Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

trờng đại học s phạm hà nội 2
khoa toán
********

ngô thị lý

toán tử dương trong không gian hilbert

khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
ts. nguyễn văn hùng

hà nội - 2010

1


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán
Mục lục

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mở đầu

Nội dung
Chương 1: Không gian Hilbert.
1.1. Không gian Vectơ.
1.2. Không gian Định Chuẩn.
1.3. Tích vô hướng.
1.4. Phần bù trực giao.
1.5. Không gian Hilbert.
1.5.1. Định nghĩa.
1.5.2. Ví dụ.

2
3
4
6
6
6
9
9
12
12
12
12

Chương 2: Toán tử tuyến tính liên tục.
2.1. Toán tử tuyến tính.
2.2.1. Định nghĩa.
2.1.2. Ví dụ.
2.2. Toán tử liên tục.
2.2.1. Toán tử bị chặn.
2.2.2. Toán tử liên hợp.

2.2.3. Toán tử tự liên hợp.
2.2.4. Ví dụ.

14
14
15
15
16
16
16
16
17
21
21
21
24
37
40
41

Chương 3: Toán tử xác định dương.
3.1. Định nghĩa.
3.2. Ví dụ.
3.3. Tính chất.
3.4. Một số bài toán.
Kết luận.
Tài liệu tham khảo.

2



Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán
LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy, cô trong tổ giải tích, khoa toán trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Tiến sĩ
Nguyễn Văn Hùng đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình cho em để em
có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong
khóa luận tốt nghiệp không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp của thầy, cô giáo và các bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội tháng 5 năm 2010
Sinh viên

Ngô Thị Lý.

3


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán
Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập

nghiên cứu ở bậc đại học. Bên cạnh đó, em cũng nhận được sự quan tâm, tạo
điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa toán đặc biệt là sự hướng dẫn tận
tình của thầy Nguyễn Văn Hùng.
Vì vậy em xin khẳng định kết quả của đề tài “Toán tử dương trong
không gian Hilbert’’ không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội tháng 5 năm 2010
Sinh viên

Ngô Thị Lý.

4


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài.
Lí thuyết hàm và giải tích hàm là bộ môn lý thuyết được ra đời và phát
triển từ những năm đầu của thế kỉ 20. Nó có tầm quan trọng, có những ứng
dụng trong các ngành toán học. Có thể nói giải tích hàm là một môn học có
tầm quan trọng đối với sinh viên khoa toán. Vì vậy việc học và nắm vững
môn học này là điều rất cần thiết đối với sinh viên khoa toán.
Nội dung của giải tích hàm rất phong phú, đa dạng cùng với sự mới mẻ
và cái khó của môn học này đã làm cho việc tiếp thu những kiến thức của giải
tích hàm trở thành không dễ dàng đối với sinh viên khoa toán. Do đó để nắm
vững các kiến thức cơ bản của giải tích hàm đồng thời với quyết tâm bước
đầu nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài “ Toán tử dương trong không

gian Hilbert” để làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu.
Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn
về giải tích hàm đặc biệt là lý thuyết toán tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu các toán tử dương trong không gian Hilbert.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Cơ sở lí luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.
5. Cấu trúc của khóa luận.

5


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3
chương:
Chương 1: Không gian Hilbert.
Chương 2: Toán tử tuyến tính liên tục.
Chương 3: Toán tử xác định dương.

6


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán
Nội dung


Chương 1. Không gian Hilbert.
1.1. Không gian Vectơ
Cho X là tập tùy ý khác rỗng trên trường P với 2 phép toán “+” và “.”.
Giả sử có 2 phép toán trong X:
(i)

(ii)

+:

 :

XX 

X

x, y  

x y

, x, y  X

,   P, x  X

P X  X

 , x

 x


Ta gọi X cùng với 2 phép toán (i) và (ii) là không gian Vectơ trên
trường P nếu 8 tiên đề sau được thỏa mãn:
T1,

x, y  X : x  y  y  x .

T2,

x, y, z  X :x  y   z  x   y  z  .

T3,

Trong X có  để x    x x  X .

T4,

x  X , x '  X để thỏa mãn: x  x '   .

T5,

  P; x, y  X ta có:  x  y   x  y. .

T6,

 ,   P; x  X ta có:    x  x  x .

T7,

 ,   P; x  X ta có:  x    x .


T8,

x  X : 1x  x .

Các phần tử của X được gọi là các Vectơ, các phần tử của P được gọi là
tích vô hướng. Không gian Vectơ X trên trường P còn gọi là P- không gian
Vectơ X.
7


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

Khi P   ta gọi không gian Vectơ X là không gian Vectơ thực.
Khi P   ta gọi không gian Vectơ X là không gian Vectơ phức.
Ví dụ
Không gian  k là không gian vectơ thực K chiều với các phần tử kí hiệu
là:
x (n ) =( x (n ) ) kj 1  k , n  0,1,2 .
Thật vậy



 

Đặt  k  x  x j 

k


n

j 1

 

(1) x  xj

n

k
j 1



, xj 1   , k   .
n

 

  k , x'  xj

n

k
j 1

  k ta có:


x jn   x 'jn   x 'jn   x jn  j  1, k .

Suy ra: x  x '  x '  x .
Tiên đề 1 được thỏa mãn.

 

(2) x  xj

n

k
j 1

 

  k , x'  x j

' n

 

  k , x"  x j

" n

x    x     x    x    x    x   
n
j


' n
j

" n
j

n
j

' n
j

" n
j

k
j 1

  k ta có:

j  1, k .

Suy ra: x  x '   x "  x  x' x " .
Tiên đề 2 được thỏa mãn.

 

(3) x  xj

n


k
j 1

  k , xét phần tử    0,0,...,0    k , ta có:

0  x jn   x jn  , j  1, k .

Suy ra: 0  x  x x  k .
8


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

Tiên đề 3 được thỏa mãn.

 

(4) x  xj

n

k
j 1



ta có:






x jn    x jn   0 , j  1, k .

Suy ra: x    x   0, x   k .
Tiên đề 4 được thỏa mãn.

 

(5) x  xj

n

k
j 1

  k ;  ,    ta có:

 x jn     . x jn  , j  1, k .

Suy ra:    x    .  x , x   k .
Tiên đề 5 được thỏa mãn.

 

(6) x  xj


n

k
j 1

  k ;  ,    ta có:

   x jn   x jn   x jn  , j  1, k .
Suy ra:    x  x  x .
Tiên đề 6 được thỏa mãn.

 

(7) x  xj

n

k
j 1



n
n
n
  k , tồn tại phần tử  x   x1  ,  x2  ,...,  xk    k

 

  k , x'  xj


n

k

 x jn   x 'j n    x jn   x 'j n  .

Suy ra:  x  x '   x  x ' .
Tiên đề 7 được thỏa mãn.

9

j 1

  k , j  1, k .


Khoá luận tốt nghiệp

 

(8) x  xj

n

k
j 1

Ngô Thị Lý- K32C- Toán


  k ta có:

1. x jn   x jn  ( 1 là phần tử đơn vị của  ) j  1, k .
Suy ra: 1.x  x, x  k .
Tiên đề 8 được thỏa mãn.
Vậy  k là không gian tuyến tính thực với 2 phép toán “+” và “.” xác
định như trên.
1.2. Không gian định chuẩn.
Ta gọi không gian định chuẩn X là không gian tuyến tính trên trường P
(P là trường số thực hoặc phức) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực 
.Kí hiệu là  và đọc là “chuẩn” thỏa mãn các tiên đề sau:
1, x  X , x  0, x  0  x  0 .
2, x  X ,   P, ta có: x   . x .
3, x, y  X ta có: x  y  x  y .
Số x được gọi là chuẩn của vectơ x. Ta kí hiệu không gian định chuẩn
là X. Các tiên đề 1;2;3 gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Ví dụ: không gian  k là không gian định chuẩn.
1.3. Tích vô hướng.
Cho không gian tuyến tính X trên trường P ( P là trường số thực  hay
phức  ). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X là một ánh xạ từ tích
Descarts vào P. Kí hiệu là (. , .) thỏa mãn các tiên đề:
T1, x, y  X : x, y   y, x .

10


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán


T2, x, y, z  X  : x  y, z   x, z    y, z  .
T3, x, y  X ,   P :x, y    x, y  .
T4, x  X  :x, x  0 nếu x   .

x, x  0 nếu

x  .

Các phần tử x,y,z… gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x,y) gọi
là tích vô hướng của 2 nhân tử x và y. Các tiên đề T 1,T2,T3,T4 là hệ tiên đề
tích vô hướng.
Ví dụ: Không gian

 

x  xj

n

k
j 1

là không gian vectơ thực k chiều với

k

 

  k , y  y j


n

k
j 1

k

  k . Ta đặt: x, y    x jn  . y jn  (1.3).
j 1

Thì Rk cùng với hệ thức (1.3) thỏa mãn hệ tiên đề về tích vô hướng.
Thật vây:
(1) x, y  k . Ta có:

 y, x  y1n  , y2n  ,..., ykn  , x1n  , x2n  ,..., xkn   .
k

 y, x    y jn  .x jn  .
j 1

k

Suy ra:  y, x    x jn  . y jn  .
j 1

Suy ra:  y, x  x, y .
Tiên đề 1 được thỏa mãn.

 


(2) x  xj

n

k
j 1

 

  k , y  y j

n

k
j 1

 

  k , z  z j

n

x  y, z   x1n  , x2n  ,..., xkn   y1n  , y1n  ,..., y kn  , z1n  , z 2n  ,..., z kn  





 


k
j 1

  k . Ta có:





 ( x1n  , x 2n  ,..., x kn  , z1n  , z 2n  ,..., z kn   y1n  , y 2n  ,..., y kn  , z1n  , z 2n  ,..., z kn  )

11


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán
k

k

j 1

j 1

Suy ra: x  y, z    x jn  . y jn    y jn  .z jn 

.

Suy ra: x  y, z   x, z    y, z  .

Tiên đề 2 được thỏa mãn.

 

(3) x  xj

n

k
j 1

 

  k , y  y j

n

k
j 1

  k ,    . Ta có:

x, y    x1n  , x2n  ,..., xkn  , y1n  , y2n  ,..., ykn  .
x, y   x1n  ,x2n  ,...,xkn  , y1n  , y2n  ,..., ykn   .
k

Suy ra: x, y     x jn  . y jn  .
j 1

Suy ra: x, y    x, y  .

Tiên đề 3 được thỏa mãn.

 

(4) x  xj

n

k
j 1

  k . Ta có:

x, x  x1n  , x2n  ,..., xkn  , x1n  , x2n  ,..., xkn  .
Suy ra: x, x  

 x   
k

j 1

n
j

2

 0  x, x   0 nếu x   .

Và x, x   0   x jn    0  x jn    0 j  1, k
k


2

2

j 1

 x jn 

0

x

 0.

j  1, k

Vậy  k cùng với hệ thức (1.3) là một tích vô hướng.

12


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

1.4. Phần bù trực giao.
Cho V là không gian con của X . Ta gọi tập x  X \ x V  là phần bù trực
giao của V và kí hiệu: V   x  X \ x  V  .
1.5. Không gian Hilbert.

1.5.1. Định nghĩa.
Ta gọi tập H khác rỗng gồm những phần tử x,y,z… nào đấy là không
gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện :
1, H là không gian tuyến tính trên trường P.
2, H được trang bị một tích vô hướng (. , .).
3, H là không gian Banach với chuẩn x  x, x  x  H .
1.5.2. Ví dụ.

 k là không gian vectơ thực k chiều, với

 

x  xj

n

k
j 1

 

  k , y  y j

n

k
j 1

 k .


Chứng minh không gian vectơ thực  k cùng với tích vô hướng (1.3) là không
gian Hilbert.
Chứng minh:
Theo phần trên ta có  k là không gian tuyến tính và cùng với hệ thức
(1.3) thỏa mãn hệ tiên đề về tích vô hướng. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh

 k là không gian Banach theo chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng (1.3).
Ta có chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng (1.3).

13


Khoá luận tốt nghiệp
x 

Ngô Thị Lý- K32C- Toán


k

 x, x  

j 1

xj

n




2

 

, x  xj

n

k
j 1

  k (1.5.1)

Ta chứng minh  k là không gian Banach theo chuẩn (1.5.1).

 

Với x  , x    k trong đó x   xj
n

m

m

m

k

n


j 1

Giả sử dãy x n  n 1 là dãy cơ bản    0 ,     .


m, n   :
x n   x m    .

Ta có: x n   x m  

x    x   

2

 ...  x kn   x km 

Suy ra: x1n   x1m  

x    x   

2

 x n   x m    .

n

m

1


1

n

m

1

1





2

 .

………
x kn   x km  

x    x   
n
k

m

k

2


 x n   x m    .

Suy ra với mỗi j  1, k dãy x jn   là dãy cơ bản các số thực.
 x1n  
 x10 

  .
Suy ra  .................. khi n 
0 
 x n  
 k  x k

Đặt x 0  x10  , x20 ,..., xk0 .
 0 khi n 
  .
Ta cần chứng minh x n   x m  
  0 , vì x1n  
 x10  nên có N1 sao cho:

x1n   x10  


k

, n   1 .

…………
14


 

  k và x   xj

n

k
j 1

 k .


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

Vì xkn  
 xk0  nên có Nk sao cho:


xkn   xk0  

k

, n   k .

Đặt   max 1 ,  2 ,..., k .
n   ta có:




x1n   x10  

k

.

………


xkn   xk0  

k

.

Suy ra:
x

n 

x

0 



x

n 


1

0 

 x1



2



n 

0 

 ...  xk  xk



2

2
 
 
    ...    
 2  .
k
k

k
2

2

Suy ra: lim x jn   x j0  , j  1,..., k trong  k .
n
Suy ra  k là không gian đầy hay không gian Banach .
Vậy không gian vectơ thực  k cùng với tích vô hướng (1.3) là không
gian Hilbert.
Chương 2. Toán tử tuyến tính liên tục.
2.1. Toán tử tuyến tính.
2.1.2. Định nghĩa.
Cho 2 không gian tuyến tính X, Y trên cùng trường P ( P là trường số
thực R hay phức C). ánh xạ A từ không gian tuyến tính X vào không gian
tuyến tính Y. ánh xạ A gọi là toán tử tuyến tính nếu:

15


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

1, x, x '  X  : Ax  x '   Ax  Ax ' .
2, x  X   P: A.x  .Ax .
Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện (1) thì A gọi là toán tử cộng tính.
Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện (2) thì A gọi là toán tử thuần nhất.
Khi Y   thì toán tử tuyến tính A thường được gọi là phiếm hàm
tuyến tính.

2.1.2. Hạt nhân.
 Y là toán tử tuyến tính.
Cho A: X 

Ta gọi tập x  X \ Ax    là hạt nhân của A và kí hiệu là KerA. Vậy
KerA= x  X \ Ax    .
2.1.3. Ví dụ.
Cho toán tử Ax  0, x1 ,0, x2 ,..., x  xn  l 2 .
Toán tử A là toán tử tuyến tính.
Thật vậy:
+Chứng minh A tồn tại.
x  x n  l 2 , x

Suy ra: Ax

2



2



  xn

2

  .

n 1




2
2
   Ax n   x n 
n 1

n 1

 l 2 .
Suy ra tồn tại A: l 2 

+Chứng minh A tuyến tính.
 Tính cộng tính.

16

x

2

  .


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

x  xn   l 2 , y   y n   l 2 . Ta có:


Ax  y   0, x1  y1 ,0, x2  y2 ,0,.....

= 0, x1 ,0, x2 ,...  0, y1 ,0, y2 ,... .
Suy ra: Ax  y   Ax  Ay .
 Tính thuần nhất.
x  xn   l 2 ,   P . Ta có:

Ax  0,x1 ,0,x2 ,.... .

Suy ra: Ax   0, x1 ,0, x2 ,... .
Suy ra: Ax  .Ax .
Vậy A là toán tử tuyến tính.
2.2. Toán tử tuyến tính liên tục.
2.2.1. Toán tử tuyến tính bị chặn.
Cho không gian Hilbert X và Y. Toán tử tuyến tính bị chặn A từ không
gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C  0 sao cho:
Ax  C x , x  X .

Nhờ định lý 3 mệnh đề tương đương về toán tử liên tục ta suy ra A là
toán tử bị chặn thì A là toán tử liên tục.
2.2.2. Toán tử liên hợp.
Cho toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert X vào
không gian Hilbert Y. Toán tử B ánh xạ không gian Hilbert Y vào không gian
Hilbert X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu:

 Ax, y   x, By , x  X , y  Y .
17



Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A*
2.2.3. Toán tử tự liên hợp
Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó
gọi là tự liên hợp nếu:

 Ax, y   x, Ay , x, y  H .
Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng.
2.2.4. Ví dụ.
Ví dụ 1
 k  k

Cho A:

x1 , x2 ,..., xk   x1 , x2 ,0,...,0 .
Thì A là toán tử tuyến tính liên tục.
Thật vậy:
+ A tồn tại.
Ax  x12  x 22 



x
n 1

2
n


 x   .

 k .
Suy ra: tồn tại A:  k 

+A tuyến tính.
 Tính cộng tuyến tính.

x   x1 , x2 ,..., xk    k , y   y1 , y2 ,..., yk    k . Ta có:
Ax  y   x1  y1 , x2  y2 ,0,...,0

= x1 , x2 ,0,...,0   y1 , y2 ,0,...,0 .
Suy ra: Ax  y   Ax  Ay .
18


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

 Tính tuyến tính.

x   x1 , x2 ,..., xk    k ,    . Ta có:
Ax  x1 , x2 ,0,...,0

  x1 , x2 ,0,...,0

Suy ra: Ax  Ax .
+ A liên tục.

Từ Ax  x suy ra A bị chặn.Suy ra A liên tục.
Ví dụ 2
Cho toán tử Ax  0, x1 ,0, x2 ,..., x  xn   l 2 .
Tìm toán tử liên hợp của A.
Ta có A là toán tử tuyến tính liên tục nên tồn tại toán tử liên hợp A*
Giả sử A* là là toán tử liên hợp của toán tử A nghĩa là:
x, y  l 2  Ax, y   x, A y  .

Thật vậy:
x  x n   l 2 , y   y n   l 2 .

Ta có:

 Ax, y   0. y1  x1 . y 2  0. y3  ...  0. y 2n1  xn . y 2n  ...
 x1 . y 2  x2 . y 4  ...  xn . y 2 n  ...

Suy ra:  Ax, y   x, A y  .
Vậy A y   y2 , y4 ,...y2n  .
Ví dụ 3
19


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

Cho toán tử Ax  0,0, a1.x1 , a2 x2 ,..., , x  xn   l 2 .
(an ) là dãy số phức đã cho.
Tìm toán tử liên hợp của A.
Bài làm:

+ Tìm điều kiện của dãy a n n1  C để A tồn tại.
Nếu a n n1  C bị chặn thì tồn tại M>0 với M  sup an
1 n

Ta có:
Ax 



 an . xn
2

2



x

 M.

n 1

n 1

2
n

 M x   .

 l 2 .

Suy ra: A bị chặn. Suy ra tồn tại A : l 2 

Nếu a n n1  C không bị chặn suy ra với mỗi k    tồn tại an  k .
k

Không giảm tính tổng quát, ta có thể coi n1Chọn dãy x n n 1  l 2 cho bởi:
1

, n  nk
xn   k

 0 , n  nk

1
 a nk . , n  n k
Khi đó an .xn  
k

, n  nk
0

k  1,2....

1
k

Mà a n  k suy ra a n .  1 .
k

k





a nk

n 1

n 1

k

Suy ra:  a n x n  



 12   .
n 1

 l 2 .
Suy ra: không tồn tại A: l 2 

20


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

Vậy với a n n1  C bị chặn thì tồn tại
: l2  l2 .

A

x  xn   Ax  0,0, a1 x1 , a 2 x2 ,... .

+ A tuyến tính.
 Tính cộng tính.
x  x n   l 2 , y   y n   l 2 . Ta có:

Ax  y   0,0, a1 x1  a1 y1 ,....

Ax  y   0,0, a1 x1 ,...  0,0, a1 y1 ,... .
Ax  y   Ax  Ay .

 Tính thuần tính.
x  xn   l 2 ,   P . Ta có:

Ax  0,0,.a1 .x1 ,.a2 .x2 ,.... .

Ax   0,0, a1 x1 , a2 .x2 ,... .

Suy ra: Ax  .Ax .
+ A bị chặn vì Ax  M x nên A liên tục .
+ Tìm A*.
x, y  l 2 . Ta có:

 Ax, y   0. y1  0 y 2  a1 .x1 y3  a2 .x2 y 4  ....  an .xn y n2  ...

 Ax, y   a1 x1 y3  a2 .x2 y 4  ...  an .xn y n2  ....
Suy ra:  Ax, y   x, A y  .

21


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

Suy ra: A y  a1 y3 , a2 y 4 ,...,an y n 2 ,...

Chương 3. toán tử xác định dương.
3.1. Định nghĩa.
Cho A là toán tử tuyến tính liên tục ánh xạ không gian Hilbert thực H
vào chính nó. Toán tử A gọi là xác định dương nếu với mọi x  H đều có

 Ax, x   m x 2 , trong đó m là số dương cố định nào đó.
Nhận xét: toán tử A là toán tử tự liên hợp vì:

 Ax, x   y, x  x, y   x, Ax .
3.2. Ví dụ.
Ví dụ 1
Toán tử đơn vị I là toán tử xác định dương vì:

Ix, x   x, x  

x

2

mx .
2

Khi đó ta chọn số m=1 là số dương thỏa mãn định nghĩa.
Ví dụ 2
Giả sử không gian Hilbert H   2 với x=(x1,x2)   2
Ax  2x1  3x2 , x1  x2 

Chứng minh A là toán tử dương và tìm A .

22


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

Ta có :

 Ax, x  x1 2x1  3x2   x2  x1  x2  .
 Ax, x   2 x12  2 x1 x2  x22 .
+ Tìm m.
 Nếu x   thì  Ax, x   m. x với mọi số m dương.
2

 Nếu x   ta có:

 Ax, x   2 x12  2 x1 x2  x22  mx12  mx22 .
( với m là số dương nào đó).

Tương đương : 2  mx12  2 x1 x2  1  mx22  0, x12  x22  0 .
Ta giả sử x2  0 .
2

x 
x
Ta có: 2  m 1   2. 1  1  m  0 .
x2
 x2 
'  0
1  2  m 1  m   0

2m  0

a  0

Tương đương 

 2  m  0  m  2 1

Suy ra: 1  2  m. 1  m  0
Tương đương:  1  3m  m 2  0
Tương đương: m 2  3m  1 0 ,  m  5

3 5
2
m 
2
Tương đương: 
m  3  5  2


2

23

2


Khoá luận tốt nghiệp

Ngô Thị Lý- K32C- Toán

Kết hợp (1) và (2) ta chọn m 

 Ax, x  

3 5
thì m>0 và :
2

3 5 2
x , x   2 .
2

+ Tìm A .
Ta có :
Ax  A . x , x   2 .
Ax
Ax
Ax

Ax

2

 2 x1  3x 2    x1  x 2 
2

2

2

 4 x12  12 x1 x 2  9 x 22  x12  2 x1 x 2  x 22

2

 5 x12  10 x1 x 2  10 x 22

2

 5 x12  2 x1 x 2  x 22





Chọn x=1H (là phần tử đơn vị trong H   2 ) nên x  1
Suy ra: x  x12  x22  1
2

 x  cos 

Đặt  1
 x 2  sin 
Ax

2



 5 cos 2   2 sin  . cos   2 sin 2 

 1  cos 2

 5
 sin 2  1  cos 2 
2


3 1

 5  . cos 2  sin 2 
2 2

3

5 1
2
 5 

. cos 2 

sin 2  
5

2 2  5



Đặt 



1
5
2
5

 cos 
 sin 

24




Khoá luận tốt nghiệp

Suy ra:

Ax

2

Ngô Thị Lý- K32C- Toán





3
 3
5
5  53 5

 5 
. cos2     5 

.
2
2
2
2
2

 






Suy ra: Ax 

5 3 5
.
2

Do A 

Ax nên A 

sup

xH , x 1



5 3 5
2



Ví dụ 3
Xét toán tử A trong ví dụ 1:
Ax  x1 , x2 ,0,...,0 .

Phần tử x  0,0,1,...,1 . Ta có:

 Ax, x  0 còn

x

2

 k  2  0.

Vậy A không phải là toán tử xác định dương.
3.3. Tính chất.
Định lí 1 : Nếu A là toán tử xác định dương (với hằng số m>0) và  là hằng
số nhỏ hơn m thì A  I (I là toán tử đơn vị) cũng là toán tử xác định dương.
Chứng minh:
Với mọi x  H ta có:

 A  I x, x    Ax, x   Ix, x   m. x 2  . x 2  m   . x 2 , x  H .
Vì m    0 nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra A  I là toán tử xác định
dương.
Thật vậy:
25