x N

 0 . Ngoài ra f N  L1 ( R) nên:

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

20


Khoá luận tốt nghiệp


1
fˆN ( ).
. f N ( x).eix dx  FN  f ( )
2  

Theo (  ) thì FN  f  2  fˆN  f N
2

2


Và: FN  f   FM  f  2  fˆN  fˆM  f N  f M
2

2

 FN  f  là dãy cơ bản trong L2 ( R ) nên hội tụ về một hàm F [ f ] trong L2 ( R ) .

Vậy: F  f  2  lim Fn  f  2  lim f N 2  f
N 

N 

2

 (a) được chứng minh.

Xét trường hợp f  L2 ( R)  L1 ( R) . Do f N hội tụ về f trong L1 ( R) ( Chính là
FN  f ).

hội tụ đều về fˆ bởi tính chất 4 của biến đổi Fourier).
Mặt khác FN  f  cũng hội tụ trong L2 ( R ) về F  f . Vậy fˆ  F ( f ) h.h trên R.
Nghĩa là (b) được chứng minh.
Chứng minh (c) hoàn toàn tương tự.
Phần chứng minh tính chất toàn ánh của F tham khảo [2].
Định lý 2.7: ( Housdorff – Young): Cho f  L2 ( R)  L1 ( R) . Giả sử 1  p  2 và
q là số thoả mãn
(2 )

1 1


2 q

1 1
  1 (q là số đối ngẫu của p) thì:
q p
1

  fˆ ( ) q d  q 
 










p



1
p

f ( x) d ( x) .

Với hàm f  Lp ( R),1  p  2 ta định nghĩa fˆ như là giới hạn trong Lq (R ) của

dãy hàm   (2 )

1 1

2 q



  f ( x )e


Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

ix

dx , khi n   .

21


Khoá luận tốt nghiệp

Chương 3: ứng dụng của phép biến đổi Fourier.
3.1. Bài toán giải phương trình truyền nhiệt.
Bài toán: Tìm nghiệm u ( x, t ) của phương trình vi phân sau:
u
 2u
 a 2 . 2 , t  0,  x   (1).
t
x


Thoả mãn điều kiện ban đầu u ( x,0)  f ( x),  x   và thoả mãn các điều
kiện: (i) u, u x , u xx liên tục, khả tích trên R theo biến x, t  0 cố định.
(ii) T  0,   L1 ( R) : ut ( x, t )  ( x), t  0, T , x .
Giải: Ta biến đổi vế trái của (1) như là hàm theo biến x ( xem t là tham số)
dùng tính chất ii) để có thể lấy đạo hàm dưới dấu tích phân, ta có :
1
2







ut ( x, t )e  ix dx 

 1
t  2








u ( x, t )e  ix dx   uˆt ( , t )



Tương tự sử dụng i) và tính chất 6 của biến đổi Fourier ta biến đổi Fourier vế
phải của (1) như là hàm theo biến x ta có :

uxx ( x, t )^  (i )2 uˆ ( , t )  2uˆ ( , t )
Từ đó biến đổi hai vế của (1) cho ta phương trình vi phân thường theo biến
t (  là tham số) như sau :

uˆt ( , t )  2a 2uˆ(, t )


uˆt ( , t )
 2 a 2
ˆ
u ( , t )

 d ln uˆ ( , t )   2 a 2 dt


2 2
uˆ ( , t )
 e a  t .
uˆ ( ,0)

 uˆ ( , t )  e  a

Mặt khác có : e

 t

2 2


fˆ ( )

 a 2 2 t

2
2 
 1

.e  x / 4 a t 
 a 2t


Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

^

22


Khoá luận tốt nghiệp

^

2
2
2
2
 1


 1

 uˆ ( , t )  
.e  x / 4 a t  f   
.e  x / 4 a t  f 
 a 2t

 2a t


Vậy

u ((xt) 

1
2a t





.e x

. e x

2a t

2a

/ 4a 2t




1

1

2

2

 f ( x)
/ 4a 2t



t 





^

. f ( x   ).d

(  x ) 2

f ( ).e


4a 2t

d

Ví dụ 3.1 : Tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt sau :
u
 2u
( x, t )  2 ( x, t )
t
x

Thoả mãn điều kiện về nhiệt độ ban đầu t  0 : u ( x,0)  u0 ( x)
Và thoả mãn các điều kiện :
(i) u, u x , u xx liên tục, khả tích trên R theo biến x với t  0 cố định.
(ii) T  0,   L1 ( R), ut ( x, t )  ( x), t  0, T , x
Giải : áp dụng kết quả của bài toán tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt
trong trường hợp tổng quát ta có ngay kết quả :
Nghiệm của phương trình đã cho là : u( x, t ) 

1
2 t



. e

2

/ 4t




.u0 ( x  t )d

3.2. Bài toán của phương trình truyền nhiệt không thuần nhất :
Bài toán : Tìm nghiệm u ( x, t ) của phương trình vi phân sau :
u
 2u
( x, t )  a 2 2 ( x, t )  f ( x, t ) .
t
x

Thoả mãn điều kiện ban đầu u( x,0)  0 .
Giải : Đặt V ( x, , t ) 

1
2a t



. e


 (  x ) 2
4a 2t

. f ( , t )d

Kiểm tra ta thấy hàm này thoả mãn phương trình :


Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

23


Khoá luận tốt nghiệp

2
V
2  u
và thoả mãn điều kiện ban đầu : V ( x, ,0)  f ( x, )
a
t
x 2
t

Ta chứng minh rằng hàm : u ( x, t )  0V ( x, , t   )d là nghiệm của bài toán ban
đầu :
+ Điều kiện ban đầu là hiển nhiên.
+ Ta có :
t V ( x, , t   )
u

d  V ( x, t ,0)
0
t
t

a2



2
t
 2u
2  V ( x, , t   )

a
.
d
x 2 0
x 2

u
 2u
 a 2 2  V ( x, t ,0)  f ( x, t )
t
x
 (  x ) 2

f ( , t ) 4 a 2 (t  )
Do đó u( x, t )  0V ( x, , t   )d  0 d 
e
d là nghiệm của phương
2a t
t



t


trình ban đầu.
Từ đó ta có nghiệm của phương trình tổng quát :
 u
 2u
  a 2 2  f ( x, t )
 t
x

u
(
x
,
0
)   ( x)


 ( )
u( x, t )  
.e

2a t


 (  x ) 2
2

4a t

là
 (   ) 2


2
f ( , t )
d   d 
.e 4 a (t  ) d
0

2a  (t   )

t



3.3. Bài toán giải phương trình truyền sóng.
utt ( x, t )  u xx ( x, t )  0, t  0

 u ( x,0)  g ( x), ut ( x,0)  0

Giải :
Gọi uˆ là biến đổi Fourier của u đối với biến x  R . Khi đó ta có :
uˆtt ( x, t )  uˆ xx ( x, t )  0, t  0

 u ( x,0)  g ( x), ut ( x,0)  0

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

24


Khoá luận tốt nghiệp


 uˆtt ( x, t )  2uˆ ( x, t )  0
Hay 
uˆ ( x,0)  gˆ ( x), uˆt ( x,0)  0

t0

Đây là một phương trình vi phân thường, với mỗi   R cố định ta tìm
nghiệm dạng : uˆ   .et

Từ đó 

( ,   C )

 2   uˆ  0
2


uˆ ( x,0)  gˆ ( x), uˆt ( x,0)  0

t 0

Suy ra : ( 2   )uˆ  0
2

2   0
2

   


Xét điều kiện ban đầu uˆ ( x,0)  gˆ ( x)
   gˆ ( x)  uˆt ( x,0)  0 được thoả mãn..

Vì thế uˆ  gˆ eit   eit  



ˆ  ge
 (u)
 u ( x, t ) 

1
2







it 

e

 it 



i ( x  t  )
gˆ ( )e

d



x  R, t  0 là nghiệm của phương trình

truyền sóng đã cho.

Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán

25