Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN

Bản khoá luận này đƣợc hoàn thành tại trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 dƣới sự hƣớng
dẫn của thây Nguyễn Văn Hùng. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sự chỉ bảo hƣớng dẫn tận tình và
nghiêm khắc để em có thể hoàn thành khoá luận này.
Trong quá trình học tập, trƣởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khoá luận, em nhận
đƣợc sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo của các thầy cô. Qua đây cho phép em đƣợc
bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Giải tích, khoa toán trƣờng Đại Học Sƣ
Phạm Hà Nội 2.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Bùi Thị Thanh

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

1


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU ........................................................................................... 3

1.Lý do chọn đề tài. ..................................................................................... 3
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................. 3
4. Cấu trúc khóa luận ................................................................................ 3
PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH ......................................................................... 4
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .......................................................................... 4
1.1. Không gian metric ………………………………………………………………… .4
1.2. TôPô trong không gian metric ............................................................. 7
1.3. Ánh xạ liên tục. .................................................................................... 8
1.4. Không gian metric đầy đủ .................................................................... 8
1.5. Tập hợp compact và bị chặn ................................................................ 9
1.6. Không gian định chuẩn không gian Banach ........................................ 9
1.7. Tính lồi ............................................................................................... 12
1.8. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều: ............................................. 16
CHƢƠNG 2: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ................................. 17
2.1. Nguyên lý ánh xa co banach .............................................................. 17
2.2. Định lý điểm bất động Brouwer......................................................... 23
2.3. Định lý điểm bất động Schauder....................................................... 26
CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ..... 32
3.1. Áp dụng vào phƣơng trình vi phân thƣờng........................................ 32
3.2. Áp dụng vào phƣơng trình tích phân. ................................................ 39
KẾT LUẬN . .................................................................................................. 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 43

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

2


Khóa luận tốt nghiệp


Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Trong khi giải quyết các bài toán khác nhau của khoa học kĩ thuật dẫn
đến việc nghiên cứu vấn đề.
Cho X là một không gian nào đó và A: M  X là ánh xạ từ tập M  X
vào chính nó, xét phƣơng trình phi tuyến Ax  x, x  M . Điểm x  M thỏa mãn
phƣơng trình Ax = x đƣợc gọi là điểm bất động của ánh xạ A trên tập M.
Việc giải quyết bài toán trên dẫn đến sự ra đời của một hƣớng nghiên
cứu trong toán học, đó là lí thuyết chiến bất động của ánh xạ.
Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của
tích hàm phi tuyến. Ngay từ đầu thế kỷ 20, các nhà toán học trên thế giới quan
tâm về vấn đề này và cho tới nay, có thể khẳng định rằng, lý thuyết điểm bất
động đã đƣợc phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công cụ không thể thiếu
đƣợc để giải quyết nhiều bài toán khác nhau do thực tế đề ra. Sự phát triển
của lĩnh vực này gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn trên thế giới
nhƣ: Banach, Brouwer, Schauder, conebel,…
Nhƣng kết quả kinh điển và đầu tiên của lý thuyết về điểm bất động
nhƣ: nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý
điểm bất động Schauder đã đƣợc áp dụng vào ngành toán học hiện đại nhƣ:
phƣơng trình vi phân, giải tích hàm, giải tích đại số…
Với các lí do đó, em đã chọn đề tài:
“Lý thuyết điểm bất động”
2. Mục đích nghiên cứu
Bƣớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và thực hiện
khoá luận tốt nghiệp.

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán


3


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số định lý điểm bất động trong không gian Banach và
không gian định chuẩn hữu hạn chiều.
Nghiên cứu việc áp dụng các định lý điểm bất động trong việc giải bài
tập về phƣơng trình tích phân và phƣơng trình vi phân thƣờng.
4. Cấu trúc của khoá luận
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của khoá luận gồm 3
chƣơng.
Chương 1: Nêu một số kiến thức chuẩn bị quan trọng sẽ sử dụng trong
chƣơng 2 và chƣơng 3.
Chương 2: Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động
Schauder, chứng minh định lý, các ví dụ áp dụng.
Chương 3: Áp dụng các định lý điểm bất động vào việc giải phƣơng
trình tích phân và phƣơng trình vi phân thƣờng.

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

4


Khóa luận tốt nghiệp


Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH

Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị
Chƣơng này có mục đích xác định một số kí hiệu, nhắc lại một số lý
thuyết của giải tích hàm về một số không gian, tập hợp đƣợc sử dụng các
chƣơng sau.
1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1
Ta gọi là một không gian metric một tập hợp X≠  cùng với một ánh xạ
d từ tích Descartes X x X vào tập số thực ℝ thỏa mãn các điều kiện sau:
i)  x, y  X  d  x, y   0, d  x, y   0  x  y (tiên đề đồng nhất)
ii)  x, y  X  d  x, y   d  y, x  (tiên đề đối xứng)
iii)  x, y, z  X  d  x, y   d  x, z   d  z, y  (tiên đề tam giác)
Ánh xạ d đƣợc gọi là metric trên X, số d(x,y) đƣợc gọi là khoảng cách
giữa các phần tử x và y, các phần tử của X gọi là các điểm.
Kí hiệu không gian metric là cặp : (X,d)
Ví dụ 1.1.1:
Không gian véctơ thực n chiều ℝn gồm các véc tơ dạng

x   x1, x2 ,..., xn  (xi ℝ) với khoảng cách d  x, y  

n

 x  y 
i 1

i


i

2

là không

gian metric
Thật vậy:
n
i) x, y  , ta có d  x, y  

n

 x  y 
i 1

i

i

2

0

d(x,y) = 0  (xi- yi)2 = 0 tương đương xi = yi, ( i= 1, n ), y  ( yi )in1 
tƣơng đƣơng x = y (tiên đề (i) đƣợc thỏa mãn)

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

5



Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

ii) x, y ℝn
n

  xi  yi 

2

n

 y



i 1

i

i 1

 xi 

2

d  x, y   d  y, x 


suy ra

(Tiên đề ii đƣợc thỏa mãn)
iii) x, y, z ℝn ; z =  zi in1
n

  xi  yi 

Ta có: d  x, y  

2

n

 x  z



i 1

i

i 1

i

 zi  yi 

2


Ta phải chứng minh
n

 x  z
i

i 1

i

 zi  yi  
2

n

 x  z 
i 1

i

2

i

n

 z




i

i 1

 yi 

2

(1)

Thật vậy:
n

n

n

 x  z  z  y    x  z    z  y 
i 1

2

i

i

i

i


2

i

i 1

i

i

i 1

2

2

i

n

  xi  zi 
i 1

n

 2  xi  zi
i 1




zi  yi   2

n

n

 x  z   z
2

i 1

i

i

i 1

i

2

n

 z

i

i 1


 yi 

2

 yi 

2

(2)

Đặt xi  zi  ai ; zi  yi  bi ;
n

n

n

i 1

i 1

i 1

 2     aibi    a 2i  b2i

luôn đúng theo bất đẳng thức

Bunhiacôpxki. Suy ra (1) đúng.
Vậy d  x, y   d  x, z   d  z , y  (Tiên đề iii) đƣợc thỏa mãn)
Vậy (ℝn, d ) là không gian metric.


Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

6


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

Định nghĩa 1.1.2.
Cho không gian metric M = (X, d), dãy điểm  xn   X , điểm xo  X
Dãy

 xn 

đƣợc gọi là hội tụ tới điểm xo trong không gian M khi

n   , nếu    0   n0  N *   n  n0  d  xn , x0    , kí hiệu:
lim xn  x0 hay xn  x0  n   
n

Điểm x0 còn gọi là giới hạn dãy ( xn ) trong không gian M
1.2.Tô Pô trong không gian metric
Định nghĩa 1.2..1:
Cho không gian metric M = (X, d), a  X , số thực r  0 . Ta gọi
Tập S(a, r) = {x  X; d(x, a) < r } là hình cầu mở tâm a, bán kính r.






Tập S '  a, r   x  X ; d  x, a   r là hình cầu đóng tâm a, bán kính r.
Định nghĩa 1.2.2:
Cho không gian metric M   X , d  và tập A  X . Tập A gọi là tập mở
trong không gian M, nếu điểm thuộc A là điểm trong của A hay nói cách
khác, nếu điểm x  A , thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A.
Tập A gọi là tập đóng trong không gian M nếu mọi điểm không thuộc
A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x  A thì tồn tại một
lân cận của điểm x không chứa điểm nào thuộc tập A.
Qui ƣớc:  , X đều là tập đóng
Định lý 1.2.1:
Cho không gian M   X , d  , tập A  X và A   . Tập A đóng trong
không gian M khi và chỉ khi mọi dãy điểm  xn   A hội tụ tới điểm x thì

x  A.

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

7


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

Định lý 1.2.2
Trong không gian metric  X , d  , hình cầu đóng là một tậo hợp đóng.
Định lý 1.2.3: Cho  X , d  là một không gian metric thì:
1) A đóng trong X ,  I thì  A đóng trong X

I

n

2) A1, A2 ,..., An đóng trong X thì  Ai đóng trong X
i 1

1.3. Ánh xạ liên tục.
Cho 2 không gian metric M1 = (X, d1), M2 = (Y, d2) , ánh xạ f từ không
gian M1 lên không gian M 2 .
Định nghĩa 1.3.1: Ánh xạ f gọi là liên tục tại x0  X , nếu

  0,   0 sao cho x  X : d1  x, x0    thì d 2  f  x  , f  x0    
Định nghĩa 1.3.2: Ánh xạ f gọi là liên tục trên A  X , nếu ánh xạ f liên
tục tại mọi điểm thuộc tập A, khi A=X thì ánh xạ f gọi là liên tục.
Định nghĩa 1.3.3: Ánh xạ f đƣợc gọi là liên tục đều trên tập A  X
nếu:   0,   0 sao cho x, x '  A : d1  x, x '   thì d2  f  x  , f  x '   
1.4. Không gian metric đầy đủ
Định nghĩa 1.4.1: Cho không gian metric M   X , d  . Dãy điểm

 xn   X

gọi là dãy cơ bản trong M nếu

   0  n0  N *  m, n  n0  thì d  xm , xn   
Hay

lim d  xm, xn   0

m ,n


Từ đây, ta suy ra mọi dãy điểm  xn   X hội tụ trong M đều là dãy cơ
bản.

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

8


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

Định nghĩa 1.4.2: Không gian Metric M   X , d  gọi là không gian đầy đủ
nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ
1.5. Tập hợp compact và bị chặn
Định nghĩa 1.5.1: Tập hợp K trong không gian metric X gọi là compat nếu
mọi dãy điểm { xn } trong K đều có một dãy con { xnk } hội tụ đến một điểm
thuộc K.
Định lý 1.5.1.(Định lý về ánh xạ liên tục trên compact)
Cho 2 không gian metric M1   X , d1  , M 2  X , d2  và ánh xạ f ánh xạ

M1 vào M 2 . Nếu ánh xạ f liên tục trên tập compact K  X thì
1.f liên tục đều trên K
2. f(K) là tập compact trong không gian M 2
Định nghĩa 1.5.2:
Cho A là một tậo hợp tùy ý trong một không gian metric X
Số  ( A)  Sup d  x, y 
x , yA


Đƣợc gọi là đƣờng kính của tập A, nó có thể là số hữu hạn hay vô hạn.
Nếu  ( A)   thì A đƣợc gọi là một tập hợp bị chặn.
Từ định nghĩa ta có điều sau:
a) Để tập A là bị chặn, điều kiện cần và đủ là tồn tại một hình cầu S  x0 , R 
chứa A
b) Hợp của một số hữu hạn những tập hợp bị chặn và một tập hợp bị chặn.
1.6. Không gian định chuẩn không gian Banach
Định nghĩa 1.6.1.
Giả sử K là một trƣờng số thực ℝ hoặc trƣờng số phức ℂ. Tập hợp

X   cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân vô hƣớng).
Phép cộng xác định trên X  X và lấy giá trị trong X:

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

9


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

 x, y   x  y;

x, y  X

Phép nhân vô hƣớng xác định trên K  X và lấy giá trị trong X:
(, x) ↦x ;   K, x  X
Coi là một không gian tuyến tính (hoặc không gian vectơ) nếu các điều
kiện sau đây đƣợc thỏa mãn

1) X cùng với phép cộng là một nhóm Abel, tức là:
a, x  y  y  x, x, y  X
b,  x  y   z  x   y  z  ; x, y, z  X
c,Tồn tại một phần tử  của X sao cho: x +  = x, x  X
d,Với mỗi x  X , tồn tại phần tử   x  của x sao cho x    x   0
2)  ( x  y)   x   y; x, y  X ,   K
3)      x   x   x; x  X ;  ,   K
4)    x     x  ; x  X ;  ,   K
5) 1.x  x; x  X
Định nghĩa 1.6.2:
Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn)
mọi không gian tuyến tính X cùng với một ánh xạ từ X vào tập hợp số thực
ℝ, thƣờng kí hiệu là || .|| đọc là chuẩn, thỏa mãn các điều kiện:
i)Với x  X , ta có || x || 0 và || x || 0  x   (kí hiệu phần tử không là  )
ii)Với x  X và với   R , ta có:  x   x ;
iii) Với x, y  X , ta có: x  y  x  y
số || x || gọi là chuẩn của phần tử x.



kí hiệu không gian định chuẩn là X , .



Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

10


Khóa luận tốt nghiệp


Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

Định lý 1.6.1: Cho không gian định chuẩn X. Đối với 2 vectơ bất kì u, v  X
Ta đặt: d  u, v   u  v
khi đó d là một metric trên X
chứng minh:
(1). d  u, v   u  v  0  u, v  X  do tiên đề (i)

d  u, v   0  u  v  0  u  v
(2). d  u, v   u  v   1 v  u   1 v  u  v  u  d  v, u u, v  X 
(3).  u, v,w  X  ; d  u,w   u  w   u  v    v  w   u  v  v  w

 d  u, v   d  v,w 
Nhờ định lý 1.6.1, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành
không gian metric với metric (1.6.1). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng
trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.6.3: Dãy điểm (un ) trong không gian định chuẩn X gọi là một
dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu:
( > 0) ( n0 ℕ*) ( m, n  n0) ||um – un|| < 
Hay là:
lim um  un  0

m ,n 

Định nghĩa 1.6.4: Không gian định chuẩn X đƣợc gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ
Nhận xét 1.6.4:
*Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy
*Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy

Định nghĩa 1.6.5 (Tính liên tục)
Cho X, Y là không gian định chuẩn trên trƣờng K, khi đó:

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

11


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

* Toán tử A : M  X  Y đƣợc gọi là liên tục theo dãy điểm nếu với mỗi dãy

un   M , n  1,2,... sao cho:
lim un  u với u  M
n

Suy ra: lim Aun  Au
n

* Toán tử A gọi là liên tục nếu u, v  M và mọi   0 cho trƣớc, có một số

  0 , sao cho u  v   thì Au  Av   hoặc với
u  M ,lim Av  Au
v u

Hơn nữa, có thể chọn số   0 trong trƣờng hợp này sao cho kết quả
không phụ thuộc vào điểm u  M thì khi đó toán tử A đƣợc gọi là liên tục đều
trên M.

1.7. Tính lồi
1.7.1. Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.7.1:
Giả sử X là một không gian tuyến tính, ℝ là tập các số thực. Tập
A  X đƣợc gọi là lồi nếu:

x1, x2  A,   ℝ: 0    1  x1 + (1 – )x2  A
Ví dụ 1.7.1: Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi.
Mệnh đề 1.7.1.
Giả sử A  X (  I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ. Khi đó
A   A cũng lồi.
I

Chứng minh:
Lấy x1, x2  A khi đó x1, x2  A    I 
Với   I , do A là lồi nên:

x1 + (1 – )x2  A (  I)

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

12


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

  x1  1    x2  A


Mệnh đề 1.7.2: Giả sử tập Ai  X , i  ℝ ( i = 1, 2, …, m). Khi đó:

1 A1  2 A2  .....  m Am là tập lồi.
Mệnh đề 1.7.3: Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T : X  Y là toán
tử tuyến tính, khi đó
a) A  X lồi suy ra T  A lồi
b) B  Y lồi suy ra nghịch ảnh T 1  B  của ảnh B là tập lồi.
Định nghĩa 1.7.2.
Véctơ x  X đƣợc gọi là tổ hợp lồi của vectơ x1 ,x2 ,...,xm  X . Nếu tồn
m

m

i 1

i 1

tại i  0  i  1,2,..., m   i  1 sao cho x   i xi
Định lý 1.7.1: Giả sử A  X lồi, x1, x2 ,..., xm  A. Khi đó A chứa tất cả các tổ
hợp lồi của x1, x2 ,...xm .
1.7.2. Bao lồi và bao đóng
Định nghĩa 1.7.3: Giả sử tập A  X , giao của tất cả các tổ hợp chứa A đƣợc
gọi là bao lồi của tập A và kí hiệu là CoA
Nhận xét 1.7.2.
a) CoA là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A
b) A lồi  CoA  A .
Định nghĩa 1.7.4. Giả sử tập A  X , giao của tất cả các tập lồi, đóng chứa A
đƣợc gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là CoA
Nhận xét 1.7.3:


CoA là một tập đóng, đó là tập đóng nhỏ nhất chứa A
Định nghĩa 1.7.5:
Cho M là một tập con của không gian tuyến tính X trên trƣờng K, khi
đó ta định nghĩa:

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

13


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

spanM: không gian con tuyến tính nhỏ nhất chứa M.
1.7.3.Liên tục trên tập compact
Mệnh đề 1.7.3: Cho M  ℝ là một hàm liên tục trên tập compact khác
rỗng M của không gian định chuẩn X. Khi đó f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất trên M.
Mệnh đề 1.7.4: Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng
trƣờng K, và cho A : M  X  Y là toán tử tuyến tính liên tục trên tập
compact khác rỗng M của X, khi đó A là liên tục đều trên M.
Định nghĩa 1.7.6 (Toán tử compact). Cho X,Y là các không gian định chuẩn
trên trƣờng K. Toán tử A : M  X  Y đƣợc gọi là compact nếu:
(i)A liên tục
(ii)A biến các tập bị chặn thành các tập compact tƣơng đối. Hay là nếu

un  , n  1,2,... là dãy bị chặn trong M thì có một dãy con un '  , n '  1,2,... của
 un  sao cho dãy  Aun '  hội tụ trong Y.
Ví dụ 1.7.5. Xét toán tử tích phân


Au  x    F  x, y, u  y   dy, x   a, b
b

a

  a  b   . Đặt:
Q = {(x, y, u)  ℝ3 : x, y  [a, b], |u|  r, r > 0}, r: cố định
Giả sử rằng, hàm số F : Q ℝ liên tục. Tập X  C  a, b và

M  u  X : u  r
Khi đó, toán tử A : M  X là compact
Thật vậy:
Theo mệnh đề (1.7.4), hàm F liên tục đều trên tập compact Q. Chứng tỏ

  0 , có một số   0 sao cho

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

14


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

F  x, y, u   F  z, y, v   

(1.7.5)


Với (x, y, u), (z, y, v)  Q , với x  z  u  v  
+) Trƣớc hết, ta có toán tử A : M  X là liên tục.
T.V: Nếu u  M thì hàm số u : [a ,b]  ℝ: liên tục và u  y   ry   a, b
Suy ra hàm Au : [a ,b]  ℝ liên tục. Cho u, v  M . Khi đó
u  v  max u  y   v  y   
a  x b

Chứng tỏ
Au  Av  max
a  x b



b

a

 F  x, y, u  y    F  x, y, v  y   dy    b  a  

Suy ra A : M  X liên tục
+) Chứng minh A compact. Tức là giả sử M bị chặn ta phải chứng minh
A(M) là tập compact tƣơng đối.
Ta thấy, các giả thiết của định lý Arzela-Ascoli thỏa mãn tức là
1) A(M) bị chặn.
2) A(M) đồng liên tục.
*) Thật vậy chứng minh (1)
Đặt M  max F  x, y, u  , khi đó
 x , y ,u Q

u  M , Au  max

a  x b

 F  x, y, u  y   dy  b  a  M
b

a

*) Chứng minh (2), cho x  z   và x, z  a, b . Khi đó theo (1.7.5) ta có:

 Au  x    Au  z   a F  x, y, u  y    F  z, y, u  y   dy
b

  b  a   , u  M

Nhƣ vậy các giả thiết của định lý Arzela – Ascoli thỏa mãn, do đó
A(M) compact tƣơng đối. Vậy toán tử A : M  X là compact.

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

15


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

Mệnh đề 1.7.5 (Định lý xấp xỉ đối với các toán tử compact)
Cho A : M  X  Y là một toán tử compact, ở đây X, Y là các không gian
Banach trên trƣờng k , và M là tập con bị chặn, khác rỗng của X. Khi đó, với
mọi n  1,2,..., , có một dãy toán tử liên tục An : M  Y sao cho


Sup Au  Anu 
uM

1
và dim (Span An(M))  
n

Cũng nhƣ
An  M   CoA M 

1.8. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều:
Địng nghĩa 1.8.1
Cho X là không gian định chuẩn N- Chiều trên trƣờng K,N=1,2,…,m
Một cơ sở e1,...eN  của X ta hiểu là tập hợp các phần tử e1,...eN của X sao
cho u  X đều có thể biểu diễn đƣợc dƣới dạng

u  1e1  ...   N eN
Với 1,.... N  R , xác định duy nhất bởi u. Các số 1,.... N đƣợc gọi là
các phần tử của u.
Mệnh đề 1.8.1
Cho (

un )

là một dãy trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X

dimX>0, khi đó, un  u trong X khi n   , nếu và chỉ nếu dãy các thành
phần tƣơng ứng (Với một cơ sở cố định) hội tụ đến các tọa độ tƣơng ứng của
u trong X

Hệ quả 1.8.1: Mỗi không gian định chuẩn hữu hạn chiều là một không gian
Banach
Hệ qủa 1.8.2: Cho M là một tập con của không gian định chuẩn hữu hạn
chiều X, khi đó:
1) M là compact tƣơng đối nếu và chỉ nếu nó bị chặn

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

16


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

2) M là compact nếu và chỉ nếu nó bị chặn và đóng.
Mệnh đề 1.8.2:
Cho M là tập con khác rỗng, lồi và bị chặn, đóng của không gian định
chuẩn X, ở đây M có một điểm trong, khi đó M đồng phôi với hình cầu

B  u  X : u  1
Mệnh đề 1.8.3
Cho M là tập khác rỗng, lồi, compact của không gian định chuẩn hữu
hạn chiều X. Khi đó, M đồng phôi với các N- đơn hình và trong X, N = 1,2…
(N – đơn hình trong X đƣợc định nghĩa ở chƣơng sau).

CHƢƠNG 2: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
2.1. Nguyên lý ánh xạ co banach
Định nghĩa 2.1.1 (định nghĩa ánh xa co)
Giả sử X và Y là hai không gian metric tùy ý, ánh xạ f : X  Y đƣợc

gọi là ánh xạ co nếu  một số  [0,1) sao cho x1, x2  X ta đều có

d  f  x1  , f  x2     d  x1, x2 
Hiển nhiên, một ánh xạ co là liên tục đều.
Định lý 2.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co Banach)
Giả sử X là một không gian metric đầy đủ và A : X  X là một ánh xạ
co của X vào chính nó. Khi đó, tồn tại một và chỉ một điểm x  X sao cho

Ax  x
Chứng minh:
*) Vì A là ánh xạ co từ X vào chính nó nên  [0,1) sao cho
d  Ax,Ax'   d  x, x ' ; x, x '  X

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

17


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

*) Lấy x0  X , đặt

xn  Ax n-1; n  1,2,...
Ta có:
d  x1, x2   d  Ax 0 , Ax1    d  x0 , x1    d  x0 , Ax 0 

Tƣơng tự


d  x2 , x3    d  x1 , x2    2d  x0 , Ax 0 
(vì d  x1, x2    d  x0 , Ax0  )
………..

d  xn , xn1    d  xn1 , xn   ....   n .d  x0 , Ax0 
Do đó
n, p  1,2,...

d  xn , xn p   d  xn , xn1   d  xn1, xn2   ...  d  xn p1, xn p 
  n   n1  ...   n p1  d  x0 , Ax0 
n

1 p
d  x0 , Axo 
1

n

d  x0 , Ax0 
1
Vì 0    1 nên lim  n  0 . Suy ra: lim d  xn , xn p   0 p  1,2,....
n

n 

Do đó {x n } là dãy cơ bản.
*) Vì X là không gian đủ, nên dãy  xn  hội tụ
xn  x  X
Giả sử nlim



Ta có:



 
  
 d  Ax, Ax   d  x , x 

d A x, x  d Ax , xn  d x n , x
n-1

n

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

18


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2



 



  .d x, xn1  d xn , x  0 (n  )

Suy ra Ax  x hay x là điểm bất động của ánh xạ A
*) Giả sử lại có x*  X : Ax*  x*



 





d x, x*  d Ax, Ax*   d x, x*







Suy ra 1    d x, x*  0
Vì 0   < 1 suy ra

1–>0

từ đó: một đại lƣợng dƣơng  0

 
Suy ra d  x, x   0  x  x
mà d x, x*  0
*


*

Vậy điểm bất động là duy nhất.
Ví dụ 2.1.1.
Cho hàm số x  t  khả vi trên 0,1;0  x  t   1t 0,1
1
0  x '  t   t  0,1 . Xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình:
2
x t   t  0

1

Giải:
Giả sử t * là nghiệm (1): x  t *   t * . Tức t * là điểm bất động
Đặt X = [ 0, 1]  ℝ
 : không gian đủ

Suy ra X là không gian đủ

X = [0,1]: đóng
Xét x: [0 , 1] ℝ
Nhƣng theo giả thiết 0  x  t   1 nên x : 0,1  0,1
Ta kiểm tra x là ánh xạ co không ?
t1, t2 0,1

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

19



Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

x  t1   x  t2   x '  t  t1  t2   x '  t  t1  t2 

1
t1  t2
2

(ĐL lagrăng)

1
suy ra d  x  t1  , x  t2    d  t1 , t2 
2

suy ra x : 0,1  0,1 là ánh xạ co
suy ra !t * : x  t *   t *
Vậy phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2.1.2.
Cho ánh xạ A ánh xạ nửa khoảng [1,+) vào chính nó xác định bằng
1
công thức Ax=x+ .
x

A có phải là ánh xạ co không?
A có điểm bất động không? Vì sao?
Giải: Ta có [1,+) là tập con đóng của ℝ với metric d  x, y   x  y
Do đó [1,+) cùng với metric ℝ lập thành một không gian metric đầy.

Xét ánh xạ A:[1,+)  [1,+)
x  Ax=x+

1
x

Giả sử A là ánh xạ co suy ra A có điểm bất động duy nhất hay !x 0 [1,+)
sao cho

x 0  Ax0
t-¬ng ®-¬ng x0  x0 

1
1
suy ra
 0 (vô lý)
x0
x0

Vậy A không có điểm bất động do đó A không là ánh xạ co
Ví dụ 2.1.3 :
Cho không gian metric đầy M = (X, d), một ánh xạ f ánh xạ hình cầu đóng

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

20


Khóa luận tốt nghiệp


Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2
S’(x0, r) = {x  X : d (x, x0)  r}

vào X sao cho tồn tại p, 0 < p < 1 , để  x, y  S’(x0, r) đều có:
* d(f(x), f(y)) < pd(x, y)
* d(f(x0), x0)  (1 – p)r.
Chứng minh rằng f có điểm bất động duy nhất trong S’(x0, r).
Giải:
Trƣớc hết ta chứng minh f là ánh xạ S’(x0, r) vào S’(x0, r). Thật vậy, với mọi
x  S’(x0, r) ta có:
d(f(x), x0)  d(f(x), f(x0)) + d(f(x0), x0)
< p.d(x, x0) + (1 – p). r < p.r + (1 – p). r
Suy ra d(f(x), x0) < r tức là f(x)  S’(x0, r)
Vậy ta có ánh xạ f : S’(x0, r)  S’(x0, r)
Do S’(x0, r) là một không gian con đóng của không gian metric đầy X, nên
S’(x0, r) là không gian metric đầy với metric đã cho trên X. Kết hợp với giả
thiết thứ nhất ta suy ra ánh xạ:
f: S’(x0, r)  S’(x0, r)
là ánh xạ co, do đó f có điểm bất động duy nhất trong S’(x0, r).
2.1.2. Với metric xác định trong định lí 1.6.1 ta có cách phát biểu khác
của nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian định chuẩn nhƣ sau.
Giả sử rằng
(a) M là một tập đóng, khác rỗng trong không gian Banach X trên trƣờng K.
(b) Toán tử A : M  M thỏa mãn Au  Av  k u  v u, v  M (2.1.2) và
k cố định, k [0,1) .
Khi đó các kết quả sau là đúng:
i) Tồn tại và duy nhất nghiệm u của phƣơng trình u=Au (2.1.3)
ii)Với mỗi u0  M đã cho dãy  un  tạo bởi

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán


21


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2
un1  Aun , n  0,1...

Hội tụ đến nghiệm duy nhất u của phƣơng trình (2.1.3)
Ta chứng minh ii)
Trƣớc hết, ta chỉ ra rằng

 un  là một dãy Cauchy. Thật vậy, với mỗi

n  1,2,.... Sử dụng (2.1.2) Ta có:
un1  un  Aun  Aun1  k un  un1  k Aun1  Aun2

 k 2 un1  un2  ...  k n u1  u0
Bây giờ, với n  1,2,.... và m  1,2,.... từ bất đẳng thức tam giác ta có:
un  unm   un  un1    un1  un2   ...  unm1  unm 
 un  un1  un1  un2  ...  unm1  unm

  k n  k n1  ...  k nm1  u1  u0

 k n .1  k  k 2  ...  k m1  u1  u0

 k n .1  k  u1  u0
1


Vì k [0,1) nên k n  0 khi n   . Vậy dãy  un  là dãy Cauchy do X
là không gian Banach nên dãy  un  hội tụ tới một phần tử u  X hay un  u
khi n   .
Tiếp theo ta chỉ ra rằng giới hạn u của phƣơng trình (2.1.3)
Từ u0  M và u1  Au0 cùng với A( M )  M và u1  M . Tƣơng tự bằng quy
nạp ta đƣợc un1  Aun và un  M , n  0,1,...
Vì M đóng, ta có u  M , suy ra Au  M .
Theo (2.1.2) ta có:
Aun  Au  k un  u  0 khi n  

Cho n   từ un1  Aun ta có: u  Au .

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

22


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2

2.2. Định lý điểm bất động Brouwer.
Định lý điểm bất động Brouwer là định lý trung tâm của lí thuyết điểm
bất động, đó cũng là một trong định lý cơ bản của giải tích phi tuyến. Ở đây,
tôi sẽ nêu lên cách chứng minh của Knaster, Kuratowski và Maurarkiewicz,
dựa trên một số kết quả tổ hợp của Sperner. Trƣớc tiên ta hãy nhắc lại một vài
định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.2.1.
Cho X là một không gian tuyến tính, tập hợp S trong X đƣợc gọi là n –
đơn hình nếu S  Co{u 0 , u1,..., un} với u 0 , u1,..., un  X


và các véctơ

u1  u0 , u2  u0 ,..., un  u0 độc lập tuyến tính. Các điểm ui đƣợc gọi là đỉnh,
bao lồi của k  1 đỉnh đƣợc gọi là k- diện của S.
Phép tam giác phân một đơn hình S là một phép phân chia S thành các
n – đơn hình con nếu giao nhau phải là một diện chung của hai đơn hình đó.
Đối với một tam giác phân của S, sperner (1928) đã đƣa ra là một phép
gán cho mỗi đỉnh của các đơn hình con một trong các số 0,1,...,n theo qui tắc
sau đây: Nếu Co{u 0 , u1,..., un} là diện nhỏ nhất của S chứa v thì v đƣợc gán
cho một trong các số i0, i1, … ik.
(Nhƣ vậy đỉnh ui phải đƣợc gán số i)
Ta gọi đó là phép gán số Sperner.
Ví dụ 2.2.1:
Trong tam giác u0u1u2 ba đỉnh đƣợc gán số lần lƣợt 0,1,2, các đỉnh của
đơn hình con nằm trên cạnh uiuk đƣợc gán số i hoặc k các đỉnh thuộc phần
trong tam giác đƣợc gán số 0 hoặc 1 hoặc 2.
Sau khi gán số, đơn hình con nào có các đỉnh đƣợc gán đủ các số
0,1,…,n thì đƣợc gọi là đơn hình “tốt”
Trong ví dụ trên có 5 đơn hình tốt.

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

23


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2
0

1
2

0
0

1

2

2

1

Bổ đề 2.2.1. (Sperner 1928)
Với phép gán số Sperner, trong một phép tam giác phân một đơn hình
bất kỳ luôn có một số lẻ các đơn hình tốt.
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo số chiều
a)Với n = 1
Đơn hình là đoạn u0u1 , đỉnh u0 đƣợc gán số 0, đỉnh u1 đƣợc gán số 1,
các đỉnh còn lại của các đơn hình con nhận các số 0 hoặc 1 (hình vẽ)

0

1

1

0


1

Gọi k là số đỉnh (của các đơn hình con) nhận giá trị 0 (nếu là đỉnh
chung đƣợc tính 2 lần). Ta có k là số lẻ vì chỉ có một đỉnh nhận số 0 ở đầu
mút, còn các đỉnh nhận số 0 thuộc phần trong thì đƣợc tính 2 lần
Gọi h là đỉnh nhận số 0 mà đỉnh còn lại (Của đơn hình con chứa đỉnh
đó) cũng nhận số 0.
Số đơn hình tốt bằng k- h là số lẻ. Vậy bổ đề đúng n = 1
b) Giả sử bổ đề đúng với n=m
c) Ta đi chứng minh bổ đề đúng với n = m +1

Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán

24


Khúa lun tt nghip

Trng H S phm H Ni 2

Gi k l s cỏc m din (din m chiu), m cỏc nh c gỏn cỏc s
0,1,,m (gi tt l din tt) ca (m+1) n hỡnh con.
Khi ú k k1 k2
Vi k1 l s din tt nm trờn biờn ca n hỡnh gc S

k2 l s cỏc din tt thuc phn trong ca S
Vỡ biờn ca biờn S cha cỏc din tt chớnh l m din Co{u 0 ,..., un } ca
S, cng l mt m n hỡnh, theo gi thit qui np k1 lẻ, k 2 chẵn vì mỗi
diện tốt thuộc phần trong l chung cho hai n hỡnh con nờn

c tớnh 2 ln. Vy k l.
Gi h l s din tt m nh cũn li khụng c gỏn s m+1. Vy nh
ú s c gỏn mt s trong cỏc s 0,1,,m. Vỡ vy (m+1) n hỡnh con
ca cha din ú phi cha 2 din tt. Do ú h l s chn. Vỡ vy (m+1)
n hỡnh tt bng k h. Nờn phi l s l
B c chng minh.
* Trc khi n b KKM. Ta a ra 1 s nh ngha
nh ngha 2.2.2: Cho n = 1,2,, v cho X l khụng gian tuyn tớnh trờn
trng K, n- n hỡnh S Co{u 0 ,..., un}.
Khi ú, im b=

1 n
u j c gi l trng tõm ca hỡnh S
n+1 j 1

nh ngha 2.2.3: Mt phộp chia nh bi trng tõm ca 1- n hỡnh,

S Co{u 0 , u1} l tp hp ca hai 1- n hỡnh S0 Co{b,u 0} , S1 Co{b,u1} ,
õy n l tp trng tõm ca S.
Tng quỏt, phộp chia nh bi trọng tâm của n-đơn hình S với
trọng tâm b là tập hợp tt c cỏc n n hỡnh Co{b,v1,..., vn1}
õy v1,..., vn1 l cỏc nh ca (n-1) n hỡnh bt k thu c t phộp chia nh
bi trng tõm ca (n-1) din ca S.

Sinh viờn Bựi Th Thanh K32E khoa Toỏn

25