Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt
tình của thầy giáo: T.S Nguyễn Văn Hùng và các thầy cô giáo trong
khoa toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Em xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới thầy giáo T.S Nguyễn Văn
Hùng cùng các thầy cô giáo trong Khoa và trong Tổ Giải tích đã tạo điều
kiện cho em hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Đỗ Thị Nhung

SVTH:Đỗ Thị Nhung

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên
cứu của em dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự
hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng.

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Lý thuyết ổn định của hệ vi
phân” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Đỗ Thị Nhung

SVTH:Đỗ Thị Nhung

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài. ................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu. ......................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu. ........................................................................ 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu....................................................... 1
5. Phương pháp nghiên cứu. ................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận. ............................................................................. 2
CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................... 3
§1. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN ................................................................................................ 3
§2.QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP N VÀ HỆ
N PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT. ..................................... 4

§3.PHƯƠNG PHÁP TỔ HỢP TÍCH PHÂN .................................... 10
§4.ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM........................ 13
§5.CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ... 15
§6.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
......................................................................................................... 17
§7.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ........................ 20
KHÔNG THUẦN NHẤT ................................................................. 20
§8.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ
HẰNG .............................................................................................. 22
CHƯƠNG 2 : SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ........................ 24
VI PHÂN TUYẾN TÍNH ..................................................................... 24

SVTH:Đỗ Thị Nhung

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

§1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH ...... 24
§2.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH ................. 27
§3.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN .......................................... 32
TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT ....................................................... 32
§4.ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH ........................... 35
VỚI MA TRẬN HẰNG ................................................................... 35
§5.TIÊU CHUẨN HÚCVIT ............................................................. 36
§6.CÁC ĐIỂM KÌ DỊ ĐƠN GIẢN ................................................... 42
§7.ỔN ĐỊNH THEO XẤP XỈ THỨ NHẤT ...................................... 44

CHƯƠNG 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG................................................... 49
BÀI TẬP TỰ GIẢI .......................................................................... 59
KẾT LUẬN .......................................................................................... 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 62

SVTH:Đỗ Thị Nhung

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Lý thuyết ổn định là bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính của
phương trình vi phân. Nó được ứng dụng ngày càng nhiều ở nhiều lĩnh
vực khác nhau nhất là trong kinh tế và khoa học kĩ thuật, trong sinh thái
học và môi trường học. Với lí do đó nó đang được phát triển mạnh theo
cả hai hướng ứng dụng và lý thuyết, nhất là lý thuyết ổn định trong
không gian Banach. Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về tính ổn
định của hệ vi phân và ứng dụng của nó trong thực tế, được sự giúp đỡ
hướng dẫn tận tình của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng mà em
chọn đề tài: “Lý thuyết ổn định của hệ vi phân”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm rõ tính ổn định của các nghiệm
đối với các hệ phương trình vi phân và những ứng dụng của lý thuyết ổn
định trong thực tế.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.

Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu là:
Nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính.
Nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất.
Nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng.
Nghiên cứu tính ổn định của hệ dựa vào tiêu chuẩn Húcvít, nghiên
cứu các điểm kì dị đơn giản.
Nghiên cứu tính ổn định của một số hệ dạng đặc biệt dựa vào phương
pháp thứ nhất Lyapunop.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu là tính ổn định của hệ vi phân và các kiến thức
liên quan đến hệ vi phân.
Đỗ Thị Nhung

1

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

5. Phương pháp nghiên cứu.
Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu.
Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Cấu trúc khóa luận.
Những kết quả và thành tựu đạt được của lý thuyết ổn định là rất
nhiều và sâu sắc, song do mới bước đầu làm quen với việc nghiên cứu
khoa học và thời gian nghiên cứu còn ít nên trong khuôn khổ của khóa
luận em xin trình bày những vấn đề sau:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Trong chương này trình bày một số kiến thức về hệ vi phân.
Chương 2: Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính
Trong chương này trình bày một số kiến thức về lý thuyết ổn định của hệ
vi phân.
Chương 3: Bài tập vận dụng
Chương này gồm bài tập có lời giải và bài tập tự giải.
Lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu và thực hiện đề tài trong
thời gian ngắn nên không thể tránh khỏi những sai sót. Em rất mong
nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên. Qua đây
em cũng xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: Tiến sĩ Nguyễn Văn
Hùng đã nhiệt tình giúp đỡ em thực hiện khóa luận. Em cũng xin gửi lời
cảm ơn tới ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô trong khoa và tổ Giải
tích đã tạo điều kiện cho em thực hiện khóa luận này.

Đỗ Thị Nhung

2

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN


1.Định nghĩa:
Hệ n phương trình vi phân cấp 1 dạng chuẩn tắc là hệ phương trình sau:
 dy1
 dx  f1  x, y1 , y2 ,..., yn 

 dy2  f  x, y , y ,..., y 
2
1
2
n
 dx
......................................

 dyn  f  x, y , y ,..., y 
n
1
2
n
 dx

(1.1)

ở đây:
x là biến độc lập; y1  y1(x), y2  y2(x),…….., yn  yn(x) là các hàm phải
tìm.
dy1 dy2
dy
,
,….., n là các đạo hàm của hàm phải tìm.
dx dx

dx

f i  x, y1 , y2 ,...., y n  là các hàm liên tục của các biến x, y1, y2,…, yn

2. Khái niệm nghiệm của hệ phương trình vi phân.
Nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) là tập hợp n hàm khả vi
y1  y1 ( x ) , y2  y2 ( x ) ,….., yn  yn ( x) trên một khoảng nào đó sao cho

chúng thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ (1.1) hay nói cách khác
khi thay chúng vào hệ (1.1) ta được các đồng nhất thức.

Đỗ Thị Nhung

3

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

§2.QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP N VÀ HỆ N
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT.

1.Đưa phương trình vi phân cấp n về hệ n phương trình vi phân cấp
một
Giả sử ta có phương trình:
y  n   f  x, y, y ',..., y  n 1 


(2.1)

Đặt: y  y1 , y '  y2 , y ''  y3 ,….., y  n 1  yn
Khi đó ta có hệ n phương trình vi phân cấp một sau:

 dy1
 dx  y2

 dy2  y
3
 dx
.......................................

 dyn  f  x, y , y ,...., y 
1
2
n
 dx

(2.2)

Nếu y  y(x) là nghiệm của phương trình (2.1) thì:
y1  y  x  , y2  y '  x  ,…, yn  y  n 1  x 

là nghiệm của (2.2).
Ngược lại, nếu y1(x), y2(x),….., yn(x) là nghiệm của hệ (2.2) thì
hàm

y  y1(x) cho ta nghiệm của phương trình (2.1).


2.Đưa hệ phương trình vi phân cấp một về một phương trình vi
phân cấp cao.
Định lí:
Với một số điều kiện nào đó thì từ hệ phương trình:

Đỗ Thị Nhung

4

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

 dx1
 dt  f1  t , x1 , x2 ,...., xn 

 dx2  f  t , x , x ,...., x 
2
1
2
n
 dt
 ..................................

 dxn  f  t , x , x ,...., x 
n
1

2
n
 dt

(2.3)

có thể đưa về phương trình vi phân cấp n dạng:
d nxj
dx j d 2 x j
d n 1 x j 

 Fj  t , x j ,
, 2 ,..., n1 
dt n
dt
dt
dt 


(2.4)

trong đó j là giá trị nào đó 1 ≤ j ≤ n.
Và từ mọi nghiệm của phương trình vi phân (2.4) cho ta một nghiệm
x1, x2,…., xn của hệ phương trình vi phân (2.3).
Chứng minh:






Giả sử f i i  1, n là các hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên
tục theo tất cả các biến đến cấp (n−1).
Giả sử x1  x1  t  , x2  x2  t  ,…, xn  xn  t  là một nghiệm của hệ (2.3), ta
thay vào phương trình thứ j của hệ (2.3) ta được:
dx j
dt

d 2 x j f j f j dx1
f j dxn




....


dt 2
dt x1 dt
xn dt

Suy ra:

d 2xj

Vậy:

dt 2


Đặt


 f j  t , x1  t  , x2  t  ,..., xn  t    f j  t , x1 , x2 ,..., xn  (2.5)

d 2xj
dt

2





f j
t
f j
t

F2  t , x1 , x2 ,...., xn  

Đỗ Thị Nhung

f j dxi

i 1 x
dt
i
n


n


f j

i 1

xn


f j
t

n

f j

i 1

xi



(2.6)

fi

5

 fi

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng



Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

d 2xj
 F2  t , x1 , x2 ,..., xn 
dt 2


d 3xj
dt

3

d 3xj
dt 3



(2.7)

F2 n F2 dxi F2 n F2




 fi
t i 1 xi dt

t i 1 xi

 F3  t , x1 , x2 ,..., xn 

(2.8)

(2.9)

Cứ tiếp tục như vậy đến (n-2) lần ta được:
d n1 x j
dt n 1

 Fn 1 (t , x1 , x2 ,...., xn )

d nxj
 Fn (t , x1 , x2 ,...., xn )
dt n

Giả sử:

D  f j , F2 , F3 ,...., Fn 1 
D  x1 , x2 ,..., x j 1 , x j 1 ,..., xn 

(2.10)

(2.11)

0

Xét hệ:

 dx j
 dt  f j  t , x1 , x2 ,..., xn 
 2
d xj
 2  F2  t , x1 , x2 ,..., xn 
 dt
..........................................
 n 1
d xj
 dt n1  Fn 1  t , x1 , x2 ,..., xn 

(2.12)

Do giả thiết (2.11) từ hệ (2.12) ta có thể giải được x1, x2, …., xj-1,
d n 1 x j
xj+1,….., xn và các hàm này biểu diễn qua t, xj,
, ….,
.
dt n 1
dt
dx j

Thay các hàm này vào (2.10) ta được:
d nxj
dx j
d n 1 x j 


F
t

,
x
,
,....,

n
j
dt n
dt
dt n 1 


(2.13)

Đây là phương trình vi phân cấp n đối với xj.
Đỗ Thị Nhung

6

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

Giả sử xj = xj(t) là một nghiệm bất kì của (2.13) thay vào (2.12) ta
tìm được x1, x2, …., xj-1, xj+1,….., xn và x1, x2, ….., xn sẽ là nghiệm của
hệ (2.3).
Thật vậy: x1, x2, ….., xn thỏa mãn (2.12) nên thỏa mãn:

dx j

 f j  t , x1 , x2 ,..., xn 

dt

Suy ra:

d 2xj
dt 2

f j



t

f j dxi

i 1 x
dt
i
n



(2.14)
(2.15)

Trừ từng vế của (2.15) và (2.6) ta được:

f j  dxi

 fi   0

i 1 x
dt

i 
i j
n



Tương tự như vậy từ phương trình thứ hai của hệ (2.12) lấy đạo hàm
2 vế ta được:
d 3xj
dt

3



F2 n F2 dxi


t i 1 xi dt

(2.16)

Trừ từng vế của (2.16) và (2.8) ta được:

F2  dxi

 fi   0

i 1 x
dt

i 
i j
n



Tiếp tục quá trình này với các phương trình còn lại của hệ (2.12)
tổng hợp lại ta có hệ:
 n f j  dxi

 fi   0

 i
1 x
dt

 i j i 
 n F  dx

  2  i  f i   0
i 1 x

 i  j i  dt

..................................

 n Fn 1  dxi

 fi   0
i


i 1j xi  dt

Đỗ Thị Nhung

7

(2.17)

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

Hệ (2.17) là một hệ đại số tuyến tính thuần nhất.
Do (2.11) nên hệ (2.17) chỉ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường
suy ra
dx
dxi
 fi và j  f j ; (i # j)
dt

dt

Vậy: x1, x2, ….., xn là nghiệm của hệ (2.3).
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
 dy
 dx  z

 dz  y
 dx

1
 2

Giải:
(1) 

d 2 y dz

dx 2 dx

Thay (2) vào ta được:
d2y
 y  y ''  y  y '' y  0
dx 2

có phương trình đặc trưng:

k 2  1  0  k  1
Suy ra:


y  c1e x  c2e x

z  c1e  x  c2e x
Vậy: Nghiệm của hệ là:

 y  c1e x  c2e x

x
x
 z  c1e  c2e

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
 dx
 dt  3 x  2 y

 dy  2 x  y
 dt

Đỗ Thị Nhung

8

 3
 4
GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân


Giải:
d 2x
dx
dy
(3)  2  3  2
dt
dt
dt

Thay (4) vào ta được:
d 2x
dx
 3  2(2 x  y )
2
dt
dt

d 2x
dx

 3  4x  2 y
2
d 2x
dx
dx

dt
dt
  2  3  4 x  3x 

dt
dt
dt
dx 
(3)  2 y  3x 
dt 
d 2x
dx

2
x
dt 2
dt

suy ra:


d 2x
dx
2  x0
2
dt
dt

 x '' 2 x ' x  0

Phương trình đặc trưng là:

k 2  2k  1  0
 k  1 (bội 2)


x  c1et  c2tet

Suy ra:

Ta có: x '  c1et  c2et  c2tet thay vào y ta được:
y

3
1
c1et  c2tet    c1et  c2 et  c2tet 

2
2

1
 c1et  c 2 tet  c2et
2
 x  c1et  c2tet

Vậy nghiệm của hệ là: 
1 t
t
t
 y  c1e  c2te  2 c2e

Đỗ Thị Nhung

9


GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

Nhận xét:
Từ việc giải hai hệ phương trình trên ta rút ra kết luận sau: Để giải
hệ phương trình vi phân (1.1) bằng phương pháp đưa về phương trình vi
phân cấp n ta làm như sau:
Lấy đạo hàm một phương trình bất kì của hệ từ đó đưa về một
phương vi phân cấp n của một hàm phải tìm. Giải phương trình vi phân
cấp n có được từ nghiệm của phương trình vi phân cấp n ta sẽ tìm được
nghiệm của hệ phương trình vi phân.

§3.PHƯƠNG PHÁP TỔ HỢP TÍCH PHÂN

Ví dụ: Giải hệ phương trình:
 dy
 dx  z

 dy  y
 dx

1
 2

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
dy dz


z y
dx dx


dy  dz
 yz
dx



d ( y  z)
 yz
dx



d ( y  z)
 dx
yz



d  y  z
  dx  ln c1
yz

 y  z  c1e x

Đỗ Thị Nhung


(3)
10

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

Lấy (1) trừ (2) ta được:
dy  dz
zy
dx



d ( y  z)
 dx
yz



d  y  z
   dx  ln c 2
yz

 ln y  z   x  ln c2
 y  z  c2e x


Từ (3) và (4) ta có hệ:

(4)

 y  z  c1e x

x
 y  z  c2 e

Suy ra:
2 z  c1e x  c2e  x  z 

Vậy nghiệm của hệ là:

1
c1e x  c2e  x 

2

c1 x c2  x

y

e  e

2
2

 z  c1 e x  c2 e  x


2
2

Qua ví dụ này ta thấy rằng, đối với hệ phương trình vi phân:
dxi
 f i  t , x1 , x2 ,..., xn  , (i=1,2,….,n)
dt

(3.1)

trong một số trường hợp ta có thể lập các tổ hợp khả tích, tức là lập nên
những phương trình vi phân mới là hệ quả của hệ (3.1) sau những phép
biến đổi nhưng dễ tính tích phân hơn để từ đó đi đến những hệ thức
dạng:
  t , x1 , x2 ,...., xn   c

(3.2)

gọi là tích phân đầu của hệ (3.1).
Nếu tìm được k tổ hợp khả tích thì sẽ có k tích phân đầu:
Đỗ Thị Nhung

11

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp


Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

 1  t , x1 , x2 ,...., xn   c1

  2  t , x1 , x2 ,...., xn   c2

.....................................
  k  t , x1 , x2 ,...., xn   ck

(3.3)

Nếu tất cả các tích phân đầu này là độc lập, tức là có ít nhất một
định thức:
D  1 ,  2 ,....,  k 
D  xi , xi ,...., xi
1

k

2



0

(3.4)

trong đó xi , xi ,….., xi là k hàm nào đấy trong số x1, x2,….., xn thì từ hệ
1


k

2

(3.3) ta có thể biểu diễn k hàm chưa biết theo các hàm còn lại. Thay vào
hệ (3.1) ta sẽ hạ thấp được k cấp của hệ đó, tức là đưa về hệ (n−k)
phương trình.
Nếu k  n và các tích phân đầu là độc lập thì các hàm chưa biết
đều xác định được từ hệ (3.3). Khi đó ta coi như đã tích phân xong hệ
phương trình (3.1).
Chú ý: Để dễ dàng tìm các tổ hợp khả tích người ta thường viết hệ
(3.1) dưới dạng đối xứng sau:
dx1
dx2
dxn

 ………….. 

 1  t , x1 , x2 ,..., xn   2  t , x1 , x2 ,..., xn 
 n  t , x1 , x2 ,..., xn 
dt
 0  t , x1 , x2 ,..., xn 

trong đó:

 i  t , x1 , x2 ,..., xn 
= f  t , x1 , x2 ,..., xn  ; (i = 1, 2,…., n)
 0  t , x1 , x2 ,..., xn  i

Ví dụ: Xét hệ:


Đỗ Thị Nhung

12

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

2 xy
 dy
 dx  x 2  y 2  z 2

2 xz
 dy 
 dx x 2  y 2  z 2

Dạng đối xứng của hệ là:
dx
dy
dz


2
2
x y z
2 xy 2 xz

2

Tích phân phương trình:
dy
dz

2 xy 2 xz

ta được:

y
 c1
z

Bây giờ lần lượt nhân tử số và mẫu số của hệ phương trình đối xứng với
x, y và z rồi áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:
xdx  ydy  zdz dz

x  x 2  y 2  z 2  2 xy

Do đó:
ln  x 2  y 2  z 2   ln y  ln c2

x2  y 2  z 2
 c2
y

hay:

Các tích phân đầu tìm được này là độc lập. Vì thế chúng cho ta xác định

các hàm phải tìm y và z qua x, c1, c2

§4.ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

1.Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy của hệ phương trình vi phân:

Đỗ Thị Nhung

13

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

 dy1
 dx  f1  x, y1 , y2 ,...., yn 

 dy2  f  x, y , y ,...., y 
2
1
2
n
 dx
........................................

 dyn  f  x, y , y ,...., y 

n
1
2
n
 dx

(4.1)

được hiểu như sau:
Tìm nghiệm y1  y1  x  , y2  y2  x  ,….., yn  yn  x  thỏa mãn các điều
kiện ban đầu cho trước y1  x0   y10 , y2  x0   y20 ,……, yn  x0   yn0 . Trong
đó: x0 , y10 , y20 ,...., yn0 là các giá trị cho trước tùy ý mà ta gọi là các giá trị
ban đầu.
2.Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét hệ phương trình vi phân:

 dy1
 dx  f1  x, y1 , y2 ,..., yn 

 dy2  f  x, y , y ,..., y 
2
1
2
n
 dx
........................................

 dyn  f  x, y , y ,..., y 
n
1

2
n
 dx

(4.1)

Giả sử:
i, Các hàm f1, f2,…., fn liên tục trong miền:
G   x  x0  a; y1  y10  b; y2  y20  b;.....; yn  yn0  b và do đó giới

nội fi  x, y1 , y2 ,..., yn   M ; (i  1, 2,…, n).
ii, Các hàm f1, f2,…., fn thỏa mãn điều kiện Lipsit theo y1, y2,…, yn trong
miền G với hằng số Lipsit L > 0.
Đỗ Thị Nhung

14

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm: y  x    y1  x  , y2  x  ,..., yn  x   của
hệ (4.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu: y1  x0   y10 ,
y2  x0   y20 ,…, yn  x0   yn0 . Nghiệm này xác định trong khoảng đóng

x


0

 b
 h, x0  h  với h  min a,  .
 M

§5.CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Giả sử G là miền mà tại đó nghiệm của bài toán Cauchy đối với
hệ phương trình (4.1) tồn tại và duy nhất.
1.Nghiệm tổng quát
Hệ n hàm khả vi liên tục theo x, phụ thuộc n hằng số tùy ý
c1,c2,….,cn
 y1    x, c1 , c2 ,...., cn 

 y2    x, c1 , c2 ,...., cn 

 ...................................
 yn    x, c1 , c2 ,...., cn 

(5.1)

được gọi là nghiệm tổng quát của hệ (4.1) trong miền G nếu:
a, Ứng với mỗi ( x0 , y10 , y20 ,...., yn0 )  G từ hệ (5.1) (sau khi đã thay x,
y1, y2,…, yn bằng x0 , y10 , y20 ,...., yn0 ) ta có thể xác định được các hằng số:
 c1    x, y10 , y20 ,...., yn0 

0
0
0

 c2    x, y1 , y2 ,...., yn 

 ....................................
cn    x, y10 , y20 ,...., yn0 


(5.2)

b, Hệ hàm (5.1) nghiệm đúng hệ phương trình (4.1) với c1, c2,…, cn
xác định từ (5.2).
Đỗ Thị Nhung

15

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

2.Tích phân tổng quát
 1  x, y1 , y2 ,...., yn   c1

 2  x, y1 , y2 ,...., yn   c2

 ............................
 n  x, y1 , y2 ,...., yn   cn

Hệ hàm


(5.3)

được gọi là tích phân tổng quát của hệ (4.1) trong miền G nếu nó xác
định nghiệm tổng quát của hệ (4.1) trong miền G.
3.Nghiệm tổng quát
Nghiệm của hệ (4.1) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm
của bài toán Cauchy được đảm bảo được gọi là nghiệm riêng. Nghiệm
nhận được từ nghiệm tổng quát với các hằng số c1, c2,…, cn xác định từ
(5.2) là nghiệm riêng.
4.Nghiệm kì dị
Nghiệm của hệ (4.1) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm
của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kì dị.
Ví dụ: Xét hệ phương trình:
2
 dy

x

y z
 dx
x

 dz  2 z
 dx

(x # 0)

Tích phân phương trình thứ hai ta được:
2


z   x  c1  , x  c1
Thay giá trị này của z vào phương trình thứ nhất và tích phân nó
ta có:

y  c1 x  c2 x 2

Đỗ Thị Nhung

16

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

 y  c1 x  c2 x 2
Hệ hàm 
, x  c1 là nghiệm tổng quát của hệ đang
2
 z   x  c1 

xét trong miền

G   x #0;    y  ; 0  z   .

Phương trình thứ hai của hệ có nghiệm kì dị z  0
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

y  x 2  c  ln x 
Do đó hệ phương trình đã cho có họ nghiệm kì dị:
 y  x 2  c  ln x 

 z  0

§6.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
1.Định nghĩa:
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất là hệ có dạng:
 dy1
 dx  a11  x  y1  a12  x  y2  ......  a1n  x  yn

 dy2  a  x  y  a  x  y  ......  a  x  y
21
1
22
2
2n
n
 dx
 ..................................................................

 dyn  a  x  y  a  x  y  .....  a  x  y
n1
1
n2
2
nn
n
 dx


(6.1)

trong đó: aij(x) , ( i, j  1,2,..., n ) là các hàm số liên tục.
y1, y2,…., yn là các hàm số cần tìm.
Hệ phương trình (6.1) có thể viết dưới dạng ma trận sau:
Đặt :

Đỗ Thị Nhung

17

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

 a11  x  a12  x 

a  x  a22  x 
A( x)   21
 ...
...

 an1  x  an 2  x 

...
...

...
...

 dy1 
 dx 
a1n  x  
 y1 


dy2 




a2 n  x  
y
dY
; Y   2 ;
  dx 
   dx 
... 

 

 

ann  x  
 yn 
 dyn 



 dx 

Khi đó hệ (6.1) tương đương với phương trình:
dY
 A x Y
dx

(6.2)

2.Tính chất
a, Định lí 6.1:
Nếu Y là một nghiệm của hệ (6.2) thì cY cũng là một nghiệm của hệ
(6.2) (c là hằng số).
b, Định lí 6.2:
Nếu Y1,Y2 là hai nghiệm của hệ (6.2) thì Y1+Y2 cũng là nghiệm của
hệ (6.2).
Hệ quả:
Nếu Y1,Y2 là các nghiệm của (6.2) thì c1Y1  c2Y2 là một nghiệm của
hệ (6.2), trong đó c1, c2 là các hằng số tùy ý.
n

Nếu Y1,Y2,…, Yn là các nghiệm của (6.2) thì  c jY j cũng là nghiệm
j 1

của hệ (6.2).
c, Định nghĩa:
c1, Định nghĩa 1:

Đỗ Thị Nhung


18

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

Các nghiệm Y1,Y2,…, Yn của hệ (6.2) được gọi là độc lập tuyến tính
0
0
n
nếu  c jY j  0 thì cj  0, j  1,2,…,n với 0   
j 1

 
0

Các nghiệm Y1,Y2,…, Yn của hệ (6.2) được gọi là phụ thuộc tuyến
tính nếu tồn tại các hằng số c1,c2,….,cn không đồng thời bằng 0 sao cho
n

 c jY j =0.
j 1

c2, Định nghĩa 2:
Cho họ nghiệm Y1,Y2,…, Yn của hệ (6.2)


W  W Y1 , Y2 ,..., Yn  

y11
y21

y12 ... y1n
y21 ... y2 n

...

...

...

...

yn1

yn 2 ...

ynn

được gọi là định thức Wronski của họ Y1,Y2,…, Yn với:
 y11 
 y1n 
y 
y 
21 

,….., Yn   2 n 

Y1 
  
  
 
 
 yn1 
 ynn 

c3, Định nghĩa 3:
Các nghiệm độc lập tuyến tính Y1,Y2,…, Yn của hệ (6.2) được gọi là
hệ nghiệm cơ bản.
d, Định lí:
Định lí 6.3:
Nếu Y1, Y2,…, Yn phụ thuộc tuyến tính thì W  0.
Định lí 6.4:
Đỗ Thị Nhung

19

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

Nếu Y1, Y2,…, Yn là các nghiệm độc lập tuyến tính thì W # 0.
Định lí 6.5:
Nếu Y  U + iV ( i 2  1 ) là một nghiệm của hệ (6.2) thì U, V cũng là
các nghiệm của hệ (6.2).

Định lí 6.6:
Nếu Y1, Y2,…, Yn là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình (6.1) thì
nghiệm tổng quát của hệ phương trình (6.1) có dạng:
n

Y   ciYi
i 1

§7.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
KHÔNG THUẦN NHẤT

1.Định nghĩa:
Hệ phương trình vi phân không thuần nhất có dạng:
 dy1
 dx  a11  x  y1  a12  x  y2  ......  a1n  x  yn  f1  x 

 dy2  a  x  y  a  x  y  ......  a  x  y  f  x 
21
1
22
2
2n
n
2
 dx
..................................................................................

 dyn  a  x  y  a  x  y  .....  a  x  y  f  x 
n1
1

n2
2
nn
n
n
 dx

(7.1)

Nếu ta kí hiệu:
 a11  x  a12  x 

a  x  a22  x 
A( x )   21
 ...
...

 a n 1  x  an 2  x 

Đỗ Thị Nhung

20

... a1n  x  

... a2 n  x  
;
...
... 


... ann  x  

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân



F  x  




 dy1 
 dx 
f1  x  
 y1 


dy2 




f2  x  
y
dY

; Y   2 ;
  dx 
   dx 
 

 

 

fn  x  
 yn 
 dyn 


 dx 

thì hệ (7.1) có thể viết dưới dạng ma trận tương đương như nhau:
dY
 A  x  Y  F ( x)
dx

(7.2)

2.Các tính chất của nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính
không thuần nhất
Định lí 1: Nếu Y   x  là nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính
không thuần nhất; Y1(x),Y2(x),…, Yn(x) là hệ nghiệm cơ bản của hệ
phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng thì nghiệm tổng
quát của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng:
Y  c1Y1  x   c2Y2 ( x )  .......  cnYn  x   Y   x 


trong đó c1, c2,…, cn là các hằng số bất kì.
Định lí 2: Nếu Y1(x),Y2(x) là hai nghiệm tương ứng của các hệ phương
trình
L Y   F1  x  ; L Y   F2  x 

Định lí 3: Nếu hệ phương trình tuyến tính:
L Y   U ( x)  iV ( x)

trong đó:
 u1  x  
 v1  x  




u2  x  
v2  x  


U  x 
; V  x 
  
  




u
x

v
x




n
n





Đỗ Thị Nhung

21

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng