LỜI NÓI ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Giải tích là một ngành toán học được xây dựng vào nửa thế kỷ XX
và đến nay vẫn được xem như một ngành toán học cổ điển. Trong quá
trình phát triển, giải tích đã tích lũy được một nội dung hết sức phong
phú những phương pháp và kết quả mẫu mực,tổng quát của Giải tích
hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành Toán học có liên quan và sử dụng
đến công cụ Giải tích và không gian véctơ. Chính vì điều đó đã mở ra
phạm vi nghiên cứu rộng lớn cho các ngành Toán học.
Với những lí do đó và được sự định hướng của thầy hướng dẫn em
đã chọn đề tài “Toán tử chiếu trong không gian Hilbert” là khóa luận
tốt nghiệp Đại học của mình.
Khóa luận được chia làm hai chương:
Trong chương 1 chúng tôi đưa ra những kiến thức về tập lồi, tập
lồi đóng, tập lồi đa diện;không gian định chuẩn; không gian Hilbert; sự
hội tụ yếu của dãy trong không gian Hilbert; toán tử tuyến tính.
Trong chương 2, phần đầu chúng tôi đưa ra định lý hình chiếu lên
không gian con đóng, tiếp theo chúng tôi trình bày nội dung chính của
khóa luận, đó là toán tử chiếu trong không gian Hilbert và phép chiếu
của toán tử tuyến tính lên một số tập hợp đặc biệt.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về không gian Hilbert, toán tử chiếu trong không gian Hilbert.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về toán tử chiếu trong không gian Hilbert.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Giải tích hàm.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích, so sánh, tổng hợp, đánh giá.

3

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện
Định nghĩa(tập lồi): Giả sử X là không gian tuyến tính,

là tập số

thực.Tập A  X được gọi là lồi, nếu:

x1 , x2  A,   R : 0    1   x1  (1   ) x2  A
Định nghĩa (tập lồi đóng): Một tập lồi đồng thời là tập đóng thì được gọi
là tập lồi đóng.
Định nghĩa (hàm lồi): cho E là không gian véctơtrên

. Một hàm

 : E    ,   gọi là hàm lồi nếu

  tu  1  t  v   t  u   1  t   v  , u, v  E, t  0;1.
Định nghĩa (tập lồi đa diện): Tập M 

k

được gọi là tập lồi đa diện

nếu M được biểu diễn dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa
không gian đóng của


k

.

Định nghĩa (tập affine)
Tập A 

n

được gọi là tập affine, nếu

1    x   y  A  x, y  A,   
Nhận xét: Nếu A là tập affine, thì với a

n

,

A  a   x  a : x  A
là tập affine.
1.2. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.1
Cho X là không gian véctơ trên trường K (thực hoặc phức). Một
hàm thực . : X  , x  x được gọi là chuẩn trên X nếu thỏa mãn các
tiên đề sau:

4


1) x  0, x  X


x  0  x   (phần tử không);
2)  x   x ,   K , x  X ;
3) x  y  x  y , x, y  X .
Với mỗi x  X , số x gọi là chuẩn của véctơ x .
Định nghĩa 1.2.2
Giả sử X là không gian véctơ trên trường K , . là một chuẩn trên

X . Khi đó cặp  X , .  được gọi là không gian định chuẩn.

 X , .  là không gian định chuẩn thực hay phức nếu

K là trường

thực hay phức.
Ví dụ. Không gian
3

x 

2
i

x

3

với chuẩn:

, x   x1 , x2 , x3  


3

là không gian định chuẩn.

i 1

Định nghĩa1.2 .3
Dãy điểm  xn  trong không gian định chuẩn X hội tụ đến điểm

x  X nếu lim
xn  x  0 .
n
Kí hiệu: lim xn  x hay xn  x khi n   .
n 
Dãy  xn  trong không gian định chuẩn  X , .  gọi là dãy cơ bản (
hay dãy Cauchy) nếu lim xn  xm  0.
n , m 
Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ
bản đều hội tụ.
Ví dụ. Ca ,b là tập các hàm liên tục trên  a, b  .
Ca ,b là không gian Banach với chuẩn:

5


x  max x  t  , x  x  t   Ca ,b .
t a ,b 

1.3. Không gian Hilbert

1.3.1.Định nghĩa tích vô hướng
Cho X là không gian véctơ trên trường K (thực hoặc phức).Ánh
xạ g: X  X  K , ( x, y )  g ( x, y ) được gọi là một tích vô hướng trên

X nếu thỏa mãn các tiên đề sau:
1) g ( x, y)  g ( x, y), x, y  X ;
2) g ( x  y, z )  g ( x, z )  g ( y, z ), x, y, z  X ;
3) g ( x, y)   g ( x, y), x, y  X ,   K ;
4) g ( x, x)  0, x  X ; g ( x, x)  0  x   .
Khi đó phiếm hàmgđược gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y.
Kí hiệu: x, y hoặc  x, y  .
Ví dụ. X 

n

, x  ( x1 , x2 ,..., xn ); y  ( y1 , y2 ,..., yn ) 

n

,

n

x, y  x1 y1  x2 y2  ...  xn yn   xi yi .
i 1

Là một tích vô hướng trên

n


.

Một số tính chất cơ bản:
1. x  X , x ,  0;
2. x, y  X ,   K , x,  y   x, y ;
3. x, y , z  X , x, y  z  x , y  x , z .
1.3.2.Bất đẳng thức Schwartz
Giả sử .,. là một tích vô hướng trên X . khi đó:
x, y 

x, x .

y , y  x, y  X

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi {x,y} phụ thuộc tuyến tính.

6


1.3.3.Định nghĩa không gian Hilbert
Giả sử .,. là một tích vô hướng trên X . Khi đó:
x 

x, x , x  X

xác định một chuẩn trên X được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
Định nghĩa (Không gian Hilbert)
Ta gọi tập H   gồm những phần tử x,y,z,… nào đấy là không
gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1. H là không gian tuyến tính trên trường P ;

2. H được trang bị một tích vô hướng .,. ;
3. H là không gian Banach với chuẩn

 x, x  , x  H .

x 

Nếu K 

(hoặc

) thì không Hilbert tương ứng là không gian

thực (hoặc phức).
Ví dụ. X 

n

với tích vô hướng:
n

x, y   xi yi , x   x1 , x2 ,..., xn  , y   y1 , y2 ,..., yn   R n
i 1

n

và chuẩn x 

x


2

i

thì

n

cùng với tích vô hướng là không gian

i 1

Hilbert.
Không gian l2 cùng với tích vô hướng cho bởi


x, y   xn yn
n 1



và chuẩn x 

2

x

n

thì l2 là không gian Hilbert.


n 1

7


Định nghĩa (Không gian con của không gian Hilbert)
Mọi không gian véctơ con đóng của không gian Hilbert gọi là
không gian Hilbert con.
1.3.4. Tính trực giao
1.3.4.1. Định nghĩa 1.3.4.1
Cho H là không gian Hilbert. Ta nói hai phần tử x, y  H là trực
giao nhau nếu x, y  0 .Kí hiệu: x  y.
Nếu A  H , A  , x  H . Ta nói x trực giao với A nếu x trục
giao với mọi phần tử trong A.Kí hiệu: x  A
Vậy x  A  x  y, y  A .
1.3.4.2. Tính chất cơ bản
1. x  y, y  H  X  
2.   H .
3. Nếu x  A , A  {y1 , y2 ,..., yn }  H thì x trực giao với mọi tổ hợp
tuyến tính các phần tử trong A .Kí hiệu: x  span ( A) .
4. Giả sử x  xn , n  1 và dãy xn hội tụ đến y khi n  thì x  y .
5. A trù mật khắp nơi trong H , x  A  x   .
1.3.4.3. Định lý Pythagore
Nếu các véctơ x1 , x2 ,..., xn đôi một trực giao thì
2

n

 xi

i 1

n

  xi

2

n 

*

i 1

1.3.4.4. Đẳng thức hình bình hành
Cho H là không gian Hilbert, x, y  H ta có
2

2



2

x y  x y 2 x  y

8

2


.


1.3.4.5. Định lý


Chuỗi

x

các phần tử đôi một trực giao trong không gian

n

n 1



Hilbert H hội tụ khi và chỉ khi chuỗi

x

2

n

hội tụ.

n1


1.3.4.6. Định nghĩa 1.3.4.2
Cho H là không gian Hilbert, E là không gian véctơ con của H .
tập hợp F  H các phần tử trực giao với E được gọi là phần bù trực
giao của E trong H .Kí hiệu: E  .
Ta chứng minh dược F là không gian con đóng của H và H có
biểu diễn:Nếu E là phần bù trực giao của F và F là phần bù trực giao
của E thì ta có tổng trực giao

H  E  F
1.3.5. Các định lý liên quan
1.3.5.1. Bất đẳng thức Bessel
Định nghĩa 1.3.5.1.1
Cho không gian Hilbert H . Một hệ thống gồm hữu hạn hay đếm
được các phần tử  en n 1  H gọi là một hệ trực chuẩn nếu:

1
ei , e j   ij  
0

khi i  j
khi i  j

Định lý (bất đẳng thức Bessel)
Nếu  en n 1 là hệ trực chuẩn nào đó trong không gian Hilbert H
thì x  H ta đều có bất dẳng thức:



x, en


2

2

 x (Bất đẳng thức Bessel).

n1

9


Định nghĩa 1.3.5.1.2
Tích vô hướng x, en , n  1 ta gọi là hệ số Fourier của phần tử x
đối với hệ trực chuẩn  en n1
Nhận xét:
Từ bất đẳng thức Bessel ta suy ra chuỗi



x, en

2

hội tụ. Do đó

n 1

chuỗi  x, en en cũng hội tụ trong không gian Hilbert H (vì chuỗi gồm
n 1


các phần tử đôi một trực giao nhau hội tụ tuyệt đối thì hội tụ). Chuỗi này
gọi là khai triển Fourier của phần tử x  H theo hệ trực chuẩn  en n1
1.3.5.2: Đẳng thức Parseval
Định nghĩa
Hệ trực chuẩn  en n 1 trong không gian Hilbert được gọi là một cơ
sở trực chuẩn nếu trong H không tồn tại véctơ khác không nào trực giao
với hệ đó.
Định lý
Cho  en n1 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H . Khi
đó 5 mệnh đề sau là tương đương:
a) Hệ

e 
n

n 1

là cơ sở trực chuẩn của H

b) Mọi x  H đều có biểu diễn x   x, en en ;
n 1

c) x, y  H , x, y   x, en en , y   x, en y, en ;
n 1

n1

(đẳng thức Parseval)
2


d) x  H , x   x, en

2

- phương trình đóng.

n1

e) Bao tuyến tính của hệ  en  n1 trù mật khắp nơi trong H (nghĩa
là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kì các phần tử
thuộc hệ  en  n1 trù mật khắp nơi trong không gian H ).

10


Định lý Riesz dưới đây áp dụng định lý về hình chiếu lên không
gian con đóng trong không gian Hilbert.
1.3.5.3. Định lý F.Riesz (dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục)
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian hilbert H
đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
f ( x )  x , a , x  H .

Với a là một phần tử nào đó thuộc H xác định duy nhất theo f và
f  a .

Chú ý: Nhờ định lý trên ta có thể đồng nhất H * với H hay không
gian Hilbert là không gian tự liên hợp. Vậy không gian Hilbet là không
gian phản xạ vì H  H *  H ** .
1.4. Sự hội tụ yếu của dãy trong không gian Hilbert.
1.4.1. Định nghĩa

Cho không gian Hilbert H . Dãy điểm  xn   H gọi là hội tụ yếu
y
tới điểm x  H , kí hiệu xn 
 x , nếu với y  H ta có:

lim xn , y  x, y .
n 

Ta có nhận xét, nếu dãy điểm  xn   H hội tụ tới điểm x  H theo
chuẩn trên H (còn gọi là hội tụ mạnh), nghĩa là lim xn  x  0 , thì dãy
n 
điểm  xn  hội tụ yếu tới điểm x  H . Điều đó suy ra từ hệ thức:

xn , y  x, y  xn  x, y  xn  x y , y  H .
Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không đúng. Chẳng hạn, đối
với không gian Hilbert H có hệ trực chuẩn vô hạn  en  , theo bất đẳng
thức Bessel, với phần tử bất kì y  H ta có:




y, en

2

n 1

11

n


 y ,


nên lim en , y  0, y  H
n 
Do đó dãy  en  hội tụ yếu tới phần tử  . Nhưng hiển nhiên dãy

 e  không hội tụ mạnh tới phần tử , vì
n

2

en  em  2 (n  m) .
1.4.2. Định lý 1.4.2
Cho không gian Hilbert H , nếu dãy điểm  xn   H hội tụ yếu tới
điểm x  H và lim xn  x thì lim xn  x  0 .
n 
n 
Chứng minh
2

2

xn  x  xn  x, xn  x  xn  xn , x  x, xn  x

2

Từ đó và từ giả thuyết suy ra




2

lim
xn  xn , x  x, xn  x
n 

2

 x

2

2

 x, x  x, x  x  0

Vì vậy
lim xn  x  0
n 

Định lý được chứng minh.
1.4.3. Định lý 1.4.3
Cho không gian Hilbert H . Dãy điểm  xn   H hội tụ yếu khi và
chỉ khi dãy đó thỏa mãn các điều kiện:
1) Dãy điểm  xn  bị chặn theo chuẩn trong không gian H ;
2) Dãy số  xn , y  , n  1, 2,... hội tụ với mỗi y thuộc tập trù mật
khắp nơi trong không gian H .


12


1.5. Toán tử tuyến tính
1.5.1. Định nghĩa
Cho X , Y là các không gian định chuẩn trên trường K , ánh
xạ: A : X  Y là toán tử tuyến tính nếu:
i)

A x  y   Ax  Ay, x, y  X ;

ii) A  x    Ax, x  X ,   K .
Nếu Y  K thì A là phiếm hàm tuyến tính.

Ađược gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu c  0 sao cho:

x  X , Ax  c x .

c là một cận trên của toán tử A.
Số c0 nhỏ nhất thỏa mãn gọi là chuẩn của toán tử A.Kí hiệu: A
Để ngắn gọn ta gọi toán tử tuyến tính là toán tử.
1.5.2. Ví dụ
Toán tử đồng nhất và toán tử không là các toán tử tuyến tính.
Toán tử đồng nhất I biến mọi phần tử thành chính nó, tức là

Ix  x với mọi x  E .
Toán tử không biến mọi phần tử của E thành véctơ không.
Toán tử không được kí hiệu là 0 .
Dễ thấy toán tử đồng nhất và toán tử không là bị chặn và ta có
I  1, 0  0.


Phép nhân vô hướng  I là một toán tử, toán tử này nhân mọi
phần tử với vô hướng  ,tức là  I  x   x .

13


1.5.3. Phiếm hàm song tuyến tính
Định nghĩa (hàm song tuyến tính)
Một hàm song tuyến tính  trên một không gian véctơ phức là
một  : E  E 

thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1)   x1   x2 , y     x1 , y     x2 , y  .
2)   x, y1   y2     x, y1     x, y2  .
với  ,  là các vô hướng bất kì và x, x1 , x2 , y, y1 , y2  E.
Dễ thấy tất cả các hàm song tuyến tính trên E lập thành một
không gian véctơ.
Ví dụ. Tích vô hướng là một hàm song tuyến tính.
1.5.4. Một số toán tử trong không gian Hilbert
1.5.4.1. Toán tử liên hợp
Định nghĩa (toán tử liên hợp)
Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H . Toán
tử A* : H  H được xác định bởi

Ax, y  x, A* y , x, y  H
Gọi là toán tử liên hợp của A .
Nhận xét: Do A là liên tục nên   x, y   Ax, y là phiếm hàm
song tuyến tính. Theo định lý 1.6.3.1, tồn tại duy nhất toán tử A* để

Ax, y  x, Ay . Do đó, toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục

A luôn tồn tại và cũng là toán tử tuyến tính liên tục.

Các tính chất sau được suy ra từ định nghĩa trên:

A

*

*

*

*

 B*   A*  B* ;  A   A* ;  A*   A ; I *  I ;  AB   B* A* .

với A, B là các toán tử bất kì và vô hướng  tùy ý.

14


Tính chất
Toán tử liên hợp A* của toán tử bị chặn A là bị chặn.
2

Hơn nữa, ta có A  A* và AA*  A .
1.5.4.2 Toán tử tự liên hợp
Định nghĩa (toán tử tự liên hợp)

Nếu A  A* thì A gọi là toán tử tự liên hợp.
Nói cách khác nếu A là toán tử tự liên hợp thì
Ax , y  x , Ay , x , y  H .

Tính chất
1) Cho  là một hàm song tuyến tính bị chặn trong H . A là toán
tử trong H :   x, y   x, Ay , x, y  H
khi đó A là tự liên hợp khi và chỉ khi  là đối xứng.
2) Cho A là toán tử bị chặn trong không gian hilbert H . Toán tử

T1  A* A và T2  A  A* là tự liên hợp.
3) Tích của hai toán tử tự liên hợp là một toán tử tự liên hợp khi
và chỉ khi hai toán tử đó là giao hoán.
4) Mọi toán tử bị chặn T trong không gian hilbert H đều tồn tại
duy nhất các toán tử tự liên hợp A và B sao cho:

T  A  iB và T *  A  iB .
5) Nếu T là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert H thì
T  sup Tx, x .
x 1

6) Nếu A là tự liên hợp thì đa thức bất kỳ nào của A với hệ số
thực  n ,..., 0 cũng tụ liên hợp

 n An  ...  1 A   0 I .

15


1.5.4.3. Toán tử khả nghịch

Định nghĩa (toán tử nghịch đảo)
A là một toán tử xác định trong không gian véctơ con của E . Một

toán tử B xác định trên   A  gọi là nghịch đảo của A nếu
BAx  x, x  D  A  và ABx  x, x    A  .

Một toán tử mà có toán tử nghịch đảo thì được gọi là khả nghịch.
Nghịch đảo của A kí hiệu là A1 .
Nếu một toán tử có nghịch đảo thì nghịch đảo đó là duy nhất.
Thật vậy: Giả sử B1 , B2 là các nghịch đảo của A ,ta có:
B1  B1 I  B1 AB2  IB2  B2 .

Tính chất
1) Nghịch đảo của một toán tử tuyến tính là một toán tử tuyến tính.
2) Một toán tử A là khả nghịch khi và chỉ khi Ax  0 dẫn đến

x  0.
3) Nếu một toán tử A là khả nghịch và các véctơ x1 ,..., xn là độc
lập tuyến tính thì Ax1 ,..., Axn là độc lập tuyến tính.
4) Nếu các toán tử A, B thì toán tử AB cũng khả nghịch và

 AB 

1

 B 1 A1.

Ví dụ sau đây chỉ ra rằng nghịch đảo của một toán tử tuyến tính bị
chặn không hẳn là bị chặn.
5) A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H sao

cho   A   H . Nếu A có nghịch đảo bị chặn thì liên hợp A* là khả
1

*

nghịch. Và  A*    A1  .

16


1.5.4.4. Toán tử trực giao
Định nghĩa (toán tử trực giao)
Một toán tử bị chặn T gọi là toán tử trực giao nếu nó giao hoán
với toán tử liên hợp của nó, tức là

TT *  T *T .
Chú ý: T trực giao khi và chỉ khi T * trực giao.
Mọi toán tử tựliên hợp là trực giao
Các định lý sau giúp ta thấy rằng có những toán tử trực giao mà
không tự liên hợp.
Tính chất
1) Một toán tử bị chặn T là trực giao khi và chỉ khi

Tx  T * x , x  H .
2) Cho T là toán tử bị chặn trong không gian Hilbert, A, B là các
toán tử tự liên hợp trong H sao cho T  A  iB . Khi đó T là trực giao
khi và chỉ khi A và B giao hoán.
n

3) Nếu f là toán tử trực giao thì T n  T , n 


.

4) Một toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert H là đẳng cự
*
khi và chỉ khi T T  I trong H

1.5.4.5. Toán tử dương
Định nghĩa (toán tử dương)
Một toán tử A gọi là dương nếu nó tự liên hợp và Ax, x  0, x  H .
Ví dụ. Cho K là hàm dương liên tục xác định trên  a , b    a , b  . Toán tử
tích phân L2  a, b xác định bởi:
b

Tx  s    K  s, t x  t  dt , s   a, b
a

là toán tử dương. Thật vậy, ta có:

17


b b

Tx, x    K  s, t x  t  x  t dtds
a a

b b

2


   K  s, t  x  t  dtds  0, x  L2  a, b  .
a a

Tính chất
1) Với mọi toán tử bị chặn A trong H toán A* A và AA* là dương.
2) Nếu A là toán tử dương khả nghịch thì nghịch đảo của nó A1
là dương.
3) Tích của hai toán tử dương giao hoán là một toán tử dương.
4) Cho A là một toán tử dương trong H mà

I  A  I

(2.13)

Với 0     , thì:
i) A là khả nghịch.
ii) ( A)  H .

1
iii) 

I  A1 

1



I.


a) Cho A1  A 2  ...  An  ... là các toán tử tự liên hợp trong H sao cho
An Am  Am An , n, m 
An B  BAn , n 

. Nếu B là toán tử tự liên hợp trong H sao cho

. Khi đó tồn tại một toán tử tự liên hợp A :

lim
An x  Ax, x  H .
n 
Và An  A  B, n  .
1.5.4.6. Toán tử compact
Toán tử c là một lớp toán tử quan trong trong số các toán tử bị
chặn.

18


Định nghĩa (Toán tử compact)
Một toán tử A trong không gian Hilbert H gọi là toán tử compact
nếu với mỗi dãy bị chặn  xn  trong H , dãy  Axn  có một dãy con hội tụ.
Ví dụ. Mọi toán tử trong không gian có số chiều vô hạn là toán tử
compact.
Thật vậy:
Nếu A là một toán tử trong

N

thì nó la bịchặn.


Do đó  xn  là dãy bị chặn thì  Axn  là dãy bị chặn trong
Theo định lý Bolzano-Weierstrass,  Axn  có một dãy con hội tụ.

19

N

.


Chương 2. TOÁN TỬ CHIẾU TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT

2.1. Định lý (về hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian
Hilbert)
Giả sử H 0 là không gian con đóng của không gian Hilbert H . Khi
đó với mỗi phần tử x của H đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:
x  y  z trong đó y  H 0 , z  H 0 .

Khi đó ta nói y là hình chiếu của x lên H 0 .
Chứng minh
Nếu x  H 0  x  x   , x  H 0 và   H 0 .
Nếu x  H0 do H 0 là tập đóng  d  d  x, H 0   inf x  y  0.
yH
0

Theo định nghĩa inf, tồn tại dãy  un   H 0 sao cho lim x  un  d . Khi
n 
đó dãy  un  là dãy cơ bản trong H 0 . Thật vậy, áp dụng đẳng thức hình
bình hành ta có: m, n  1

un  um

Do  u n   H 0 ,

2

 2 x  un

2

 2 x  um

2

u  um
4 x n
2

2

un  um
u u
 H0  x  n m  d
2
2
2

2

2


 0  un  um  2 x  un  2 x  um  4d  0 khi
Vậy  un  là dãy cơ bản trong H 0 đầy  y  H0 để
y  lim un và x  y  d .
n 

Đặt z  x  y  z  x  y  d .
Ta chứng minh z  H 0 . Thật vậy:

20

n,m  

.


Giả sử v  H0 sao cho z , v  c  0  v  0  v, v  0 . Đặt

 y

c
.v  H 0 , ta có:
v, v
2

d2  x   z 
2

 z 


c
c
.v, z 
.v
v, v
v, v
c
c
c.c
.c 
.c 
2 . v, v
v, v
v, v
v, v
2

c
 z 
v, v
2

2

c
d 
 d2
v, v
2


Ta thấy điều mâu thuẫn, chứng tỏ tồn tại v   thuộc H 0 sao
cho z , v  0 suy ra z  H 0 .Vậy x  H luôn có biểu diễn
x  y  z , y  H 0 , z  H 0 .

Giả sử x  y ' z ' , y '  H 0 , z '  H 0
 y  z  y ' z '
 y  y '  z ' z với y  y '  H 0 , z ' z  H 0

 y  y '  H0  y  y '    y  y '  z  z ' .
Vậy biểu diễn của x là duy nhất, suy ra điều phải chứng minh.
2.2. Toán tử chiếu
Giả sử H 0 là không gian Hilbert đóng của không gian H . Khi đó,
mọi véctơ x  H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

un ( P) x  u  v , với u  H0 , v  H 0 .

(2.1)

Véctơ x thường được gọi là hình chiếu (trực giao) của x  H lên không
gian con đóng H 0 .

21


Bằng cách ứng với véctơ x  H với hình chiếu u của nó lên H 0 , ta
được một ánh xạ

P: H  H
Có miền giá trị ( P)  H0 . Ánh xạ P thường được gọi là phép
chiếu, hay toán tử chiếu (trực giao) của không gian H lên không gian

con đóng H 0  H .
Nhận xét: Nếu u  H thì Pu  u khi và chỉ khi u  H0 . Hơn nữa từ
(2.1) ta có:
v  x  u  x  Pu  ( I  P) x .

Vậy

I  P

là toán tử chiếu lên không gian con đóng H 0 .

Hiển nhiên rằng ánh xạ P là tuyến tính. Trong đẳng thức (2.1), vì
2

2

2

u  v , nên x  u  v , do đó
2

2

2

Px  u  x .
Vậy P là liên tục và P  1 . Nhưng nếu u  H0 thì Pu  u , do
đó Pu  u suy ra P  1 .
2.3. Ví dụ
Ví dụ 1.

2

là không gian Hilbert. H 0 là không gian con một chiều sinh bởi

véctơ  e1   1,0  . x 

2

thì y  x, e1 , e1 là hình chiếu của x lên không

gian con H 0
Thật vậy, từ giả thiết ta có

x  y, e1  x  x, e1 e1 , e1
x  y , e1  x, e1  x, e1 e1 , e1  0

Suy ra x  x, e1 e1  H 0 .

22


Ta có biểu diễn
x  x  x, e1 e1  x , e1 e1  x  x , e1 e1  y

Với y  x, e1 e1  H 0 , x  x, e1 e1  H 0 .
Vậy y là hình chiếu của x lên H 0 .
2

Cho tương ứng véctơ x 


với hình chiếu y của nó lên H 0 ta lập

được ánh xạ:
P:

2



2

x  Px  x, e1 e1

Ánh xạ P là toán tử chiếu không gian con đóng H 0 .
Ví dụ 2.
Cho dãy  e n là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert vô hạn
chiều H , H n là không gian con sinh bởi các véctơ e1 , e2 ,.., en ,  n  1, 2,... .
Khi đó

Pn : H  H
n

x  Pn x   x, e j e j ,  n  1,2,...
j 1

là dãy toán tử chiếu của x  H lên không gian con đóng H n và  Pn  hội
tụ điểm đến toán tử đồng nhất I trên H nhưng không hội tụ theo chuẩn.
Thật vậy:
+)  Pn  là dãy toán tử chiếu của x  H lên không gian con đóng
H n  n  1, 2,... .

n

Đặt yn   x, e j e j . Ta có
j 1
n

yn , en 



x, e j e j  x, ei ,  i  1, 2,..., n 

j 1

Suy ra

x  yn , ei  x , ei  yn , en  0,  i  1, 2,..., n 

23


 x  yn  H n
Từ đó ta có biểu diễn
x  yn   x  yn  với yn  H n , x  yn  H n

Vậy yn là hình chiếu của x lên H n .
Do đó,với mỗi n  1,2,... , toán tử

Pn : H  H
n


x  Pn x   x, e j e j ,  n  1,2,...
j 1

là toán tử chiếu x lên không gian H n , hay  Pn  là dãy toán tử chiếu x
lên không gian con đóng H n .
+) Dãy toán tử chiếu  Pn  hội tụ đến toán tử đồng nhất I vì:


lim
P x   x, e j e j  x  x  X 
n  n
j 1

Tuy nhiên, với n, m và n  m , chẳng hạn n  m  p (p nguyên
dương), ta có
Pn em 1  Pm em 1  Pn em 1  em 1  1

Do đó
Pn  Pm  1 n  m.

Suy ra  Pn  không hội tụ theo chuẩn.
2.4. Tính chất và phép toán của toán tử chiếu
2.4.1. Định lý 2.4.1
Để toán tử tuyến tính liên tục P trong không gian Hilbert H là
một toán tử chiếu, điều kiện cần và đủ là:
1) P tự liên hợp,tức là P*  P .
2) P 2  P .
Khi đó P là toán tử chiếu lên không gian con đóng H 0  ( P ) .


24


Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử P là toán tử chiếu lên không gian con
đóng H 0 . Lấy x, y  H tùy ý, giả sử

x  u  v , y  r  s (u, r  H ; v, s  H  ) .
Thế thì Px, y  u , r  s  u , r  u  v, r  x, Py .
Suy ra P *  P . Hơn nữa
P 2 x  P  Px   Pu  u  Px .

Vậy P2  P .
Điều kiện đủ: Giả sử các điều kiện 1) và 2) được thỏa mãn. Trước
hết, ta hãy chứng minh rằng không gian véctơ con H 0  ( P) của H là
đóng. Thật vậy, giả sử u  H 0 và  un   H 0 là một dãy hội tụ đến u . Vì

un ( P) nên un  Pvn (vn  H ) và ta có
un  Pvn  P 2vn  P( Pvn )  Pun  Pu .
Do đó u  Pu ( P)  H 0 và H 0 là đóng.
Toán tử tuyến tính liên tục Q  I  P cũng thỏa mãn các điều kiện
1) và 2).
Thật vậy, Q*  I  P*  I  P  Q và
2

Q 2   I  P   I  2P  P2  I  2P  P  I  P  Q .
Do đó, theo phần đã chứng minh, N   (Q ) là một không gian
con đóng của H .
Nếu x chạy khắp trong không gian H , thì Px chạy khắp không
gian H 0 , thì Qy chạy khắp N , và ta có:


Px, Qy  QPx, y   I  P  Px, y   P  P 2  x, y
  P  P  x, y  0

25


Vậy H 0  N . Hơn nữa, với mọi x  H , x  Px   I  P  x  Px  Qx
Với Px  H0 , Qx  N đẳng thức chứng tỏ rằng H  H0  N và P là
toán tử chiếu lên H 0 , Q là toán tử chiếu lên N  H 0 .
Như vậy, giữa tập hợp tất cả các không gian con đóng của H và
tập hợp tất cả các toán tử chiếu trong H , có một song ánh.Vì thế, có thể
đoán nhận rằng mối liên hệ hình học giữa hai không gian con đóng của

H phải được phản ánh bởi mối liên hệ đại số giữa hai toán tử chiếu lên
các không gian con ấy. Đó là nội dung của các định lý sau đây.
2.4.2. Định lý 2.4.2
Giả sử P1 và P2 là hai toán tử chiếu của không gian Hilbert H lần
lượt trên hai không gian con đóng H1 và H 2 . Các mệnh đề sau đây là
tương đương:
a) H1  H 2 ;
b) P1P2  0 hoặc P2 P1  0
c) P1  P2 là một toán tử chiếu
Khi đó, P1  P2 là toán tử chiếu lên H 1  H 2
Chứng minh
a )  b) .Lấy x  H .Vì P1 x  H1 và H 1  H 2 , nên Px
1 có hình chiếu

bằng 0 lên H 2 tức là P2 P1 x  0 .Vậy P2 P1  0 .Khi đó ta cũng có:
0  ( P2 P1 )*  P1* P2*  P1 P2 .


b)  a ) .Lấy u  H1 , v  H 2 , tức là u  Pu
1 , v  P2 v .Ta có:
u , v  Pu
1 , P2 v  P2 Pu
1 , v  0, v  0

Vậy H1  H 2 .
b)  c) .Hiển nhiên rằng P1  P2 là tự liên hợp. Hơn nữa:
( P1  P2 ) 2  P12  P1 P2  P2 P1  P2 2  P12  P2 2  P1  P2

26

(2.1)


Vậy theo định lí 2.4.1 P1  P2 là một toán tử chiếu, thì theo (2.1)
ta thấy rằng P1 P2  P2 P1  0 .
Nhân P1 về bên trái với cả hai vế thì được
PP
1 2  PP
1 2 P1  0

Lại nhân P1 về bên trái với cả hai vế, rồi chia cho 2 thì được
P1P2 P1  0 .

Các đẳng thức này chứng tỏ rằng
P1P2  P2 P1  0

Bởi vì

P1 P2   P1 P2  P1 P2 P1   P1 P2 P1.

Cuối cùng (với giả thiết H 1  H 2 ), ta hãy đặt H  H 1  H 2 , và
gọi P là toán tử chiếu lên H 0 .Với x  H ta có
x  Px  ( I  P) x ,

nhưng Px  H 0  H 1  H 2 nên Px  u  v với u  H1 , v  H 2 ,
Vậy x  u  v  ( I  P) x .
Để ý rằng v  H1 và ( I  P ) x  H1 , vậy v  ( I  P ) x  H1 , nên u
là hình chiếu của x lên H , tức là u  P1 x .Tương tự, ta có v  P2 x , do đó
Px  P1 x  P2 x , tức là
P  P1  P2 .

2.4.3. Định lý 2.4.3
Giả sử P1 và P2 là hai toán tử chiếu lần lượt lên hai không gian
con đóng H1 và H 2 .Các mệnh đề sau đây là tương đương:
a) H 1  H 2 ;
b) P1P2  P1 hoặc P2 P1  P1

27