A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
       Bộ môn Hình học xạ ảnh là học phần nối tiếp sau học phần Hình học 
Afin và hình học Ơclit. Môn học chủ yếu đề cập đến các tính chất xạ ảnh, 
các tính chất bất biến qua các phép biến đổi xạ ảnh với mục đích giúp cho 
sinh viên có cái nhìn tổng quát các bài toán hình học phẳng liên quan đến 
tính  đồng  quy,  thẳng  hàng.  Đồng  thời,  Hình  học  xạ  ảnh  giúp  chúng  ta  có 
một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán 
thuộc chương trình phổ thông.  
       Không  gian  xạ ảnh  Pn  nằm  trong  Hình  học  xạ  ảnh  được  học  vào  học 
vào học kỳ 1 năm thứ ba của Sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2. 
Trong phần này  đã đưa ra những  khái niệm  cơ  bản:  Định  nghĩa  về không 
gian xạ ảnh và các mô hình của nó, phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình của 
m – phẳng, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng, tỉ số kép của chùm bốn siêu 
phẳng và nguyên tắc đối ngẫu trong các không gian xạ ảnh. Đây là một nội 
dung quan trọng, mở đầu cho việc hình thành những khái niệm về hình học 
xạ ảnh và cũng là cơ sở cho việc giải các bài toán hình học xạ ảnh sau này. 
      Với mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về không gian xạ ảnh và các khái niệm 
liên quan, được sự gợi ý của thầy hướng dẫn Đinh Văn Thủy, tôi quyết định 
nghiên cứu đề tài: 
“Không gian xạ ảnh Pn”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Định nghĩa không gian xạ ảnh và tính chất của không gian xạ ảnh. 

1


- Khái niệm về phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình m – phẳng, tỉ số kép của 
bốn điểm thẳng hàng và chùm bốn siêu phẳng. Nguyên tắc đối ngẫu trong 
các không gian xạ ảnh. 
- Các dạng bài tập liên quan. 

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống các  kiến thức về không gian xạ ảnh và việc xây dựng các khái 
niệm liên quan. 
- Nghiên cứu các bài tập liên quan đến định nghĩa không gian xạ ảnh, tính 
chất của không gian xạ ảnh. Các dạng bài tập về tọa độ xạ ảnh, phẳng, tỉ số 
kép và các phát biểu đối ngẫu. 
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
-  Đối  tượng:  các  bài  toán  liên  quan  đến  không  gian  xạ  ảnh  Pn,  phẳng,  hệ 
điểm độc lập, tọa độ xạ ảnh, xây dựng các mô hình của không gian xạ ảnh 
và các tính chất của chúng. Các dạng bài toán về tỉ số kép, hàng điểm điều 
hòa, chùm siêu phẳng điều hòa. 
- Phạm vi nghiên cứu: một số lớp các bài toán trong hình học xạ ảnh. 
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
     Giúp cho sinh viên có tài liệu tham khảo về việc xây dựng các ví dụ về 
không gian xạ ảnh và một số tính chất của nó, giúp cho việc học tập môn 
hình học xạ ảnh tốt hơn. 

2


B. NỘI DUNG
Chương 1: CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT
1.1. Không gian xạ ảnh và các phẳng của nó
1.1.1. Định nghĩa
> 0 trên trường  . Ta kí hiệu  là 

     Cho    là  không  gian  vectơ  có 

tập hợp các không gian con một chiều của  . Cho   là tập hợp tùy ý. 
Nếu có một song ánh: 

→

: 

〈 ⃗〉     (〈 ⃗〉) =

 

thì bộ ba ( , ,  ) được gọi là không gian xạ ảnh. 
: Không gian vectơ liên kết với không gian xạ ảnh. 
Mỗi phần tử của  được gọi là điểm (xạ ảnh). 
Vectơ  ⃗ ≠ 0 mà   (〈 ⃗〉) =

 được gọi là vectơ đại diện của  , thường kí 

hiệu là  ⃗. 
Do đó, ∀ ⃗ =
Nếu 

⃗ ( ≠ 0) cũng là vectơ đại diện của  . 

=

+ 1 thì  bộ ba  ( , ,  )  được  gọi  là  không gian xạ ảnh

chiều. Kí hiệu là 

. 

     Không gian xạ ảnh trên trường số thực  gọi là không gian xạ ảnh thực. 

Kí hiệu: 

( ). 

     Không gian xạ ảnh trên trường số phức  gọi là không gian xạ ảnh phức. 
Kí hiệu: 

( ). 

1.1.2. Phẳng
1.1.2.1. Định nghĩa

3


   Cho ( , ,  ) là không gian xạ ảnh. Gọi 

là không gian vectơ con của   

> 0. 

có 

Khi đó  =
=

Nếu 

\ ⃗∈


 được gọi là phẳng xạ ảnh  =
+ 1 thì   được gọi là  

.  

− phẳng. 

 là một 0 − phẳng. 

Như vậy, mỗi điểm của 

1 − phẳng chính là đường thẳng. 
2 − phẳng chính là mặt phẳng. 
( − 1) − phẳng của 

 còn gọi là siêu phẳng. 

1.1.2.2. Phẳng tổng, phẳng giao
    Cho 
Khi đó 

,
∩

Do  vậy  khi 

= ∅  
∩

+


( = 1,2). 

= 0⃗ . 

∩

≠ ∅  thì 

được gọi là phẳng giao của 
=

=

 là các phẳng xạ ảnh, 

∩
 và 

=

∩

  cũng  là  phẳng.  Nó 

. 

  là  phẳng  có  số  chiều  bé  nhất  chứa  cả 

phẳng tổng của 


 và 

. Kí hiệu là  =

+

,

  được  gọi  là 

. 

Tương tự có thể xây dựng các khái niệm:  
+ Phẳng giao của một họ phẳng là phẳng lớn nhất nằm trong các phẳng  
của họ.  
+ Phẳng tổng của một họ phẳng là phẳng bé nhất chứa tất cả các phẳng  
của họ. 
1.1.2.3. Định lý số chiều
Định lý:
a)

∩

≠ ∅  

( + )=

+


− dim ( ∩ ). 

b)

∩

= ∅  

( + )=

+

+ 1. 

4


Chứng minh:
+  là phẳng có không gian con liên kết là 
=

,   =
( + )=

 

a)

∩


 
(

+

+

)=

) + 1.

+

 

( + )+1 =(

 

( + )=
∩



 

≠ ∅ 

(


b)

+

(

−

∩

+ 1)+(
+

−

) 

+ 1) −[

( ∩ ) + 1]

( ∩ ). 

= ∅ 
(

+

)=


+ dim



( + )+1 =



( + )=

+1+

+ 1 

+1+

+ 1. 

Phản chứng để có điều ngược lại của a), b). 
1.1.3. Hệ điểm độc lập
1.1.3.1. Định nghĩa
    Cho 

 

.  Nếu A1 , A2 ,, Am   độc  lập  tuyến 



  điểm  A1 , A2 ,, Am  trong 




tính thì hệ điểm đã cho được gọi là hệ điểm độc lập.
Ví dụ:
      Hệ hai điểm phân biệt độc lập. 


 
A  B  A  k B  , k  A ,  B    độc lập tuyến tính. 





      Hệ ba điểm không thẳng hàng (cùng thuộc một đường thẳng) là độc lập. 
  
  
C  AB  C   A , B     C  , A , B    độc lập tuyến tính. 





 

5


1.1.3.2. Định lý

Định lý 1: Qua  m  1 điểm độc lập có và duy nhất  m   phẳng. 
Chứng minh:
} độc lập. 
Thật vậy, cho hệ { , … ,

= Ai  ( = 0,  ) là không gian vectơ 

=

( = 0,

 

=

− phẳng đi qua   và 

 ) là 

Nếu  =
 cũng 

  Ai  ∈ , = 0,  

= Ai ⊂
 

− phẳng đi qua

,


,…,

∈
  

(1) 

+1=

Từ (1) và (2) suy ra

+ 1 chiều. 

(2) 
=

. Định lý được chứng minh. 

Định lý 2: Hệ r điểm (r  ≥ 2) là độc lập khi và chỉ khi chúng không cùng 
thuộc một (r – 2) – phẳng.
Chứng minh:
     Giả sử 

,

,…

là r điểm của không gian xạ ảnh 


lượt là r vectơ   ⃗,  ⃗, … ,
Hệ điểm 

⃗ của 

, có đại diện lần 

 (r ≥ 2). 


 là độc lập khi và chỉ khi các vectơ  mi  độc lập tuyến tính nên 

không cùng thuộc một không gian vectơ con r – 1 chiều của 
khi và chỉ khi hệ điểm 

, tức là 

không cùng nằm trên một (r – 2) – phẳng. Định lý 

được chứng minh. 
1.1.4. Định lý Đờ-dác 1
Định lý:  
      Trong không gian xạ ảnh cho 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’ trong đó không có 
ba điểm nào thẳng hàng. Khi đó, hai mệnh đề sau đây tương đương: 
6


a. Ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy. 
b.  Giao  điểm  của  các  cặp  đường  thẳng  AB  và  A’B’, BC   và  B’C’, CA   và    
C’A’  là ba điểm thẳng hàng. 

Chứng minh:
(a ⇒ b)  Gọi S = AA ∩ BB ∩ CC
S ∈ AA ⇒ S⃗ = λ A⃗ + μ B⃗  
Do  các  vectơ  đại  diện  có  thể  sai  khác  thừa  số  khác  0.  Có  thể  coi  rằng: 
S⃗ = A⃗ + A′⃗ 
Tương tự: S⃗ = B⃗ + B′⃗ = C⃗ + C′⃗ 

B 

A’ 

Suy ra: A⃗ + A′⃗ = B⃗ + B′⃗ 
⇒ A⃗ − B⃗ = B′⃗ − A′⃗ = M⃗ 

M 
P 

⇒ M⃗ là vectơ đại diện của 

C 
N 

M = AB ∩ AB′      

B

A 

Và B⃗ + B′⃗ = C⃗ + C′⃗ 


C’ 

⇒ B⃗ − C⃗ = C′⃗ − B′⃗ = N⃗                            
S 

⇒ N⃗ là vectơ đại diện của 
N = BC ∩ B′C′ 

⇒ C⃗ + C′⃗ = A⃗ + A′⃗   ⇒ C⃗ − A⃗ = A′⃗ − C′⃗ = P⃗  
⇒ P⃗ là vectơ đại diện của P = CA ∩ C′A′. Ta có: M⃗ + N⃗ + P⃗ = 0⃗   
⇒ M, N, P thẳng hàng. 
(b ⇒ a)  Xét hệ 6 điểm {B, B , M, C, C , P} 
Với M = AB ∩ AB , P = AC ∩ A′C′ 

7


Do BC, B’C’, MP  đồng quy tại N nên theo chứng minh phần trên ta suy ra: 
BC ∩ B′C′, B M ∩ C P, MB ∩ PC thẳng hàng. 
  AA’, BB’, CC’ đồng quy. Định lý được chứng minh. 

1.2. Mô hình của không gian xạ ảnh
1.2.1. Mô hình chính tắc (mô hình vectơ):
      Cho   là một không gian vectơ  + 1 chiều.  =

và   là phép đồng 

nhất của  . Do   là song ánh nên: 
( , , 


) là không gian xạ ảnh n chiều. 

1.2.2. Mô hình bó
      Giả  sử 
∈

là  không  gian  afin 

+ 1  chiều  có  nền  là 

.  Lấy 

. Tập hợp các đường thẳng đi qua   được gọi là bó đường thẳng 

tâm  , kí hiệu 

. 

Xét ánh xạ  :

→

 

                          〈 ⃗〉    Đường thẳng qua   có phương 〈 ⃗〉 
                                         = ( , 〈 ⃗〉)  
,

thì   là song ánh nên (


, ) là không gian xạ ảnh  chiều. 

1.2.3. Mô hình afin
    Lấy siêu phẳng 
=

    Gọi 

∪

Xét ánh xạ  :

→

                       



thì   là song ánh và 
ánh:

: 

⊂

, có nền là 

. Gọi 

 là bó đường thẳng tâm   với  ∉


∩
⃗

nếu
nếu

∦
∥

. 
. 

 

= .  với   trong mô hình bó ở 1.2.2 thì  ′ là song 

→

8


⇒(

,

,

) là không gian xạ ảnh   chiều. 


Chú ý: Trong 

có hai loại điểm: 

             Điểm afin thông thường trong 
             Điểm “vô tận” thuộc 

.

1.2.4. Mô hình số học
 là tích Đề-các của với chính nó  + 1 

    Cho   là một trường nào đó, 
lần, tức là:  
= {( ,

)\

,…,

∈

. Cho vectơ  ⃗ = ( ,

Xét không gian vectơ 
mà  ⃗ ≠ 0⃗ = (0,0, … ,0) ∈

}
,…,


)∈

 

kí  hiệu  〈 ⃗〉  là  không  gian  vectơ  một  chiều  sinh  ra  bởi  ⃗  và  kí  hiệu 
( ,

,…,

) = 〈 ⃗〉 − 0⃗  

Như vậy ( ,

,…,

) là một lớp các bộ số sắp thứ tự (không đồng thời 

bằng 0) của   và hai bộ bất kỳ trong lớp đó thì tỉ lệ với nhau (hệ số tỉ lệ 
≠ 0). 
Gọi  là tập hợp tất cả các lớp như vậy. 
Có thể lập song ánh  :

→

              〈 ⃗〉   ( ,
Khi đó ( , K

,…,

) 


, ) là một không gian xạ ảnh n chiều trên  . Ta gọi nó là 

mô hình số học của 

( ). 

1.3. Tọa độ xạ ảnh
1.3.1. Mục tiêu xạ ảnh
      Cho không gian xạ ảnh 
hợp có thứ tự   + 2 điểm của 

liên kết  – không gian vectơ 
:{ ,

9

,…,

. Một tập 

; } được gọi là mục tiêu xạ 


ảnh nếu bất kỳ  + 1 trong  + 2 điểm đó đều độc lập. 
Dễ thấy rằng mục tiêu xạ ảnh là tồn tại. 
Các điểm   gọi là các đỉnh của mục tiêu xạ ảnh, điểm U gọi là điểm đơn vị. 
−  phẳng (

Các 


< ) đi qua 

+ 1 đỉnh gọi là các 

− phẳng toạ độ, 

đặc biệt là các đường thẳng     với  ≠ , gọi là các trục tọa độ. 
1.3.2. Định lý
1.3.2.1. Phát biểu
={ , }
trong 
thì  trong không 

 n
có  cơ  sở    ei   mà  ei   là  vectơ  đại  diện  của 

      Nếu  cho các  mục  tiêu xạ  ảnh 
gian  vectơ  liên  kết 



0

( = 0, ). 

e
 i   là vectơ đại diện của điểm  . 
n


i 0




 là duy nhất theo nghĩa nếu có   '  e 'i   như vậy thì  e 'i  kei   .  

 

1.3.2.2. Chứng minh

Sự tồn tại: Gọi  si  là vectơ đại diện của 
( = 0, )     
 n
  si  là cơ sở của 



0

. 
 

 

Gọi  ⃗ là vectơ đại diện của   thì: 





u  k0 s0  k1 s1  kn sn        
          với 

 

≠ 0 ( = 0, ) 

Vì trái lại có, chẳng hạn  = 0 thì: 




u  k1 r1  k2 r2   kn rn   

 

10


 { ⃗, ⃗, … , ⃗} phụ thuộc tuyến tính 
 { , , … , } không độc lập (trái với định nghĩa của  ). 



Gọi  ei  ki si   (i  0, n)   thì:  ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⋯ + ⃗ với  ei cũng  là  vectơ  đại 
diện của   (do 

 n
≠ 0) nên    ei'  cũng là cơ sở cần tìm. 




'

0

 n

'
Tính duy nhất: Nếu có    ei   cũng thỏa mãn  ei'  là vectơ đại diện  



'

0

của   


    ei'  ki ei       (i  0, n)   
n 
n 


e 'i  là vectơ đại diện của  U   e 'i  k.( ei )        
n

i 0


i 0

i 0

n
 k 
 
    ki .ei   k .ei          ki  k  .ei  0    ki  k         i  0, n   
n

i 0

i 0

i 0

* Chú ý: 
 được gọi là cơ sở đại diện của  . 
tọa độ của  ⃗ trong cơ sở đại diện   được gọi là tọa độ xạ ảnh 

∈

Với 

của   trong . 
⃗=

⃗+

   có tọa độ: 


⃗ + ⋯+

⃗  

=( ,

,…,

). 

* Nhận xét: 
: tọa độ gồm  + 1 số, không đồng thời bằng 0, ( ) ≠ (0)  
n

hay xi2  0 . 
i 0

Tọa độ xạ ảnh của điểm không duy nhất, có thể sai khác số  ≠ 0. 

11


 
= (1, 0, … , 0)   vì  ⃗ = ⃗ 

 Ví dụ:

                          
= (0, … , 0, 1)   vì  ⃗ = ⃗ 


              

n 

               = (1, 1, … , 1)    vì  ei  U   
i 0

1.3.3. Công thức đổi tọa độ
       Cho  = { , } trong 

 thì  ( ,
={ ,

Lấy mục tiêu xạ ảnh mới 

,…,

). 

} thì   có tọa độ mới ( ,

,…,

). 

Gọi  ,   là các cơ sở đại diện của  ,   và ma trận   là ma trận chuyển tọa 
độ từ  →

.  


Từ định nghĩa tọa độ suy ra: 
=

                              

         (*)       ≠ 0 tùy ý 

(*) được gọi là công thức đổi tọa độ từ  →
1.4. Phương trình của

. 

− phẳng

1.4.1. Phương trình tham số
       Cho  = ( ) là 

−phẳng. Lấy cơ sở của   gồm  ⃗, ⃗, … , ⃗. 
 n
Giả  sử  rằng  trong  mục  tiêu  xạ  ảnh  của  với  cơ  sở  đại  diện    ei   thì 



0

⃗=(
Điểm 

,


,…,

=( ,

)
,…,

( = 0,

) 

) ∈        ⃗ ∈

 

n

                                                       x  ti ai    (1) 
i 0

=



,

=

12





, ,…,

là

+ 1 tham số  không  đồng  thời  bằng  0,  được  gọi  là  các 

tham số. 

 x0  t0 a00  t1a01   tm a0 m
 x  t a  t a   t a
 1 0 10 1 11
m 1m
  
       với  rank   aij   m  1   


 xm  t0 an 0  t1an1   tm anm

(1)

(1) được gọi là phương trình tham số của 

− phẳng   trong mục tiêu  . 

Ngược lại, cho một phương trình có dạng (1) với dạng trên  
rank   aij   m  1  thì có − phẳng    nhận nó làm phương trình tham số. 


Cụ thể xét  ai  có tọa độ cột là hệ số   

Do  rank  aij   m  1     W  ai   là  không  gian  con  m  1  chiều.  Gọi 

=

 thì theo trên phương trình tham số của   là (1). 

Đặc biệt, phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B có 
dạng:  X     A     B   trong đó   và   không đồng thời bằng 0. 
Ví dụ: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm  
=(

,

,…,

),  = ( ,

) 

,…,

 x0  a0  b0
 x  a  b
 1 1
1
là      
              ( , ) ≠ (0, 0) 



 xn  an  bn
Áp dụng:  = (1, −2, … ,1), 

= (2, 0, … ,5)  

 x0  .1   .2      

AB có phương trình tham số:   x1   .(2)   .0   
 x  .1   .5       
 2

13

 x0    2        

 x1  2             
 x    5       
 2


1.4.2. Phương trình tổng quát 
+ 1  phương  trình  độc  lập  tuyến  tính  trong  hệ  (1).  Đó  là  hệ 

        Lấy 

+ 1 ẩn  , , … ,

Crame của 


 nên có nghiệm duy nhất. 

Sau khi thế các nghiệm tìm được vào  −

 phương trình còn lại của hệ (1) 

ta có hệ: 
n

              

b x
ij

j

( = 1, −

)

           (2)            

j 0

với

=

−


(2) được gọi là phương trình tổng quát của α. 
Ngược  lại,  cho  hệ  (2)  trong    đã  cho  luôn  có 

− phẳng    nhận  nó  làm 

phương trình tổng quát. 
Ví dụ: Phương trình tổng quát của siêu phẳng trong 
=

− 1       −
+

+⋯+

= 1 nên   có một phương trình    
= 0  với 

≠ 0       

Chẳng hạn, với  (1, −2, 5),  (2, 0, 5) ta có phương trình tham số:     
 x0    2        

 x1  2                     
 x    5       
 2

Có

1 2

 x    2
x
             1  
 4  0  . Từ    0
2 0
2
 x1  2      

                                                          
Thế vào phương trình còn lại ta được: 

14

x1
2  2 x0  x1   
2
4

x0 


  x2  

x1
2 x  x 2 x1  10 x0  4 x1
 5.  0 1 
   
2
4
4


 10 x0  3x1  4 x2  0  là phương trình tổng quát của  AB .  
1.4.3. Tọa độ của siêu phẳng
       Cho   là siêu phẳng của 

. Trong 

phương trình tổng quát của   là:  

n

+

= 0  hay   ai xi  0   

+ ⋯+

i 0

trong đó các 
tọa độ của

không đồng thời bằng 0. Thì bộ (
trong

,

,…,

) được gọi là 


.

Tính chất: Giống như tính chất của tọa độ điểm 
+ Có ít nhất một số sai khác nhau. 
+ Có thể sai khác nhân tử khác không. 
    Ví  dụ  siêu  phẳng  đi  qua  mọi  đỉnh  của  mục  tiêu  xạ  ảnh  trừ  đỉnh    có 
= 0, và tọa độ của nó là: (0, … , 0, 1, 0, … , 0) (số 1 nằm ở 

phương trình: 

vị trí thứ  + 1, ngoài ra là số 0). 
     Đối với mỗi siêu phẳng  = (

,

,…,

) ta cũng kí hiệu ma trận cột 

tọa  độ  của  nó  là  ( ).  Như  thế  phương  trình  của  siêu  phẳng    có  thể  viết 
dưới dạng ma trận: 
                                                ( ) ( ) = 0.  
1.4.4. Hệ siêu phẳng độc lập
    Cho   là siêu phẳng 

,…,

 có tọa độ: 


                    

(

,

,…,

)  

                    

(

,

,…,

)  

                   ……………………. 
                    

(

,

,…,

)  


15


=

Nếu 

 thì { }

 được gọi là hệ siêu phẳng độc lập. 

Nếu    siêu  phẳng  đó  độc  lập  thì  phương  trình  tổng  quát  của  chúng  làm 
thành một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có hạng bẳng  . 
−

Từ đó suy ra: Giao của

siêu phẳng độc lập là

− phẳng.

1.5. Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng
1.5.1. Định nghĩa
       Trong  − không gian xạ ảnh 

 liên kết với 

 cho bốn điểm thẳng 


hàng  , , ,  trong đó có ba điểm  , ,  đôi một không trùng nhau. 
Ta gọi  ⃗, ⃗, ⃗, ⃗ là các vectơ lần lượt đại diện cho các điểm  , , ,  thì 
các vectơ đó thuộc một không gian vectơ hai chiều, trong đó  ⃗ và  ⃗ độc lập 
tuyến tính. Ta suy ra có các số  ,  và  ,  sao cho: 
⃗=

⃗+

⃗  

⃗=

⃗+

⃗  

Trong đó (

≠ 0 và 

Khi đó nếu tỉ số: 

≠ 0 vì   không trùng với   và  ) 

k2 k1
:    có nghĩa (tức là 
l2 l1

≠ 0) thì nó được gọi là tỉ số


kép của bốn điểm thẳng hàng  , , , . Kí hiệu là: (
Nếu 

= 0 thì phân số 

 
)=

]. 

k2
    không có nghĩa. Khi đó ta xem tỉ số kép của 
l2

bốn điểm  , , ,  bằng    (vô cùng). 

Như vậy: (

) hay [

2
∶ 1
2
1

∞

nếu
nếu


16

≠0

 
=0


Nhận xét: Tỉ số kép nói trên không phụ thuộc vào cách chọn các vectơ đại 
diện cho A, B, C , D . 
1.5.2. Tính chất của tỉ số kép
      Cho bốn điểm  A, B, C , D  thẳng hàng và phân biệt. Khi  đó:  
a.   ABCD    BACD  

1
  
 ABCD 

    Có nghĩa là: Khi hoán vị hai điểm đầu với nhau hoặc hai điểm cuối với 
nhau thì tỉ số kép trở thành số nghịch đảo. 
b. (

)=(

) 

     Có nghĩa là: Khi hoán vị đồng thời hai điểm đầu với nhau và hai điểm 
cuối với nhau thì tỉ số kép không thay đổi. 
c. (


)=(

) 

     Có nghĩa là:  Khi  hoán  vị  cặp  điểm  đầu  với  cặp  điểm  cuối,  tỉ  số  kép 
không thay đổi. 
d. (

)=(

)=1−(

)  

Có nghĩa là: Khi hoán vị hai điểm ở giữa với nhau hoặc hoán vị điểm 
đầu và điểm cuối với nhau thì được tỉ số kép mới bằng 1 trừ đi tỉ số kép cũ. 
e. Nếu  , , , ,  là năm điểm thẳng hàng và phân biệt thì: 
                                   (

). (

)=(

)  

1.5.3. Biểu thức tọa độ
     Giả sử trong 

 đã chon một mục tiêu xạ ảnh { , } cho bốn điểm thẳng 


hàng  , , ,   với  các  ma  trận  cột  tọa  độ  lần  lượt  là:  ( ), ( ), ( ), ( ). 
Như đã biết, khi đó ta có: ( ) = ( ) + ( ) và ( ) = ( ) + ( ) 

Đối với cơ sở  ei   đại diện cho mục tiêu xạ ảnh, các ma trận ( ), ( ), ( ) 



17


và ( ) cũng là các ma trận cột tọa độ của vectơ  ⃗, ⃗, ⃗, ⃗ lần lượt đại diện 
cho các điểm  , , , . Bởi vậy ta có:  ⃗ =
) = 

Từ đó suy ra: (

⃗+

⃗  và  ⃗ =

⃗+

⃗ 

k2 k1
 :    
l2
l1

Ta giả sử cho tọa độ:  

(

,…,

),  ( , … ,

),  ( , … ,

Vì  ≠  nên có  ,  để   
Vì ( ) =

ai
cj

),  (

,…,

bi
 0   
dj

( ) + ( ) nên: 

=

+

  


                                                

=

+

  

Từ đó suy ra: 

= 

ci
cj

bi
dj

  ,   l1 



Tương tự ta có: 

=

+

 


                          

=

+

 

di
dj

bi
dj

Suy ra:  k 2   



  ,   l2 

) 

ai
aj

ai
aj


di

dj


ci
cj

  

  

1.5.4. Hàng điểm điều hòa
       Nếu  tỉ  số  kép  (

) = −1  thì  ta  nói  rằng  cặp  điểm  ,   chia điều

hòa  điểm  , . Khi đó vì (

) = −1. Bởi vậy ta còn nói: cặp điểm  ,  

và cặp điểm  ,  liên hiệp điều hòa. Còn nói:  , , ,  là một hàng điểm
điều hòa.

18


1.5.5. Hình bốn đỉnh toàn phần (Tứ đỉnh toàn phần).
1.5.5.1. Định nghĩa
 cho bốn điểm  , , ,  trong đó không có ba điểm nào thẳng 

      Trong 


hàng. Hình tạo bởi bốn điểm đó gọi là một hình bốn đỉnh toàn phần.  
Kí hiệu là 

. 

Mỗi điểm  , , ,  gọi là một đỉnh.  
Đường thẳng nối hai đỉnh gọi là một cạnh, có 
,

6 cạnh: 

,

,

,

,

. 

Hai cạnh không có đỉnh chung gọi là hai cạnh 
đối diện, có 3 cặp cạnh đối diện: (
(

,

), (


,

,

D 

C 

), 

).    

Giao  điểm  của  hai  cạnh  đối  diện  gọi  là  một 

Q 

R 

điểm chéo, có 3 điểm chéo:  
=

∩

,

=

∩

,


=

∩

. 

Đường thẳng nối hai điểm chéo gọi là một đường chéo, có 3 đường chéo: 
,

,

. 

1.5.5.2. Định lý
     Trong một hình bốn đỉnh toàn phần, hai điểm chéo nằm trên một đường 
chéo chia điều hòa cặp giao điểm của đường chéo đó với cặp cạnh đi qua 
điểm chéo thứ ba. 
Chứng minh:
 

19


 
 
 

A 


 
 
R 

 

D(1, 1, 1) 

 

M 

 
 
 
A(1, 0, 0) 

 
Giả sử 
=

 là hình bốn đỉnh toàn phần. Ba điểm chéo của nó là:  
∩
=

Gọi 

,

=


∩

,

Trong mặt phẳng 
{ ,

,

=

 

x0
1
0

∩

,

=

=

∩

∩


. 

. ta phải chứng minh (

) = −1. 

 chứa hình bốn đỉnh toàn phần ta chọn mục tiêu xạ ảnh 

, } sao cho: 
= (0,0,1),  =

Đường  thẳng 
( ,

B(0, 1, 0) 

P 

=

= (1,0,0), 

=

= (0,1,0), 

= (1,1,1). 

  có  phương  trình: 


= 0  nên  điểm    có  tọa  độ  là: 

, 0), mặt khác ba điểm  , ,  thẳng hàng nên:  
x1 0
1 1  0  hay  x0  x1 . 
0 1

Vậy  (1,1,0). 
Tương tự ta tính được:  (1,0,1). 

20


Phương trình đường thẳng 

còn đường thẳng 
Vậy tọa độ điểm 

=

x1
1
0

x2
0  0  hay  x0  x1  x2  0 . 
1

 có phương trình: x0  0 . 
=


∩

Phương trình đường thẳng 

Vậy tọa độ 

x0
 là:  1
1

∩

 là  (0,1, −1). 
x0
 là:  1
1

x1
0
1

x2
0  0  hay  x2  x1  0  . 
1

 là  (2,1,1). Từ đó ta có: 

( ) = ( ) + ( ) và ( ) = ( ) − ( ) hay (


) = −1. 

1.6. Tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng
1.6.1. Chùm siêu phẳng
      Trong không gian xạ ảnh 

cho ( − 2) − phẳng ∆. Tập hợp các siêu 

phẳng cùng đi qua ∆ được gọi là chùm siêu phẳng có giá ∆. 
Nhận xét: Một chùm siêu phẳng được xác định khi cho giá của nó hoặc cho 
hai siêu phẳng nào đó của chùm. 
    Giả sử trong 

đã chọn một mục tiêu xạ ảnh cho một chùm siêu phẳng 

mà hai siêu phẳng   và   của nó lần lượt có phương trình:  
n

               ai xi  0             (1) 
i 0
n

      và     bi xi  0              (2)    
i 0

(Khi đó giá của chùm sẽ có phương trình là hệ gồm hai phương trình trên).  

21



=(

Tọa  độ  của  các  siêu  phẳng  đó  là: 

,…,

), 

= ( ,…,

)  cũng 

như đối với tọa độ các điểm, ta kí hiệu ( ) và ( ) lần lượt là các ma trận 
cột tọa độ của các siêu phẳng   và  . 
Định lý:  
Điều  kiện  cần  và  đủ  để  siêu  phẳng    thuộc  chùm  xác  định  bởi  hai  siêu 
phẳng   và   là phương trình   có dạng:  
n

n

 . ai xi   .bi xi  0             (3) 
i 0

i 0

trong đó   và   không đồng thời bẳng 0. 
(Hoặc nói cách khác là ma trận cột của   có dạng: ( ) = . ( ) + . ( )). 
Chứng minh:
n


 Giả sử siêu phẳng   có phương trình: ci xi  0   (3′ )  với  = ( , … ,

).

i 0

 Điều  kiện  cần  và  đủ  để    thuộc  chùm  xác  định  bởi  ,   là    đi  qua 
( − 2) −  phẳng  có  phương  trình  là  hệ  gồm  hai  phương  trình  (1)  và  (2). 
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi hệ gồm ba phương trình (1), (2), (3 ) là phụ 
thuộc, trong lúc hệ (1) và (2) là độc lập, hay khi và chỉ khi (3 ) là phương 
trình hệ quả của (1) và (2), tức (3 ) có dạng (3). 
1.6.2. Tỉ số kép của bốn siêu phẳng
        Cho bốn siếu phẳng  , , ,  cùng thuộc một chùm. Khi đó: 
( )=

.( ) +

. ( )  

( )=

.( )+

. ( )  

 và tỉ số  

2 1
 :   được gọi là tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng đó. 

  2 1

Kí hiệu là: (

) hay [ , , , ]. 

22


Nhận xét:  Đối với các trường hợp có hai siêu phẳng nào đó trùng nhau thì 
ta định nghĩa tỉ số kép như sau: 
(

) = 1  

(

)=(

) = 0  

(

)=(

) = ∞  

∆

1.6.3. Định lý

    Một đường thẳng   không cắt giá   
mà cắt bốn siêu phẳng  , , ,              
của chùm tại  , , ,  theo thứ tự.  
)=(

Khi đó: (

 

 

 

 

). 

                    Chứng minh:
Chọn mục tiêu xạ ảnh { , }   
với  ,

,…,

= ,

∈ ∆ 

 

 


 

= .  

Suy ra:   có phương trình 
              có phương trình 
 Tọa độ  = (0, … ,0,1),

= 0 
= 0. 
= (0, … ,1,0)  

( )=

.( ) +

. ( )   = (0, … ,0,

,

) 

( )=

.( )+

. ( )   = (0, … ,0,

,


) 

 có phương trình tham số: ( ) = ( ) + ( ) 
 

=0
=     ( ≤
=

 

∩

− 1) 

=    . +

nên  = (0, … ,0,

= 0   =

, − ) 

23

,

=


 

 


Tương tự:  (0, … ,0,1,0), 
⃗=

⃗−

⃗  

⃗=

⃗−

⃗  



= (0, … ,0,0,1),  (0, … ,0,





, − ) 




Suy ra:   ABCD      2 : 1     2 : 1    .   
   2  1   2 1
1.6.4. Hệ quả
    Tính chất  của tỉ số kép  của  bốn siêu phẳng  có  các tính  chất giống  tỉ số 
kép của bốn điểm. 

1

a. (

) = 

b. (

)=1−(

c. (

). (

d. (

)=(

 

  
) 

)=(


) 

) 

1.6.5. Chùm bốn siêu phẳng điều hòa
      Bốn  siêu  phẳng  , , ,   của  một  chùm  được  gọi  là  chùm bốn siêu
) = −1. Khi đó ta còn nói: Cặp siêu phẳng ,

phẳng điều hòa nếu (

chia điều hòa cặp siêu phẳng , .
Kí hiệu: 
Tính chất:  

    đh      

 

    đh      

 

 
  

    đh      

 


   

    đh      

 

  

1.6.6. Hình bốn cạnh toàn phần (Tứ cạnh toàn phần).
1.6.6.1. Định nghĩa
     Trong 

  cho  bốn  đường  thẳng  , , ,   trong  đó  không  có  ba  đường 

nào đồng quy. Hình tạo bởi bốn đường thẳng đó gọi là một hình bốn cạnh
toàn phần. Kí hiệu là 

. 

24


 
 
 

C 

Mỗi đường thẳng  , , ,  gọi là 
một cạnh. 

Giao  điểm  của  hai  cạnh  gọi  là 
A 

một đỉnh, có 6 đỉnh:  
=

∩ ,

=

= ∩ ,

=

∩ ,

=

=

∩ . 

∩ ,

Q 

∩ ,   
b 

    


A

a 
C
’ 

d 

c 

 

P 
B
 
’ 
Hai đỉnh không thuộc một cạnh gọi là hai đỉnh đối diện, có 3 cặp đỉnh đối 
B 

), ( ,

diện: ( ,

), ( ,

R 

). 


Đường thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là một đường chéo, có 3 đường chéo: 
,

,

′. 

Giao điểm của hai đường chéo gọi là một điểm chéo, có 3 điểm chéo:  
=

∩

,

=

∩

,

=

′∩

′. 

1.6.6.2. Định lý
  Trong hình bốn cạnh toàn phần, hai đường chéo đi qua một điểm chéo nào 
đó  chia  điều  hòa hai  đường  thẳng  nối hai  điểm  chéo đó với  hai  đỉnh nằm 
trên đường chéo thứ ba. 

Chứng minh:
 
 

25