Khóa luận tốt nghiệp
 

LỜI CAM ĐOAN
 
 
             Tôi xin cam đoan đề tài “ MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐA GIÁC “ là 

kết  quả  mà  tôi  đã  trực tiếp tìm  tòi  nghiên  cứu.  Trong  quá  trình  nghiên 
cứu tôi đã sử dụng lài liệu của một số tác giả.  Tuy nhiên, đó chỉ là cơ sở 
để tôi rút ra những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của mình. Đây là kết quả 
của cá nhân tôi, hoàn toàn không trùng với kết quả của các tác giả khác. 
          Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. 
 
Em xin chân thành cảm ơn!
 

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

 
Hoàng Thị Liên

Hoàng Thị Liên
 

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 

LỜI CẢM ƠN 
 
           Em  xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu sắc tới  Thầy  giáo  Bùi  Văn  Bình, 

người đã hướng dẫn  em tận tình, chu đáo trong suốt quá trình em thực 
hiện đề tài này. 
 
          Em  cũng  xin  chân  thành  cảm  ơn  các  thầy  cô  giáo  trong  tổ  Hình 
Học,  Ban  Chủ  Nhiệm  Khoa  Toán,  Ban  Quản  lí  Trường  Đại  Học  Sư 
Phạm  Hà  Nội  2 đã tạo  điều  kiện thuận  lợi cho  em trong  suốt  quá  trình  
học tập tại trường bốn năm vừa qua và giúp em thực hiên khóa luận này. 
 
 

Đề tài của em chủ yếu nghiên cứu tài liệu, tổng kết và thu thập tài 

liệu cũng đã có những cách giải sáng tạo của cá nhân nhưng còn hạn chế  
Với thời gian và năng lực còn hạn chế nhưng em hy vọng đề  tài sẽ giúp 
ích nho nhỏ cho người đọc và mong mọi người đóng góp ý kiến để khóa 
luận được hoàn thiện hơn. Và em hy  vọng qua đề tài này những người 
yêu Toán sẽ có thái độ đúng đắn và sâu sắc hơn. 
 
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

 
Hoàng Thị Liên
 


Hoàng Thị Liên
 

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
MỤC LỤC
 
MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI ........................................................................ 1 
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .............................................................. 2 
3. NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. ................................... 2 
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU. ................................... 2 
5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. ...................................................... 2 
6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC .............................................................. 2
I. LÝ THUYẾT ..................................................................................... 3
1. Các định nghĩa. ........................................................................... 3
2. Miền trong, điểm trong của đa giác. ............................................ 4
3.Các tính chất của đa giác ............................................................. 4
4. Đường chéo của đa giác .............................................................. 6
5. Cách gọi tên đa giác. ................................................................... 6
6.Đường tròn ngoại tiếp .................................................................. 7
II. MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC ................ 7
III. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN
TRONG ĐA GIÁC ............................................................................... 9
IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN ..................................................................... 9
1. Tính số cạnh của một đa giác. ..................................................... 9

2. Tính số đo góc trong đa giác. .................................................... 13
3. Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác. ............... 19
4. Diện tích đa giác. ...................................................................... 24
4.1 Hàm diện tích: ........................................................................ 24
4.2 Diện tích đa giác đơn. ............................................................. 24
4.3 Diện tích của các hình phẳng. ................................................. 24

Hoàng Thị Liên
 

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
a. Hình đơn giản: .......................................................................... 24
b. Hình khả diện. .......................................................................... 24
c. Các tính chất của diện tích đa giác. ........................................... 24
4.4 Các công thức tính diện tích ................................................... 25
5. Các khoảng cách trong đa giác ................................................. 31
6.Ứng dụng của định lí Ptoleme vào giải bài toán đa giác ............. 35
6.1 Nội dung và lí thuyết. ............................................................. 35
6.2 Áp dụng .................................................................................. 36
6.2.1 Bất đẳng thức Ptoleme và những kết quả kinh điển .............. 36
IV. KẾT LUẬN .................................................................................. 47
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................. 48
 
 
 


 

Hoàng Thị Liên
 

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
MỞ ĐẦU

1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
              

            Trong các môn học đối với học sinh thì môn Toán có một ý nghĩa 
và  vị  trí  đặc  biệt  quan  trọng.Toán  học  với  tư  cách  là  một  khoa  học 
nghiên cứu một số  mặt của thế giới hiện thực,nó có một hệ thống khái 
niệm,  quy  luật  và  có  phương  pháp  riêng.  Hệ  thống  này  luôn  phát  triển 
trong  quá  trình  nhận  thức  thế  giới  và  đưa  ra  kết  quả  là  những  tri  thức 
toán học. Những tri thức toán học, những kĩ năng toán học cùng phương 
pháp  toán  học  đã  trở  thành  công  cụ  toán  học  giúp  học  sinh  ứng  dụng 
khoa  học  vào  thực  tiễn,  đồng  thời  phát  triển  tư  duy  và  nhân  cách  học 
sinh 
 Đa  giác  là  một  chương  quan  trọng  trong  chương  trình  hình  học  trung 
học cơ sở nói chung và hình học 8 nói riêng.Nó cung cấp cho học sinh 
cách nhìn tổng quan về hình học. Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiên 
cứu là:  
“Một số kết quả về đa giác”
          Đề tài này nhằm mục đích sưu tầm và  khái quát hóa các dạng toán 

liên quan đến đa giác và diện tích đa giác để giúp cho người đọc có cái 
nhìn hệ thống về lĩnh vực này ; giúp các em học sinh và phụ huynh có tài 
liệu hữu ích để tham khao, nghiên cứu cũng như phục vụ nhu cầu giảng 
dạy của những sinh viên sư phạm chúng em sau này. 
                                        

Hoàng Thị Liên
 

1

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
           Đưa ra một số kết quả mang tính chất hệ thống là tài liệu giúp học 

sinh, phụ huynh có thể tra cứu, tham khảo nhằm góp phần nâng cao việc 
giảng dạy và học.  
3. NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
3.1  Xác định các căn cứ xây dựng hệ thống và cấu trúc hệ thống các kết 

quả về đa giác. 
3.2  Xây  dựng  và  phân  loại  các  hệ  thống  bài  tập  và  phương  pháp  giải 
nhằm rèn luyện cho học sinh các kĩ năng trong việc giải các bài toán đa 
giác. 
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
4.1 Đối tượng nghiên cứu :các kết quả về đa giác, các bài toán áp dụng  

với cách giải cụ thể. 
4.2 Phạm vi nghiên cứu : các kết quả về bài toán đa giác. 
5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
5.1 Nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu các sách,báo, tạp chí,các công trình 
nghiên cứu,một số đề thi học  sinh giỏi các quốc gia … có liên quan đến 
đề tài. 
5.2 Thực hành giải toán : Giải các bài toán liên quan tới các kết quả bài 
toán  đa giác đưa ra. 
6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
         Nếu biết xây dựng hệ thống các kết quả, các bài tập áp dụng cụ thể 
rõ ràng  thì đề tài sẽ là một tài liệu hữu ích, thích hợp,chủ động nâng cao 
chất  lượng  học  tập  của  học  sinh  và  giảng  dạy  của  thầy  cô,tạo  tiềm  lực 
phát triển năng lực học toán cho các em. 
 
 

Hoàng Thị Liên
 

2

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
I. LÝ THUYẾT
1. Các định nghĩa.
a) Đường gấp khúc  :  Đường  gấp  khúc  n   cạnh  là  hình  hợp  thành  bởi 
đoạn  thẳng  A1 A2 , A2 A3 ,..., An An1 ,   trong  đó  hai  đoạn  thẳng  liên  tiếp 


Ai 1 Ai  và  Ai Ai 1  không cùng nằm trên một đường thẳng ( i  2,3,..., n  ). 
     Đường gấp khúc như trên được kí hiệu là  A1A 2 ... An1 . 
     Các điểm 

Ai  gọi là các đỉnh của đường gấp khúc (có n+1 đỉnh), còn 

các  đoạn  thẳng  Ai Ai1   gọi  là  các  cạnh  của  đường  gấp  khúc.  Từ  định 
nghĩa trên ta suy ra ba đỉnh liên tiếp  Ai 1 , Ai  và  Ai 1  không thẳng hàng, 
và hai cạnh liên tiếp  Ai 1 Ai  và  Ai Ai 1  chỉ có điểm chung duy nhất là đỉnh 

Ai . 
b) Đa giác  :  Đa  giác  n   cạnh  là  đường  gấp  khúc  n   cạnh  ( n  3   ) 

A1 A2 ... An1   sao cho đỉnh đầu  A1  và đỉnh cuối An1  trùng nhau, cạnh đầu 

A1 A2  và cạnh cuối  An An1  (cũng coi là hai cạnh liên tiếp)không nằm trên 
một đường thẳng.  
    Đa giác như thế kí hiệu là  A1 A2 ... An1 . Đa giác n  cạnh còn gọi là  n   
giác. 
    Các điểm  Ai   gọi là các đỉnh của đa giác, các đoạn thẳng  Ai Ai1  gọi là 
các cạnh của đa giác. Góc  Ai 1 Ai Ai 1  gọi là góc của đa giác ở đỉnh  Ai . 
c) Đa giác đơn : Đa giác đơn là đa giác mà bất kỳ hai cạnh không liên 
tiếp nào cũng không có điểm chung. 
d) Đa giác lồi :  Đa giác  lồi là đa giác  mà  nó  nằm  về  một  phía  đối  với 
đường thẳng chứa bất kì một cạnh nào của đa giác đó. 
e) Đa giác đều : là đa giác có tất cả các cạnh của chúng bằng nhau và tất 
cả các góc của chúng bằng nhau. 

Hoàng Thị Liên

 

3

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
2. Miền trong, điểm trong của đa giác.
a) Định lí Jordan: Cho H là đa giác nằm trong mặt phẳng P. Khi đó tập 
hợp P\H là hợp của hai tập hợp  H 0  và  H  , có các tính chất sau đây: 
    i) Bất kì hai điểm nào cùng thuộc vào một trong hai tập hợp đó đều có 
thể nối với nhau bằng một đường gấp khúc không có điểm chung với H. 
     ii) Một đường gấp khúc bất kì nối hai điểm thuộc hai tập hợp  H 0  và 

H   thì luôn có điểm chung với H. 
     iii)  Tập  H 0   không  chứa  đường  thẳng  nào,  tập  H    có  chứa  nhưng 
đường thẳng.  
b) Định nghĩa :  
     Tập  H 0  nói trong định lí Jordan gọi là miền trong của đa giác H. 
      Tập  H   gọi là miền ngoài của đa giác H. 
      Mỗi điểm của  H 0  gọi là điểm trong của đa giác H. Mỗi điểm thuộc 

H   gọi là điểm ngoài của đa giác H. 
      Tập  H 0   H  =  P\ H    gọi là  miền của đa  giác H,  hoặc  đơn  giản  là 
miền đa giác H. Miền đa giác H được kí hiệu là   H  . 
3.Các tính chất của đa giác
a) Trong mặt phẳng cho điểm A và một số    > 0, tập hợp tất cả những 
điểm cách A một khoảng <   được gọi là lân cận của điểm A. Nói cách 

khác lân cận    của điểm A là tập hợp những điểm nằm trong đường tròn 
tâm A bán kính   . Lân cận đó đươc kí hiệu là   A,   . 
i) Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm trong của đa giác H là có một
lân cận  của A chứa trong H 0 , nói khác đi có  > 0 sao cho

 A,    H 0 . 

Hoàng Thị Liên
 

4

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
     Thật vậy, nếu A là điểm trong của H, ta có thể chọn    là số dương, 
sao cho    < AM với mọi điểm M   H. Khi đó nếu điểm B    A,    thì 
hiển nhiên đoạn thẳng AB cũng không cắt H. Vì A là điểm trong nên B 
cũng là điểm trong. 
     Ngược  lại  nếu  điểm  A  có  lân  cận   A,    H 0   thì cố  nhiên  A H 0  
tức A là điểm trong. 
ii) Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm ngoài của H là có một lân cận

 của A chứa trong H  :  A,    H  .
      Từ đó suy ra : 

iii) Nếu A H thì mọi lân cận  A,   đều có chứa điểm trong và điểm
ngoài của H.

b ) Cho A là một đỉnh nào đó của đa giác H, và hai cạnh có chung đỉnh 
A là AB và AC. Ta có thể lấy một lân cận   A,    với    đủ nhỏ sao cho 
nó không có điểm chung với các cạnh khác của H ngoài hai cạnh AB và 
AC.  Khi  đó  lân  cận   A,     được  phân  thành  hai  phần  :  một  phần  nằm 
trong góc BAC mà ta kí hiệu là phần I, và phần kia nằm ngoài góc BAC 
mà ta kí hiệu là phần II. Hiển nhiên nếu một trong hai phần đó chứa một 
điểm trong (tương ứng một điểm ngoài) của H thì mọi điểm của phần đó 
đều là điểm trong (tương ứng là điểm ngoài) của H. 
     Vì   lân  cận  A,     phải  chứa  cả  điểm  ngoài và cả  điểm  trong nên  ta 
suy ra: Một trong hai phần đó chứa  trong  H 0 , và phần kia chứa trong 

H     
       Định nghĩa : Đỉnh A gọi là đỉnh lồi nếu phần I chứa trong  H 0 , và 
gọi là đỉnh lõm nếu phần II chứa trong  H  .  
        Định lí : Mỗi đa giác có ít nhất là một đỉnh lồi. 
Hoàng Thị Liên
 

5

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
4. Đường chéo của đa giác
ĐN: Một  đoạn  thẳng nối 2  đỉnh không  kề  nhau của  một  đa  giác  gọi  là 
đường chéo của đa giác đó. 
ĐL: Bằng  một  đường  chéo  thích  hợp  mọi  n  –  giác  đơn  có  thể  phân 
hoạch thành 2 đa giác có số cạnh bé hơn  

5. Cách gọi tên đa giác.
Đa giác thường được gọi theo số cạnh của nó, người Việt thường dùng 
các từ chỉ số lượng Hán- Việt. Ví dụ: 
 
 
Tên đa giác tam giác tứ giác ngũ giác lục giác bát giác thập giác 
Số cạnh 

3 

4 

5 

6 

8 

10 

 
Tuy nhiên gần đây có xu hướng Viêt hóa các từ này.Trừ các tam giác và 
tứ giác đã quá quen thuộc, người ta đã bắt đầu gọi hình năm cạnh thay 
cho  ngũ  giác,hình sáu  cạnh  thay  cho lục  giác,hình  mười  cạnh  thay  cho 
thập  giác…,tuy  chưa  thông  dụng  lắm.Đặc  biệt  đa  giác  với  các  số  cạnh 
lớn  đã  thường  xuyên  dùng  với  từ  Việt  hóa:  hình  mười  cạnh,hình  hai 
mười cạnh,…Nếu cẩn trọng thì dùng từ :đa giác  mười cạnh,đa giác hai 
mươi cạnh.Sở dĩ như vậy vì các từ Hán- Việt  chỉ số đếm như thập nhất, 
thập nhị đã dần xa lạ đa số người Việt. 


Hoàng Thị Liên
 

6

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
6.Đường tròn ngoại tiếp

                                                     
 

 

Trong  Hình  học,  đường  tròn  ngoại  tiếp  của  một  đa  giác  là  một  đường 
tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác. 
Một đa giác có đường tròn ngoại tiếp được gọi là đa giác nội tiếp đường 
tròn.Tất cả các đa giác đều, các tam giác và các hình chữ nhật đều là đa 
giác nội tiếp đường tròn. 
Một khái niệm có liên quan là bao tròn nhỏ nhất, đó là đường tròn nhỏ 
nhất chứa toàn bộ đa giác ở bên trong. Không phải  mọi đa giác đều có 
đường tròn ngoại tiếp thì, nhưng mọi đa giác đều có bao tròn nhỏ nhất. 
Thậm chí một đa giác có đường tròn ngoại tiếp thì đường tròn đó có thể 
trùng  với  bao tròn  nhỏ  nhất;  ví  dụ,  một  tam  giác  tù,  bao  tròn nhỏ  nhất 
của  nó  có  đường  kính  là  một cạnh  nhưng nó không  đi  qua  đỉnh góc tù 
của tam giác. 


II. MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC
VD1: Cho hình n_ giác lồi. 
     Chứng mính rằng tổng các góc của hình n_giác bằng (n - 2)1800. 
Giải:   
         Vẽ các đường chéo xuất phát từ một định của n_ giác đó. 

Hoàng Thị Liên
 

7

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
 

Khi  đó  các  đường  chéo  và  các  cạnh  của  đa  giác  tạo  thành  n  –  2 

tam giác. 
         Tổng các góc của hình n_ giác bằng tổng các góc của (n - 2) tam 
giác. 
         Vì tổng số đo các góc trong 1 tam giác bằng 180   
  Vậy tổng số đo các góc của hình n_giác bằng (n - 2).1800. 
 

 

VD2: Chứng minh hình n_ giác có tổng tất cả 


n  n  3
  đường chéo. 
2

Giải: 
 

Cách  1:  Từ  mỗi  đỉnh  của  hình  n_  giác  ta có  thể  vẽ  được  (n  -  1) 

đoạn thẳng nối từ đỉnh đó với (n - 1) đỉnh còn lại của đa giác (trong đó 
có 2 đoạn thẳng trùng với hai cạnh của đa giác). 
 

Qua  mỗi đỉnh của hình n_giác vẽ được n – 1 –  2 = n – 3 đường 

chéo. 
 

Do đó hình n_ giác vẽ được n(n - 3) đường chéo. 

 

Vì mỗi đường chéo được tính 2 lần nên trong hình n_ giác có tất 

cả 

n(n  3)
 đường chéo. 
2


 

Cách 2: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được n -1 đoạn 

thẳng nối đỉnh đó với n – 1 đỉnh còn lại của đa giác. 
 

+ Với n đỉnh ta vẽ được n(n - 1) đoạn thẳng (trong đó  mỗi đoạn 

thẳng được tính 2 lần) => số đoạn thẳng thực sự  là 
 

n(n  1)
. 
2

+  Mặt  khác  trong  số  này  có  n  đoạn  thẳng  là  cạnh  của  hình  n  _ 

giác. 
Vậy hình n_ giác có 

Hoàng Thị Liên
 

n( n  1)
n( n  3)
 - n = 
 đường chéo. 
2

2

8

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
III. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN
TRONG ĐA GIÁC
 

1. Tính số cạnh của một đa giác. 

 

2. Tính số đo góc trong một đa giác. 

 

3. Bài toán liên quan đến đường chéo của đa giác. 

 

4. Diện tích đa giác. 

 

5. Các khoảng cách trong đa giác. 


 

6. Ứng dụng định lí Ptoleme trong giải bài toán đa giác. 
IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN

1. Tính số cạnh của một đa giác.
 

Bài 1: Tổng số đo các góc của một đa giác n _ cạnh trừ đi góc A 

của nó bằng 5700. Tính số cạnh của đa giác đó và  A  
 

Giải: 

 

Ta có (n - 2). 1800 –  A  = 5700     A = (n - 2).1800 – 5700. 

Vì 00 <  A < 1800    0 < (n - 2). 1800 – 5700 < 1800. 
1
6

1
6

1
6


 

 

          0 < n - 5  < 1    5  < n < 6  

 

Vì n    N nên n = 6. 

 

 

 

Bài 2: Tính số cạnh của một đa giác, biết đa giác đó có: 

 

a. Tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài ( tại mỗi đỉnh của 

Đa giác đó có 6 cạnh và  A  = (6 - 2). 1800 – 5700 = 1500. 

đa giác chỉ kẻ một góc ngoài). 
 

b. Số  đường chéo gấp đôi số cạnh. 

 


c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 25700. 

 

Giải:

 

a. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3). 

 

+ Tổng số đo các góc trong của đa giác là  (n - 2).1800. 

Hoàng Thị Liên
 

9

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
 

+ Tổng số đo các góc ngoài của 1 đa giác là 3600. 

 


Theo giả thuyết ta có: (n - 2).1800 = 3600    n = 4 

 

Vậy số cạnh của đa giác đó là n = 4. 

 

b. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3). 

 

Số đường chéo của  đa giác gấp 2 lần sô cạnh của đa giác nên ta 

có:  
n(n-3)
 = 2n    n2 – 3n = 4n    n = 7. 
2

Vậy đa giác đó có 7 cạnh. 
 

c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 25700 nên: 

 

 

(n - 2).1800 -  A  = 25700. 


 

 

   A  = (n - 2).180  – 2570 .  

0

0

Vì 00 <  A  < 1800   0  (n  2)180  2570  180  

 14,2  n  15,2  
 Vì n   N    n = 15. 
 

Vậy đa giác đó có 15 cạnh. 

Bài  3:  Một  mảnh  giấy  hình  vuông  được  cắt  bởi  một  đường  cắt  thẳng 
thành 2 mảnh. Một trong hai mảnh lại được cắt làm 2. Ta làm như vậy 
nhiều lần. Hỏi số lần cắt ít nhất là bao nhiêu để có thể nhận được 100 đa 
giác 20 cạnh. 
Giải: 
 

+ Giả sử sau n lần cắt ta nhận được 100 đa giác 20 cạnh 

 


Sau mỗi lần cắt số đỉnh tăng nhiều nhất là 4 đỉnh. 

 

Vậy sau n lần cắt số đỉnh sẽ không vượt quá 4n + 4 đỉnh. 

 

+ Sau mỗi lần cắt số mảnh giấy tăng thêm 1    Sau n lần cắt số 

mảnh giấy là n + 1. 

Hoàng Thị Liên
 

10

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
 

+ Số mảnh giấy không phải là hình 20 cạnh bằng n + 1 – 100 = n – 

99    Tổng số đỉnh của các đa giác này là 3(n - 99) đỉnh. 
 

+ Ta có 4n + 4    100.20 + 3 (n - 99)    n    1699. 


 

Vậy số lần cắt ít nhất là 1699. 

 

+ Trước hết cắt 99 lần bởi đường thẳng song song với 1 cạnh của 

hình vuông để được 100 hình chữ nhật. 
 

Sau đó với mỗi hình chữ nhật ta cắt đúng 16 lần để được 1 hình đa 

giác 20 cạnh. 
 

Vậy tổng số lần cắt là: 99 + 100.16 = 1699 (lần cắt). 

Bài 4: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau và không 
có 3 đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng: 
 

a.  Khi  n   1  thì  đường  thẳng  đó  chia  mặt  phẳng  thành  Pn  = 

n 2 + n + 2
 phần. 
2
 


n 2 - 3n + 2
b. Khi n   3 thì trong Pn phần nói trên có Qn = 
 đa giác. 
2

Chứng minh: 
 

a. n = 1 ta có: P1 = 

1+ 1 + 2
 = 2, tức là một đường thẳng chia mặt 
2

phẳng thành 2 phần    mệnh đề nói đúng với n = 1. 
 

Giả sử mệnh đề đúng khi có n – 1 đường thẳng và ta chứng minh 

mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng. 
 

Giả  sử  ta  có  n  đường  thẳng  d1,  d2,  …dn,  thoả  mãn  điều  kiện  bài 

toán. 
 

Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d1, d2, …dn- 1 nên n -1 

đường  thẳng  đó  chia  mặt  phẳng  thành  Pn  phần  với  Pn  = 

(n - 1) 2 + (n - 1) + 2 n 2 - n + 2
=
. 
2
2

Hoàng Thị Liên
 

11

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
 

Đường thẳng dn bị n – 1 đường thẳng nói trên chia thành n phần 

(trong đó có n – 2 đoạn thẳng và 2 tia), ta gọi các phần đó là  1 ,   2 ,…. 

Δ n . 
 

Mỗi  Δ i  đều nằm trong một và chỉ một Dj nào đó và chia Dj thành 

2 phần bởi vậy số phần mà n đường thẳng phân chia là: 
n 2 - n + 2 n 2 + n + 2
=

 
Pn = Pn-1  + n=
2
2

Vậy mệnh đề đúng với trường hợp n đường thẳng    đpcm. 
b. Khi n = 3 ta có  Q3 = 

32 - 3.3 + 2
 = 1 tức là trong số phần mà là 3 đường 
2

thẳng (đôi một cắt nhau và không đồng quy) chia mặt phẳng thì có một 
phần là tam giác    Mệnh đề b đúng khi n = 3. 
 

Bây giờ ta giả sử mệnh đề b, đúng với n – 1 đường thẳng (n    4) 

và ta chứng minh b, đúng cho trường hợp n đường thẳng. 
 

Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn (đôi một cắt nhau và không 

có 3 đường thẳng nào đồng quy). Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường 
thẳng d1, d2, …dn -1 nên trong số phần chúng phân chia mặt phẳng có : 
 

Q n - 1 =

(n - 1) 2 - 3(n - 1) + 2 n 2 - 5n + 6

  phần  là  đa  giác  mà  ta  kí  hiệu 
=
2
2

các phần đó là :  D1 ,D2 ,...D k (với  k = 
 

n 2 - 5n + 6
). 
2

Đường  thẳng  dn  bị  n  –  1  đường  thẳng  nói  trên  chi  thành  n  phần 

trong đó có n – 2 đoạn thẳng mà ta sẽ ký hiệu là  Δ1 ,Δ 2 ,...Δ n-2 . Mỗi một 
đoạn  1  nằm trong một đa giác  D j  nào đó và chia  D j  thành đa giác, bởi 
vậy số đa giác mà n đường thẳng phân chia là: 
Qn = Q n-1 + n-2 = 

n 2 -5n+6
n 2 - 3n + 2
 
 + n - 2 = 
2
2

  Mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng    đpcm. 

Hoàng Thị Liên
 


12

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
Bài tập đề nghị: 
Bài 1: Chứng minh rằng ngũ giác có 5 cạnh bằng nhau và 3 góc liên tiếp 
bằng nhau là ngũ giác đều. 
Bài 2: Chứng minh rằng trong đa giác đều 9 cạnh, hiệu giữa đường chéo 
lớn nhất và nhỏ nhất bằng cạnh của nó. 
Bài 3: a. Tìm số n sao cho trong mặt phẳng có thể được phủ kín bởi đa 
giác đều có n cạnh. 
b. Có tồn tại các ngũ giác bằng nhau để phủ kín mặt phẳng không? 
Bài  4:  Cho  lục  giác  đều  ABCDEF.  Gọi  A’,  B’,C’,D’,E’,F’  lần  lượt  là 
trung  điểm  của  các  cạnh  AB,BC,CD,  DE,  EF,  FA.  Chứng  minh  rằng 
A’B’C’D’E’F’ là lục giác đều. 
Bài 5: Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác 
là 22250. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh? 
Bài 6: Tìm số cạnh của một đa giác biết rằng các đường chéo của nó có 
độ dài bằng nhau. 
Bài 7: Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của một đa giác đều 1995 cạnh bởi 
màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn luôn tìm được 3 đỉnh của đa 
giác là 3 đỉnh của 1 tam giác cân được đánh dấu cùng một màu. 
2. Tính số đo góc trong đa giác.
Bài tập mẫu:
Bài 1: Tính số đo góc của hình 5 cạnh đều, 9 cạnh đều, 15 cạnh đều. 
 


Giải: 

 

(5 - 2).1800
+ Số đo góc của hình 5 cạnh đều là: 
= 1080 . 
5

 

+ Số đo góc của hình 9 cạnh đều là:  (9 - 2).180 = 1400 . 

 

+ Số đo góc của hình 15 cạnh đều là:  (15 - 2).180 = 1560 . 

0

9

0

Hoàng Thị Liên
 

15

13


Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
Bài 2: Cho ngũ giác lồi ABCDE. 
 

a. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB,BC,DE,EA; I 
1
4

và K lần lượt là trung điểm của QN, MP. Chứng minh rằng IK=  CD. 
 

b.  Chứng  minh  rằng  tồn  tại  2  đường  chéo  của  ngũ  giác  tạo  với 

nhau 1 góc không vượt quá 360. 

Giải:   

  

 

a. Gọi F là trung điểm của EC. 
 

1

2

1
2

QM  =//   EB  ; FN  =//   EB,     QM = FN   QMNF là hình 

bình hành. 
Mà IQ = IN    I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành. 
  I,M,F thẳng hàng và IM = IF. 

IM    IF         
1
  IK =  PF.    
KM    KP 
2

    (1) 

PE   PD   
1
     PF =  2 CD  
EF    FC 

  (2) 

Ta có: 
Mà     

1

4

Từ (1), (2)    IK =  CD . 
b. Lấy một điểm 0 bất kì trong mặt phẳng của ngũ giác. Vẽ năm đường 
thẳng song  song  với các  đường  chéo  của  ngũ giác,  chúng  tạo thành  10 

Hoàng Thị Liên
 

14

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
góc không có điểm chung, có tổng bằng 3600. Vì vậy tồn tại một góc nhỏ 
hơn hoặc bằng 360. 
Bài  3:  Cho  hình  vuông  ABCD.  Lấy  một  điểm  E  thuộc  miền  trong  của 
hình  vuông  sao  cho  EAB   =  EBA   =  150.  Chứng 

B

A

minh rằng  ΔCDE  đều. 

15o

Giải: 


E

 

F

                                                                                
 

+  Dựng  Δ đều  EFB  sao  cho  F  và  C  ở  cùng 

D

phía đối với EB. 
0

 

0

   FBC  = 90  – ( EBA + EBF ) = 15 . 

AB = BC 



ABE = CBF = 15     Δ ABE =   CBF 

BE  BF



 

+  

 

  AE = CF mà AE = EB = FB   Δ CBF cân tại F. 

 

CFB  = 150    EFC  = 150 ,   CEF cân tại F

0



 

               

   CEF  = 150 

 

   Δ CBE cân tại C    CE = CB = CD. Vậy  ΔCDE đều. 

Bài 4: Chứng minh một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn. 
Giải: 

Giả sử đa giác lồi có K    4 góc nhọn. Nếu đa giác lồi có góc trong một 
đỉnh đó là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng tại đỉnh đó là góc tù. Vì vậy 
nếu đa giác có K    4 góc nhọn thì sẽ có K    4  góc ngoài là góc tù    
tổng các góc ngoài của nó sẽ lớn hơn 3600 (vô lí vì trong một đa giác lồi 
bất kì tổng các góc ngoài chỉ bằng 3600). 
Vậy một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn. 

Hoàng Thị Liên
 

15

Lớp K35 - CN Toán

C


Khóa luận tốt nghiệp
 
Bài  5:  Cho  ngũ  giác  lồi  ABCDE  có  tất  cả  các  cạnh  bằng  nhau  và 
ABC = 2DBE . Hãy tính  ABC . 

1
2

Giải: Ta có  DBE  =  ABC                                        
   B1 +B2  = 

1
ABC . (1) 

2

Vì EA = AB     ΔEAB  cân     E 2  =  B1 . 
0

   B1  = 90  - 

EAB
 
2

Vì CB = CD     B2  = 900 - 

BCD

Thay vào (1) ta được: 900 - 

EAB
BCD 1
 + 900 - 
 =  ABC  
2
2
2

2

  

0


   EAB  +  ABC  +  BCD  = 360 . 
0

0

0

   CDE  +  DEA  = 540  – 360  = 180 . 
0

   D1  +  E1  = 90  - 

CDE
DEA
 + 900 - 
 = 900    AD    CE. 
2
2

Mặt khác  ΔEAD cân  tại  E,  ΔCDE   cân  tại  D     AD và  CE  cắt nhau  tại 
trung điểm mỗi đường    AEDC là hình bình hành. 
0

  AC = DE    AB = BC = CA     ΔABC  đều     ABC  = 60 . 

Vậy  ABC  = 600. 
Bài  6:  Lục  giác  ABCDEF  có  số  đo  các  góc  (tính  theo  độ)  là  một  số 
nguyên và  A  -  B  =  B  -  C  =  C  -  D  =  D  -  E  =  E  -  F . Giá trị lớn nhất 
của  A  có thể bằng bao nhiêu? 

Giải: 
 

+ Tổng các góc trong của lục giác bằng : (6 - 2).1800 = 7200. 

 

+ Đặt  α  =  A  -  B  =  B  -  C  =  D  -  E  =  E  -  F  

 

Ta có  A  +  B  +  C  +  D  +  E  +  F  = 7200. 

Hoàng Thị Liên
 

16

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
0

   A  + ( A  -  α ) + ( A  - 2 α ) + ( A  - 3 α ) + ( A  - 4 α ) + ( A  - 5 α ) = 720 . 
0

0


 6 A  - 15 α  = 720     2 A  = 5 α  + 240 . 

Từ đó  A  là số tự nhiên và chia hết cho 5 nên  A     1750. 
. Nếu  A  = 1750 thì  α  = 220. 
Vậy giá trị lớn nhất của  A  là 1750. 
Bài tập đề nghị.
Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF, M và N theo thứ tự là trung điểm của 
CD và DE. Gọi I là giao điểm của AM và BN. 
 

a. Tính  AIB . 
b. OID  (Với O là tâm của lục giác đều). 

Bài  2:  Lục  giác  lồi  ABCDEF  có  tất  cả  các  cạnh  bằng  nhau,  ngoài  ra 
A+C+E  =  B+D+F . Chứng minh rằng các cặp cạnh đối của lục giác này 

là song song. 
Bài 3: Cho    cân ABC (AB = AC) và  A  = 1000. M là một điểm trong 
tam giác sao cho  MBC  = 100 và  MCB  = 200. Tính  AMB . 
Bài 4: Cho ngũ giác lồi ABCDE có các cạnh bằng nhau và các góc trong 
đều bé hơn 1200. Chứng minh rằng các góc trong của ngũ giác lồi đó đều 
là góc tù. 
Bài 5: Cho lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối AB và DE, BC và 
EF, CD và AE vừa song song vừa bằng nhau. Lục giác ABCDEF có nhất 
thiếy là lục giác đều hay không? 
Bài 6: Cho lục giác lồi có tất cả các góc trong bằng nhau. Chứng minh 
rằng hiệu giữa các cạnh đối diện thì bằng nhau. 
Bài 7: Cho   ABC với AB = BC và  ABC  = 800. Lấy trong tam giác đó 
điểm I sao cho  IAC  = 100 và  ICA  = 300. Tính  AIB . 


Hoàng Thị Liên
 

17

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
Bài  8:  Cho  Δ ABC,kẻ  các  đường  phân  giác  trong  BD  và  CE.  Hãy  xác 
định các góc  A ,  B ,  C  biết  BDE  = 240 và  CED = 180. 
Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Ta lấy các điểm P, Q trên các cạnh AB 
và BC tương ứng sao cho BP = BQ. Giả sử H là chân đường vuông góc 
hạ từ điểm B xuống cạnh PC. Chứng minh rằng  DHQ  = 1v. 
Bài 10: Cho hình thang cân ABCD( BC AD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là 
trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. 
 

a. Chứng minh MP là tia phân giác của góc  QMN . 

 

b.  Hình  thang  cân  ABCD  phải  có  thêm  điều  kiện  gì  đối  với  2 

đường chéo để  MNQ  = 450. 
Bài 11: Cho hình vuông ABCD, độ dài cạnh bằng đơn vị. Gọi P và Q là 
2 điểm lần lượt trên các cạnh AB và AD. Chứng minh: Chu vi  APQ  2  
khi và chỉ khi  QCP  45  
Bài 12: Khoảng cách giữa 2 chân đường vuông góc hạ từ một đỉnh của 

hình  thoi  xuống  hai  cạnh  của  nó  bằng  ½  độ  dài  đường  chéo  của  hình 
thoi. Tính các góc của hình thoi. 
Bài 13: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là 
trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Tính  BMK . 
Bài  14:  Cho  tứ  giác  lồi  ABCD,  biết  B + C  200 ,  B  D  180 , 
C  D  120  

a. Tính các góc của tứ giác 
b. Các  tia  phân  giác  của  góc  A  và  góc  B  cắt  nhau  tại  I.  CM: 
AIB 

CD
 
2

Bài 15: Chứng minh rằng trong  một tứ giác lồi có các góc không bằng 
nhau thì có ít nhất một góc là góc tù. 

Hoàng Thị Liên
 

18

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
Bài 16: Cho tứ giác ABCD có  
BAC  25, CAD  75, ABD  40, CBD  85 . Tính số đo của  BCD  


3. Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác.
Bài tập mẫu:
Trong hình n_ giác có tất cả 

n(n  3)
 đường chéo. 
2

Từ công thức trên ta nhận ra rằng, nếu cho số cạnh của một đa giác thì sẽ 
biết  được  số  đường  chéo  của  đa  giác  đó.  Ngược  lại  nếu  cho  số  đường 
chéo của một đa giác thì sẽ biết được số cạnh của đa giác đó. 
Chằng hạn: 
10(10  3)
 35
+ Một đa giác 10 cạnh có số đường chéo là 
 
2

+ Nếu đa giác có số đường chéo là 35 thì số cạnh là bao nhiêu? 
Ta có 

n( n  3)
3
17
 = 35   n2 – 3n = 70   ( n  )2  ( )2  n  10  
2
2
2


Vậy đa giác đó có 10 cạnh. 
+ Nếu đa giác có số đường chéo là 36 thì số cạnh sẽ là bao nhiêu? 
Giải  pt 

n(n  3)
=  36  với  n  nguyên  dương  ta  thấy  phương  trình  này  vô 
2

nghiệm, nghĩa là không tồn tại đa giác có số đường chéo đúng là 36 
Nhận xét: Không phải bất lì một số nguyên dương nào cũng là số đường 
chéo của một đa giác 
+ Một câu hỏi đặt ra là có tồn tại đa giác có số cạnh bằng số đường chéo 
không? 
Giải phương trình:  

n(n  3)
 = n ( n  Z  n  3 ) ta sẽ tìm được câu trả lời. 
2

n(n  3)
= n  n2 – 5n = 0    n = 5. 
2

Hoàng Thị Liên
 

19

Lớp K35 - CN Toán



Khóa luận tốt nghiệp
 
Vậy đa giác duy nhất có số cạnh bằng số đường chéo là ngũ giác. 
+ Tương tự như vậy chúng ta cũng có thể trả lời được những câu hỏi như 
có tồn tại hay không đa giác có số đường chéo lớn gấp k lần số cạnh hay 
là tìm số cạnh của một đa giác biết số đường chéo nằm trong một khoảng 
xác đinh. 
VD: Cho 14 < 

n( n - 3)
 < 27    28 <  n2 – 3n < 54 
2

11 2
3
15
11
3 15
)  (n  ) 2  ( ) 2   n    
2
2
2
2
2 2

(

 7 < n < 9    n = 8 


Bài 1: Tính số đường chéo của  hình 5 cạnh đều, 9 cạnh đều 
Giải: + Số đường chéo của hình 5 cạnh đều là: 
         + Số đường chéo của hình 9 cạnh đều là 

5(5  3)
 5 
2

9( 9 - 3)
 = 18  
2

Bài 2: Chứng minh rằng trong một ngũ giác lồi, tổng độ dài các cạnh 
nhỏ hơn tổng độ dài các đường chéo của ngũ giác đó. 
Giải: 
Theo bất đẳng thức tam giác ta có: 
 
AB  +  BC  +  CD  +  DE  +  EA  <  (AA’  +  A’B)  +  (BB’  +  B’C)  +  (CC’  + 
C’D) + (DD’ + D’E) + (EE’ + E’A) 
Mặt khác: AA’ + B’C < AC 
 

BB’ + C’D < BD 

 

CC’ + D’E < CE 

 


DD’ + E’A < DA 

 

EE’ + A’B < EB 

 

Hoàng Thị Liên
 

20

Lớp K35 - CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 
 
 
  AB + BC + CD + DE + EA < AC + BD + CE + DA + EB. 

Bài  3:  Chứng  minh  rằng  nếu  trong  một  lục  giác  lồi  mỗi  một  trong  3 
đường chéo chính nối các cặp đỉnh đối diện chia lục giác thành 2 phần 
tương đương thì 3 đường chéo này đồng quy. 
Chứng minh: 
+ Giả sử ABCDEF là lục giác đã cho.  
Gọi H là giao điểm của AD và CF. 
1
2


Ta có  SADEF   =  SCDEF  =   SABCDEF  

B

K

   SAFH  =  SCDH     AC // BF. 

+ Gọi K,I theo thứ tự là trung điểm của AC 

H

F

c

và FD. 
H    KI và 

HI
FI
FD
 = 
 = 
 
KI
CK
AC


I
E

Vì KA = KC, FI = ID. 
   SKICD  = 

1
 
S
2 ACDF

 

 

 

1
2

D

 
1
2

+ Mà  S EID =  SEFD ;  S EID +  SDIKC +  SBKC  =  SABCDEF  
1
2


Mặt khác:  SEDCB  =  SABCDEF    SEDCB =  SEDI +  SDIKC +  SBKC . 
+ H’ = BE    KI     SBKH'  =  SEIH'     BI // KE 
Ta có KE // IB; KC // IF, CE // BF (theo chứng minh trên). 
   EKC  đồng dạng  BIF     

+ Mà BI // BE    

Hoàng Thị Liên
 

BI
IF
FD
 = 
 = 
 
EK
KC
AC

BI
H'I
 = 
 
KE
H'K

21

Lớp K35 - CN Toán