A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, hình học là một môn học khó đối với học
sinh, bởi vì tính chặt chẽ, logic và tính trừu tượng của hình học cao hơn các
môn học khác.
Các phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học và nó là
một công cụ hữu ích đối với các bài toán hình học phẳng và hình học không
gian.
Phép quay là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng để
giải các bài toán dựng hình, bài toán chứng minh tính chất hình học, bài toán
tập hợp điểm, bài toán tính toán, … Tuy nhiên, việc vận dụng phép quay
quanh một điểm trong

để giải các bài toán hình học không phải là việc dễ

dàng, thực tế nó là một phần khó đối với cả giáo viên và học sinh.
Trong khuôn khổ của một khóa luận tốt nghiệp, em xin được trình bày
những kiến thức cơ bản về phép quay quanh một điểm trong và ứng dụng của
nó đối với việc giải các bài toán trong hình học phẳng và hình học không
gian.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
1) Trình bày cơ sở lý thuyết về phép quay.
2)Các ví dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép quay trong việc giải
bốn lớp bài tập hình học: bài toán chứng minh, bài toán dựng hình, bài toán
tìm tập hợp điểm, bài toán tính toán.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí Toán học , các bài giảng
chuyên đề, các giáo trình hình học, các tài liệu liên quan tới nội dung nghiên
cứu và các kiến thức thực hành.

1

B. NỘI DUNG
Chương I. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
1.1. Khái niệm về phép biến hình
a) Cho hai tập hợp điểm T và T  ta gọi là một song ánh từ T vào
T  ,mọi phép tương ứng  mà với mỗi điểm  của T đều được gắn với một

điểm   duy nhất của T  , ký hiệu là  =  .
Ánh xạ  gọi là song ánh nếu mọi  của T  đều tồn tại duy nhất 
của T sao cho    . Như vậy, cho một song ánh  : T  T  vào T  là
cho một quy tắc để, với bất kỳ một điểm T bao giờ ta cũng có một điểm
 hoàn toàn xác định của T  sao cho :

(i) Nếu  và  là hai điểm phân biệt của T thì  và  là hai
điểm phân biệt của T   thì  . (Khi đó ta nói  là đơn ánh).
(ii) Với T  thì bao giờ cũng có một điểm T sao cho
 . (Khi đó ta nói  là toàn ánh)

Điểm  được gọi là ảnh, hay điểm tương ứng hoặc hình biến
đổi của của điểm  qua ánh xạ  . Ngược lại, điểm  được gọi là tạo ảnh
của điểm    qua ánh xạ  .
Nếu  thì ta còn nói rằng ánh xạ  (ở đây là một song ánh)
biến điểm  của T thành điểm  của T  .
b) Khi hai tập hợp điểm T  và T là đồng nhất, cũng có nghĩa là trùng
nhau, ký hiệu T T , ta nói rằng  là một phép biến hình trong T (hay từ T
vào chính nó).
Như vậy, ta có thể định nghĩa một phép biến hình trên đường thẳng,
trong mặt phẳng hay trong không gian tùy theo T là tập các điểm của một


2


đường thẳng  nào đó trong mặt phẳng, hay T là tập hợp tất cả các điểm của
một mặt phẳng  hay T là tập hợp tất cả các điểm của không gian  .
Thậm chí, T có thể là tập hợp tất cả các điểm của một hình H nào đó là
một bộ phận ( tập con ) của một đường thẳng  , hay một bộ phận của một
mặt phẳng (  ), hay một bộ phận của không gian.
Kí hiệu H  , H  hay H  .
Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1( Định nghĩa phép biến hình )
Một song ánh  hoặc  từ tập các điểm của đường
thẳng  hay của mặt phẳng  lên chính nó được gọi là một phép biến hình
trên đường thẳng  hay của mặt phẳng  .
Như vậy, chẳng hạn cho một phép biến hình của mặt phẳng
   là cho một quy tắc để với mọi điểm của (P) ta tìm được một điểm

M     hoàn toàn xác định, thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
(i) Nếu  và  đều thuộc (P), M  N thì  và  đều thuộc
(P),    .
(ii)  thì tồn tại duy nhất điểm   sao cho    .
Nếu H là một hình nào đó của (P) thì ta có thể xác định được tập hợp
điểm H    H     H  H  là một hình phẳng được gọi là ảnh
hay hình biến đổi, hoặc hình tương ứng của hình H qua phép biến hình  ;
ngược lại, hình H được gọi là tạo ảnh (hay hình nguyên của hình  H  qua
phép biến hình  .
Chú thích 1.1
Phép biến hình định nghĩa như trên còn được gọi một cách chính xác hơn
là phép biến hình điểm ( vì nó biến đổi điểm thành điểm).


3


Hai phép biến hình điểm  và  là tương đương nếu với mọi điểm M
của T đều có cùng một ảnh trong T    T suy ra      , ta
viết    .
1.2. Phép biến đổi 1 – 1 và phéo biến đổi ngược
Giả sử  là phép biến đổi biến điểm M thành M  . Đương nhiên có thể
có nhiều điểm  có cùng một ảnh  qua phép biến đổi đó.
Chẳng hạn, phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng; nếu  là hình
chiếu của  trên một đường thẳng d thì ngoài  còn có vô số các điểm
khác  có cùng hình chiếu   . Nếu  chỉ ứng với điểm  duy nhất thì
ta nói  là phép biến đổi 1 – 1.
Định nghĩa 1.2.1
 là phép biến đổi 1 – 1 nếu mọi ảnh  của  qua phép biến đổi đó

ứng với duy nhất điểm  .
Định nghĩa 1.2.2
Nếu  là phép biến đổi 1 – 1 biến M thành 

     thì tồn tại một phép biến đổi biến  thành điểm M .
Phép biến đổi như vậy gọi là phép biến đổi ngược của 
Kí hiệu  -1 .
Có trường hợp  -1 lại là  , khi đó ta nói  có tính đối hợp.

Chẳng

hạn phép đối xứng qua tâm hoặc qua trục có tính chất đối hợp
Định nghĩa 1.2.3

Một phép biến đổi biến mọi điểm M thành chính nó được gọi là phép
đồng nhất.
1.3. Tập hợp bất biến và điểm bất động
Cho tập hợp điểm H và phép biến đổi  . Nếu ảnh của mọi điểm thuộc
H qua phép biến đổi đã cho cũng thuộc H thì được gọi là tập hợp bất biến

qua phép biến đổi đó.

4


Ta nói điểm  bất động qua phép biến đổi  nếu    . Tập hợp
điểm H được gọi là bất động qua  nếu H gồm toàn thể các điểm bất động
qua  .
Chẳng hạn trục đối xứng là đường thẳng bất động qua phép đối xứng
với trục đó.
1.4. Hai phép biến đổi trùng nhau
Cho hai phép biến đổi  và g xác định trên toàn mặt phẳng. Ta nói 
và g trùng nhau hoặc g và  chỉ là một nếu ảnh của mọi điểm  qua hai
phép biến đổi đó trùng nhau.
Tức là   g
Rõ ràng  là một phép biến đổi đồng nhất nếu mọi điểm thuộc mặt
phẳng là điểm bất động của  , nghĩa là    , 
1.5.Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình  và g . Với mỗi điểm M, giả sử      và
g     . Như vậy tồn tại một quy tắc để từ điểm  ta tìm được điểm

duy nhất  .
Quy tắc đó gọi là tích của hai phép biến hình  , g và được kí hiệu là :


g  . Trong cách kí hiệu này,  được thực hiện trước và g được thực hiện
sau.
Nói chung g  khác  g , nghĩa là ảnh của điểm  qua phép biến
đổi g  khác với ảnh của  qua phép biến đổi  g .
2. PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM
2.1.Góc định hướng giữa hai tia
Trong hình học, hình tạo bởi hai tia Ox và Oy được gọi là góc tạo bởi
hai tia đó và được kí hiệu bởi xOy . Số đo của góc xOy nằm trong khoảng từ
0o đến 180o ( hoặc từ 0 đến  radian )

5


Nếu thứ tự của hai cạnh góc xOy được xét đến, tức là hai góc xOy và

yOx khác nhau thì ta nói xOy đã được định hướng và được kí hiệu bởi
( Ox;Oy ). Trong đó, Ox là cạnh đầu và Oy là cạnh cuối của góc.
Định nghĩa 2.1.1:
Góc định hướng giữa hai tia là góc tạo bởi hai tia đó có xét một thứ tự
xác định.
Nhận xét:
- Nếu  là một trong các số đo của góc thỏa mãn điều kiện     
thì số đo của góc bằng   k  với k nguyên tùy ý.  được gọi là giá trị
chính của góc.
- Giá trị của góc định hướng không phải là duy nhất,ta quy ước giá trị đó
âm hay dương là tùy theo chiều quay là chiều âm hay chiều dương của mặt
phẳng.
Định nghĩa 2.1.2.
Hai góc định hướng được gọi là bằng nhau nếu số đo của chúng bằng
nhau.

Định nghĩa 2.1.3.
Hai góc định hướng được gọi là đối nhau nếu số đo của chúng đối nhau.
Nếu  và  là hai điểm phân biệt và   không thẳng hàng thì hai
góc định hướng (  ) và ( O ) cùng hướng khi và chỉ khi các điểm
 và  nằm cùng phía đối với đường thẳng  . Hai góc đó được gọi là

ngược hướng khi và chỉ khi  và  nằm khác phía đối với đường thẳng  .
Bổ đề 2.1.4
Cho hai điểm  cố định phân biệt và một góc  với 0     ( hoặc

     ). Tập hợp các điểm  khác  sao cho    là
một cung chứa góc được dựng trên dây  (trừ  ).

6


Hệ thức Chasles:
Nếu (Ox Oy) = y Oz) =  Ox Oz) =  thì      , tức là:
x ; Oy) + (Oy ; Oz) = (Ox ; Oz)

Góc định hướng giữa hai tia khác gốc:
Cho hai tia Ax và By có các gốc A, B khác nhau. Lấy một điểm O tùy
ý và gọi Ox,Oy là hai tia theo thứ tự cùng hướng với Ax, By . Khi đó ta nói
góc định hướng tạo bởi Ox và Oy bằng góc định hướng tạo bởi hai tia
Ax và By và viết :
(Ax ; By) = (Ox ; Oy)

Rõ ràng, nếu Ax / / By thì (Ax ; By) = 0 (mod 
hoặc : (Ax ; By) = ± ( mod 2 .
2.2. Phép quay quanh một điểm

a) Định nghĩa 2.2.1
Trong mặt phẳng đã được định hướng, cho một điểm  và góc định
hướng  . Phép quay Q(O; tâm  , góc quay  là phép biến hình biến 
thành  và biến mỗi điểm  khác  thành
điểm  sao cho:
  và   

Khi đó ta nói  là ảnh của  qua phép quay tâm  với góc quay 
và kí hiệu Q(O; :  M .
b) Tính chất:
(i) Theo định nghĩa, phép quay Q(O; nếu    nó trở thành phép
đồng nhất. Nếu    hoặc    thì nó là phép đối xứng tâm  .
(ii) Phép quay Q(O;   k2 k  z) có một điểm bất động duy nhất
và là phép biến đổi 1 – 1.

7


Chứng minh:
Giả sử M1, M2 là các tạo ảnh của M qua phép quay Q(O; .
Theo định nghĩa, ta có :
OM1 = O  = OM2 và ( OM1; O  ) =  .
Điều đó chứng tỏ rằng M1 và M2 nằm trên cùng một tia và cách O một
khoảng bằng nhau.
Vì vậy, M1  M2.
Nếu  là điểm bất động khác O của phép quay thì theo định nghĩa ta
có :
   (Vô lý)

Vì vậy    .

(iii) Phép quay Q là phép dời hình.
Chứng minh:
Giả sử : Q(O; :

 M

 N
OM OM 

Theo định nghĩa ta có : ON ON 
(OM ;OM ) (ON ;ON )


OM OM 

 ON ON 
(OM ;ON ) (OM ;ON )




  



   .

(c.g.c)

Vậy Q là phép dời hình (đpcm).

(iv) Phép quay Q biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng và bảo tồn thứ tự của chúng.

8


Chứng minh:
Theo tính chất (iii) phép quay Q(O; là phép dời hình. Do đó, nếu
,C lần lượt là ba ảnh của ba điểm thẳng hàng A,B,C thì A,C thẳng

hàng theo thứ tự đó.
* Hệ quả:
Phép quay Q biến:
- Một đường thẳng d thành đường thẳng d và góc định hướng (d;d =

 , d  d  khi    .
- Biến tia Sx thành tia Sx và góc tạo bởi hai tia đó bằng 
- Biến đoạn PQ thành đoạn PQ và PQ = PQ
- Biến góc xSy thành góc xS y và hai góc xSy = xS y .
- Biến đường tròn  R) thành đường tròn (I R) .
(v) Tích của hai phép quay là một phép tịnh tiến hoặc là một phép quay.
Chứng minh:
Xét hai phép quay Q(O; và Q(O  .
Đặt Q = Q0  Q0 .
*TH1: O  O
OM OM 
Q0 : M  M  thì 
(OM ,OM )  
OM OM 
Q0 : M   M  thì 

(OM ,OM )
OM OM 
Do đó : 
(OM ,OM ) (OM ,OM )  (OM ,OM )  

Vậy : Q = Q0  
*TH2: O  O

9


Chương 2
ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM TRONG E2 VÀO
VIỆC GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
Cũng như các phép biến hình khác, phép quay là một công cụ hữu hiệu
nhất để giải các bài toán hình học.
Để giải một bài toán bằng phép quay ta cần chú ý một số điểm sau:
- Chọn cách vẽ hình của bài toán sao cho khi thực hiện tổng hợp các
phép quay riêng biệt dễ quan sát.
- Những bài toán hình học mà trong các giả thiết xuất hiện các yếu tố
góc đặc biệt như góc: 90o,30o,60o,…và các yếu tố dài bằng nhau như: tam giác
cân, tam giác đều, hình thoi, hình vuông,…thường gợi ý cho ta ý tưởng dùng
phép quay để giải.
Cụ thể:
1. Ứng dụng của phép quay vào giải bài toán chứng minh
1.1. Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh có dạng A  B , trong đó:
A là giả thiết, bao gồm:

+) Những yếu tố đã cho như : điểm, đường thẳng, đường tròn,…

+) Những quan hệ đã biết: liên thuộc, song song, vuông góc,…
+) Những yếu tố về lượng : độ dài, góc,…
B là kết luận cần được khẳng định là đúng.

“  ’’ là những suy luận hợp logic dựa trên các giả thiết có mặt
trong A , các định nghĩa, định lí, …để khẳng định B đúng.
1.2. Giải bài toán chứng minh sử dụng phép biến hình.
Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm hay đường đã cho
trong giả thiết A với các điểm hay đường trong kết luận B thông qua một

10


phép biến hình nào đó thì nhờ những tính chất được bảo toàn qua các phép
biến hình đó ta có thể nhận được các kết quả về:
- Tính đồng qui hay tính thẳng hàng.
- Các quan hệ song song, vuông góc hay liên thuộc.
- Các đoạn thẳng bằng nhau hay các góc bằng nhau.
- Các tam giác, các đường tròn bằng nhau,…
Giúp ta suy ra điều cần chứng minh.
Phép quay là một công cụ ưu việt trong việc sử dụng để đưa đến các kết
quả trên.
Ta có thể đổi bài toán nhờ phép biến hình, chuyển mệnh đề “ A  B ”
thành mệnh đề “ A  B ” bằng cách chuyển A thành A và B thành B qua
một phép biến hình. Khi mệnh đề thay thế được chứng minh thì nhờ tính chất 1 –
1 và tính chất bất biến của phép biến hình đã sử dụng ( cụ thể là phép quay ) để
suy ra tính đúng đắn của mệnh đề ban đầu.
Trong nhiều trường hợp, việc vẽ thêm các điểm, các đường mà ta quen
gọi là dựng các hình phụ có thể giúp mang những dữ kiện đã cho đến với
những hình có liên quan hợp thành một hình mới để từ đó có thể nhận được

điều cần chứng minh.
Thực chất công việc này là dựng ảnh của điểm hay của đường qua phép
biến hình nào đó.
1.3. Một số ví dụ:
*Ví dụ 1:
Cho hình vuông

ABCD . Một

đường thẳng d cắt các đường thẳng AB
và CD tương ứng tại các điểm M , N .
Một đường thẳng d vuông góc với d
cắt các đường thẳng AD và BC tương

11


ứng tại các điểm P và Q . Chứng minh rằng MN  PQ .
Giải
Ta gọi O là tâm hình vuông.
Phép quay Q(O,90) : B  A, A  D Do đó, biến đường thẳng BA
thành đường thẳng AD và biến M thành M  , biến N thành N . Cũng qua
phép quay đó, biến C thành B ; biến D thành C , do đó đường thẳng CD
biến thành đường thẳng BC và N biến thành N . Theo tínhchất của phép
quay, ta có:
 MN  M  N 

 MN  M  N 

Theo giả thiết: MN  PQ

 PQ // M  N 
Vì vậy 
 PQ  M  N 

 MN  PQ (đpcm)

*Ví dụ 2:
Cho hình vuông ABCD và một điểm M bất kỳ. Kí hiệu x là đường
thẳng đi qua A vuông góc với MB ; y là đường thẳng đi qua B vuông góc
với MC ; z là đường thẳng đi qua C vuông góc với MD ; d là đường thẳng
đi qua D vuông góc với MA .
Chứng minh rằng bốn đường thẳng
x, y , z , d đồng quy.

Giải
Gọi O là tâm của hình vuông
ABCD .

Phép quay

12


Q(O;90) : B  A, M  M  do đó BM biến thành AM  và AM   BM ,

suy ra AM  chính là x hay x đi qua M  . Tương tự y, z , d là các đường
thẳng cùng đi qua M  .
* Ví dụ 3:
Tìm tất cả các phép quay của mặt phẳng biến hình vuông ABCD thành
chính nó.

Giải
Phép quay biến ABCD thành chính nó khi và chỉ khi ảnh của bốn đỉnh
A, B.C , D phải là một hoán vị của bốn đỉnh đó.

Khi đó, tâm O của hình vuông ABCD phải biến thành điểm cách đều cả
bốn đỉnh A, B, C , D , tức là biến thành O .
Vậy O phải là điểm bất động của phép quay cần tìm.
Khi góc quay   0 , do cạnh góc vuông phải biến thành cạnh góc vuông



nên  chỉ có thể là  ,

2

, hoặc 


2

(modulo 2 )

Phép quay Q (O; ) là phép đối xứng tâm O biến 4 đỉnh A, B, C , D theo
thứ tự thành C , D, A, B .
Phép quay Q O;  biến 4 đỉnh A, B, C , D




2


theo thứ tự thành B, C , D, A .
Phép

quay

Q O;  


biến

4

đỉnh

2

A, B, C , D theo thứ tự thành D, A, B, C .

Vậy có tất cả bốn phép quay ( kể cả biến đổi đồng nhất ) biến hình vuông
ABCD thành chính nó. (đpcm)

13


* Ví dụ 4:
Trên các cạnh AB, CD của tứ giác lồi ABCD và về phía ngoài tứ giác ta
dựng các tam giác đều ABM và CDN .Trên các cạnh BC , DA và về phía
trong tứ giác ta dựng các tam giác đều BCP và ADQ . Chứng minh rằng


MP  NQ .

Giải
Phép quay tâm B với góc quay 60 biến điểm M thành điểm A , điểm
P thành điểm C , khi đó MP  AC . Phép quay tâm D với góc quay 60

biến điểm Q thành điểm A , điểm N thành điểm C , khi đó QN  AC . Từ
các kết quả trên ta suy ra MP  NQ .
* Ví dụ 5:
Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông sao cho
AMB  135

.

Chứng

minh

rằng

2MA2  MB 2  MD 2 .
Giải
Phép quay tâm A với góc quay 90
biến M thành M ' , B thành D , do đó

14


AM  AM ', MB  M ' D,
AMB  AM ' D  135


Vì tam giác AMM ' vuông cân tại A và tia MM ' nằm trong AM ' D ,
nên

MM ' D  90 .

Trong

tam

giác

vuông

MM ' D

ta

có

MD 2  MM '2  M ' D 2 . Trong tam giác vuông AMM ' ta có
MM '2  2 AM 2 .Từ các kết quả trên ta suy ra điều cần chứng minh.
* Ví dụ 6:
Cho tam giác đều ABC , trên các cạnh AB, BC , CA ta lấy lần lượt các
điểm K , L, M thỏa mãn

AK BL CM
. Gọi D, E theo thứ tự giao điểm



KB LC MA

của AL với CK và BM ; F là giao điểm của BM và CK . Chứng minh tam
giác DEF là tam giác đều.
Giải
Dễ thấy AK  BL  CM .
Gọi O là tâm của tam giác đều.
Thực hiện phép quay tâm O , góc quay 120 , theo chiều ngược với chiều
A  B; B  C ; C  A

kim đồng hồ thì:

K  L; L  M ;M  K
AL  BM ; BM CK ;CK  AL
Vây D  E; E  F ; F  D

Suy ra DEF đều.
1.4. Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép biến hình
Nếu mệnh đề A  B đã được khẳng định nhờ sử dụng phép biến hình
thì cũng có thể dùng phép biến hình đó để xét mệnh đề đảo B  A hay mệnh
đề đảo bộ phận của mệnh đề này ta sẽ được bài toán mới.
Từ một mệnh đề đã chứng minh được, có thể dùng những phép biến hình để
chuyển mệnh đề đó thành mệnh đề mới : A  B khi đó ta được một bài toán

15


mới. Cũng có thể sử dụng phép biến hình để phát biểu lại một vài điều kiện của
giả thiết A hoặc kết luận B để nhận được bài toán mới.
Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay là chọn phép quay cho

phù hợp để tìm ra lời giải của bài toán.
2. Ứng dụng của phép quay vào giải bài toán quỹ tích
2.1. Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích là bài toán tìm một tập hợp điểm ( còn gọi là một hình )
có tính chất  cho trước.
Quỹ tích các điểm M có tính chất  cho trước có thể là một tập rỗng,
tập hữu hạn hoặc tập vô hạn điểm.
Để khẳng định quỹ tích những điểm có tính chất  là hình H nào đó ta
phải thực hiện các bước sau:
-

Bước 1 (phần thuận) : Chứng minh mỗi điểm có tính chất  đều

phải thuộc hình H ( nói lên tính không thiếu của quỹ tích)
-

Bước 2 (phần đảo) : Chứng minh mỗi phần tử (điểm) thuộc hình H

đều có tính chất  ( Nói lên tính không thừa của quỹ tích).
2.2. Giải bài toán quỹ tích nhờ sử dụng phép biến hình
2
2
Giả sử : :E  E là một phép biến hình cuả mặt phẳng thì:
M M 

Nếu quỹ tích điểm M là hình H thì ta có quỹ tích điểm M  là
f 1( H ) .

Để giải bài toán quỹ tích, thông thường ta phải chứng minh cả phần
thuận và đảo. Phần thuận thường dễ chỉ ra nhưng phần đảo thường khó hơn.

Khi ta giải toán bằng chách sử dụng phép biến hình nói chung, phép quay nói
riêng, nhờ vào tính chất 1 – 1 mà cả phần thuận và phần đảo được giải quyết
cùng lúc. Đây cũng là ưu điểm lớn nhất của việc sử dụng phép biến hình vào
giải toán quỹ tích.

16


Do đó, muốn sử dụng phép biến hình dựa vào giải toán tìm tập hợp các
điểm M thỏa mãn tính chất nào đó, ta có thể chọn một phép biến hình thích
hợp biến điểm M thành điểm M ' sao cho quỹ tích điểm M ' tìm được dễ
dàng hơn, từ đó suy ra quỹ tích điểm M .
2.3. Một số ví dụ
* Ví dụ 1:
Cho tam giác đều ABC . Tìm tập hợp các điểm M nằm trong
tam giác sao cho : MA2  MB 2  MC 2 .
Giải
Phép quay

Q( B;60) : M  M ' , A  C , do đó
MA  M ' C , MB  MM ' . Tam giác

MM ' C vuông tại M ' vì

M ' C 2  M ' M 2  MA2  MB 2  MC 2 Từ đó suy ra BM ' C  150 .

Mặt khác, từ

AMB 


CM ' B

suy ra : AMB  150 .
Chứng tỏ M thuộc cung chứa góc 150 dựng trên dây AB , trừ hai điểm

A, B .
Đảo lại, nếu M là điểm thuộc cung đó, thì phép quay Q ( B;60) biến
M thành M ' và cung AMB thành cung CM ' B có số đo 150 .

Vì tam giác BMM ' đều.

17


Do đó:
MM ' C  150  60  90 .

Tam giác MM ' C vuông tại M ' .
Do đó:
M ' M 2  M ' C 2  MC 2 .

Do :
MA  M ' C , MM '  MB

nên :
MA2  MB 2  MC 2 . (đpcm)

*Ví dụ 2:
Cho đường thẳng d , điểm A cố định không nằm trên d . Với mỗi điểm


B  d ta dựng tam giác đều ABC . Tìm tập hợp điểm C , khi B thay đổi trên
đường thẳng d .
Giải
Từ điều kiện bài toán ta suy ra C là ảnh của B qua phép quay tâm A
với góc quay 60  .
Do đó tập hợp C là ảnh của d qua phép quay đó.
* Ví dụ 3:
Cho nửa đường tròn đường kính AB
và một điểm M chuyển động trên nửa
đường tròn ấy. Tìm quỹ tích các điểm N
sao cho tam giác BMN là tam giác
đều.
Giải

18


 NBM 60
Tam giác BMN , cho ta : 
. N là ảnh của M trong phép
 BN  BM

quay tâm B , góc quay là 60  . Vậy quỹ tích của N là nửa đường tròn ảnh của
nửa đường tròn đường kính AB trong phép quay tâm B , góc quay 60 .
Chú ý : ta có hai đường tròn như thế, do việc chọn hai chiều quay.
* Ví dụ 4:
Cho nửa đường tròn đường kính AB . Một điểm C di chuyển trên nửa
đường tròn ấy. Trên tia AC ta lấy điểm M sao cho BC . Tìm quỹ tích điểm M .
Giải
Lấy điểm C ' đối xứng của C qua trung

điểm O của AB (là tâm của nửa đường tròn
đường kính AB ). Khi C di chuyển trên nửa
đường tròn đã cho thì C ' di chuyển trên nửa
đường tròn AmB .
Ta có :

AM  AC ' (vì cùng bằng BC )
MAC '  90 .

Vậy M là ảnh của C ' trong phép quay
tâm A , góc quay 90 . Quỹ tích của M là ảnh
của nửa đường tròn tâm A , góc quay 90 .
3. Ứng dụng phép quay vào giải bài toán dựng hình
3.1. Bài toán dựng hình
Bài toán dựng hình có dạng sau: “ Cho hình H . Hãy dựng hình H ' liên
hệ với hình H ”.
Bài toán dựng hình thường được giải theo quy trình 4 bước:
-

Bước 1 (phân tích): Giả sử đã có hình cần dựng, từ đó thiết lập mối

lien hệ giữa yếu tố phải tìm và yếu tố đã cho để đưa ra cách dựng.
-

Bước 2 (Cách dựng): Chỉ ra hữu hạn có thứ tự các phép dựng cơ bản

và bài toán dựng hình cơ bản cần phải thực hiện để có hình cần dựng.

19



-

Bước 3 (Chứng minh): Là việc chỉ ra hình càn dựng ở bước 2 đã thỏa

mãn yêu cầu bài toán.
-

Bước 4 (Biện luận): Xét xem khi nào bài toán giải được và khi đó bài

toán có bao nhiêu nghiệm.
3.2. Giải bài toán dựng hình nhờ phép biến hình
Giải bài toán dựng hình nhờ sử dụng phép biến hình thể hiện ở bước 1
(phân tích), ta quy việc xác định từng bộ phận của hình cần dựng về ảnh của
hình đã cho qua một phép biến hình.
3.3. Một số ví dụ
*Ví dụ 1
Cho ba đường thẳng x, y, z đôi một cắt nhau. Hãy dựng tam giác đều có
các đỉnh nằm trên ba đường thẳng đã cho.
Giải
Bước 1(Phân tích):
Giả sử ABC là tam giác đều đã dựng có A  x , B  y , C  z .

Xét

phép quay tâm A góc quay 60  biến B thành C , do đó y biến thành y ' đi
qua C , C là điểm chung của y ' và z .
Bước 2 (Cách dựng):
Lấy một điểm A  x . Dựng ảnh
y ' của y qua phép quay

Q A,60 . y ' và z cắt nhau tại C .

Dựng ảnh B của C qua phép quay

Q( A, 60) . ABC là tâm giác đều cần
dựng.
Bước 3(Chứng minh):
Giả sử y ' phải cắt z tại C . Phép
quay Q ( A,60) biến y ' thành y , do đó B thuộc y . Tam giác ABC có
AB  AC và BAC  60 , do đó ABC là tam giác đều. (đpcm).

20


*Ví dụ 2:
Dựng tứ giác ABCD , biết AB  AD  a, BC  b, CD  c , tổng số đo hai
góc B và D bằng  .
Giải
Bước 1(Phân tích):
Giả sử tứ giác ABCD đã dựng. Phép quay tâm A biến D th B sẽ biến

C thành C ' và ta có

ABC '  ADC , BC '  CD  c . Xét góc CBC ' . Góc

đó có số đo hoặc bằng  hoặc bằng 360   mà ta kí hiệu là  . Tam giác
BCC ' hoàn toàn xác định (nếu   180 tam giác đó suy biến thành đoạn

thẳng).
Bước 2 (Cách dựng):

-

Dựng

tam

giác

BCC ' (c.g.c)

-

Dựng đường trung

trực x của đoạn CC ' .
-

Dựng

đường

tròn

tâm B , bán kính  . Giao
điểm của đường tròn đó với
x là A .

-

Dựng


đường

tròn

tâm A , bán kính  và đường
tròn tâm C bán kính c . Điểm
chung của hai đường tròn đó là D (Chọn D để có tứ giác ABCD )
Bước 3(Chứng minh):
Bước 4(Biện luận):

21


Bài toán chỉ có nghiệm khi x và đường tròn tâm B có điểm chung và
các đường tròn tâm C , bán kính c và tâm A , bán kính  có điểm chung. Số
nghiệm có được phụ thuộc vào số các điểm chung đó. (đpcm)
*Ví dụ 3:
Cho hai đường thẳng d và d ' không vuông góc với nhau và điểm A
không nằm trên hai đường thẳng đó. Hãy dựng tam giác vuông cân ABC
( AB  AC ) sao cho hai đỉnh B, C nằm trên hai đường thẳng đã cho.
Giải
Bước 1(Phân tích):
Giả sử ABC là tam giác đã dựng thỏa mãn điều kiện bài toán, trong đó
B  d . Phép quay tâm A , góc quay 90  biến B  d  C  d ', d  d1 đi qua

C , khi đó C là giao điểm của hai đường thẳng d ' và d1 .
Bước 2(Cách dựng):
Ta có cách dựng sau:
- Dựng d1 là ảnh của d qua phép quay tâm A với góc quay 90 

- Gọi C là giao điểm của d ' và d1
- Dựng B là ảnh của C qua phép quay tâm A với góc quay 90 .
Bước 3(Chứng minh):
Bước 4(Biện luận):
Bài toán luôn có nghiệm và có hai nghiệm.
* Ví dụ 4:
Cho ba đường thẳng d1, d 2 , d3 song song với nhau và một điểm A thuộc
d1 . Hãy dựng tam giác đều ABC sao cho hai đỉnh B, C nằm trên hai đường

thẳng song song còn lại.

22


Giải
Bước 1(Phân tích):
Giả sử ta đã dựng được tam giác
đều ABC , có ba đỉnh A, B, C theo thứ
tự

nằm

trên

các

đường

thẳng


 AB  AC
d1, d 2 , d3 . Ta có : 
 BAC 60

Điều này có nghĩa là B là ảnh
của C trong phép quay tâm A , góc quay 60 , hay B là giao điểm của d 2 với
ảnh của đường thẳng d3 trong phép quay tâm A , góc quay 60 .
Bước 2(Cách dựng):
-

Dựng đường thẳng d '3 , ảnh của đường thẳng d3 trong phép quay

tâm A , góc quay 60  .
Ta thực hiện bước này như sau: Kẻ AH  d3 .
Dựng một tia Ax hợp với tia AH một góc 60 . Trên tia Ax lấy một
điểm H ' sao cho AH '  AH .
Dựng đường thẳng d '3 đi qua H ' và vuông góc với Ax ; d '3 cắt d 2 tại
B.

- Lấy A làm tâm, quay cung tròn tâm A , bán kính AB , cắt d3 tại C .
Tam giác ABC là tam giác cần dựng.
Bước 3(Chứng minh):
Thật vậy, ta có
AH ' B  AHC suy ra BAH '  H ' AH  60 .

Mặt khác

AB  AC

23



 ABC là tam giác đều.

Bước 4(Biện luận):
Bài toán luôn có hai nghiệm hình (là hai tam giác đều đối xứng nhau
qua AH ).
4. Ứng dụng phép quay vào giải bài toán tính toán
4.1. Bài toán tính toán
Trong hình học ta thường gặp một số bài toán như: tính độ dài, tính số đo
góc,…
Để giải bài toán tính toán ta phải thiết lập mối quan hệ giũa những cái
đã biết và những cái cần tìm, sau đó tính toán theo yêu cầu bài toán.
4.2.Giải bài toán tính toán sử dụng phép biến hình
Dùng phép biến hình để giải bài toán tính toán là sử dụng các phép biến
hình để di chuyển các yếu tố (các hình) ở những vị trí không thuận lợi cho
việc tính toán về những vị trí thuận lợi cho việc tính toán (cùng một tam giác,
cùng một đường tròn,…). Đặc biệt phép quay là công cụ ưu việt để giải các
bài toán tính toán vì đã biết số đo góc quay.
4.3.Một số ví dụ
* Ví dụ 1:
Cho

tam

giác

cân ABC

( AB  AC ) có BAC  80 . Bên trong

tam giác ta lấy điểm M sao cho
MBC  30 , MCB  10 . Tính MAC .

Giải
Thực hiện phép quay
Q( A, 60)

:C  E

và

CAE

 60 . Tia AE nằm trong góc BAC (xem hình vẽ) .

24


Tam giác ACE là đều, do đó ACE  60 .
Vì ACB  50 , do đó BCE  10 . Ta thấy rằng ba điểm B, E , C cùng
nằm trên đường tròn tâm A nên EBC  30 .

BMC  BEC (g.c.g)
Các điểm

do đó

CE  CM  CA .

E , M , A cùng nằm trên đường tròn tâm C


nên

2MAE  MEC  20 .

Vậy MAE  10 .
Suy ra MAC  70 .
* Ví dụ 2:
Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi M là trung điểm của CD , N là
giao điểm của cạnh BC với tia phân giác góc BAM . Tính độ dài đoạn BN .
Giải
 B D
Thực hiện phép quay : Q90
A :
N  N '

thì:
 N 'DC
 DN ' BN

Do


DAN
'

BAN

MAN


AN ' M ANB NAD MAN '

đó :
Tam giác AMN ' cân tại M , suy ra : MA  MN '  MD  DN '
 BN  DN '  MA  MD 

5 1
.a
2

* Ví dụ 3:
Cho tứ diện ABCD , phép quay quanh AB biến D thành D1 thuộc mặt
phẳng ( ABC ) và tam giác ABD1 nằm ngoài tam giác ABC . Tương tự D2 , D3

25