Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cơ giáo tổ Giải
tích trong khoa Toán và các bạn sinh viên. Đặc biệt, em xin bày tỏ lịng biết
ơn sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em
trong q trình hồn thành khóa luận tốt nghiệp.
Lần đầu được thực hiện cơng tác nghiên cứu khoa học nên khố luận
khơng tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả xin chân thành cảm
ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Tác giả

Nguyễn Thị Trúc


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa
luận tốt nghiệp "Lý thuyết thặng dư và áp dụng” được hồn thành,
khơng trùng với bất kỳ khóa luận nào khác.
Trong q trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Tác giả

Nguyễn Thị Trúc


Mục lục

Mở đầu

1

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Tích phân của hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Khai triển chuỗi lũy thừa của hàm chỉnh hình . . . . . . . . . 11
1.4. Khai triển chuỗi luỹ thừa của một số hàm sơ cấp . . . . . . . 13
1.5. Thêm một ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. THẶNG DƯ VÀ CÁCH TÍNH

15

2.1. Khơng điểm và cực điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Thặng dư và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. Thặng dư của một thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Chương 3. MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA THẶNG DƯ

25


3.1. Tích phân xác định của các hàm hữu tỷ đối với sine và cosine 25
3.2. Tích phân với cận vô tận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3. Tổng của chuỗi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Phụ lục

40

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những nguyên lý cơ bản của lý thuyết Hàm biến phức, ẩn chứa
trong cơng trình của Riemann, nói rằng các hàm chỉnh hình được đặc trưng
một cách cốt yếu bởi các điểm kỳ dị của chúng. Chúng ta có sự phân loại
các điểm kỳ dị theo ba mức độ như sau:
+ Điểm kỳ dị bỏ được
+ Cực điểm
+ Điểm kỳ dị cốt yếu.
Loại thứ nhất khơng ảnh hưởng đến đặc tính của một hàm bởi nó có thể
thác triển chỉnh hình tại các điểm kỳ dị bỏ được của nó. Đối với loại kỳ dị
thứ ba, hàm được xét dao động và có thể tăng mạnh hơn bất kỳ dạng luỹ
thừa nào và sự hiểu biết hoàn chỉnh về dáng điệu của nó là khơng dễ dàng.

Đối với loại thứ hai điều đó phần nào dễ dàng hơn bởi sự kết nối với việc
tính tốn thặng dư tại các cực điểm.
Lý thuyết thặng dư là một công cụ quan trọng để nghiên cứu bản chất
của các điểm kỳ dị. Những ứng dụng ban đầu của lý thuyết thặng dư dùng
để tính một lớp khá rộng các tích phân mà đơi khi ta không thể giải quyết
được khi sử dụng các phương pháp thơng thường, đặc biệt khi mà hàm dưới
dấu tích phân có một số điểm bất thường. Ngồi ra, chúng ta biết rằng tính
tổng của một chuỗi hội tụ là khơng hề đơn giản, nhưng nhờ những ứng dụng
lý thuyết thặng dư mà cơng việc đó trở nên dễ dàng hơn.
Bởi tầm quan trọng của lý thuyết thặng dư và được sự hướng dẫn của TS.
Nguyễn Văn Hào, em đã chọn đề tài: “Lý thuyết thặng dư và áp dụng”
để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp hệ đào tạo cử nhân chuyên ngành Sư
phạm Toán học.
Cấu trúc của đề tài được bố cục thành ba chương
Chương 1. Tác giả trình bày một số kiến thức căn bản về hàm chỉnh
hình, tích phân của hàm biến phức và khai triển chuỗi lũy thừa của một số
1


hàm sơ cấp.
Chương 2. Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức quan
trọng về lý thuyết thặng dư. Phần đầu chương, chúng tôi đưa ra định nghĩa
và tính chất của cực điểm. Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm thặng
dư và một số cách tính thặng dư của một hàm tại cực điểm. Công thức thặng
dư được đưa ra ở cuối chương nhằm phục vụ cho việc trình bày các ứng dụng
của thặng dư trong chương 3.
Chương 3. Chúng tơi trình bày ba ứng dụng của lý thuyết thặng dư:
Tính tích phân Riemann, tính tích phân suy rộng và tính tổng của một số
chuỗi vơ hạn.


2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu vấn đề thặng dư tại cực điểm.
- Nghiên cứu ứng dụng của thặng dư trong các vấn đề sau: Tính tích phân
Riemann, tính tích phân suy rộng và tính tổng của một số chuỗi hội tụ.

3. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu về thặng dư tại cực điểm.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của lý thuyết thặng dư.

4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.

2


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.

Hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.1.1. Cho D là tập con mở trong mặt phẳng phức C và f
là một hàm nhận giá trị phức trên D. Hàm f được gọi là chỉnh hình (hay
C-khả vi) tại điểm z0 ∈ D nếu tồn tại giới hạn

f (z0 + h) − f (z0)
,
h→0
h

lim

trong đó h ∈ C và h = 0 sao cho z0 + h ∈ D. Giới hạn trên được gọi là đạo

hàm của hàm f tại điểm z0 và được kí hiệu bởi f (z0 ).
Biểu thức

f (z0 + h) − f (z0)
h
được gọi là thương vi phân của hàm f tại điểm z0 .
Định nghĩa 1.1.2. Hàm f được gọi là chỉnh hình trên D nếu nó chỉnh
hình tại mọi điểm z ∈ D. Nếu M ⊂ C là tập đóng thì ta nói rằng f chỉnh
hình trên M nếu f chỉnh hình trên một tập con mở nào đó chứa M.

Ví dụ 1.1.3. Hàm f (z) = z chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong
C và f (z) = 1. Thật vậy, với mọi z ∈ C chúng ta có

f (z + h) − f (z)
(z + h) − z
= lim
= 1.
h→0
h→0
h
h

f (z) = lim

Ví dụ 1.1.4. Hàm f (z) = z¯ khơng chỉnh hình. Thật vậy, chúng ta có
f (z + h) − f (z) z + h − z¯ h

=
= .
h
h
h
Khi cho h → 0 theo trục thực thì biểu thức trên có giới hạn 1, cịn khi cho
h → 0 theo trục ảo thì biểu thức đó có giới hạn là -1. Như vậy biểu thức
trên khơng có giới hạn khi h → 0.

3


Hàm f chỉnh hình tại z0 ∈ D nếu và chỉ nếu tồn tại số phức a sao cho
f (z0 + h) − f (z0) = ah + hϕ(h),
ở đó ϕ(h) là hàm xác định với h đủ bé và lim ϕ(h) = 0. Dĩ nhiên, chúng ta
h→0

cũng thấy ngay f (z0 ) = a. Cũng từ công thức trên chúng ta nhận được
Mệnh đề 1.1.5. Nếu hàm f chỉnh hình tại z0 thì liên tục tại điểm đó.
Lập luận như trong hàm biến thực chúng ta dễ dàng chứng minh được
các phép tính dưới đây đối với các hàm chỉnh hình.
Mệnh đề 1.1.6. Nếu f và g là các hàm chỉnh hình trên D thì
(i) f ± g chỉnh hình trên D và (f ± g) = f ± g ;

(ii) f.g chỉnh hình trên D và (f.g) = f .g + f.g
f
f
f .g − f.g
(iii) Nếu g(z0 ) = 0 thì chỉnh hình tại z0 và
=

.
g
g
g2
Hơn nữa, nếu f : D → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình thì g ◦ f

cũng là hàm chỉnh hình trên D và ta có (g ◦ f ) (z) = g (f (z)) .f (z).

Từ ví dụ 1.1.4, chúng ta thấy khái niệm khả vi phức khác với khái niệm
khả vi thông thường của hàm hai biến thực. Thực vậy, hàm f (z) = z¯ tương
ứng như ánh xạ của một hàm hai biến thực F : (x, y) → (x, −y) . Hàm này

khả vi theo nghĩa thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính
được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2x2 các đạo hàm riêng
của các hàm toạ độ. Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại các đạo hàm thực
khơng bảo đảm tính khả vi phức. Để hàm f khả vi phức, ngoài điều kiện

khả vi của hàm hai biến thực chúng ta cần đến điều kiện Cauchy-Riemann.
Định lý 1.1.7[1] (Điều kiện Cauchy-Riemann). Điều kiện cần và đủ
để hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi phức tại điểm z = x + iy là các
hàm u(x, y) và v(x, y) khả vi thực tại (x, y) , đồng thời thoả mãn điều kiện
4


Cauchy-Riemann

1.2.

∂v
∂u ∂v ∂u

=
;
=− .
∂x ∂y ∂y
∂x

Tích phân của hàm biến phức

Một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu các hàm chỉnh hình
là tích phân của hàm dọc theo đường cong. Trước tiên, chúng ta trình bày
một số khái niệm về đường cong và miền.
Đường cong tham số là một hàm z(t) ánh xạ đoạn [a, b] ⊂ R vào mặt

phẳng phức. Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z (t) trên
[a, b] và z (t) = 0 với mọi t ∈ [a, b] .

Đường cong tham số được gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên

đoạn [a, b] và tồn tại các điểm
a = a0 < a1 < ... < an = b
sao cho z(t) là trơn trên mỗi đoạn [ak , ak+1 ] , (0 ≤ k ≤ n − 1).
Hai đường cong tham số

z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C
được gọi là tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ

[c, d] vào [a, b] sao cho t (s) > 0 và z¯(s) = z (t(s)) . Điều kiện t (s) > 0 đảm
bảo rằng hướng của đường cong được xác định khi s chạy từ c đến d thì t
chạy từ a đến b . Họ tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác


định một đường cong γ ⊂ C được gọi là ảnh của đoạn [a, b] qua z với hướng

cho bởi z khi t chạy từ a đến b. Chúng ta có thể xác định đường cong γ −

thu được từ đường cong γ bằng việc đổi ngược hướng. Như một dạng tham
số hoá đặc biệt đối với γ −, chúng ta có thể lấy z¯ : [a, b] → R2 xác định bởi
z¯(t) = z(b + a − t).
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là các điểm đầu mút của đường cong. Bởi
vì γ được định hướng bởi phương trình tham số z : [a, b] → C với t chạy từ a
5


đến b, nên một cách tự nhiên gọi z(a) là điểm đầu và z(b) là điểm cuối của
đường cong.
Một đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đóng nếu z(a) = z(b)
với tham số hoá bất kỳ của nó. Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được
gọi là đơn nếu nó khơng có điểm tự cắt, nghĩa là z(s) = z(t) trừ khi s = t.
Đường cong đơn, đóng gọi là chu tuyến.
Tập D ⊂ C được gọi là một miền nếu thoả mãn hai điều kiện sau đây
(i). D là tập mở;

(ii). Với mọi a, b ∈ D tồn tại đường cong liên tục L ⊂ D nối a và b.

Miền giới hạn bởi chu tuyến γ được ký hiệu là Dγ . Miền D được gọi là
đơn liên nếu với mọi chu tuyến γ ⊂ D thì ta đều có Dγ ⊂ D. Miền thu

được từ miền đơn liên D sau khi bỏ đi n miền Dγ1 , Dγ2 , ..., Dγn không giao
nhau nằm trong D được gọi là miền (n + 1)-liên (khi không cần phân biệt
rõ, chúng ta gọi chung là miền đa liên).
Quy ước. Gọi chiều dương của biên của miền D là chiều đi dọc theo biên

thì miền được xét nằm về bên tay trái, chiều có hướng ngược lại là chiều âm.
Đối với miền D được xét, người ta thường ký hiệu ∂D cũng là biên của nó
lấy theo chiều dương, ∂D− là biên lấy theo hướng âm.
Định nghĩa 1.2.1. Cho đường cong trơn γ trong C được tham số hố
bởi phương trình z : [a, b] → C và hàm f liên tục trên γ. Tích phân của hàm
f dọc theo γ được cho bởi công thức

b

f (z(t)) z (t)dt.

f (z)dz =
γ

a

Nếu γ là đường cong có phương trình tham số z = z(t) trơn trên mỗi
đoạn [ak , ak+1 ] , 0 ≤ k ≤ n − 1 thì chúng ta có
n−1

ak+1

f (z(t))z (t)dt.

f (z)dz =
γ

k=0 a
k


6


Nếu viết f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) thì
b

b

[u (x(t), y(t)) + iv (x(t), y(t))] (x (t) + iy (t)) dt

f (z(t)) z (t)dt =
a

a

b

[u (x(t), y(t)) x (t)dt − v (x(t), y(t)) y (t)dt]+

=
a

b

[u (x(t), y(t)) y (t)dt + v (x(t), y(t)) x (t)dt].

+i
a

Từ đó, chúng ta nhận được

f (z)dz =
γ

γ

u(x, y)dx − v(x, y)dy + i

v(x, y)dx + u(x, y)dy.
γ

Từ công thức trên đây chúng ta thấy tích phân của hàm biến phức trên
đường cong γ được hiểu như tổng của hai tích phân đường. Từ tính chất
của tích phân đường, chúng ta dễ dàng nhận được các tính chất sau của tích
phân hàm biến phức.
Mệnh đề 1.2.2. Tích phân của hàm liên tục trên một đường cong có các
tính chất sau
f (z) + β

(αf (z) + βg(z)) dz = α

(i).

γ

γ

γ

g(z)dz với mọi α, β ∈ C;


(ii). Nếu γ − là đường cong γ với hướng ngược lại thì
f (z)dz = −

f (z)dz.
γ

γ−

(iii). Chúng ta có bất đẳng thức
f (z)dz ≤ sup |f (z)| .độ dài γ.
z∈γ

γ

7


Ví dụ 1.2.3. Tính tích phân
(z − z0 )n dz; n = 0, ±1, ±2, ...;
γ

trong đó γ là đường trịn tâm tại z0 , bán kính r, z = z0 + reit , t ∈ [0, 2π] .
Chúng ta có

2π

2π

(z − z0 )n dz =
γ


it n

re

ireit dt = i

rn+1ei(n+1)tdt.
0

0

Nếu n = −1 thì tích phân trên trở thành

γ

dz
=i
z − z0

2π

dt = 2πi.
0

Nếu n = 1 thì tích phân trên trở thành
 2π
γ

(z − z0 )n dz = irn+1 


0



[cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t] dt = 0.

Ví dụ 1.2.4. Giả sử γ là đường cong trơn tuỳ ý có phương trình tham số
z = z(t); t ∈ [a, b] với các điểm đầu mút z(a) và z(b). Khi đó, chúng ta có
b

dz =
γ

b

z (t)dt =
a

b

dx(t) + i
b

dy(t) =
b

= (x(b) − x(a)) + i (y(b) − y(a)) = z(b) − z(a),
và


b

zdz =
γ

a

b

1
z(t).z (t)dt =
2

d z 2 (t) =
a

8

1 2
z (b) − z 2 (a) .
2


Từ ví dụ 1.2.4, chúng ta thấy rằng các tích phân trên khơng phụ thuộc
và hình dạng của đường lấy tích phân và tích phân bằng 0 theo đường cong
đóng bất kỳ. Kết quả quan trọng của tích phân dọc theo một đường cong
đối với hàm chỉnh hình được cho bởi định lý sau
Định lý 1.2.5 (Cauchy-Goursat). Giả sử D là một miền n-liên trong
C với biên ∂D gồm các chu tuyến trơn từng khúc và f là hàm chỉnh hình
trên D, liên tục trên D = D ∪ ∂D. Khi đó, ta có

f (z)dz = 0.
∂D

Chứng minh. Nếu viết f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) thì
f (z)dz =
∂D

(udx − vdy) + i (vdx + udy)
∂D

Theo định lý Green, chúng ta có
F =

dF .
D

∂D

Nếu F = udx − vdy, theo điều kiện Cauchy – Riemann, chúng ta có
udx − vdy =

−

∂v ∂u
−
dxdy = 0.
∂x ∂y

D


∂D

Tương tự, tích phân của phần ảo của f (z) trên ∂D cũng bằng 0.
Định lý 1.2.6 (Cơng thức tích phân Cauchy). Nếu f là hàm chỉnh
hình trong một miền D và z0 ∈ D. Khi đó, với mọi chu tuyến bất kỳ γ ⊂ D

mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì

f (z) =

1
2πi
γ

f (ζ)
dζ; với mọi z0 ∈ Dγ .
ζ − z0

Hơn nữa, nếu hàm f liên tục trên D và ∂D là một chu tuyến thì với mọi
z ∈ D ta có

f (z) =

1
2πi
∂D

9

f (ζ)

dζ.
ζ −z


Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tuỳ ý vây quanh điểm z0 sao cho
Dγ ⊂ D. Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S (z0 , ρ) tâm z0 bán kính ρ chứa
f (ζ)
trong Dγ . Ký hiệu Cρ là biên của đĩa S (z0 , ρ) . Bởi vì
là hàm chỉnh
ζ − z0
hình với mọi z ∈ Dγ \S (z0 , ρ) nên chúng ta có

γ+Cρ−

f (ζ)
dζ = 0.
ζ − z0

Từ đó, chúng ta suy ra
f (ζ)
dζ =
ζ − z0

γ

Cρ

f (ζ)
dζ.
ζ − z0


Thực hiện phép đổi biến ζ − z0 = ρeit ; 0 ≤ t ≤ 2π, chúng ta nhận được

Cρ

f (ζ)
dζ =
ζ − z0

2π

2π

f z0 + ρeit
iρeit dt = i
it
ρe

f z0 + ρeit dt
0

0
2π

f z0 + ρeit − f (z0) dt + 2πif (z0).

=i
0

Vì liên tục trên D nên khi ρ → 0 thì

2π

lim

ρ→0
0

f z0 + ρeit − f (z0) dt = 0.

Do đó
lim

ρ→0
Cρ

f (ζ)
dζ = 2πif (z0).
ζ − z0

Từ đó, chúng ta suy ra
f (z0) =

1
2πi
γ

f (ζ)
dζ.
ζ − z0


Trường hợp f liên tục D và f chỉnh hình trên D thì ta có thể thay ∂D
cho γ trong chứng minh trên và nhận được kết quả mong muốn.
10


Định lý 1.2.7 (Cơng thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm). Nếu
f là hàm chỉnh hình trong một miền D thì f khả vi vơ hạn lần trong D. Hơn
nữa, nếu γ là chu tuyến nằm trong D, thì
n!
f (z)
f (n) (z0 ) =
dz; với mọi z0 ∈ D.
2πi (z − z0 )n+1
γ

Chứng minh. Ta chứng minh công thức bằng phép quy nạp theo n. Trường
hợp n = 0 theo cơng thức tích phân Cauchy chúng ta nhận được điều phải
chứng minh. Giả sử công thức đúng cho trường hợp n − 1, tức là
(n − 1)!
f (z)
f (n−1) (z0) =
dz.
2πi
(z − z0 )n
γ

Bây giờ với h đủ nhỏ sao cho z0 + h ∈ Dγ , thương vi phân đối với hàm f (n−1)

được cho bởi công thức
f (n−1) (z0 + h) − f (n−1) (z0 )

=
h
(n − 1)!
=
2πi

f (ζ)
γ

1
1
1
dζ.
n −
h (ζ − z0 − h)
(ζ − z0 )n

1
1
= A,
= B, chúng ta nhận được
ζ − z0 − h
ζ − z0
1
1
=
n −
(ζ − z0 − h)
(ζ − z0 )n
h

An−1 + An−2B + ... + AB n−2 + B n−1 .
=
(ζ − z0 − h) (ζ − z0 )

Đặt

Do đó, khi h → 0, thương vi phân hội tụ đến
(n − 1)!
1
n
n!
f (ζ)
.
dζ
=
2πi
2πi
(ζ − z0 )2 (ζ − z0 )n−1
γ

1.3.

γ

f (z)
dz.
(z − z0 )n+1

Khai triển chuỗi lũy thừa của hàm chỉnh hình


Định nghĩa 1.3.1. Giả sử hàm f khả vi vơ hạn lần tại điểm z0 . Khi đó,
ta gọi
s(z) =

∞
n=0

f (n) (z0 )
(z − z0 )n
n!
11


là chuỗi Taylor của hàm f (z) trong lân cận của điểm z0 . Khi z0 = 0 thì chuỗi
được gọi là chuỗi Maclaurin.
Định lý 1.3.2. Giả sử f là hàm chỉnh hình trong một tập mở D . Nếu
S(z0, ρ) = {z : |z − z0 | < ρ} là đĩa tâm z0 bán kính ρ mà bao đóng của nó
chứa trong D, thì f có khai triển chuỗi luỹ thừa tại z0
f (z) =

∞
n=0

an (z − z0 )n ,

với mọi z ∈ D và các hệ số của chuỗi được xác định bởi hệ thức
f (n) (z0 )
an =
; với mọi n ≥ 0 .
n!

Chứng minh. Cố định z ∈ S(z0, ρ) và gọi Cρ là biên của đĩa S(z0, ρ). Theo

cơng thức tích phân Cauchy, chúng ta có
f (z) =

1
2πi
Cρ

f (ξ) dξ
.
ξ−z

Chúng ta viết
1
1
1
1
=
=
·
.
ξ−z
ξ − z0 − (z − z0 ) ξ − z0 1 − z − z0
ξ − z0
Bởi vì ξ ∈ Cρ và z ∈ S(z0 , ρ) cố định, nên tồn tại số r ∈ (0; 1) sao cho
z − z0
< r. Do đó
ξ − z0
1

z − z0 =
1−
ξ − z0

∞
n=0

z − z0
ξ − z0

n

.

chuỗi hội tụ đều với mọi ξ ∈ Cρ . Điều đó cho phép ta lấy tích phân từng số

hạng của chuỗi và thu được

f (z) =



∞

 1

2πi
n=0

Cρ


f (ξ)

n
n+1 dξ  (z − z0 ) .
(ξ − z0 )
12


Đặt
an =

1
2πi
Cρ

f (ξ)
dξ,
(ξ − z0 )n+1

theo cơng thức tích phân Cauchy chúng ta có
f

(n)

n!
(z0) =
2πi
Cρ


1.4.

f (ξ)
f (n) (z0 )
; n ≥ 0.
dξ, do đó an =
n!
(ξ − z0 )n+1

Khai triển chuỗi luỹ thừa của một số hàm sơ cấp
z2 z3
zn
+ +···+
+···
2! 3!
n!
2n+1
z3 z5
n z
sin z = z − + − · · · + (−1)
+···
3! 5!
(2n + 1)!
2n
z2 z4
n z
cos z = 1 − + − · · · + (−1)
+···
2! 4!
(2n)!

z 2n+1
z3 z5
+···
shz = z + + + · · · +
3! 5!
(2n + 1)!
z2 z4
z 2n
cosh z = 1 + + + · · · +
+···
2! 4!
(2n)!
n
z2 z3 z4
n+1 z
+ ....
ln(1 + z) = z − + − + · · · + (−1)
2
3
4
n
ez = 1 + z +

1.5.

Thêm một ví dụ áp dụng

Khai triển chuỗi luỹ thừa của hàm
2πiz
=

e2πiz − 1

∞
n=0

Bn
(2πiz)n
n!

trong đó các hệ số Bn (số Bernoulli) thoả mãn hệ thức
B0 = 1;

n+1
0

B0 +

n+1
1

B1 + · · · +

n+1
n

Bn = 0

1
và các số Bernoulli với chỉ số lẻ, trừ ra số B1 = − , đều bằng 0.
2

z
Sử dụng khai triển của hàm e chúng ta được
2πiz
2πiz
2πiz
=
=
.
∞ (2πiz)r
e2πiz − 1
2πiz (2πiz)2 (2πiz)3
+
+
+ ···
r!
1!
2!
3!
r=1
13


Từ đó, chúng ta nhận được đồng nhất thức
∞
n=0

Do đó

∞
j=0


Bn
(2πiz)n =
n!

Bn
(2πiz)n
n!

∞
r=1

2πiz
.
∞ (2πiz)r
r!
r=1
(2πiz)r
r!

= 2πiz.

Thực hiện phép nhân hai chuỗi ta nhận được
B1
B1
B2
B0
B0
+
+

+
2πiz = B0 (2πiz) +
(2πiz)2 +
(2πiz)3
2!.0! 1!.1!
3!.0! 2!.1! 1!.2!
B0
B1
B2
B3
+
+
+
(2πiz)4 + · · · .
4!.0! 3!.1! 2!.2! 1!.3!
Đồng nhất hai vế của đẳng thức trên ta nhận được kết quả.
+

Sử dụng đẳng thức
2πiz
2πiz
−
= −2πiz.
e2πiz − 1 e−2πiz − 1
2πiz
và thay thế khai triển của hàm 2πiz
trong phần trên chúng ta có
e
−1
B1

B2
B3
B0 +
(2πiz) +
(2πiz)2 +
(2πiz)3 + · · ·
1!
2!
3!
B2
B3
B1
(−2πiz) +
(−2πiz)2 +
(−2πiz)3 + · · ·.
= −2πiz + B0 +
1!
2!
3!
Thực hiện việc giản ước các số hạng và sắp xếp theo luỹ thừa tăng đối
với (2πiz) chúng ta nhận được
2. B1 (2πiz) +

B3
B5
(2πiz)3 +
(2πiz)5 + · · · = −2πiz.
3!
5!


Đồng nhất hai vế của đẳng thức trên ta nhận được
1
B1 = − , B3 = B5 = B7 = ... = 0.
2
Sử dụng hệ thức
B0 = 1;

n+1
0

B0 +

n+1
1

B1 + · · · +

n+1
n

chúng ta tính được các hệ số của khai triển
B0 = 1, B1 = −1/2, B2 = 1/6, ...
14

Bn = 0


Chương 2
THẶNG DƯ VÀ CÁCH TÍNH


Định lý Cauchy nói rằng nếu hàm f chỉnh hình trong một miền Dγ được
giới hạn bởi một đường cong đóng, trơn từng khúc γ thì tích phân của hàm
đó trên đường cong γ thoả mãn

f (z)dz = 0.
γ

Điều gì xảy ra nếu f có một cực điểm trong miền Dγ được giới hạn bởi
1
chu tuyến γ. Chẳng hạn, chúng ta xét hàm f (z) = và nhớ lại rằng (ví dụ
z
dz
= 2πi.
1.2.3 ) nếu C là đường tròn với định hướng dương tâm tại 0, thì
C z
Điều trên đây trở thành mấu chốt quan trọng trong việc tính tốn thặng
dư. Trước hết chúng ta trình bày khái niệm về các điểm kỳ dị cơ lập.

2.1.

Không điểm và cực điểm

Điểm kỳ dị của một hàm phức f là một số phức z0 sao cho f chỉnh hình
trong lân cận của điểm z0 trừ z0 . Chúng ta cũng gọi những điểm đó là điểm
kỳ dị cơ lập. Ví dụ, hàm f chỉ xác định trên mặt phẳng thủng bởi f (z) = z
thì gốc là điểm kỳ dị. Tuy nhiên, bằng cách đặt f (0) = 0 thì thác triển nhận
được là hàm liên tục và do đó những điểm như vậy được gọi là các điểm kỳ
dị bỏ được.
1
Trường hợp của hàm g(z) = , hàm này xác định trong mặt phẳng thủng.

z
Rõ ràng g không thể xác định như một hàm liên tục tại 0, kém hơn nhiều
so với hàm chỉnh hình. Chúng ta thấy rằng g(z) tiến đến ∞ khi z dần

đến 0 và chúng ta nói 0 là một cực điểm của nó. Cuối cùng, là trường hợp
1

hàm h(z) = e z trong mặt phẳng thủng cho thấy rằng điểm kỳ dị và cực điểm
khơng nói lên điều gì. Thực vậy, hàm h(z) tiến tới vô cực khi z dần đến 0 trên
trục thực dương, trong khi h(z) tiến đến 0 khi z dần đến 0 trên trục thực âm
và h(z) dao động rất nhanh, nhưng vẫn bị chặn, khi z dần đến 0 trên trục ảo.
15


Điểm kỳ dị thường xuất hiện bởi mẫu số của phân số triệt tiêu nên chúng
ta bắt đầu với một nghiên cứu địa phương các khơng điểm của hàm chỉnh
hình.
Số phức z0 là khơng điểm đối với hàm chỉnh hình f nếu f (z0) = 0. Đặc
biệt, thác triển chỉnh hình cho thấy rằng khơng điểm của hàm chỉnh hình
khơng tầm thường là cơ lập. Nói cách khác, nếu f là chỉnh hình trong D và
f (z0) = 0 với z0 ∈ D nào đó, thì tồn tại một lân cận mở U của z0 sao cho

f (z) = 0 với mọi z ∈ U \ {z0 } , trừ khi f đồng nhất 0. Chúng ta bắt đầu

bằng việc mơ tả tính địa phương của các hàm chỉnh hình gần một khơng
điểm của nó.
Định lý 2.1.1. Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một miền D, có
một không điểm tại z0 ∈ D và không đồng nhất bằng khơng trong D . Thế
thì, tồn tại một lân cận U của z0 trong D, một hàm chỉnh hình g không đồng
nhất triệt tiêu trên U và một số nguyên dương duy nhất k sao cho

f (z) = (z − z0 )k g(z)

với mọi z ∈ U.

Chứng minh. Vì D liên thông và f không đồng nhất 0 trong D nên f không
đồng nhất 0 trong một lân cận đủ nhỏ của z0 . Trong đĩa đủ nhỏ tâm tại z0
hàm f có khai triển luỹ thừa
f (z) =

∞
j=0

aj (z − z0 )j .

Vì f khơng đồng nhất 0 khi z đủ gần z0 , nên tồn tại số nguyên dương k nhỏ
nhất sao cho ak = 0. Thế thì, chúng ta có thể viết
f (z) = (z − z0 )k [ak + ak+1 (z − z0 ) + ...] = (z − z0 )k g(z),
ở đó g được xác định bởi chuỗi luỹ thừa trong ngoặc và do đó chỉnh hình
và khơng đâu triệt tiêu với tất cả z gần z0 vì (ak = 0). Bây giờ chúng ta sẽ
chứng tỏ tính duy nhất của số nguyên k. Giả sử rằng chúng ta cịn có thể
viết
f (z) = (z − z0 )k g(z) = (z − z0 )m h(z),
16


ở đó h(z) = 0. Nếu m > k, thì có thể chia cho (z − z0 )k để thấy rằng
g(z) = (z − z0 )m−k h(z)
và cho z → z0 ta nhận được mâu thuẫn g(z0 ) = 0. Nếu m < k, thì lập luận
tương tự chúng ta nhận được h(z0 ) = 0, cũng dẫn đến mâu thuẫn. Do đó
m = k và g(z) = h(z).

Trong trường hợp của định lý trên ta nói f có khơng điểm bậc k (hoặc bội
k) tại điểm z0 . Nếu khơng điểm là bậc một, chúng ta nói rằng z0 là không
điểm đơn. Chúng ta nhận xét rằng về mặt định lượng, bậc của không điểm
mô tả mức độ mà tại đó hàm triệt tiêu.
Bây giờ chúng ta có thể mơ tả chính xác các loại điểm kỳ dị qua hàm
1
tại điểm z0 . Để tiện lợi, chúng ta định nghĩa lân cận thủng của điểm
f (z)
z0 là đĩa mở tâm tại z0 trừ ra điểm z0 , đó là tập hợp {z : 0 < |z − z0 | < r} ,

với r > 0. Lúc này, ta nói z0 là cực điểm của f (z) xác định trong một lân
1
cận thủng của z0 , nếu hàm
chỉnh hình trong một lân cận đầy của z0 và
f (z)
bị triệt tiêu tại z0 .
Như một hệ quả của Định lý 2.1.1, chúng ta có
Định lý 2.1.2. Nếu f (z) có một cực điểm tại z0 ∈ D, thì trong một lân

cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h(z) khơng triệt tiêu và số nguyên

dương k duy nhất sao cho
f (z) =

h(z)
k

(z − z0 )

.


Số nguyên dương k trong Định lý 2.1.2 được gọi là bậc (hoặc bội) của cực
điểm và nó mơ tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới z0 . Nếu cực điểm
là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn.
Tiếp theo, chúng ta sẽ nói về khai triển chuỗi luỹ thừa của một hàm tại
17


cực điểm.
Định lý 2.1.3. Nếu f có cực điểm bậc k tại z0 , thì
a−k
a−k+1
a−1
f (z) =
+
+ ... +
+ G(z)
k
k−1
(z − z0 )
(z − z0 )
(z − z0 )

ở đó G (z) là hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm z0 .

Chứng minh. Theo Định lý Taylor, khai triển của hàm h(z) =
dạng

1
có

f (z)

h(z) = A0 + A1 (z − z0 ) + ...
Từ đó, chúng ta suy ra
1
f (z) =
[A0 + A1 (z − z0 ) + ...]
(z − z0 )k
a−k+1
a−1
a−k
+ G(z),
+
+
...
+
=
(z − z0 )
(z − z0 )k (z − z0 )k−1

với G(z) là một hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm z0 . Tổng
a−k
a−k+1
a−1
P (z) =
+
+
...
+
(z − z0 )

(z − z0 )k (z − z0 )k−1
được gọi là phần chính của f tại cực điểm z0 .

2.2.

Thặng dư và cách tính

Định nghĩa 2.2.1. Hệ số a−1 trong khai triển
a−k
a−k+1
a−1
f (z) =
+
+ ... +
+ G(z)
k
k−1
(z − z0 )
(z − z0 )
(z − z0 )

của hàm f tại cực điểm z0 của nó được gọi là thặng dư của f tại cực điểm
đó, ký hiệu là res f. Như vậy res f = a−1 .
z=z0

z=z0

Ý nghĩa quan trọng của lý thuyết thặng dư xuất phát từ thực tế rằng tất
cả các số hạng trong phần chính có bậc thực sự lớn hơn 1, đều có nguyên
hàm trong lân cận thủng của điểm z0 . Do đó, nếu C là đường trịn bất kỳ

tâm tại z0 thì

1
2πi

P (z)dz = a−1 .
C

18


Nếu γ chu tuyến tùy ý vây quanh z0 , thì theo Định lý Cauchy chúng ta có
1
2πi

P (z)dz = a−1 .
γ

Như chúng ta đã thấy trên đây, việc tính tích phân được quy về tính tốn
thặng dư. Điều đó dẫn đến việc tìm ra các phương pháp tính tốn thặng dư.
Trong trường hợp hàm f có cực điểm đơn tại z0 , rõ ràng chúng ta có
res f = lim (z − z0 ) f (z).
z0

z→z0

Nếu cực điểm có bậc lớn hơn một, chúng ta có cơng thức tính thặng dư tương
tự.
Định lý 2.2.2. Nếu f có cực điểm bậc k tại z0 , thì
1

res f = lim
z→z0 (k − 1)!
z=z0

d
dz

k−1

(z − z0 )k f (z) .

Chứng minh. Hàm f có cực điểm bậc k tại z0 , theo Định lý 2.1.3, chúng
ta có
f (z) =

a−k
a−k+1
a−1
+
+
...
+
+ G(z).
(z − z0 )k (z − z0 )k−1
(z − z0 )

Nhân cả hai vế của đẳng thức trên với (z − z0 )k , chúng ta nhận được
(z − z0 )k f (z) = a−k + a−k+1 (z − z0 ) + ... + a−1 (z − z0 )k−1 + G(z) (z − z0 )k .
Lấy vi phân đẳng thức trên (k − 1) lần để tách hệ số a−1 trong khai triển và


chuyển qua giới hạn z → z0 cho chúng ta kết quả mong muốn.

Nếu hàm f (z) có cực điểm bậc k tại z0 thì theo Định lý 2.1.2, ta có biểu
g(z)
diễn f (z) =
, với g(z) là hàm chỉnh hình trong lân cận của điểm z0 .
(z − z0 )k
Trong trường hợp này ta cũng có thể tính thặng dư của f nhờ định lý sau
Định lý 2.2.3. Nếu f (z) =

g(z)
, ở đó g là hàm chỉnh hình trong
(z − z0 )k
19


lân cận của điểm z0 , thì
g (k−1) (z0)
.
res f =
z=z0
(k − 1)!

Chứng minh. Bởi vì hàm g chỉnh hình trong lân cận của điểm z0 , nên
nó có khai triển chuỗi luỹ thừa
∞

g (n) (z0 )
g(z) =
bn (z − z0 ) ; bn =

.
n!
n=0
n

Khi đó khai triển của hàm f được cho bởi
f (z) = b0 (z − z0 )

−k

+ ... + bk−1 (z − z0 )

−1

+

∞
n=k

bn (z − z0 )n−k .

Do đó, thặng dư của f tại z0 là
res f = bk−1

z=z0

g (k−1) (z0 )
=
.
(k − 1)!


Trong trường hợp z0 là cực điểm đơn hoặc bậc hai, chúng ta có thể tính tốn
thặng dư của hàm f tại các điểm đó khá đơn giản nhờ kết quả sau đây
Hệ quả 2.2.4. Giả sử hàm f chỉnh hình trong lân cận của điểm z0 . Khi
đó

g(z)
thì res f = g(z0 );
z=z0
z − z0
g(z)
thì res f = g (z0 ).
(ii) nếu f (z) =
z=z0
(z − z0 )2

(i) nếu f (z) =

z2 + 1
tại điểm
Ví dụ 2.2.5. Tìm thặng dư của hàm f (z) =
(z − 1)(z 2 − 2z + 5)
z = 1.
g(z)
z2 + 1
Chúng ta viết hàm f dưới dạng f (z) =
, trong đó g(z) = 2
.
z−1
(z − 2z + 5)

Bởi vì g chỉnh hình trong lân cận của z = 1 nên theo Hệ quả 2.2.4 , chúng
1
ta có res f = g(1) = .
z=1
2
20


sin z
tại cực điểm z = 0.
z2
Đặt g(z) = sinz, theo Hệ quả 2.2.4.(ii), chúng ta có

Ví dụ 2.2.6. Tìm thặng dư của hàm f (z) =

res f = g (0) = cos 0 = 1.
z=0

π cot(πz)
tại z = 0.
zk
(2πi)k Bk
π cot(πz)
; với Bk là hệ số
=
1. Nếu chỉ số k chẵn thì res
z=0
zk
k!
được xác định như trong hệ thức ở phần 1.5.

π cot(πz)
2. Nếu chỉ số k lẻ thì res
= 0.
z=0
zk
Thật vậy, theo phần 1.5 chương 1, chúng ta có cơng thức khai triển
Ví dụ 2.2.7. Xét hàm h(z) =

2πiz
=
e2πiz − 1

∞
j=0

Bj
(2πiz)j
j!

ở đó Bk = 0 với tất cả các chỉ số k lẻ, trừ ra B1 =
π cot(πz) =

∞

−1
. Do đó
2

Bj
(2πi)j z j−1 ,

j!

j=0

tổng chỉ lấy trên các chỉ số j chẵn. Do đó, theo Định lý 2.2.3, chúng ta có
(2πi)k Bk
; với chỉ số chẵn k ≥ 2.
=
k!

π cot(πz)
res
z=0
zk

2.3.

Thặng dư của một thương

p(z)
, ở đó p(z) và
h(z)
h(z) là các hàm giải tích trong lân cận của điểm z0 với khai triển luỹ thừa
Nhiều khi chúng ta cần tính thặng dư của hàm f (z) =

quanh điểm đó đã được biết và h(z) có khơng điểm bậc k tại z0 . Chúng ta
viết
h(z) = (z − z0 )k q(z),
ở đó q(z) là một hàm giải tích trong lân cận của điểm z0 và q(z) = 0 . Khi
đó

f (z) =

g(z)
(z − z0 )k

với g(z) =

21

p(z)
.
q(z)


Theo Định lý 2.2.3, để tính thặng dư của hàm f chúng ta cần tính g (k−1) (z0)
(hoặc hệ số của (z − z0 )k−1 trong khai triển chuỗi luỹ thừa của hàm g quanh

z0 ) và điều đó nhiều khi gặp khó khăn. Thay cho việc thực hiện trực tiếp,
lặp lại phép lấy vi phân, nó có thể tính được các hệ số chuỗi luỹ thừa của g
bằng việc sử dụng các phương pháp đặc trưng chuỗi luỹ thừa.

Lưu ý rằng p và q là các hàm giải tích trong một lân cận của điểm z0 .
p
Bởi vì q(z0 ) = 0, nên cũng là hàm giải tích trong lân cận của điểm z0 và
q
do đó có khai triển luỹ thừa trong đĩa nào đó tâm tại z0 . Phương pháp chia
p
dọc là thiết lập thuật tốn để tìm các hệ số trong khai triển luỹ thừa của
q
theo các số hạng của các khai triển của p và q.

Để đơn giản cho việc trình bày đối với phương pháp chia dọc, chúng ta
sẽ thực hiện đối với khai triển luỹ thừa theo z, vì chuỗi luỹ thừa tâm tại z0
khác 0 có thể chuyển về dạng trên bởi một phép đổi biến. Giả sử p có khơng
điểm bậc nhỏ nhất m tại 0 và giả sử rằng q(0) = 0. Khi đó p và q có khai
triển luỹ thừa
p(z) = am z m + am+1 z m+1 + am+2z m+2 + ... + an z n + ...
q(z) = b0 + b1z + b2z 2 + ... + bn z n + ...
hội tụ trong đĩa nào đó Dr (0) với r > 0. Bởi vì q(0) = b0 = 0 nên q không
p
triệt tiêu trong đĩa Dδ (0), 0 < δ < r. Khi đó là hàm chỉnh hình trong
q
Dδ (0) với một khơng điểm bậc ít nhất m tại 0 và có khai triển chuỗi luỹ
thừa hội tụ
p(z)
= cm z m + cm+1 z m+1 + cm+2z m+2 + ... + cn z n + ...
q(z)
Chúng ta sẽ xác định các hệ số cn qua các hệ số an và bn. Để làm được điều
này chúng ta viết
p(z) am m p(z) − (am /b0) z m q(z)
=
z +
,
q(z)
b0
q(z)
ở đó phân số trên vế phải có cùng mẫu số với phân số ban đầu, nhưng tử số
đã thay đổi và là chuỗi luỹ thừa với số hạng bậc thấp nhất có bậc ít nhất là
m + 1 trong khi tử số ban đầu có số hạng bậc thấp nhất có bậc ít nhất là
m. Nếu viết tường minh các đa thức liên quan thì biểu thức trên trở thành
22